Cô keát caáu taøu thuûy
MÔÛ ÑAÀU
Cuõng nhö moïi keát caáu coâng trình, thaân taøu thuyû caàn phaûi coù ñuû ñoä beàn, töùc ñuû khaû
naêng chòu ñöôïc caùc taûi troïng taùc duïng leân noù trong thôøi gian khai thaùc maø khoâng bò hö hoûng
vaø khoâng bò bieán ñoåi hình daùng, kích thöôùc moät caùch ñaùng keå.
Troïng löôïng cuûa coâng trình, ñaùp öùng moïi yeâu caàu veà ñoä beàn vaø ñoä cöùng, phaûi laø beù
nhaát. Lôøi giaûi cuûa baøi toaùn treân phuï thuoäc vaøo vieäc aùp ñaët moät caùch ñuùng ñaén caùc yeâu caàu
ñoái vôùi keát caáu cuõng nhö vieäc thieát keá keát caáu moät caùch ñuùng ñaén. Troïng löôïng thöøa cuûa voû
taøu, ngoaøi vieäc laøm laõng phí vaät lieäu, taêng giaù thaønh saûn phaåm, coøn laøm giaûm troïng taûi , töùc
giaûm khaû naêng sinh lôïi cuûa con taøu trong suoát quaù trình khai thaùc cuûa noù.
Khoa hoïc, cung caáp cho ngöôøi kyõ sö ñoùng taøu caùc phöông phaùp tính toaùn keát caáu voû
taøu veà ñoä beàn vaø ñoä cöùng, goïi laø cô keát caáu taøu thuyû.
Cô keát caáu taøu thuyû giaûi ñaùp ba vaán ñeà chính sau ñaây:
- ÖÙng suaát vaø bieán daïng naøo xuaát hieän trong keát caáu thaân taøu khi noù chòu taùc duïng
cuûa moät heä löïc ngoaøi cho tröôùc – töùc vaán ñeà noäi löïc;
- Ngoaïi löïc naøo coù theå taùc duïng leân thaân taøu trong quaù trình khai thaùc cuûa noù – vaán
ñeà ngoaïi löïc;
- ÖÙng suaát vaø chuyeån vò naøo coù theå cho pheùp xuaát hieän treân keát caáu thaân taøu trong
quaù trình khai thaùc, maø khoâng gaây hö haïi veà ñoä beàn vaø ñoä cöùng cuûa noù – vaán ñeà ñaùnh giaù ñoä
beàn.
Cô keát caáu taøu thuyû, theo nghóa ñaày ñuû, bao goàm 2 phaàn :
1. Cô keát caáu taøu thuyû vaø lyù thuyeát ñaøn hoài, giaønh cho caùc baøi toaùn tónh cuûa vaán ñeà
noäi löïc
2. Söùc beàn vaø chaán ñoäng thaân taøu, giaûi quyeát caùc baøi toaùn veà öùng suaát (vaán ñeà noäi
löïc), veà taûi troïng taùc duïng leân thaân taøu ( vaán ñeà ngoaïi löïc ) veà ñaùnh giaù ñoä beàn vaø veà vieäc
tính toaùn keát caáu thaân taøu döôùi taùc duïng cuûa taûi troïng thay ñoåi theo thôøi gian (chaán ñoäng
thaân taøu).
Trong moân hoïc naøy, ta ñeà caäp ñeán nhöõng vaán ñeà veà noäi löïc, maø noäi dung cuûa noù
ñöôïc xaùc ñònh bôûi caùc yeâu caàu xuaát hieän khi tính toaùn ñoä beàn thaân taøu. Ñoái töôïng khaûo saùt
laø caùc sô ñoà lyù töôûng hoaù caùc keát caáu trong thaønh phaàn thaân taøu. Vaán ñeà veà vaän duïng thöïc teá
caùc sô ñoà noùi treân naèm trong noäi dung moân hoïc söùc beàn thaân taøu.
Chöông 1 cuûa giaùo trình naøy giaønh cho vaán ñeà uoán daàm vaø heä thanh ñôn giaûn. Veà
thöïc chaát, ñaây laø caùc noäi dung phaùt trieån cuûa nhöõng vaán ñeà ñaõ trình baøy trong moân hoïc söùc
beàn vaät lieäu.
Chöông 2, baøi toaùn uoán daàm treân neàn ñaøn hoài ñöôïc giaûi quyeát.
Chöông 3 trình baøy caùc phöông phaùp tính caùc daøn taøu thuyû.
Chöông 4 giaûi quyeát baøi toaùn uoán daàm gheùp.
Moät noäi dung khaù quan troïng ñoái vôùi kyõ sö trong vieäc tính toaùn keát caáu laø caùc ñònh lyù
veà naêng löôïng, ñöôïc trình baøy trong chöông 5.
1
Cô keát caáu taøu thuûy
Chöông cuoái – chöông 6 – ñeà caäp ñeán baøi toaùn uoán phöùc hôïp caùc daàm vaø taám bò uoán
cong theo maët truï, cuõng nhö caùc vaán ñeà veà oån ñònh cuûa caùc thanh vaø daøn phaúng.
CHÖÔNG I
UOÁN CAÙC THANH THAÚNG VAØ HEÄ THANH ÑÔN GIAÛN
&1. CAÙC QUAN HEÄ CÔ BAÛN CUÛA LYÙ THUYEÁT UOÁN DAÀM
Thanh laø yeáu toá keát caáu phoå bieán nhaát trong caùc keát caáu thaønh phaàn cuûa thaân taøu.
Trongkeát caáu thaân taøu, thanh coù theå xuaát hieän döôùi daïng lieân keát vôùi caùc taám, voû ôû boong,
ñaùy, maïn vaø vaùch … cuûa taøu cuõng nhö coù theå toàn taïi ñoäc laäp nhö caùc coät choáng, thanh choáng.
Thanh laø teân goïi duøng ñeå chæ vaät theå maø moät trong ba kích thöôùc ( trong khoâng gian 3
chieàu cuûa hình hoïc Euclic ) cuûa noù lôùn hôn nhieàu so vôùi hai kích thöôùc coøn laïi. Veà maët hình
hoïc, thanh chính laø khoaûng khoâng gian bò chieám choã khi ta di chuyeån, khoâng xoay, moät hình
phaúng, sao cho troïng taâm cuûa hình phaúng luoân naèm treân moät ñöôøng naøo ñoù cho tröôùc, ñoàng
thôøi, baûn thaân hình naøy luoân vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán cuûa ñöôøng noùi treân taïi moïi vò trí.
Ñöôøng naøy goïi laø truïc cuûa thanh, coøn hình phaúng noùi treân taïi moãi vò trí chính laø tieát dieän
ngang cuûa thanh taïi vò trí ñoù. Neáu truïc cuûa thanh laø thaúng, thanh ñöôïc goïi laø thanh thaúng.
Coøn neáu nhö tieát dieän ngang cuûa thanh khoâng thay ñoåi hình daùng vaø kích thöôùc, thanh ñöôïc
ñöôïc goïi laø thanh coù tieát dieän ngang khoâng ñoåi. Thanh thaúng coù tieát dieän ngang khoâng ñoåi
chính laø thanh laêng truï.
daàm.
Thanh, laøm vieäc chuû yeáu laø uoán döôùi taùc duïng cuûa caùc taûi troïng ngang, ñöôïc goïi laø
Keát caáu thaân taøu chuû yeáu laø caùc taám, voû vaø daàm caùc loaïi. Trong taøi lieäu baøn veà “Lyù
thuyeát ñaøn hoài, lyù thuyeát taám, voû”û nhöõng vaán ñeà veà tính toaùn taám, voû trong thaân taøu ñaõ
ñöôïc xem xeùt 1. Trong chöông naøy, chuùng ta ñeà caäp ñeán caùc daàm trong thaønh phaàn caùc keát
caáu thaân taøu.
Lyù thuyeát kyõ thuaät uoán daàm, ñöôïc bieát ñeán töø moân hoïc söùc beàn vaät lieäu vaø ñöôïc öùng
duïng roäng raõi trong thöïc teá tính toaùn caùc keát caáu coâng trình, döïa treân caùc giaû thuyeát cô baûn
sau ñaây:
1- Thöøa nhaän giaû thuyeát tieát dieän phaúng, theo ñoù, caùc t tieát dieän ngang cuûa daàm, ban
ñaàu voán phaúng vaø vuoâng goùc vôùi truïc cuûa daàm, vaãn coøn phaúng vaø vuoâng goùc vôùi
tieáp tuyeán cuûa ñöôøng ñaøn hoài cuûa daàm ngay caû sau khi bò uoán. Nhö vaäy laø bieán
daïng uoán cuûa daàm ñöôïc khaûo saùt ñoäc laäp vôùi bieán daïng caét, laø bieán daïng ñöôïc
gaây neân do caùc öùng suaát tieáp laøm veânh caùc tieát dieän ngang phaúng.
