Tài liệu đề thi xác suất thống kê đáp án tham khảo

ĐÁP ÁN THAM KHẢO ĐỀ THI XÁC SUẤT THỐNG KÊ Chào mọi người! Quay trở lại với lời hẹn ở mùa Toán Cao cấp năm trước, mình xin chia sẻ với mọi người đáp án tham khảo đề thi Xác suất – Thống kê của các khóa trước. Thành thật với các bạn rằng mình đi học không nhiều lắm. Chính xác là không có đi luôn, họa chăng vào lớp vài ba lần toàn là để ngủ. Vậy nên sau 2 đợt kiểm tra lấy điểm thì mình được 1 cột 1 điểm và 1 cột vắng mặt (do không biết kiểm tra ngày nào). Mình khai báo điều này để các bạn có thể tự cân nhắc lại xem có nên tin tưởng vào đáp án đề nghị của một đứa “vô học” hay không. Toàn bộ mọi thứ đều là do mình mày mò từ sách và tài liệu liên quan trong suốt 2 tuần qua. Chính vì không qua giáo viên giảng nên những thứ mình viết có thể có lỗi, có thể sai hoặc cũng có thể không phù hợp với cách học và cách được dạy của các bạn ở lớp. Nhưng mong rằng, nếu đã tin tưởng ở mình, thì các bạn cũng sẽ có những phản hồi tích cực để giúp tài liệu tham khảo này ngày càng hoàn thiện hơn. Đối với tập tin mình chia sẻ cho các bạn, đây là tập tin tài liệu hoàn toàn miễn phí và không vì mục đích thương mại. Mình viết ra không phải để kiếm tiền, nhưng cũng không thánh thiện đến mức chỉ là vì lòng tốt chia sẻ cho mọi người. Lý do mình viết và chia sẻ tài liệu này xin phép không tiết lộ. Mong rằng mọi người sẽ giữ gìn sự trong sạch trên danh nghĩa cho tài liệu này, đó là: “Chỉ để tham khảo và ôn thi mà thôi!” Có những phần mình chưa nghiên cứu tới nên mình chưa giải được. Có những phần mình chưa chắc cách làm và lập luận nên chưa thể công bố. Có những sơ sót, lỗi sai (rất nhiều). Và tất cả mình đều theo hướng tự luận. Mình ghét trắc nghiệm (thông cảm) Rất mong sẽ nhận được phản hồi, góp ý từ các bạn! Mọi ý kiến thắc mắc, đề nghị có thể “Bình luận” trực tiếp trên facebook hoặc “Gửi tin nhắn” trực tiếp cho mình. Cũng có thể liên hệ mình qua e-mail: [email protected] (Dạo này không còn thảnh thơi như đợt Toán Cao cấp nữa nên mình không chắc là sẽ giải được nhiều đề. Nhưng nói chung mình vẫn sẽ cố gắng) TRIỆU ĐOAN AN Khóa 40 – Đề 01 Câu 1: Có 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Lấy ngẫu nhiên ra 3 chữ số. Tính xác suất để tổng các chữ số lấy ra là một số lẻ. 3 -Tổng số cách lấy ra ba chữ số là: C10 -Để tổng 3 chữ số lấy ra là một số lẻ thì trong 3 số đó: (Có 1 số lẻ và 2 số chẵn) hoặc (Cả 3 số đều là số lẻ) -Suy ra số cách chọn ra 3 số để tổng của chúng là một số lẻ là: C51 . C52 + C53 -Xác suất cần tính: P= C51 . C52 + C53 1 = 3 2 C10 Câu 2: Có một lô hàng có 9 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm, được chia thành 3 phần bằng nhau. Tính xác suất để trong mỗi phần đều có 1 phế phẩm. *Trước tiên, ta phải tính số cách chia 9 sản phẩm thành 3 phần. -Để chia 9 sản phẩm thành 3 phần bằng nhau, ta cần thực hiện các công việc: 1. Chọn 3 từ 9 sản phẩm tạo thành 1 nhóm. Số cách: C93 2. Chọn 3 từ 6 sản phẩm còn lại tạo thành 1 nhóm. Số cách: C63 3. Chọn 3 từ 3 sản phẩm còn lại tạo thành 1 nhóm. Số cách: C33 -Các công việc trên thực hiện liên tiếp nhau nên số cách