Tài liệu Bài tập và hướng dẫn giải bài tập cơ kỹ thuật 1

BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 1 Chương 1 GIỚI THIỆU VỀ TĨNH HỌC Mục đích của chương 1. Kiến thức  Giới thiệu các khái niệm cơ học kỹ thuật, tĩnh học, động lực học  Giới thiệu các đại lượng cơ bản: chiều dài, thời gian, khối lượng, lực  Đưa ra các định luật Newton cho chuyển động của chất điểm và định luật hấp dẫn  Nhắc lại các đặc điểm của véc tơ và các phép toán véc tơ  Đưa ra hướng dẫn chung cho các bước giải bài toán tĩnh học 2. Kỹ năng Giúp sinh viên  Biết cách chuyển đổi đơn vị trong cùng một hệ đơn vị và giữa các hệ đơn vị khác nhau  Biết áp dụng phép cộng véc tơ theo quy tắc hình bình hành và quy tắc tam giác vào bài toán cụ thể  Biết phân tích véc tơ theo các thành phần vuông góc và thực hiện các phép toán véc tơ sử dụng các thành phần vuông góc. Các dạng bài tập và các bài tập mẫu. Bài tập luyện tập Chú ý về cách ký hiệu véc tơ (1) Các vectơ được viết bằng chữ in đậm, ví dụ: F chỉ véctơ lực (2) Độ lớn của vectơ A được ký hiệu là | A| hoặc đơn giản là A (nghiêng)  (3) Khi viết bằng tay, ký hiệu thông thường là A Véctơ được biểu diễn bằng một đoạn thẳng có hướng như hình vẽ, ghi kèm theo bên cạnh là độ lớn của véctơ A hoặc ký hiệu véctơ A. 2 DẠNG 1: Tìm véc tơ tổng hoặc các véc tơ thành phần sử dụng quy tắc hình bình hành (hoặc quy tắc tam giác) (thường áp dụng đối với các véc tơ lực đồng quy phẳng) Các bước thực hiện  Vẽ véc tơ tổng theo quy tắc hình bình hành hoặc theo quy tắc tam giác A A A+B B A B+A A+B A B B B quy tắc hình bình hành quy tắc tam giác Lưu ý: Khi hai véc tơ cộng tuyến (nằm trên cùng một đường thẳng) thì véc tơ tổng được tính theo phép cộng đại số. Phép trừ véc tơ A-B được định nghĩa là A – B = A+ (-B)  Xác định độ lớn và phương chiều của véc tơ tổng, ta dùng định lý hàm số sin, định lý hàm số cos. Định lý hàm số sin a b c   sin  sin  sin  a 2  b 2  c 2  2bc cos  Định lý hàm số cos b 2  c 2  a 2  2ac cos  c 2  a 2  b 2  2ab cos   Giải tìm các ẩn số đề bài yêu cầu Bài tập mẫu 1.1 Trên hình.M1.1(a) biểu diễn hai véc tơ định vị có độ lớn là A = 60m và B = 100m. (véc tơ định vị là véc tơ được vẽ giữa hai điểm trong không gian). Hãy xác định véc tơ tổng R = A + B. Hình.M 1.1(a) Lời giải Trước tiên, ta sử dụng quy tắc tam giác (hoặc quy tắc hình bình hành) để vẽ véc tơ tổng R = A + B. Sau đó, độ lớn và hướng của véc tơ tổng sẽ được tìm bằng cách áp dụng định lý hàm số sin và định lý hàm số cos.  Véc tơ tổng R = A + B được thể hiện trong hình.M1.1(b) 3  Xác định độ lớn của véc tơ R bằng định lý hàm số sin R 2  602  1002  2.60.100 cos1400 Suy ra R  151m Để tìm góc tạo bởi R với phương ngang, ta tìm góc α theo định lý hàm số sin. 100 R     25.20 . 