2- Boû qua öùng suaát phaùp treân caùc dieän tích song song vôùi truïc daàm, vì chuùng quaù
nhoû. Noùi caùch khaùc, caùc lôùp vaät chaát doïc daàm khoâng taùc duïng leân nhau.
3- Chæ giôùi haïn khaûo saùt caùc daàm cöùng, laø daàm coù ñoä voõng nhoû so vôùi chieàu cao tieát
dieän ngang cuûa noù vaø coù goùc xoay tieát dieän ngang laø nhoû khi so vôùi ñôn vò.
Cuõng giaû thieát theâm raèng traïng thaùi öùng suaát treân tieát dieän ngang cuûa daàm chæ
phuï thuoäc vaøo chæ phuï thuoäc vaøo hôïp löïc cuûa caùc öùng löïc taùc duïng treân tieát dieän ngang maø
1
“Lyù thuyeát ñaøn hoài, lyù thuyeát taám, voû”, Ñaïi hoïc GTVT Tp Hoà Chí Minh 2000.
2
Cô keát caáu taøu thuûy
khoâng phuï thuoäc gì vaøo caùch thöùc taùc duïng cuûa taûi troïng ngoaøi leân daàm. Ñieàu naøy cuõng coù
nghóa raèng, ta giaû thieát laø taûi troïng ngoaøi phaân boá phuø hôïp vôùi söï phaân boá cuûa öùng suaát phaùp
vaø öùng suaát tieáp treân tieát dieän ngang cuûa daàm.
Caùc giaû thuyeát treân ñaây khoâng cho pheùp söû duïng lyù thuyeát kyõ thuaät uoán daàm vaøo
vieäc tính caùc daàm coù ñoä voõng lôùn cuõng nhö xaùc ñònh öùng suaát taäp trung taïi töøng daàm coù tieát
dieän ngang thay ñoåi ñoät ngoät hoaëc taïi khu vöïc ñaët caùc löïc taäp trung.
Lyù thuyeát daàm aùp duïng cho caùc daàm thoaû maõn nhöõng giaû thuyeát vöøa neâu mang teân
goïi laø lyù thuyeát kyõ thuaät veà uoán daàm hay coøn goïi laø thuyeát daàm Bernoulli – Euler
(Bernoulli-Euler beam theory)2.
Trong thöïc teá coøn toàn taïi nhöõng thuyeát veà daàm khaùc thuyeát vöøa neâu. Moät trong
nhöõng thuyeát ra ñôøi muoän hôn laø thuyeát cuûa Timoshenko, theo ñoù giaû thuyeát thöù hai khoâng
caàn ñöôïc giöõ laïi khi xem xeùt daàm3.
Daàm ñöôïc nghieân cöùu ôû ñaây laø daàm thaúng, laøm töø vaät lieäu ñoàng chaát.
Tröôùc tieân, ta aán ñònh heä truïc toaï ñoä gaén vaøo daàm theo qui ñònh sau: truïc Ox truøng
vôùi truïc daàm coøn caùc truïc Oy vaø Oz seõ laø caùc truïc quaùn tính chính xuyeân taâm (goïi taét laø truïc
quaùn tính taâm chính) cuûa tieát dieän ngang. Tröôøng hôïp truïc daàm khoâng thaúng, truïc Ox quy
öôùc ñi qua troïng taâm caùc tieát dieän ngang hai ñaàu daàm. Oxyz laøm thaønh moät tam dieän thuaän
(H1.1).
H1.1
ÖÙng löïc treân tieát dieän ngang cuûa daàm ñöôïc ñaëc tröng bôûi vector chính vaø moment
chính cuûa taát caû caùc löïc ñaët vaøo phaàn beân traùi, taùc duïng leân phaàn daàm beân phaûi cuûa daàm
thoâng qua tieát dieän khaûo saùt.
Hình chieáu cuûa vector tô chính cuûa caùc öùng löïc treân tieát dieän ngang cuûa daàm leân truïc
Ox seõ ñöôïc goïi laø taûi troïng doïc truïc, coøn hình chieáu leân maët phaúng vuoâng goùc vôùi truïc Ox –
laø löïc caét.
Hình chieáu moment chính cuûa caùc öùng löïc leân truïc Oy ñöôïc goïi laø moment uoán vaø kyù
hieäu bôûi My.
2
Caùch goïi ñeå ghi coâng lao hai nhaø toaùn hoïc ngöôøi Thuïy só, Jean Bernoulli (1667 – 1748), thaày cuûa nhaø khoa hoïc thöù hai
Leonhard Euler (1707 – 1783). Theo ñaùnh giaù cuûa nhieàu nhaø nghieân cöùu, Euler thuoäc moät trong caùc nhaø toaùn hoïc, cô hoïc
lôùn nhaát theá kyû XVIII.
3
Stephen P. Timoshenko, (1878 – 1972), nhaø cô hoïc goác Nga, laøm vieäc chuû yeáu taïi USA, ngöôøi coù aûnh höôûng raát lôùn ñeán
phaùt trieån boâ moân cô hoïc keát caáu, söùc beàn vaät lieäu cuûa theá kyû XX.
3
Cô keát caáu taøu thuûy
Ta giôùi haïn xem xeùt uoán daàm trong maët phaúng xOz. Ñieàu naøy seõ xaûy ra neáu nhö taûi
troïng taùc duïng naèm trong maët phaúng, song song vôùi maët phaúng xOz, vaø hôïp löïc cuûa taûi troïng
naøy, taïi moãi tieát dieän, ñi qua ñieåm, ñöôïc goïi laø taâm uoán cuûa tieát dieän ñoù (xem &4).
Taát caû caùc phaàn trình baøy sau naøy tuaân thuû caùc qui öôùc sau ñaây veà daáu:
1- ñoä voõng vaø taûi troïng phaân boá (löïc raûi) ñöôïc coi laø döông, neáu nhö chuùng truøng
vôùi chieàu döông cuûa truïc Oz.
2- goùc xoay tieát dieän ngang laø döông, neáu nhö neáu xoay theo chieàu kim ñoàng hoà.
3- moment uoán laø döông trong tröôøng hôïp noù gaây ra taùc duïng laøm cong daàm veà phía
aâm cuûa truïc Oz, töùc giaõn thôù aâm vaø neùn thôù döông doïc theo truïc naøy.
4- löïc caét ñöôïc coi laø döông khi noù coù taùc duïng xoay phaàn beân phaûi cuûa daàm ngöôïc
chieàu kim ñoàng hoà, khi nhìn töø phía döông cuûa truïc Oy.
Chieàu döông cuûa taûi troïng ngang, moment uoán vaø löïc caét ñöôïc bieåu thò treân hình H.
1.2.
Ta kyù hieäu chuyeån vò beù
cuûa daàm khi uoán trong maët
phaúng xOz bôûi w. Khi ñoù, coù theå
xaùc ñònh ñoä giaõn daøi töông ñoái εx
cuûa thôù daàm caùch truïc trung hoaø
cuûa daàm moät khoaûng z nhôø caùc
giaû thuyeát cô baûn treân ñaây vaø
caùc quan heä hình hoïc ñôn giaûn.
Truïc trung hoaø cuûa daàm
laø teân goïi quó tích caùc ñieåm maø
taïi ñoù, bieán daïng ñöôøng khi uoán
baèng zero.
Treân cô sôû giaû thuyeát thöù
3 suy ra raèng ñoä
cong cuûa ñöôøng ñaøn hoài do
H.1.2
uoán daàm laø beù vaø khi ñoù, döïa treân
giaû thuyeát tieát dieän phaúng ta coù:
εx = −z
α2−α1
dx
trong ñoù α1, α2 - laø caùc goùc xoay
tieát dieän ngang taïi x
vaø x+dx ( H.1.3).
Vì
4
Cô keát caáu taøu thuûy
α1=
dw
&α
dx
2
=
dw d 2 w
+
dx; neân ta coù: ε
dx
dx 2
x
= −z
d 2w
dx 2
(1.1)
H.1.3
Coâng thöùc (1.1), ñaõ coù töø söùc beàn vaät lieäu. Ñeå coù ñöôïc coâng thöùc naøy, coù theå xuaát
z
phaùt töø bieåu thöùc xaùc ñònh ñoä giaõn daøi töông ñoái ε x = − , vôùi ρ - baùn kính cong ñöôøng ñaøn
ρ
d 2w
1
dx 2
=
3 / 2 , coøn ñaïi löôïng
hoài. Maët khaùc baùn kính naøy ñöôïc tính baèng coâng thöùc ρ
dw 2
1 +
dx
2
1 d 2w
dw
≈
aù
p
duï
n
g
cho
daà
m
cöù
n
g
seõ
voâ
cuø
n
g
nhoû
,
do
vaä
y
coù
quyeà
n
vieá
t
vaø töø ñoù thu
ρ
dx 2
dx
z.d 2 w
ñöôïc coâng thöùc caàn tìm ε x = −
.
