Tài liệu Phương pháp thứ hai của Lyapunov và ứng dụng trong việc nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân hàm và phương trình vi phân hàm có xung

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CAO THỊ ĐÔNG PHƯƠNG PHÁP THỨ HAI CỦA LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CÓ XUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CAO THỊ ĐÔNG PHƯƠNG PHÁP THỨ HAI CỦA LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CÓ XUNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Lời nói đầu 3 Lời cảm ơn 5 1 Một số định lý cơ bản của phương pháp thứ hai của Lyapunov trong Rn 6 1.1 Hệ rút gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Các hàm xác định dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận . . . . . . . 12 1.6 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định . . . . . . . . . 15 1.7 Sự ổn định mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Về phương pháp hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân hàm 2.1 2.2 20 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán với giá trị ban đầu . . . 20 2.1.1 Định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . 21 Các định lý cơ bản về phương pháp hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 2.2.2 Các định lý về sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Định lý Razumikhin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 Phương pháp hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân hàm có xung 38 3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương vi phân hàm có xung 38 3.2 Các định lý ổn định kiểu Lyapunov-Razumikhin của hệ phương trình vi phân hàm có xung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 Phương trình vi phân có chậm-Logistic với nhiễu xung . . . . . . 46 3.3.1 Tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có chậm với nhiễu xung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.2 Sự dao động nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính 3.3.3 Phương trình Logistic có chậm với nhiễu xung . . . . . . . 51 Kết luận 50 55 2 Lời nói đầu Một trong những người đã có công đầu trong việc nghiên cứu một cách hệ thống và hoàn thiện các bài toán nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân là nhà toán học người Nga A.Lyapunov. Vào năm 1982, ông đã công bố các kết quả nghiên cứu tính ổn định nghiệm trong luận văn tiến sĩ khoa học nổi tiếng của mình. Trong bản luận văn này ông đã đưa ra các phương pháp khác nhau để giải quyết bài toán về tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân. Một trong các phương pháp đó là phương pháp hàm Lyapunov, nhờ phương pháp này chúng ta có thể xác định tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân thông qua tính chất tương ứng của một phiếm hàm được kí hiệu là V (t, x) mà không cần thiết phải biết rõ nghiệm tường minh của phương trình vi phân đang xét. Từ đó đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu khoa học tiếp theo về phương pháp này. Ngoài việc mở rộng và hoàn thiện phương pháp hàm Lyapunov người ta đã phát triển nó cho những mô hình nghiên cứu mới để có thể ứng dụng trong các bài toán thực tế đa dạng và phức tạp hơn. Nội dung chính của luận văn là trình bày một