BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
CƠ KỸ THUẬT 1
Chương 1
GIỚI THIỆU VỀ TĨNH HỌC
Mục đích của chương
1. Kiến thức
Giới thiệu các khái niệm cơ học kỹ thuật, tĩnh học, động lực học
Giới thiệu các đại lượng cơ bản: chiều dài, thời gian, khối lượng, lực
Đưa ra các định luật Newton cho chuyển động của chất điểm và định luật
hấp dẫn
Nhắc lại các đặc điểm của véc tơ và các phép toán véc tơ
Đưa ra hướng dẫn chung cho các bước giải bài toán tĩnh học
2. Kỹ năng
Giúp sinh viên
Biết cách chuyển đổi đơn vị trong cùng một hệ đơn vị và giữa các hệ đơn vị
khác nhau
Biết áp dụng phép cộng véc tơ theo quy tắc hình bình hành và quy tắc tam
giác vào bài toán cụ thể
Biết phân tích véc tơ theo các thành phần vuông góc và thực hiện các phép
toán véc tơ sử dụng các thành phần vuông góc.
Các dạng bài tập và các bài tập mẫu. Bài tập luyện tập
Chú ý về cách ký hiệu véc tơ
(1) Các vectơ được viết bằng chữ in đậm, ví dụ: F chỉ véctơ lực
(2) Độ lớn của vectơ A được ký hiệu là | A| hoặc đơn giản là A (nghiêng)
(3) Khi viết bằng tay, ký hiệu thông thường là A
Véctơ được biểu diễn bằng một đoạn thẳng có hướng như hình vẽ, ghi kèm theo bên
cạnh là độ lớn của véctơ A hoặc ký hiệu véctơ A.
2
DẠNG 1: Tìm véc tơ tổng hoặc các véc tơ thành phần sử dụng quy tắc
hình bình hành (hoặc quy tắc tam giác)
(thường áp dụng đối với các véc tơ lực đồng quy phẳng)
Các bước thực hiện
Vẽ véc tơ tổng theo quy tắc hình bình hành hoặc theo quy tắc tam giác
A
A
A+B
B
A
B+A
A+B
A
B
B
B
quy tắc hình bình hành
quy tắc tam giác
Lưu ý:
Khi hai véc tơ cộng tuyến (nằm trên cùng một đường thẳng) thì véc tơ tổng
được tính theo phép cộng đại số.
Phép trừ véc tơ A-B được định nghĩa là A – B = A+ (-B)
Xác định độ lớn và phương chiều của véc tơ tổng, ta dùng định lý hàm số sin,
định lý hàm số cos.
Định lý hàm số sin
a
b
c
sin sin sin
a 2 b 2 c 2 2bc cos
Định lý hàm số cos
b 2 c 2 a 2 2ac cos
c 2 a 2 b 2 2ab cos
Giải tìm các ẩn số đề bài yêu cầu
Bài tập mẫu 1.1
Trên hình.M1.1(a) biểu diễn hai véc tơ định vị có độ lớn
là
A = 60m và B = 100m. (véc tơ định vị là véc tơ
được vẽ giữa hai điểm trong không gian).
Hãy xác định véc tơ tổng R = A + B.
Hình.M 1.1(a)
Lời giải
Trước tiên, ta sử dụng quy tắc tam giác (hoặc quy tắc hình bình hành) để vẽ véc tơ
tổng R = A + B. Sau đó, độ lớn và hướng của véc tơ tổng sẽ được tìm bằng cách áp
dụng định lý hàm số sin và định lý hàm số cos.
Véc tơ tổng R = A + B được thể hiện trong hình.M1.1(b)
3
Xác định độ lớn của véc tơ R bằng định lý hàm số sin
R 2 602 1002 2.60.100 cos1400
Suy ra R 151m
Để tìm góc tạo bởi R với phương ngang, ta tìm góc α
theo định lý hàm số sin.
100
R
25.20 .
