Tài liệu Không gian mêtric không gian tôpô

Mục lục 1 KHÔNG GIAN MÊTRIC 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 Không gian Mêtric. Dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Không gian Mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tập mở và tập đóng. Vị trí tương đối giữa điểm và tập con. 1.2.1 Tập mở, tập đóng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Phần trong và bao đóng của một tập. . . . . . . . . 1.2.3 Điểm trong, điểm ngoài, điểm biên. . . . . . . . . 1.2.4 Tập trù mật. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ánh xạ liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Không gian mêtric đầy đủ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Không gian mêtric đầy đủ. . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Định lý Baire về phạm trù. . . . . . . . . . . . . . Không gian mêtric compact. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Tập compact. Tập hoàn toàn bị chặn. . . . . . . . . 1.5.2 Các điều kiện tương đương với tính compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 5 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 18 18 KHÔNG GIAN TÔPÔ 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Tôpô. Không gian Tôpô. . . . . . 2.1.2 So sánh tôpô. . . . . . . . . . . . 2.1.3 Cơ sở và tiền cơ sở. . . . . . . . . 2.1.4 Lân cận. . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Phần trong và bao đóng. . . . . . Vị trí tương đối giữa điểm và tập con. . . Ánh xạ liên tục. Không gian con. . . . . . 2.3.1 Ánh xạ liên tục. . . . . . . . . . . 2.3.2 Không gian con. . . . . . . . . . Tổng, tích và thương của các không gian. . 2.4.1 Tổng và tổng trực tiếp. . . . . . . 2.4.2 Tích Descartes. . . . . . . . . . . Các tiên đề tách. . . . . . . . . . . . . . . Không gian compact . . . . . . . . . . . 2.6.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Không gian Mêtric - Không gian Tôpô 2.6.2 2.6.3 Bài tập Tôpô Không gian compact địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compact hóa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 2 18 18 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô LỜI MỞ ĐẦU Tôpô là một trong những ngành cơ bản của Toán học hiện đại. Nó ra đời vào những năm đầu của thế kỷ XX. Từ đó cho đến nay, Tôpô được nhiều nhà Toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu và phát triển. Nội dung học phần “Không gian mêtric - Không gian Tôpô” cho phép chúng ta hiểu rõ những vấn đề như: Tập mở, tập đóng, điểm biên, điểm trong, Ánh xạ liên tục, không gian Compact, liên thông, ... Tiểu luận này trên cơ sở tóm tắt những nội dung chính về lý thuyết “Không gian Mêtric - Không gian Tôpô”. Với hệ thống bài tập nhằm giúp sinh viên đi sâu vào nghiên cứu kỹ hơn phần “Không gian Mêtric” và “Không gian Tôpô”. Với sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thành Chung cùng những tài liệu, giáo trình và bài giảng của Thầy giúp tôi hoàn thành được tập tài liệu này. Trong quá trình làm tiểu luận này, tôi đã cố gắng để nội dung của nó ngắn gọn mà vẫn đầy đủ, nhưng do khả năng có hạn nên chắc chắn có những vấn đề còn thiếu sót mong nhận được sự bổ sung và ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên để tiểu luận này hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Tạ Minh Thanh GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 3 SVTH: Tạ Minh Thanh Chương 1 KHÔNG GIAN MÊTRIC A. LÝ THUYẾT 1.1 Không gian Mêtric. Dãy hội tụ 1.1.1 Không gian Mêtric Cho X là một tập hợp. Một hàm d : X 2 → R là một mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện: m1 ) d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = 0 ⇔ x = y m2 ) d(x, y) = d(y, x) m3 ) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X. Không gian mêtric (X, d) là một tập X cùng với một mêtric d trên X. Nếu (X, d) là một không gian mêtric thì mỗi x ∈ X gọi là một điểm và với mọi x, y ∈ X ta gọi d(x, y) là khoảng cách từ x đến y. Ví du 1. a) Với mọi x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn . n 1 Đặt d(x, y) = ( ∑ |xi − yi |2 ) 2 . i=1 d là một mêtric trên Rk . Thật vậy, m1 ) và m2 ) là hiển nhiên. Với mọi x = (x1 , x2 , . . . , xk ), y = (y1 , y2 , . . . , yk ), z = (z1 , z2 , . . . , zk ) ∈ Rn , sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz ta có: k k d 2 (x, z) = ∑ |xi − zi |2 ≤ ∑ (|xi − yi | + |yi − zi |)2 i=1 i=1 k k k = ∑ |xi − yi |2 + 2 ∑ |xi − yi ||yi − zi | + ∑ |yi − zi |2 i=1 i=1 k i=1 1 2 k 2 ≤ ∑ |xi − yi | + 2 ∑ |xi − yi | i=1 i=1  1 2 = k ∑ |xi − yi |2 2 i=1 ∑ |xi − yi |2 i=1 4 ∑ |yi − zi | i=1 k + 1 2 k 2 1 2 2  k + ∑ |yi − zi |2 i=1 Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô = (d(x, y) + d(y, z))2 Từ đó suy ra d(y, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) và ta có m3 ) b) Kí hiệu C[a, b] là tập các hàm thực liên tục trên đoạn [a, b]. Với mọi x, y ∈ [a, b], đặt: d(x, y) = max |x(t) − y(t)| t∈[a,b] Dễ thấy d thỏa mãn m1 ) và m2 ), ta kiểm tra m3 ). Với mọi x, y, z ∈ C[a, b] ta có: d(x, z) − max |x(t) − y(t)| ≤ max (|x(t) − y(t)| + |y(t) − z(t)|) t∈[a,b] t∈[a,b] ≤ max |x(t) − y(t)| + max |y(t) − z(t)| t∈[a,b] t∈[a,b] = d(x, y) + d(y, z) Từ đó d là một mêtric trên C[a, b]. 1.1.2 Dãy hội tụ Cho (X, d) là một không gian mêtric. Dãy {xn } trong X gọi là hội tụ đến a ∈ M nếu: lim d(xn , a) = 0, kí hiệu: lim xn = a; lim xn = a, hoặc xn → a n∞ Nếu lim xn = a thì a gọi là giới hạn của dãy xn . Nếu dãy {xn } không hội tụ đến a thì ta kí hiệu xn Định lý 1. a. Giới hạn của một dãy hội tụ trong không gian mêtric là duy nhất. Chứng minh: Giả sử {xn } hội tụ và xn → a, xn → a . Khi đó: 0 ≤ d(a, a ) ≤ d(a, xn ) + d(xn , a ) → 0 Do đó d(a, a ) = 0 và a = a . Định lý 2. Trong một không gian mêtric cho các dãy {xn } và {yn } hội tụ đến a và b tương ứng. Khi đó d(xn , yn ) → d(a, b). Ví dụ 2. (n) (n) (0) (0) a) Xét dãy {xn }, xn = (x1 , . . . , xk ) trong Rk , x0 = (x1 , . . . , xk ). Ta có: k lim xn = x0 ⇔ lim ∑ 1 2 (n) (0) |xi − xi | =0 i=1 (n) ⇔ lim xi (0) = xi với i = 1, . . . , n. Vì vậy sự hội tụ mêtric Euclide trong Rn chính là sự hội tụ theo tọa độ. b) Xét dãy {xn } và x0 ∈ C[a, b]. theo mêtric hội tụ đều ta có lim xn = x0 ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 , ∀n > n0 đều có d(xn , x0 ) < ε. ⇔ maxt∈[a,b] |xn (t) − x0 (t)| < ε ⇔ |xn (t) − x0 (t)| < ε với mọi t ∈ [a, b] ⇔ dãy hàm {xn } hội tụ đều đến x0 trên [a, b]. GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 5 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô 1.2 1.2.1 Bài tập Tôpô Tập mở và tập đóng. Vị trí tương đối giữa điểm và tập con. Tập mở, tập đóng. Cho (X, d) là một không gian mêtric. Với mỗi a ∈ và ε > 0, đặt B(a, ε) = {x ∈ X|d(x, a) < ε}. B(a, ε) gọi là hình cầu mở tâm a, bán kính ε hay ε-lân cận của a. Tập con G của X gọi là tập mở nếu mọi a ∈ G, tồn tại ε > 0 sao cho B(a, ε) ⊂ G. Tập con F của X gọi là tập đóng nếu X \ F là tập mở. Định lý 3. Trong họ các tập con của một không gian mêtric X ta có: a) φ và X là tập mở. b) Hợp tùy ý các tập mở là tập mở. c) Giao hữu hạn các tập mở là tập mở. Ví dụ 3. Mọi a không thuộc không gian mêtric X và số r > 0, hình cầu mở B(a, r) là tập mở. Thật vậy, mọi x ∈ B(a, r) ta sẽ chỉ ra có ε > 0 sao cho B(x, ε) ⊂ B(a, r), chọn ε = r − d(x, a). Khi đó ε > 0 và mọi y ∈ B(x, ε) ta có: d(y, a) ≤ d(y, x) + d(x, a) ≤ (r − d(x, a) + d(x, a) = r Từ đó y ∈ B(a, r). Vậy B(x, ε) ⊂ B(a, r) 1.2.2 Phần trong và bao đóng của một tập. Cho A là một tập con của không gian mêtric X. Khi đó ta gọi hợp của tất cả các tập con mở của X được 0 chứa trong X là phần trong của A, kí hiệu là A. Giao của tất cả các tập con đóng của X chứa A là bao đóng của A, kí hiệu là A. A mở A đóng 0 0 ⇔ A =A ⇔ A=A 0 Mọi tập con A, B của X, nếu A ⊂ B thì A⊂B và A ⊂ B. 1.2.3 Điểm trong, điểm ngoài, điểm biên. Cho không gian mêtric X và tập con của X. +) Điểm x ∈ X gọi là điểm trong của A nếu tồn tại ε > 0 sao cho B(x, ε) ⊂ A. +) Điểm x ∈ X gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại ε > 0 sao cho B(x, ε) ⊂ X \ A. +) Điểm x ∈ X gọi là điểm biên của A nếu tồn tại ε > 0 đều có A ∩ B(x, ε) = 0 và (X \ A) ∩ B(x, ε) = 0. / / Tập tất cả các điểm biên của A, kí hiệu ∂ A và gọi là biên của A. GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 6 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô 1.2.4 Bài tập Tôpô Tập trù mật. +) Tập