Tài liệu Chuyên đề tích phân megabook

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những hàm số thƣờng gặp Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thƣờng gặp  dx  x  C  x  dx  1 x  1  C   1  1  dx  x  ax a dx   C 0  a  1 ln a cos xdx  sin x  C    sin xdx   cos x  C x 1  cos  2 x  du  u  C  d ax  b  a ax  b  C  x  ln x  C x  0  e dx  e  C x Nguyên hàm của những hàm số hợp    dx  tan x  C ax  b dx  1 ax  b  C   1 a  1 dx 1  ln ax  b  C x  0 ax  b a 1 e axb dx  e axb  C a 1 cosax  b dx  sin ax  b   C a 1 sin ax  b dx   cosax  b   C a 1 1 dx  tanax  b   C 2 a cos ax  b   1   sin ax  b dx   a cotax  b  C 1 1 dx   cot x  C sin 2 x 1  u  du   u  ln u  C u  0  e du  e  C du u u au  C 0  a  1 ln a cos udu  sin u  C    sin udu   cos u  C a u dx  1  cos 2 u 1  sin 2 u  1  C   1  1 2 u du  tan u  C du   cot u  C I. ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Đổi biến số dạng 2 b f[u(x)]u/ (x)dx ta thực hiện các bước sau: Để tính tích phân a Bƣớc 1. Đặt t = u(x) và tính dt u/ (x)dx . Bƣớc 2. Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b) . b f[u(x)]u/ (x)dx Bƣớc 3. f(t)dt . a e2 Ví dụ 7. Tính tích phân I e dx . x ln x Giải Đặt t x e ln x t 2 I 1 dt 1, x dt t e2 ln t Vậy I 2 1 ln 2 . 1 http://megabook.vn dx x t ln 2 . 2 4 cos x dx . (sin x cos x)3 Ví dụ 8. Tính tích phân I 0 Hƣớng dẫn: 4 4 cos x I dx (sin x cos x)3 0 3 ĐS: I . 8 0 1 (tan x 3 Ví dụ 9. Tính tích phân I 1) dx x) 2x (1 1 2 3 dx . Đặt t cos2 x . 3 tan x 1 . Hƣớng dẫn: 2x 3 Đặt t 3 ĐS: I ln . 2 1 3 1 Ví dụ 10. Tính tích phân I 0 x dx . x Hƣớng dẫn: 3 1 Đặt t ĐS: I 3 3 x x 3 t2 dt ; đặt t (t2 1)2 8 1 tan u 2. Chú ý: 1 3 1 Phân tích I 0 x dx , rồi đặt t x 1 x sẽ tính nhanh hơn. 2. Đổi biến số dạng 1 b Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính  f ( x)dx ta thực hiện các bước sau: a Bƣớc 1. Đặt x = u(t) và tính dx  u / (t )dt . Bƣớc 2. Đổi cận: x  a  t   , x  b  t   . b Bƣớc 3.    f ( x)dx   f [u(t )]u (t )dt   g (t )dt . / a 1 2 Ví dụ 1. Tính tích phân I 0 1 1 x2 dx . Giải Đặt x sin t, t x 0 2 t ; 0, x dx 2 1 2 2 http://megabook.vn t cos tdt 6 6 I 0 6 cos t dt 1 sin2 t 6 cos t dt cos t 0 Vậy I 6 dt t 06 0 6 . 2 Ví dụ 2. Tính tích phân I x2 dx . 4 0 Hƣớng dẫn: Đặt x 2 sin t ĐS: I . 1 dx . 1 x2 Ví dụ 3. Tính tích phân I 0 Giải Đặt x tan t, t x 2 0 t 4 ; 2 0, x 0 Vậy I 3 1 Ví dụ 4. Tính tích phân I 0 x 2 1 dx 2x 2 . 2 . 4 t dt 0 . Hƣớng dẫn: 3 1 I 0 Đặt x ĐS: I x dx 2x 2 1 3 1 2 0 1 . 2 dx . 4 x2 Ví dụ 5. Tính tích phân I 0 ĐS: I 2 dx . (x 1)2 tan t 12 . 3 1 Ví dụ 6. Tính tích phân I 0 x 2 dx 2x ĐS: I . 12 3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lƣợng giác 2 cos2 x sin 3 xdx . Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I 4 4 tan2 t 1 dt 1 tan2 t I (tan2 x dx 0 Hƣớng dẫn: 3 http://megabook.vn 4 . 1)dt 0 6 . Đặt t cos x 2 . 15 ĐS: I 2 cos5 xdx . Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I 0 Hƣớng dẫn: Đặt t sin x 8 ĐS: I . 15 2 cos4 x sin2 xdx . Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân I 0 Giải 2 4 I cos x sin xdx 0 1 16 2 1 4 2 2 cos x sin 2xdx 0 2 (1 1 8 cos 4x)dx 0 2 0 (1 0 dx cos x sin x 1 cos 4x)dx x 16 sin2 2xd(sin 2x) 32 1 4 0 2 Vậy I Ví dụ 14. Tính tích phân I 2 1 16 2 2 cos 2x sin2 2xdx 0 sin3 2x 24 1 sin 4x 64 2 32 0 . . . Hƣớng dẫn: x . 2 ln 2 . Đặt t tan ĐS: I Biểu diễn các hàm số LG theo t  tan 2t 1 t2 2t a ; cos a  ; tan a  . : sin a  2 2 2 1 t 1 t 1 t2 3.2. Dạng liên kết Ví dụ 15. Tính tích phân I 0 xdx . sin x 1 Giải t dx , x Đặt x x 0 t 0 I ( sin( 0 dt 2 0 t sin 2 t cos 2 2 4 0 t)dt t) 1 dt sin t 1 dt t cos2 2 sin t 0 I dt t 0 I 2 1 0 2 4 0 4 http://megabook.vn cos 2 1 dt dt sin t 1 t 2 d t sin t 4 t 2 2 4 tan t 2 4 . 0 Vậy I . Tổng quát: xf(sin x)dx 2 0 2 Ví dụ 16. Tính tích phân I 0 f(sin x)dx . 0 sin2007 x dx . sin2007 x cos2007 x Giải Đặt x x sin2007 0 I 2 0 sin2007 2 t 2 t 2 cos2007 t t 2 dx , x dt t 2 2 t 2 0 cos2007 t dx sin2007 t cos2007 t dx 0 2 Mặt khác I J dx 2 0 (2). Từ (1) và (2) suy ra I . 4 Tổng quát: 2 0 2 sinn x dx sinn x cosn x 6 Ví dụ 17. Tính tích phân I 0 0 cosn x dx sinn x cosn x 6 sin2 x dx và J sin x 3 cos x 0 4 ,n . cos2 x dx . sin x 3 cos x Giải I 3J I J 1 3 (1). 6 0 Đặt t x dx sin x 3 Từ (1) và (2) I 3 cos x 1 2 dx 0 dx sin x 3 1 ln 3 (2). 4 1 3 1 , J ln 3 4 16 1 ln(1 x) dx . 1 x2 0 dx  I dt 6 3 ln 3 16 Ví dụ 18. Tính tích phân I J Đặt x x 4 I 0 0 1 3 4 . tan t Giải dx (1 tan2 t)dt t 0, x 1 t ln(1 tan t) 1 1 tan2 t 4 4 tan2 t dt ln(1 0 5 http://megabook.vn tan t)dt . J (1). Đặt t t u 4 0 u 4 dt , t du u 4 0 0 4 I ln(1 tan t)dt ln 1 tan u du 4 0 4 4 1 1 ln 1 0 4 tan u du tan u 4 ln 0 2 du tan u 1 4 ln 2du ln 1 0 tan u du 4 0 Vậy I 4 Ví dụ 19. Tính tích phân I 8 ln 2 I. ln 2 . cos x dx . 2007 x 1 4 Hƣớng dẫn: Đặt x t ĐS: I 2 . 2 Tổng quát: Với a > 0 , 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn f(x) a x 1 dx f(x)dx . 0 và thỏa f( x) Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên ; 2f(x) cos x . 2 Tính tích phân I f(x)dx . 2 Giải 2 f( x)dx , x Đặt J t dx dt 2 x t 2 2 , x 2 I t 2 2 2 f( t)dt J 3I J 2I 2 f( x) 2 2 2 cos xdx 2 cos xdx 0 2 6 http://megabook.vn 2. 2f(x) dx thì 2 . 3 Vậy I 3.3. Các kết quả cần nhớ a f(x)dx i/ Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì 0. a a a f(x)dx ii/ Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì 2 a f(x)dx . 