thực hiện sẽ là: C93 . C63 . C33 *Ta phải chia 9 sản phẩm thành 3 phần, mỗi phần gồm 2 sản phẩm tốt và 1 phế phẩm. -Để làm được điều trên, ta cần làm các công việc liên tiếp như sau: 1. Chọn ra 2 sản phẩm từ 6 sản phẩm tốt và 1 phế phẩm từ 3 phế phẩm. Số cách: C62 . C31 2. Chọn tiếp 2 sản phẩm từ 4 sản phẩm tốt còn lại và 1 phế phẩm từ 2 phế phẩm còn lại. Số cách: C42 . C21 3. Còn lại 3 sản phẩm tạo thành phần có sẵn 2 sản phẩm tốt và 1 phế phẩm. Số cách C22 . C11 -Vì các công việc trên được thực hiện liên tiếp nhau nên tổng số cách thực hiện sẽ là: (C62 . C31 ). (C42 . C21 ). (C22 . C11 ) *Xác suất để chia 9 sản phẩm thành 3 phần bàng nhau và mỗi phần có 1 phế phẩm là: P= C62 . C31 . C42 . C21 . C22 . C11 C62 . C31 . C42 . C21 9 = = 3 3 3 3 3 28 C9 . C6 . C3 C9 . C6 Câu 3: Một kiện hàng gồm 5 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại tùng sản phẩm cho đến khi gặp phế phẩm thì dừng lại. Tìm số lần lấy trung bình để gặp được phế phẩm. -Số lần lấy ít nhất để lấy được phế phẩm là 1, số lần nhiều nhất để lấy được phế phẩm là 4. 2 Xác suất để lấy 1 lần được phế phẩm là: P1 = 5 3 2 3 Xác suất để lấy 2 lần được phế phẩm là: P2 = 5 . 4 = 10 3 2 2 1 Xác suất để lấy 3 lần được phế phẩm là: P3 = 5 . 4 . 3 = 5 3 2 1 1 Xác suất để lấy 4 lần được phế phẩm là: P4 = 5 . 4 . 3 . 1 = 10 -Số lần lấy trung bình là: 2 3 1 1 n = .1 + .2 + .3 + .4 = 2 5 10 5 10 Câu 4: Tung một con xúc xắc cân đối và đồng chất 30 lần. Gọi X là tổng số chấm xuất hiện trong 30 lần tung. Tìm phương sai của X. -Gọi Xi là số chấm xuất hiện trong lần tung thứ i. Ta có: 30 X = ∑ Xi i=1 -Do các lần tung là độc lập với nhau nên: 30 Var(X) = ∑ Var(Xi ) i=1 -Các lần tung là như nhau nên phương sai của các tung là như nhau. 30 Var(X) = ∑ Var(Xi ) = 30Var(Xi ) i=1 Với Var(Xi ) là phương sai chung của của số chấm xuất hiện trong mỗi lần tung. Ta có: 6 1+2+3+4+5+6 35 μ(X) = = 3,5 ; Var(Xi ) = ∑(k − μ)2 Pk = 6 12 k=1 -Từ đó, ta được: Var(X) = 30Var(Xi ) = 87,5 Câu 5: Một xạ thủ có xác suất bắn trúng bia là 0,8. Xạ thủ này bắn 100 viên đạn. Tính xác suất để có số viên đạn bắn trúng bia từ 70 đến 80 viên. -Gọi X là số viên đạn bắn trúng bia. -Đại lương X là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối nhị thức: X ∼ B(n = 100; p = 0,8) *Cách 1 - Sử dụng phân phối nhị thức thuần túy: Vì các lần bắn là độc lập với nhau nên: 80 80 i P(70 ≤ X ≤ 80) = ∑ P(X = i) = ∑ C100 . 0,8i . (1 − 0,8)100−i = 0,5338 i=70 i=70 *Cách 2 – Liên hệ với phân phối chuẩn: -Vì n=100 khá lớn và 0,8 không quá gần 0, cũng không quá gần 1, nên ta xấp xỉ: X ∼ N(μ = np = 80; σ2 = npq = 16) ⇒ 𝑋 − 80 ∼ N(0; 1) 4 -Khi đó, ta tính được xác suất: P(70 ≤ X ≤ 80) = P (−2,5 ≤ X − 80 ≤ 0) = Φ(2,5) = 0,4938 4 Dù đáp số 0,4938 có trùng với một trong bốn đáp án trong đề, còn 0,5338 thì không nhưng chúng ta vẫn nên nhớ rằng bản chất đại lượng X tuân theo luật phân phối nhị thức, còn chuyển sang phân phối chuẩn chẳng qua chỉ là một cách lấy xấp xỉ thôi. Như vậy, thực tế, đáp án đúng nhất trên lý thuyết vẫn là cách làm theo phân phối nhị thức. Đáp án là 0,5338. Câu 6: Tại một khu bảo tồn động vật, lần đầu người ta săn bắt 100 con tê giác, đánh dấu chúng rồi thả lại vào khu bảo tồn. Một thời gian sau, người ta săn bắt 200 con thì thấy có 40 con có đánh dấu. Hãy ước lượng số tê giác có trong khu bảo tồn tại với độ tin cậy 96%. 