0 sin  sin140 Từ hình vẽ, ta thấy R tạo với phương ngang một góc 300 + α = 55.2 0. Do đó ta được tổng của A và B là Hình.M 1.1(b) Bài tập mẫu 1.2 Vòng treo như hình vẽ chịu tác dụng của hai lực F1, F2. Hãy xác định véc tơ tổng R = F1 + F2. Cho F1 = 200N, F2 = 400N. F1 600 F2 Hình.M.1.2 Lời giải  Sử dụng quy tắc hình bình hành để vẽ véc tơ tổng R = F1 + F2.  Xác định độ lớn R bằng định lý hàm số cos R 2  2002  400 2  2.200.400 cos1200 Suy ra R = 529.15 N.  Để tính góc φ – góc tạo bởi R với phương ngang như hình vẽ, ta tìm góc α theo định lý hàm số sin F1 α φ F2 1200 R 400 R   sin   0.65 sin  sin120 0 Suy ra α = 40.890. Từ đó, φ = 900 – 40.89 0 = 49.110. BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1.1. Xác định độ lớn của hợp lực tác dụng lên mắt của đinh vít và hướng của nó được đo theo chiều kim đồng hồ từ trục x. Hình. B1.1 4 1.2. Xác định độ lớn của hợp lực và hướng của nó được đo theo chiều ngược kim đồng hồ từ chiều dương của trục x. Hình. B1.2 Hình. B1.3 Hình. B1.4 1.3. Một tấm chịu tác dụng của hai lực tại A và B như hình vẽ. Nếu   600 , xác định độ lớn của hợp lực của hai lực này và hướng của nó được đo theo chiều kim đồng hồ từ trục nằm ngang. 1.4. Nếu hợp lực tác dụng dọc chiều dương của trục u và có độ lớn bằng 5kN, xác định độ lớn của FB và hướng của nó  . DẠNG 2: Phân tích véc tơ theo các thành phần vuông góc và cộng các véctơ sử dụng các thành phần vuông góc Để biểu diễn một véc tơ A theo các thành phần vuông góc A = Ax i + Ay j + Az k ta có 3 cách sau Cách 1  Phân tích A thành hai thành phần vuông góc: một thành phần hướng theo trục z (hoặc hướng theo trục x, y) và một thành phần nằm trong mặt phẳng xy (hoặc nằm trong mặt phẳng yz, xz, tương ứng) A = Axy + Az Axy = A.sinϕ Az = A.cosϕ Axy  Bước tiếp theo là tách thành phần nằm trong mặt phẳng xy thành hai thành phần hướng theo hai trục x, y Axy = Ax + Ay Ax = Axy.cosθ = A.sinϕ.cosθ Ay = Axy.sinθ = A.sinϕ.sinθ  Vậy ta có A = Ax i + Ay j + Az k với Ax = A.sinϕ.cosθ Ay = A.sinϕ.sinθ Az = A.cosϕ Axy 5 Cách 2 Tìm các góc tạo bởi A và chiều dương của các trục x, y, z. Gọi các góc đó lần lượt là  x , y ,  z , ta có Ax = A. cosθx Ay = A. cosθy Az = A.cosθz Cách 3 Tìm các thành phần hình chiếu của một véc tơ dựa vào véc tơ chỉ phương của đoạn thẳng chứa véc tơ đó Chẳng hạn, véc tơ F nằm trên đoạn AB và hướng từ A đến B. Ta sẽ biểu diễn véc tơ F theo các thành phần vuông góc dùng véc tơ chỉ phương của AB. Thực hiện theo ba bước sau:   Viết véc tơ AB Tìm tọa độ điểm A (xA, yA, zA), tìm tọa độ điểm B (xB, yB, zB).  