Tài liệu Dáng điệu tiệm cận của họ các toán tử tiến hóa bị nhiễu và một vài ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN CÔNG HÙNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA HỌ CÁC TOÁN TỬ TIẾN HÓA BỊ NHIỄU VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN CÔNG HÙNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA HỌ CÁC TOÁN TỬ TIẾN HÓA BỊ NHIỄU VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời nói dầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Phương trình vi phân trong không gian Banach và họ các toán tử tiến hóa 6 1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach và họ các toán tử tiến hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Sự ổn định và giới nội nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach với toán tử hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.1 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.2 Điều kiện tồn tại nghiệm giới nội của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 2. Lý thuyết nửa nhóm tuyến tính và bài toán ứng dụng 31 2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach và nhiễu của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 2.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach . . . . . . 31 2.1.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.3 Bài toán Cauchy đặt chỉnh cho phương trình tiến hóa . . . . 47 2.1.4 Nhiễu của nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2 Ứng dụng của phương pháp nửa nhóm cho mô hình dân số phụ tuổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.1 Mô hình dân số cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.2 Mô hình dân số với phân bố tuổi dạng cổ điển . . . . . . . . . . . 55 2.2.3 Mô hình dân số phụ thuộc tuổi dạng tổng quát . . . . . . . . . . 60 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2 Lời nói đầu Lý thuyết ổn định là một trong những bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính của phương trình vi phân (LTDTCPTVP). Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng được nhiều người quan tâm của LTDTCPTVP là lý thuyết ổn định theo nghĩa Lyapunov (1857-1918). Dù đã trải qua thời gian dài nhưng lý thuyết ổn định vẫn là một trong những lĩnh vực mà được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều thành tựu quan trọng. Đồng thời lý thuyết ổn định cũng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực: Vật lý, Khoa học kỹ thuật công nghệ, Sinh thái học,.... Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Banach chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau. Ở đây, trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ chúng tôi sẽ trình bày hai phương pháp cơ bản là phương pháp xấp xỉ thứ nhất của họ toán tử tiến hóa và phương pháp nửa nhóm bị nhiễu. Trong phần cuối chúng tôi sẽ trình bày ứng dụng của phương pháp nửa nhóm vào việc nghiên cứu mô hình quần thể phụ thuộc tuổi. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương: Chương 1: Bao gồm kiến thức chuẩn bị, phương trình vi phân trong không gian Banach và họ các toán tử tiến hóa. Chương 2: Trình bày về lý thuyết nửa nhóm và ứng dụng của lý thuyết nửa nhóm vào các mô hình tiến hóa quần thể có phụ thuộc tuổi. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới người thầy, người 3 hướng dẫn khoa học của mình, PGS. TS. Đặng Đình Châu, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu hoàn thành luận văn này. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã trang bị cho tác giả các kiến thức cơ bản nhất về lý thuyết toán học. Cảm ơn các thầy cô phòng sau đại học và các phòng ban chức năng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn cổ vũ, ủng hộ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn. Do thời gian và trình độ còn có sự hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những sai sót rất mong nhận sự đóng góp của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà nội, Ngày 03 Tháng 11 Năm 2012 Tác giả: Nguyễn Công Hùng 4 Bảng kí hiệu N R R+ C C[a,b] 1 C[a,b] Rn B L(B) C([a, b]; B) Lp (R) Lp ([a, b]) W 1,1 [a, b] Tập hợp số tự nhiên. Tập hợp số thực. Tập hợp các số thực dương. Tập hợp số phức. Tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b]. Tập các hàm khả vi, liên tục trên đoạn [a, b]. Không gian n chiều. Không gian Banach. Không gian các toán tử tuyến tính giới nội từ B vào B. Không gian các hàm liên tục trên [a, b] lấy giá trị trong B. Không gian các hàm khả tích bậc p trên R. Không gian các hàm khả tích bậc p trên [a, b]. Không gian Sobolev (Không gian các hàm có đạo hàm yếu bậc 1 và có chuẩn trong L1 ([a, b]) là hữu hạn). 5 Chương 1 Phương trình vi phân trong không gian Banach và họ các toán tử tiến hóa Giả sử B là không gian Banach. Trong không gian B ta xét phương trình vi phân: dx(t) = f (t, x(t)), (1.1) dt trong đó t ∈ R+ , x(.) ∈ B và hàm f : R+ × D −→ D, D là một miền đơn liên trong không gian Banach B. Từ nay về sau, nếu không nói gì thêm ta sẽ hiểu nghiệm của (1.1) là nghiệm theo nghĩa cổ điển sau: Định nghĩa 1.0.1. Hàm x : I −→ B (I ⊂ R+ ) khả vi liên tục theo t ∈ I được gọi là nghiệm của (1.1) nếu khi ta thay vào (1.1) sẽ thu được một đồng nhất thức trên I. Tức là dx(t) = f (t, x(t)); ∀t ∈ I, dt (trong đó dx(t) là đạo hàm hiểu theo nghĩa Frechet). dt Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 với (t0 , x0 ) ∈ I × B cho trước. Tương ứng với phương trình (1.1), người ta thường xét phương trình 6 tích phân sau: Zt x(t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ. (1.2) t0 Nhận xét 1. Trong trường hợp B = Rn . Kí hiệu f = (f1 ; f2 ; . . . ; fn ); x(t) = (x1 (t); x2 (t); . . . ; xn (t)). Khi đó, phương trình (1.1) được viết như sau:  dx1   = f1 (t; x1 ; x2 ; . . . ; xn )   dt     dx2 = f (t; x ; x ; . . . ; x ) 2 1 2 n dt   ......       