0 iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) 2 (n 1)!! , neá u n leû n !! . (n 1)!! . , neá u n chaü n n !! 2 2 cosn xdx sin n xdx 0 0 Trong đó n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn: 0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4 !! 2.4; 5!! 1.3.5; 6!! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8 !! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10 . 2 Ví dụ 21. cos11 xdx 10 !! 11!! sin10 xdx 9 !! . 10 !! 2 0 2 Ví dụ 22. 0 2.4.6.8.10 1.3.5.7.9.11 256 . 693 1.3.5.7.9 . 2.4.6.8.10 2 63 . 512 II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Công thức Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có uv / u/ v uv/ uv / dx u/ vdx uv/ dx b d uv vdu b udv d(uv) vdu a b uv b a a b vdu udv a udv a b b udv a b uv a b a vdu . a Công thức: b b udv uv b a vdu (1). a a Công thức (1) còn đƣợc viết dƣới dạng: b b / f(x)g (x)dx f(x)g(x) a b a f / (x)g(x)dx (2). a 2. Phƣơng pháp giải toán b f(x)g(x)dx ta thực hiện Giả sử cần tính tích phân a Cách 1. 7 http://megabook.vn Bƣớc 1. Đặt u g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân f(x), dv b du / vdu phải tính được. u (x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân a Bƣớc 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả. Đặc biệt: b b b P(x) sin axdx, i/ Nếu gặp a b a a P(x) ln xdx thì đặt u ii/ Nếu gặp eax .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt u P(x) cos axdx, ln x . a Cách 2. b b f(x)G/ (x)dx và sử dụng trực tiếp công thức (2). f(x)g(x)dx Viết lại tích phân a a 1 xex dx . Ví dụ 1. Tính tích phân I 0 u Đặt Giải du x x dv e dx ex v 1 dx (chọn C 0) 1 x xe dx xe x 1 0 ex dx 0 e 1)ex (x 1 0 1. 0 Ví dụ 2. Tính tích phân I x ln xdx . 1 Giải Đặt u dv e xdx e 1 x2 2 v x2 ln x 2 1 x ln xdx dx x du ln x 1 2 e xdx e2 1 1 4 . 2 ex sin xdx . Ví dụ 3. Tính tích phân I 0 Giải Đặt u dv sin x du ex dx ex v 2 2 ex sin xdx I cos xdx ex sin x ex cos xdx 2 0 0 0 u Đặt dv cos x du ex dx v 8 http://megabook.vn sin xdx ex e2 J. P(x) . 2 2 ex cos xdx J ex cos x e x sin xdx 2 0 0 1 I 0 I e2 ( 1 I) e2 I 1 2 . Chú ý: Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. 2 4 Ví dụ 7. Tính tích phân I cos xdx . 0 Hƣớng dẫn: 2 Đặt t x I 2 t cos tdt 2. 0 e Ví dụ 8. Tính tích phân I sin(ln x)dx . 1 ĐS: I (sin1 cos1)e 2 1 . III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phƣơng pháp giải toán 1. Dạng 1 b Giả sử cần tính tích phân I f(x) dx , ta thực hiện các bước sau a Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: b Bƣớc 2. Tính I x1 0 a x f(x) x1 f(x) dx x2 b f(x)dx a a b x2 0 f(x)dx f(x)dx . x1 x2 2 x2 Ví dụ 9. Tính tích phân I 3x 2 dx . 