Suy ra AB   xB  xA  i   yB  y A  j   z B  z A  k   Tính véc tơ đơn vị chỉ phương của AB  Viết F = Fλ  AB  xB  xA   yB  y A   zB  z A  λ=  i j k AB AB AB AB  x  x i  y  y j z  z k  B A  B A  B A  x x 2 y y 2 z z 2  B A  B A A   B F = Fλ = F      Cộng các véc tơ sử dụng các thành phần hình chiếu vuông góc Xét hai véctơ A = Axi + Ayj + Azk và B = Bxi + Byj + Bzk. Kí hiệu C là tổng của A và B C = Cx i + Cy j + Czk Ta có Cx  Ax  Bx C y  Ay  By C z  Az  Bz Bài tập mẫu 1.3 Cho véc tơ A như hình vẽ. a) Hãy xác định các thành phần vuông góc của véc tơ A b) Hãy xác định các góc giữa véc tơ A và chiều dương của các trục tọa độ. 6 Hình. M1.3 Lời giải a) Xác định các thành phần vuông góc của véc tơ A  Trước tiên ta tách A thành hai thành phần như hình vẽ + Az nằm dọc theo trục z + Axy nằm trong mặt phẳng xy Vì A, Az, Axy nằm trong cùng một mặt phẳng nên sử dụng công thức lượng giác, ta có Az = Acos300 = 12 cos300 = 10.392m Axy = Asin300 = 12 sin30 0 = 6m  Tiếp theo, ta tách Axy thành hai thành phần Ax, Ay nằm dọc theo hai trục x, y Ax = Axycos400 = 6cos400 = 4.596m Ay = Axysin400 = 6sin400 = 3.857m  Do đó, biểu diễn của véc tơ A theo các thành phần vuông góc là A = Ax i + Ay j + Az k = 4.60i + 3.86j + 10.39k m b) Xác định các góc giữa véc tơ A và chiều dương của các trục tọa độ. Các góc giữa A và các trục tọa độ được tìm từ các phương trình sau  cos  x    cos y    cos z   Ax 4.596  A 12 Ay 3.857  A 12 Az 10.392  A 12  x  67.50    y  71.30  0  y  30.0 7 Bài tập mẫu 1.4 Dây cáp buộc vào một chốt cố định như hình vẽ được kéo bằng lực F có độ lớn 500N. Hãy xác định các thành phần vuông góc của lực F. Lời giải  1. Viết AB Tọa độ các điểm A, B là A (4,0,3) và B (0,6,0) Hình. M1.4  Suy ra AB  4i  6 j  3k 2. Tính véc tơ đơn vị chỉ phương của AB 3. Viết F = Fλ: Các thành phần vuông góc của F Bài tập mẫu 1.5 Puli chỉ ra trên hình M1.5(a) chịu tác dụng của các lực dây đai P và Q. Sử dụng các thành phần hình chiếu vuông góc, hãy xác định độ lớn và hướng của lực tổng P + Q. Hình M1.5(a) Lời giải Dựa vào hình M1.5(b), biểu diễn các véctơ P và Q theo các thành phần hình chiếu vuông góc là Hình M1.5(b) 8 Lực tổng của P và Q được tìm bằng cách cộng các thành phần của chúng: Chúng ta tính được độ lớn và hướng của R BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1.5. Cho véc tơ F như hình vẽ có độ lớn 240N. Hãy phân tích véc tơ F thành ba thành phần vuông góc theo các phương x, y, z và biểu diễn chúng trên hình vẽ. Hình. B1.5 Hình. B1.6 1.6. Biết độ lớn của lực Q là 100N. Hãy phân tích véc tơ Q thành ba thành phần vuông góc theo các phương x, y, z và biểu diễn chúng trên hình vẽ. 1.7. Cho cơ hệ như hình bên. Các dây xích được sử dụng để chống cột điện. Biểu diễn mỗi lực theo các véctơ đơn vị chỉ phương i, j, k. Bỏ qua đường kính của cột. 9 Hình. B1.7 1.8. Hãy tính góc  z giữa véc tơ lực F và trục z. Và hãy xác định các thành phần vuông góc của F. Biết F = 240N. 1.9. Hãy xác định tổng của hai véc tơ lực trên hình vẽ Hình. B1.8 Hình. B1.9 Hình. B1.10 1.10. Độ lớn của ba lực là F1 = 1.6kN, F2 = 1.2, F3 = 1.0kN. Hãy tìm tổng của ba véc tơ đã cho. 1.11 Nếu R là hợp lực của lực P và Q, tìm P và Q (hình. B1.11). 