cách hệ thống các kết quả cơ bản về phương pháp hàm Lyapunov cho các dạng phương trình vi phân thường trong Rn , phương trình vi phân hàm, phương trình vi phân hàm bị nhiễu có xung. Ngoài việc trình bày các định lý về tính ổn định, tính ổn định tiệm cận của Lyapunov cho các dạng phương trình vi phân mới trên, chúng tôi đã giành một sự quan tâm đặc biệt đối với phương pháp hàm Lyapunov kiểu Razumikhin. Phương pháp này tạo nên một ưu thế cho chúng ta trong việc nghiên cứu tính 3 ổn định của phương trình vi phân hàm và sau đó là phương trình vi phân hàm bị nhiễu có xung. Phần cuối cùng của luận văn đã trình bày một minh họa cho mô hình dân số dạng đơn giản (phương trình Logistis). Trong mô hình này chúng tôi đã chỉ ra khả năng ứng dụng của lý thuyết định tính của phương trình vi phân cho phương trình vi phân tuyến tính có chậm với nhiễu có xung. Toàn bộ nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1: Một số định lý cơ bản của phương pháp thứ hai của Lyapunov trong Rn . Chương 2: Về phương pháp hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân hàm. Chương 3: Phương pháp hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân hàm có xung. 4 Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm Khoa toán , các đồng nghiệp đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bản luận văn này. Em xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn PGS. TS Đặng Đình Châu cùng gia đình, bạn bè đã hướng dẫn tận tình cũng như động viên em trong quá trình làm luận văn. 5 Chương 1 Một số định lý cơ bản của phương pháp thứ hai của Lyapunov trong Rn 1.1 Hệ rút gọn Giả sử cho hệ vi phân phi tuyến thực: dy = Y (t, y). dx (1.1) (0,1) Trong đó Y ∈ Cty (Ω) và Ω = {a < t < ∞, y ∈ G} (a là số hay −∞, G là tập mở trong không gian Euclide thực n chiều Rny ), khi đó mỗi điểm (t0 , y0 ) ∈ Ω thỏa mãn định lý địa phương về sự tồn tại và duy nhất nghiệm y = y(t, t0 , y0 ) đối với hệ (1.1) với điều kiện ban đầu y(t0 , y0 ) = y0 . Trong chương này ta giới hạn chỉ xét nghiệm thực. Giả sử η = η(t) (t ≤ +∞, t > a) là nghiệm của hệ (1.1) (chuyển động không bị nhiễu) mà ta phải nghiên cứu tính ổn định của nó, hơn nữa giả sử H là lân cận của nghiệm đó sao cho UH (η(t)) ⊆ G với t ∈ [t0 , ∞), trong đó UH (η(t)) = {(t, y) : t0 ≤ t < +∞ : ||y − η(t)|| < H ≤ ∞}. Ta đặt: x = y − η(t), 6 (1.2) Vì η̇ ≡ Y (t, η(t)) nên ta nhận được phương trình vi phân đối với x dx = X(t, x), dt (1.3) trong đó (0,1) X(t, x) = [Y (t, x + η(t)) − Y (t, η(t))] ∈ Ctx (Z), Z = {a < t < ∞, ||x|| < H}, hơn nữa rõ ràng X(t, 0) ≡ 0. Do đó, hệ (1.3) có nghiệm tầm thường x = 0 ứng với nghiệm đã cho η = η(t) trong không gian Rny . Hệ (1.3) được gọi là hệ rút gọn (theo Lyapunov thì nó là một hệ phương trình của chuyển động bị nhiễu). Như vậy, việc nghiên cứu sự ổn định của nghiệm η = η(t) trong không gian Rn được đưa về nghiên cứu sự ổn định của nghiệm tầm thường (vị trí cân bằng) x = 0 trong Rn . 1.2 Các khái niệm về ổn định Xét hệ rút gọn (1.3) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 ∈ R+ , thỏa mãn các điều kiện về tính tồn tại và duy nhất nghiệm. Kí hiệu nghiệm x(t) = x(t, t0 , x0 ) là nghiệm của (1.3). Ta có các khái niệm về tính ổn của nghiệm tầm thường như sau: Định nghĩa 1.2.1. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.3) được gọi là ổn định theo Lyapunov khi t → ∞ nếu ∀ε > 0, ∃δ = δ(t0 , ε) > 0 : ||x0 || < δ ⇒ ||x(t, t0 , x0 )|| < ε; ∀t ≥ t0 . Định nghĩa 1.2.2. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.3) được gọi là ổn định đều theo Lyapunov nếu số δ trong định nghĩa (1.2.1) có thể chọn không phụ thuộc vào t0 . 7 Định nghĩa 1.2.3. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.3) được gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu (i) Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định. (ii) Tồn tại 4 = 4(t0 ) > 0 sao cho với mọi x0 và ||x0 || < 4 thì lim ||x(t, t0 , x0 )|| = 0. t→∞ Định nghĩa 1.2.4. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.3) được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu: (i) Nghiệm x(t) ≡ 0 là ổn định đều. (ii) Tồn tại 4 > 0 (không phụ thuộc vào t0 ) sao cho với mọi x0 thỏa mãn ||x0 || < 4 thì lim ||x(t, t0 , x0 )|| = 0. t→∞ 1.3 Các hàm xác định dấu Xét hàm số V = V (t, x) ∈ Ctx (Z0 ), trong đó Z0 = {a < t < ∞, ||x|| < h}. Chúng ta đưa ra một số định nghĩa cơ bản về hàm không đổi dấu và hàm có dấu xác định như sau: Định nghĩa 1.3.1. Hàm vô hướng thực liên tục V (t, x) được gọi là không đổi dấu (có dấu dương hay có dấu âm) trong Z0 nếu V (t, x) ≥ 0 (hay V (t, x) ≤ 0)), với mọi (t, x) ∈ Z0 . Định nghĩa 1.3.2. Hàm V = V (t, x) được gọi là xác định dương trong Z0 nếu tồn tại hàm W (x) ∈ C(||x|| < h) sao cho: V (t, x) ≥ W (x) > 0 với mọi ||x|| = 6 0 8 V (t, 0) = W (0) = 0. Định nghĩa 1.3.3. Hàm V = V (t, x) được gọi là xác định âm trong Z0 nếu tồn tại hàm W (x) ∈ C(||x|| < h) sao cho: V (t, x) ≤ −W (x) < 0 với mọi ||x|| = 6 0 V (t, 0) = W (0) = 0. Ví dụ 1.3.1. Trong không gian thực R2 = Oxy , hàm số V = x2 + y 2 − 2αcost, (1.4) Nếu |α| < 1, hàm V xác định dương vì V (t, x, y) ≥ x2 + y 2 − 2|α|.|x|.|y| ≥ (1 − |α|)(x2 + y 2 ) = W (x, y) với x2 + y 2 > 0, V = 0 với x = y = 0. Nếu |α| = 1 hàm V chỉ là hàm không đổi dấu dương. Định nghĩa 1.3.4. Hàm V = V (t, x) được gọi là có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 trong Z0 nếu với t0 > a nào đó, ta có V (t, x) hội tụ đều theo t đến 0 trên [t0 , ∞), khi ||x|| → 0, tức là với bất kỳ ε > 0 tồn tại số δ = δ(ε) > 0 sao cho |V (t, x)| < ε (1.5) khi ||x|| < δ và t ∈ [t0 , ∞). Nhờ bất đẳng thức (1.5) ta kết luận rằng hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 sẽ bị chặn trong hình trụ nào đó t0 ≤ t < ∞, ||x|| < h. Ta chú ý rằng nếu V (x) là hàm liên tục không phụ thuộc vào thời gian t và V (0) = 0, thì rõ ràng V (x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0. 9 Ví dụ 1.3.2. Hàm trong ví dụ 1.3.1.với |α| < 1 có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi r= p x2 + y 2 → 0. Hàm V = sin2 [t(x21 + x22 + ... + x2n )] không có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi ||x|| = p x21 + x22 + ... + x2n → 0 mặc dù hàm đó bị chặn và V → 0 khi ||x|| → 0. 