3 Giải Bảng xét dấu x2 x 3x 3 1 I 2 0 1 0 2 2 x 2 3x x2 2 dx 3 1 59 . 2 Vậy I 9 http://megabook.vn 3x 2 dx 59 . 2 2 Ví dụ 10. Tính tích phân I 4 cos2 x 5 4 sin xdx . 0 ĐS: I 2 3 2 . 6 2. Dạng 2 b Giả sử cần tính tích phân I f(x) g(x) dx , ta thực hiện a Cách 1. b Tách I b f(x) b g(x) dx f(x) dx a g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên. a a Cách 2. Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bƣớc 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). 2 Ví dụ 11. Tính tích phân I x x 1 dx . 1 Giải Cách 1. 2 2 I x x 1 0 1 dx x dx 1 2 xdx (x 0 0 1 x2 2 1)dx 1 2 0 1 dx (x 1)dx 1 1 x2 2 x 1 2 1 xdx 1 x2 2 2 2 x2 2 x 1 x 0. 1 Cách 2. Bảng xét dấu x x x–1 –1 – – 0 I 0 0 1 +  – 0 2 + + 1 x x 2 1 dx 1 x x 1 dx 0 x 0 1 x x 1 dx 1 1 2 x x 0 Vậy I 0 . x 2 1 0. 3. Dạng 3 b Để tính các tích phân I b max f(x), g(x) dx và J a bước sau: Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) Bƣớc 2. + Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x) + Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x) min f(x), g(x) dx , ta thực hiện các a f(x) g(x) trên đoạn [a; b]. f(x) và min f(x), g(x) g(x) và min f(x), g(x) 10 http://megabook.vn g(x) . f(x) . 4 max x2 Ví dụ 12. Tính tích phân I 1, 4x 2 dx . 0 Đặt h(x) x 2 Giải 4x 1 x2 2 4x 3. Bảng xét dấu x h(x) 0 1 0 + 1 3 0 – 4 + 3 I x 2 4 1 dx 4x 0 x2 2 dx 1 80 . 3 1 dx 3 80 . 3 Vậy I 2 min 3x , 4 Ví dụ 13. Tính tích phân I x dx . 0 Giải 4 x x Đặt h(x) 3 3x x 4. Bảng xét dấu x h(x) 1 1 0 – 2 3x dx I 0 + x 4 0 2 3 ln 3 x dx 1 1 0 2 ln 3 Vậy I 2 x2 2 4x 2 ln 3 1 5 . 2 5 . 2 IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phƣơng pháp giải toán 1. Dạng 1 b b f(x)dx Để chứng minh 0 (hoặc a x f(x)dx 0 ) ta chứng minh f(x) 0 (hoặc f(x) a a; b . 1 3 Ví dụ 14. Chứng minh x 6 dx 1 0. 0 Giải 1 Với x 0; 1 : x 6 3 1 1 x 6 3 0 1 x 6 dx 0. 0 2. Dạng 2 b b f(x)dx Để chứng minh g(x)dx ta chứng minh f(x) a g(x) với x a; b . a 2 Ví dụ 15. Chứng minh 0 1 dx sin10 x 2 0 1 dx . sin11 x Giải Với x 0; 2 :0 sin x 1 0 11 http://megabook.vn sin11 x sin10 x 0 ) với sin10 x 1 sin11 x 1 2 Vậy 1 sin10 x 1 2 dx sin10 x 1 0 0 0 1 . sin11 x 1 dx . sin11 x 1 3. Dạng 3 b Để chứng minh A f(x)dx B ta thực hiện các bước sau a Bƣớc 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m f(x) b Bƣớc 2. Lấy tích phân A m(b a) f(x)dx M(b a) B. a 1 Ví dụ 16. Chứng minh 2 x2 dx 4 5. 0 Với x 0; 1 : 4 Giải x2 5 4 2 4 x2 5. 1 Vậy 2 x2 dx 4 5. 0 3 4 Ví dụ 17. Chứng minh 4 dx 2 sin2 x 3 . 2 4 Giải Với x 4 1 3 1 3 2 4 ; 3 2 : 4 2 2 sin2 x sin x 1 1 2 3 2 3 4 4 3 dx 2 sin2 x 3 dx 2 sin2 x 4 3 4 Vậy 4 1 sin2 x 1 2 1 1 2 sin2 x 1 2 3 4 4 . 4 3 3 Ví dụ 18. Chứng minh 12 cotx dx x 1 . 