con A của không gian mêtric X gọi là trù mật trong X nếu A = X. +) Tập con A của không gian mêtric X gọi là không đâu trù mật nếu (A)0 = 0 / +) Không gian mêtric X gọi là khả li nếu X có một tập con A đếm được và trù mật trong X. 1.3 Ánh xạ liên tục. Định nghĩa ánh xạ liên tục. Cho hai không gian mêtric (X, d) và (Y, p). Một ánh xạ f : X → Y gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho d(x, x0 ) < δ thì p( f (x), f (x0 )) < ε. Ánh xạ f gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X. Ánh xạ f gọi là liên tục đều trên X nếu moi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với x1 , x2 ∈ X, d(x1 , x2 ) < δ thì p( f (x1 ), f (x2 )) < ε. Định lý 4. Ánh xạ f : X → Y liên tục tại x0 ∈ X nếu và chỉ nếu mọi dãy {xn } ⊂ X, xn → x0 đều có f (xn ) → f (x0 ). 1.4 1.4.1 Không gian mêtric đầy đủ. Không gian mêtric đầy đủ. Cho (X, d) là một không gian mêtric. Một dãy {xn } trong X gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu mọi ε > 0, tồn tại n0 sao cho d(xn , xm ) < ε với mọi m, n ≥ n0 . Điều này được viết dưới dạng giới hạn là: d(xn , xm ) → 0 khi n, m → ∞ Không gian mêtric gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. 1.4.2 Định lý Baire về phạm trù. ∞ Không gian mêtric X gọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu X = An , trong đó An là các tập không đâu trù i=1 mật trong X. Không gian không thuộc phạm trù thứ nhất gọi là thuộc phạm trù thứ hai. Định lý 5 (Định lý Baire về phạm trù). 1.5 1.5.1 Mọi không gian mêtric đầy đủ đều thuộc phạm trù thứ hai. Không gian mêtric compact. Tập compact. Tập hoàn toàn bị chặn. Cho không gian mêtric X, tập con A của X gọi là tập compact nếu mọi dãy {xn } trong A đều có một dãy con {Xnk } hội tụ đến một điểm thuộc A. Tập con A gọi là compact tương đối nếu bao đóng A là tập compact trong X. GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 7 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô Ví dụ 4. Với mọi a, b ∈ R, a < b, [a, b] là tập compact, (a, b) là tập compact tương đối; [a, b]∩Q là tập compact tương đối. +) Tập con A của X gọi là tập bị chặn nếu đường kính của A: d(A) = sup{d(x, y)|x, y ∈ A} < ∞ Với mọi hình cầu B(x, r) trong không gian mêtric ta có: d(B(x, r)) ≤ 2r +) Tập con A của X gọi là tập hoàn toàn bị chặn nếu mọi ε > 0, tồn tại hữu hạn điểm x1 , x2 , . . . , xn ∈ X sao cho: n A⊂ B(xi , ε) i=1 Chú ý: Mọi tập hoàn toàn bị chặn là bị chặn. Một tập bị chặn có thể không hoàn toàn bị chặn. 1.5.2 Các điều kiện tương đương với tính compact. Một họ { α }α∈I các tập con của không gian mêtric X được gọi là một phủ của tập con A của X nếu A⊂ α . Nếu mọi α đều là tập mở thì phủ gọi là phủ mở. α∈I Định lý 6. Cho X là một không gian mêtric, khi đó với mọi tập con A của X các điều kiện sau đây tương đương: a) A là compact. b) A đầy đủ và hoàn toàn bị chặn. c) Mọi phủ mở { α }α∈I của A đều có một phủ mở con hữu hạn. Định lý 7. Cho ánh xạ f : X → Y liên tục và K là một tập con compact của X. Khi đó f (K) là tập compact của Y . Chứng minh: Lấy tùy ý dãy {yn } ⊂ f (K). Chọn xn ∈ K sao cho f (x0 ) = yn ta được dãy {xn } ⊂ K. Do K compact nên có dãy con {xnk }, xnk → x0 ∈ K. Vì f liên tục nên: ynk = f (xnk ) → f (x0 ) ∈ f (K). Vậy {ynk } là một dãy con hội tụ của {yn }. B. BÀI TẬP Bài 1. Cho mọi tập con A, B của một không gian mêtric, chứng minh: a) (A ∪ B)0 ⊃ A0 ∪ B0 b) A ∪ B = A ∪ B ; ; (A ∩ B)0 = A0 ∩ B0 . A ∩ B ⊂ A ∩ B. GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 8 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô Giải: a) A0 ⊂ (A ∪ B)0 ⇒ A0 ∪ B0 ⊂ (A ∪ B)0 B0 ⊂ (A ∪ B)0 • Ta có: A, B ⊂ A ∪ B ⇒ (A ∩ B)0 ⊂ A0 A∩B ⊂ A ⇒ ⇒ (A ∩ B)0 ⊂ A0 ∩ B0 ; (A ∩ B)0 ⊂ B0 A∩B ⊂ B Mặt khác ta có: A0 ∩ B0 ⊂ A ∩ B và A0 ∩ B0 là tập mở nên A0 ∩ B0 = (A ∩ B)0 . Vậy (A ∩ B)0 = A0 ∩ B0 . • Ta có: b) • Ta có A ∪ B ⊂ A ∪ B ⇒ A ∪ B ⊂ A ∪ B; Mặt khác: A, B ⊂ A ∪ B ⇒ A, B ⊂ A ∪ B ⇒ A ∪ B ⊂ A ∪ B. Vậy A ∪ B = A ∪ B. • Ta có: A ∩ B ⊂ A ∩ B ⇒ A ∩ B ⊂ A ∩ B. Bài 2. Cho U,V là các tập mở không giao nhau của không gian mêtric X. Chứng minh U ∩V = U ∩V = 0 / Giải: Theo giả thiết ta có: U ∩V = 0 ⇒ U ⊂ X \V , vì V mở ⇒ X \V đóng ⇒ V ⊂ X \U ⇒ V ∩U = 0. / / / (đpcm) Vậy U ∩V = V ∩U = 0. Bài 3. Cho không gian mêtric X và tập con A của X. Với mọi x ∈ X, đặt d(x, A) = inf{d(x, y)|y ∈ A}. Chứng minh rằng: a) d(x, A) là hàm liên tục trên X. b) d(x, A) = d(x, A). c) d(x, A) = 0 ⇔ x ∈ A. Giải: a) ∀x, y ∈ X, a ∈ A Theo tính chất mêtric ta có: d(a, A) ≤ d(x, y) + d(y, a) ⇔ inf d(x, a) ≤ d(x, y) + inf d(y, a) ⇔ d(x, A) ≤ d(x, y) + d(y, a) a∈A a∈A ⇒ d(x, A) − d(y, a) ≤ d(x, y). Đổi vai trò của x và y ta được: d(y, A) − d(x, A) ≤ d(x, y). Vậy |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y) với mọi x, y ∈ X. Ta có d(x, A) là ánh xạ liên tục đều. b) • Ta có d(x, A) = inf d(x, A) ≤ inf d(x, a) = d(x, A). a∈A x∈A ⇒ d(x, A) ≤ d(x, A) (1) • ∀ε > 0, ∀a ∈ A : d(a, b) < ε. (Lấy ε = 1/n, n ∈ N) Theo tính chất mêtric ta có: d(x, b) ≤ d(x, a) + d(a, b) ⇒ inf d(x, b) ≤ inf (x, a) + inf d(a, b) b∈A a∈A x∈A b∈A ⇔ d(x, A) ≤ d(x, A) + ε (∀ε > 0) ⇒ d(x, A) ≤ d(x, A (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: d(x, A) = d(x, A) (đpcm). c) Lấy x ∈ A ⇔ ∃{xn } ⊂ A, xn → x ⇔ d(xn , x) → 0 ⇔ d(x, A) = 0. GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 9 (đpcm) SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô Bài 4. Với mọi a thuộc không gian mêtric X và r > 0 ta gọi tập B (a, r) = {x ∈ X|d(x, a) ≤ r} là hình cầu đóng tâm a, bán kính r. a) Chứng minh hình cầu đóng là tập đóng, B(a, r) ⊂ B (a, r). b) Cho một ví dụ B(a, r) = B (a, r). Giải: a) Ta chứng minh X \ B (a, r) mở. Lấy tùy ý x ∈ X \ B (a, r). Khi đó ε = d(x, a) − r > 0. Mọi y ∈ b(x, ε), theo tính chất mêtric ta có: d(x, y) + d(y, a) ≥ d(x, a) ⇒ d(y, a) ≥ d(x, a) − d(x, y) > d(x, a) − ε = r) ⇒ y ∈ X \ B (a, r). Vậy B(x, ε) ⊂ X \ B (a, r) hay X \ B (a, r) mở. b) Xét X là không gian mêtric rời rạc có nhiều hơn một điểm. Với mọi x ∈ X ta có B(x, 1) = B(x, 1) = {x}, B (0, 1) = X. / Bài 5. Cho A và B là hai tập con khác rỗng của không gian mêtric X thỏa mãn: A ∩ B = A ∩ B = 0. Chứng minh rằng tồn tại hai tập mở U và V sao cho A ⊂ U, B ⊂ V và V ∩U = 0. / Giải: Xét hàm số liên tục f (x) = d(x, A) − d(x, B) trên X. Đặt U = f −1 (∞, 0),V = f −1 (0, ∞). Khi đó U,V là mở và U ∩V = 0. / +) Nếu x ∈ A thì x ∈ B (vì A ∩ B = 0) nên f (x) < 0, tức là x ∈ U. / Vậy A ⊂ U. +) Tương tự nếu x ∈ B thì x ∈ A (vì B ∩ A = 0) nên f (x) > 0, tức là x ∈ V . Vậy B ⊂ V . / ∞ Bài 6. Kí hiệu l 1 là tập các dãy số x = {xk } có ∑ |xk | < ∞. Với x = {xk }, y = {yk } thuộc l 1 , đặt k=1 ∞ ∞ k=1 k=1 d(x, y) = ∑ |xk − yk | có ∑ |xk | < ∞. Với x = {xk }. Chứng minh: a) d là một mêtric trên l 1 . b) (l 1 , d) là không gian mêtric đầy đủ và khả li. Giải: a) Chứng minh d là một mêtric trên l 1 , tức là ta cần kiểm tra ba tiên đề sau: Với x = (x1 , x2 , . . . , xk ); y = (y1 , y2 , . . . , yk ) (k ∈ N) +) ∀x, y ∈ X, ta có: ∞ d(x, y) = ∑ |xk − yk | ≥ 0 k=1 ∞ d(x, y) = 0 ⇔ ∑ |xk − yk | = 0 k=1 ⇔ |xk − yk | = 0 ⇔ xk = yk ⇔ x = y. GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 10 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô +) Ta có: ∞ ∞ ∑ |xk − yk | = ∑ |xk − yk | = d(y, x) k=1 k=1 ∞ d(x, y) = ∞ +) Ta có: d(x, y) = ∑ |xk − yk | ≤ ∑ (|xk − zk | + |zk − yk |) k=1 k=1 ∞ = ∞ ∑ |xk − zk | + ∑ |zk − yk | k=1 k=1 = d(x, z) + d(z, y) ⇒ d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). Vậy d là một mêtric trên l 1 . ∞ (n) (n) (m) b) Giả sử {x(n) }, x(n) = {xk } là dãy Cauchy, tức là d(x(n) , x(m) ) = ∑ |xk − xk | → khi m, n → ∞. Suy ra n=1 (n) (n) (0) với mỗi k, {xk } là dãy số Cauchy. Vì vậy xk → xk . (0) Đặt x(0) = xk , ta có x(0) ∈ l 1 . Vậy l 1 đầy đủ. Kí hiệu Dn là tập các dãy {xk } các số hữu tỉ và xk = 0 với mọi k > n. Khi đó Dn là tập các dãy {xk } các số hữu tỉ và xk = 0 với mọi k > n. Khi đó Dn ⊂ l 1 và Dn ∞ đếm được. Đặt D = ∑ Dn , ta có D đếm được, trù mật trong l 1 . Thật vậy với mọi x = {xk } ∈ l 1 và ε > 0, n=1 ∞ chọn n0 sao cho ε ε . Kí hiệu: ∑ |xk | < . Với mọi k ≤ n0 chọn các số hữu tỉ rk sao cho |xk − rk | < 2 2n0 k=n0 +1 x(0) = {x1 , . . . , rno , 0, 0, . . .