1.4 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định (0,1) Giả sử X(t, x) ∈ Ctx (Z), Z = {a < t < ∞, ||x|| < H} và hệ vi phân dx = X(t, x) dy (1.6) là hệ rút gọn, tức là X(t, 0) = 0. Rõ ràng hệ (1.6) có nghiệm tầm thường x = 0. Ta đặt (1,1) V = V (t, x) ∈ Ctx (Z0 ), Z0 = {a < t < ∞ : ||x|| ≤ h < H} ⊂ Z và X = X(t, x) = column[X1 (t, x), ...Xn (t, x)]. Hàm n X ∂V ∂V ∂V V̇ (t, x) = + Xj (t, x) = + (gradV, X) ∂t ∂xj ∂t (1.7) j=1 được gọi là đạo hàm (toàn phần) theo t của hàm V (t, x) theo hệ (1.6). Nếu x = x(t) là nghiệm của hệ (1.6) thì V̇ (t, x) là đạo hàm toàn phần theo thời gian của hàm hợp V (t, x(t)), tức là V̇ (t, x) = d V (t, x(t)). dt Đúng hơn, giả sử (t, x) ∈ Z0 và x(τ, t, x) là nghiệm của hệ (1.6) xác định bởi điều kiện ban đầu x(t, t, x) = x. Khi đó V̇ (t, x) = hd dt i V (τ, x(τ, t, x)) . τ =t 10 (1.8) Chú ý. Khái niệm đạo hàm V̇ (t, x) theo hệ (1.6) có thể mở rộng được. Cụ thể, khi đó ta đặt . 1 V (t, x) = lim+ {V (t + h, x + hX(t, x)) − V (t, x)}. h→0 h (1,1) (Z0 ) thì hiển nhiên có công thức (1.7). Nếu V (t, x) ∈ Ctx Định lý 1.4.1. (Định lý thứ nhất của Lyapunov) Nếu đối với hệ rút gọn (1.6), (1,1) tồn tại hàm Lyapunov V (t, x) ∈ C(t,x) (Z0 ), với Z0 ⊂ Z , là hàm xác định dương và có đạo hàm theo thời gian V̇ (t, x) theo hệ đó có dấu không đổi âm. Khi đó nghiệm tầm thường x = 0, (a < t < ∞) của hệ đã cho ổn định theo Lyapunov khi t → ∞. Chứng minh. Theo giả thiết của định lý, tồn tại hàm W (x) liên tục, xác định dương sao cho V (t, x) ≥ W (x) > 0 với ||x|| = 6 0 V (t, 0) = W (0) = 0. Trong không gian Rnx , xét mặt cầu Sε = {x ∈ Rnx : ||x|| = ε} nằm hoàn toàn trong Z0 , trong đó 0 < ε ≤ h < H . Vì Sε là tập compact và hàm W (x) liên tục, xác định dương, do đó theo định lý Weierstrass, tồn tại x∗ ∈ Sε mà cận dưới của W (x) là x∗ , Tức là inf W (x) = W (x∗ ) = α > 0. (1.9) x∈Sε Giả sử t0 ∈ (a, ∞) tùy ý. Hàm V (t0 , x) liên tục theo x, và do V (t0 , 0) = 0 nên tồn tại lân cận ||x|| < δ < ε sao cho 0 ≤ V (t0 , x) < α với ||x|| < δ. (1.10) Xét nghiệm khác 0 tùy ý x = x(t) với điều kiện ban đầu ||x(t0 )|| < δ . Ta sẽ chứng minh quỹ đạo của nghiệm đó nằm hoàn toàn bên trong mặt cầu Sε , tức là ||x(t)|| < ε, 11 ∀t ≥ t0 . (1.11) Thật vậy, khi t = t0 thì ||x(t0 )|| < δ < ε. Giả sử (1.11) không thỏa mãn với mọi t ∈ [t0 , ∞) và t1 > t0 là điểm đầu tiên nghiệm x(t) chạm biên Sε , tức là ||x(t)|| < ε với t0 ≤ t < t1 và ||x(t1 )|| = ε. Ký hiệu v(t) := V (t, x(t)), vì v̇(t) = V̇ (t, x(t)) ≤ 0 nên v(t) là hàm không tăng dọc theo nghiệm x(t). Do đó α > V (t0 , x(t0 )) ≥ V (t1 , x(t1 )) ≥ W (x(t1 )) ≥ α. Điều này vô lý. Như vậy nghiệm x(t) với t ∈ [t0 , ∞) hữu hạn bất kỳ còn nằm trong mặt cầu Sε vì ε < H , nghiệm đó xác định với t0 ≤ t < ∞ (thác triển vô hạn bên phải), hơn nữa ||x(t)|| < ε khi t0 ≤ t < ∞ nếu ||x(t0 )|| < δ . Vậy nghiệm tầm thường của hệ là ổn định theo Lyapunov khi t → ∞. 1.5 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận Định lý 1.5.1. Giả sử đối với hệ rút gọn (1.6), tồn tại hàm xác định dương (1,1) V (t, x) ∈ Ctx (Z0 ) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 và có đạo hàm theo thời gian V̇ (t, x) theo hệ là xác định âm. Khi đó, nghiệm tầm thường x = 0 của hệ ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t → +∞. Chứng minh. Từ giả thiết của định lý (1.5.1) suy ra nó thỏa mãn các điều kiện định lý (1.4.1) , nên nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (1.6) là ổn định. Bây giờ ta sẽ chứng minh nghiệm tầm thường x = 0 là ổn định tiệm cận. Để chứng minh điều này ta sẽ chứng minh