Tài liệu hình thành kĩ năng tư duy cho học sinh lớp 4, lớp 5 thông qua dạy học giải toán(tom tat) (Hỗ trợ tải tài liệu zalo 0587998338)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỖ TÙNG HÌNH THÀNH KĨ NĂNG TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 4 , LỚP 5 THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số: 62.14.01.11 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ GIÁO DỤC HỌC HÀ NỘI – 2014 1 Luận án được hoàn thành tại TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Vũ Quốc Chung Phản biện 1: GS.TSKH. Nguyễn Bá Kim Trường ĐHSP Hà Nội Phản biện 2: PGS.TS. Vũ Dương Thụy Nhà xuất bản Giáo dục Phản biện 3: PGS.TS. Trịnh Thanh Hải Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại: ………………………………………………………… Vào hồi … giờ … ngày … tháng … năm 2014 Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: 1. Thư viện Quốc Gia 2. Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 NHỮNG CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ 1. Đỗ Tùng (2009), Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh tiểu học thông qua giải bài tập toán, Tạp chí khoa học, Trường ĐHSP HN, số 54, trang 9-15. 2. Đỗ Tùng (2010), Hình thành kỹ năng tư duy cho học sinh tiểu học thông qua dạy học giải toán, Tạp chí Giáo dục, số 243, trang 45-47. 3. Đỗ Tùng (2013), Thực trạng hình thành kỹ năng tư duy cho học sinh tiểu học thông qua dạy học giải toán, Tạp chí Giáo dục, số 323, trang 37-38. 4. Đỗ Tùng (2013), Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ cho học sinh lớp 4, lớp 5 thông qua dạy học giải toán, Tạp chí Giáo dục, số đặc biệt tháng 12. 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Nhu cầu đổi mới giáo dục trong bối cảnh hiện nay Bước sang thế kỷ XXI, yêu cầu về nguồn nhân lực có chất lượng ngày càng trở thành vấn đề hết sức bức thiết đối với mỗi quốc gia, nó đóng vai trò quyết định trong sự phát triển và thành công của mỗi nước trong xu thế hội nhập quốc tế ngày càng sâu rộng và cạnh tranh trên trường quốc tế ngày càng gay gắt. Sự phát triển mạnh mẽ của nền kinh tế tri thức và xu hướng toàn cầu hóa đang trở thành thách thức đối với việc đào tạo nguồn nhân lực của mỗi quốc gia. Ở Việt Nam, trong nhiều năm qua, Đảng và Nhà nước ta luôn quan tâm và coi trọng phát triển giáo dục. Năm 2013, Hội nghị lần thứ 8 Ban chấp hành Trung ương Đảng (khóa XI) đã thông qua Nghị quyết về “Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo”, trong đó khẳng định: Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kĩ năng, phát triển năng lực. Thực tiễn cho thấy, để thành công trong cuộc sống, con người cần phải có nhiều kiến thức, nhiều kinh nghiệm trên nhiều lĩnh vực. Song nếu chỉ có kiến thức thôi thì chưa đủ. Chính vì vậy, cần phải đổi mới phương pháp dạy học các môn học trong nhà trường nói chung, môn Toán nói riêng trong đó hướng tới việc tích cực hóa người học, không chỉ hướng đến mục tiêu trang bị kiến thức và cần nhấn mạnh đến việc hình thành và phát triển năng lực tư duy cho học sinh. 1.2. Mục tiêu dạy học môn Toán ở Tiểu học và thực trạng dạy học giải toán Trong dạy học môn Toán, bên cạnh việc cung cấp tri thức, rèn luyện kĩ năng tính toán, cần chú trọng rèn luyện cho học sinh tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, phát triển khả năng suy đoán và tưởng tưởng, rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản và hình thành ở học sinh những phương pháp suy nghĩ và làm việc của khoa học toán học. Môn Toán ở Tiểu học gồm năm mạch kiến thức trong đó giải toán là nội dung đóng vai trò rất quan trọng, xuyên suốt các mạch kiến thức của chương trình môn Toán ở Tiểu học. Thông qua giải toán không những giúp học sinh luyện tập, củng cố, vận dụng kiến thức đã học mà còn là cơ hội tốt để rèn luyện và phát triển tư duy cho các em. Tuy nhiên, qua khảo sát việc dạy học toán ở Tiểu học chúng tôi nhận thấy nhiều giáo viên còn ít chú trọng đến việc tổ chức dạy học giải toán để thông qua đó hình thành, rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh mà thường chỉ quan tâm đến dạy cho HS kỹ 1 năng giải toán. Một số giáo viên còn tập trung vào dạy cho học sinh giải mẫu các bài toán hay các dạng toán cụ thể để sau đó các em áp dụng “khuôn mẫu” này để giải các bài toán khác một cách máy móc. Trong đánh giá kết quả giải toán của học sinh, giáo viên thường chỉ tập trung đánh giá kết quả và lời giải bài toán của học sinh, chưa xem xét, quan tâm đầy đủ đến quá trình suy nghĩ, lập luận của các em trong hoạt động giải toán. 1.3. Thực tế nghiên cứu về kĩ năng tư duy trong dạy học giải toán ở Tiểu học Mặc dù vấn đề rèn luyện và phát triển tư duy, năng lực tư duy cho học sinh được các nhà giáo dục, các nhà nghiên cứu trong và ngoài nước rất quan tâm nhưng theo những tài liệu chúng tôi tiếp cận được thì hiện nay việc nghiên cứu vấn đề hình thành các kĩ năng tư duy cho học sinh cuối cấp tiểu học thông qua dạy học toán nói chung, dạy học giải toán nói riêng còn chưa được chú ý một cách đầy đủ cả về lí luận và thực tiễn. Với tất cả các lý do nêu trên chúng tôi chọn vấn đề: "Hình thành kĩ năng tư duy cho học sinh lớp 4, lớp 5 thông qua dạy học giải toán" làm nội dung nghiên cứu của đề tài. 2. Mục đích nghiên cứu Đề xuất một số biện pháp hình thành kĩ năng tư duy trong giải toán cho học sinh lớp 4, lớp 5 thông qua dạy học giải toán nhằm nâng cao hiệu quả hoạt động dạy học Toán ở trường Tiểu học. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Làm rõ cơ sở lý luận và thực tiễn về việc hình thành kĩ năng tư duy thông qua dạy học giải toán cho học sinh lớp 4, lớp 5. - Đề xuất một số biện pháp hình thành kĩ năng tư duy trong giải toán cho học sinh lớp 4, lớp 5 thông qua dạy học giải toán. - Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính hiệu quả, khả năng triển khai các biện pháp đã đề xuất vào trong thực tế. 4. Đối tượng, khách thể nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các kĩ năng tư duy trong giải toán của học sinh lớp 4, lớp 5. - Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học giải toán ở lớp 4, lớp 5. 5. Giả thuyết khoa học Nếu: - Chỉ ra được các biểu hiện của kĩ năng tư duy trong giải toán của học sinh lớp 4, lớp 5; - Đồng thời đề xuất được các biện pháp dạy học giải toán tác động thúc đẩy các biểu hiện của kĩ năng tư duy; Thì sẽ góp phần hình thành kĩ năng tư duy cho học sinh và nâng cao chất lượng dạy học toán ở Tiểu học. 2 6. Phương pháp nghiên cứu Để hoàn thành các nhiệm vụ nghiên cứu đạt được mục đích nói trên, chúng tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu chủ yếu sau: Phương pháp nghiên cứu lí luận; phương pháp điều tra khảo sát, thống kê; phương pháp thực nghiệm sư phạm. 7. Những vấn đề đưa ra bảo vệ - Quan niệm về kĩ năng tư duy cùng các biểu hiện cụ thể của kĩ năng tư duy trong giải toán ở Tiểu học. - Các biện pháp hình thành kĩ năng tư duy cho học sinh lớp 4, lớp 5 thông qua dạy học giải toán. 8. Đóng góp của luận án 8.1. Về mặt lý luận: Chỉ ra được biểu hiện của KNTD trong giải toán của HS tiểu học, các mức độ biểu hiện của KNTD và các tiêu chí đánh giá kĩ năng này, từ đó định hướng cho việc hình thành các KNTD thông qua dạy học giải toán cho HS lớp 4, lớp 5. 8.2. Về mặt thực tiễn: Đề xuất các biện pháp giúp giáo viên dạy học theo hướng hình thành các kĩ năng tư duy cho học sinh lớp 4, lớp 5 thông qua dạy học giải toán; Tổ chức một số giờ dạy theo hướng phát triển kĩ năng tư duy cho học sinh. 9. Cấu trúc của luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung chính của luận án gồm: Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương 2. Một số biện pháp hình thành kĩ năng tư duy cho học sinh lớp 4, lớp 5 thông qua dạy học giải toán Chương 3. Thực nghiệm sư phạm Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Tổng quan vấn đề nghiên cứu Nghiên cứu về tư duy, rèn luyện và phát triển năng lực tư duy nói chung, tư duy toán học nói riêng được nhiều nhà nghiên cứu, nhà giáo dục trong và ngoài nước quan tâm. 1.1.1. Tình hình nghiên cứu ngoài nước 1.1.2. Tình hình nghiên cứu trong nước Có thể thấy trên thế giới và tại Việt Nam, các nghiên cứu về tư duy, năng lực tư duy,... và tác động đến học sinh trong quá trình học tập để phát triển, nâng cao năng lực tư duy cho học sinh đã được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. Các nghiên cứu chỉ rõ rằng hoàn toàn có thể trang bị các kĩ năng tư duy cho học sinh bằng cách sử dụng chương 3 trình được thiết kế riêng để dạy cho học sinh các kĩ năng tư duy hoặc lồng ghép dạy các kĩ năng này ngay trong nội dung giảng dạy các môn học ở trường. Từ sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước nhằm phát triển năng lực tư duy, kĩ năng tư duy của học sinh cho thấy sự cần thiết của vấn đề này. Tuy nhiên, có thể thấy, cách tiếp cận khái niệm KNTD còn có nhiều quan niệm khác nhau, trong các nghiên cứu đã có chưa có nghiên cứu nào chỉ ra được biểu hiện cụ thể của KNTD trong giải toán cũng như chưa đề xuất được các tiêu chí đánh giá KNTD trong giải toán của HS Tiểu học. Đây chính là một trong những nội dung chính mà luận án tập trung nghiên cứu, làm rõ. 1.2. Tư duy và kĩ năng tư duy 1.2.1. Tư duy 1.2.1.1. Khái niệm tư duy Có nhiều cách diễn đạt khác nhau về tư duy nhưng điểm chung của các phát biểu trên là: Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan. Theo quan điểm của một số nhà Tâm lí học thì có thể chia thành ba loại hình tư duy như sau: Tư duy trực quan (còn gọi là tư duy cụ thể), tư duy trừu tượng (còn gọi là tư duy ngôn ngữ - lôgic), tư duy trực giác 1.2.1.2. Tư duy toán học 1.2.1.3. Phát triển tư duy của học sinh thông qua dạy học môn Toán Thông qua môn Toán rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng cho học sinh, rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản và hình thành những phẩm chất trí tuệ cho các em. 1.2.2. Kĩ năng