ÖÙng suaát phaùp tuyeán, theo ñònh luaät Hooke, ñöôïc
dx 2
xaùc ñònh nhôø coâng thöùc:
σ
x
d 2w
= − Ez 2
dx
(1.2)
Coâng thöùc (1.2) cho thaáy, vôùi daàm ñöôïc laøm töø vaät lieäu ñoàng chaát, öùng suaát phaùp khi
uoán thay ñoåi tuyeán tính doïc theo chieàu cao cuûa daàm
Neáu chuùng ta xeùt daàm trong tröôøng hôïp khoâng chòu taùc ñoäng löïc doïc truïc, thì toång
öùng suaát cuûa toaøn maët caét ngang chæ baèng 0:
∫ ∫ σ x dydz = − Ez
A
d 2w
zdydz = 0;
dx 2 ∫A∫
(1.3)
trong ñoù A – dieän tích maët caét ngang cuûa daàm.
Töø bieåu thöùc cuoái coù theå thaáy raèng moment tónh maët caét, so vôùi truïc trung hoaø baèng
0, vaø nhö vaäy coù theå phaùt bieåu raèng truïc trung hoaø ñi qua troïng taâm maët caét ngang cuûa
daàm.
Moment cuûa noäi löïc xuaát hieän trong daàm, laáy ñoái vôùi truïc trung hoaø seõ phaûi baèng
moment ngoaïi löïc M taùc ñoäng leân phaàn daàm töông öùng, vaø do ñoù, coù theå vieát:
d 2w
M y = − ∫ ∫ σ x zdydz = E 2 ∫ ∫ z 2 dydz = M
dx A
A
Moment noäi löïc laáy ñoái vôùi truïc Oz tính theo caùch töông töï:
d 2w
M z = ∫ ∫ σ x ydydz = − E 2 ∫ ∫ zydydz = 0
dx A
A
Moment naøy baèng 0 vì goác toaï ñoä O laø troïng taâm cuûa maët caét ngang cuûa daàm.
Töø bieåu thöùc (1.4) ta coù theå vieát coâng thöùc cô baûn uoán daàm nhö sau:
5
(1 .4)
Cô keát caáu taøu thuûy
EI
trong ñoù I =
∫∫
A
d 2w
= M
dx 2
(1.5)
z2 dydz - moment quaùn tính maët caét ngang.
Töø (1.2), (1.4) vaø (1.5) coù theå vieát bieåu thöùc xaùc ñònh öùng suaát taïi maët caét ñang
xem xeùt cuûa daàm chòu uoán:
σx = -
M ( x).z
(1 .6)
I ( x)
Coâng thöùc (1.6) aùp duïng cho uoán daàm ñoùng vai troø quan troïng trong söùc beàn vaät
lieäu. Trong chöông trình hoïc cuûa chuùng ta coâng thöùc naøy coøn ñöôïc nhaéc laïi nhieàu laàn.
Giöõa moment uoán, löïc caét vaø cöôøng ñoä taûi troïng ngang toàn taïi moät moái quan heä quan
troïng vaø laø noäi dung cuûa ñònh lyù Juravsy-Shvedler noåi tieáng.
Ñeå thieát laäp moái quan heä naøy, ta haõy khaûo saùt moät ñoaïn daàm voâ cuøng ngaén, goïi laø
phaân toá daàm, vôùi chieàu daøi dx, chòu taùc duïng cuûa taûi troïng ngang coù cöôøng ñoä q, cuûa caùc
moment uoán vaø löïc caét, thay cho taùc duïng cuûa caùc phaàn coøn laïi cuûa daàm leân phaân toá khaûo
saùt, taïi caùc tieát dieän hai ñaàu phaân toá (H.1.4).
H.1.4
Neáu nhö taïi tieát dieän beân traùi cuûa phaân toá , tieát dieän x, coù caùc löïc caét N vaø moment
uoán M thì taïi tieát dieän beân phaûi, tieát dieän x+dx, caùc yeáu toá noäi löïc töông öùng seõ laø
N+
dN
dM
dx & M +
dx.
dx
dx
Ñieàu kieän caân baèng cuûa phaân toá khaûo saùt coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng:
N(x) – [ N(x) +
dN
dx] + q(x)dx = 0.
dx
dM
dx 2
M(x) – [M(x)+
dx] +N(x)dx + q
= 0;
dx
2
6
Cô keát caáu taøu thuûy
Cho qua giôùi haïn, dx → 0, caùc bieåu thöùc treân trôû thaønh:
dN
= q(x);
dx
(1 .7)
dM
= N(x)
dx
(1.8)
Töø (1.7) vaø (1.8) coù theå vieát:
d 2M
= q
dx 2
(1.9)
Coâng thöùc (1.7) ñeán (1.9) xaùc laäp noäi dung cuûa ñònh lyù Juravsky- Shvedler, theo ñoù
löïc caét N laø ñaïo haøm baäc moät coøn löïc cöôøng ñoä taûi troïng ngang phaân boá, q(x), laø ñaïo haøm
baäc hai cuûa moment noäi löïc uoán daàm M.
Baèng vieäc tích phaân caùc bieåu thöùc (1.7) vaø (1.8) töø tieát dieän muùt beân traùi coù toaï ñoä x 0
ñeán tieát dieän x , ta thu ñöôïc bieåu thöùc toång quaùt cuûa löïc caét vaø moment uoán döôùi daïng:
x
N ( x) =
∫ q( x)dx +
N0
(1.10)
∫ ∫ q( x)dxdx +
N 0 ( x − x0 ) + M 0
x0
x x
M ( x) =
(1.11)
x0 x0
x = x0.
trong ñoù, N0, M0 töông öùng laø moment uoán vaø löïc caét taïi tieát dieän ñaàu muùt beân traùi,
Caùc coâng thöùc (1.10) vaø (1.11) coù theå duøng ñeå tính caùch daàm tónh ñònh moät nhòp, laø
daàm maø caùc phaûn löïc goái ñôõ taùc duïng leân noù coù theå xaùc ñònh ñöôïc chæ treân cô sôû caùc phöông
trình caân baèng tónh hoïc.
Ñeå laøm ví duï, ta haõy xaùc ñònh moment uoán vaø löïc caét treân daàm moät nhòp chòu taùc
duïng cuûa taûi troïng ngang phaân boá raûi ñeàu, vôùi cöôøng ñoä q, treân moät phaàn chieàu daøi daàm (H.
1.5)
H.1.5
Trong tröôøng hôïp ñang khaûo saùt, ñeå cho tieän lôïi,vieäc xaùc ñònh moment uoán vaø löïc caét
ñöôïc tieán haønh rieâng bieät treân hai ñoaïn daàm.
7
Cô keát caáu taøu thuûy
Treân ñoaïn thöù 1 0 ≤ x ≤ c
c
N 0 = − qc 1 − ; M 0 = 0; q(x) = q = const.
2l
theo coâng thöùc (1.10) vaø (1.11) vôùi x0 = 0 ta ñöôïc
c
N x = qx − qc 1 − ;
2l
2
qx
c
Mx =
− qc 1 − x.
2
2l
Treân ñoaïn thöù 2 : c ≤ x ≤ l
Nc =
qc 2
qc 2 c
; Mc =
− 1 ; q(x) = 0.
2l
2 l
theo caùc coâng thöùc (1.10) vaø (1.11), taïi
x = c ta coù
N x = Nc =
qc 2
qc 2
x
; M x = N c ( x − c) + M c = −
(1 − ).
2l
2
l
H.1.6
Bieåu ñoà moment uoán vaø löïc caét cho treân H.1.6
&2- PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN UOÁN DAÀM VAØ TÍCH PHAÂN CUÛA NOÙ
Coù theå vieát laïi phöông trình (1.4) döôùi daïng:
M = EIw”
(2.1)
trong ñoù, daáu ” bieåu thò ñaïo haøm baäc hai theo x .
Phöông trình (2.1) vi phaân uoán daàm cô baûn vaø cho pheùp tìm ñöôïc ñöôøng ñaøn hoài cuûa
daàm tónh ñònh. Caàn löu yù moät ñieàu laø theo qui öôùc daáu ñaõ neâu, moment uoán döông bieåu thò
daàm bò uoán voàng leân treân (vôùi truïc Oz höôùng xöôùng döôùi), töông öùng vôùi giaù trò w” döông, vì
trong tröôøng hôïp naøy, khi x taêng, w’ taêng theo.