1.12 Cho R là hợp lực của P và Q. Hãy xác định Q và góc θ (hình. B1.12). Hình. B1.11 Hình. B1.12 10 Chương 2 CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN VỚI HỆ LỰC Mục đích của chương 1. Kiến thức  Đưa ra khái niệm về sự tương đương  Đưa ra khái niệm và phương pháp tìm hợp lực của hệ lực đồng quy  Trình bày các khái niệm momen của lực đối với một điểm, momen của lực đối với một trục và các phương pháp tính các đại lượng này.  Trình bày khái niệm ngẫu lực, tính chất của ngẫu lực  Thay đổi đường tác dụng của lực 2. Kỹ năng Giúp sinh viên  Biết xác định hợp lực của hệ lực đồng quy  Thành thạo các bước tính momen của lực đối với một điểm và đối với một trục theo các phương pháp đã đưa ra  Biết lựa chọn phương pháp tính momen của lực đối với một điểm và đối với một trục theo từng bài toán cụ thể. DẠNG 1: Tìm hợp lực của hệ lực đồng quy hoặc tìm các véc tơ lực thành phần của hệ lực đồng quy khi biết hợp lực của chúng Hệ lực đồng quy (đường tác dụng của các lực cắt nhau tại một điểm) tương đương với một lực bằng tổng các lực thành phần, gọi là hợp lực của hệ lực đồng quy. R   F  F1  F2  F3  ... Các bước giải tìm hợp lực của hệ lực đồng quy  Biểu diễn mỗi véc tơ của hệ lực theo các thành phần vuông góc  Áp dụng phép cộng véc tơ sử dụng các thành phần vuông góc, ta tìm được véc tơ tổng R   Fx i   Fy j   Fz k  Giải tìm các thành phần đề bài yêu cầu 11 Bài tập mẫu 2.1 Một dầm được kéo lên bằng cách sử dụng hai dây xích. Xác định độ lớn của lực FA, FB tác dụng lên mỗi dây xích, biết rằng hợp lực nằm dọc theo trục y và có độ lớn 600N, xét với θ =450. Lời giải Biểu diễn các lực trong hệ tọa độ Decartes Khi đó hợp lực được biểu diễn như sau Hình M2.1 R  FA  FB   FAcos600  FB cos450  i   FAcos300  FB sin 450  j Theo giả thiết R  600 j Suy ra: Giải hệ trên ta tìm được: FA = 439.23 (N) FB = 310.58 (N) Bài tập mẫu 2.2 Ba dây được buộc vào cột trụ tại A như hình (a). Các lực trong dây là F1 = 260N, F2 = 75N, và F3 = 60N. Hãy xác định a) độ lớn của lực R tương đương với ba lực trên b) các tọa độ của giao điểm của đường tác dụng của R và mặt phẳng yz Hình M2.2 Lời giải a) Xác định độ lớn lực R tương đương với ba lực đã cho 12 Ta có  AB  3i  12 j  4k  F1 = 260λAB = 260   260    60i  240 j  80k 13   AB  AC  3i  4k  F2 = 75λAC = 75   75    45i  60k 5   AC F1 = - 60j Suy ra hợp lực R là R   F  F1  F2  F3   60i  240 j  80k    45i  60k    60 j   105i  300 j  140k Độ lớn của R là R 2 2  105   300   140  2  347.3 N b) Xác định các tọa độ của giao điểm của đường tác dụng của R và mặt phẳng yz Gọi giao điểm của đường tác dụng của R và mặt phẳng yz là D Véc tơ đơn vị chỉ phương của R là Tọa độ điểm D có thể được xác định từ các tỷ số Từ ta nhận được 13 BÀI TẬP LUYỆN TẬP 2.1. Độ lớn của ba lực tác dụng lên vòng khuyên là T1= 550N, T2 = 200N, và T3 = 750N. Hãy thay thế ba lực trên bằng một lực R tương đương. Thể hiện véc tơ kết quả trên hình vẽ. Hình. B2. 