0
sin sin140
Từ hình vẽ, ta thấy R tạo với phương ngang một góc 300 + α
= 55.2 0. Do đó ta được tổng của A và B là
Hình.M 1.1(b)
Bài tập mẫu 1.2
Vòng treo như hình vẽ chịu tác dụng của hai lực F1, F2.
Hãy xác định véc tơ tổng R = F1 + F2. Cho F1 = 200N, F2 = 400N.
F1 600
F2
Hình.M.1.2
Lời giải
Sử dụng quy tắc hình bình hành để vẽ véc tơ tổng R = F1 + F2.
Xác định độ lớn R bằng định lý hàm số cos
R 2 2002 400 2 2.200.400 cos1200
Suy ra R = 529.15 N.
Để tính góc φ – góc tạo bởi R với phương ngang
như hình vẽ, ta tìm góc α theo định lý hàm số sin
F1 α
φ
F2
1200
R
400
R
sin 0.65
sin sin120 0
Suy ra α = 40.890. Từ đó, φ = 900 – 40.89 0 = 49.110.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1.1. Xác định độ lớn của hợp lực tác dụng lên mắt của đinh vít và hướng của nó được
đo theo chiều kim đồng hồ từ trục x.
Hình. B1.1
4
1.2. Xác định độ lớn của hợp lực và hướng của nó được đo theo chiều ngược kim đồng
hồ từ chiều dương của trục x.
Hình. B1.2
Hình. B1.3
Hình. B1.4
1.3. Một tấm chịu tác dụng của hai lực tại A và B như hình
vẽ. Nếu 600 , xác định độ lớn của hợp lực của hai lực này và hướng của nó được
đo theo chiều kim đồng hồ từ trục nằm ngang.
1.4. Nếu hợp lực tác dụng dọc chiều dương của trục u và có độ lớn bằng 5kN, xác định
độ lớn của FB và hướng của nó .
DẠNG 2: Phân tích véc tơ theo các thành phần vuông góc và cộng các
véctơ sử dụng các thành phần vuông góc
Để biểu diễn một véc tơ A theo các thành phần vuông góc A = Ax i + Ay j + Az k
ta có 3 cách sau
Cách 1
Phân tích A thành hai thành phần vuông góc: một
thành phần hướng theo trục z (hoặc hướng theo trục x, y) và
một thành phần nằm trong mặt phẳng xy (hoặc nằm trong
mặt phẳng yz, xz, tương ứng)
A = Axy + Az
Axy = A.sinϕ
Az = A.cosϕ
Axy
Bước tiếp theo là tách thành phần nằm trong mặt
phẳng xy thành hai thành phần hướng theo hai trục x, y
Axy = Ax + Ay
Ax = Axy.cosθ = A.sinϕ.cosθ
Ay = Axy.sinθ = A.sinϕ.sinθ
Vậy ta có A = Ax i + Ay j + Az k
với Ax = A.sinϕ.cosθ
Ay = A.sinϕ.sinθ
Az = A.cosϕ
Axy
5
Cách 2
Tìm các góc tạo bởi A và chiều dương của các trục x, y, z.
Gọi các góc đó lần lượt là x , y , z , ta có
Ax = A. cosθx
Ay = A. cosθy
Az = A.cosθz
Cách 3
Tìm các thành phần hình chiếu của một véc tơ dựa vào véc
tơ chỉ phương của đoạn thẳng chứa véc tơ đó
Chẳng hạn, véc tơ F nằm trên đoạn AB và hướng từ A đến B. Ta sẽ biểu diễn véc tơ F
theo các thành phần vuông góc dùng véc tơ chỉ phương của AB. Thực hiện theo ba
bước sau:
Viết véc tơ AB
Tìm tọa độ điểm A (xA, yA, zA), tìm tọa độ điểm B (xB,
yB, zB).
