Tài liệu Bất biến delta của kì dị đường cong phẳng

a b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b c d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI NHI ĐỀ TÀI: BẤT BIẾN DELTA CỦA KÌ DỊ ĐƯỜNG CONG PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Bình Định - năm 2022 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e f g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g h a b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b c d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI NHI LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐỀ TÀI: BẤT BIẾN DELTA CỦA KÌ DỊ ĐƯỜNG CONG PHẲNG Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 8460104 Khóa: 23 (2020 - 2022) Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Hồng Đức Bình Định - năm 2022 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e f g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g h Lời cam đoan. Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này được viết trung thực, các nội dung tham khảo đã được trích dẫn đầy đủ nguồn gốc và đúng quy định. Quy Nhơn, tháng 8 năm 2022. Người viết luận văn Bùi Nhi i Lời cảm ơn. Luận văn được hoàn thành trong khóa 23 đào tạo Thạc sĩ của trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Hồng Đức, Đại học Thăng Long. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành đến thầy hướng dẫn, người đã kiên trì dẫn dắt em để có được phương pháp nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian để chỉ bảo, góp ý cho em trong quá trình hoàn thành luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới các thầy cô giảng viên của trường Đại học Quy Nhơn và Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy, truyền tải kiến thức cho chúng em trong quá trình học tập. Em xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Toán, Khoa Sư Phạm, Trường Đại học Quy Nhơn đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng em trong suốt khóa học. Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè em đã động viên và ủng hộ để em có động lực hoàn thành khóa học của mình. Quy Nhơn, tháng 8 năm 2022. Bùi Nhi ii iii Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt (nếu có) Char(K) Đặc số của trường K. δ Bất biến delta. γ Bất biến gamma. κ Bất biến kappa. K Trường đóng đại số. K [[x, y]] Vành các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số K và với hệ biến x, y . i(f, g) Số bội giao của f và g . m Iđêan cực đại. µ Bất biến Milnor. Rf Vành tọa độ của f . r(f ) Số nhân tử bất khả quy của f . Rf Mở rộng nguyên, chuẩn tắc hóa của Rf . m−good Bội tốt (multiplicity good). im−good Bội giao tốt (intersection multiplicity good). decart(f ) Chênh lệch (differential ecart of f ). Mục lục Lời cam đoan. i Lời cảm ơn. ii 1 Kiến thức cơ sở. 3 1.1 Vành các chuỗi lũy thừa hình thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Một số bất biến của kì dị đường cong phẳng. . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Bất biến delta của kì dị đường cong phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 3 Công thức Milnor. 20 2.1 Phép biến đổi chặt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Lược đồ Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Phép biến đổi Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Bất biến kappa và công thức Plücker. 43 3.1 Bất biến kappa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Bất biến gamma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3 Công thức Plücker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Kết luận 54 iv 1 LỜI MỞ ĐẦU Về lý do chon đề tài "Bất biến delta của kì dị đường cong phẳng": "Bất biến delta" là một bất biến cổ điển xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học như Lý thuyết số tô pô, Đại số, Lý thuyết biểu diễn, Lý thuyết kì dị. Từ định nghĩa đại số của nó, chúng ta có thể định nghĩa bất biến delta cho trường bất kì. Nhưng những hiểu biết về bất biến delta trong trường hợp này vẫn rất hạn chế, và cần được nghiên cứu một cách hệ thống. Việc tính toán số delta theo đó cũng là một vấn đề cần được tìm hiểu và nghiên cứu. Tổng quan tình hình nghiên cứu, “Bất biến delta” của một kì dị đường cong phẳng f ∈ K [[x, y]] là một số tự nhiên được định nghĩa bằng cả Đại số và tô pô. Chúng được định nghĩa như là chiều của không gian vectơ thương của Rf /Rf , trong đó Rf là vành tọa độ của f . Đây là một bất biến quan trọng trong Đại số, Hình học đại số, Lí thuyết kì dị và Lí thuyết biến dạng. Hơn nữa bất biến này còn có mối liên hệ mật thiết với các bất biến khác của kì dị đường cong phẳng, điều này cho ta một định hướng nghiên cứu về cách tính toán số delta thông qua các bất biến khác. Mục đích nghiên cứu của đề tài là hệ thống lại những kết quả quan trọng liên quan đến bất biến delta của đường cong phẳng và đưa ra các phương pháp tính toán số delta. Trình bày và chứng minh công thức Milnor trong trường có đặc số không âm. Đối tượng nghiên cứu của đề tài là kì dị đường cong phẳng, đặc biệt là bất biến delta và các bất biến liên quan. Luận văn được nghiên cứu thông qua phương pháp sử dụng Lý thuyết kì dị, mở rộng nguyên của vành, tham số hóa, dùng phép biến đổi chặt, biến đổi Newton và giải kì dị. Nội dung luận văn được chia làm ba chương bao gồm: Chương 1: Kiến thức cơ sở gồm các kết quả cơ bản thuộc Lý thuyết kì dị và các khái niệm về các bất biến của kì dị đường cong phẳng. Chương 2: Công thức Milnor là kết quả chính và việc chứng minh công