𝚽(𝟐, 𝟓𝟕𝟔) = 𝟎, 𝟒𝟗𝟓𝟎; 𝚽(𝟐, 𝟑𝟐𝟔) = 𝟎, 𝟒𝟗𝟎𝟎; 𝚽(𝟐, 𝟏𝟕𝟎) = 𝟎, 𝟒𝟖𝟓𝟎; 𝚽(𝟐, 𝟎𝟓𝟒) = 𝟎, 𝟒𝟖𝟎𝟎. -Với mức tin cậy 96%, ta có: 2Φ(𝑧) = 96% ⇒ Φ(𝑧) = 0,48 ⇒ z = 2,054 -Gọi N là số tê giác có trong khu bảo tồn. Như vậy, sau khi đánh dấu, tỉ lệ tìm săn bắt được số tê giác là: P= 100 N -Trong 200 con săn bắt được, thấy có 40 được đánh dấu nên tỉ lệ mẫu thu được: f= 40 = 0,2 200 -Suy ra độ chính xác: f(1 − f) 0,2.0,8 ε = z√ = 2,054. √ = 0,0581 n 200 -Khoảng tin cậy: P ∈ (f ± ε) ⇒ 100 ∈ (0,1419; 0,2581) ⇒ N ∈ (387; 705) N Câu 7: Cho tổng thể được đặc trưng bởi đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối xác suất sau: X P 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 Gọi (𝐗 𝟏 , 𝐗 𝟐 , … , 𝐗 𝟓𝟎 ) là mẫu ngẫu nhiên gồm n=50 quan sát độc lập được chọn từ tổng thể ̅ = 𝟏 ∑𝐧𝐢=𝟏 𝐗 𝐢 . trên (chọn theo phương pháp có hoàn lại). Tìm phương sai của 𝐗 𝐧 n n i=1 i=1 1 1 ̅) = Var ( ∑ Xi ) = Var (∑ Xi ) Var(X n n2 -Vì 50 quan sát trong mẫu là độc lập nên: n 1 1 1 ̅) = ∑ Var(Xi ) = . nVar(Xi ) = Var(X . Var(Xi ) n2 n2 50 i=1 Với Var(Xi ) là phương sai chung của mỗi quan sát. -Ta tính được: μ(X) = 1+2+3+4+5+6 = 3,5 6 6 Var(Xi ) = ∑(Xk − μ)2 . Pk = k=1 35 12 -Thay vào, ta được: ̅) = Var(X 1 7 . Var(Xi ) = 50 120 Câu 8: Một mẫu ngẫu nhiên gồm có n quan sát độc lập được rút ra từ tổng thể có phân phối chuẩn với trung bình là 𝛍 và độ lệch chuẩn là 𝛔 = 𝟖. ̅ − 𝛍| ≤ 𝟎, 𝟗𝟖) = 𝟎, 𝟗𝟓. Tìm n sao cho: 𝐏(|𝐗 n ̅ 1 82 X−μ 2 ̅ X = ∑ Xi ∼ N (μ; σ = ) ⇒ . √n ∼ N(0; 1) n n 8 i=1 -Ta có: ̅ − μ| ≤ 0,98) = 2Φ(X ̅ − μ = 0,98) = 2Φ ( P(|X ̅ X−μ 0,98 0,98 . √n = √n) = 2Φ ( √n) 8 8 8 -Theo đề bài: ̅ − μ| ≤ 0,98) = 0,95 P(|X 0,98 ⇒ Φ( √n) = 0,475 8 ⇒ 0,1225√n = 1,96 ⇒ n = 256 Câu 9: Lấy mẫu kích thước 200 thì ta tính được trung bình mẫu là 14,2. Lấy tiếp mẫu kích thước 100 thì ta tính được trung bình mẫu là 14,8. Trung bình mẫu của mẫu gộp lại cả hai mẫu trên là bao nhiêu? Trung bình mẫu: ̅ X= 14,2.200 + 14,8.100 = 14,4 300 Câu 10: Điều tra ngẫu nhiên thu nhập (triệu đồng/tháng) của 200 công nhân (CN) làm việc ở 2 thành phố A và B, ta có số liệu: Thu nhập Thành phố <4 4–8 >= 8 A 15 25 24 B 55 45 36 Với mức ý nghĩa 5%, hãy tính giá trị của tiêu chuẩn kiểm định và xét xem thu nhập của CN có phụ thuộc vào nơi làm việc hay không. A. 𝛘𝟐 = 𝟓, 𝟎𝟖𝟒. Thu nhập của CN có phụ thuộc vào nơi làm việc. B. 𝛘𝟐 = 𝟓, 𝟎𝟖𝟒. Thu nhập của CN không phụ thuộc vào nơi làm việc. A. 𝛘𝟐 = 𝟔, 𝟔𝟔𝟕. Thu nhập của CN có phụ thuộc vào nơi làm việc. A. 