dxn = fn (t; x1 ; x2 ; . . . ; xn ) dt (trong đó t ∈ R+ ; x1 ; x2 ; . . . ∈ R) và với điều kiện ban đầu x(t0 ) = (x1 (t0 ); x2 (t0 ); . . . ; xn (t0 )) = (x01 ; x02 ; . . . ; x0n ) thì phương trình tích phân (1.2) có thể viết dưới dạng xk (t) = x0k + Zt fk (t, x1 (τ ), x2 (τ ), . . . , xn (τ ))d(τ ) (k = 1, 2, . . . , n). t0 Với , η là các số dương. Chúng ta kí hiệu  W(,η) = (t, x) ∈ R+ × B)| |t − t0 | ≤ ; ||x − x0 || ≤ η là một lân cận đóng của điểm (t0 , x0 ) trong R+ × B. Khi đó, ta có định lí tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy như sau: 1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm Định lý 1.1.1. (Tính duy nhất nghiệm địa phương) Giả sử tồn tại một lân cận đóng của (t0 , x0 ) sao cho trong lân cận đó 7 hàm f (t, x) liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz: ||f (t, x2 ) − f (t, x1 )|| ≤ M ||x2 − x1 ||, (1.3) (M là một hằng số hữu hạn). Khi đó, tồn tại một lân cận của x0 mà trong lân cận đó (1.1) có duy nhất một nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 . Chứng minh. Từ giả thiết ta suy ra rằng , η > 0 sao cho trong miền |t − t0 | ≤ , ||x − x0 || ≤ η , ta có: ||f (t, x)|| ≤ ||f (t, x0 )|| + ||f (t, x) − f (t, x0 )|| ≤ ||f (t, x0 )|| + M η ≤ M1 < ∞. (Do f (t, x) liên tục theo t nên f (t, x0 ) bị chặn trên |t − t0 | ≤ ). Lấy δ = min(; Mη1 ) và kí hiệu Cδ (B) là không gian Banach các hàm liên tục x(t) xác định trên |t − t0 | ≤ δ với chuẩn |||x||| = sup ||x(t)||. |t−t0 |≤δ Gọi Bη (x0 ) = {x ∈ Cδ (B) : |||x − x0 ||| ≤ η}. Xét toán tử Z t (Sx)(t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ t0 Z t ||(Sx)(t) − x0 || = k f (τ, x(τ ))dτ k t0 ≤ ||t − t0 || sup ||f (τ, x(τ ))|| τ ∈[t0 ,t] ≤ δM1 ≤ η Suy ra toán tử S là ánh xạ đi từ Bη vào Bη . 8 (∀x(t) ∈ Bη ). Hơn nữa, với x1 , x2 ∈ Bη . Từ điều kiện Lipschitz, ta có đánh giá sau: Z t ||(Sx2 )(t) − (Sx1 )(t)|| ≤ ||f (τ, x2 (τ )) − f (τ, x1 (τ ))||dτ t0 Z t ≤ M ||x2 (τ ) − x1 (τ )||dτ t0 ≤ M (t − t0 )|||x2 − x1 |||. Mặt khác, ta lại có: 2 2 ||(S x2 )(t) − (S x1 )(t)|| ≤ M Z t ||(Sx2 )(τ ) − (Sx1 )(τ )||dτ Z t 2 ≤ M |||x2 − x1 ||| (τ − t0 )dτ t0 t0 2 [M (t − t0 )] |||x2 − x1 |||. 2! Sử dụng phép đánh giá liên tiếp, ta được [M (t − t0 )]n n n |||x2 − x1 |||. ||(S x2 )(t) − (S x1 )(t)|| ≤ n! [δM ]n n n |||S x2 − S x1 ||| ≤ |||x2 − x1 |||. n! (δM )n Do → 0 khi n → +∞, nên với n đủ lớn thì S n là toán tử co trong n! Bη . Do đó sẽ tồn tại duy nhất nghiệm x(t) ∈ Bη của phương trình tích = phân Zt x(t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ. t0 Chú ý: Nghiệm x(t) chỉ tồn tại duy nhất nghiệm trên |t − t0 | ≤  , ||x − x0 || ≤ η với , η đủ nhỏ. Định lý sau đây chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm trên [a, b]. Định lý 1.1.2. (Tính duy nhất nghiệm toàn cục) Giả sử tồn tại miền [a, b]×B mà trên đó hàm f (t, x) liên tục theo biến t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz (1.3). Khi đó, với mọi (t0 , x0 ) ∈ [a, b]×B, bài toán Cauchy có nghiệm duy nhất x = x(t) xác định trên [a, b] . 