thức này chính là yêu cầu cần đạt được trong bài luận văn này. 2 Chương 3: Công thức Plücker cũng là một công thức kinh điển của lí thuyết kì dị và có liên qua đến bất biến delta. Cuối cùng, luận văn này được viết dựa trên các tài liệu tham khảo, sách và các bài báo khoa học đã được công bố rộng rãi. Các kết quả được trình bày trong bài không phải là kết quả mới và chỉ được trình bày lại với các chứng minh có từ trước đó, kết hợp với lập luận cá nhân. Do đó luận văn chỉ mang tính chất tham khảo. Tôi hy vọng rằng luận văn này sẽ là một tài liệu hữu ích cho quý đọc giả và giảng viên. Quy Nhơn, tháng 8 năm 2022. Người viết luận văn Bùi Nhi Chương 1 Kiến thức cơ sở. Mở đầu chương này là các kiến thức cơ sở thuộc Lý thuyết kì dị được trích dẫn và tham khảo từ tài liệu số[5]. 1.1 Vành các chuỗi lũy thừa hình thức. Cho K là một trường đóng đại số, K [[x, y]] được gọi là vành các chuỗi lũy thừa hình thức hai biến. Một chuỗi lũy thừa hình thức hai biến x, y có dạng f (x, y) := X cα,β xα y β . α+β≥0 Trong đó nếu cα,β 6= 0 thì cα,β xα y β được gọi là một đơn thức có cấp là α + β của f . cα,β khi đó được gọi là hệ số của đơn thức. Đơn thức x0 .y 0 ≡ 1. Ta nói một chuỗi f là thuần nhất nếu f là tổng của các đơn thức có cùng cấp. Iđêan cực đại của K [[x, y]] được ký hiệu là m = hx, yi. Định nghĩa 1.1.1 (Giá của f ) P Cho f (x, y) = cα,β xα y β ∈ K [[x, y]], ta có supp(f ) = {(α, β) ∈ N2 |cα,β 6= 0}. được gọi là giá của f . Một chuỗi lũy thừa hình thức f ∈ K [[x, y]] là một đa thức nếu supp(f ) là hữu hạn. 3 4 Định nghĩa 1.1.2 (Số bội) Cho f ∈ K [[x, y]], số bội của f , ký hiệu ord(f ) := mt(f ) := min{α + β|(α, β) ∈ supp(f )}. Ta quy ước supp(0) = ∅ và ord(0) = ∞. Mệnh đề 1.1.3 Cho f, g ∈ K [[x, y]], ta có các mệnh đề sau: 1. ord(f + g) ≥ min{ord(f ), ord(g)}; 2. ord(f.g) = ord(f ) + ord(g). X Chứng minh Giả sử f (x, y) = α+β≥ord(f ) 1. Ta viết lại f = X fi và g = i X X aα,β xα y β và g(x, y) = bγ,θ xγ y θ γ+θ≥ord(g) gj trong đó fi và gj lần lượt là các đa thức có i bậc i và j của f và g . Khi đó ta có f + g = X (fi + gi ). Từ đây ta có được đánh giá i ord(f + g) ≥ min{ord(f ), ord(g)}. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đa thức fi + gi 6= 0 với i = min{ord(f ), ord(g)} 2. Ta có X f.g := aα,β bγ,θ xα+γ y β+θ α+β+γ+θ≥ord(f )+ord(g) Vậy ord(f.g) = ord(f ) + ord(g). Định nghĩa 1.1.4 (Chuỗi luỹ thừa khả nghịch) Cho f, g ∈ m ⊂ K [[x, y]] là hai chuỗi lũy thừa hình thức khác đơn vị, khi đó f được gọi là nghịch đảo của g khi và chỉ khi f.g = 1. Khi đó ta nói f là khả nghịch trong K [[x, y]]. Ký hiệu K [[x, y]]∗ là tập các chuỗi lũy thừa hình thức khả nghịch trong K [[x, y]]. Bổ đề 1.1.5 (Bổ đề Krull) K [[x, y]] ⊃ m = hx, yi là iđêan cực đại, khi đó ∞ \ k=1 mk = {0}. 