𝛘𝟐 = 𝟔, 𝟔𝟔𝟕. Thu nhập của CN không phụ thuộc vào nơi làm việc. -Ta thống kê lại các giá trị mi và nj và tổng số n. Thu nhập Thành phố A B nj -Lập bảng chứa các chỉ số A B nj <4 4–8 >= 8 mi 15 55 70 25 45 70 24 36 60 64 136 n=200 mi n j n , ta thu được kết quả: <4 70.64 = 22,4 200 70.136 = 47,6 200 70 4–8 70.64 = 22,4 200 70.136 = 47,6 200 70 >= 8 60.64 = 19,2 200 60.136 = 40,8 200 60 mi 64 136 n=200 -Từ đó, ta tính được: χ2 = + (15 − 22,4)2 (25 − 22,4)2 (24 − 19,2)2 + + 22,4 22,4 19,2 (55 − 47,6)2 (45 − 47,6)2 (36 − 40,8)2 + + 47,6 47,6 40,8 ⇒ χ2 = 325 ≈ 5,804 56 -Với mức ý nghĩa 5%, ta tính được: χ2α (I − 1)(J − 1) = χ20,05 . (2 − 1)(3 − 1) = χ20,05 (2) = 5,911 -Vì χ2 = 5,804 < 5,911 = χ20,05 (2) nên ta có thể kết luận rằn thu nhập của công nhân không phụ thuộc vào nơi làm việc. Câu 11: Một bến xe có 5 xe bus chạy cùng tuyến đường và đang chuẩn bị xuất phát. Có 8 hành khách lên các xe này một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau. Tính xác suất để xe nào cũng có người lên. -Giả sử rằng các xe đã xếp thẳng hàng từ 1 đến 5. Bây giờ, hành khách sẽ lên xe. -Gọi Ai là biến cố xe thứ i có người lên và B là biến cố xe nào cũng có người lên. Như vậy, ta có: ̅) P(B) = 1 − P(B Với: ̅̅̅1 ∪ A ̅̅̅2 ∪ A ̅̅̅3 ∪ A ̅̅̅4 ∪ A ̅̅̅5 ) ̅) = P(A P(B -Vì các xe có vai trò như nhau nên theo công thức cộng các xác suất: ̅̅̅1 ) − C52 . P(A ̅̅̅1 . ̅̅̅ ̅̅̅1 . ̅̅̅ ̅̅̅3 ) − C54 . P(A ̅̅̅1 . ̅̅̅ ̅̅̅3 . ̅̅̅ ̅) = C51 . P(A P(B A2 ) + C53 P(A A2 . A A2 . A A4 ) 4 8 3 8 2 8 1 8 1 2 3 4 ̅ ⇒ P(B) = C5 . ( ) − C5 . ( ) + C5 . ( ) − C5 . ( ) = 0,67744 5 5 5 5 -Vậy xác suất để xe nào cũng có người lên là: ̅) = 0,32256 P(B) = 1 − P(B Câu 12: Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất để câu được cá ở 3 chỗ đó lần lượt là 0,7; 0,8 và 0,9. Biết rằng người đó chọn ngẫu nhiên một chỗ rồi thả câu 3 lần và chỉ câu được 1 con cá. Tìm xác suất con cá đó câu được ở chỗ thứ nhất. -Gọi Ai là biến cố chọn điểm câu cá thứ i. Vì cả ba chỗ câu đều được ưa thích như nhau nên: P(A1 ) = P(A2 ) = P(A3 ) = 1 3 -Gọi C là biến cố thả câu 3 lần và chỉ câu được 1 con cá. Do hệ biến cố {A1 , A2 , A3 } đầy đủ và xung khắc từng đôi nên: P(C) = P(C|A1 ) + P(C|A2 ) + P(C|A3 ) -Ta dễ dàng tính được các xác suất thành phần trên, chính là các xác suất câu 3 được tại chỗ câu i: P(C|A1 ) = C31 . 0,7. 0,32 = 0,189 P(C|A2 ) = C31 . 0,8. 0,22 = 0,096 P(C|A3 ) = C31 . 0,9. 0,12 = 0,027 -Như vậy, ta được: P(C) = 0,312 -Theo đề bài, ta cần tính: P(A1 |C) = P(A1 C) 0,189 = = 0,6058 P(C) 0,312 Câu 13: Khối lượng của 1 con gà được chọn ngẫu nhiên là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 1,8kg và độ lệch chuẩn là 0,2kg. Khối lượng của một con vịt được chọn ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 2,5kg và độ lệch chuẩn là 0,3kg. Chọn mua ngẫu nhiên 5 con gà và 4 con vịt. Tìm xác suất để tổng khối lượng thịt gà và thịt vịt mua được nằm trong khoảng [18;20] (kg). -Gọi G và V lần lượt là khối lượng của gà và vịt. Theo đề bài, hai đại lượng trên tuân theo luật phân phối chuẩn: G ∼ N(μ = 1,8; σ2 = 0,22 ) ; V ∼ N(μ = 2,5; σ2 = 0,32 ) ⇒ 5G ∼ N(μ = 9; σ2 = 12 ) ; 4V ∼ N(μ = 10; σ2 = 1,22 ) -Gọi M là tổng khối lượng 5 con gà 4 con vịt, ta có: M = 5G + 4V -Vì G và V là các biến ngẫu nhiên và độc lập với nhau nên: M ∼ N(μ = 9 + 10; σ2 = 12 + 1,22 ) ⇒ M ∼ N (μ = 19; σ2 = ⇒ 5(M − 19) √61 61 ) 25 ∼ N(0; 1) -Ta có: P(18 ≤ M ≤ 20) = P (− 5 √61 ≤ 5(M − 19) √61 ≤ 5 5 ) = 2. Φ ( ) ≈ 2Φ(0,64) = 0,4778 √61 √61 Câu 14: Khảo sát về mức tiêu thụ điện (kwh/tháng) của một số hộ gia đình ở một thành phố, ta có bảng số liệu dạng khoảng (𝐚𝐢 ; 𝐛𝐢 ] sau: Lượng điện tiêu thụ Số hộ 240 – 360 13 360 – 420 22 420 – 480 35 480 – 540 20 540 - 720 10 Quy ước những hộ có mức tiêu thụ điện lớn hơn 480 kwh/tháng là những hộ có mức tiêu thụ điện cao. a) Tìm khoảng tin cậy của lượng điện tiêu thụ trung bình của một hộ có mức tiêu thụ điện cao với mức tin cậy 95%. -Lượng điện tiêu thụ trung bình và độ lệch chuẩn: 480 + 540 540 + 720 ) . 