tư duy 1.2.2.1. Kĩ năng Các quan niệm về kĩ năng rất đa dạng và còn có điểm khác nhau tùy theo cách nhìn chủ quan của các nhà nghiên cứu khi nhấn mạnh mặt này hay mặt kia của kĩ năng. Tuy nhiên, về cơ bản, các quan niệm này không có sự mâu thuẫn, trái ngược nhau, đều xoay quanh cốt lõi: Kĩ năng là khả năng thực hiện một hoạt động của con người. Có thể thấy giữa kĩ năng và khả năng, năng lực có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, cái này tạo điều kiện cho cái kia phát triển: Khả năng ở dạng tiềm tàng, là tiền đề để có năng lực và kĩ năng; năng lực sẽ quyết định mức độ và tốc độ hình thành kĩ năng, là sự hiện thực hóa khả năng; kĩ năng là mặt hiện thực hóa và là biểu hiện của năng lực (kĩ năng là một nội dung và là biểu hiện thực tế của năng lực, có năng lực thì hình thành kĩ năng nhanh hơn, hiệu quả hơn). 4 Với cách tiếp cận khái niệm kĩ năng như trên, có thể thấy được: - Kĩ năng là một dạng năng lực hành động, kĩ năng bao giờ cũng gắn với hành động, nhiệm vụ, lĩnh vực, hoàn cảnh và con người cụ thể và mỗi kĩ năng bao gồm những kĩ năng thành phần tạo nên nó. - Kĩ năng không phải tự nhiên có được mà nó là sản phẩm của hoạt động thực tiễn trong đó, con người phải vận dụng những tri thức và kinh nghiệm vào hoạt động thực tiễn để đạt được mục đích đề ra. - Kĩ năng có thể được phát triển từ mức độ thấp đến cao thông qua hoạt động giáo dục, tự giáo dục và thông qua hoạt động đào tạo, tự đào tạo. 1.2.2.2. Kĩ năng tư duy a) Khái niệm Hiện nay, các nhà nghiên cứu vẫn chưa thống nhất trong việc đưa ra định nghĩa thế nào là kĩ năng tư duy. Mỗi nhà nghiên cứu lại có quan niệm nhìn nhận trên những khía cạnh khác nhau và thường tập trung vào mô tả, chỉ ra những đặc trưng của kĩ năng tư duy. Trong nghiên cứu của mình, chúng tôi quan niệm kĩ năng tư duy là kĩ năng thực hiện một hệ thống các thao tác: thu thập thông tin, phân tích, phê phán, tổng hợp để phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo. b) Kĩ năng tư duy của học sinh tiểu học Đối với giáo dục tiểu học sau năm 2015, cùng với phẩm chất/giá trị và tri thức văn hóa, khoa học (nhận thức) thì học sinh cần phải được trang bị kĩ năng tư duy (biết thực hiện các thao tác tư duy cơ bản như so sánh, phân tích, tổng hợp, phân loại, khái quát hóa,…), kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, và biết cách học, bước đầu biết cách tự học. c) Kĩ năng tư duy của học sinh tiểu học trong giải toán Trong hoạt động giải toán học của học sinh tiểu học, kĩ năng tư duy biểu hiện thông qua các kĩ năng thành tố sau: - Kĩ năng phân tích tìm hiểu đề toán; - Kĩ năng suy luận tìm hướng giải bài toán; - Kĩ năng phát hiện mối quan hệ trong đề toán và tìm cách giải bài toán; - Kĩ năng diễn đạt, trình bày lời giải bài toán; - Kĩ năng đánh giá lời giải bài toán. d) Phân bậc các cấp độ kĩ năng tư duy trong giải toán ở cấp Tiểu học Mức độ 1. Học sinh có thể nhận biết, ghi nhớ, nhắc lại được các dạng toán đã học (trong sách giáo khoa) khi được yêu cầu và biết giải các bài toán này. 5 Mức độ 2. Học sinh có thể kết nối, huy động, sắp xếp lại các kiến thức đã học để giải được các bài toán tương tự hoặc gần với các ví dụ học sinh đã được học. Mức độ 3. Học sinh có thể giải được bài toán mới, khác cơ bản với bài toán đã được hướng dẫn bằng vốn kĩ năng và kiến thức đã có. 1.2.3. Biểu hiện kĩ năng tư duy trong giải toán của học sinh tiểu học 1.2.3.1. Kĩ năng phân tích tìm hiểu đề toán - Nhận biết được cái đã cho, cái cần tìm và mối quan hệ giữa chúng. - Biết tóm tắt đề bài toán (thu gọn) - Biết đánh dấu các từ, cụm từ quan trọng trong đề bài - Biết sơ đồ hóa đề bài toán - Biết phát biểu bài toán dưới các dạng khác nhau. 1.2.3.2. Kĩ năng suy luận để tìm hướng giải bài toán - Biết sử dụng các kiến thức đã có để vận dụng giải toán. - Biết tách bài toán đã cho thành các bài toán đơn (hoặc đã biết cách giải). - Biết liên hệ với các bài toán tương tự trong hoạt động giải toán 1.2.3.3. Kĩ năng phát hiện các mối quan hệ trong đề toán và tìm cách giải bài toán - Biết nhận biết dữ kiện, điều kiện của bài toán đã cho. - Biết phát hiện mối quan hệ giữa các dữ kiện và điều kiện của bài toán. - Biết chỉ ra vấn đề (câu hỏi) của bài toán và dạng bài toán. - Biết giải bài toán bắt đầu từ đâu. - Biết huy động kiến thức đã học để tìm cách giải bài toán. - Biết lựa chọn công cụ phù hợp để giải toán. - Biết tiến hành mỗi bước giải toán. - Biết đặt những câu hỏi thích hợp, rõ ràng, chính xác về vấn đề đặt ra. - Biết hợp tác, làm việc nhóm để giải quyết những vấn đề phức tạp. 1.2.3.4. Kĩ năng diễn đạt, trình bày lời giải - Biết thực hiện thao tác tổng hợp để trình bày các bước giải dựa trên quá trình phân tích một cách rõ ràng. - Trình bày rõ ràng lời giải. - Dùng từ ngữ chính xác. - Thực hiện các phép tính chính xác 1.2.3.5. Kĩ năng đánh giá lời giải. - Kiểm tra kết quả giải toán. - Rà soát lại các bước giải toán, quá trình lập luận để giải