Tài liệu Chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ của hệ hai và ba ma trận hermit

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN MAI THỊ THU CHÉO HÓA TƯƠNG ĐẲNG ĐỒNG THỜI XẤP XỈ CỦA HỆ HAI VÀ BA MA TRẬN HERMIT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN MAI THỊ THU CHÉO HÓA TƯƠNG ĐẲNG ĐỒNG THỜI XẤP XỈ CỦA HỆ HAI VÀ BA MA TRẬN HERMIT Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 8.46.01.04 Người hướng dẫn: TS. LÊ THANH HIẾU i LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn. Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực không trùng lặp với đề tài khác. Đề tài “Chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ của hệ hai và ba ma trận Hermit” là kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Thanh Hiếu và chưa từng được công bố trong bất cứ công trình khoa học nào khác cho đến thời điểm hiện tại. Tôi cũng xin cam đoan rằng các kết quả được trình bày trong luận văn có tài liệu tham khảo được trích dẫn rõ ràng, đảm bảo tính trung thực, chính xác. Bịnh Định, ngày tháng 8 năm 2022 Tác giả Mai Thị Thu ii Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1 Ma trận Hermit và một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . 1.2 Chéo hóa tương đương và tương đẳng đồng thời một họ ma trận 3 Hermit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Chéo hóa tương đương, chéo hóa tương đẳng đồng thời . . 12 1.2.2 Mối quan hệ giữa hai khái niệm chéo hóa tương đương và chéo hóa tương đẳng đồng thời được . . . . . . . . . . . . . 16 2 CHÉO HÓA TƯƠNG ĐẲNG ĐỒNG THỜI XẤP XỈ CỦA HỆ HAI VÀ BA MA TRẬN HERMIT 39 2.1 Một số định nghĩa và tính chất tổng quát . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Tính chất ASDC của cặp ma trận Hermit . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 2.2.1 Dạng chuẩn tắc cho một cặp ma trận Hermit . . . . . . . . 42 2.2.2 Trường hợp cặp ma trận Hermit không suy biến . . . . . . 43 2.2.3 Trường hợp cặp ma trận Hermit suy biến . . . . . . . . . . 49 Tính chất ASDC của ba ma trận không suy biến . . . . . . . . . . 55 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 iii Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1 Lời nói đầu Chéo hóa ma trận là một công cụ chủ yếu để nghiên cứu nhiều bài toán như tính các lũy thừa của ma trận vuông, xác định các dãy truy hồi tuyến tính với hệ số không đổi, giải một số phương trình ma trận,... Bên cạnh đó nó cũng được sử dụng nhiều trong các ngành ứng dụng Toán học. Việc nghiên cứu lý thuyết ma trận không chỉ nhằm mục đích phát hiện ra các kỹ thuật đại số mà còn đáp ứng được nhu cầu tính toán của các lĩnh vực như: tính toán lượng tử, khoa học tính toán, toán tối ưu,... Một số bài toán trong kinh tế, kỹ thuật dẫn đến vấn đề chéo hóa (tương đương hoặc tương đẳng) một hoặc một số ma trận cùng lúc. Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũng chéo hóa tương đẳng đồng thời các ma trận được. Trong một số trường hợp ta có thể tìm được một số ma trận chéo hóa tương đẳng đồng thời mà xấp xỉ với các ma trận ban đầu. Người ta gọi đó là chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ. Luận văn “Chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ của hệ hai và ba ma trận Hermit” gồm hai chương chính. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị liên quan đến chéo hóa tương đương đồng thời và chéo hóa tương đẳng đồng thời của một họ ma trận Hermit. Chương 2. Chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ của hệ hai và ba ma trận Hermit. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số điều kiện 2 cần và đủ để chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ của hệ hai ma trận Hermit không suy biến, hệ hai ma trận Hermit suy biến và hệ ba trận Hermit không suy biến. Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình và tâm huyết của TS. Lê Thanh Hiếu, Trường Đại học Quy Nhơn. Thầy đã dành nhiều thời gian, công sức để giúp đỡ, chỉ bảo và khắc phục những sai sót của tôi trong quá trình thực hiện luận văn. Nhân dịp này, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sự tri ân sâu sắc đến Thầy. Chúng tôi cũng gửi lời cảm ơn đến quý ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán và Thống kê cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Đại số và lí thuyết số khóa 23 đã tận tâm giảng dạy trong suốt khóa học, tạo điều kiện cho chúng tôi trong quá trình học tập cũng như trong quá trình thực hiện luận văn. Cuối cùng tôi cũng xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn động viên, hỗ trợ tôi về mặt tình thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học và luận văn này. Bản thân tôi đã rất nỗ lực, cố gắng hết sức để hoàn thành nhưng luận văn sẽ khó tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự chỉ dẫn, đóng góp của quý Thầy Cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. 3 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này chúng tôi trình bày một số định nghĩa, tính chất cơ bản của ma trận Hermit và tính chéo hóa tương đương, tương đẳng đồng thời của một họ ma trận Hermit làm kiến thức chuẩn bị cho các chương sau. Nội dung chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [2] và [3] . 1.1 Ma trận Hermit và một số tính chất cơ bản Các kiến thức trong mục này được dùng để chứng minh các kết quả ở sau. Đây là các kết quả cơ bản trong Đại số tuyến tính và được tham khảo từ [1]. Trong suốt luận văn này, F là trường số thực R hay trường số phức C. Định nghĩa 1.1. Ma trận phức vuông A được gọi là ma trận Hermit nếu A = A∗ , trong đó A∗ là ma trận chuyển vị liên hợp của ma trận A. Định nghĩa 1.2. Ma trận U ∈ Cn×n được gọi là unita nếu U ∗ U = In . Nếu U ∈ Rn×n thì U được gọi là trực giao nếu nó là unita, nghĩa là U T U = In Định nghĩa 1.3. Một ma trận A ∈ Fn×n được gọi là không suy biến nếu định thức của nó khác 0. 