NGUYỄN BẢO VƯƠNG
CHƯƠNG V.
ĐẠO HÀM –
TẬP 1.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 hoặc Liên hệ qua
Facebook: https://web.facebook.com/phong.baovuong
Website: http://tailieutoanhoc.vn/
Email:
[email protected]
Page Facebook: https://web.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
ALBA – CHƯ SÊ- GIA LAI
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM
TẬP 1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ CÁC
PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
Mục Lục
KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM .................................................................................................................................... 2
Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa .................................................................................................. 2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP .................................................................................................................. 4
CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM ................................................................................................................... 8
Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng công thức .................................................................................................... 8
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP ................................................................................................................ 11
Vấn đề 2. Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn ........................................................................................... 24
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP ................................................................................................................ 25
Vấn đề 3. Đạo hàm cấp vao và vi phân ..................................................................................................... 27
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP ................................................................................................................ 29
ĐẠO HÀM TỔNG HỢP .................................................................................................................................. 33
GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
CHỦ ĐỀ: ĐẠO HÀM
KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
1. Đạo hàm tại một điểm
Hàm số y f ( x) liên tục trên ( a; b) , được gọi là có đạo hàm tại x0
hạn): lim
x
f ( x)
f ( x0 )
x
x0
x0
( a; b) nếu giới hạn sau tồn tại (hữu
và giá trị của giới hạn đó gọi là giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm x0 .Ta kí hiệu
f '( x0 ) .
Vậy f '( x0 )
lim
x
f ( x)
f ( x0 )
x
x0
x0
2. Đạo hàm bên trái, bên phải
f ( x) f ( x0 )
.
f '( x0 ) lim
x x0
x x0
f '( x0 )
Hệ quả : Hàm f ( x) có đạo hàm tại x0
lim
x
f ( x)
x0
x
f ( x0 )
x0
.
f ( x0 ) và f '( x0 ) đồng thời f '( x0 )
f '( x0 ) .
3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
Hàm số f ( x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên ( a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ( a; b) .
Hàm số f ( x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [a; b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ( a; b)
đồng thời tồn tại đạo hàm trái f '(b ) và đạo hàm phải f '(a ) .
4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
Định lí: Nếu hàm số f ( x) có đạo hàm tại x0 thì f ( x) liên tục tại x0 .
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x0 nhưng hàm đó không
có đạo hàm tại x0 .
x liên tục tại x
Chẳng hạn: Xét hàm f ( x)
Vì lim
x
f ( x)
0
f (0)
1 , còn lim
x
x
0
f ( x)
f (0)
x
0 nhưng không liên tục tại điểm đó.
1.
Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Phương pháp:
f '( x0 )
f '( x0 )
f '( x0 )
f ( x)
lim
x
x
x0
lim
x
x0
lim
x
x0
f ( x)
x
f ( x)
x
f ( x0 )
x0
f ( x0 )
x0
f ( x0 )
x0
Hàm số y
f ( x) có đạo hàm tại điểm x
x0
f '( x0 )
f '( x0 )
Hàm số y
f ( x) có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó.
GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
2
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ:
1. f ( x)
2x
x3
3
1 tại x
x2 1 1
khi x
x
khi x 0
3. f ( x)
2
0
x2
2. f ( x)
1 tại x
0 tại x
0
1
Lời giải.
1. Ta có lim
x
2
f ( x) f (2)
x 2
2. Ta có : f '(1)
lim
x 1
lim
x 1
x
lim 2( x2
x
( x 1)( x2
x
1
f ( x)
0
2
2)
f (0)
x
2x
2
f ( x) f (1)
x2 1
lim
x 1
x 1
x 1
( x 1)( x 1)
1
0 , do đó: lim
3. Ta có f (0)
Vậy f '(0)
2 x3 16
2 x 2
lim
lim
x
4)
24
24 .
f '(2)
2
.
x3
x2
0
x
1 1
2
x
lim
x
0
x
3
x
1
2
1
1
1
2
1
.
2
2x2
Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số f ( x)
x
1
x 1
liên tục tại x
1 nhưng không có đạo hàm tại
điểm đó.
Lời giải.
Vì hàm f ( x) xác định tại x
f ( x) f ( 1)
x 1
x
1
f ( x) f ( 1)
lim
x 1
x
1
Ta có: f '( 1 )
lim
f '( 1 )
f '( 1 )
1 nên nó liên tục tại đó.
f '( 1 )
Lời giải.