20 + ( ) . 10 2 2 ̅= X = 550 ; σ = 56,5685 30 ( -Với mức tin cậy 95%, ta có: 2Φ(𝑧) = 95% ⇒ Φ(z) = 0,475 ⇒ z = 1,96 -Suy ra độ chính xác: ε = z. σ √𝑛 = 1,96. 56,5685 √30 ≈ 20 -Khoảng tin cậy: ̅ ± ε) ⇒ X ∈ (530; 570) X ∈ (X b) Với mẫu đã cho, nếu muốn sai số của phép ước lượng tỷ lệ những hộ có mức tiêu thụ điện cao là 7% thì độ tin cậy phải đạt bao nhiêu %? -Ta có: f(1 − f) ε = 𝑧. √ n ⇒ z = ε√ n 100 = 0,07√ = 1,5275 f(1 − f) 0,3.0,7 -Độ tin cậy: 2Φ(𝑧) = 2Φ(1,5275) = 88,36% Khóa 40 – Đề 02 Câu 1: Tỷ lệ sản phẩm loại B của một nhà máy là 20%. Nhà máy này có rất nhiều sản phẩm. Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm của nhà máy. Tính xác suất để trong 4 sản phẩm lấy ra, có không quá một sản phẩm loại B. -Gọi X là số sản phẩm loại B được lấy ra. Như vậy, X là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo phân phối nhị thức: X ∼ B(n = 4; p = 0,2) -Xác suất để có không quá một sản phẩm loại B được lấy ra: P = P(X = 0) + P(X = 1) = C40 . 0,20 . 0,84 + C41 . 0,21 . 0,83 = 0,8192 Câu 2: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Poisson với 𝐄(𝐗) = 𝟐 . Xác suất 𝐏(𝐗 ≥ 𝟒|𝐗 ≥ 𝟐) là: -Theo đề bài, ta được: λ = E(X) = 2 -Ta có: P(X ≥ 4|X ≥ 2) = P[(X ≥ 4) ∪ (X ≥ 2)] P(X ≥ 4) = P(X ≥ 2) P(X ≥ 2) Với ∞ 3 3 i=0 k=0 k=0 e−2 . 2k 1 20 21 22 23 P(X ≥ 4) = ∑ pi − ∑ pk = 1 − ∑ = 1− 2( + + + ) k! e 0! 1! 2! 3! ∞ 1 1 P(X ≥ 2) = ∑ pi − ∑ pk = 1 − ∑ i=0 k=0 k=0 e−2 . 2k 1 20 21 = 1− 2( + ) k! e 0! 1! -Thay vào, ta được: 1− P(X ≥ 4|X ≥ 2) = 1 20 21 22 23 ( + + + ) e2 0! 1! 2! 3! = 0,241 1 20 21 1 − 2 ( 0! + 1! ) e Câu 3: Một hộp có 15 viên bi, trong đó có 6 bi trắng, 4 bi xanh và 5 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp này lần lượt mỗi lần một bi, không hoàn lại, để có đủ 3 bi. Xác suất để lần đầu lấy được bi trắng, lần hai lấy được bi xanh và lần ba lấy được bi đỏ là: P= 6 4 5 4 . . = 15 14 13 91 Câu 4: Khối lượng của sản phẩm của một nhà máy là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng 𝛍 (𝐠) và độ lệch chuẩn 𝛔 = 𝟎, 𝟑 (𝐠). Biết rằng tỷ lệ các sản phẩm có khối lượng lớn hơn 𝟖 (𝐠) là 1%. Cho 𝐏(𝐙 < 𝟐, 𝟑𝟑) = 𝟎, 𝟗𝟗 với 𝐙~𝐍(𝟎; 𝟏). Khi đó 𝛍 bằng: -Gọi X là khối lượng của sản phẩm của nhà máy. Theo đề bài, X là đại lượng tuân theo luật phân phối chuẩn: X ∼ N(μ; 0,32 ) ⇒ X−μ ~N(0; 1) 0,3 -Theo đề bài: 8−μ 8−μ P(X > 8) = 1% ⇒ Φ(∞) − Φ ( ) = 0,01 ⇒ Φ ( ) = 0,49 0,3 0,3 P(Z < 2,33) = 0,99 ⇒ Φ(2,33) + Φ(∞) = 0,99 ⇒ Φ(2,33) = 0,49 -Đồng nhất hai vế phải của biểu thức vừa tìm được: 8−μ = 2,33 ⇒ μ = 7,301 0,3 Câu 5: Một lô hàng có tỷ lệ sản phẩm do phân xưởng một, hai sản xuất lần lượt là 40% và 60%. Tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của phân