Tài liệu Phương trình lượng giác

LÖÔÏNG GIAÙC Chuyeân ñeà 8: TOÙM TAÉTGIAÙO KHOA A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN: I. Ñôn vò ño goùc vaø cung: 1. Ñoä: 180 o Goùc 10 = 1 goùc beït 180 2. Radian: (rad) . x O y 1800 = π rad 3. Baûng ñoåi ñoä sang rad vaø ngöôïc laïi cuûa moät soá goùc (cung ) thoâng duïng: 00 0 Ñoä Radian 300 π 6 450 600 π 900 π 4 1200 2π 3 π 3 2 1350 3π 4 1500 5π 6 1800 π II. Goùc löôïng giaùc & cung löôïng giaùc: 1. Ñònh nghóa: (tia ngọn) y y (điểm ngọn) + B O x (Ox , Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z) + α α t α 3600 2π x O (tia gốc) t M A (điểm gốc) AB = α + k 2π 2. Ñöôøng troøn löôïng giaùc: Soá ño cuûa moät soá cung löôïng giaùc ñaëc bieät: A → B → C → D → A, C → B, D → y 2kπ B π + 2kπ + 2 π + 2kπ - π + 2kπ C 2 kπ D π + kπ 2 33 x A O − y III. Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc: x' u B 1 u' 1. Ñöôøng troøn löôïng giaùc: • A: ñieåm goác • x'Ox : truïc coâsin ( truïc hoaønh ) • y'Oy : truïc sin ( truïc tung ) • t'At : truïc tang • u'Bu : truïc cotang t −1 C R =1 O + 1 A − −1 D y' x t' 2. Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc: a. Ñònh nghóa: Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc cho AM= α . Goïi P, Q laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa M treân x'Ox vaøø y'Oy T, U laàn löôït laø giao ñieåm cuûa tia OM vôùi t'At vaø u'Bu Ta ñònh nghóa: t y t Trục sin Trục cotang u' U B M Q x' O Trục cosin + T α α t u P b. Caùc tính chaát : • y' sin α = OQ x A − −1 Trục tang t' Vôùi moïi α ta coù : −1 ≤ sin α ≤ 1 hay sinα ≤ 1 −1 ≤ cosα ≤ 1 hay cosα ≤ 1 • • tgα xaùc ñònh ∀α ≠ π + kπ 2 cotgα xaùc ñònh ∀α ≠ kπ c. Tính tuaàn hoaøn sin(α + k 2π ) = sin α cos(α + k 2π ) = cosα tg(α + kπ ) = tgα cot g(α + kπ ) = cot gα cosα = OP (k ∈ Z ) 34 tgα = AT cot gα = BU IV. Giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc ) ñaëc bieät: Ta neân söû duïng ñöôøng troøn löôïng giaùc ñeå ghi nhôù caùc giaù trò ñaëc bieät y t 3 - 3 - 3 /3 -1 u' B 1 2π/3 π u π/4 2 /2 5π/6 π/6 1/2 1/2 - 3 /2 - 2 /2 -1/2 -1 2 /2 3 /2 -π/6 -1 -π/2 cos α 1 tg α 0 cotg α kxñ 300 450 6 1 2 4 2 2 2 2 1 π 3 2 3 3 3 π 1 600 900 π π 3 3 2 1 2 2 1 3 3 3 − - 3 /3 0 kxñ 0 t' 1200 2π 3 3 2 1 − 2 − 3 − 35 -1 -π/3 y' 0 x -π/4 - 3 /2 Hslg sin α + O - 2 /2 00 0 3 /3 1 A (Ñieåm goác) -1/2 Goùc 3 1 π/3 3 /2 3π/4 x' 3 /3 π/2 3 3 1350 3π 4 2 2 2 − 2 -1 -1 - 3 1500 5π 6 1 2 3 2 3 − 3 − 3 − 1800 3600 π 2π 0 0 -1 1 0 0 kxñ kxñ V. Haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc) coù lieân quan ñaëc bieät: Ñoù laø caùc