5 ∞ \ Chứng minh Hiển nhiên {0} ⊂ Thật vậy, với f ∈ ∞ \ k=1 mk ⇔ f ∈ mk , ∀k = 1, ..., giả sử f 6= 0 suy ra ord(f ) = h < ∞. k=1 Vì vậy mà f ∈ / mh+1 mk , ta sẽ chứng minh điều ngược lại cũng đúng. nên f ∈ / ∞ \ mk , ∀k = 1, ... (mâu thuẫn với giả thiết). k=1 Mệnh đề 1.1.6 Cho f ∈ K [[x, y]], ta có các mệnh đề sau 1) mt(f ) > 0 ⇔ f ∈ m. 2) f ∈ / m ⇔ f khả nghịch ⇔ ∃g ∈ K [[x, y]] : f.g = 1 ⇔ mt(f ) = 0. Chứng minh 1) Giả sử mt(f ) = α+β > 0, khi đó f (x, y) = cα,β xα y β + X dγ,δ xγ y δ . γ+δ>α+β Ta viết lại f như sau   X f (x, y) = xα y β cα,β + dγ,δ xγ−α y δ−δ  . γ+δ>α+β Do đó f ∈ m. Ngược lại nếu f ∈ m thì f có dạng: f = f1 x + f2 y nên mt(f ) > 0. 2) Giả sử f khả nghịch ⇔ ∃g ∈ K [[x, y]] : f.g = 1. Ta có mt(f.g) ≥ mt(f ) + mt(g) ⇔ mt(f ) + mt(g) ≤ 0 ⇔ mt(f ) = mt(g) = 0. Vậy f ∈ / m. Ngược lại ∀f ∈ K [[x, y]] , f ∈ / m ⇔ mt(f ) = 0. Khi đó chuỗi f được viết ∞ X lại f = fi , trong đó fi là đa thức thuần nhất bậc i của f và 0 6= f0 ∈ K. Ta sẽ chứng i=0 minh rằng tồn tại một g ∈ K [[x, y]] sao cho f.g = 1. Ta cũng viết lại g = ∞ X gi , trong i=0 1 đó gi là đa thức thuần nhất bậc i của g và 0 6= g0 ∈ K. Chọn g0 = , khi đó f0 .g0 = 1. f0 Ta có (f0 + f1 ).(g0 + g1 ) = f0 g0 + (f1 g0 + f0 g1 ) + g1 f1 ) ⇒ chọn g1 = −f1 .g0 . f0 Khi đó f.g ≡ 1(mod m = m1 ). Giả sử tồn tại g2 , ..., gn sao cho ! ∞ ! ∞ X X fi gi ≡ 1 (mod mn ). f.g = i=0 i=0 Ta chứng minh rằng tồn tại gn+1 sao cho f.g ≡ 1 (mod mn+1 ). Thật vây, ta có 6 " n X ! fi + fn+1 ! n X i=0 = n X #" fi i=0 i=0 ! gi + fn+1 i=0 ! gi # + gn+1 n X ! gi + gn+1 i=0 fn+1 Chọn gn+1 = − n X n X ! fi + gn+1 fn+1 . i=0 ! gi i=0 n X n X ! . Bởi vì các fi , i = 0, ..., n và các gj , j = 0, ..., n là xác fi i=0 định nên gn+1 là xác định. Do đó theo quy nạp ta sẽ có chuỗi g thỏa mãn g.f ≡ 1(mod mn+1 ), với mọi n ∈ N. Theo Bổ đề Krull thì với n dần đến ∞ ta nhận được g.f = 1. Như vậy các chuỗi không thuộc m được gọi là các chuỗi khả nghịch. Mệnh đề 1.1.7 K [[x, y]] là một vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất là m. Chứng minh m = hx, yi là iđêan của K [[x, y]]. 1) m là cực đại. Thật vậy, giả sử m0 là một iđêan của K [[x, y]] sao cho m ( m0 . Khi đó ∃f ∈ m0 \m, ta có thể viết lại f = f1 x + f2 y + c, với c ∈ K. Từ đó suy ra c = f − (f1 x + f2 y) ∈ m0 ( vì (f1 x + f2 y) ∈ m) mà do đó m0 = K [[x, y]] . 2) m là iđêan cực đại duy nhất. Thât vậy, giả sử tồn tại m0 là một iđêan cực đại khác m của K [[x, y]], khi đó tồn tại 0 6= f ∈ m0 \m là khả nghịch, tức là tồn tại một g ∈ K [[x, y]] sao cho f.g = 1 ∈ m0 . Do đó m0 = K [[x, y]] (mâu thuẫn với tính cực đại của m0 ). Vậy m là iđêan cực đại duy nhất của K [[x, y]]. Định nghĩa 1.1.8 (Chuỗi bất khả quy) Cho f ∈ K [[x, y]], chuối luỹ thừa hình thức f được gọi là bất khả quy nếu nó không thể phân tích thành các nhân tử bất khả nghịch. Tức là f = g.h ⇒ g ∈ / m hoặc h ∈ / m. Một chuỗi lũy thừa hình thức f được gọi là thu gọn nếu f = f1p1 ...fsps , trong đó pi = 1, và fi là bất khả quy với i = 1, s. Khi đó fi được gọi là nhánh thứ i của f và ký hiệu r(f ) số các nhân tử (nhánh) bất khả quy của f . 