Suy ra AB xB xA i yB y A j z B z A k
Tính véc tơ đơn vị chỉ phương của AB
Viết F = Fλ
AB xB xA yB y A zB z A
λ=
i
j
k
AB
AB
AB
AB
x x i y y j z z k
B A B A B A
x x 2 y y 2 z z 2
B A B A
A
B
F = Fλ = F
Cộng các véc tơ sử dụng các thành phần hình chiếu vuông góc
Xét hai véctơ
A = Axi + Ayj + Azk
và B = Bxi + Byj + Bzk. Kí hiệu C là tổng của A và B
C = Cx i + Cy j + Czk
Ta có
Cx Ax Bx
C y Ay By
C z Az Bz
Bài tập mẫu 1.3
Cho véc tơ A như hình vẽ.
a) Hãy xác định các thành phần vuông góc của véc
tơ A
b) Hãy xác định các góc giữa véc tơ A và chiều
dương của các trục tọa độ.
6
Hình. M1.3
Lời giải
a) Xác định các thành phần vuông góc của véc tơ A
Trước tiên ta tách A thành hai thành phần như hình vẽ
+ Az nằm dọc theo trục z
+ Axy nằm trong mặt phẳng xy
Vì A, Az, Axy nằm trong cùng một mặt phẳng nên sử dụng công thức lượng giác, ta có
Az = Acos300 = 12 cos300 = 10.392m
Axy = Asin300 = 12 sin30 0 = 6m
Tiếp theo, ta tách Axy thành hai thành phần
Ax, Ay nằm dọc theo hai trục x, y
Ax = Axycos400 = 6cos400 = 4.596m
Ay = Axysin400 = 6sin400 = 3.857m
Do đó, biểu diễn của véc tơ A theo các thành
phần vuông góc là
A = Ax i + Ay j + Az k = 4.60i + 3.86j +
10.39k m
b) Xác định các góc giữa véc tơ A và chiều dương của các trục tọa độ.
Các góc giữa A và các trục tọa độ được tìm từ các phương trình sau
cos x
cos y
cos z
Ax 4.596
A
12
Ay 3.857
A
12
Az 10.392
A
12
x 67.50
y 71.30
0
y 30.0
7
Bài tập mẫu 1.4
Dây cáp buộc vào một chốt cố định như hình vẽ được kéo bằng lực F có độ lớn 500N.
Hãy xác định các thành phần vuông góc của lực F.
Lời giải
1. Viết AB
Tọa độ các điểm A, B là A (4,0,3) và B (0,6,0)
Hình. M1.4
Suy ra AB 4i 6 j 3k
2. Tính véc tơ đơn vị chỉ phương của AB
3. Viết F = Fλ:
Các thành phần
vuông góc của F
Bài tập mẫu 1.5
Puli chỉ ra trên hình M1.5(a) chịu tác dụng của các lực dây đai P và Q. Sử dụng các
thành phần hình chiếu vuông góc, hãy xác định độ lớn và hướng của lực tổng P + Q.
Hình M1.5(a)
Lời giải
Dựa vào hình M1.5(b), biểu diễn các véctơ P và Q theo
các thành phần hình chiếu vuông góc là
Hình M1.5(b)
8
Lực tổng của P và Q được tìm bằng cách cộng các thành phần của chúng:
Chúng ta tính được độ lớn và hướng của R
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1.5. Cho véc tơ F như hình vẽ có độ lớn 240N.
Hãy phân tích véc tơ F thành ba thành phần vuông góc theo các phương x, y, z và
biểu diễn chúng trên hình vẽ.
Hình. B1.5
Hình. B1.6
1.6. Biết độ lớn của lực Q là 100N.
Hãy phân tích véc tơ Q thành ba thành phần vuông góc theo các phương x, y, z và
biểu diễn chúng trên hình vẽ.
1.7. Cho cơ hệ như hình bên. Các dây xích được sử dụng để chống cột điện. Biểu
diễn mỗi lực theo các véctơ đơn vị chỉ phương i, j, k. Bỏ qua đường kính của cột.
9
Hình. B1.7
1.8.
Hãy tính góc z giữa véc tơ lực F và trục z. Và hãy xác định các thành phần
vuông góc của F. Biết F = 240N.