cung : 1. Cung ñoái nhau : α vaø -α 2. Cung buø nhau : α vaø π -α 3. Cung phuï nhau : α vaø 4. Cung hôn keùm π 2 : α vaø π 2 π 2 (toång baèng 0) −α ( toång baèng π ) ( toång baèng π 2 ) sin(−α ) = − sin α tg(−α ) = −tgα cot g(−α ) = − cot gα π (Vd: 6 π 6 π 6 6 ,…) 5π ,…) 6 & π 3 ,…) & 2π ,…) 3 & 7π ,…) 6 cos(π − α ) = − cosα Buø sin Ñoái cos 3. Cung phuï nhau : sin(π − α ) = sin α tg(π − α ) = −tgα cot g(π − α ) = − cot gα 4. Cung hôn keùm π sin( − α ) 2 = cosα tg( − α ) 2 = cotgα Phuï cheùo Hôn keùm π 2 sin baèng cos cos baèng tröø sin π 2 cos( + α ) = − sin α 2 π sin( + α ) 2 = cosα tg( + α ) 2 = −cotgα π π cot g( − α ) = t gα 2 cot g( + α ) = − t gα 2 5. Cung hôn keùm π : cos(π + α ) = − cosα sin(π + α ) = − sin α tg(π + α ) = tgα π π cos( − α ) = sin α 2 cot g(π + α ) = 6 & π 2. Cung buø nhau : cos(−α ) = cosα π π (Vd: (Vd: 1. Cung ñoái nhau: &− 6 (Vd: +α 5. Cung hôn keùm π : α vaø π + α π π (Vd: Hôn keùm π tang , cotang cot gα 36 Ví duï 1: Tính cos(− 21π 11π ) , tg 4 4 Ví duï 2: Ruùt goïn bieåu thöùc: A = cos( VI. Coâng thöùc löôïng giaùc: 1. Caùc heä thöùc cô baûn: 2 π 2 + x) + cos(2π − x) + cos(3π + x) 1 cos2α 1 1 + cotg2α = sin 2 α tgα . cotgα = 1 1 + tg2α = 2 cos α + sin α = 1 sinα tgα = cosα cosα cotgα = sinα Ví duï: Chöùng minh raèng: 1. cos4 x + sin 4 x = 1 − 2 sin 2 x cos2 x 2. cos 6 x + sin 6 x = 1 − 3 sin 2 x cos 2 x 2. Coâng thöùc coäng : cos(α + β ) = cosα .cos β − sin α .sin β cos(α − β ) = cosα .cos β + sin α .sin β sin(α + β ) = sin α .cos β + sin β .cosα sin(α − β ) = sin α .cos β − sin β .cosα tgα +tgβ 1 − tgα .tg β tgα − tgβ tg(α − β ) = 1 + tgα .tgβ tg(α +β ) = Ví duï: Chöùng minh raèng: π 1.cos α + sin α = 2 cos(α − ) 4 π 2.cos α − sin α = 2 cos(α + ) 4 3. Coâng thöùc nhaân ñoâi: cos 2 α = 1 + cos 2α 2 sin 2 α = 1 − cos 2α 2 cos 2α = cos2 α − sin 2 α = 2 cos2 α − 1 2 = 1 − 2 sin α = cos4 α − sin 4 α sin 2α = 2 sin α .cos α 2tgα tg2α = 1 − tg2α sin α cos α = 37 1 sin 2α 2 4 Coâng thöùc nhaân ba: cos 3α = 4 cos3 α − 3cos α sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α cos 3 α = cos 3α + 3 cos α 4 sin 3 α = 3 sin α − sin 3α 4 5. Coâng thöùc haï baäc: cos 2 α = 1 + cos 2α 1 − cos 2α ; sin 2 α = ; 2 2 6.Coâng thöùc tính sin α ,cos α ,tgα theo t = tg sin α = 2t ; 1 + t2 α 2 cos α = 1 − t2 ; 1 + t2 tgα = 2t 1 − t2 7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång : 1 [ cos(α + β ) + cos(α − β )] 2 1 sin α .sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] 2 1 sin α .cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )] 2 cosα .cos β = Ví duï: 1. Bieán ñoåi thaønh toång bieåu thöùc: A = cos 5 x. cos 3 x 5π 7π sin 2. Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: B = cos 12 12 8. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích : cosα + cos β = 2 cos α+β .cos α −β 2 2 α+β α −β cosα − cos β = −2sin .sin 2 2 α+β α−β sin α + sin β = 2sin .cos 2 2 α+β α−β sin α − sin β = 2 cos .sin 2 2 sin(α + β ) tgα + tgβ = cosα cos β sin(α − β ) tgα − tgβ = cosα cos β 38 tg 2α = 1 − cos 2α 1 + cos 2α Ví duï: Bieán ñoåi thaønh tích bieåu thöùc: A = sin x + sin 2x + sin 3x 9. Caùc coâng thöùc thöôøng duøng khaùc: π 3 + cos 4α 4 5 + 3 cos 4α cos 6 α + sin 6 α = 8 π cos 4 α + sin 4 α = cosα + sin α = 2 cos(α − ) = 2 sin(α + ) 4 4 π π cosα − sin α = 2 cos(α + ) = − 2 sin(α − ) 4 4 B. PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC Caùc böôùc giaûi moät phöông trình löôïng giaùc Böôùc 1: Tìm ñieàu kieän (neáu coù) cuûa aån soá ñeå hai veá cuûa pt coù nghóa Böôùc 2: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông ñeå bieán ñoåi pt ñeán moät pt ñaõ bieát caùch giaûi Böôùc 3: Giaûi pt vaø choïn nghieäm phuø hôïp ( neáu coù) Böôùc 4: Keát luaän I. Ñònh lyù cô baûn: ( Quan troïng ) sinu=sinv cosu=cosv ⎡ u = v+k2π ⇔ ⎢ ⎣ u = π -v+k2π ⎡ u = v+k2π ⇔ ⎢ ⎣ u = -v+k2π tgu=tgv ⇔ u = v+kπ cotgu=cotgv ⇔ u = v+kπ (u;v ≠ π + kπ ) 2 (u;v ≠ kπ ) ( u; v laø caùc bieåu thöùc chöùa aån vaø k ∈ Z ) Ví duï : Giaûi phöông trình: π 3π 4 4 1 4. sin 4 x + cos4 x = (3 − cos 6 x ) 4 1. sin 3 x = sin( − 2 x ) 4 2. cos( x − 3. cos 3 x = sin 2 x II. Caùc phöông trình löôïng giaùc cô baûn: 1. Daïng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m Neáu m > 1 thì pt(1) voâ nghieäm • Neáu m ≤ 1 thì ta ñaët m = sin α vaø ta coù ⎡ x = α +k2π (1) ⇔ sinx=sinα ⇔ ⎢ ⎣ x = (π -α )+k2π * Gpt : cosx = m (2) 39 ) = cos ( ∀m ∈ R ) * Gpt : sinx = m (1) • π • Neáu m > 1 thì pt(2) voâ nghieäm • Neáu m ≤ 1 thì ta ñaët m = cos β vaø ta coù ⎡ x = β +k2π (2) ⇔ cosx=cosβ ⇔ ⎢ ⎣ x = − β +k2π * Gpt: tgx = m (3) ( pt luoân coù nghieäm ∀m ∈ R ) • Ñaët m = tg γ thì (3) ⇔ tgx = tgγ ⇔ x = γ +kπ * Gpt: cotgx = m (4) • ( pt luoân coù nghieäm ∀m ∈ R ) Ñaët m = cotg δ thì (4) ⇔ cotgx = cotgδ ⇔ x = δ +kπ Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät: sin x = −1 ⇔ x = − sinx = 0 ⇔ x = kπ sin x = 1 ⇔ x = cosx = 0 ⇔ x= π 2 + k 2π π + k 2π 2 cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π cos x = 1 π + kπ 2 ⇔ x = k 2π Ví duï: 1) Giaûi caùc phöông trình : a) sin 2 x = 1 2 π 2 b) cos( x − ) = − 4 2 π d) 2 cos( x + c) 2 sin(2 x − ) + 3 = 0 6 e) sin 2 x + cos 2 x = 1 