9 Định lý này được chứng minh giống định lý ở trên. Tuy nhiên cần chú ý: 1. Từ giả thiết của định lý ta suy ra hàm f (t, x) giới nội trên [a, b] × D, với D là tập compact tùy ý trong không gian Banach B. 2. Bη ở định lý trên được thay thế bởi C([a; b], B) gồm tất cả các hàm x(t) xác định liên tục trên [a, b], lấy giá trị trong không gian B và có chuẩn được xác định bởi |||x||| = sup ||x(t)||. [a,b] Định lý 1.1.3. (Sự kéo dài nghiệm của bài toán Cauchy) Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t0 , hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện ||f (t, x(t))|| ≤ L(||x||), trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất Z r dr → ∞ khi r → ∞. r0 L(r) Khi đó, mọi nghiệm của phương trình (1.2) có thể kéo dài trên khoảng thời gian vô hạn t0 ≤ t < ∞. Chứng minh. : Vì      x(t2 ) − x(t1 )   ||x(t2 )|| − ||x(t1 )||    ≥    t − t    t − t 2 1  1  2  dx   d||x||  . ⇒   ≥  dt dt  Mặt khác, ta có dx(t) = f (t, x(t)) và ||f (t, x)|| ≤ L(||x||). ta suy ra dt    d||x||  . L(||x||) ≥  dt  10 Lấy tích phân dọc theo đường cong x = x(t) từ điểm x0 = x(t0 ) đến điểm x theo chiều tăng của t ta được: Z t Z t d||x|| 1 . dr dr ≥ dt L(||x||) t0 t0 Z ||x|| dr ⇒ t − t0 ≥ , L(r) ||x0 || (đổi biến r = x(t)). Do Z r r0 dr → ∞ khi r → ∞. L(r) nên nếu ||x|| → ∞ thì t → ∞, do đó nghiệm có thể thác triển ra vô hạn. 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach và họ các toán tử tiến hóa Giả sử B là không gian Banach. Xét phương trình vi phân tuyến tính:   dx = A(t)x + f (t) (1.4) dt x(t ) = x . 0 0 Chúng ta có thể giả sử rằng t thuộc khoảng hữu hạn hay vô hạn I nào đó trong R, f : I → B và A(.) : I → L(B) là các hàm đo được mạnh và khả tích Bochner trên I. Tương ứng với phương trình vi phân ta cũng có phương trình tích phân tương ứng: Z t x(t) = x0 + Z t A(τ )x(τ )dτ + t0 f (τ )dτ. (1.5) t0 Ta nói rằng x(.) : I → B là nghiệm của (1.4) nếu x(t) khả vi (theo nghĩa Frechet) và thỏa mãn (1.4). Khi đó x(t) cũng là nghiệm của (1.5). 11 Xét phương trình: Z t x(t) = g(t) + A(τ )x(τ )dτ t0 với g(t) là hàm vectơ liên tục trên I và chỉ ra rằng nó có một nghiệm liên tục trên đoạn [a; b] ⊂ I. Ta thấy phương trình trên là dạng tổng quát của (1.5) Giả sử C([a; b]; B) là không gian Banach các hàm liên tục trên [a; b] với giá trị trong B và có chuẩn |||x||| = max ||x(t)||. t∈[a;b] Trong không gian C([a; b]; B) xét toán tử: Z t (Sx)(t) = g(t) + A(τ )x(τ )dτ. t0 Toán tử này đi từ C([a; b]; B) vào chính nó từ đó dễ dàng thấy (Sx)(t) là liên tục. Bằng phương pháp quy nạp thực hiện liên tiếp như trên ta được Z t Z t Z t2 n (S x)(t) = g(t) + A(t1 )g(t1 )dt1 + A(t2 )A(t1 )g(t1 )dt1 dt2 + . . . t0 t0 t0 Z t Z tn−1 Z t2 + ... A(tn−1 )A(tn−2 ) . . . A(t1 )g(t1 )dt1 . . . dtn−1 t0 t0 t0 Z t Z tn Z t2 + ... A(tn )A(tn−1 ) . . . A(t1 )x(t1 )dt1 . . . dtn−1 dtn . t0 t0 t0 (1.6) Từ đó với mỗi x1 , x2 ∈ B ta có: (S n x2 )(t) − (S n x1 )(t) Z t Z tn Z t2 = ... A(tn )A(tn−1 ) . . . A(t1 )[x2 (t1 ) − x1 (t1 )]dt1 . . . dtn−1 dtn t0 t0 t0 và đánh giá ||(S n x2 )(t) − (S n x1 )(t)|| 12 ≤ |||x2 −x1 ||| Z tZ tn t2 Z kA(tn )kkA(tn−1 )k . . . kA(t1 )kdt1 . . . dtn−1 dtn . ... t0 t0 t0 Do tính chất bất biến của tích phân khi hoán đổi vị trí các biến số t1 , t2 , . . . , tn nên ta có: Z t Z tn Z t2 ... kA(tn )kkA(tn−1 )k . . . kA(t1 )kdt1 . . . dtn−1 