xưởng một, hai tương ứng là 90%, 96%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng này thì được sản phẩm không đạt tiêu chuẩn. Xác suất để sản phẩm này do phân xướng một sản xuất là: -Gọi X1 , X2 là biến cố chọn được sản phẩm do phân xưởng một, hai sản xuất. -Gọi B là biến cố sản phẩm được chọn không đạt tiêu chuẩn. -Ta cần tính xác suất chọn được sản phẩm của phân xưởng một khi đã biết rằng sản phẩm này không đạt tiêu chuẩn: P(X1 |B) = P(X1 B) P(B) -Ta tính P(X1 B) là xác suất chọn được sản phẩm không đạt tiêu chuẩn của phân xưởng một: P(X1 B) = 40%. (1 − 90%) = 0,04 -Tính tiếp P(B) là xác suất chọn được sản phẩm không đạt tiêu chuẩn trong lô hàng: P(B) = P(X1 ). P(B|X1) + P(X2 ). P(B|X2 ) = 40%. (1 − 90%) + 60%. (1 − 96%) = 0,064 -Thay hết vào, ta được: P(X1 |B) = 0,04 5 = = 0,625 0,064 8 Câu 6: Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm loại A, 3 sản phẩm loại B và 1 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) từ kiện hàng này ra 2 sản phẩm. Gọi X, Y lần lượt là số sản phẩm loại A, loại B trong 2 sản phẩm lấy ra. Khi đó 𝐄(𝐗|𝐘 = 𝟏) bằng: -Với số sản phẩm B lấy ra là 1 thì số sản phẩm A lấy ra tối thiểu là 0, tối đa là 1. Ta có: E(X|Y = 1) = E(X = 0|Y = 1) + E(X = 1|Y = 1) ⇒ E(X|Y = 1) = 0. P(X = 0|Y = 1) + 1. P(X = 1|Y = 1) = P(X = 1|Y = 1) ⇒ E(X|Y = 1) = P(X = 1|Y = 1) = P[(X = 1)(Y = 1)] P(Y = 1) -Ta có: P[(X = 1)(Y = 1)] = 6.3 3.7 ; P(Y = 1) = 2 2 C10 C10 6.3 6 C2 ⇒ E(X|Y = 1) = 10 = 3.7 7 2 C10 Câu 7: Lấy mẫu kích thước 300 thì ta tính được trung bình mẫu là 14,5 và phương sai mẫu là 0,4. Với độ tin cậy 95% thì ta tinh được độ chính xác trong phép ước lượng trung bình tổng thể là 𝛆. Nếu muốn độ chính xác là 𝛆 nhưng độ tin cậy là 98% thì phải lấy mẫu có kích thước bao nhiêu? -Với độ tin cậy 95% và 98% ta có: Φ(z1 ) = 95% 98% ⇒ z1 = 1,96 ; Φ(z2 ) = ⇒ z2 = 2,33 2 2 -Ta có công thức tính độ chính xác: ε = z. σ √n -Vì độ chính xác trong hai lần lấy mẫu là như nhau nên: z1 σ σ z2 2 = z2 ⇒ n2 = ( ) . n1 = 424 z1 √n1 √ n2 Câu 8: Điều tra một số sản phẩm của một xí nghiệp về chiều dài (X – cm) và hàm lượng chất A (Y - %), ta có bảng số liệu: Y X 8 10 12 14 16 100 5 5 110 4 6 7 120 5 9 8 130 4 6 9 140 5 7 Để có khoảng tin cậy cho chiều dài trung bình đạt được độ chính xác là 32mm thì độ tin cậy là bao nhiêu? -Giá trị trung bình và độ lệch chuẩn: ̅ = 120,75 cm ; σ = 12,4273 cm X -Độ chính xác: ε = z. ⇒ z = ε. σ √n √80 √n = 3,2. = 2,30 σ 12,4273 -Độ tin cậy: 2Φ(z) = 2Φ(2,3) = 97,8% Câu 9: Trước đây, chiều dài trung bình của sản phẩm do một nhà máy sản xuất là 0,05 (m). ̅ = 𝟎, 𝟎𝟓𝟑 (𝐦) và 𝐬 = Người ta lấy mẫu 9 sản phẩm do máy này sản xuất và tính được 𝐗 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 (𝐦). Gọi 𝛍 là chiều dài trung bình của sản phẩm do máy sản xuất hiện nay. Với mức ý nghia 5%, kiểm định giả thiết 𝐇𝟎 : 𝛍 = 𝟎, 𝟎𝟓 𝐯ớ𝐢 𝐇𝟏 : 𝛍 ≠ 𝟎, 𝟎𝟓. Tính giá trị tiêu chuẩn kiểm định và đưa ra kết luận: A. t=1 và bác bỏ H0. B. t=1 và chấp nhận H0. C. t=3 và chấp nhận H0. D. t=3 và bác bỏ H0. (câu này cũng chưa nghiên cứu, tạm bỏ qua nhé!) Câu 10: Một địa phương có 50% hộ sử dụng internet. Lấy mẫu ngẫu nhiên kích thước n=100 theo phép chọn lặp. Gọi Y là số lần xuất hiện hộ sử dụng internet. Xác suất 𝐏(𝟒𝟎 ≤ 𝐘 ≤ 𝟔𝟎): *Cách 1: Sử dụng phân phối nhị thức thuần túy. 60 60 i 100−i P(40 ≤ Y ≤ 60) = ∑ 0,5 . 