4 Định nghĩa 1.4. Một họ các ma trận Hermit A ⊆ Hn là không suy biến nếu có một ma trận không suy biến A ∈ span {A}. Ngược lại, nó là suy biến. Định nghĩa 1.5. Cho một họ các ma trận Hermit A ⊆ Hn , S ∈ A là một phần tử hạng cực đại của span {A} nếu rank (S) = maxA∈A rank (A). Mệnh đề 1.6. Cho A, B ∈ Fn×n . Nếu AB = BA thì hai ma trận A và B có chung ít nhất một vectơ riêng. Chứng minh. Gọi x là một vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ, tức là ta có Ax = λx. Đặt v := Bx. Khi đó v ∈ Wλ , không gian riêng của A ứng với giá trị riêng λ. Thật vậy, vì AB = BA nên Av = ABx = BAx = λBx = λv. Gọi {x1 , . . . , xk } là cơ sở của Wλ . Đặt vi = Bxi , với mọi i = 1, . . . , k . Suy ra vi ∈ Wλ và do đó ta có thể viết vi dưới dạng vi = c1i x1 + c2i x2 + · · · + cki xk , (1.1) với c1i , c2i , . . . , cki là các hệ số. Ta mở rộng cơ sở {x1 , . . . , xk } của Wλ thành cơ sở {x1 , . . . , xk , xk+1 , . . . , xn } của Rn bằng việc thêm các vectơ xk+1 , . . . , xn . Khi đó từ (1.1) ta có  B  x1 · · · xk xk+1 · · · xn  =  Bx1 · · · Bxk Bxk+1 · · · Bxn  =  v1 · · · vk Bxk+1 · · · Bxn   =  x1 · · · xk Bxk+1 · · · Bxn  C D  , · O E (1.2) 5 trong đó C = (cij ) ∈ Fk×k , O là ma trận không cỡ (n − k) × k , D ∈ Fk×(n−k) và E ∈ F(n−k)×(n−k) .  Đặt P =  x1 · · · xk xk+1 · · · . Vì các cột của P là độc lập tuyến xn tính nên P khả nghịch. Từ (1.2) ta có   C D  . P −1 B P =  O E Suy ra det (B − tI) = det P −1 B P − tI    C − tI D  =  E − tI  O
       = det (C − tI) · det (E − tI) . Gọi µ là giá trị riêng và a 6= 0 là vectơ riêng tương ứng của C . Vì det (C − µI) = 0 nên det (B − µI) = 0. Suy ra µ là một giá trị riêng của B . Giả sử       a=     a1  a2 .. . ak         và lấy y = a1 x1 + · · · + ak xk ∈ Wλ . Vì y 6= 0 (do a 6= 0) và y là tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở của Wλ nên y là một vectơ  riêngtrong Wλ . C D  Nhân hai vế của phương trình BP = P   bởi vectơ O E 6   a                     =             a1   0 .. . 0                 .. . ak 0 .. . 0 ta được      BP         a  0 .. . 0 a          C D  0    =P     .  .   .  O E       0    Ca   ⇔ B (a1 x1 + . . . ak xk ) = P  0    µa   ⇔ By = P  0   a  ⇔ By = µ P  0 ⇔ By = µ (a1 x1 + . . . ak xk ) ⇔ By = µy. Suy ra y là vectơ riêng của B . Vậy A và B có chung một vectơ riêng là y . Tập các véctơ (x1 , . . . , xk ) ⊂ Cm được gọi là trực giao nếu xi xj = 0 với mọi i 6= j . 