Chuù yù ñeán caùc coâng thöùc (1.8) vaø (1.9) , ta thu ñöôïc:
( EIw") ' = N ;
( EIw")" = q.
( 2.2)
( 2.3)
Ñoái vôùi daàm laêng truï, moment quaùn tính tieát dieän ngang khoâng thay ñoåi theo chieàu
daøi, ta coù:
EIw' ' ' = N ;
(2.4)
= q.
(2.5)
EIw
IV
8
Cô keát caáu taøu thuûy
Phöông trình (2.3) vaø (2.5) laø phöông trình vi phaân uoán daàm cô baûn caàn tìm. Khaùc vôùi
phöông trình (2.1), caùc phöông trình naøy cho pheùp tìm ñöôøng ñaøn hoài cho caû daàm sieâu tónh,
vaø ñaây laø ñieàu raát ñöôïc quan taâm.
Tích phaân phöông trình vi phaân (2.5), moät caùch tuaàn töï, 4 laàn (vôùi giaû thieát laø hoaønh
ñoä tieát dieän ngang ñaàu muùt beân traùi laø x = x0), ta thu ñöôïc:
x
N = EIw' ' ' =
x x
M = EIw' ' =
1
w' =
EI
w=
1
EI
x x x x
x x x
∫ qdx +
N0
x0
∫ ∫ qdxdx +
N 0 ( x − x 0 ) + M 0;
x0 x0
N0
M0
2
∫x x∫ x∫ qdxdxdx + 2EI ( x − x0 ) + EI ( x − x0 ) + θ 0 ;
0 0 0
∫ ∫ ∫ ∫ qdxdxdx +
x0 x0 x0 x0
( 2.6)
N0
Ma
( x − x0 ) 3 +
( x − x0 ) 2 + θ 0 ( x − x0 ) + f 0 .
6 EI
2 EI
Trong ñoù, N0 , M0 , θ0 , f0 - töông öùng, laø löïc caét, moment uoán, goùc xoay vaø ñoä dòch
chuyeån troïng taâm tieát dieän ngang ñaàu muùt beân traùi, vaø laø caùc haèng soá töï do cuûa caùc pheùp
tích phaân vöøa thöïc hieän.
Ñeå xaùc ñònh 4 haèng soá tích phaân, coù teân thöôøng goïi laø caùc tham soá ñaàu, N0 , M0 , θ0 ,
f0, ta luoân coù theå thieát laäp 4 ñieàu kieän (4 moái quan heä raøng buoäc – 2 cho moãi ñaàu daàm), goïi
laø caùc ñieàu kieän bieân.
Töïa baûn leà cöùng vaø ngaøm cöùng laø hai hình thöùc lieân keát ñaàu daàm ñôn giaûn nhaát.
Trong hình thöùc töïa baûn leà cöùng, ñoä voõng taïi tieát dieän ñeá töïa baèng 0 vaø moment uoán taïi tieát
dieän naøy cuõng baèng 0, töùc:
w = 0;
EI w’’ = 0 hay w’’ = 0.
Vôùi ñaàu muùt ngaøm cöùng, ñoä voõng vaø goùc xoay taïi tieát dieän ngaøm baèng 0, töùc
w = 0;
w’ = 0.
Khi ñaàu daàm hoaøn toaøn töï do, ñieàu kieän bieân töông öùng theå hieän löïc caét vaø moment
uoán taïi tieát dieän ngang töông öùng cuøng baèng 0, töùc
EIw’’ = 0 hay w’’ = 0;
EIw’’’ = 0 hay w’’’ = 0.
Tröôøng hôïp lieân keát ñaàu daàm laø ñeá ñôõ ñaøn hoài hoaëc ngaøm ñaøn hoài, ñieàu kieän bieân
phöùc taïp hôn chuùt ít.
Ñeá ñôõ ñaøn hoài laø ñeá maø ñoä luùn f cuûa ñeá tæ leä thuaän vôùi phaûn löïc R cuûa ñeá.
F = AR
Heä soá A ñöôïc goïi laø heä soá meàm ñeá ñôõ.
9
Cô keát caáu taøu thuûy
Coâng thöùc treân tuaân theo qui öôùc laø: phaûn löïc döông höôùng ngöôïc chieàu döông cuûa
truïc Oz (töùc töø döôùi leân) coøn ñoä luùn thì ngöôïc laïi. Vì taïi ñaàu daàm töïa ñaøn hoài, ñoä voõng cuûa
daàm chính baèng ñoä luùn cuûa ñeá (töùc w = f = AR) coøn phaûn löïc ñeá töïa, veà trò soá, baèng löïc
caét, neân ta coù theå xaùc laäp ñieàu kieän bieân trong tröôøng hôïp naøy nhö sau:
Ñoái vôùi muùt daàm beân traùi, töùc taïi x = l: w = − AEIw' ' '
( 2.9)
w = AEIw' ' '
Ñoái vôùi ñaàu daàm beân phaûi, x = l :
ÔÛ ñaây, caàn nhaéc laïi laø, theo qui öôùc veà daáu ñaõ neáu, taïi ñeá beân traùi, ñoä voõng döông
truøng höôùng vôùi löïc caét aâm! Vaø cuõng deã thaáy raèng ñeá baûn leà cöùng chæ laø moät tröôøng hôïp
rieâng cuûa ñeá töïa ñaøn hoài, khi A = 0.
Tröôøng hôïp ñaàu muùt daàm chòu lieân keát ngaøm ñaøn hoài, laø lieân keát maø moment cuûa
phaûn löïc lieân keát tæ leä thuaän vôùi goùc xoay cuûa tieát dieän lieân keát, vôùi löu yù raèng moment taùc
duïng leân ngaøm, veà trò soá, baèng moment uoán treân tieát dieän ngang daàm, ta coù theå vieát ñieàu
kieän lieân keát döôùi daïng sau:
w’ = U M.
Heä soá U coù teân laø heä soá meàm ngaøm.
Ñoá chieáu vôùi caùc qui öôùc daáu, ta coù theå vieát ñieàu kieän bieân trong tröôøng hôïp ngaøm
ñaøn hoài nhö sau:
w’ = ±U EIw’’
(2.10)
Daáu döông öùng vôùi ñaàu muùt beân traùi, daáu aâm – ñaàu muùt beân phaûi.
Trong khuoân khoå cuûa taøi lieäu naøy, ta chæ ñeà caäp ñeán tröôøng hôïp ñeá ñaøn hoài tuyeán tính
vaø ngaøm ñaøn hoài tuyeán tính, laø khi maø caùc heä soá meàm luùn vaø heä soá meàm xoay laø caùc haèng
soá.
Vieäc xem xeùt phöông trình vi phaân (2.5) vaø taát caû caùc ñieàu kieän bieân cuûa noù cho
pheùp ta coù moät keát luaän quan troïng: phöông trình vi phaân uoán daàm vaø caùc ñieàu kieän bieân laø
tuyeán tính ñoái vôùi haøm ñoä voõng vaø caùc ñaïo haøm cuûa noù cuõng nhö ñoái vôùi taûi troïng ngang taùc
duïng leân daàm.
Töø keát luaän treân, coù ngay moät heä quaû öùng duïng laø, neáu nhö daàm chòu taùc duïng cuûa
ñoàng thôøi nhieàu taûi troïng ngang, thì caùc yeáu toá veà uoán cuûa daàm naøy coù theå tính baèng toång
uoán cuûa chính daàm noùi treân , döôùi taùc duïng cuûa töøng taûi troïng thaønh phaàn. Qui taéc naøy coù
teân laø qui taéc coäng taùc duïng vaø ñöôïc söû duïng heát söùc roäng raõi trong thöïc teá tính toaùn.
Ñeå laøm ví duï minh hoaï cho vieäc söû duïng bieåu thöùc (2.6), ta haõy xaùc ñònh ñöôøng ñaøn
hoài cuûa daàm chòu taùc duïng cuûa caùc moment taäp trung M 0 vaø M1 taïi caùc ñaàu muùt cuøng vôùi taûi
troïng ngang phaân boá ñeàu .
Ta kyù hieäu ñoä dòch chuyeån cuûa caùc tieát dieän ñaàu muùt daàm laø f0 – cho muùt traùi vaø f1 –
cho muùt phaûi, cöôøng ñoä taûi troïng phaân boá laø q. Khi ñoù, töø quan heä (2.6), vôùi q = const vaø x a =
0 ta thu ñöôïc:
w = f0 + θ 0 x +
10
M 0 x2 N0 x3
qx 4
+
+
.