Để hàm số có đạo hàm tại x
x 1
x2 1
1 x 1
lim
x
x
1
2x
x 1
lim 2
x
1
2
1
f ( x) không có đạo hàm tại x
Ví dụ 3. Tìm a để hàm số f x
Hay lim f ( x)
lim
2
1.
x2 1
khi x 1
có đạo hàm tại x
x 1
a
khi x 1
1
1 thì trước hết f ( x) phải liên tục tại x
1
f (1)
a.
GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
x2 1
2
lim x 1
x 1
x 1
f ( x) f (1)
x 1
2 là giá trị cần tìm.
Khi đó, ta có: lim
x 1
Vậy a
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
1.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra
Câu 1. f ( x) 2x 1 tại x0 1
A.2
Bài làm 1. Ta có: f '( x0 )
Câu 2. f ( x)
x 1
tại x0
x 1
A. 2
Bài làm 2 . f '( x0 )
x2
Câu 3. f ( x)
B.2
C.3
D.4
2
1 tại điểm x0
x
lim
x
x2
2
sin2 x tại x
2
5
7
(x
lim
x
2
(x
x3
Câu 5. f ( x)
x
1
5
2 7
7)
2
2x2 x
x 1
C.2
1 1
khi x
khi x
1
3
B.
x 1
3)
D.3
0
0
Bài làm 5. lim
D. 41
3
2)( x
2)( x2
B.1
Bài làm 4. f '( )
2
8
C.
2 7
x 1
x 2
A. 0
Vậy f '(1)
D.5
B.
Bài làm 3. f '(2)
A.
C.4
2
A. 2
Câu 4. f ( x)
B.3
2
f ( x) f (1)
x 1
lim
x 1
1 tại điểm x
0
1
1
5
x3
1.
C.
2 x2
x
1 1
( x 1)2
1
2
D.
x
lim
x 1
x
3
2x
2
x
1
1
1
4
1
2
1
.
2
Bài 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm chỉ ra
GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
4
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
sin 2x tại x0
Câu 1. f ( x)
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
2
A. 1
B. 2
Bài làm 1. Ta có: f ( x)
f ( x)
lim
x
x
2
Vậy f '
f( )
2
x
2
2
.sin x
2 cos x
2
2
D. 4
sin x
2
2
2
1.
Câu 2. f ( x)
tan x tại x
4
A. 2
f ( x)
Suy ra lim
4
4
x
f
tan x tan
4
(1
f( )
4
1 tan x .tan x
4
tan x) tan x
4
lim
x
x
4
4
D. 31
4
2
4
2.
x 2 sin
Câu 3. f ( x)
0
1
khi x 0
tại x
x
khi x 0
A. 0
B.
Bài làm 3. Ta có: lim
x
Vậy f '(0)
C. 5
B. 4
Bài làm 2. Ta có f ( x)
Vậy f '
2
2 lim
x
2
x
sin 2 x sin
cos x
f( )
2
C. 3
f ( x)
1
2
f (0)
2
3
D. 7
C. 5
D.6
C.
lim x sin
x
0
0.
x
0
1
x
0
0.
Bài 3 Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm chỉ ra
Câu 1. f ( x)
x3 tại x0
1
B. 3
A. 4
Bài làm 1. Ta có: f ( x)
Suy ra: lim
x 1
Vậy f '(1)
f ( x) f (1)
x 1
3.
f (1)
lim x2
x 1
3
1
x
1
x
( x 1)( x
2
x
1)
3
GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
2x
Câu 2. f ( x)
x
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
3
3
khi x
2
2x 7 x
x 1
4
A. 0
lim f ( x)
lim
x 1
x 1
x3
x 1
4
sin 2 x
x
x x2
lim f ( x)
lim x
x
x
x
f (0)
khi x
0
khi x
0
lim
x
x2
x
tại x0
sin 2 x
0
C.3
sin x
x
x2
x
x
1
x
0
sin x
.sin x
x
0
0
1.
x2
x
1
tại x0
x
f ( x) f ( 1)
x 1
lim
lim
D.5
1
x
0
1.