} Ta có x(0) ∈ D và d(x, x0 ) < ε. Bài 7. Kí hiệu l ∞ là tập các dãy số {xk } có sup|xk | < ∞. Với x = {xk }; y = {yk } thuộc l ∞ , đặt k d(x, y) = sup |xk − yk |. Chứng minh: a) d là một mêtric trên l ∞ . b) (l ∞ , d) là không gian mêtric đầy đủ, không khả li. Giải: a) Chứng minh d là một mêtric trên l ∞ , tức là ta cần kiểm tra ba tiên đề sau: Với x = {x1 , x2 , . . . , xk }; y = {y1 , y2 , . . . , yk } (k ∈ N). +) ∀x, y ∈ X, ta có d(x, y) = sup|xk − yk | ≥ 0 k d(x, y) = 0 ⇔ sup|xk − yk ) = 0 ⇔ |xk − yk | = 0 ⇔ xk = yk , với k ∈ N ⇔ x = y. k +) d(x, y) = sup|xk − yk | = sup|yk − xk | = d(y, k). k k +) d(x, y) = sup|xk − yk | = sup(|xk − zk − yk + zk |) ≤ sup|xk − zk | + sup|zk − yk | = d(x, z) + d(z, y). k k k k ⇒ d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Vậy d là một mêtric trên l ∞ . GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 11 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô b) Ta chứng minh (l ∞ , d) là không gian mêtric đầy đủ: (m) (n) (m) Giả sử {x(n) }, x(m) = {xk } là dãy Cauchy, tức là d(x(n) , x(m) ) = sup|xk − xk | → 0 khi m, n → ∞. k (n) (n) (0) (0) Suy ra với mỗi k, {xk } là dãy Cauchy. Vì vậy xk → xk . Đặt x(0) = {xk }, ta có x(0) ∈ l ∞ và x(n) → x(0) . Vậy l ∞ đầy đủ. Ta chứng minh l ∞ không khả li. Gọi A là tập các dãy nhận hai giá trị 0 và 1. Khi đó A không đếm được và 1 A ⊂ l ∞ . Gọi D là một tập bất kì trù mật trong l ∞ . Với mọi a ∈ A, lấy cố định d a ∈ D sao cho d(a, d a ) < . 2 1 a 1 a Nếu a, b ∈ A, a = b thì tồn tại n sao cho an = bn . Ta giả sử an = 0, bn = 1, khi đó dn < , dn > , tức là 2 2 d a = d b . Vậy ánh xạ a → d a từ A vào D là đơn ánh. Vì A không đếm được nên D không đếm được. Bài 8. Cho (X1 , P1 ) và (X2 , P2 ) là hai không gian mêtric. Với mọi x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) thuộc X1 × X2 , đặt: 1 2 2 d(x, y) = (P1 (x1 , y1 ) + P2 (x2 , y2 )) 2 d1 (x, y) = P1 (x1 , y1 ) + P2 (x2 , y2 ) d∞ (x, y) = max{P1 (x1 , y1 ) + P2 (x2 , y2 )} a) Chứng minh d, d1 , d∞ là các metric tương đương đều trên X = X1 × X2 . Không gian X với một trong ba mêtric trên gọi là tích của không gian mêtric X1 và X2 . b) Chứng minh X1 × X2 đầy đủ (compact) nếu và chỉ nếu X1 và X2 đầy đủ (compact). Giải: a) Với mọi x, y ∈ X ta có: 2 2 P1 (x1 , y1 ) + P2 (x2 , y2 ) d(x, y) = d(x, y) ≥ max{P1 (x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 )} = d∞ (x, y) = (P1 (x1 , y1 )) + P2 (x2 , y2 ))2 = 2 2 P1 (x1 , y1 ) + P2 (x2 , y2 ) + 2P1 (x1 , y1 ).P2 (x2 , y2 ) ≥ 2 P1 (x1 , y1 ) + P2 + 2(x2 , y2 ) = d(x, y) d1 (x, y) = P1 (x1 , y1 ) + P2 (X2 , y2 ) ≥ 2 max{P − 1(x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 )} = 2.d∞ (x, y) ⇒ d∞ (x, y) ≥ d(x, y) ≥ d1 (x, y) ≥ 2d∞ (x, y) Do đó các mêtric đó tương đương đều. (n) (m) (n) b) Giả sử {x( n), c(n) − (x1 , x2 )} là dãy Cauchy (dãy hội tụ trong X) ⇔ {x1 } là dãy Cauchy (dãy hội tụ) (n) trong X1 , {x2 } là dãy Cauchy (dãy hội tụ) trong X2 . Bài 9. Cho X là một không gian mêtric đầy đủ. {Gn } là một dãy các tập con mở của X, mỗi Gn trù mật trong ∞ X. Chứng minh Gn trù mật trong X. n=1 Giải. Ta chứng minh mọi tập mở W = 0 của X đều có W ∩ ( / ∞ G∞ ) = 0. Do W ∩ G1 là mở và khác rỗng nên / n=1 tồn tại B(x1 , r1 ): B(x1 , rn ) ⊂ W ∩ G1 , GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 12 0 < r1 < 1. SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô Bằng quy nạp với mọi n có B(xn , rn ) sao cho: B(x1 , r1 ) ⊂ B(xn−1 , rn−1 ) ∩ Gn , 0 < rn < 1 n Vì {xn } là dãy Cauchy nên xn → x0 . Do mọi n ≥ N thì xn ∈ B(xN , rN ) nên x0 ∈ B(xN , rN ) ⊂ W ∩ GN với mọi N. Vậy x0 ∈ W ∩ ( ∞ )Gn . n=1 Bài 10. Cho X là không gian mêtric compact và ánh xạ f : X → X thảo mãn d( f (x), f (y) ≥ (x, y) với mọi x, y ∈ X. Chứng minh f là phép đẳng cự. Giải. Xét a, b ∈ X. Đặt an = f n (a), bn = f n (b). Vì X compact nên ta có dãy tăng {nk } ⊂ N sao cho {ank } và {bnk } hội tụ. Vì các dãy hội tụ là dãy Cauchy nên mọi ε > 0 tồn tại các chỉ số nk , n1 sao cho d(ank , an1 ) < ε, d(bnk , bn1 ) < ε và m = n1 − nk ≥ 2. Theo giả thiết về f ta có d(a, am ) < ε và tương tự ta có d(b, bm ) ≤ d(a1 , am+1 ) ≤ . . . ≤ d(ank , an1 ). Vậy d(a, am ) < ε và tương tự ta có d(am , bm < ε. Vì d( f (a), f (b)) ≤ d( f m (a), f m (b)) = d(am , bm ) ≤ d(am , a) + d(a, b) + d(b, nm ) < d(a, b) + 2ε. Nên suy ra d( f (a), f (b)) = d(a, b). Từ đó f là phép đẳng cự X lên f (X). Ta còn phải chứng minh f (X) = X. Vì X compact nên f (X) compact và do đó là đóng. Với mội a ∈ X và mọi ε > 0 ta có am ∈ f (X) để d(a, am ) < ε nên f (x) trù mật trong X. f (x) đóng và trù mật trong X nên f (X) = X. Bài 11. Cho X là không gian mêtric compact và f : X → X là ánh xạ thỏa mãn d( f (x), f (y)) < d(x, y) với mọi x, y ∈ X. Chứng minh f có một điểm bất động duy nhất. Cho ví dụ chứng tỏ X đầy đủ nhưng không compact thì kết quả không còn đúng. Giải. Dễ thấy hàm f liên tục đều. Đặt ϕ(x) = d(x, f (x)) ta được một hàm liên tục trên X. Giả sử trái lại f không có điểm bất động, khi đó ϕ(x) > 0 với mọi x nên tồn tại x0 sao cho ϕ(x0 ) = inf d(x, f (x)) = r > 0. Đặt x∈X x1 = f (x0 ) ta có: r ≤ d(x1 , f (x1 )) < d(x0 , f (x0 )) = r là mẫu thuẫn. Vậy f có điểm bất động. π π Xét ánh xạ f : R → R, f (x) = − arctan x + x. Vì phương trình f (x) = x ⇔ arctan x = vô nghiệm nên f 2 2 không có điểm bất động theo định lý Lagrange. | f (x) − f (y)| = | arctan y − arctan x + x − y| 1 (x − y) 1+φ2 = x−y− = φ2 φ2 (x − y) = |x − y| < |x − y| với mọi x ≥ y 2 1+φ 1+φ2 Vậy | f (x) − f (y)| < |x − y| với mọi x, y ∈ R, x = y nhưng f không có điểm bất động. 1 Cũng có thể lấy ví dụ khác là: X = [2, ∞), f (x) = x + . x Bài 12. Chứng minh hợp một số hữu hạn tập compact là một tập compact. GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 13 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô Giải. Giả sử (Ai )n là các tập compact. Đặt A = i=1 n Ai . Ta chứng minh A compact. i=1 Thật vậy, giả sử (Gα )α∈I là một phủ mở tùy ý của A, tức là: A ⊂ Gα . α∈I Từ đó, với mỗi i cố định: Ai ⊂ Gα . α∈I Vì Ai là compact, tồn tại phủ con của Ai hữu hạn, kí hiệu: (Gαik )n ⊂ {Gα }α∈I . Do đó: k=1 n mi n Ai ⊂ i=1 ( Gαik ) = i=1 k=1 Gαik i=1,n k=1,mi Vậy A compact. Bài 13. Với các taapjcon A, B của không gian mêtric X, đặt d(A, B) = inf{d(x, y)|x ∈ A, y ∈ B}. d(A, B) gọi là khoảng cách giữa hai tập A và B. Chứng minh rằng nếu F đóng, K compact và F ∩ K = 0 thì d(F, K) > 0 / Giải. Giả sử tồn tại dãy {xn } ⊂ K và {yn } ⊂ F sao cho: d(xn , yn ) → d(K, F), khi n → ∞. Vì K compact nên có một dãy con {xKn } ⊂ {xn } hội tụ về x0 ∈ K. Nếu d(K, F) = 0 thì d(xn , yn ) → 0, khi n → ∞. Suy ra d(xKn , yKn ) → 0 khi n → ∞. Ta lại có: d(yKn , x0 ) ≤ d(yKn , xKn ) + d(xKn , x0) → 0, n → ∞ ⇒ d(yKn , x0 ) → 0, n → ∞ ⇒ yKn → x0 ∈ K, n → ∞ Mặt khác F đóng, {yKn } ⊂ F nên x0 ∈ F. Mâu thuẫn vì K ∩ F = 0. Vậy d(F, K) > 0 / GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 14 (đpcm) SVTH: Tạ Minh Thanh Chương 2 KHÔNG GIAN TÔPÔ A. LÝ THUYẾT. 2.1 Tôpô 2.1.1 Tôpô. Không gian Tôpô. Cho một tập X, một họ τ các tập con của X gọi là một tôpô trên X nếu thảo mãn các điều kiện: (τ1 ) X và 0 thuộc τ; / (τ2 ) Hợp của tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ; (τ3 ) Giao của hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ. +) Một tập X cùng một tôpô trên X gọi là một không gian tôpô. Để chỉ rõ τ là tôpô của không gian X ta viết là (X, τ). +) Cho (X, τ) là một không gian tôpô. Tập G ∈ τ được gọi là tập mở của X. Tập con F của X gọi là tập đóng nếu X \ F là tập mở. Ví du 1. a) Với mọi X, P(X) là tập tất cả các tập con của X, P(X) là một tôpô trên X, ta gọi là tôpô rời rạc. Tập X cùng với tôpô rời rạc là không gian tôpô rời rạc. b) Với mọi tập X, họ {0, X} là một tôpô trên X, gọi là tôpô tầm thường. Tập X với tôpô tầm thường gọi là / không gian tôpô tầm thường. 2.1.2 So sánh tôpô. Cho hai tôpô τ1 và τ2 trên X. Nếu τ1 ⊂ τ2 thì ta nói τ1 yếu hơn τ2 hoặc τ2 mạnh hơn τ1 . 2.1.3 Cơ sở và tiền cơ sở. - Cho τ là một tôpô trên X. Một họ con β của τ gọi là một cơ sở của τ nếu một tập thuộc τ đều bằng hợp của một họ các tập thuộc β . Nói cách khác, họ con β của τ là cơ sở của τ nếu mọi G ∈ τ mọi x ∈ G tồn tại V ∈ β sao cho x ∈ V ⊂ G. 15 Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô - Một họ con τ1 của τ gọi là tiền cơ sở của τ nếu họ tất cả các giao hữu hạn các tập thuộc τ1 là một cơ sở của τ. 2.1.4 Lân cận. Cho X là một không gian tôpô và x ∈ X. Tập con V của X được gọi là một lân cận V của x là tập mở thì V gọi là lân cận của x. Ví dụ 2. a) Họ tất cả các tập mở chứa x là một cơ sở lân cận của x. b) Trong không gian