3 4 Xét hàm số f(x) x / f (x) 2 sin x x2 Giải cotx , x x 4 ; ta có 3 cotx 0 12 http://megabook.vn x 4 ; 3 . M. f f(x) 3 3 f cotx x 4 3 3 3 x 4 4 4 x ; ; 4 cotx dx x 4 cotx dx x 1 . 3 3 3 3 4 . 4 3 3 Vậy 12 4 4. Dạng 4 (tham khảo) b Để chứng minh A f(x)dx B (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện a f(x) Bƣớc 1. Tìm hàm số g(x) sao cho g(x) x a; b b f(x)dx b g(x)dx B B. a a h(x) Bƣớc 2. Tìm hàm số h(x) sao cho f(x) x a; b b A b h(x)dx A f(x)dx . a a Ví dụ 19. Chứng minh 2 2 2 2 dx 1 x2007 0 4 . Giải Với x 1 2 1 x2 0; 1 2 2 2 :0 2 x2007 x2007 1 1 1 x2007 1 2 2 2 2 dx 1 x2007 0 0 dx Đặt x sin t dx . 1 x2 0 cos tdt dx x 0 2 2 0 Vậy t 4 dx 1 x2 2 2 2 2 0, x 2 2 0 0 1 2 x2 t 4 cos tdt cos t dx 1 x2007 13 http://megabook.vn 4 4 . . 1 1 x2 3 Ví dụ 20. Chứng minh 1 1 xdx x 2 2 1 . 2 1 Giải 0; 1 : 2 1 x2 2 1 3 x x x 2 3 1 2 1 x 2 1 4 2 0 Với x 1 0 Vậy 1 xdx 3 1 3 0 1 1 4 1 xdx 2 x 2 1 xdx x 2 0 xdx . 2 1 0 2 2 1 2 1 1 . V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường b y f(x), x a, x b và trục hoành là S f(x) dx . a Phƣơng pháp giải toán Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. b f(x) dx . Bƣớc 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân a Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y ln x, x 1, x Giải Do ln x 0 x 1; e nên e e và Ox. e S ln x dx ln xdx 1 x ln x 1 e 1 1. 1 Vậy S 1 (đvdt). Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 4x Giải Bảng xét dấu x 0 1 3 y – 0 + 0 1 3, x 0, x 3 S x 2 4x x2 3 dx 0 4x 3 dx 1 1 3 x 3 2x 2 x3 3 3x 0 Vậy S 8 (đvdt). 3 2. Diện tích hình phẳng 2.1. Trƣờng hợp 1. 14 http://megabook.vn 3 2x 2 3x 1 8 . 3 3 và Ox. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường b y f(x), y g(x), x b là S a, x f(x) g(x) dx . a Phƣơng pháp giải toán Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn [a; b]. b f(x) Bƣớc 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân g(x) dx . a 2.2. Trƣờng hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x), y g(x) là S f(x) g(x) dx . Trong đó phương trình f(x) g(x) a b . Phƣơng pháp giải toán Bƣớc 1. Giải phương trình f(x) g(x) . Bƣớc 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn f(x) Bƣớc 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của , ; . g(x) dx . Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 11x x 0, x 2 . Giải Đặt h(x) (x3 11x 6) 6x2 x3 6x2 11x 6 h(x) 0 x 1 x 2 x 3 (loại). Bảng xét dấu x 0 1 2 h(x) – 0 + 0 1 S 2 x 3 6x 2 11x x3 6 dx 0 6x2 11x 6 dx 1 4 x 4 2x 11x 2 3 1 2 4 x 4 6x 0 2x 3 11x2 2 2 6x 1 5 . 2 5 Vậy S (đvdt). 