dtn t0 t0 t0 Z Z Z t 1 t t ... kA(tn )kkA(tn−1 )k . . . kA(t1 )kdt1 . . . dtn−1 dtn = n! t0 t0 t0 Z t n 1 kA(τ )kdτ . = n! t0 (1.7) Cuối cùng ta có: 1 |||S n x2 − S n x1 ||| ≤ n! Z n b kA(τ )kdτ |||x2 − x1 |||. a Điều đó chỉ ra rằng toán tử S n co trong C([a; b]; B) khi n đủ lớn. Theo nguyên lí ánh xạ co, tồn tại duy nhất một hàm x(t) liên tục trên đoạn [a; b] và x(t) = lim S n x0 (t), n→∞ với mọi x0 (t) ∈ C([a; b]; B) do đó theo (1.6) thì nghiệm x(t) có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi như sau: Z t x(t) = g(t) + A(t1 )g(t1 )dt1 + t0 Z Z ∞ X t tn n=2 t0 = g(t) + ... t0 ∞ X t2 Z A(tn )A(tn−1 ) . . . A(t1 )g(t1 )dt1 . . . dtn−1 dtn t0 gk (t). k=1 (1.8) Ở đó Z t gk (t) = A(τ )gk−1 (τ )dτ, g0 (t) = g(t). t0 13 Theo (1.7) thì chuỗi trên được làm trội theo chuẩn bằng chuỗi ( Z t n ) ∞ X 1 |||g||| 1 + kA(τ )kdτ n! t 0 n=1 và do đó |||x||| ≤ |||g|||exp Z t (1.9)  kA(τ )kdτ . (1.10) t0 Trong trường hợp riêng chúng ta xét bài toán Cauchy   dx = A(t)x dt x(t ) = x . 0 0 (1.11) Cùng với phương trình (1.11) ta cũng có phương trình dạng tích phân: Z t x(t) = x0 + A(τ )x(τ )dτ. (1.12) t0 Khi đó, nghiệm của phương trình (1.11) thu được từ (1.8) là: Z t x(t) = x0 + A(t1 )x0 dt1 t0 + ∞ Z tZ X n=2 t0 tn Z t2 ... t0 A(tn )A(tn−1 ) . . . A(t1 )x0 dt1 . . . dtn−1 dtn . t0 Chú ý: Nếu như A(t) là liên tục mạnh thì nghiệm x(t) là khả vi liên tục. Kí hiệu U (t) ∈ L(B) là toán tử được xác định bởi Z t Z t2 ∞ Z t Z tn X U (t) = I + A(t1 )dt1 + ··· A(tn ) · · · A(t1 )dt1 · · · dtn . t0 n=2 t0 t0 t0 (1.13) Khi đó, nghiệm của (1.11) có thể viết dưới dạng x(t) = U (t)x0 . và từ đánh giá (1.10) ta có: ||U (t)|| ≤ exp Z t t0 14  ||A(τ )||dτ . Bằng phương pháp biến thiên hằng số ta có thể tìm nghiệm của (1.4) như sau: Đặt x(t) = U (t)y(t) trong đó U (t) xác định như trong (1.13). Thay vào (1.4) ta được   dy = U −1 (t)f (t) dt y(t ) = x . 0 0 (1.14) Tích phân từ t0 đến t hai vế, ta được: Z t y = x0 + U −1 (τ )f (τ )dτ. t0 Khi đó, nghiệm của phương trình (1.4) có thể viết dưới dạng: Z t x(t) = U (t)x0 + U (t)U −1 (τ )f (τ )dτ. (1.15) t0 Đặt U (t, τ ) = U (t)U −1 (τ ). Toán tử U (t, τ ) được gọi là toán tử tiến hóa (hoặc là toán tử tự giải) của phương trình dx = A(t)x. dt Họ các toán tử tiến hóa có các tính chất sau: a) U (t, t) = I. b) U (t, s)U (s, τ ) = U (t, τ ). c) U (t, τ ) = [U (τ, t)]−1 . Ngoài ra, ta luôn có: Rt d) ||U (t, τ )|| ≤ exp[ τ ||A(τ )||dτ ] (t ≥ τ ). e) dU (t, s) = A(t).U (t, s). dt f) dU (t, s) = −U (t, s).A(t). ds 15 • Các tính chất a)-b)-c) dễ dàng suy ra từ định nghĩa Chứng minh. của U (t, τ ). • Với mọi t0 ≤ τ ≤ t ≤ T ta có Z t x(t) = x(τ ) + A(s)x(s)ds, τ suy ra ||x(t)|| ≤ ||x(τ )|| + t Z ||A(s)||.