toán. 6 - Biết xem xét lại quá trình phân tích, lập luận, suy luận trong quá trình giải toán. - Biết đánh giá (kiểm tra lại) kết quả và đánh giá thực hiện lời giải của mình/của bạn. - Biết so sánh các cách giải để tìm lời giải tối ưu. - Biết nhận ra sai lầm và nguyên nhân sai lầm, cách sửa sai và học được từ các sai lầm đã gặp để tránh các sai lầm khác. - Biết suy nghĩ các mối quan hệ trong bài toán theo hai chiều thuận nghịch. - Biết giải bài toán trong tình huống mới (ra đề toán mới). - Biết khái quát hóa, đặc biệt hóa từ bài toán đã giải. 1.2.4. Đánh giá kĩ năng tư duy trong dạy học giải toán ở tiểu học 1.2.4.1. Đánh giá qua quan sát 1.2.4.2. Đánh giá qua trình bày của học sinh 1.2.4.3 Đánh giá qua bài kiểm tra 1.2.4.4. Đánh giá thông qua việc nhìn lại quá trình (tự đánh giá) 1.3. Những căn cứ để hình thành kĩ năng tư duy cho học sinh thông qua dạy học giải toán 1.3.1. Mục tiêu và nội dung dạy học môn Toán ở Tiểu học 1.3.2. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học ở Tiểu học Trước yêu cầu về việc phát triển nguồn nhân lực và hội nhập quốc tế, Việt Nam đang chuẩn bị cho việc đổi mới chương trình, sách giáo khoa phổ thông sau năm 2015 trong đó chuyển từ mô hình giáo dục chú trọng truyền thụ tri thức sang mô hình giáo dục phát triển phẩm chất và năng lực người học. Định hướng phát triển chương trình giáo dục phổ thông sau năm 2015 tập trung vào một số nội dung: Mục tiêu giáo dục; Nội dung giáo dục; Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học; Tổ chức và quản lý; Đổi mới căn bản hình thức và phương pháp kiểm tra, thi và đánh giá chất lượng giáo dục theo yêu cầu phát triển năng lực và phẩm chất người học, hướng tới sự thành công của người học. 1.3.3. Đặc điểm nhận thức của học sinh lớp 4, lớp 5 Tư duy là quá trình nhận thức quan trọng nhất, là cốt lõi của hoạt động nhận thức, nó phản ánh các dấu hiệu, các mối liên hệ và quan hệ bản chất có tính quy luật của các sự vật và hiện tượng khách quan. Tư duy của học sinh cuối bậc Tiểu học cũng có nhiều thay đổi so với học sinh các lớp đầu cấp. Các phẩm chất tư duy chuyển dần từ tính cụ thể, trực quan – hình tượng sang tư duy trừu tượng, khái quát; hoạt động tư duy mang tính tích cực, chủ động hơn so với học sinh đầu cấp tiểu học. Học sinh lớp 4, lớp 5 đã có khả năng khái quát trên cơ sở phân tích, tổng hợp và trừu tượng hóa đối với các sự vật, 7 hiện tượng mà học sinh đã có trong vốn tri thức của mình. Việc giảm bớt yếu tố trực quan – hình tượng đã tạo điều kiện cho yếu tố ngôn ngữ, ký hiệu, mô hình trong tư duy của học sinh phát triển, làm tiền đề cho phát triển tư duy ở mức độ cao hơn. 1.3.4. Hoạt động dạy học giải toán ở Tiểu học Dạy học giải toán không chỉ có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải bài toán. Giáo viên cần phải nhận thức sâu sắc và hiểu rằng việc giúp cho học sinh biết lời giải bài toán không quan trọng bằng việc giúp cho học sinh biết cách tìm cách giải bài toán đó như thế nào, vì vậy cần trang bị những hướng dẫn, những gợi ý để HS biết cách suy nghĩ, phân tích tìm hiểu bài toán để từ đó tìm tòi, phát hiện ra cách giải bài toán. Theo Nguyễn Bá Kim, dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải một bài toán thường được tiến hành theo bốn bước như sau: Tìm hiểu nội dung đề bài; Tìm cách giải; Trình bày lời giải; Nghiên cứu sâu lời giải. 1.4. Thực trạng hình thành kĩ năng tư duy cho học sinh lớp 4, lớp 5 thông qua dạy học giải toán ở một số trường tiểu học Chúng tôi đã tiến hành khảo sát 247 giáo viên đã và đang dạy toán cho học sinh lớp 4, lớp 5 đại diện cho 3 vùng thành phố, nông thôn, miền núi của tỉnh Phú Thọ và tỉnh Vĩnh Phúc. Mục đích khảo sát là tìm hiểu thực trạng hoạt động dạy học giải toán và hình thành kĩ năng tư duy cho học sinh trong dạy học giải toán của giáo viên trường Tiểu học hiện nay, làm cơ sở cho việc nghiên cứu, đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm hình thành kĩ năng tư duy cho học sinh lớp 4, lớp 5 thông qua dạy học giải toán. Qua khảo sát dạy học toán ở trường Tiểu học, rút ra một số nhận xét sau: Thông qua kết quả khảo sát thực tế hoạt động dạy học giải toán ở trường Tiểu học, nhận thấy: - GV nhận thức được vai trò của dạy học giải toán và quan tâm đến việc hình thành KNTD trong giải toán cho HS nhưng lại chưa thực sự có những phương pháp thực hiện có hiệu quả. - Phần lớn HS có KNTD trong giải toán ở mức độ nhận biết được và có thể giải được các bài toán tương tự với các bài toán đã được học. Trong quá trình giải toán, các em tập trung chủ yếu vào việc giải các bài toán, dạng toán theo mẫu nên gặp các bài toán khác dạng hay bài toán yêu cầu phải vận dụng, suy luận thì thường lúng túng, không biết phải bắt đầu từ đâu, làm như thế nào để giải được bài toán. Nhiều HS chưa quan tâm đến việc trình bày lời giải cũng như việc khai thác, mở rộng hay tìm cách giải khác hay hơn. 8 - Nhiều GV còn ngại đổi mới phương pháp