A.2
B.0
Bài làm 4. Ta có hàm số liên tục tại x0
1
1 nên hàm số không có đạo hàm tại x0
1 và
x2
0
x
Câu 4. f ( x)
x
0
0
0 nên hàm số liên tục tại x
lim
x
Nên lim
3x 4)
2
0
lim
f (0)
Vậy f '(0)
lim ( x2
0
x
0
D. Đáp án khác
5
B.2
x
f ( x)
3
hàm số không liên tục tại x
Bài làm 3. Ta có lim f ( x)
lim
C. 5
x 1
A.1
0
1.
x 1
Câu 3. f ( x)
x
tại x0
x 1
2x2 7 x
x 1
lim f ( x)
Dẫn tới lim f ( x)
f ( x)
1
lim 2x
x 1
lim
khi x
B. 4
Bài làm 2. Ta có lim f ( x)
0
1
x
2
x
x
x( x
1)
f ( x) f ( 1)
x 1
f ( x) f ( 1)
x 1
x
x
1
D.đáp án khác
1 và
1
lim
lim
C.3
1
x2 2 x 1
x( x 1)
x2 1
x( x 1)
0
2
f ( x) f ( 1)
f ( x) f ( 1)
lim
x 1
x 1
x
1
x
1
1.
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x0
Do đó lim
Nhận xét: Hàm số y
f ( x) có đạo hàm tại x
x0 thì phải liên tục tại điểm đó.
GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
6
1.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
Bài 4
Câu 1. Tìm a , b để hàm số f ( x)
a
b
A.
23
1
B.
a
b
3
C.
11
x)
2 ; lim f ( x)
1 thì hàm liên tục tại x
lim
x
A. a 10, b 11
Bài làm 2. Ta thấy với x
x
Khi đó: f '(0 )
lim
x
f '(0 )
Vậy a
0, b
f ( x)
x2
2x
1
a
3
1
b
2 (1)
b
1
2
khi x
ax
b khi x
0
0
2 a)
có đạo hàm trên
f ( x) liên tục tại x
b
a
f (0)
0; f '(0 )
x
lim
x
.
0
b
1.
f ( x)
f (0)
x
0
a
0.
1 là những giá trị cần tìm.
Câu 3. Tìm a , b để hàm số f ( x)
A. a
a
a
b
0
0
f '(0 )
b)
D.
B. a 0, b
C. a 0, b 1
D. a 20, b 1
1
khi và chỉ
0 thì f ( x) luôn có đạo hàm. Do đó hàm số có đạo hàm trên
khi hàm có đạo hàm tại x 0 .
Ta có: lim f ( x) 1; lim f ( x)
0
33
31
2
Câu 2. Tìm a,b để hàm số f ( x)
x
1.
x 1
x 2
lim ( x 2) 3
x 1
x 1
x 1
ax b 2
ax a
lim
lim
a (Do b
x 1
x 1
x 1 x 1
a 3
Hàm có đạo hàm tại x 1
.
b
1
lim
a
b
lim (ax
x 1
x 1
Hàm có đạo hàm tại x
f ( x) f (1)
x 1
x 1
f ( x) f (1)
lim
x 1
x 1
x khi x 1
có đạo hàm tại x
b khi x 1
lim ( x2
Bài làm 1. Ta có: lim f ( x)
x 1
x2
ax
11, b
11
Bài làm 3. Ta có lim f ( x)
x
0
x2 1
khi x
x 1
ax b khi x
B. a
1
10, b
có đạo hàm tại điểm x
0.
0
10
f (0); lim f ( x)
x
0
C. a
12, b
12
D. a
1, b
1
b
0
Hàm số liên tục tại x 0 b 1
f ( x) f (0)
f ( x) f (0)
x 1
lim
lim
1 , lim
x
x
x 0
x 0 x 1
x 0
1
Hàm số có đạo hàm tại điểm x 0 a
1, b 1 là giá trị cần tìm.
Vậy a
lim a
x
a
0
GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
1. Quy tắc tính đạo hàm
1.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số
(u1
u2
(uvw)'
u( x)
v( x)
'
u1'
... un )'
u ' vw
uv ' w
u'2
... un'
uvw '
( k.u( x))'
(un ( x))'
nun 1 (x).u '(x)
c
'
u( x)
c.u '( x)
u '( x)v( x) v '( x)u( x)
2
v ( x)
1.2. Đạo hàm của hàm số hợp
Cho hàm số y f (u( x)) f (u) với u
k.u '(x)
u2 ( x )
.
u( x) . Khi đó y 'x
y 'u .u 'x .
2. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản
Đạo hàm
(c)'
( x)'
( x )'
x '
n
Hàm hợp
0
1
x '
1
x
u '
1
u '
2 x
1
n
n
n 1
u '
1
u
.u '
u'
2 u
u'
n
n x
(sin x)' cos x
n un 1
(sin u)' u '.cos u
(cos x)'
(cos u)'
(tan x)'
(cot x)'
sin x
1
2
cos x
1
sin 2 x
tan u '
cot u '
u 'sin u
u'
cos2 u
u'
sin 2 u
Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng công thức
Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tính đạo hàm các hàm số sau:
1. y
x3
3x 2
2x
1
2. y
4
3. y
5. y
x
x2
4
2x 1
x 3
1
4. y
6. y
x3
3x
1
3 2
x
2
x2 2 x 2
x 1
2 x4
1
Lời giải.
GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
8
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
1. Ta có: y '
x3
3x
1
2. Ta có: y '
x3
3x
1
x2
(2 x
5. Ta có: y '
3x 2
'
x3
3
'
8x3
1
2x
(2 x
1)
1) ( x 2
2)( x
(x
1)
2x
3. f ( x)
x2
x
x2
1
2)( x
2)
x2
b
ta có: y '
d
x
1)'
2x
x
Ví dụ 2. Giải bất phương trình f '( x)
x2
2x
2
2
ax
cx
Nhận xét: Với hàm số y
7
( x 3)2
1) ( x2
2)'( x
1)
2
(x
x 4
3x
1)'( x 3) ( x 3)'(2 x
( x2
1. f ( x)
2
2x
( x 3)
6. Ta có: y '
6x
3x 2
1
3 2
x
2
2x4
4. Ta có: y '
'
'
x4
4
3. Ta có: y '
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
1
4
2
ad bc
(cx
d) 2
.
.
0 biết:
1
2. f ( x)
x 2 x2
12
4. f ( x)
4
x
x2
1
Lời giải.
1. TXĐ: D
2; 2
Ta có: f '( x)
4
x2
x2
4
Do đó: f '( x)
4 2 x2
0
2 x2
4
x2
4
x2
0
2
x
12
2x
2.
2. TXĐ: D
Ta có: f '( x)
x
Suy ra: f '( x)
Với x
Với x
x2
2x
1
2
12
x2
0
x
12
12
2x (1)
0 thì (1) luôn đúng
x 0
0 thì (1)
x2 12
Vậy bất phương trình f '( x)
2
0
4 x2
x
0 có nghiệm x
2
2.
3. TXĐ: D
Ta có: f '( x)
2x 1
2 x2
x
2x
1
2 x2
1
x
1
GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
Suy ra f '( x)
0
(1 2 x)(1
1 2x
2 x)
1
2
x
(1 2 x)
2
4. TXĐ: D
1
2
(1
1
2x
3
4
x
2 x)
1
x2
1 2x
2
1
2
x
2
x
1
3
4
0.
2
x
1
2
0
x x
4
x2
1 bất phương trình này vô nghiệm
1)
3
.
4
2 (x
x2
x
0;
Ta có: f '( x)
f '( x)
x2
0
2
1
2
(1 2 x)2 x
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
2 x
( x2
1)3
x6
( x2
1)3
Ví dụ 3. Tính đạo hàm các hàm số sau:
1. y
2 x2
3. y
2 sin2 (2x 1)
5. y
3
3x
1
sin(tan x)
cos x
2. y
5
4. y
tan(sin2 3x)
2x2
1
3x
2
cot 2 (1 2 x3 )
3
cos(cot x)
Lời giải.
1. Ta có: y '
(2 x2
3x
2 2 x2
1)'
4x
2 2 x2
3x 1
1
2. Ta có y '
5
5. ( 2 x
2
1
3x
2)
1
5
5. ( 2 x
3. Ta có: y '
2
1
(2 sin 2 (2 x 1)
2)
4 x sin(4x
4 2 x sin (2x 1)
[1
( 2 x2
1
3x
2)'
4
4
2x
3) .
2 x2
cos x
2) sin x
2
4. Ta có: y '
1
cos x )'
2 2 sin 2 (2 x 1)
.
3x
(
3x
3
1
2 sin(4 x 2)
1
2 x
2 2 sin 2 (2 x 1)
cos x
.
x cos x
tan 2 (sin 2 3x)](sin 2 3x)'
[cot 2 (1 2 x3 )
2
3]'
3
2 cot (1 2 x )
3[1
tan 2 (sin 2 3x)]sin 6 x
sin x
2
2
3
3
6 x [1 cot (1 2 x )]cot(1 2 x 3 )
cot 2 (1 2 x3 )
.