1 Hình. B2. 2 2.2. Hãy xác định độ lớn của lực P và góc θ để ba lực như trên hình vẽ tương đương với một véc tơ lực R =85i +20j kN. ĐS: 109.6(kN), θ = 29.90. 2.3. Lực R là hợp lực của các lực P1, P2, P3 tác dụng lên tấm chữ nhật. Hãy xác định độ lớn P1, P2 nếu R = 40kN và P3 = 20kN. ĐS: P1 = 62.3(kN), P2 = 44.6(kN). Hình. B2.3 2.4. Hình. B2.4 Một người tác dụng một lực P có độ lớn 250N lên tay cầm của xe đẩy. Biết rằng hợp lực của các lực P, Q (phản lực tác dụng lên bánh xe) và W (trọng lượng của xe đẩy) là R = 50i (N), hãy xác định trọng lượng W. 2.5. Độ lớn của ba lực tác dụng lên tấm chữ nhật là T1= 100kN, T2 = 80kN, và T3 = 50kN. Hãy thay thế các lực này bằng một lực R tương đương. Và tìm tọa độ của giao điểm của đường thẳng chứa R và tấm chữ nhật. ĐS: R = -24.2i – 24.5j + 205.1k (kN), x = 0.708(m), y = 0.716(m) Hình. B2.5 và B2.6 14 2.6. Hãy xác định độ lớn của ba lực T1 ,T2 ,T3 tác dụng lên tấm để chúng tương đương với một lực R  210k  kN  . 2.7. Thay thế ba lực căng của dây cáp tác dụng lên cột cờ bằng một lực tương đương. Cho T1 = 1000N, T2 =2000N, và T3 =1750N. Hình. B2.7 DẠNG 2: Tìm momen của lực đối với một điểm Định nghĩa momen của lực F đối với điểm O MO  r  F Trong đó, r là véc tơ định vị điểm A bất kỳ trên  đường tác dụng của F so với điểm O: r  OA . Mặt phẳng chứa O và F Ta có thể xác định momen của lực đối với một điểm theo ba cách sau Cách 1. Phương pháp véc tơ i j k MO  r  F  x y z Fx Fy Fz  Chọn hệ trục tọa độ Descartes  Xác định véc tơ r = xi + yj + zk + Tìm tọa độ điểm O + Tìm tọa độ điểm A (điểm bất kỳ trên đường tác dụng của F)  + r  OA   xA  xO  i   y A  y O  j   z A  zO  k  Xác định các thành phần hình chiếu của F trên các trục tọa độ (biểu diễn F theo các thành phần vuông góc F = Fxi +Fyj + Fzk )  Thay các thành phần hình chiếu đã tìm được vào công thức trên 15 Cách 2. Phương pháp hình học MO  - có điểm đặt tại O; - có phương vuông góc với mặt phẳng chứa O và F; - có chiều sao cho nhìn ngọn của MO xuống gốc O thì thấy F q.x.q O theo chiều ngược chiều KĐH; (quy tắc bàn tay phải) - có độ lớn MO = F.d Trong đó d là khoảng cách hạ vuông góc từ O đến đường tác dụng của F Cách 3. Tính qua momen của lực đối với một trục MO  M xi  M y j  M zk Trong đó Mx, My, Mz tương ứng là momen của lực đối với các trục Ox, Oy, Oz. Bài tập mẫu 2.3 Cho hệ hai lực FB, FC như hình bên. Hãy xác định a) Momen của từng lực đối với điểm O b) Tổng momen của hai lực lấy đối với điểm O. Biểu biễn kết quả theo các thành phần vuông góc. Lời giải Xác định các vecto định vị điểm A, B, C Hình. M2.3 Vecto lực FB và FC được xác định bởi Xác định momen của lực FB và FC đối với điểm O 16 Lấy tổng