2 EI
6 EI
24 EI
( 2.11)
Cô keát caáu taøu thuûy
Ta vieát ñöôïc ñieàu kieän bieân cuûa daàm naøy nhö sau:
tai x = 0 1/ w = f 0 2/ EIw' ' = M 0
tai x - l 3/ w = f 1 4/ EIw' ' = M 1 '
Trong phöông trình (2.11), chæ coù caùc haèng soá θ0 vaø N0 laø chöa bieát.
Söû duïng ñieàu kieän bieân thöù 3, ta coù:
M 0l 2 N 0l 3
ql 4
f1 = f 0 + θ 0 l +
+
+
2 EI
6 EI 24 EI
( 2.12)
Söû duïng ñieàu kieän bieân thöù 4 ta thu ñöôïc:
ql 2
M 1 = M 0 + N 0l +
2
( 2.13)
M 1 − M 0 ql
−
l
2
( 2.14)
Töø (2.13), ta coù:
N0 =
H.1.7
Thöïc ra, quan heä naøy cuõng coù theå tìm ñöôïc töø ñieàu kieän caân baèng daàm.
Töø phöông trình (2.12), treân cô sôû (2.14), ta tìm ñöôïc:
θ0=
f 1 − f 0 M 0 l M 1l
ql 3
−
−
+
l
3EI 6 EI 24 EI
( 2.15)
Thay caùc quan heä (2.14) vaø (2.150 vaøo (2.11), ta thu ñöôïc:
x
w = f 0 (1 − ) + f1
l
2
Ml x
x
− 1
(1 − ) +
6 EI l
l
x M ol 2 x
x x2
−
(2 − 3 + 2 )
l
6 EI l
l l
4
2
ql x
x
x3
(1 − 2 2 + 3 ).
24 EI l
l
l
( 2.16)
Baèng caùch laáy ñaïo haøm haøm w, xaùc ñònh theo (2.6), ta coù ñöôïc bieåu thöùc goùc xoay
tieát dieän ngang cuûa daàm:
11
Cô keát caáu taøu thuûy
w' =
f1 − f 0 M 0 l
x
x2 )
ql 3
x
x3
−
(2 − 6 + 3 2 +
(1 − 6 + 4 3 )
l
6 EI
l
24 EI
l
l
l
( 2.18)
Thay x = l vaøo (2.18) ta thu ñöôïc coâng thöùc xaùc ñònh goùc xoay taïi tieát dieän ñeá beân
phaûi daàm, vaø deã daøng thaáy raèng, keát quaû naøy truøng vôùi coâng thöùc (2.15) ñaõ coù treân ñaây.
Caùc coâng thöùc (2.16) vaø (2.17) thu beân treân ñeàu theå hieän raát roõ nguyeân lyù coäng taùc
duïng, theo ñoù, caùc yeáu toá uoán toång coäng, do taùc duïng ñoàng thôøi cuûa caùc moment ñaàu daàm vaø
taûi troïng ngang, baèng toång caùc yeáu toá uoán töông öùng, do caùc moment naøy vaø taûi troïng ngang
gaây ra khi chuùng taùc duïng rieâng reõ leân daàm naøy.
Tích phaân toång quaùt (2.6) cuûa phöông trình vi phaân uoán daàm coù theå aùp duïng tröïc tieáp
cho daàm moät nhòp, trong tröôøng hôïp taûi troïng ngang taùc duïng leân daàm laø moät haøm bieåu thò
ñöôïc bôûi moät bieåu thöùc giaûi tích treân suoát chieàu daøi daàm.
Trong tröôøng hôïp, khi maø taûi troïng ngang chæ coù theå bieåu thò bôûi caùc bieåu thöùc giaûi
tích khaùc nhau treân caùc ñoaïn khaùc nhau cuûa daàm, thì ñöôøng ñaøn hoài daàm coù theå tìm ñöôïc
nhôø moät phöông phaùp raát tieän lôïi, ñoù laø phöông phaùp tham soá ñaàu.
Veà thöïc chaát phöông phaùp tham soá ñaàu chæ laø moät heä quaû cuûa coâng thöùc (2.6). Thöïc
vaäy, töø (2.6) ta coù nhaän xeùt laø ñöôøng ñaøn hoài treân moät ñoaïn daàm, maø treân ñoù, cöôøng ñoä taûi
troïng ngang q coù theå bieåu thò baèng moät bieåu thöùc giaûi tích, hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh nhôø 4
tham soá, ñoù laø caùc giaù trò ñoä voõng, goùc xoay, moment uoán, löïc caét taïi tieát dieän ngang ñaàu
muùt beân traùi cuûa ñoaïn daàm noùi treân, wa, w’a , Ma, Na ( a laø kyù hieäu tieát dieän ñaàu muùt ñoaïn
ñang xeùt).
Neáu nhö treân ñoaïn daàm 0 ≤ x ≤ a1, bieåu thöùc taûi troïng ngang laø q(x) = q1(x); treân
ñoaïn keá tieáp theo, a1 ≤ x ≤ a2, bieåu thöùc taûi troïng ngang laø q(x) = q2(x) , treân cô sôû cuûa (2.5)
coù theå vieát phöông trình vi phaân uoán daàm cho caùc ñoaïn daàm töông öùng nhö sau:
EI w1IV = q1(x);
EIw2IV = q2(x);…
(2.19)
Tích phaân cuûa phöông trình ñaàu cuûa (2.19) coù theå vieát döôùi daïng (2.6), vôùi x 0 = 0,
coøn phöông trình thöù 2 , veà nguyeân taéc cuõng coù theå laøm nhö theá. Tuy nhieân khi ñoù, coù moät
ñieàu baát tieän laø caàn phaûi xaùc ñònh toång coäng laø 4n haèng soá cho daàm coù n ñoaïn. Vaán ñeà seõ
ñöôïc giaûi quyeát moät caùch khaùc hôn chuùt ít ñeå coù ñöôïc keát quaû tieän lôïi hôn, baèng caùch söû
duïng khoâng chæ caùc ñieàu kieän bieân nhö treân ñaây, maø coøn caû caùc ñieàu kieän tieáp giaùp giöõa caùc
ñoaïn daàm.
Seõ raát tieän lôïi, neáu nhö ta bieåu dieãn ñöôøng ñaøn hoài, treân toaøn boä chieàu daøi daàm, chöù
khoâng phaûi chæ treân moãi ñoaïn , döôùi daïng sau ñaây:
w = w1 + ||x>a1δ1w + ||x>a2 δ2w+ . . .
(2.20)
trong ñoù, bieåu thöùc phía sau 2 daáu soå ñöùng seõ ñöôïc tính ñeán neáu nhö ñieàu kieän döôùi chaân
daáu hieäu naøy ñöôïc thoaû maõn, töùc khi x > a 1 hoaëc/vaø x > a2 . . . vaø do ñoù, taát nhieân laø ta coù
theå vieát:
w2 = w1+ δ1w ; w3 = w1 +δ1w +δ2w . ..
vaø nhö vaäy, caùc ñaïi löôïng boå sung δ1w, δ2w . . .coù theå xaùc ñònh ñöôïc treân cô sôû cuûa (2.19)
nhôø caùc phöông trình vi phaân sau:
12
Cô keát caáu taøu thuûy
EI (δ 1 w) IV = q 2 ( x) − q1 ( x) = δ 1 q ( x);
EI (δ 2 w) IV = q 3 ( x ) − q 2 ( x) = δ 2 q ( x );
.......................................................
( 2.21)
Caàn nhaéc laïi raèng, treân moãi ñoaïn, taûi troïng ngoaøi ñöôïc bieåu thò baèng moät bieåu thöùc
giaûi tích, xaùc ñònh töø ñaàu ñeán cuoái ñoaïn.
Bieåu thöùc toång quaùt cho δ1w coù theå vieát döôùi daïng (2.6) vôùi xa = a1 , q =q1 – q2
coøn ,Na Ma, θa , fa mang yù nghóa laø böôùc nhaûy (söï thay ñoåi) cuûa löïc caét, cuûa moment uoán, cuûa
goùc xoay vaø cuûa ñoä voõng taïi tieát dieän tieáp giaùp x =a1 vaø.v.v.
Ví duï: Neáu nhö, treân ñoaïn 0 ≤ x ≤ a1, taùc duïng moät löïc raûi ñeàu q(x) , taïi tieát dieän
x = a2 taùc duïng moät löïc taäp trung P , coøn taïi tieát dieän x =a3 taùc duïng moment taäp trung M
thì ta coù theå vieát hö sau: q(x) = q; q2(x) = q3(x) = q4(x) = 0. Vì theá cho neân, δ1q = -q; δ2q =
δ3q = 0. Ngoaøi ra, taïi caùc ñieåm tieáp giaùp coøn coù caùc ñieàu kieän sau: Na1 = 0; Ma1 = 0; θa1 =
0;
fa1 = 0; Na2 = P; Ma2 = 0; θa2 = 0; fa2 = 0; Na3 = 0; Ma3 = M; θa3 = 0; fa3 = 0.