rằng với nghiệm khác 0 tùy ý x = x(t)) thỏa mãn điều kiện ban đầu ||x(t0 )|| ≤ h < H với h đủ nhỏ ta luôn có lim x(t) = 0 t→+∞ 12 (1.12) Ta xét hàm số: v(t) = V (t, x(t)). Vì theo giả thiết: v̇(t) = dV < 0, dt nên hàm số v(t) đơn điệu giảm và bị chặn dưới, nó có giới hạn hữu hạn: lim v(t) = inf v(t) = α ≥ 0. t→+∞ t (1.13) Ta chứng tỏ rằng α = 0. Thật vậy, giả sử α > 0, khi đó ta có: ||x(t)|| ≥ β > 0 khi t0 ≤ t < ∞, (1.14) trong đó β là số dương. Giả sử ngược lại (1.14) không đúng thì ta tìm được dãy t1 , t2 , ..., tk , ... → +∞ sao cho: lim x(tk ) = 0. k→∞ Khi đó, nhờ sự tồn tại giới hạn vô cùng bé bậc cao của hàm V (t, x) khi x → 0, ta có: lim v(tk ) = lim V (tk , x(tk )) = 0. k→+∞ k→+∞ Điều này mâu thuẫn với giả thiết α > 0 do đó (1.14) đúng, vì nếu α là giới hạn của hàm số v(t) khi t → ∞ thì với dãy bất kỳ tk → +∞, ta phải có v(tk ) → α. Tóm lại, trong trường hợp α > 0, ta có bất đẳng thức (1.14) và ngoài ra có thể giả thiết rằng ||x(t)|| ≤ h < H (nhờ tính ổn định của nghiệm tầm thường x = 0). Giả sử W1 (x) là hàm xác định dương, liên tục thỏa mãn bất đẳng thức Φ(t) = V̇ (t, x) ≤ −W1 (x). (1.15) Hàm đó tồn tại vì theo giả thiết của định lý, V̇ (t, x) là hàm xác định âm. Ta kí hiệu γ= inf β≤||x||≤h W1 (x) > 0. 13 (1.16) Khi đó lấy tích phân bất đẳng thức (1.15) với cận từ t0 đến t và nhớ rằng β ≤ ||x|| ≤ h với t0 ≤ x ≤ t, ta có: Zt Zt V (τ, x(τ ))dx ≤ v(t0 ) − v(t) = v(t0 ) + t0 W ∗ (τ )dτ, t0 trong đó W ∗ (τ ) = W1 (x(τ )) . Vì −W1 (x) ≤ −γ với β ≤ ||x|| ≤ h . nên Zt v(t) ≤ v(t0 ) − γdτ = v(t0 ) − γ(t − t0 ). (1.17) t0 Từ bất đẳng thức (1.17) ta thấy rằng với t đủ lớn v(t) = V (t, x(t)) < 0, điều đó trái với tính xác đinh dương của hàm V (t, x). Tóm lại α = lim V (t, x(t)) = 0. t→+∞ (1.18) Bây giờ ta chứng minh rằng x(t) → 0 khi t → ∞ . Thật vậy, giả sử ε > 0 bé tùy ý và l = inf W (x) > 0 với ε ≤ ||x|| ≤ h. (1.19) Từ công thức (1.18) ta suy ra rằng tồn tại thời điểm T > t0 sao cho: V (T, x(T )) < l. Do đó, nhờ tính đơn điệu giảm của hàm V (t, x(t)), ta có V (t, x(t)) < l với t ≥ T, (1.20) ||x|| <  với t > T. (1.21) và do đó Thậy vậy, nếu với thời điểm t1 > T nào đó, thỏa mãn bất đẳng thức ngược lại ||x(t1 )|| ≥ ε, 14 thì nhờ vào công thức (1.19) và (1.18), ta có: l > V (t1 , x(t1 )) ≥ W (x(t1 )) ≥ l, điều này là vô lý. Tóm lại, từ công thức (1.21), ta có lim x(t) = 0, t→+∞ đó là điều phải chứng minh. 1.6 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định (1,1) Định lý 1.6.1. Giả sử đối với hệ rút gọn (1.6), tồn tại hàm V (t, x) ∈ Ctx (Z0 ) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 và có đạo hàm V̇ (t, x) theo t theo hệ phương trình là xác định dấu. Nếu với t0 > a nào đó trong lân cận ||x|| < ∆ ( ∆ ≤ h < H ) tìm được điểm (t0 , x0 ) mà tại đó dấu của hàm V cùng dấu với đạo hàm V̇ , tức là V (t0 , x0 )V̇ (t0 , x0 ) > 0 (1.22) thì nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (1.6) không ổn định theo Lyapunov khi t → ∞. Chứng minh. Để xác định ta giả sử V̇ (t, x) là hàm xác định dương, tức là V̇ (t, x) ≥ W1 (x) > 0 (1.23) với t0 ≤ t < ∞ với 0 < ||x|| < h, trong đó W1 (x) là hàm liên tục, không đổi dấu dương. Vì theo giả thiết của định lý, hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0, nên V (t, x) bị chặn