dạy học vì sợ mất nhiều thời gian, công sức và e ngại giờ học bị quá tải khi tổ chức các hoạt động trong giờ giảng. - Việc đánh giá hiện nay vẫn chủ yếu dựa vào kiểm tra khả năng ghi nhớ và học thuộc nên không khuyến khích phát huy được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh. - Một số GV chưa xác định rõ trách nhiệm của mình trong quá trình dạy học cần phải dạy cách tư duy, dạy cách học để hình thành và phát triển các KNTD cũng như chưa biết phải làm thế nào để thực hiện nhiệm vụ này. Có nhiều nguyên nhân trong đó có cả nguyên nhân khách quan và chủ quan đã ảnh hưởng đến hiệu quả của việc hình thành KNTD cho HS thông qua dạy học giải toán ở tiểu học. Để khắc phục những nguyên nhân này đòi hỏi phải có những giải pháp đồng bộ và toàn diện từ nhà quản lý cũng như từ GV và HS trong nhà trường. Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP HÌNH THÀNH KĨ NĂNG TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 4 , LỚP 5 THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN 2.1. Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp 2.1.1. Định hướng 1. Các biện pháp phải xây dựng trên cơ sở mục tiêu chung và mục tiêu cụ thể của dạy học Toán ở Tiểu học 2.1.2. Định hướng 2. Các biện pháp phải xây dựng trên cơ sở nội dung chương trình môn Toán ở Tiểu học và các nguyên tắc dạy học 2.1.3. Định hướng 3. Các biện pháp được xây dựng phải phù hợp với đặc điểm về trình độ nhận thức của học sinh lớp 4, lớp 5 2.1.4. Định hướng 4. Hệ thống các biện pháp được xây dựng phải bám sát các biểu hiện đặc trưng của kĩ năng tư duy trong giải toán để hình thành kĩ năng này cho học sinh lớp 4, lớp 5 2.2. Một số biện pháp hình thành kĩ năng tư duy cho học sinh lớp 4, lớp 5 thông qua dạy học giải toán 2.2.1. Biện pháp 1. Rèn luyện kĩ năng phân tích đề toán, suy luận nhằm xác định hướng giải và tìm cách giải bài toán 2.2.1.1. Cơ sở thực hiện biện pháp Các kĩ năng được hình thành trên cơ sở các hoạt động cụ thể nên để hình thành các kĩ năng tư duy cho học sinh thông qua hoạt động giải toán, nhất thiết phải tiến hành rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh một cách phù hợp. Trong hoạt động giải toán, việc tìm hướng giải và cách giải nói chung là khó khăn đối với học sinh. Họ thường phải nhận dạng được bài toán, nếu bài toán thuộc dạng quen biết (hoặc dễ dàng đưa được về 9 dạng bài quen biết) thì sử dụng kiến thức đã học để tìm cách giải, còn nếu bài toán thuộc dạng học sinh chưa gặp bao giờ thì các em phải tìm hiểu đề bài, nắm được những dữ kiện đã cho, những cái phải tìm, mối liên hệ giữa chúng, phân tích, suy luận, huy động kiến thức để tìm ra hướng giải và cách giải. 2.2.1.2. Mục tiêu của biện pháp Giúp học sinh có khả năng phân tích đề toán để xác định hướng giải và tìm cách giải đối với mỗi bài toán, thông qua đó hình thành các kĩ năng tư duy cho các em. 2.2.1.3. Nội dung và tổ chức thực hiện biện pháp Qui trình (các bước) phân tích bài toán để xác định hướng giải và tìm cách giải bài toán: Bước 1. Tìm hiểu bài toán, giáo viên hướng dẫn học sinh nhận biết được các yếu tố: dữ kiện, ẩn số và mối quan hệ (điều kiện) giữa ẩn số và dữ kiện trong bài toán. Để thực hiện điều này, giáo viên yêu cầu học sinh đọc kĩ đề bài (đọc to, đọc nhỏ, đọc thầm, đọc bằng mắt) sau đó chỉ định học sinh nêu lên cái đã cho, cái cần tìm và mối liên quan giữa chúng được cho trong bài toán. Bước 2. Tóm tắt bài toán. Giáo viên yêu cầu học sinh tóm tắt đề bài toán bằng ký hiệu, bằng công thức, bằng sơ đồ đoạn thẳng..., lược đi những câu, những từ ít quan trọng, rèn luyện cho học sinh cách nhận ra những từ khóa trong bài toán và đánh dấu (bằng cách gạch chân) các từ này. Bước 3. Suy luận tìm cách giải bài toán Một số gợi ý để giáo viên có thể hướng dẫn học sinh suy luận tìm cách giải bài toán: - Có thể dẫn về một bài toán quen thuộc được không? - Sử dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để tìm cách giải bài toán - Sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối - Sử dụng phương pháp thay thế để tìm cách giải cho bài toán Ví dụ 2.1. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 38m. Tính diện tích của mảnh vườn, biết rằng mảnh vườn này có chiều rộng bằng 2 chiều dài. 3 Bước 1. Tìm hiểu bài toán: Giáo viên yêu cầu học sinh đọc kĩ đề bài và nêu được bài toán đã cho biết gì, cần tìm cái gì. Cho biết: Mảnh vườn hình chữ nhật có: Chiều dài hơn chiều rộng 38 m Chiều rộng bằng 2 chiều dài 3 Cần tìm : Diện tích mảnh vườn (tức là tìm chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn) 10 Bước 2. Tóm tắt bài toán: Giáo viên yêu cầu học sinh thể hiện các dữ kiện và mối quan hệ cho trong bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng: Do chiều rộng bằng 2 chiều dài nên biểu diễn chiều rộng gồm 2 3 phần bằng nhau thì chiều dài gồm 3 phần bằng nhau như thế. Chiều rộng: Chiều dài: 38 m Bước 3. Suy luận tìm cách giải bài toán Để tính được diện tích của mảnh vườn, cần phải biết được chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn này. Theo sơ đồ trên, để tìm được chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn thì cần phải tìm được giá trị của một phần bằng nhau. Điều này có thể thực hiện được khi hiệu số phần bằng nhau giữa chiều dài và chiều rộng là 3 – 2 = 1 (phần) và đề bài cho biết chiều dài hơn chiều rộng là 38m. Vậy nên giá trị một phần là 38 m. Từ đó tìm được chiều rộng (bằng 2 lần giá trị một phần), chiều dài (bằng 3 lần giá trị một phần) và diện tích mảnh vườn (bằng chiều dài × chiều rộng). 