7 Một họ các không gian con ν1 , . . . , νk của Cm được gọi là trực giao lẫn nhau nếu xy = 0, x ∈ νi , y ∈ νj , i 6= j . Phần bù trực giao của ν trong Cm là một không gian con của Cn xác định bởi ν ⊥ = {y ∈ Cn : y ∗ x = 0, ∀ x ∈ ν} . Bổ đề 1.7. Nếu x trực giao với một véctơ riêng v của ma trận Hermit A thì Ax cũng trực giao với v . Chứng minh. Giả sử λ là giá trị riêng tương ứng với véctơ riêng v của A. Vì x trực giao với v nên ta có (Ax) v = x (Av) = x (λv) = λ (xv) = 0. Suy ra Ax trực giao với v . Bổ đề 1.8. Cho U ∈ Cm×n là ma trận có m < n hàng u1 , u2 , . . . , um trực chuẩn và S = span {u1 , u2 , . . . , um }. Khi đó các khẳng định sau đây là đúng. i) U U ∗ = Im ; ii) U ∗ U v = v , với mọi v ∈ S . Chứng minh. i) Phần tử thứ i,j của ma trận U U ∗ có dạng uij = ui · uj . Vì u1 , u2 , . . . , um trực chuẩn nên uij =    1, i = j .   0 , i 6= j Do đó U U ∗ = Im . ii) Với mọi v ∈ S , ta có v là tổ hợp tuyến tính của các hàng của U . Suy ra v cũng là tổ hợp tuyến tính của các cột của U ∗ . Khi đó ta có thể viết v dưới 8 dạng v = U ∗ w, với w ∈ Cm . Theo i) ta có U ∗ U v = U ∗ U U ∗ w = U ∗ Im w = U ∗ w = v. Bổ đề được chứng minh xong. Định lí 1.9. Một ma trận Hermit A ∈ Cn×n có n vectơ riêng trực giao. Chứng minh. Vì det (A − λI) = 0 ma trận A − λI là suy biến. Do đó tồn tại một vectơ v sao cho (A − λI) v = 0. Suy ra Av = λv , với λ là một giá trị riêng của A. Điều này có nghĩa là A có một vectơ riêng là v . Giả sử tồn tại n − m (với m < n) vectơ riêng trực giao v1 , v2 , . . . , vn−m . Khi đó còn tồn tại một vectơ riêng v sao cho v trực giao với các vectơ v1 , v2 , . . . , vn−m và v 6= vi , ∀i = 1, . . . , n − m. Thật vậy, gọi u1 , u2 , . . . , um là cơ sở trực chuẩn của S = span {v1 , v2 , . . . , vn−m } và đặt      U =      u1    . ..  .    u2  um Vì U AU ∗ là ma trận Hermit nên theo chứng minh trên, U AU ∗ có ít nhất một vectơ riêng w ứng với giá trị riêng λ, tức là U AU ∗ w = λw. (1.3) Nhân hai vế của phương trình (1.3) với U ∗ ta được U ∗ U AU ∗ w = λU ∗ w. (1.4) Đặt v := U ∗ w, phương trình (1.4) trở thành U ∗ U Av = λv. (1.5) 9 Vì v = U ∗ w ∈ S nên v trực giao với các vectơ riêng v1 , v2 , . . . , vn−m . Theo Bổ đề 1.7, Av cũng trực giao với các vectơ riêng v1 , v2 , . . . , vn−m , điều này có nghĩa là Av ∈ S . Do đó theo Bổ đề 1.8 ta có U ∗ U Av = Av. (1.6) Từ (1.5) và (1.6) suy ra Av = λv . Nói cách khác, v là một vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ. Ta có thể tiếp tục bổ sung các vectơ v như trên vào tập {v1 , v2 , . . . , vn−m } cho đến khi số lượng vectơ bằng n. Vậy ma trận Hermit A ∈ Cn×n có đúng n vectơ riêng trực giao. Hệ quả 1.10. Một ma trận Hermit A ∈ Cn×n có một cơ sở trực chuẩn gồm toàn những vectơ riêng. Bổ đề 1.11. Các khẳng định sau đây là đúng. (i) Mọi A ∈ Hn có thể chéo hóa tương đương bởi một ma trận unita, tức là ta có thể viết A = U ΛU ∗ , trong đó U là ma trận unita, Λ là ma trận đường chéo thực. (ii) Cho A, B ∈ Fn×n và A = diag (α1 In1 , . . . , αk Ink ) với αi Ini là tích vô hướng của các αi phân biệt với Ini . Nếu AB = BA thì B = diag (B1 , . . . , Bk ) với Bi ∈ Fni ×ni , ∀i = 1, . . . , k . Hơn nữa, B là ma trận Hermit nếu và chỉ nếu tất cả các Bi là ma trận Hermit. (iii) Nếu C1 , . . . , Cm ∈ Fn×n đôi một giao hoán thì chúng có chung một vectơ riêng. Chứng minh. (i) Gọi u1 , . . . , un là một cơ sở trực giao của các vectơ riêng của A và λ1 , . . . , λn là các giá trị riêng tương ứng. 10 Đặt  U=  u1 · · · , un trong đó uk là cột thứ k của ma trận U và    λ1  ... Λ=     .   