7 Định nghĩa 1.1.9 ( Quan hệ tương đương) Cho f, g ∈ m ⊂ K [[x, y]], khi đó 1. f được gọi là tương đương phải với g , ký hiệu f ∼r g nếu tồn tại một tự đẳng cấu ϕ : K [[x, y]] −→ K [[x, y]] sao cho ϕ(f ) = g . 2. f được gọi là tương đương liên kết với g , ký hiệu f ∼c g nếu tồn tại một tự đẳng cấu ϕ : K [[x, y]] −→ K [[x, y]] và một phần tử khả nghịch u ∈ K [[x, y]]∗ sao cho f = u.ϕ(g). Định nghĩa 1.1.10 (Chuỗi chính quy) Cho f ∈ K [[x, y]], f được gọi là m−chính quy đối với x nếu f có dạng f (x, 0) = axm + X cα xα (a 6= 0). α>m Chuỗi chính quy đối với y được định nghĩa tương tự. Định nghĩa 1.1.11 (Chuỗi trơn) Cho f ∈ K [[x, y]], chuỗi f được gọi là trơn khi và chỉ khi f ∈ m\m2 , tức là mt(f ) = 1. Một chuỗi f ∈ m ⊂ K [[x, y]] được gọi là một kì dị đường cong phẳng. Tiếp theo là các định nghĩa và kết quả liên quan đến một số bất biến của một kì dị đường cong phẳng. Từ đây các chuỗi f mà ta xét đều được xem như là một kì dị đường cong phẳng. 8 1.2 Một số bất biến của kì dị đường cong phẳng. Định nghĩa 1.2.1 (Số Milnor) Cho f ∈ m ⊂ K [[x, y]], số Milnor của f ký hiệu µ(f ) := dimK K [[x, y]] /j(f ).  Trong đó j(f ) = ∂f ∂f , ∂x ∂y  là iđêan Jacobian của f . Lưu ý: khái niệm chiều của thương K [[x, y]] /j(f ) được hiểu như là chiều của K−không gian vectơ K [[x, y]] /j(f ), tức là số Milnor bằng số phần tử trong một cơ sở của không gian vectơ này. Ta xem xét ví dụ sau. Ví dụ 1 Cho f ∈ m ⊂ K [[x, y]], có dạng f = x3 − y 4 và Char(K) = 0.  Ta có: fx = 3x2 và fy = −4y 3 , suy ra j(f ) = x2 , y 3 . y Khi đó K [[x, y]] /j(f ) = K [[x, y]] / x2 , y 3  . Suy ra cơ sở của K [[x, y]] /j(f ) là:  S = 1, x, y, xy, y 2 , xy 2 . Do đó dimK K [[x, y]] /j(f ) = 6. Vậy µ(f ) = 6. 2 1 x O 1 Định nghĩa 1.2.2 (Tham số hóa) Cho f ∈ m ⊂ K [[x, y]], f là bất khả quy. Một bộ (x(t), y(t)) được gọi là một tham số hóa của f nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau: 1) f (x(t), y(t)) = 0; 2) Nếu f (u(t), v(t)) = 0 thì tồn tại duy nhất φ(t) ∈ K [[t]]: u(t) = x(φ(t)) và v(t) = y(φ(t)) ( tính phổ dụng của tham số hóa). Nhận xét 1 Tính phổ dụng của tham số hóa ở Định nghĩa 1.2.2 cho ta một khẳng định rằng với hai bộ tham số hóa (x(t), y(t)) và (x0 (t), y 0 (t)) của cùng một chuỗi bất khả quy f thì chúng chỉ sai khác nhau một tự đẳng cấu φ(t) trên K[[t]]. Tức là x(t) = x0 (φ(t)), y(t) = y 0 (φ(t)) với φ(t) ∈ Aut(K[[t]]). 