3
GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
10
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
[sin(tan x)
5. Ta có: y '
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
cos(cot x)]'
cos(cot x)]2
3 [sin(tan x)
tan 2 x)cos(tan x)
(1
(1 cot 2 x)sin(cot x)
cos(cot x)]2
3 [sin(tan x)
.
Ví dụ 4. Tính đạo hàm các hàm số sau :
x 2 3x
2x 2
1. f ( x)
1 khi x 1
khi x 1
x 2 cos
2. f ( x)
0
1
khi x 0
2x
khi x 0
Lời giải.
1. Với x
1
x2
f ( x)
3x
Với x
1
Với x
1 ta có: lim f ( x)
f ( x)
2x
2
1
f '( x)
f '(x)
lim x2
x 1
2x
3
2
3x
1
hàm số không liên tục tại x
1
f (1)
1
2x
1
1
cos
2
2x
0
f '(0)
1 , suy ra hàm
x 1
số không có đạo hàm tại x 1
2 x 3 khi x 1
Vậy f '( x)
.
2
khi x 1
2. Với x
Với x
0
0 ta có: lim
x
f ( x)
f '(x )
2x cos
lim x cos
x
0
x
0
1
2x
0
1
1
cos
khi x 0
.
2
2x
khi x 0
2x
Vậy f '( x)
1
2x
f (0)
x2 cos
f ( x)
0
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau
Câu 1. y
A. y '
x4
3x 2
4x
3
2x 1
6x
4 x3
Bài làm 1. Ta có: y '
Câu 2. y
A. y '
x3
3
2x2
2 x2
Bài làm 2. Ta có y '
B. y '
3
6x
4 x4
6x
C. y '
2
4 x3
3x
2
D. y '
4 x3
6x
2
D. y '
x2
4x
1
2
x 1
4x
1
x2
B. y '
4x
3x 2
4x
1
C. y '
1 2
x
3
4x
1
1
GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
11
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
2x 1
x 2
3
Câu 3. y
A.
x
2
B.
2
(2x
Bài làm 3. Ta có y '
x2
Câu 4. y
A.
x2
ax
cx
B.
2
A.
C.
3
C.
2
x
2) ( x
2)'(2 x
1)
2
(x
2)
x2
2x
2
2
D.
2
x
2
2
3
(x
(2 x 1)( x 1) ( x
( x 1)
b
, ac
d
2)2
B.
x
1)
2
x
2
1
2x
D.
2
x 1
2
2
2x
( x 1)2
ad bc
d
ad cb
a
c
b
d
d) 2
(cx
(cx
C.
2
2ab ' x
(a ' x
Bài làm 6. Ta có: y '
(a ' x
(2ax
B.
D.
b ') a '(ax 2
b)( a ' x
(a ' x
b ')
d
D.
2
ad bc
cx d
0.
2
2ab ' x
bc
d) 2
bb ' a ' c
b ')
ad
cx
2ab ' x bb ' a ' c
( a ' x b ')
aa ' x2
2x
x
2
cx
ax2 bx c
, aa '
a' x b'
aa ' x2
x2
0
a
c
aa ' x2
C.
2
x 1
Bài làm 5. Ta có y '
Câu 6. y
x
1)'( x
2x
Bài làm 4. Ta có y '
Câu 5. y
3
x 1
x 1
x 1
A.
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
bb ' a ' c
2
b ')
bx
aa ' x2
2ab ' x
(a ' x
aa ' x2
bb ' a ' c
b ')2
2ab ' x bb ' a ' c
(a ' x
b ')2
c)
2
.
Bài 2 Tính đạo hàm các hàm số sau
Câu 1. y
x x2
1
GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
12
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
A.
2 x2
2 x
1
2
1
x
x2
x ' x2
x2
12
5
x2
2x
2
1
x2
1
x2
1 'x
1
(x
2
D.
2x2
1
2
1
1
2
x
1)'
2 x2
.x
1
.
2x
1
3x
5)2
(2 x
4
2
(2 x 2)( x2
12(2 x
5)
(2 x
2x2
5)
6x
5
2x
5
3
12
4
5)3
(2 x
2
C.
4
1
2
1)
2x2
6x
x2
1) 2 x( x 2
(x
B.
2 tan x
sin2 (3x
A. 3sin(6x
2x
2)
2
2x2
(x
1
6x
2
2
D.