2 Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 11x 6, y Giải 3 11x 6) 6x2 x3 6x2 11x 6 Đặt h(x) (x h(x) 0 x 1 x 2 x 3. Bảng xét dấu x 1 2 3 h(x) 0 + 0 – 0 2 S 3 x 3 6x 2 11x x3 6 dx 1 2 15 http://megabook.vn 6x2 11x 6 dx 6x2 . 6, y 6x2 , x4 4 2x 2 11x2 2 3 x4 2x 3 4 1 (đvdt). 2 6x 1 Vậy S Chú ý: Nếu trong đoạn thức f(x) ; phương trình f(x) g(x) dx f(x) 3 11x2 2 2 g(x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng công g(x) dx . Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x3 , y 4x . Giải 3 Ta có x 4x x 2 x 0 x 0 x3 4x dx 2 4x dx 0 0 4 x 4 2 4 x 2x 2x2 4 2 Vậy S 8 (đvdt). Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 4 x Giải 2 Ta có x 4 x 3 0 t2 4t 3 t 1 x 1 x 2 t 2 2 x3 S 3 x 3 8. 0 3 và trục hoành. 0, t 1 x 3 x x 2 4 x 3 dx 3 x2 2 3 4x 3 dx 0 1 3 x 2 4x x2 3 dx 0 x3 3 4x 3 dx 1 1 3 x3 2x2 3x 3 0 1 16 Vậy S (đvdt). 3 Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 4x 3 và y Giải Phương trình hoành độ giao điểm x2 4x 3 x 3 x 3 0 x 0 x2 4x 3 x 3 . x 5 2 x 4x 3 x 3 2 2x2 3x Bảng xét dấu x 2 0 3 S 2 1 . 2 6x x 4x 0 3 + 1 0 – 3 0 16 http://megabook.vn 5 + 16 . 3 x 3. 1 3 S x 2 5 5x dx x 0 2 3x x2 6 dx 1 x3 3 1 5x2 2 x3 3 0 3 3x2 2 x3 3 6x 1 5 5x2 2 3 109 . 6 3 109 Vậy S (đvdt). 6 Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 1 , y x Giải Phương trình hoành độ giao điểm x2 1 x 5 t2 1 t 5, t x t x 0 t x 0 t2 1 t 5 x t 3 t2 1 t 5 S 5x dx 3 5. 0 3 3 x 2 1 x 5 dx x2 2 3 1 x 5 dx 0 Bảng xét dấu x x 0 2 1 0 – 1 3 + 1 S 3 2 x 2 x x2 4 dx 0 x 3 2 3 x 6 dx 1 1 2 x 2 3 x2 2 x 3 4x 0 3 6x 1 73 . 3 73 (đvdt). 3 Vậy S Chú ý: Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có). B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÕN XOAY 1. Trƣờng hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x) 0 x b x a và x b (a f 2 (x)dx . b) quay quanh trục Ox là V a Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C) : x2 y2 R2 quay quanh Ox. Giải R2 x R. Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x2 2 2 2 2 2 2 Phương trình (C) : x y R y R x R R V R 2 x 2 dx R 2 R2 2 0 R2 x 3 x 3 R 0 17 http://megabook.vn 4 R3 . 3 x2 dx a;b , y 0, 4 R3 (đvtt). 3 Vậy V 2. Trƣờng hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x 0 y c;d , x g(x) , x a và g(y) 0, d y c và y d (c g2 (y)dy . d) quay quanh trục Oy là V c x2 y2 Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse (E) : 2 a b2 Giải Tung độ giao điểm của (E) và Oy là x2 a2 Phương trình (E) : b V a y2 b2 b 2 Vậy V 3 1 x2 y a2 b a2 2 0 b. a 2 y2 b2 a 2 y2 dy b2 R a y 4 a2 b . 3 3b2 0 4 a2 b (đvtt). 3 a2 y 2 y2 b2 1 a 2 y2 dy b2 2 1 quay quanh Oy. 3. Trƣờng hợp 3. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x), y x b (a b, f(x) 0, g(x) 0 x a; b ) quay quanh trục Ox là b f 2 (x) V g2 (x) dx . a Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y Ox. Giải x 0 x 0 Hoành độ giao điểm . x 1 x4 x 1 V x2 , y2 x quay quanh 1 x 4 x4 x dx 0 x dx 0 1 5 x 5 Vậy V 1 2 1 3 . x 2 10 0 3 (đvtt). 10 4. Trƣờng hợp 4. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x f(y), x y d (c d, f(y) 0, g(y) 0 y c; d ) quay quanh trục Oy là g(y) , y c và d f 2 (y) V g2 (y) dy . c Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x quay quanh Oy. 18 http://megabook.vn y2 5, x 3 y Giải Tung độ giao điểm y2 5 y2 5 3 y y y 1 2 . 2 V 2 3 y 2 dy 1 2 y4 11y2 6y 16 dy 1 y5 5 2 11y3 3 3y 2 16y 1 153 . 5 153 (đvtt). 5 Vậy V VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP 1 1 1 1 10 1. Tính I=  1  x  dx Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: S  1  C101  C102  ...  C1010 2 3 11 0 1 2. Tính: I   x 1  x  dx . Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: 19 0 1 1 1 1 2 1 18 1 19 S  C190  C19  C19  ...  C19  C19 . 2 3 4 20 21 1 2 1 3 3. Chứng minh rằng: 1  Cn1  Cn2  ...  1 2n 1  1 Cnn  n 1 n 1 BÀI TẬP TỰ GIẢI 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)= sin x  cos x , biết rằng F      ln 2 sin x  cos x  4 2. Tính các tích phân sau: e A= 2 x  5 - 7 x dx 2  2 x 1 2 B=  x 2 -1 dx C= 2 x ln 2dx  0 -2 3. Tính các tích phân sau:  3 A= e3 cos x sin xdx  0 e 4 B=  ln xdx 1 C*= x 2 3  5 dx x x2  4 2 x dx x -1 1 1 D*=  4. Tính các tích phân sau:  e I=  sin(ln x) dx x 1 J= 10 4 K=  lg xdx dx  sin 2 x cot x 1 6  ln 5 L=  x dx x 3 ln 3 e  2e M= 2  0 cos x  4 sin x 2  2 C=  0 2 sin 2 xdx sin 2 x dx (1  cos 2 x)2 5. Tính các tích phân sau: 19 http://megabook.vn 2 N=  1 dx x -9 2 1 dx A=  4 - x2 0 ln 2  D= B= 0 3  3 3 1- e x dx 1  ex 4 dx 2 x 3 C=  16 - x 2 dx 0 2 dx x 1 E=  2 2 6. Tính các tích phân sau:  B*=  x sin x dx 2 e2 A=  ln x dx x 1 0 ln x dx 2 1 x 1  cos x D = cos(ln x)dx  1 x2  1  4 dx 1 1  x 1 3x 4  2 x E=  dx x3 1 2 e * 2 C*=  F  * 7. Tính:   4 A=  cos xdx 2 0 e F=  1 ln x  1 dx x 1 2 B=  cos3 xdx C=  xe x dx 0 2 0 4 G=  x 1  2 x 2 dx H=  x 1  2 xdx 0 0 4 D=  e 1 2 I=  1 2 x dx x x dx x 1 E=  x ln xdx 1 1 x dx 2 0 1 x J=  8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a. x=1; x=e; y=0 và y= 1  ln x b. y=2x; y=3x và x=0 x c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=  . 3 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) và tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2. 10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0. a. Tính diện tích hình phẳng D. b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox. 11. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1 khi nó quay quanh: a) Trục Ox. b) Trục Oy. Hết 20 http://megabook.vn