9 Chứng minh Thật vậy, xem bộ (x(t), y(t)) là một tham số hóa của f và vì f (x0 (t), y 0 (t)) = 0 nên theo tính phổ dụng của tham số hóa, tồn tại duy nhất φ(t) ∈ K [[t]]: x0 (t) = x(φ(t)) và y 0 (t) = y(φ(t)). Tương tự ta cũng có φ0 (t) ∈ K [[t]]: x(t) = x0 (φ0 (t)) và y(t) = y 0 (φ0 (t)). Do đó x(t) = x(φ(φ0 (t))) suy ra ord(x(t)) = ord(x(t)).ord(φ(t)).ord(φ0 (t)). Vậy ord(φ(t)) = 1 tức là φ là đẳng cấu, hơn nữa ord(x(t)) = ord(x0 (t)) và ord(y(t)) = ord(y 0 (t)). Định nghĩa 1.2.3 (Bội giao) Cho f, g ∈ m ⊂ K [[x, y]], f là bất khả quy . Khi đó 1) Với (x(t), y(t)) là một tham số hóa của f , số bội giao của f và g được tính bởi i(f, g) := ord(g(x(t), y(t))). 2) Với f = f1 ...fn , fi là bất khả quy với mọi i = 1, n và g ∈ K [[x, y]] i(f, g) := n X i(fi , g). i=1 Bởi Nhận xét 1 ta thấy số bội giao của f và g là không phụ thuộc vào tham số hóa của f nên định nghĩa số bội giao của f và g như trên là một định nghĩa tốt. Ví dụ 2 Cho f, g ∈ m ⊂ K [[x, y]], có dạng f = x3 − y 4 , g = x2 + y 2 và Char(K) = 0. Ta có f là bất khả quy và (t4 , t3 ) là một tham số hoá của f . Theo định nghĩa số bội giao ta có i(f, g) = ord(g(x(t), y(t))) = ord (t4 )2 + (t3 )2
= ord t8 + t6 = 6.
10 Mệnh đề 1.2.4 Cho f ∈ m ⊂ K [[x, y]], f là bất khả quy. Giả sử ord (f (x, 0)) = n, ord (f (0, y)) = m. Gọi (x(t), y(t)) là một tham số hóa của f khi đó ord(x(t)) = m, ord(y(t)) = n. Chứng minh Theo Định nghĩa 1.2.3 ta có i(f, x) = ord(x(t)) = ord(f (0, y)) = m Tương tự ta có i(f, y) = ord(y(t)) = ord(f (x, 0)) = n. Nếu ta xem lại ví dụ 2 ta sẽ dễ dàng thấy mệnh đề trên là đúng. Mệnh đề 1.2.5 Cho f, g ∈ m ⊂ K [[x, y]], số bội giao của f và g cũng có thể được tính bởi công thức sau i(f, g) = dimK K [[x, y]] / hf, gi . Chứng minh Tham khảo mục [5, Mệnh đề 3.12, tr. 176-177] Nhận xét 2 Theo định nghĩa của số Milnor và mệnh đề trên ta có i(fx , fy ) = µ(f ). Mệnh đề 1.2.6 Cho f, g ∈ m ⊂ K [[x, y]], khi đó bội giao i(f, g) có các tính chất sau 1. i(f, g) = i(g, f ); 2. i(f, g) < +∞ khi và chỉ khi f và g không có nhân tử chung; 3. Với mỗi đẳng cấu φ trên K [[x, y]] ta có i(f, g) = i(φ ◦ f, φ ◦ g). Chứng minh 1) Thu được từ Mệnh đề 1.2.5. 2) Ta có f = f1α1 ...fsαs và g = g1β1 ...grβr . Theo định nghĩa của số bội giao ta có i(f, g) = s X r X αi βj i(fi , gj ). i=1 j=1 Nếu f và g có một nhân tử chung, tức là có i, j nào đó sao cho fi = gj = h. Gọi (x(t), y(t)) là một tham số hóa của của h. Khi đó i(fi , gj ) = ord(0) = ∞. Do đó i(f, g) = ∞. Ngược lại nếu f và g không có nhân tử chung theo Mệnh đề 1.2.4 thì i(fi , gj ) < ∞ với mọi i = 1, s và j = 1, r. Do đó i(f, g) < ∞. 