momen của lực FB và FC đối với điểm O BÀI TẬP LUYỆN TẬP 2.8 Các dây xích được sử dụng để chống cột điện như hình vẽ. Hãy tính momen của mỗi lực đối với điểm gốc tọa độ. Bỏ qua đường kính của cột. Hình. B2.8 2.9 Cho hệ lực tác dụng vào máy khoan như trên hình vẽ. Hãy xác định momen của mỗi lực đối với điểm O. Biểu diễn kết quả theo vecto Cartesian Hình. B2.9 2.10 Hình. B2.10 Cho lực F = 80N tác động lên điểm C của một ống nước như trên hình. B2.10. Hãy xác định momen của lực lấy đối với điểm A và điểm B. Biểu diễn kết quả theo các véctơ đơn vị i, j, k. 2.11 Hãy xác định momen của lực Q đối với điểm O và điểm C. Biết độ lớn của lực Q là 100N. 17 Hình. B2.11 Hình. B2.12 2.12 Một cái chìa vặn đai ốc được dùng để vặn chặt một đai ốc trên bánh xe. Hãy xác định momen của một lực 600N đối với điểm O. 2.13 Hãy xác định độ lớn và dấu của momen của lực 800N đối với điểm A và B. 2.14 Hãy xác định độ lớn và dấu của momen của lực 300N đối với điểm A và B. B Hình. B2.14 Hình. B2.13 2.15 Biết rằng hai lực P và Q tương đương với một lực duy nhất R đi qua điểm A, hãy xác định độ lớn P. (Gợi ý: Tổng momen của P và Q đổi với điểm A bằng 0.) Hình. B2.15 18 2.16 Hợp lực của các lực trên hình B2.16 có đường tác dụng đi qua A. Hãy xác định khoảng cách x. (Gợi ý: Tổng momen của các lực đổi với điểm A bằng 0.) Hình. B2.16 DẠNG 3: Momen của lực đối với một trục Định nghĩa: Momen của lực F đối với trục AB bằng thành phần hình chiếu của MO trên trục AB, với O là điểm bất kỳ trên trục AB. M AB  M O cos  Suy ra: Lực cắt trục hoặc song song với trục thì momen của lực đối với trục bằng không. Dưới đây là hai phương pháp xác định momen của lực đối với một trục Phương pháp véc tơ M AB  M O  λ  r  F  λ Hay M AB x  Fx x y Fy y z x Fz  x z Fx y y Fy z z Fz 19  Xác định véc tơ r = xi + yj + zk (là véc tơ định vị được vẽ từ điểm O bất kỳ trên trục AB đến điểm bất kỳ trên đường tác dụng của F)  Biểu diễn F theo các thành phần vuông góc F = Fxi +Fyj + Fzk  Xác định véc tơ đơn vị chỉ phương của trục AB: λ = λxi + λyj + λzk  Thay các thành phần hình chiếu đã tìm được vào công thức trên. Phương pháp hình học (phương pháp vô hướng) M AB   F2 .d  Phân tích F thành hai thành phần vuông góc: một thành phần song song với trục AB (F1) và một thành phần vuông góc với trục AB (F2)  Tính độ lớn của F2  Xác định mặt phẳng chứa F2 và vuông góc với trục AB, đồng thời xác định giao điểm O của mặt phẳng này với trục AB  Tìm khoảng cách d từ giao điểm O đến F2  M AB   F2 .d , lấy dấu “+” nếu nhìn từ chiều dương của trục (nhìn từ B) xuống O thấy F2 quay quanh O theo chiều ngược chiều kim đồng hồ (như hình vẽ trên) và lấy dấu “ - “ trong trường hợp ngược lại. Bài tập mẫu 2.4. Cho một cơ hệ như hình vẽ. Xác định momen của lực F đối với trục z Lời giải Hình M2.4 λ =k Bài tập mẫu 2.5 20