0,5 100 = 0,5 i=40 i ∑ C100 = 0,9648 i=40 *Cách 2: Liên hệ với phân phối chuẩn: Y ∼ N(μ = 50; σ2 = 25) P(40 ≤ Y ≤ 60) = P (−2 ≤ Y − 50 ≤ 2) = 2. Φ(2) = 0,9544 5 Câu 11: Một lô hàng có 2 kiện sản phẩm. Mỗi kiện có 10 sản phẩm. Kiện thứ nhất có 8 sản phẩm loại A và kiện thứ hai có 6 sản phẩm loại A. Lấy ngâu nhiên một kiện, rồi từ kiện đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. a) Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm loại A. -Gọi X1, X2 lần lượt là biến cố chọn được kiện hàng thứ nhất, thứ hai. Vì hai kiện hàng là như nhau nên: P(X1 ) = P(X2 ) = 0,5 -Gọi A là biến cố chọn được sản phẩm loại A. -Vì hệ {X1 ; X2 } là hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi nên xác suất chọn được sản phẩm loại A được tính: P(A) = P(X1 ). P(A|X1 ) + P(X2 ). P(A|X2 ) = 0,5.0,8 + 0,5.0,6 = 0,7 b) Biết rằng lấy được sản phẩm loại A. Hãy tính xác suất để lấy tiếp một sản phẩm nữa từ kiện đó ra cũng là sản phẩm loại A. -Gọi A1, A2 lần lượt là biến cố chọn được sản phẩm loại A trong lần lấy thứ nhất, thứ hai. -Theo đề bài, ta cần tính: P(A2 |A1 ) = P(A1 A2 ) P(A1 ) -Với P(A1 A2 ) là xác suất hai lần lấy đều được sản phẩm loại A, ta có: P(A1 A2 ) = P(X1 )P(A1 A2 |X1 ) + P(X2 )P(A1 A2 |X 2 ) = 0,5. 8 7 6 5 43 . + 0,5. . = 10 9 10 9 90 -Còn P(A1 ) chính là xác suất lần đầu chọn được sản phẩm loại A như ở câu a), nên: P(A1 ) = 0,7 -Vậy nên, xác suất ta tính được: P(A2 |A1 ) = 43 ≈ 0,6825 63 Câu 12: 𝐗 𝟏 , 𝐗 𝟐 , 𝐗 𝟑 , … , 𝐗 𝟏𝟎𝟎 là mẫu ngẫu nhiên kích thước n=100 lập từ đại lượng ngẫu nhiên X (các đại lượng ngẫu nhiên 𝐗 𝟏 , 𝐗 𝟐 , 𝐗 𝟑 , … , 𝐗 𝟏𝟎𝟎 độc lập và có cùng phân phối với X). Biết 𝐄(𝐗) = 𝟏𝟔 và 𝐕𝐚𝐫(𝐗) = 𝟒. Tính xác suất 𝐏(𝐗 𝟏 + 𝐗 𝟐 + 𝐗 𝟑 + ⋯ + 𝐗 𝟏𝟎𝟎 < 𝟏𝟔𝟓𝟎). -Theo đề bài, X là đại lượng tuân theo luật phân phối chuẩn nên: X ∼ N(μ = 16; σ2 = 22 ) ⇒ X − 16 ∼ N(0; 1) 2 -Vì X1 , X2 , X3 , … , X100 độc lập và có cùng phân phối với X nên tổng: 𝑋+ = X1 + X2 + X3 + ⋯ + X100 ∼ N(μ = 1600; σ2 = 2002 ) ⇒ X − 1600 ∼ N(0; 1) 200 X − 1600 P = P(X1 + X2 + X3 + ⋯ + X100 < 1650) = P(X + < 1650) = P ( < 0,25) 200 ⇒ P = Φ(0,25) − Φ(−∞) = 0,0987 + 0,5 = 0,5987 Câu 13: Khảo sát ngẫu nhiên 400 nhân viên ngân hàng Vietcombank trong năm 2011 về thu nhập hàng tháng (đơn vị: triệu đồng/tháng), người ta thu được bảng số liệu dạng khoảng [𝐚𝐢 ; 𝐛𝐢 ) như sau: Thu nhập Số nhiên viên 2–5 45 5 – 10 47 10 – 15 53 15 – 20 115 20 – 30 100 30 – 50 40 a) Hãy ước lượng thu nhập trung bình hàng tháng của mỗi nhân viên ngân hàng Vietcombank trong năm 2011 với độ tin cậy 95%. -Các đặc trưng số: n = 400 ; x̅ = 18,2125 ; σ = 10,0644 ; f = 1 -Với độ tin cậy 95%, ta tìm được: Φ(z) = 95% ⇒ z = 1,96 2 -Độ chính xác: ε = z. σ √n = 1,96. 