2
2x2
6x
x2
1
2
2
2
1)
2
(3x
1) x2
x
2 3x
2 tan x)'
2 3x
2 tan x
C.
2 tan x
2
3
2(1 tan x)
2 3x
B. sin(6x
2)
5x
5 2 tan 2 x
2 tan x
2 tan 2 x
5
2 3x
2 tan x
D.
5 2 tan 2 x
2 3x
2 tan x
2
5
2 tan x
2 3x
2 tan x
1)
Bài làm 5. Ta có: y '
2
2x
12
D.
3
'
x2
Bài làm 4. Ta có: y '
4 x2
5
6
C.
3
2 tan x
2 3x
(x
5)
B.
2 tan2 x
5
2 x
3 (2 x
2
Bài làm 3. Ta có y '
Câu 4. y
12
1
6x
x2
A.
x
1
x2
2 2x
Câu 3. y
Câu 6. y
2 x2
B.
4
Bài làm 2. Ta có: y '
Câu 5. y
1
x2
1
4x2
C.
5)2
(2 x
2x
A.
2
1
x2
1
1
3
A.
A.
x2
B.
Bài làm 1. Ta có: y '
Câu 2. y
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
2 sin(3x
x
3
1
C. 3sin(6x
2)
1). sin(3x
1)
'
2)
2 sin(3x 1).3cos(3x
1)
D. 3cos(6x
3sin(6x
2)
2) .
1.
B.
4 x2
2 x
5x
2
x
3
1
C.
4 x2
x
2
5x
x
3
1
D.
4 x2
2 x
2
5x
3
x
1
GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
13
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
x2
Bài làm 6. Ta có y '
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
x
1
(x
2x
1)
2 x
2
4 x2
1
x
1
2 x
5x
3
x
1
2
Bài 3. Tính đạo hàm các hàm số sau
x7
Câu 1. y
( x7
A. y '
C. y '
Bài làm
6
1)
1)
B. y '
2( x7
D. y '
7
2( x
x)(7 x6
C. y '
12x3
4x
x)
1)
1.Đáp án D
x2
1 5 3x 2
x3
A. y '
x3
B. y '
4x
4x
12x3
D. y '
4x
2. Ta có: Đáp án D
2x
Câu 3. y
A.
x)(7 x6
2(7 x
Câu 2. y
Bài làm
2
x
2
1
2
2
x
2x
(x
2
1)
2
2( x
Bài làm y '
2
2
1)
3x 2
6x
Bài làm y
10x4
x3
3x 2
A. y '
C. y '
5
(x
2
2
1)
D.
2
2 x2
(x
2
2
1)
2
2
1)
2
B. y '
y'
40x3
40x3
3x 2
3x 2
6x
C. y '
40x3
B. y '
3 4
D. y '
3 4
B. y '
2( x2
3x 2
6x D. y '
40x3
3x 2
6x
3
3 4
10
5
2
5
x2
2
x2
10
3 4
Câu 6. y
2)3 ( x
3( x2
4x
x3
Bài làm y '
A. y '
2
2 x2
x2
4x
(x
1)
2
C.
1 5x 3
40x2
4x
(x
2
343
2
2x
2
A. y '
Câu 5. y
(x
1) 2 x.2 x
(x
x2 2 x
Câu 4. y
2x2
B.