Vaø ta coù theå vieát ñöôïc bieåu thöùc xaùc ñònh ñöôøng ñaøn hoài cuûa caû daàm, sau khi tích
phaân (2.21) vôùi caùc ñieàu kieän ñaàu vaø ñieàu kieän chuyeån tieáp treân ñaây , döôùi daïng sau:
N x3 M 0 x2
qx 4
+ 0 +
+ θ 0 x + f0 +
24 EI
6 EI
2 EI
M ( x − a3 ) 2
q ( x − a1 ) 4
P( x − a 2 ) 3
|| x ≥ a 1 −
+ || x ≥ a 2
+ || x ≥ a 3
24 EI
6 EI
2 EI
w=
( 2.22)
trong ñoù, N0 , M0 , θ0 , f0 caàn ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän bieân ñaàu daàm beân traùi.
Trong caùc tính toaùn thöïc teá, ñeå xaùc ñònh ñöôøng ñaøn hoài cuûa daàm moät nhòp, khoâng caàn
phaûi duøng ñeán phöông phaùp treân ñaây, vì trong tröôøng hôïp naøy, ngöôøi ta ñaõ laäp saün caùc baûng
uoán daàm, cho gaàn nhö taát caû caùc tröôøng hôïp taûi troïng thöôøng gaëp. Vieäc söû duïng caùc baûng noùi
treân cho pheùp coù ñöôïc caùc keát quaû nhanh hôn nhieàu so vôùi vieäc aùp duïng coâng thöùc (2.22).
Moät trong caùc giaù trò aùp duïng quan troïng cuûa caùc baûng uoán daàm moät nhòp tónh ñònh laø noù cho
pheùp khöû sieâu tónh cuûa caùc daàm sieâu tónh , moät nhòp cuõng nhö nhieàu nhòp, thoâng qua vieäc aùp
duïng qui taéc coäng taùc duïng maø ta seõ nghieân cöùu trong muïc tieáp theo döôùi ñaây.
&3- AÙP DUÏNG QUY TAÉC COÄNG TAÙC DUÏNG TRONG TÍNH TOAÙN UOÁN DAÀM
Ñeå xaùc ñònh caùc yeáu toá uoán daàm, chòu taùc duïng cuûa moät taûi troïng phöùc taïp hoaëc cuûa
moät soá caùc taûi troïng ñôn giaûn cuõng nhö khi caàn thieát phaûi tính toaùn daàm sieâu tónh moät nhòp,
qui taéc coäng taùc duïng toû ra raát höõu hieäu.
Caùc taûi troïng phöùc taïp caàn ñöôïc taùch ra thaønh caùc thaønh phaàn ñôn giaûn sao cho ñoái
vôùi chuùng, coù theå söû duïng caùc baûng uoán daàm cho tröôùc trong caùc soå tay. Sau ñoù, duøng caùc
baûng uoán daàm, xaùc ñònh taát caû caùc yeáu toá uoán caàn thieát ñoái vôùi töøng taûi troïng thaønh phaàn, roài
coäng caùc keát quaû töông öùng laïi ñeå coù ñöôïc caùc keát quaû caàn tìm.
Khi caàn phaûi xaùc ñònh caùc yeáu toá uoán daàm moät nhòp, sieâu tónh, taùc duïng cuûa caùc lieân
keát “thöøa” ñöôïc thay baèng moät phaûn löïc chöa bieát. Tieáp ñeán, söû duïng baûng uoán daàm, xaùc
ñònh ñoä voõng vaø /hoaëc goùc xoay cuûa tieát dieän daàm taïi choã phaùt sinh phaûn löïc chöa bieát (coù
13
Cô keát caáu taøu thuûy
theå laø löïc hoaëc moment) , do caùc taûi troïng ngoaøi ñaõ bieát vaø do caû phaûn löïc “thöøa” chöa bieát
gaây ra. Toång caùc chuyeån vò töông öùng, do taát caû caùc ngoaïi löïc cho tröôùc vaø caùc phaûn löïc
chöa bieát, caàn phaûi thoaû maõn ñieàu kieän lieân keát vaø ñieàu naøy pheùp ta thieát laäp ñöôïc caùc
phöông trình xaùc ñònh chính caùc phaûn löïc chöa bieát. Töø caùc phöông trình noùi treân, xaùc ñònh
caùc phaûn löïc chöa bieát, vaø sau ñoù, caùc yeáu toá uoán cuûa daàm khaûo saùt tìm ñöôïc döôùi daïng toång
cuûa caùc yeáu toá uoán töông öùng , do caùc taûi troïng ngoaøi vaø do caû caùc phaûn löïc vöøa tìm ñöôïc
gaây ra.
Ví duï 1. Xaùc ñònh ñöôøng ñaøn hoài cuûa daàm, chòu taûi troïng phaân boá tuyeán tính, vôùi
cöôøng ñoä q0 taïi ñaàu muùt beân traùi vaø cöôøng ñoä q1 taïi ñaàu muùt beân phaûi. Ñaàu muùt traùi daàm töïa
töï do trong khi ñaàu muùt phaûi laø ngaøm cöùng(H1.8).
H.1.8
Taûi troïng cho tröôùc coù theå coi laø toång cuûa hai taûi troïng:
a. Taûi troïng raûi ñeàu vôùi cöôøng ñoä q0.
b. Taûi troïng raûi hình tam giaùc vôùi cöôøng ñoä lôùn nhaát q = q1 – q0 taïi muùt beân phaûi
daàm.
Thay lieân keát ngaøm cöùng baèng ñeá töïa töï do cuøng vôùi phaûn löïc “thöøa” töông öùng laø
moment ngaøm m . Taát caû caùc taûi troïng treân ñaây ñeàu laø ñôn giaûn vaø coù trong baûng uoán daàm
moät nhòp tónh ñònh. Ñieàu kieän lieân keát taïi ñaàu muùt daàm beân phaûi coù nghóa laø goùc xoay cuûa
tieát dieän naøy phaûi baèng 0.
Söû duïng caùc keát quaû cho töø baûng uoán daàm ta coù phöông trình xaùc ñònh moment ngaøm
m töø ñieàu kieän lieân keát taïi ñaàu muùt phaûi cuûa daàm:
−
q l3
qx 3
ml
− o +
= 0
45 EI 24 EI 3EI
Töø ñoù,
q 0 l 2 ql 2
m=
+
8
15
14
(3.1)
Cô keát caáu taøu thuûy
gaây ra
Ñöôøng ñaøn hoài cuûa daàm khaûo saùt ñöôïc xaùc ñònh baèng toång do ba thaønh phaàn taûi troïng
w=
q0 l 4 x
x 2 x3
ql 4 x
x3
x 5 ml 2 x x 3
1 − 2 2 + 3 +
7 − 10 3 + 3 5 −
−
.
24 EI l
l
l 360 EI l
l
l 6 EI l l 3
Thay m töø (3.1) vaøo bieåu thöùc treân, ta ñöôïc:
q0 l 4 x
x3
x4
ql 4 x
x3 x5
− 3 3 + 2 4 +
− 2 3 + 5
w=
48 EI l
l
l 120 EI l
l
l
( 3.2)
Ví duï 2. Tìm ñöôøng ñaøn hoài cuûa daàm chòu taûi troïng raûi ñeàu vôùi cöôøng ñoä q , lieân keát
theo kieåu ngaøm ñaøn hoài treân ñeá cöùng vôùi heä soá meàm ngaøm U.
Töø ñieàu kieän ñoái xöùng, suy ra moment taïi caùc ñeá laø baèng nhau. Ñoái chieáu goùc xoay
taïi, chaúng haïn, tieát dieän ñeá phaûi cuûa daàm, treân cô sôû phöông trình (2.15), ta coù
UM = −
Ml
Ml
ql 3
−
+
3EI 6 EI 24 EI
Töø ñoù , coù
ql 2
M =
.
2UEI
12 1 +
l
( 3.3)
Tröôøng hôïp ñaàu daàm ngaøm cöùng, U = 0, vaø M ng=
ql 2
.