2.2.1.4. Đánh giá kĩ năng phân tích tìm hiểu đề toán và suy luận tìm cách giải a) Đánh giá kĩ năng phân tích tìm hiểu đề toán Học sinh có kĩ năng phân tích đề toán biểu hiện ở chỗ các em biết nhận ra cái đã cho, cái cần tìm trong mỗi bài toán cũng như mối quan hệ giữa cái đã biết và cái cần tìm. Để đánh giá kĩ năng phân tích đề bài của học sinh, giáo viên dựa theo các tiêu chí đánh giá sau với mức độ tăng dần: - Ở mức độ đơn giản nhất, học sinh biết viết ra cái đã cho, cái phải tìm của bài toán. - Yêu cầu ở mức độ cao hơn, yêu cầu học sinh biết tóm tắt đề bài toán (viết thu gọn bài toán đã cho). - Yêu cầu ở mức độ cao hơn nữa, học sinh biết gạch chân (đánh dấu) những từ quan trọng (từ khóa) của bài toán. - Ở mức độ cao hơn nữa, yêu cầu học sinh biết sơ đồ hóa đề bài toán đã ra. - Mức độ cao nhất yêu cầu học sinh biết phát biểu bài toán dưới dạng khác. Để đánh giá kĩ năng phân tích đề bài của học sinh, giáo viên có thể ra đề kiểm tra, quan sát quá trình làm việc của học sinh, hay kiểm tra vở làm bài của các em. b) Đánh giá kĩ năng suy luận tìm hướng giải và cách giải bài toán Học sinh có kĩ năng suy luận để tìm hướng giải và cách giải bài toán biểu hiện ở chỗ đứng trước yêu cầu giải một bài toán, các em biết cần phải làm gì, phải làm như thế nào và phải bắt đầu từ đâu trên cơ sở đã thực hiện nội dung phân tích, tìm hiểu đề toán. 11 Để đánh giá kĩ năng suy luận xác định hướng giải và tìm cách giải bài toán của học sinh, giáo viên có thể dựa vào các tiêu chí: - Học sinh có biết sử dụng các kiến thức đã có để tìm cách giải bài toán - Học sinh có biết liên tưởng đến các bài toán tương tự trong hoạt động giải toán mà học sinh đã từng gặp - Học sinh có biết thêm bớt các dữ kiện để thay đổi bài toán Giáo viên có thể đánh giá kĩ năng suy luận để tìm lời giải của học sinh bằng các công cụ như là ra đề kiểm tra, sử dụng câu hỏi hay quan sát quá trình làm việc của học sinh. 2.2.2. Biện pháp 2. Rèn luyện kĩ năng diễn đạt, trình bày lời giải bài toán 2.2.2.1. Cơ sở thực hiện biện pháp Trong dạy học Toán nói chung, dạy học giải toán nói riêng thì sau khi học sinh đã tiến hành phân tích đề toán, xác định được phương hướng cũng như tìm được cách giải bài toán thì giáo viên cần hình thành và rèn luyện cho các em kĩ năng diễn đạt, trình bày lời giải một cách lôgic, khoa học và chặt chẽ cũng như chỉnh sửa, uốn nắn khả năng diễn đạt, cách trình bày của các em khi viết lời giải bài toán. 2.2.2.2. Mục tiêu của biện pháp Giúp cho học sinh biết cách diễn đạt, cách trình bày lời giải bài toán để hình thành kĩ năng tư duy trong giải toán cho học sinh đồng thời tạo cho các em thói quen làm việc cẩn thận, chặt chẽ, lôgic trong quá trình giải toán. 2.2.2.3. Nội dung và tổ chức thực hiện biện pháp Để rèn luyện cho học sinh kĩ năng trình bày lời giải bài toán, giáo viên thực hiện theo các cách sau đây: (1) Trình bày mẫu một lời giải bài toán và phân tích những điểm cần lưu ý cho học sinh trong việc trình bày lời giải (2) Đưa ra lời giải nhưng trong đó có các bước giải chưa hợp lý để học sinh nhận xét và thực hiện giải đúng bài toán (3) Đưa ra bài toán với gợi ý bước giải chính để học sinh hoàn thành lời giải Ví dụ sau đây minh họa cho việc giáo viên đưa ra bài toán cùng với lời giải có các bước giải chưa hợp lý để học sinh phân tích, phát hiện lỗi sai và sửa lại cho đúng. Ví dụ 2.9. Cho hình vuông có chu vi bằng chu vi của hình chữ nhật có chiều dài bằng 9cm, chiều rộng bằng 1 chiều dài. Hãy tính diện tích hình vuông. 3 Bài toán này không phức tạp và khó đối với học sinh. Sau khi đọc đề bài và thực hiện bước phân tích tìm hiểu đề toán, các em biết được cái đã cho (hình chữ nhật biết độ dài hai cạnh) cũng như hiểu được yêu cầu của bài toán đặt ra (phải tìm diện tích hình 12 vuông). Trên cơ sở đó, giáo viên yêu cầu học sinh giải bài toán này bằng cách nhận xét lời giải cho trước để phát hiện ra vấn đề mà giáo viên gài vào trong lời giải và viết lại lời giải cho đúng. Chẳng hạn, với ví dụ trên, giáo viên đưa ra một lời giải như sau (với mỗi dòng được đánh số để tiện theo dõi): Chu vi hình chữ nhật là: (1) (9 + 1 × 9) × 2 = 24 (cm) 3 (2) Cạnh của hình vuông là: 24 : 4 = 6 (cm) Diện tích hình vuông là: 6 × 6 = 36 (cm2) (3) (4) (5) (6) 2 (7) Đáp số: 36 cm Giáo viên yêu cầu học sinh cho nhận xét về lời giải này. Học sinh nhận thấy các