3) Vì φ là một đẳng cấu nên ta có hf, gi ∼ = φ (hf, gi) = hφ ◦ f, φ ◦ gi. Thật vậy ∀ h ∈ hf, gi: h = h1 f + h2 g , với h1 , h2 ∈ K [[x, y]], ta có 11 φ (h) = φ (h1 f + h2 g) = φ(h1 f ) + φ(h2 g) = h1 φ(f ) + h2 φ(g) ∈ hφ ◦ f, φ ◦ gi . Ngược lại, ∀ k ∈ hφ ◦ f, φ ◦ gi, k = h1 .φ(f ) + h2 φ(g), với h1 , h2 ∈ K [[x, y]]. Ta có h1 .φ(f ) + h2 φ(g) = φ(h1 f ) + φ(h2 g) = φ (h1 f + h2 g) ∈ φ (hf, gi) . Do đó K [[x, y]] / hf, gi ∼ = K [[x, y]] / hφ ◦ f, φ ◦ gi . Vậy chúng có cùng số chiều và theo Mệnh đề 1.2.5 thì ta có được điều cần phải chứng minh. Định nghĩa 1.2.7 (m-good và im-good) Cho f ∈ m ⊂ K [[x, y]], f là thu gọn có dạng f = f1 .f2 ....fr , fi là bất khả quy với mọi i = 1, r. Đặc số p được gọi là i) Bội tốt (m-good) cho f nếu các số bội mt(fi ) 6= 0 (mod p) với mọi i = 1, r; ii) Bội giao tốt (im-good) cho f nếu với mọi i = 1, r i(fi , x) 6= 0 nếu không thì i(fi , y) 6= 0 (mod p); iii) Bội giao tốt phải (right im-good) cho f nếu nó là im-good cho f sau vài phép biến đổi tọa độ, nói cách khác p là im-good cho vài chuỗi g là tương đương phải của f . 12 1.3 Bất biến delta của kì dị đường cong phẳng. Trong mục này, bất biến delta sẽ chỉ được định nghĩa với các chuỗi f là thu gọn hoặc bất khả quy. Gọi Rf := K [[x, y]] / hf i. Vành các thương của Rf , ký hiệu là Quot(Rf ) = n g h g, h ∈ Rf , h 6= 0 o . Chú ý: Mẫu 0 6= h ∈ Rf : h = u = u + hf i thì trong đó u và f không có nhân tử chung. Rf được gọi là bao đóng nguyên của Rf trong Quot(Rf ), Rf := {a ∈ Quot(Rf )|∃a1 , ..., am ∈ Rf : am + a1 .am−1 + ... + am = 0}. Ta sẽ chứng minh rằng Rf là một vành và do đó Rf là vành con của nó. Ta có thể nhận thấy đó là Rf ⊂ Rf ⊂ Quot(Rf ). Ta phát biểu và chứng minh mệnh đề sau: "Cho A là một vành con của vành nhân giao hoán B có phần tử đơn vị khác 0. Khi đó bao đóng nguyên của A trong B là C , cũng là một vành con của B ." Chứng minh Để chứng minh mệnh đề trên ta sử dụng định lý tương đương sự phụ thuộc của quan hệ nguyên ([10, Định lý 9.2, tr.72]) phát biểu như sau: Định lý: Cho B = A[z1 , ..., zn ] là một đại số hữu hạn sinh trên A. Khi đó ∀x ∈ B các mệnh đề sau là tương đương. i) x là phần tử nguyên trên A. ii) B là mở rộng nguyên của C iii) A−mođun A[x] là hữu hạn sinh. Hơn nữa B là A−môđun hữu hạn sinh. Chứng minh mệnh đề: Vì A ⊂ C nên C 6= ∅. ∀x ∈ C, ∃c1 , ..., cn ∈ A : xn + c1 xn−1 + ... + cn = 0. Để C là vành con của B ta sẽ chứng minh rằng ∀x, y ∈ C ⇒ x + (−y), xy ∈ C . 13 Thật vậy, vì x, y ∈ C là phần tử nguyên trên A, nên theo định lý tương đương sự phụ thuộc của quan hệ nguyên, ta có A[x], A[y] là các A−mođun hữu hạn sinh. Mà vì A ⊂ A[x], nên (A[x])[y] cũng là một A[x]−mođun hữu hạn sinh. Do đó ta có dãy các mở rộng sau: A → A[x] → (A[x])[y] = A[x, y] và theo lý thuyết mở rộng hữu hạn ta có A[x, y] là A−mođun hữu hạn sinh. Một lần nữa theo định lý tương đương sự phụ thuộc của