π )− 3 =0 3 f) cos 4 x + sin 4 x = cos 2 x 2) Giaûi caùc phöông trình: a) 1 + cos4 x − sin 4 x = 2 cos 2 x c) 4(sin 4 x + cos 4 x) + sin 4 x − 2 = 0 1 d) sin3 x.cos x − cos3 x.sin x = 4 b) sin 6 x + cos6 x = cos 4 x x e) cot gx + sin x(1 + tgx.tg ) = 4 2 40 2. Daïng 2: a sin 2 x + b sin x + c = 0 a cos2 x + b cos x + c = 0 ( a ≠ 0) atg 2 x + btgx + c = 0 a cot g2 x + b cot gx + c = 0 Caùch giaûi: Ñaët aån phuï : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx) Ta ñöôïc phöông trình : at 2 + bt + c = 0 (1) Giaûi phöông trình (1) tìm t, roài suy ra x Chuù yù : Phaûi ñaët ñieàu kieän thích hôïp cho aån phuï (neáu coù) Ví duï : 5 =0 2 d) 2 cos x cos 2 x = 1 + cos 2 x + cos3 x a) 2 cos2 x + 5sin x − 4 = 0 b) cos 2 x − 4 cos x + c) 2 sin 2 x = 4 + 5 cos x e) sin 4 x + cos4 x = sin 2 x − 1 2 f) 2(sin 4 x + cos 4 x) − cos( x x + cos4 = 1 − 2sin x 2 2 6 2(cos x + sin 6 x) − sin x. cos x g) sin 4 k) 3. Daïng 3: 2 − 2 sin x a cos x + b sin x = c (1) • =0 l) 5(sin x + a a2 + b2 = cos α vaø ( a;b ≠ 0) b (2) ⇔ cosx.cosα + sinx.sinα = ⇔ cos(x-α ) = c 2 a +b Pt (3) coù daïng 1. Giaûi pt (3) tìm x. (2) = sin α vôùi α ∈ [ 0;2π ) thì : a2 + b 2 − 2 x) = 0 cos 3x + sin 3x ) = cos 2 x + 3 1 + 2 sin 2 x Chia hai veá cuûa phöông trình cho a2 + b2 thì pt a b c (1) ⇔ cos x + sin x = a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 Ñaët 2 h) sin 4 x + cos 4 x + sin x. cos x = 0 Caùch giaûi: • π 2 41 c a2 + b 2 (3) Chuù yù : Pt acosx + bsinx = c coù nghieäm ⇔ a2 + b2 ≥ c2 Ví duï : Giaûi caùc phöông trình : a) cos x + 3 sin x = −1 b) cos x + 3 sin x = 2 1 d) tgx − 3 = cos x c) 4(sin 4 x + cos4 x ) + 3 sin 4 x = 2 e) d. Daïng 4: cos x − sin 2 x = 3 2 cos 2 x − sin x − 1 a sin 2 x + b sin x.cos x + c cos2 x = 0 (a;c ≠ 0) (1) Caùch giaûi 1: 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x vaø cos2 x = 2 2 1 vaø coâng thöùc nhaân ñoâi : sin x.cos x = sin 2 x thay vaøo (1) ta seõ bieán ñoåi pt (1) veà daïng 3 2 Aùp duïng coâng thöùc haï baäc : sin 2 x = Caùch giaûi 2: ( Quy veà pt theo tang hoaëc cotang ) Chia hai veá cuûa pt (1) cho cos2 x ta ñöôïc pt: atg2 x + btgx + c = 0 Ñaây laø pt daïng 2 ñaõ bieát caùch giaûi Chuù yù: Tröôùc khi chia phaûi kieåm tra xem x = π + kπ coù phaûi laø nghieäm cuûa (1) khoâng? 