phép toán thực hiện đúng, chính xác và học sinh khi giải bài toán trên thường bắt đầu từ việc tính chu vi hình chữ nhật (dựa trên độ dài 2 cạnh của hình chữ nhật đã biết), sau đó tính được độ dài của cạnh hình vuông rồi từ đó tính được diện tích hình vuông. Trong lời giải trên có một điểm mà học sinh thường hay không để ý đó là sau khi tính được chu vi của hình chữ nhật thì tính ngay cạnh hình vuông mà không có bước lập luận để chỉ ra chu vi của hình vuông (các em cho rằng đã biết được chu vi hình vuông nên không phải viết lại). Điều này làm cho lời giải thiếu chặt chẽ và không lôgic. Từ đó, yêu cầu học sinh bổ sung và đưa ra lời giải chính xác là: Chu vi hình chữ nhật là: (9 + 1 × 9) × 2 = 24 (cm) 3 Do chu vi hình vuông bằng chu vi hình chữ nhật nên chu vi của hình vuông đã cho là: 24 (cm) Cạnh của hình vuông là: 24 : 4 = 6 (cm) Diện tích hình vuông là: 6 × 6 = 36 (cm2) Đáp số: 36 cm2 2.2.2.4. Đánh giá kĩ năng diễn đạt, trình bày lời giải Học sinh có kĩ năng diễn đạt, trình bày lời giải biểu hiện ở việc có thể đưa ra lời giải dựa trên những phân tích, lập luận để tìm lời giải bài toán. 13 Để đánh giá kĩ năng diễn đạt, trình bày lời giải bài toán của học sinh, giáo viên có thể dựa vào các tiêu chí: - Biết trình bày các bước giải một cách hợp lý dựa trên quá trình phân tích một cách rõ ràng. - Biết dùng từ ngữ chính xác để diễn tả nội dung lời giải. - Biết thực hiện chính xác các phép toán theo yêu cầu đề bài. Giáo viên có thể đánh giá kĩ năng diễn đạt, trình bày lời giải của học sinh bằng các công cụ như là ra đề kiểm tra, sử dụng câu hỏi, xem vở ghi của học sinh hay quan sát học sinh trình bày lời giải của mình. 2.2.3. Biện pháp 3. Rèn luyện kĩ năng đánh giá lời giải bài toán 2.2.3.1. Cơ sở thực hiện biện pháp Trong mọi lĩnh vực hoạt động của con người, muốn biết được hiệu quả công việc thực hiện có đạt được mục tiêu đề ra hay không thì nhất thiết cần có sự kiểm tra - đánh giá kết quả thực hiện công việc đó. Trong giáo dục, hoạt động kiểm tra – đánh giá có vai trò đặc biệt quan trọng, ảnh hưởng đến toàn bộ quá trình dạy học. Nó có tác dụng rèn luyện cho HS ý thức trách nhiệm, tinh thần tự phê bình, khả năng tự đánh giá, tính độc lập, tư duy phê phán và tư duy sáng tạo. Việc kiểm tra - đánh giá khả năng nhận thức, tiếp thu, vận dụng kiến thức của HS có thể do giáo viên thực hiện đối với HS, HS tự kiểm tra hay HS kiểm tra chéo nhau. Thông qua kiểm tra – đánh giá để HS biết được họ đã nắm được kiến thức nào, kiến thức nào còn thiếu cần phải bổ sung,... 2.2.3.2. Mục tiêu của biện pháp Nhằm giúp cho học sinh đánh giá toàn bộ quá trình giải bài toán, từ khâu phân tích đề toán để xác định hướng giải và tìm cách giải, thực hiện giải toán đến khâu trình bày lời giải, thông qua đó hình thành cho học sinh các kĩ năng tư duy trong giải toán. Cũng trên cơ sở rà soát, kiểm tra lại quá trình giải toán học sinh có thể phát hiện ra những nhầm lẫn trong khi thực hiện các phép tính, những sai lầm trong lập luận hay trình bày lời giải không hợp lý để rút kinh nghiệm cho mình trong khi giải các bài toán sau này. 2.2.3.3. Nội dung và tổ chức thực hiện biện pháp Giáo viên hướng dẫn học sinh rèn luyện kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá quá trình giải toán theo các bước sau đây: Bước 1: Đọc lại đề bài để đảm bảo hiểu kĩ yêu cầu của bài tập. Bước 2: Kiểm tra lại các bước tiến hành bài toán. - Kiểm tra lời giải đúng hay sai? - Cần chỉnh sửa lỗi nào không? Nếu lời giải chưa đúng: Sai lầm ở đâu? Sửa như thế nào? 14 - Thử lại đáp số, đối chiếu so sánh kết quả, lời giải với danh sách kiểm tra kết quả làm việc (do GV chuẩn bị). Bước 3: Phát hiện sai lầm, thiếu sót; đánh dấu phần kiến thức còn chưa nắm chắc khi giải toán, tìm nguyên nhân sai lầm. Bước 4: Đánh giá phương pháp làm bài, các bước làm bài, thời gian làm bài: Cách giải đã hợp lý chưa? Bài giải còn có cách làm nào khác nữa không? Cách tiến hành các bước giải có phải điều chỉnh gì không? Bước 5: Chấm điểm bài làm, rút kinh nghiệm và chỉ ra tri thức mới tiếp thu được trong quá trình thực hiện giải toán. Việc rèn luyện cho học sinh thói quen và kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá kết quả và lời giải là hoạt động tương đối khó khăn vì học sinh thường có tâm lý bằng lòng, thỏa mãn với lời giải của mình, ra đúng đáp số là được (chú trọng đến đánh giá kết quả bằng điểm số) mà không chú ý đến việc suy nghĩ, tìm tòi nghiên cứu, khai thác sâu thêm bài toán (hướng phát triển năng lực của học sinh). Chính vì thế trong dạy học giải toán cùng với việc rèn luyện cho học sinh thói quen và kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá kết quả và lời giải của mình thì giáo viên cần quan tâm cho học sinh kiểm tra chéo bài làm của nhau (trong nhóm) hoặc giáo viên trực tiếp kiểm tra bài làm của học sinh. Sau khi kiểm tra phải có nhận xét, đánh giá để giúp học sinh nhận ra sai sót của mình trong quá trình