1.9. Hãy xác định tổng của hai véc tơ lực trên hình vẽ
Hình. B1.8
Hình. B1.9
Hình. B1.10
1.10. Độ lớn của ba lực là F1 = 1.6kN, F2 = 1.2, F3 = 1.0kN. Hãy tìm tổng của ba véc
tơ đã cho.
1.11
Nếu R là hợp lực của lực P và Q, tìm P và Q (hình. B1.11).
1.12
Cho R là hợp lực của P và Q. Hãy xác định Q và góc θ (hình. B1.12).
Hình. B1.11
Hình. B1.12
10
Chương 2
CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN VỚI HỆ LỰC
Mục đích của chương
1. Kiến thức
Đưa ra khái niệm về sự tương đương
Đưa ra khái niệm và phương pháp tìm hợp lực của hệ lực đồng quy
Trình bày các khái niệm momen của lực đối với một điểm, momen của lực
đối với một trục và các phương pháp tính các đại lượng này.
Trình bày khái niệm ngẫu lực, tính chất của ngẫu lực
Thay đổi đường tác dụng của lực
2. Kỹ năng
Giúp sinh viên
Biết xác định hợp lực của hệ lực đồng quy
Thành thạo các bước tính momen của lực đối với một điểm và đối với một
trục theo các phương pháp đã đưa ra
Biết lựa chọn phương pháp tính momen của lực đối với một điểm và đối với
một trục theo từng bài toán cụ thể.
DẠNG 1: Tìm hợp lực của hệ lực đồng quy hoặc tìm các véc tơ lực
thành phần của hệ lực đồng quy khi biết hợp lực của chúng
Hệ lực đồng quy (đường tác dụng của các lực cắt nhau tại một điểm) tương đương với
một lực bằng tổng các lực thành phần, gọi là hợp lực của hệ lực đồng quy.
R F F1 F2 F3 ...
Các bước giải tìm hợp lực của hệ lực đồng quy
Biểu diễn mỗi véc tơ của hệ lực theo các thành phần vuông góc
Áp dụng phép cộng véc tơ sử dụng các thành phần vuông góc, ta tìm được véc
tơ tổng
R Fx i Fy j Fz k
Giải tìm các thành phần đề bài yêu cầu
11
Bài tập mẫu 2.1
Một dầm được kéo lên bằng cách sử dụng hai dây xích. Xác định độ lớn của lực FA, FB
tác dụng lên mỗi dây xích, biết rằng hợp lực nằm dọc theo trục y và có độ lớn 600N,
xét với θ =450.
Lời giải
Biểu diễn các lực trong hệ tọa độ Decartes
Khi đó hợp lực được biểu diễn như sau
Hình M2.1
R FA FB FAcos600 FB cos450 i FAcos300 FB sin 450 j
Theo giả thiết
R 600 j
Suy ra:
Giải hệ trên ta tìm được:
FA = 439.23 (N)
FB = 310.58 (N)
Bài tập mẫu 2.2
Ba dây được buộc vào cột trụ tại A như hình (a). Các lực trong dây là F1 = 260N, F2 =
75N, và F3 = 60N. Hãy xác định
a) độ lớn của lực R tương đương với ba lực trên
b) các tọa độ của giao điểm của đường tác dụng của
R và mặt phẳng yz
Hình M2.2
Lời giải
a) Xác định độ lớn lực R tương đương với ba lực đã cho
12
Ta có
AB
3i 12 j 4k
F1 = 260λAB = 260 260
60i 240 j 80k
13
AB
AC
3i 4k
F2 = 75λAC = 75 75
45i 60k
5
AC
F1 = - 60j
Suy ra hợp lực R là
R F F1 F2 F3
60i 240 j 80k 45i 60k 60 j
105i 300 j 140k
Độ lớn của R là
R
2
2
105 300 140
2
347.3 N
b) Xác định các tọa độ của giao điểm của đường tác dụng của R và mặt phẳng yz
Gọi giao điểm của đường tác dụng của R và mặt phẳng yz là D
Véc tơ đơn vị chỉ phương của R là
Tọa độ điểm D có thể được xác định từ các tỷ số
Từ
ta nhận được
13
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
2.1. Độ lớn của ba lực tác dụng lên vòng khuyên là T1= 550N, T2 = 200N, và T3 =
750N. Hãy thay thế ba lực trên bằng một lực R tương đương. Thể hiện véc tơ kết quả
trên hình vẽ.