rời rạc, tập một điểm {x} là cơ sở lân cận của x. 2.1.5 Phần trong và bao đóng. Cho X là một không gian tôpô và tập con A của X. Ta gọi phần trong của A hợp của tất cả các tập mở được chứa trong A, kí hiệu là A0 . A0 là tập mở lớn nhất chứa trong A; A ⊂ B thì A0 ⊂ B0 và A mở nếu và chỉ nếu A = A0 . - Bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, kí hiệu là A. A là tập đóng nhỏ nhất chứa A; A ⊂ B thì A ⊂ B và A đóng nếu và chỉ nếu A = A. - Tập con D gọi là trù mật trong X nếu D = X. Không gian X gọi là khả li nếu nó có một con đếm được trù mật. - Tập con A của X gọi là không đâu trù mật nếu (A)0 = 0. / 2.2 Vị trí tương đối giữa điểm và tập con. Cho không gian tôpô X, tập con A của X và điểm x thuộc X. - Điểm x được gọi là điểm trong của A nếu x có một lân cận V sao cho V ∩ A. - Điểm x gọi là điểm ngoài của A nếu x có một lân cận V sao cho V ∩ A = 0. / - Điểm x gọi là điểm biên của A nếu mọi lân cận V của x đều có V ∩ A = 0 và V ∩ (X \ A) = 0. / / Tập tất cả các điểm biên của A gọi là biên của A, kí hiệu ∂ A. 2.3 2.3.1 Ánh xạ liên tục. Không gian con. Ánh xạ liên tục. Cho X và Y là các không gian tôpô và ánh xạ f : X → Y . Ánh xạ f gọi là liên tục tại x ∈ X nếu mọi lân cận V của f (x) trong Y đều tồn tại lân cận U của x trong X sao cho f (U) ⊂ V , hay f −1 (V ) là lân cận của x. Ánh xạ gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X. GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 16 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô 2.3.2 Bài tập Tôpô Không gian con. Cho (X, τ) là hai không gian tôpô và A là một tập con của X. Khi đó họ τA = {G ∩ A|A ∈ τ} là một tôpô trên A, gọi là không gian con của không gian X. Kí hiệu i : A → X, i(x) = x là phép nhúng chính tắc. Hiển nhiên phép nhúng chính tắc là phép nhúng đồng phôi. Định lý 1. Cho A là một tập con của không gian tôpô X. Khi đó: a) A mở ⇔ i : A → X là ánh xạ mở. b) A đóng ⇔ i : A → X là ánh xạ đóng. 2.4 2.4.1 Tổng, tích và thương của các không gian. Tổng và tổng trực tiếp. Cho {(xα , τα )}α∈I là một họ các không gian tôpô. Đặt X = Xα . Xét họ τ các tập con G của X thỏa mãn α∈I G ∩ Xα ∈ τα với mọi α ∈ I. Khi đó τ là một tôpô trên X. Không gian X với tôpô τ gọi là tổng của họ các không gian đã cho, kí hiệu X = ∑ Xα rời nhau. Nếu họ {Xα }α∈I rời nhau thì tổng gọi là tổng trực tiếp, kí hiệu là α∈I X = ⊕α∈I Xα . Kí hiệu iα : Xα → X là phép nhúng chính tắc. 2.4.2 Tích Descartes. Cho {(Xα , τ)}α∈I là một họ các không gian tôpô. Đặt X = ∏ Xα và πα : X → Xα là phép chiếu hay ánh xạ α∈I tọa độ thứ α. Các không gian Xα gọi là không gian tọa độ. Ta gọi tôpô tích trên X là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu πα liên tục. Định lý 3. 2.5 Với mọi α, phép chiếu ∏α : ∏α∈I Xα → Xα là ánh xạ mở. Các tiên đề tách. Các định nghĩa và tính chất: - Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không gian thỏa mãn tiên đề tách T1 (hay T1 - không gian) nếu với hai điểm khác nhau trong X thì sẽ tồn tại một lân cận của điểm này mà không chứa điểm kia. - Không gian tôpô X được gọi là T2 -không gian hay không gian Hausdorff nếu với hai điểm x, y ∈ X, x = y thì sẽ tồn tại các lân cận U của x, lân cận V của y sao cho U ∩V = 0. / - Không gian tôpô X được gọi là một T3 -không gian hay là không gian chính quy nếu X là T1 -không gian và với mọi x ∈ X và mọi tập đóng F ⊂ X sao cho x ∈ F thì tồn tại các tập mở U x và V ⊃ F sao cho / U ∩V = 0. / - Không gian tôpô X được gọi là một T4 -không gian và với hai taaph đóng A, B không giao nhau, sẽ tồn tại hai tập mở U ⊃ A,V ⊃ B sao cho U ∩V = 0. / GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 17 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô 2.6 Bài tập Tôpô Không gian compact 2.6.1 Định nghĩa. Tập K ⊂ X của không gian tôpô X được gọi là một tập compact nếu mỗi phủ mở của nó đều có chứa Gα thì tồn tại các một phủ con hữu hạn. Nói cách khác, giả sử (Gα )α∈I là họ các tập mở thỏa mãn K ⊂ α∈I n Gα1 , Gαn , . . . , Gα2 sao cho K ⊂ i=1 Gαi . Không gian tôpô X được gọi là compact nếu bản thân tập hợp X là compact trong không gian tôpô X. Định lý 4. Giả sử X là không gian compact. Khi ấy mọi tập con đóng của X đều là tập