12
Neáu goïi tæ soá giöõa moment ngaøm ñaøn hoài vaø moment ngaøm cöùng töông öùng laø heä soá
ngaøm hoaëc heä soá moment,vaø kyù hieäu baèng chöõ x ta coù:
χ =
M
=
M ng
1
2UEI
1+
l
( 3.4)
Thay momen ñaàu daàm trong momentt thöùc (2.16) Mo=M1 = Mngχ =
thöùc naøy ta coù ñöôïc coâng thöùc toång quaùt hôn, sau moät vaøi bieán ñoåi caàn thieát:
w=
ql 4 x
x2 x3
x
1
−
2
+ 3 − χ 1 − .
2
24 EI l
l
l
l
ql 2
χ , töø coâng
12
( 3.5)
Tröôøng hôïp ngaøm cöùng, x = 1 , taûi troïng ngang raûi ñeàu, ta coù:
wng
ql 4 x 2
x x2
1 − 2 + 2
=
24 EI l 2
l l
( 3.6)
Thay cho (3.35), coù theå bieåu dieãn ñöôøng ñaøn hoài cuûa daàm ngaøm ñaøn hoài döôùi daïng
w = wtd (1 − χ ) + wng
( 3.37 )
15
Cô keát caáu taøu thuûy
trong ñoù, wtd – laø ñöôøng ñaøn hoài cuûa daàm töïa töï do hai ñaàu, chòu taûi raûi ñeàu, ñöôïc xaùc ñònh
vôùi f0 = f1 = M0= 0, theo coâng thöùc (2.16)
wtd =
ql 4 x
x2 x3
1 − 2 2 − 3 ,
24 EI l
l
l
( 3.8)
trong ñoù, wng – laø moment ngaøm cöùng , xaùc ñònh theo CT (3.6).
&4- XAÙC ÑÒNH ÖÙNG SUAÁT TIEÁP TRONG UOÁN DAÀM.
Giaû thuyeát tieát dieän phaúng, laøm cô sôû cho lyù thuyeát uoán daàm kyõ thuaät, cho raèng, sau
khi daàm bò bieán daïng uoán, tieát dieän ngang cuûa noù vaãn coøn phaúng vaø vuoâng goùc vôùi truïc daàm.
Keát hôïp vôùi giaû thuyeát thöù 2, raèng giöõa caùc lôùp vaät chaát doïc truïc daàm khoâng coù töông
taùc vôùi nhau, daãn ñeán keát luaän laø, sau khi daàm bò uoán, caùc phaàn töû doïc vaø ngang truïc daàm
vaãn baûo toaøn goùc vuoâng giöõa chuùng nhö tröôùc khi bò uoán. Noùi caùch khaùc, bieán daïng caét, treân
toaøn tieát dieän, baèng 0.
Ñieàu vöøa neâu khieán cho khoâng theå
xaùc ñònh öùng suaát caét, xuaát hieän khi uoán
daàm, döïa vaøo ñònh luaät Hooke, nhö tröôùc
ñaây ñaõ laøm khi xaùc ñònh öùng suaát phaùp.
Maët khaùc, deã thaáy raèng, söï toàn taïi
cuûa öùng suaát tieáp laø hieån nhieân, vì noù
chính laø yeáu toá töông ñöông tónh hoïc vôùi
löïc caét treân tieát dieän, cuõng nhö caùc öùng
suaát phaùp töông ñöông tónh hoïc, treân toaøn
tieát dieän, vôùi moment uoán treân tieát dieän.
Ta giaû ñònh raèng, khi uoán taát caû
caùc tieát dieän ngang , taïo thaønh töø caùc giaûi
H.1.9
chöõ nhaät hoaëc gaàn nhö chöõ nhaät, öùng suaát
tieáp treân moãi giaûi naøy phaân boá ñeàu theo
chieàu daøy vaø luoân song song vôùi caïnh cuûa hình bao tieát dieän, khoâng phuï thuoäc gì vaøo
phöông taùc duïng cuûa löïc caét treân tieát dieän.
Ta khaûo saùt moät tieát dieän hôû, thaønh moûng (H.1.9).
Ñeå xaùc ñònh öùng suaát tieáp, ta taùch töø thanh ra moät phaàn töû nhôø maët caét 1-1 vaø hai tieát
dieän ngang song song, voâ cuøng gaàn nhau, vaø xaùc ñònh ñieàu kieän caân baèng tónh cuûa phaân toá
ñöôïc taùch ra naøy.
Treân tieát dieän ngang cuûa phaân toá khaûo saùt coù caùc öùng suaát phaùp tuyeán taùc duïng. ÖÙng
suaát naøy laø coù trò soá bieán ñoåi cuøn vôùi söï bieán ñoåi cuûa moment uoán theo chieàu daøi daàm. Coøn
treân tieát dieän doïc, coù öùng suaát tieáp. ÖÙng suaát tieáp ñöôïc qui öôùc laø döông khi noù taùc duïng treân
tieát dieän doïc coù phaùp tuyeán ngoaøi truøng vôùi chieàu cuûa moät truïc toaï ñoä naøo ñoù, coøn baûn thaân
öùng suaát naøy höôùng theo chieàu döông cuûa moät trong hai truïc coøn laïi.
16
Cô keát caáu taøu thuûy
Neáu phaân toá ñöôïc taùch ra coù phaùp tuyeán ngoaøi truøng vôùi höôùng döông cuûa caùc truïc
toaï ñoä thì phöông trình caân baèng cuûa noù theo truïc Ox coù theå vieát döôùi daïng:
T+
dT
dx − T + τ δ dx = 0,
dx
( 4.1)
trong ñoù, T = ∫ σ x df − laø öùng löïc doïc taùc duïng leân phaân toá;
F
δ - chieàu daøy thaønh tieát dieän taïi phaân toá ñang xeùt.
Tính ñeán (1.6), ta coù
T= −
trong ñoù, S y =
MS y
Iy
,
∫ zdf − laø moment tónh cuûa phaàn tieát dieän cuûa phaân toá , laáy ñoái vôùi truïc Oy.
F
Thay bieåu thöùc cuûa T vaøo (4.1) vôùi giaû thieát laø
saùt khoâng bieán ñoåi theo chieàu daøi), coøn
τ =
NxSy
I yδ
d Sy
= 0 (töùc tieát dieän cuûa daàm khaûo
dx I y
dM
= N x , ta thu ñöôïc
dx
( 4.2)
trong ñoù, Nx - laø löïc caét taùc duïng treân tieát dieän khaûo saùt.
Vì moment tónh cuûa tieát dieän phaân toá laø aâm neân vôùi löïc caét döông, öùng suaát tieáp tính
ñöôïc trong coâng thöùc (4.2) seõ laø aâm, (theo qui öôùc daáu ñaõ neâu töø ñaàu moân hoïc), vaø ñieàu naøy
phuø hôïp vôùi qui öôùc daáu öùng suaát tieáp neâu ra treân ñaây: treân tieát dieän doïc coù phaùp tuyeán
ngoaøi theo höôùng moät truïc toaï ñoä, öùng suaát tieáp döông khi höôùng theo chieàu döông cuûa moät
trong hai truïc toaï ñoä coøn laïi.
Vôùi tieát dieän doïc 2-2, caùch laøm töông töï cuõng cho keát quaû nhö treân.
Coâng thöùc (4.2) xaùc ñònh öùng suaát tieáp treân tieát dieän doïc cuûa thanh. Treân cô sôû cuûa
nguyeân lyù “töông thích öùng suaát tieáp”ñaõ bieát, coù theå keát luaän raèng, treân tieát dieän ngang cuûa
daàm toàn taïi öùng suaát tieáp, öùng suaát naøy cuõng ñöôïc xaùc ñònh baèng chính coâng thöùc (4.2).
Nhö vaäy laø treân tieát dieän ngang cuûa thanh cuõng seõ chòu taùc duïng cuûa öùng suaát tieáp vaø
chieàu cuûa öùng suaát naøy, öùng vôùi löïc caét Nx döông, ñöôïc bieåu thò treân hình veõ H.1.9 bôûi caùc
muõi teân
Ta haõy xem xeùt hôïp löïc taát caû öùng suaát tieáp treân tieát dieän ngang vôùi truïc Ox vaø
moment cuûa caùc öùng löïc naøy. Ñeå xaùc ñònh hôïp löïc naøy, caàn laáy toång chæ cuûa öùng löïc tieáp
treân thaønh ñöùng, xaùc ñònh theo coâng thöùc (4.2).
Ñoái vôùi tieát dieän ngang cho ôû H.1.10, boû qua chieàu daøy cuûa thaønh tieát dieän khi so vôùiù
chieàu cao vaø chieàu roäng tieát dieän, vieäc xaùc ñònh hôïp löïc caùc öùng löïc tieáp tuyeán treân thaønh
ñöùng, treân cô sôû coâng thöùc (4.2), cho ta
17
Cô keát caáu taøu thuûy
.