Hình. B2. 1
Hình. B2. 2
2.2. Hãy xác định độ lớn của lực P và góc θ để ba lực như trên hình vẽ tương đương
với một véc tơ lực R =85i +20j kN.
ĐS: 109.6(kN), θ = 29.90.
2.3. Lực R là hợp lực của các lực P1, P2, P3 tác dụng lên tấm chữ nhật. Hãy xác định
độ lớn P1, P2 nếu R = 40kN và P3 = 20kN.
ĐS: P1 = 62.3(kN), P2 = 44.6(kN).
Hình. B2.3
2.4.
Hình. B2.4
Một người tác dụng một lực P có độ lớn 250N lên tay cầm của xe đẩy. Biết
rằng hợp lực của các lực P, Q (phản lực tác dụng lên bánh xe) và W (trọng lượng của
xe đẩy) là R = 50i (N), hãy xác định trọng lượng W.
2.5. Độ lớn của ba lực tác dụng lên tấm chữ nhật là T1= 100kN, T2 = 80kN, và T3 =
50kN. Hãy thay thế các lực này bằng một lực R tương
đương. Và tìm tọa độ của giao điểm của đường thẳng
chứa R và tấm chữ nhật.
ĐS: R = -24.2i – 24.5j + 205.1k (kN),
x = 0.708(m),
y = 0.716(m)
Hình. B2.5 và B2.6
14
2.6.
Hãy xác định độ lớn của ba lực T1 ,T2 ,T3 tác dụng lên tấm để chúng tương
đương với một lực R 210k kN .
2.7. Thay thế ba lực căng của dây cáp tác dụng lên cột
cờ bằng một lực tương đương.
Cho T1 = 1000N, T2 =2000N, và T3 =1750N.
Hình. B2.7
DẠNG 2: Tìm momen của lực đối với một điểm
Định nghĩa momen của lực F đối với điểm O
MO r F
Trong đó, r là véc tơ định vị điểm A bất kỳ trên
đường tác dụng của F so với điểm O: r OA .
Mặt phẳng
chứa O và F
Ta có thể xác định momen của lực đối với một
điểm theo ba cách sau
Cách 1. Phương pháp véc tơ
i
j
k
MO r F x
y
z
Fx
Fy
Fz
Chọn hệ trục tọa độ Descartes
Xác định véc tơ r = xi + yj + zk
+ Tìm tọa độ điểm O
+ Tìm tọa độ điểm A (điểm bất kỳ trên đường tác dụng của F)
+ r OA xA xO i y A y O j z A zO k
Xác định các thành phần hình chiếu của F trên các trục tọa độ (biểu diễn F theo
các thành phần vuông góc F = Fxi +Fyj + Fzk )
Thay các thành phần hình chiếu đã tìm được vào công thức trên
15
Cách 2. Phương pháp hình học
MO
- có điểm đặt tại O;
- có phương vuông góc với mặt phẳng chứa O và F;
- có chiều sao cho nhìn ngọn của MO xuống gốc O thì thấy F
q.x.q O theo chiều ngược chiều KĐH; (quy tắc bàn tay phải)
- có độ lớn MO = F.d
Trong đó d là khoảng cách hạ vuông góc từ O đến đường tác dụng của F
Cách 3. Tính qua momen của lực đối với một trục
MO M xi M y j M zk
Trong đó Mx, My, Mz tương ứng là momen của lực đối với các trục Ox, Oy, Oz.
Bài tập mẫu 2.3
Cho hệ hai lực FB, FC như hình bên.
Hãy xác định
a) Momen của từng lực đối với điểm O
b) Tổng momen của hai lực lấy đối với điểm O.
Biểu biễn kết quả theo các thành phần vuông góc.