x3
5x
4x
5
10
x3
10
x3
4x
4x
2
5
x2
5
2
x2
2
x2
3)2
6)3
2(x
3)(x
2)3
5x
6)2
3( x
3)( x
2)3
GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
14
x
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
3( x2
C. y '
3( x2
Bài làm y '
x3
Câu 7. y
5x
3x
x
3x
2 x
x2
A. y '
C. y '
2( x
2)3
3)( x
3x2
6x
3
2
2 x
3x
C. y '
2
3x2
6x
3
2
2 x
3x
D. y '
3x2
2 x
2
3
6x
3x 2
2
1
x
1
2 x
1
1
2x
x
B. y '
2x
x
1
D. y '
2x
x
1
x
2 x 1
x
2 x
1
x
1
2 x
1
x
a
2
x2
a2
A. y '
( a2
x2
Bài làm y '
B. y '
x 2 )3
a2
( a2
a2
( a2
x 2 )3
2a2
C. y '
( a2
x 2 )3
D. y '
a2
( a2
x 2 )3
x2
a2
x2 )
a2
x2
( a2
x 2 )3
1
x x
3 1
A. y '
2 x2 x
B. y '
( x x )'
Bài làm y '
A. y '
6)2
5x
6x
x
2 x
3( x2
2)3
3)( x
x
Câu 9. y
Câu 11. y
2
3x 2
x x
Bài làm y '
Câu 10. y
D. y '
2)
B. y '
2
2
3
2x
2( x
6x
3x
Bài làm y '
3)( x
2
2
3
2( x
6)2
5x
3x 2
A. y '
Câu 8. y
6)
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
x
1
3
1
x
2
C. y '
x
1
x
2
x
D. y '
3 1
2 x2 x
3 1
2 x2 x
x
1 x
1 3x
(1 x)
3
B. y '
1 3x
3 (1 x)
3
C. y '
1 1 3x
3 2 (1 x)3
D. y '
1 3x
2 (1 x)3
GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
15
2
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
1
1 x
x
1 3x
2 1 x
1 x
Bài làm y '
Câu 12. y
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
2 (1 x)3
sin 2 3x
A. y '
B. y '
sin 6x
Bài làm y '
3 tan2 x
3 3 tan 2 x
2
3 tan 2 x
cot 2 x
D. y '
3 tan x(1 tan x) (1 cot 2 2 x)
3 tan 2 x
cot 2 x
2
3 tan x(1 tan x) (1 cot 2 x)
3 tan 2 x
3
x3
cos4 (2 x
3x2
3
8 cos 3 (2 x
A. y '
cot 2 x
)
4
) sin(2 x
4
3x2
)
6x2
cos 4 (2 x
8 cos3 (2 x
C. y '
4
3
) sin(2 x
4
3x2
)
3x2
cos 4 (2 x
8 cos 3 (2 x
4
3
8 cos 3 (2 x
4
4
)
4
3
)
) sin(2 x
4
)
3
3 3 x3
) sin(2 x
) sin(2 x
cos 4 (2 x
D. y '
)
4
3
4 3 x3
)
3
3 3 x3
8 cos 3 (2 x
B. y '
3
3 3 x3
cos 4 (2 x
3
)
)
3
3 3 x3
Câu 16. y
2 3 tan 2 x
cot 2 x
2
Bài làm y '
Bài làm y '
3 tan x(1 tan 2 x) (1 cot 2 2 x)
2
3 tan x(1 tan x) (1 cot 2 x)
C. y '
A. y '
B. y '
cot 2 x
2
Câu 15. y
3sin 6x
cot 2x
3 tan x(1 tan 2 x) (1 cot 2 2 x)
A. y '
Bài làm y '
D. y '
2 sin 6x
3sin 6x
Câu 13. y
Câu 14. y
C. y '
3sin 3x
2 sin x2
cos 4 (2 x
3
)
2
x cos( x2
4x cos( x2
2)
B. y '
4 cos( x2
2)
C. y '
2x cos( x2
2)
D. y '
4x cos( x2
2)
cos2 sin 3 x
GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
16
2)
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
A. y '
sin(2sin3 x)sin2 x cos x
B. y '
6sin(2sin3 x)sin2 x cos x
C. y '
7 sin(2sin3 x)sin2 x cos x
D. y '
3sin(2sin3 x)sin2 x cos x
3sin(2sin3 x)sin2 x cos x
Bài làm y '
x
sin x
sin x
Câu 17. y
A. y '
cos x
2
sin x
sin x x cos x
Bài làm y '
cos x
3sin x
cot3 x 1
sin x cos x
sin x
D. y '
B. y '
3cot 4 x 1
C. y '
cot 4 x 1
D. y '
4
cot x
3
cot 2 x(1 cot 2 x) 1 cot 2 x
y'
x 3 sin
Câu 19. f ( x)
0
0
sin x
Bài làm x
0
x
f '(0)
f '( x)
lim
x
0
1
x
f (0)
3x2 sin
f ( x)
x
x cos
f' 1
' 0
1
1
x cos
khi x
x
x
khi x 0
f '(1)
'(0)
. Biết rằng : f ( x)
4
8
B.
B. f '( x)
0
D. f '( x)
1
1
x cos
khi x
x
x
khi x 0
3x 2 sin
1
1
cos
khi x
x
x
khi x 0
3x2 sin
0
0
0
1
x
0
3x 2 sin
0
cot 4 x
cot x
0
1
1
x cos
khi x
x
x
khi x 0
0
Bài 4. Tính
x cos x
2
1
khi x 0
x
khi x 0
3x 2 sin
C. f '( x)
f '( x)
sin x
cot 4 x 1
1
1
x cos
khi x
x
x
khi x 0
0
0
1
cot 3 x
3
x 2 sin
A. f '( x)
A.