trong hình trụ đủ hẹp, tức là |V (t, x)| ≤ M 15 (1.24) với t0 ≤ t < ∞, ||x|| < ∆0 < h, trong đó M và ∆0 là các hằng số dương nào đó. Giả sử δ > 0 (δ < ∆0 ) nhỏ tùy ý. Nhờ giả thiết của định lý, tồn tạo điểm (t0 , x0 ), trong đó 0 < ||x|| < δ , sao cho: V (t0 , x0 ) = α > 0 Ta đặt v(t) = V (t, x(t)) trong đó x(t) 6≡ 0 là nghiệm xác định bởi điều kiện đầu x(t0 ) = x0 , hơn nữa 0 < ||x(t0 )|| < δ. (1.25) Nhờ bất đẳng thức (1.23), hàm v(t) đơn điệu tăng cùng với t, do đó khi t ≥ t0 ta có V (t, x(t)) ≥ V (t0 , x(t0 )) = α > 0 (1.26) Ta chứng minh rằng với giá trị t = t1 (t1 > t0 ) nào đó sẽ thỏa mãn bất đẳng thức ||x(t1 )|| > ∆0 (1.27) Thật vậy, giả sử ||x|| ≤ ∆0 với t ≥ t0 , khi đó nghiệm x(t) thác triển vô hạn bên phải. Vì hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0, nên từ bất đẳng thức (1.26), nhờ lý luậnđã trình bày trong định lý thứ hai Lyapunov, ta suy ra rằng 0 < β ≤ ||x(t)|| ≤ ∆0 với t0 ≤ t < ∞, trong đó β là số dương nào đó. Giả sử γ= inf β≤||x||≤∆0 W1 (x) > 0, Khi đó, nhờ bất đẳng thức ||x(t)|| ≤ ∆0 , ta có V̇ (t, x(t)) ≥ γ với t0 ≤ t < ∞. 16 Do đó với t0 ≤ t < ∞, ta có Zt V̇ (τ, x(τ ))dτ ≥ V (t0 , x0 ) + γ(t − t0 ), V (t, x(t)) = V (t0 , x(t0 )) + (1.28) t0 điều này trái với tính bị chặn của hàm V (t, x) trong miền t0 ≤ t < ∞, ||x|| < ∆0 . Vì δ > 0 tùy ý và ∆ > 0 cố định, nên theo bất đẳng thức (1.25) và (1.27) ta kết luận rằng nghiệm tầm thường x = 0 không ổn định theo Lyapunov khi t → ∞. Định lý được chứng minh. 1.7 Sự ổn định mũ Định nghĩa 1.7.1. Nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (1.6) được gọi là ổn định mũ khi t → +∞ nếu đối với mỗi nghiệm x(t) ≡ x(t, t0 , x0 ) của hệ đó ở trong miền nào đó t0 ≤ t < ∞, ||x|| ≤ h < H thỏa mãn bất đẳng thức ||x(t)|| ≤ N ||x(t0 )||e−α(t−t0 ) (t ≥ t0 ) (1.29) trong đó N và α là hai hằng số dương không phụ thuộc vào sự lựa chọn nghiệm x(t). Ta dễ dàng thấy rằng từ sự ổn định mũ của nghiệm x = 0 suy ra sự ổn định tiệm cận của nó. Thật vậy, nếu: ||x(t0 )|| < ε = ε, N trong đó ε > 0 tùy ý từ bất đẳng thức (1.29), ta có ||x(t)|| < ε với t ≥ t0 , tức là nghiệm x = 0 ổn định theo Liapunov, ngoài ra ta có lim x(t) = 0 t→+∞ nếu ||x(t0 )|| ≤ h. 17 Định nghĩa 1.7.2. Tương tự ta định nghĩa sự ổn định mũ đối với nghiệm không tầm thường. Cụ thể là nghiệm ξ(t) là ổn định mũ nếu với t ≥ t0 , các nghiệm x(t) gần nó thỏa mãn ||x(t) − ξ(t)|| ≤ N ||x(t0 ) − ξ(t0 )||e−α(t−t0 ) , (t ≥ t0 ) trong đó N và α là hai hằng số dương nào đó. Bổ đề 1.7.1. Nếu nghiệm tầm thường của hệ tuyến tính thuần nhất dx = Ax dt (1.30) với ma trận hằng số A, ổn định tiệm cận khi t → ∞, thì hệ đó ổn định mũ, tức là mỗi nghiệm của nó ổn định mũ khi t → ∞. Chứng minh. Như đã biết, nghiệm tầm thường ξ = 0 của hệ (1.30) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọi nghiệm đặc trưng λp (A) của ma trận A có phần thực âm: Reλp (A) < 0 (p = 1, 2, ..., n). Ta đặt: min Reλp (A) < −α < 0. p Khi đó, với t ≥ 0, ta được ||etA || ≤ N e−αt , (1.31) trong đó N là hằng số dương nào đó. Từ phương trình (1.30), đối với nghiệm bất kì x(t), ta có x(t) = e(t−t0 )A x(t0 ), trong đó t là thời điểm ban đầu tùy ý. Do đó nhờ (1.31), với t ≥ t0 , ta có ||x(t) − ξ(t)|| ≤ N ||x(t0 ) − ξ(t0 )||e−α(t−t0 ) , đó là điều phải chứng minh. 18