Lời giải
Xác định các vecto định vị điểm A, B, C
Hình. M2.3
Vecto lực FB và FC được xác định bởi
Xác định momen của lực FB và FC đối với điểm O
16
Lấy tổng momen của lực FB và FC đối với điểm O
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
2.8 Các dây xích được sử dụng để chống cột điện như hình vẽ. Hãy tính momen của
mỗi lực đối với điểm gốc tọa độ. Bỏ qua đường kính
của cột.
Hình. B2.8
2.9 Cho hệ lực tác dụng vào máy khoan như trên hình vẽ. Hãy xác định momen của
mỗi lực đối với điểm O. Biểu diễn kết quả theo vecto Cartesian
Hình. B2.9
2.10
Hình. B2.10
Cho lực F = 80N tác động lên điểm C của một ống nước như trên hình. B2.10.
Hãy xác định momen của lực lấy đối với điểm A và điểm B. Biểu diễn kết quả theo
các véctơ đơn vị i, j, k.
2.11 Hãy xác định momen của lực Q đối với điểm O và điểm C. Biết độ lớn của lực
Q là 100N.
17
Hình. B2.11
Hình. B2.12
2.12 Một cái chìa vặn đai ốc được dùng để vặn chặt một đai ốc trên bánh xe. Hãy
xác định momen của một lực 600N đối với điểm O.
2.13 Hãy xác định độ lớn và dấu của momen của lực 800N đối với điểm A và B.
2.14 Hãy xác định độ lớn và dấu của momen của lực 300N đối với điểm A và B.
B
Hình. B2.14
Hình. B2.13
2.15 Biết rằng hai lực P và Q tương đương với một lực duy nhất R đi qua điểm A, hãy
xác định độ lớn P. (Gợi ý: Tổng momen của P và Q đổi với điểm A bằng 0.)
Hình. B2.15
18
2.16 Hợp lực của các lực trên hình B2.16 có đường tác dụng đi qua A. Hãy xác định
khoảng cách x. (Gợi ý: Tổng momen của các lực đổi với điểm A bằng 0.)
Hình. B2.16
DẠNG 3: Momen của lực đối với một trục
Định nghĩa: Momen của lực F đối với trục AB bằng thành phần hình chiếu của MO
trên trục AB, với O là điểm bất kỳ trên trục AB.
M AB M O cos
Suy ra: Lực cắt trục hoặc song song với trục thì momen
của lực đối với trục bằng không.
Dưới đây là hai phương pháp xác định momen của lực
đối với một trục
Phương pháp véc tơ
M AB M O λ r F λ
Hay
M AB
x
Fx
x
y
Fy
y
z
x
Fz x
z Fx
y
y
Fy
z
z
Fz
19
Xác định véc tơ r = xi + yj + zk (là véc tơ định vị được vẽ từ điểm O bất kỳ trên
trục AB đến điểm bất kỳ trên đường tác dụng của F)
Biểu diễn F theo các thành phần vuông góc F = Fxi +Fyj + Fzk
Xác định véc tơ đơn vị chỉ phương của trục AB: λ = λxi + λyj + λzk
Thay các thành phần hình chiếu đã tìm được vào công thức trên.
Phương pháp hình học (phương pháp vô hướng)
M AB F2 .d
Phân tích F thành hai thành phần vuông góc:
một thành phần song song với trục AB (F1) và
một thành phần vuông góc với trục AB (F2)
Tính độ lớn của F2
Xác định mặt phẳng chứa F2 và vuông góc
với trục AB, đồng thời xác định giao điểm O của
mặt phẳng này với trục AB
Tìm khoảng cách d từ giao điểm O đến F2
M AB F2 .d , lấy dấu “+” nếu nhìn từ chiều dương của trục (nhìn từ B) xuống O
thấy F2 quay quanh O theo chiều ngược chiều kim đồng hồ (như hình vẽ trên) và lấy
dấu “ - “ trong trường hợp ngược lại.
Bài tập mẫu 2.4.
Cho một cơ hệ như hình vẽ. Xác định momen của lực F đối với trục z
Lời giải
Hình M2.4
λ =k
Bài tập mẫu 2.5
20