10,0644 √400 = 0,9863 -Khoảng tin cậy: X ∈ (x̅ ± ε) ⇒ X ∈ (17,2262 ; 19,1988) b) Những nhân viên có thu nhập từ 20 triệu đồng/tháng trở lên là những nhân viên có thu nhập cao. Trong phép ước lượng tỷ lệ của những nhân viên có thu nhập cao ở Vietcombank, với độ chính xác 6% thì độ tin cậy sẽ là bao nhiêu %? -Tỉ lệ mẫu: f= 140 7 = 400 20 -Độ chính xác: ε = z√ f(1 − f) n ⇒ z = ε√ = 2,52 n f(1 − f) -Suy ra độ tin cậy: 1 − α = 2Φ(2,52) = 0,9882 -Vậy độ tin cậy là 98,82% K40 – Đề 03 Câu 1: Một lô hàng có 35 sản phẩm của công ty X (trong đó có 5 phế phẩm), 45 sản phẩm của công ty Y (trong đó có 10 phế phẩm) và 50 sản phẩm của công ty Z (trong đó có 5 phế phẩm). Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng thì thấy đó là phế phẩm. Tính xác suất để phế phẩm đó là của công ty X hoặc công ty Y. -Gọi X, Y, Z lần lượt là biến cố lấy được sản phẩm của công ty X, Y, Z. Rõ ràng, bộ ba biến cố này đầy đủ xung khắc từng đôi. Ta có: P(X) = 35 45 50 ; P(Y) = ; P(Z) = 130 130 130 -Gọi B là biến cố lấy được phế phẩm. Ta có: ⇒ P(B) = 5 + 10 + 5 20 = 130 130 -Theo đề bài, ta đã biết sản phẩm vừa lấy ra là phế phẩm. Tức biến cố B là điều kiện đã biết. Ta cần tìm xác suất sản phẩm đó là của công ty X hoặc Y. -Ta có: P = P(X|B) + P(Y|B) 5 10 P(XB) P(YB) 130 + 130 3 ⇒P= + = = = 0,75 20 P(B) P(B) 4 130 ̅ ). Câu 2: Cho 𝐏(𝐀) = 𝟎, 𝟕; 𝐏(𝐁) = 𝟎, 𝟔𝟓 𝐯à 𝐏(𝐀 + 𝐁) = 𝟎, 𝟗. Tính 𝐏(𝐁|𝐀 Chú ý công thức sau: ̅ 𝑩) = 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨𝑩) 𝑷(𝑨 -Áp dụng vào, ta dễ dàng khai triển: ̅) = P(B|A ̅) P(B) − P(AB) P(BA = ̅) 1 − P(A) P(A -Ta tính được P(AB) nhờ: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) ⇒ −P(AB) = P(A + B) − P(A) − P(B) -Thay vào, ta được: ̅) = P(B|A P(A + B) − P(A) 0,9 − 0,7 2 = = 1 − P(A) 1 − 0,7 3 Một điều rất lạ là kết quả không phụ thuộc vào 𝑃(𝐵). Câu 3: Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất sau. Tìm phương sai của X. X F(x) 1 1/8 2 3/8 3 3/4 4 1 0–1 1/8 0–2 3/8 0–3 3/4 0–4 1 1,5 2/8 2,5 3/8 3,5 1/4 -Theo đề bài: X F(x) -Ta cần chuyển về hàm xác suất: X P 0,5 1/8 -Đến đây ta dễ dàng tìm được: 𝜎 2 = 0,9375 Câu 4: Một đề thi trắc nghiệm gồm 20 câu hỏi độc lập với nhau bao gồm 4 câu hỏi (mỗi câu có 2 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng) và 16 câu hỏi (mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng). Trả lời đúng 1 câu hỏi loại 2 phương án trả lời thì được 1 điểm và trả lời đúng 1 câu hỏi loại 4 phương án trả lời thì được 2 điểm. Một thí sinh không học bài nên trả lời các câu hỏi một cách cầu may (chọn ngẫu nhiên một đáp án). Tìm số điểm trung bình mà thí sinh này làm được. -Gọi X, Y lần lượt là số câu loại 2 phương án và 4 phương án mà thí sinh trả lời đúng. -Tổng điểm của thí sinh này là: A = X + 2Y -Số điểm trung bình: E(A) = E(X + 2Y) = E(X) + 2E(Y) -Nhận thấy rằng, đại lượng ngẫu nhiên X và Y tuân theo luật phân phối nhị thức: X ∼ B(nX = 4; pX = 0,5) ; Y ∼ B(nY = 16; pY = 0,25) ⇒ E(X) = nX pX = 2 ; E(Y) = nY pY = 4 -Thay hết vào, ta được: E(A) = 10 Câu 5: Một sinh viên (SV) thi liên tiếp hai môn A và B. Xác suất để sinh viên này thi đạt yêu cầu môn A là 0,8. Nếu đạt môn A thì xác suất để SV này đạt được yêu cầu môn B là 0,7. Nếu không đạt môn A thì xác suất để SV này đạt yêu cầu môn B là 0,5. Tính xác suất để sinh viên này chỉ đạt yêu cầu một môn.