compact. Chứng minh: Cho A là tập con đóng của X. Giả sử (Gα )α∈I là một phủ mở của A. Khi ấy (Gα )α∈I ∪ {(x \ A)} là một phủ mở của X. Do X compact nên tồn tại phủ con hữu hạn Gα1 , . . . , Gαn sao cho: n X = (X \ A) ∪ ( Gαi ). i=1 n Lúc ấy A ⊂ i=1 Gαi nên A là tập compact. Điều ngược lại của định lý chỉ đúng nếu như X là một T2 -không gian. Đính lý 5. Nếu X là một T2 -không gian thì mọi tập con compact của X đều là tập đóng. Định lý 6. Cho X là một T2 -không gian và A, B là hai tập compact của X và A ∩ B = 0. Lúc đó tồn tại hai tập / mở U,V trong X sao cho A ⊂ U, B ⊂ V và U ∩V = 0. / 2.6.2 Không gian compact địa phương. Định nghĩa: và compact. Không gian tôpô X được gọi là compact địa phương nếu mọi x ∈ X đều tồn tại một lân cận đóng Định lý. a) Không gian con đóng của một không gian compact địa phương là một không gian compact địa phương. b) Không gian con mở của một không gian Hausdorff compact địa phương là compact địa phương. 2.6.3 Compact hóa. Định nghĩa: Cho X là một không gian tôpô không compact và cho cặp (Y, ϕ) trong đó Y là một không gian compact, ϕ : X → ϕ(X) ⊂ Y là một phép đồng phôi sao cho ϕ(X) = Y . Khi đó ta gọi cặp (Y, ϕ) là một compact hóa của không gian tôpô X. GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 18 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô B. BÀI TẬP Bài 1. Cho {τα }α∈I là một họ các tôpô trên tập X. Chứng minh τ = τα là một tôpô trên X. α∈I Giải. Ta chứng minh τ là một tôpô trên X, tức là ta cần kiểm tra có tiên đề sau: i) 0, X ∈ τα với mọi α ∈ I, do đó 0, X ∈ τ. / / ii) Với mọi A, B ∈ τ ⇒ A, B ∈ τα ⇒ A ∩ B ∈ τα với mọi α ∈ I ⇒ A ∩ B ∈ τ. A ∈ τ. A ∈ τα với mọi α ∈ I ⇒ iii Với mọi G ⊂ τ ⇒ G ⊂ τα với mọi α ⇒ A∈G A∈G Từ i), ii), iii), τ là tôpô trên X. Bài 2. Cho A, B là các tập con của một không gian X. Chứng minh: a) A ∩ B ⊂ A ∩ B b) A\B ⊂ A\B Tìm ví dụ về A, B có các bao hàm thức trên là thực sự. Giải. a) Ta có: A∩B ⊂ A A∩B ⊂ B ⇒ A∩B ⊂ A A∩B ⊂ B ⇒ A ∩ B ⊂ A ∩ B. b) lấy x ∈ A \ B, V là lân cận tùy ý cuat x. Ta có W = V ∩ (X \ B) là lân cận của x. Vì x ∈ A nên: W ∩ A = 0 ⇒ W ∩ (A \ B) = 0 ⇒ V ∩ (A \ B) = 0. / / / Vậy x ∈ A \ B ⇒ A \ B ⊂ A \ B. Ví dụ: Trong R xét A = {0}, B = (0, 1], ta có: A∩B A\B = 0 = {0} / = 0 = {0} / = A∩B = A\B Bài 3. Cho E là một tập con của không gian X, chứng minh: a) (X \ E)0 = X \ E. b) X \ E = X \ E 0 . Giải. a) Dễ thấy X \ E ⊂ (X \ E)0 . Nếu x ∈ X \ E thì x ∈ E, do đó mọi lân cận V của x : V ∩ E = 0 / / ⇒ V ⊂ X \ E ⇒ x ∈ (X \ E)0 / ⇒ V ⊂ X \ E ⇒ x ∈ (X \ E)0 . / Vậy cũng có (X \ E)0 ⊂ X \ E. b) Dễ thấy X \ E ⊂ X \ E 0 . Nếu k ∈ X \ E thì tồn tại lân cận V của x sao cho V ∩ (X \ E) = 0 / 0 ⇒ x ∈ X \ E 0. ⇒V ⊂E ⇒x ∈E Vậy cũng có X \ E 0 ⊂ X \ E. GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 19 SVTH: Tạ Minh Thanh Không gian Mêtric - Không gian Tôpô Bài tập Tôpô Bài 4. Cho G là tập mở và A là tập tùy ý trong không gian X. Chứng minh: a) G ∩ A = 0 thì G ∩ A = 0. / / b) G ∩ A = G ∩ A. Giải. a) Nếu x ∈ G ∩ A ⇒ x ∈ A và G là lân cận của x nên G ∩ A = 0. Ta gặp mâu thuẫn. / b) Giả sử x ∈ G ∩ A và V là một lân cận mở của x sao cho V ∩ (G ∩ A) = 0 / ⇒ (V ∩ G) ∩ A = 0 ⇒ (V ∩ G) ∩ A = 0 (theo câu a)) ⇒ V ∩ (G ∩ A = 0 ⇒ x ∈ G ∩ A. Vậy ta cũng có / / / G ∩ A ⊂ G ∩ A. Bài 5. Cho A, B,C là ba không gian con của X và C ⊂ A ∩ B. Chứng minh C mở (đóng) trong A và trong B thì C mở (đóng) trong A ∪ B. Giải. • Nếu C mở trong A và B thì tồn tại U và V mở trong X sao cho C = A ∩ U,C = B ∩ V . Bởi vì U ∩ V mở trong X và (A ∪ B) ∩ (U ∩V ) = (A ∩U ∩V ) ∪ (B ∩U ∩V ) = (C ∩V ) ∪ (C ∩U) = C ∩ (U ∪V ) = C nên C mở trong A ∪ B. • Trường hợp C đóng hoàn toàn tương tự. Bài 6. Chứng minh rằng phép chiếu π : R2 → R, π(x, y) = x không phải là ánh xạ đóng. Giải. Xét tập F = x0 > 0 và y0 = x, 1 x ∈ R2 |x > 0 . Mọi dãy {(xn , yn )} ⊂ F, (xn , yn ) → (x0 , y0 ) ∈ R2 , do yn = 1 nên xn 1 . Vì vậy (x0 , y0 ) ∈ F và F đóng. x0 y 6 F x O Do π(F) = (0, 0) không là tập đóng trong R nên π không phải là ánh xạ đóng. / Bài 7. Chứng minh ánh xạ f : R → R xác định bởi:   0 nếu  f (x) = x nếu   1 nếu x<0 0≤x≤1 x>1 Là ánh xạ đóng nhưng không phải là ánh xạ mở. GVHD: TS. Nguyễn Thành Chung 20 SVTH: Tạ Minh Thanh