2 Ví duï : Giaûi phöông trình: 3 sin 2 x + (1 − 3 ) sin x. cos x − cos 2 x + 1 − 3 = 0 d. Daïng 5: a(cos x + sin x ) + b sin x.cos x + c = 0 Caùch giaûi : π (1) Ñaët t = cos x + sin x = 2 cos( x − ) vôùi - 2 ≤ t ≤ 2 4 t2 − 1 Do (cos x + sin x )2 = 1 + 2sin x.cos x ⇒ sinx.cosx= 2 • Thay vaøo (1) ta ñöôïc phöông trình : t2 − 1 at + b + c = 0 (2) 2 • 42 • Giaûi (2) tìm t . Choïn t thoûa ñieàu kieän roài giaûi pt: π 2 cos( x − ) = t tìm x. 4 Ví duï : Giaûi phöông trình : sin 2 x − 2 2(sin x + cos x ) − 5 = 0 Chuù yù : a(cos x − sin x ) + b sin x.cos x + c = 0 Ta giaûi töông töï cho pt coù daïng : Ví duï : Giaûi phöông trình : sin 2 x + 4(cos x − sin x ) = 4 4. Caùc phöông phaùp giaûi phöông trình löôïng giaùc thöôøng söû duïng : a. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà moät trong caùc daïng pt löôïng giaùc cô baûn ñaõ bieát Ví duï: Giaûi phöông trình: 3 sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x − = 0 2 b. Phöông phaùp 2: Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà daïng tích soá Cô sôû cuûa phöông phaùp laø döïa vaøo caùc ñònh lyù sau ñaây: ⎡ A=0 A.B = 0 ⇔ ⎢ ⎣ B=0 hoaëc A.B.C = 0 Ví duï : Giaûi caùc phöông trình : a. sin 2 x + sin2 2 x + sin2 3 x = 2 ⎡ A=0 ⇔ ⎢⎢ B=0 ⎢⎣C=0 b. sin 2 3 x − cos2 4 x = sin 2 5 x − cos2 6 x c. 2 sin3 x + cos 2 x − cos x = 0 d. sin 2 x + 2 2 cos x + 2 sin( x + π 4 )+3= 0 c. Phöông phaùp 3: Bieán ñoåi pt veà daïng coù theå ñaët aån soá phuï Moät soá daáu hieäu nhaän bieát : * Phöông trình chöùa cuøng moät moät haøm soá löôïng giaùc ( cuøng cung khaùc luõy thöøa) Ví duï : Giaûi caùc phöông trình : a. cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0 b. 4 cos 3 x − cos 2 x − 4 cos x + 1 = 0 1 c. 2 cos 2 x − 8cos x + 7 = cos x 4 2 d. sin x + cos 2 x = 2 * Phöông trình coù chöùa (cos x ± sin x ) vaø sinx.cosx 3 Ví duï : Giaûi phöông trình : a. 1 + sin3 x + cos3 x = sin 2x 2 3 3 b. sin x + cos x = 2(sin x + cos x) − 1 43 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN DAÏNG 1: Giaûi phöông trình löôïng giaùc Söû duïng 1 trong 3 phöông phaùp sau • Bieán ñoåi phöông trình veà daïng phöông trình löôïng giaùc cô baûn • Bieán ñoåi phöông trình veà daïng phöông trình tích soá • Bieán ñoåi phöông trình veà daïng coù theå ñaët aån soá phuï chuyeån veà phöông trình ñaïi soá Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc sau π 7x 3x x 5x 1) sin 2 x + 2 2 cos x + 2 sin( x + ) + 3 = 0 2) sin cos + sin cos + sin 2 x cos 7 x = 0 4 2 2 2 2 3) cos 2 ( x + π ) + cos 2 (2 x + 2 x x cos 4 − sin 4 2 2 = 4) sin 2 x π 2 ) + cos 2 (3x − π 2 ) = 3. cos 1 + sin 2 x 2 sin ( x + 2 6) 2 sin x + cos x = sin 2 x + 1 π 4 π 6 5) cos 7 x + sin 8 x = cos 3 x − sin 2 x ) Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc sau x π x 8. sin 2 ( − ).tg2 x − cos2 = 0 2 4 2 2 cos x (cos x − 1) = 2(1 + sin x ) 9. sin x + cos x 1 10. tg2 x − tgx = cos x.sin 3 x 3 1 11. 