H1.10
H1.11
+
h
2
N
R z = ∫ τ δ 2 dz = x
Iy
h
−
2
+
h
2
∫ bδ
−
h
2
1
h
+
2
1 h
h
− zδ 2. +
2 2
2
z dz.
Sau khi thöïc hieän tích phaân treân, ta thu ñöôïc:
Rz =
N x bh 2
h 3δ 2
δ
+
1
= Nx
Iy 2
12
( 4.3)
[vì bieåu thöùc trong daáu ngoaëc vuoâng chính laø moment quaùn tính tieát dieän ngang ñoái vôùi truïc
trung hoaø].
Nhö vaäy laø, hôïp löïc caùc öùng suaát tieáp treân baûn thaønh cuûa tieát dieän ngang thanh thaønh
moûng, coù baûn caùnh naèm ngang, töông ñöông tónh hoïc vôùi löïc caét treân tieát dieän.
Khi uoán thanh coù tieát dieän ngang khoâng ñoái xöùng, chaúng haïn nhö treân hình H1.11,
toång moment caùc öng löïc tieáp ñoái vôùi ñieåm O khoâng baèng 0. Vì theá cho neân, neáu nhö maët
phaúng taùc duïng cuûa taûi troïng ngoaøi truøng vôùi truïc xOz, thì söï uoán daàm luoân keøm theo xoaén
daàm.
Treân tieát dieän ngang daàm toàn taïi moät ñieåm, sao cho moment caùc öùng löïc tieáp ñoái vôùi
noù baèng 0. Ñieåm ñoù goïi laø taâm uoán cuûa tieát dieän ngang. Ñeå uoán khoâng keøm theo xoaén, maët
phaúng taùc duïng cuûa löïc ngoaøi phaûi song song vôùi maët toaï ñoä xOz vaø ñi qua quó tích taâm uoán
cuûa caùc tieát dieän ngang cuûa daàm. Ñeå xaùc ñònh vò trí taâm uoán, caàn vieát ñieàu kieän baèng 0 cuûa
moment öùng löïc tieáp treân tieát dieän ngang ñoái vôùi ñieåm chöa bieát.
Tröôøng hôïp tieát dieän ngang ñoái xöùng qua truïc naèm ngang, pheùp tính treân laø ñôn giaûn
nhaát. Taâm uoán seõ naèm treân truïc ñoái xöùng naøy vaø caùch thaønh ñöùng moät ñoaïn e , xaùc ñònh theo
ñieàu kieän
18
Cô keát caáu taøu thuûy
h
Q2 e = ( Q1 + Q3 ) ,
2
( 4.4)
trong ñoù,
Q2 = Nx – laø hôïp löïc cuûa öùng löïc phaùp tuyeán treân thaønh cuûa tieát dieän ngang;
Q1 vaø Q3 – laø hôïp löïc öùng löïc phaùp tuyeán treân daûi naèm cuûa tieát dieän ngang, xaùc ñònh
theo coâng thöùc (4.2)
Q1 = Q3 =
Nx
I
b
h
∫ ( b − y ) δ 1dy =
0
2
N x b 2 hδ 1
.
I
4
Thay Q1, Q2, Q3 phöông trình (4.4), ta tìm ñöôïc
e=
b 2 h 2δ 1
.
4I
Nhö vaäy laø taâm uoán naèm veà phía löng cuûa tieát dieän hình chöõ - taïi ñieåm A.
H.1.12
H.1.13
Baây giôø ta tieán haønh khaûo saùt vieäc xaùc ñònh öùng suaát tieáp treân tieát dieän thanh thaønh
moûng tieát dieän kín. Coù theå gaëp nhieàu loaïi tieát dieän thanh thaønh moûng daïng kín khaùc nhau.
Chaúng haïn nhö trong tröôøng hôïp tieát dieän ngang ñoái xöùng qua maët phaúng taùc duïng cuûa taûi
troïng ngang (H1.12), öùng suaát tieáp tuyeán taïi maët caét doïc I-I vaø II-II, truøng vôùi maët phaúng ñoái
xöùng, khoâng toàn taïi. Theo qui taéc töông thích öùng suaát tieáp, coù theå suy ra raèng, caû treân tieát
dieän ngang, öùng suaát tieáp taïi maët ñoái xöùng cuõng baèng 0. Nhö vaäy laø, tieát dieän thanh thaønh
moûng ñoái xöùng coù theå coi laø gheùp cuûa 2 tieát nöûa tieát dieän hôû , ñoäc laäp, gioáng heät nhau, chæ
coù ñieàu khaùc bieät duy nhaát laø vieäc uoán caùc tieát dieän bieät laäp naøy khoâng keøm theo xoaén. Vieäc
xaùc ñònh öùng suaát tieáp treân caùc tieát dieän ngang kín loaïi naøy tieán haønh gioáng nhö vôùi tieát dieän
ngang hôû, theo coâng thöùc (4.12).
Trong tröôøng hôïp uoán tieát dieän ngang ñôn, kín, khoâng ñoái xöùng, nhö treân hình H1.13,
vieäc tính öùng suaát tieáp treân dieän ngang ñöôïc tieán haønh baèng caùch ñöa vaøo moät maët caét doïc
taïi moät ñieåm baát kyø naøo ñoù treân chu tuyeán, chaúng haïn taïi ñieåm O-O (H1.13) vaø ñaët vaøo maët
caét caëp öùng löïc chöa bieát Q0 , höôùng ngöôïc chieàu nhau (H1.14). Ñaïi löôïng löïc chöa bieát naøy
ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän chuyeån vò doïc töông ñoái cuûa 2 ñieåm treân tieát dieän ngang, tieáp
giaùp vôùi maët caét doïc, phaûi baèng 0. Chuyeån vò naøy theå hieän bieán daïng caét gaây ra töø öùng löïc
19
Cô keát caáu taøu thuûy
tieáp tuyeán Q0 taùc duïng treân meùp caét vaø öùng löïc caét τsδ xuaát hieän do uoán, taùc ñoäng treân tieát
dieän hôû , do bò caét doïc, vaø ñöôïc xaùc ñònh nhôø coâng thöùc (4.2).
Ñieàu kieän loaïi tröø chuyeån dòch
töông ñoái, theo chieàu doïc, giöõa hai
meùp cuûa maët caét goïi laø ñieàu kieän lieân
tuïc cuûa bieán daïng. Bieán daïng doïc,
theo phöông vuoâng goùc vôùi tieát dieän
ngang xaûy ra laø do bieán daïng tröôït vaø
bieán daïng ñöôøng do uoán. Vì bieán daïng
ñöôøng do uoán tuaân thuû giaû thuyeát tieát
dieän phaúng neân khoâng gaây ra chuyeån
dòch töông ñoái theo chieàu doïc giöõa hai
meùp maët caét doïc, vaø do ñoù, chuyeån
dòch töông ñoái naøy chæ coù theå do bieán
daïng caét gaây ra.
Xeùt phaân toá daàm coù chieàu daøi
ñôn vò nhö treân hình H1.14. Giaû thieát
laø chieàu daøy thaønh khoâng ñoåi vaø öùng
suaát tieáp phaân boá ñeàu theo chieàu daøy
thaønh, ta coù theå tính ñöôïc chuyeån dòch
töông ñoái , u, cuûa ñieåm A naøo ñoù treân
chu tuyeán so vôùi ñieåm goác O, do öùng
H1.14
löïc caét gaây ra.
ÖÙng löïc tieáp tuyeán, taùc duïng treân maët caét doïc baát kyø, ñöôïc xaùc ñònh theo coâng thöùc:
Q0 + τsδs,
(4.5)
caét;
Qs =
Trong ñoù, τs – öùng suaát tieáp do uoán , tính theo coâng thöùc (4.2),treân chu tuyeán hôû do bò
δs – chieàu daøy thaønh tieát dieän taûi ñieåm khaûo saùt.
Chuyeån vò doïc cuûa ñieåm A ñoái vôùi meùp caét seõ baèng:
s
1 Qs
u=
ds,
G ∫0 δ s
( 4.6)
trong ñoù, G – module tröôït (coøn goïi laø module caét).
Ñaïi löôïng
Qs
= γ
δ sG
laø bieán daïng tröôït, γds - laø chuyeån dòch töông ñoái doïc theo truïc
Ox, do caét.
Khi ñieåm A di chuyeån heát voøng kín, u phaûi baèng 0, do ñieàu kieän lieân tuïc cuûa bieán
daïng.
Treân cô sôû coâng thöùc (4.6), ñieàu kieän lieân tuïc cuûa bieán daïng naøy ñöôïc theå hieän nhö
sau:
20
- Xem thêm -
.PDF 
247 
328 
61 