||x(s)||ds. τ Áp dụng bổ đề Gronwall-Belman ta có Z t  ||x(t)|| ≤ ||x(τ )|| exp ||A(τ )||dτ . τ Mặt khác x(t) = U (t, τ )x(τ ), nên ta có ||U (t, τ )x(τ )|| ≤ ||x(τ )|| exp Z t  ||A(τ )||dτ , τ hay ||U (t, τ )|| ≤ exp Z t  ||A(τ )||dτ , với t0 ≤ τ ≤ t ≤ T. τ • Với x(t) = U (t)x0 là nghiệm của bài toán (1.11) nên ta có dU (t) = A(t)U (t) và dt Theo định nghĩa dU −1 (t) = −U −1 (t)A(t). dt U (t, τ ) = U (t)U −1 (τ ). Suy ra dU (t, τ ) dU (t) −1 = U (τ ) = A(t)U (t)U −1 (τ ) = A(t)U (t, τ ) dt dt và dU (t, τ ) dU −1 (τ ) = U (t) = −U (t)U −1 (τ )A(t) = −U (t, τ )A(t). dτ dτ Vậy tính chất e)và f) được chứng minh. 16 1.3 Sự ổn định và giới nội nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu Giả sử B là một không gian Banach. Xét phương trình vi phân: dx = f (t, x). (1.16) dt Trong đó: t ∈ R+ , x ∈ B, f : R+ × G −→ B, f (t, 0) = 0. Để thuận tiện chúng ta xét G là một miền mở chứa gốc tọa độ G = {x ∈ B : kxk ≤ r, r > 0} hoặc G có thể là toàn bộ không gian B. Giả sử hàm f thỏa mãn mọi điều kiện để nghiệm của bài toán Cauchy của phương trình (1.16) tồn tại duy nhất và có thể kéo dài ra vô hạn. Kí hiệu x(t) = x(t, t0 , x0 ) là nghiệm của phương trình vi phân (1.16) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 ∈ R+ , x0 ∈ G. Ta thấy rằng nghiệm của bài toán Cauchy:   dx = f (t, x) dt x(t ) = x 0 0 (1.17) luôn có thể viết dưới dạng phương trình tích phân sau: Z t x(t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ. t0 Nghiệm này có thể tìm được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp. Mục đích của chương này là ta đi nghiên cứu tính ổn định theo nghĩa Lyapunov của phương trình vi phân (1.16). Trước tiên chúng ta phát biểu một số định nghĩa cơ bản về ổn định. Định nghĩa 1.3.1. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.16) được gọi là ổn định theo nghĩa Lyapunov khi t → ∞ nếu ∀ε > 0, t0 ∈ R+ , ∃δ = δ(t0 , ε) sao cho: ∀x0 ∈ G : kx0 k < δ ⇒ kx(t, t0 , x0 )k < ε, ∀t ≥ t0 . 17 Định nghĩa 1.3.2. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.16) được gọi là ổn định đều theo nghĩa Lyapunov nếu số δ trong định nghĩa (1.3.1) không phụ thuộc vào t0 . Định nghĩa 1.3.3. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.16) được gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu: a. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 ổn định. b. Tồn tại một số 4 = 4(t0 ) > 0 sao cho với mọi x0 ∈ G và kx0 k < 4 kéo theo lim kx(t, t0 , x0 )k = 0. t→+∞ Định nghĩa 1.3.4. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.16) được gọi là ổn định tiệm cận đều khi t → ∞ nếu: a. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 ổn định đều. b. Tồn tại một số 4 = 4(t0 ) > 0 (không phụ thuộc vào t0 ) sao cho với mọi x0 ∈ G và kx0 k < 4 kéo theo lim kx(t, t0 , x0 )k = 0. t→+∞ Định nghĩa 1.3.5. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.16) được gọi là ổn định mũ khi t → +∞ nếu như mọi nghiệm x(t) = x(t, t0 , x0 ) của phương trình (1.16) luôn thỏa mãn bất đẳng thức: kx(t)k ≤ M.e−λ(t−t0 ) .kx0 k, ∀t ≥ t0 . trong đó M, λ là các hằng số dương không phụ thuộc vào cách chọn x0 . Định nghĩa 1.3.6. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.16) được gọi là ổn định mũ đều khi t → +∞ nếu như số M ở trên không phụ thuộc vào t0 . Bổ đề 1.3.1. (Bổ đề Gronwall - Belman) Giả sử u(t) ≥ 0, f (t) ≥ 0, ∀t ≥ t0 và các hàm u(t), f (t) là các hàm 18