C. y '
1
cot x(1 cot 2 x)
3
Bài làm y
Vậy
sin x x cos x
sin x
4
cot x
3
3
A. y '
Với
B. y '
sin 2 x
Câu 18. y
Suy ra
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
0
.
x2 và
f '(1)
'(0)
( x)
2
8
4x
sin
x
.
2
C.
f '(1)
'(0)
4
D.
f '(1)
'(0)
4
8
GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
17
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
Bài làm Bài 4. f '( x)
f '(1)
Suy ra '(0)
2x
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
f '(1)
2; '( x)
4
2
x
2
cos
'(0)
4
2
4
.
8
Bài 6. Tìm m để các hàm số
(m 1)x3
Câu 1. y
A. m
3
Bài làm 1. Ta có: y '
Do đó y '
(m 1)x2
0
1 thì (1)
m
1 thì (1) đúng với
m 1
( m 1)(4
mx3
3
A. m
2)x 2(m
2)x 2(m
a m 1
' 0
C. m
4
D. m
4 2
C. m
0
D. m
0
2)
0 (1)
2)
1 nên m
x
x
m
0
mx2
1 (loại)
0
4
0
2
mx
B. m
2
mx
2mx
2
2mx
0 thì (1) trở thành:
m
0 , khi đó (1) đúng với
1
m 0
1 2m
0
2
.
0 (2)
0 đúng với
x
a m 0
' 0
x
m
0
0, x
3m 1
3m 1
m
m 0
m(1 2m)
1 có y '
(3m 1)x
Bài làm 2. Ta có: y '
Vậy m
2( m
0, x
4 là những giá trị cần tìm.
Câu 2. y
Nên y '
1
2
0
1 có y '
2)x
B. m
2(m
6x 6
m)
6(m
3 ( m 1)x
m
Vậy m
2)x2
3(m
0
0 là những giá trị cần tìm.
Bài 7. Tính đạo hàm của các hàm số sau
Câu 1. f ( x)
x 2 sin
0
A. f '( x)
1
khi x 0
x
khi x 0
x sin
0
1
x
cos
1
khi x 0
x
khi x 0
B. f '( x)
x sin
0
1
x
1
khi x
x
khi x 0
x cos
0
GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
18
NGUYỄN BẢO VƯƠNG
2 x sin
C. f '( x)
1
x
1
khi x
x
khi x 0
x cos
0
Bài làm 1. Với x
Tại x
f ( x)
1
x
cos
x
1 khi x
1
x 1
3 khi x
1
2 x sin
Vậy f '( x)
f (0)
x
0
x2
Câu 2. f ( x)
2 x khi x 1
1
khi x
2 x 1
A. f '( x)
2x
C. f '( x)
0
1 ta có:
lim
x 1
B. f '( x)
1
1
f ( x) f (1)
x 1
0
1 khi x 1
1
khi x 1
x 1
2x
D. f '( x)
khi x 1
x 1
Bài làm 2. Với x 1 ta có: f '( x)
Tại x
1
khi x
x
khi x 0
cos
.
2x
1 khi x
1 ta có: f '( x)
1
x
0
1
Với x
2 x sin
D. f '( x)
2 x sin
1
khi x
x
khi x 0
0
0
1
1
cos
x
x
1
lim x sin
0
x 0
x
0 ta có: f '( x)
0 ta có: lim
x
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
1 khi x
1
2 x 1
2x
1
khi x
1
1
1
2 x 1
lim
x 1
x2
x 2
x 1
3
f ( x) f (1)
x 1
lim
suy ra hàm số không có đạo
x 1
x 1 x 1
hàm tại x 1
2 x 1 khi x 1
Vậy f '( x)
.
1
khi x 1
2 x 1
lim
x 1
Bài 8. Tìm a , b để các hàm số sau có đạo hàm trên
x2
Câu 1. . f ( x)
A.
a
b
x
13
1
Bài làm 1 Với x
x
2
1
ax
khi x
1
b khi x
B.
1
a
b
3
11
C.
a
b
23
21
D.
a
b
3
1
1 thì hàm số luôn có đạo hàm
GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
19