λn Đầu tiên ta sẽ chứng minh U là ma trận unita. Gọi uij là phần tử thứ i, j của ma trận U U ∗ , ta có uij = ui · uj =    1, i = j .   0, i 6= j Suy ra U U ∗ = In . Do đó U là ma trận unita. Tiếp theo ta chứng minh A = U Λ U ∗ . Gọi v1 , . . . , vn là cơ sở của Cn . Khi đó U Λ U ∗ vk = U Λ ek = U λk ek = λk U ek = λk vk = Avk . Hơn nữa vì v1 , . . . , vn là cơ sở của Cn nên với mọi x ∈ Cn ta có thể viết x dưới dạng tổ hợp tuyến tính của v1 , . . . , vn . Do đó U ΛU ∗ x = Ax, ∀ x∈ Cn , tức là A = U ΛU ∗ . (ii) Giả sử B = [Bij ]i,j=1,...,k , trong đó Bii là ma trận vuông con cấp ni . Khi đó theo giả thiết ta có      α1 B11 · · · α1 B1k  . .. ...  .. .     α1 B11 · · · αk B1k   .. ...  = AB = BA =  ... .     αk Bkk αk Bkk αk Bk1 · · · α1 Bk1 · · ·   .   11 Suy ra αi Bij = αj Bij , ∀ i 6= j . Do đó Bij = 0 với mọi i 6= j . Vậy B = diag (B1 , . . . , Bk ). Hơn nữa, B là ma trận Hermit ⇔ B∗ = B   B1∗   ⇔    0 ... 0 Bk∗     B1   ... =     0 0      Bk ⇔Bi∗ = Bi , ∀ i = 1, . . . , k. ⇔ Bi là ma trận Hermit, với mọi i = 1, . . . , k. (iii) Để chứng minh khẳng định này ta dùng phương pháp quy nạp theo m. Với m = 1, khẳng định hiển nhiên đúng. Với m = 2, khẳng định đúng theo Mệnh đề 1.6. Với m > 2, giả sử khẳng định đúng với m − 1, tức là C1 , . . . , Cm−1 có chung một vectơ riêng là y 6= 0. Ta cần chứng minh C1 , . . . , Cm có chung một vectơ riêng. Xét dãy y, Cm y, Cm2 y, Cm3 y, . . .. Khi đó dãy trên có một phần phụ thuộc các phần tử còn lại. Gọi phần tử đó là Cmk y . Ta có S =  2 y . . . , C k−1 y là không gian con bất biến và do đó S có span y, Cm y, Cm m một vectơ z sao cho Cm z = µz , với µ là giá trị riêng của Cm . Hơn nữa, theo giả thiết quy nạp ta có t t t t Ci Cm y = Cm Ci y = Cm λy = λi Cm y, ∀i = 1, . . . , m − 1. Suy ra mọi vectơ trong S là các vectơ riêng của Ci , với mọi i = 1, . . . , m − 1. Vậy C1 , . . . , Cm có chung một vectơ riêng. 12 1.2 Chéo hóa tương đương và tương đẳng đồng thời một họ ma trận Hermit Có nhiều khái niệm chéo hóa đồng thời một họ các ma trận, trong đó hai khái niệm quan trọng và có nhiều ứng dụng là: chéo hóa tương đương đồng thời và chéo hóa tương đẳng đồng thời. Chéo hóa tương đương một họ các ma trận vuông thường được dùng để nghiên cứu việc chéo hóa đồng thời một họ các tự đồng cấu tuyến tính trên cùng một không gian véctơ. Khái niệm còn lại xuất hiện khi nghiên cứu việc chéo hóa đồng thời một họ các dạng song tuyến tính trên cùng một không gian véctơ. Mục này đề cập đến hai khái niệm trên và mối liên hệ giữa chúng. Tuy nhiên mục đích chính của luận văn là nghiên cứu các chéo hóa tương đẳng đồng thời và chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ sẽ được trình bày ở mục sau và chương sau. 1.2.1 Chéo hóa tương đương, chéo hóa tương đẳng đồng thời Định nghĩa 1.12. Ma trận A ∈ Fn×n được gọi là chéo hóa tương đương nếu nó tương đương với một ma trận đường chéo, tức là tồn tại một ma trận khả nghịch P ∈ Fn×n sao cho P −1 A P là ma trận đường chéo. Định nghĩa 1.13. Một họ ma trận A1 , . . . , Am ∈ Fn×n được gọi là chéo hóa tương đương đồng thời trên F nếu có một ma trận khả nghịch P ∈ Fn×n sao cho P −1 Ai P là ma trận đường chéo với mọi i = 1, m. Khi đó ta nói họ ma trận A1 , . . . , Am là SDS (simultaneously diagonalizable via similarity) trên F. 13 Định nghĩa 1.14. Một họ các ma trận Hermit A ⊆ Hn được gọi là chéo hóa tương đẳng đồng thời nếu có một ma trận khả nghịch P ∈ Cn×n sao cho P ∗ AP là ma trận đường chéo, với mọi A ∈ A. Khi đó ta nói họ ma trận A là SDC (simultaneously diagonalizable via congruence). Ví dụ 1.15. a) Cho hệ {A1 , A2 , . . . , A6 } ⊆ H3×3 , trong đó        2 −1 0   −1 −1 0  1 1 0        , A2 =  −1 −1 0  , A3 =  −1 2 0  , A1 =  1 1 0             0 0 0 1   0 0 2   0  1  2 1 0  1 −1 0  0 2 0        , A5 =  −1 1 0  , A6 =  2 0 0  . A4 =  1 2 0             0 0 1 0 0 2 0 0 1 Khi đó hệ {A1 , A2 , . . . , A6 } là SDS bởi ma trận khả nghịch    −1 0 1    3×3  P =  1 0 1 ∈F .   0 1 0 Thật vậy, ta có thể kiểm tra trực tiếp rằng    − 21   −1 P A1 P =   0  1 2 1 2      1 1 0   −1 0 1           0 1  · 1 1 0 · 1 0 1       1 2  0 0  0 0 0   , = 0 1 0     0 0 2 0 0 1 0 1 0 14  − 12   −1 P A2 P =   0  1 2 0   −1 −1 0   −1 0 1  1 2      0 1           0 1   ·  −1 −1 0  ·  1 0 0 0 0 2 1 0   0 0  = 0 2  0   0  , 0 0 −2       1 2 − 12   −1 P A3 P =   0  1 2 1 2         2 −1 0   −1 0 1        −1 2 0  ·  1 0 1  · 0 1            1 2  0 0 0 0 0 1 1 0  3 0 0   , = 0 1 0     0 0 1  − 12   P −1 A4 P =   0  1 2   1 2 0 1 2 0      2 1 0   −1 0 1        1 2 0 · 1 0 1  · 0 1             0 0 1 0 1 0  1 0 0    =  0 1 0 ,   0 0 3  − 12   −1 P A5 P =   0  1 2 1 2        1 −1 0   −1 0 1           0 1   ·  −1 1 0  ·  1 0 1       1 2  0 0  2 0 0   , = 0 2 0     0 0 0 0 0 2 0 1 0 15  − 12   −1 P A6 P =   0  1 2 1 2      0   0 2 0   −1 0 1  1 2      0 1           0 1  · 2 0 0 · 1 0 0 0 1 0 1 0    −2 0 0    . = 0 1 0     0 b) Ba ma trận trong H3×3   0 2     0 1 0 1 2 1 1 0 1            , A = , A = A1 =  3 2 2 0 2  1 −1 1  . 0 2 0       1 2 1 1 0 1 0  1 0  0 1   và ma trận unita  1 −1 −1   U =   √1 3 √1 2 √1 3 0 √1 3 0  1  là SDC bởi ma trận không suy biến P =  1   1   − √16  √2 6 − √12 − √16     . Thật vậy, ta có     6 0 0  12 0    ∗   P ∗A 1P =   0 0 0  , P A 2P =  0 0    0 0 3  0   0  , 0 −3    2 0 0 4 0     , U ∗A 2U =  0 0 U ∗A 1U =  0 0 0       0 0 2 0  0   0  , 0 0 −2    3 0  P ∗A 3P =  0 0  0   0  , 0 0 −3    1 0  U ∗A 3U =  0 0  0   0  . 0 0 −2  Trên thực tế, có những họ ma trận chỉ chéo hóa tương đẳng đồng thời bởi