2 cos 2 x − 8cos x + 7 = cos x cos 2 x 1 12. cot gx − 1 = + sin 2 x − sin 2 x 1 + tgx 2 2 13. cot gx − tgx + 4sin 2 x = sin 2 x x 14. tgx + cos x − cos2 x = sin x.(1 + tgx.tg ) 2 1. 2sin3 x + cos 2 x + cos x = 0 π x 7 2. sin x.cos 4 x − sin 2 2 x = 4sin 2 ( − ) − 4 2 2 3. 9 sin x + 6 cos x − 3sin 2 x + cos 2 x = 8 sin 4 x + cos4 x 1 1 = cot g2 x − 5sin 2 x 2 8sin 2 x 2 (2 − sin 2 x )sin 3 x 5. tg 4 x + 1 = cos4 x 4. 6. 3 − tgx (tgx + 2sin x ) + 6 cos x = 0 7. cos 2 x + cos x.(2tg2 x − 1) = 2 DAÏNG 2: Phöông trình löôïng giaùc coù chöùa tham soá Söû duïng phöông phaùp sau • Choïn aån phuï thích hôïp vaø tìm ñieàu kieän ñuùng cho aån phuï vöøa choïn (tuøy thuoäc vaøo x) • Chuyeån phöông trình veà phöông trình ñaïi soá • Laäp luaän ñeå chuyeån baøi toaùn ñaõ cho theo aån phuï vöøa choïn • Söû duïng phöông phaùp giaûi tích hoaëc ñaïi soá ñeå tìm tham soá theo yeâu caàu cuûa ñeà baøi Baøi 1: Tìm m ñeå phöông trình sau coù nghieäm: 1 sin 4 x + cos 4 x − cos 2 x + sin 2 2 x + m = 0 4 1 1 1 Baøi 2: Ñònh m ñeå phöông trình : sin x + cos x + 1 + (tgx + cot gx + + )=m 2 sin x cos x 44 ⎛ π⎞ coù nghieäm x ∈ ⎜ 0; ⎟ ⎝ 2⎠ 4 2 Baøi 3: Cho haøm soá: 2( + cos 2 x) + m( − cos x) = 1 2 cos x cos x π Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm thuoäc (0; ). 2 3 Baøi 4: Cho phöông trình : + 3tg 2 x + m(tgx + cot gx) − 1 = 0 sin 2 x Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa m ñeå phöông trình coù nghieäm. Baøi 5: Xaùc ñònh m ñeå phöông trình : 2(sin 4 x + cos4 x) + cos 4x + 2sin 2x − m = 0 π coù ít nhaát moät nghieäm thuoäc ñoaïn [0; ] 2 Baøi 6: Cho phöông trình : sin 2 x − 4(cos x − sin x) = m (1) Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa m ñeå phöông trình (1) coù nghieäm. Baøi 7: Tìm m ñeå phöông trình : 4(sin 4 x + cos4 x) − 4(sin 6 x + cos6 x) − sin 2 4x = m coù nghieäm. Baøi 8: Cho phöông trình cos 4 x + 6 sin x cos x − m = 0 ⎡ π⎤ Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm x ∈ ⎢ 0; ⎥ . ⎣ 4⎦ Baøi 9: Tìm m ñeå phöông trình : 2 cos 2 x + (sin x. cos x − m)(sin x + cos x) = 0 ⎡ π⎤ coù nghieäm treân ñoaïn ⎢0; ⎥ ⎣ 2⎦ cos 6 x + sin 6 x Baøi 10: Cho phöông trình: = mtgx cos 2 x − sin 2 x Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình coù nghieäm Baøi 11: Cho phöông trình: sin 4 x + (sin x − 1) 4 = m Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình coù nghieäm π π Baøi 12: Tìm m ñeå phöông trình : 2 + 2sin 2x = m(1 + cos x)2 coù nghieäm x ∈ [− ; ] 2 2 --------------------------Heát-------------------------- 45