quan hệ nguyên ta có được: Mọi phần tử của A[x, y] đều có quan hệ nguyên trên A bao gồm cả x + (−y) và x, y . Vậy x + (−y), xy ∈ C và C là vành con của B . Áp dụng trực tiếp mệnh đề trên ta có được Rf là một vành và Rf là vành con của nó. Từ đấy ta có được thương hai K−không gian vectơ, Rf /Rf . Hơn nữa vì f là thu gọn nên chiều của thương này là hữu hạn (tham khảo [5, Hệ quả 3.29, tr 200]). Người ta dùng chiều của thương Rf /Rf để định nghĩa cho bất biến δ(f ) của chuỗi f - một bất biến quan trọng của kì dị đường cong phẳng. Ta có định nghĩa sau. Định nghĩa 1.3.1 (Bất biến δ ) Cho f ∈ m ⊂ K [[x, y]], f là thu gọn. Số delta của f ký hiệu. δ(f ) := dimK Rf /Rf . Bổ đề 1.3.2 Rf ∼ = K [[x(t), y(t)]] trong đó f là bất khả quy và (x(t), y(t)) là một tham số hóa của f . Do đó δ(f ) = dim K [[t]] /K [[x(t), y(t)]] . Chứng minh Ta có kết quả rằng Rf ∼ = r M K[[ti ]] với f là thu gọn và r là số các nhánh i=1 bất khả quy của f (theo tài liệu tham khảo số [5], Hệ quả 3.27, trang 198). Tuy nhiên ở đây ta có f là bất khả quy do đó Rf ∼ = K[[t]] và ta cũng có Rf ∼ = K[[x(t), y(t)]]. Thật vậy, xét tương ứng Φ : Rf := K [[x, y]] / hf i ,→ g K [[x(t), y(t)]] 7−→ g(x(t), y(t)) ∀g ∈ Rf : g = 0 ⇒ g ∈ hf i ⇔ g = f.h, h ∈ K [[x, y]]. Do đó g (x(t), y(t)) = f (x(t), y(t)).h(x(t), y(t)) = 0. Vậy Φ là đồng cấu, hơn nữa Φ là toàn cấu. Mặt khác xét 14 Ψ : K [[x, y]] −→ Rf := K [[x, y]] / hf i ,→ 7−→ g K [[x(t), y(t)]] 7−→ g(x(t), y(t)) g Trong đó Ψ (x, y) = (x(t), y(t)) là một tham số hoá của f , Ψ(g) = g(x(t), y(t)), ∀g ∈ K [[x, y]] và Ψ là một đồng cấu trường có ker (Ψ) = hf i. Ta có g(x(t), y(t)) = Ψ(g) = 0 ⇔ g ∈ ker(Ψ) ⇔ g ∈ hf i ⇔ g = 0. Suy ra ker(Φ) = {0}, do đó Φ là đơn cấu. Vậy Φ là đẳng cấu và ta có δ(f ) = dimK Rf /Rf = dim K [[t]] /K [[x(t), y(t)]] . Hơn nữa, cũng bởi nhận xét 1 nên công thức tính δ(f ) như bổ đề trên là không phụ thuộc vào tham số hóa của f , khẳng định được tính đúng đắn của bổ đề. Bổ đề 1.3.3 Cho f, g ∈ m ⊂ K [[x, y]] là hai chuỗi lũy thừa thu gọn, không có nhân tử chung. Khi đó δ(f g) = δ(f ) + δ(g) + i(f, g). Chứng minh Vì f và g không có nhân tử chung, ta có hf i ∩ hgi = hf gi. Khi đó tồn tại một dãy khớp 0 → K [[x, y]] / hf gi → K [[x, y]] / hf i M K [[x, y]] / hgi → K [[x, y]] / hf, gi → 0. Đặt O1 := K [[x, y]] / hf i; O2! := K [[x, y]] / hgi. Ta có r M δ(f g) = dimK K{ti } / (K [[x, y]] / hf gi) i=1 ! 0 rM +r00 L L = dimK K{ti } / (O1 O2 ) + dimK (O1 O2 ) / (K [[x, y]] hf gi) i=1 ! ! r0 r00 M M K{ti } /O1 + dimK K{ti } /O2 + dimK K [[x, y]] / hf, gi = dimK i=1 i=1 = δ(f ) + δ(g) + i(f, g). Chứng minh kết thúc. Hệ quả 1.3.4 Cho f ∈ m ⊂ K [[x, y]] là thu gọn có dạng f = fi ....fr . Khi đó ta có   r X X 2δ(fi ) + 2δ(f ) = i(fi , fj ) . i−1 i6=j