làm bài. 2.2.3.4. Đánh giá kĩ năng kiểm tra lời giải bài toán Học sinh có kĩ năng đánh giá lời giải biểu hiện ở việc biết kiểm tra toàn bộ lời giải bài toán từ lập luận đến các phép tính đã thực hiện để từ đó có thể phát hiện được các sai sót, nhầm lẫn hay lựa chọn để tìm được lời giải ngắn gọn nhất, hay nhất. Để đánh giá kĩ năng này, GV có thể dựa vào thể hiện của HS trong quá trình giải toán: - Biết kiểm tra kết quả giải toán. - Biết rà soát lại các bước giải, quá trình lập luận để giải toán. - Biết trình bày quá trình phân tích, lập luận, suy luận - Biết đánh giá (kiểm tra lại) kết quả và đánh giá thực hiện lời giải của mình/của bạn. - Biết so sánh các cách giải để tìm lời giải tối ưu. - Biết nhận ra sai lầm và nguyên nhân sai lầm, cách sửa sai và học được từ sai lầm đã gặp để tránh các sai lầm khác. - Biết giải bài toán trong tình huống mới (ra đề toán mới) 15 GV có thể đánh giá kĩ năng kiểm tra lời giải của HS bằng các công cụ như là quan sát quá trình HS giải toán hoặc sử dụng danh sách kiểm tra các công việc HS đã thực hiện trong quá trình giải toán. 2.2.4. Biện pháp 4. Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập nhằm hình thành kĩ năng tư duy cho học sinh 2.2.4.1. Cơ sở thực hiện biện pháp Tư duy được hình thành trong quá trình hoạt động và bằng hoạt động. Do đó cần phải tổ chức hoạt động dạy học giải toán bằng cách xây dựng và sử dụng một số dạng toán để thông qua đó hình thành kĩ năng tư duy cho học sinh. Với việc cho học sinh thực hiện giải các dạng toán này (các bài toán điển hình, các bài toán có ưu thế trong việc rèn luyện tư duy) để vừa để trang bị kiến thức, kĩ năng giải toán vừa hình thành, phát triển các kĩ năng tư duy cho học sinh. 2.2.4.2. Mục tiêu của biện pháp Biện pháp này nhằm xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập làm tài liệu cho giáo viên để rèn luyện các thao tác tư duy cơ bản, khả năng diễn đạt, sử dụng ngôn ngữ,… cho học sinh đồng thời cũng rèn luyện các phẩm chất trí tuệ như tính linh hoạt, tính phê phán, tính sáng tạo,… trong giải toán, thông qua đó hình thành kĩ năng tư duy cho các em. 2.2.4.3. Nội dung và tổ chức thực hiện biện pháp Trong phần này đề cập đến việc xây dựng và sử dụng một số dạng toán: Nhóm các bài toán điển hình và nhóm các bài toán rèn luyện năng lực tư duy phê phán, linh hoạt, sáng tạo,… (Bài toán có nhiều cách giải, bài toán mở, phát hiện và sửa lỗi sai trong giải toán) làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trong quá trình dạy học nhằm hình thành kĩ năng tư duy cho học sinh. Các bài tập được thiết kế trên cơ sở tôn trọng chương trình, sách giáo khoa môn Toán lớp 4, lớp 5 và thể hiện được cơ hội hình thành kĩ năng tư duy cho học sinh theo các mức độ từ dễ đến khó phù hợp với đặc điểm nhận thức cũng như khả năng tư duy của học sinh. A. Nhóm các bài toán điển hình: Dạng 1. Các bài toán về số trung bình cộng. Dạng 2. Các bài toán về tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó. Dạng 3. Các bài toán về tìm hai số khi biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của hai số đó. Dạng 4. Các bài toán về tỉ số phần trăm. 16 B. Một số dạng toán có ưu thế rèn luyện các thao tác tư duy cơ bản và các phẩm chất trí tuệ Dạng 1. Bài tập có nhiều cách giải Đây là dạng bài tập có vai trò lớn trong việc rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là tư suy sáng tạo. Thông qua việc thực hiện giải các bài tập có nhiều cách giải sẽ giúp cho học sinh được rèn luyện khả năng chuyển đổi từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác, rèn luyện khả năng xem xét một đối tượng toán học, bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau để từ đó tìm ra được các giải pháp hay, đặc biệt. Cũng thông qua việc tìm tòi lời giải bài toán, sẽ giúp cho các em tích lũy kinh nghiệm khi giải toán, không tự thỏa mãn với kết quả đã đạt được mà luôn hướng đến những lời giải hoàn thiện hơn. Ví dụ 2.24. Tính tổng S của các phân số: 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ; 2 4 8 16 32 64 Cách 1. Thông thường, học sinh sẽ tiến hành quy đồng mẫu số và thực hiện phép cộng các phân số: S= S= Do đó: 1 1 1 1 1 1 + + + + + 2 4 8 16 32 64 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 64 S= 63 64 Cách 2. Nếu giáo viên gợi ý cho học sinh nhận thấy khi tăng mỗi số hạng của S lên 64 lần thì việc cộng các phân số trở thành cộng các số tự nhiên, dễ làm hơn: S= 1 1 1 1 1 1 + + + + + 2 4 8 16 32 64 64S = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63 Do đó, S= 63 . 64 Về bản chất cách này chẳng qua là một cách viết khác của phương pháp quy đồng mẫu số. Cách 3. Nhận xét rằng: Trong dãy các phân số trên, phân số đứng trước gấp hai lần phân số đứng sau, nếu mỗi số hạng trong tổng được nhân đôi, thì nó trở thành số hạng đứng ngay trước nó (trừ số hạng đầu tiên). Hãy so sánh 2S và S, từ đó thêm một cách tính tổng S. S= 1 1 1 1 1 1 + + + + + 2 4 8 16 32 64 17