Tài liệu “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.”

  • Số trang: 38 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 211 |
  • Lượt tải: 0

Mô tả:

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. Chuyên đề: “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.” Môn: Toán Tổ : Toán - Lý - Tin Mã : 55 Người thực hiện: Phạm Văn Minh Điện thoại: 0166.817.9181 Email: phamvanminh.gvbinhson@vinhphuc.edu.vn Trường THPT Bình Sơn MỤC LỤC 1 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. Nội dụng Trang A. MỞ ĐẦU 3 I. Lí do chọn đề tài 3 II. Mục đích nghiên cứu 3 III. Đối tượng học sinh 3 IV.Dự kiến thời gian 3 B. NỘI DUNG 4 I. MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ 4 1. Ứng dụng đạo hàm xét tính đơn điệu của hàm số 4 2. Cực trị của hàm số 4 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và biểu thức 5 4. Một số Bất đẳng thức áp dụng trong đề tài 6 5. Các bước lập Bảng biến thiên của hàm số 7 6. Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức 7 II. CÁC VÍ DỤ 8 1.Sử dụng phương pháp hàm số chứng minh bất đẳng thức 8 Dạng 1. Bất đẳng thức chỉ có 1 ẩn 8 Dạng 2. Bất đẳng thức có nhiều ẩn 9 2.Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 15 Dạng 1. Biểu thức chứa 2 ẩn 15 Dạng 2. Biểu thức chứa 3 ẩn 24 III. BÀI TẬP 32 C. KẾT QUẢ SAU KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI 38 D. ĐỀ XUẤT VÀ KIẾN NGHỊ 38 E. TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 Trường THPT Bình Sơn 2 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. A.PHẦN MỞ ĐẦU I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu để viết chuyên đề tôi lựa chọn viết chuyên đề này vì các lý do sau: - Xu hướng ra đề thi đại học những năm gần đây, ở câu bất đẳng thức người ra đề thường ra bài toán mà có thể giải bằng nhiều cách giải. Và sử dụng phương pháp hàm số là một trong những cách giải của bài toán. - Trong quá trình giảng dạy và tìm tòi tài liệu tôi nhận thấy tài liệu về: “Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức” còn rất ít và trình bày rời rạc, chưa thành hệ thống. - Thực tế giảng dạy cho thấy, học sinh rất cần có một tài liệu trình bày có hệ thống về: “Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức” để các em có thể học tập tốt hơn. Đồng thời tài liệu cũng có thể giúp cho các giáo viên bồi dưỡng chuyên môn nâng cao khả năng của bản thân. Chính vì những lý do, tôi quyết định viết chuyên đề về: “Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức”. II.MỤC ĐÍCH Chuyên đề viết ra nhằm đạt các mục đích sau: - Chuyên đề là tài liệu dạy và học trong việc ôn thi đại học cao đẳng, đồng thời cùng dùng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi. - Chuyên đề giúp giáo viên nâng cao chuyên môn. - Chuyên đề nhằm phát triển và rèn luyện tư duy hàm cho học sinh. - Đồng thời mong muốn thông qua chuyên đề học sinh có thể nâng cao được điểm thi đại học cao đẳng. III.ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH - Đối tượng dạy học của chuyên đề là học sinh lớp 12A1, 12A2 của trường THPT Bình Sơn. IV.THỜI GIAN DẠY CHUYÊN ĐỀ - Dự kiến thời lượng giảng dạy chuyên đề là : 9 tiết. Trường THPT Bình Sơn B.NỘI DUNG 3 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. I. MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ 1.Ứng dụng đạo hàm xét tính đơn điệu của hàm số 1.1. Định nghĩa: Cho hàm số f ( x) xác định trên khoảng K. Khi đó *) f ( x) gọi là đồng biến trên K nếu với mọi x1 , x2 �K mà x1  x2 ta đều có f ( x1 )  f ( x2 ). *) f ( x) gọi là nghịch biến trên K nếu với mọi x1 , x2 �K mà x1  x2 ta đều có f ( x1 )  f ( x2 ). Các hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng còn được gọi chung là các hàm đơn điệu trên khoảng đó. 1.2. Định lý ( Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó *) Nếu f ( x) �0 x �(a; b) (và dấu = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì f ( x) đồng biến trên (a; b) . *) Nếu f ( x) �0 x �(a; b) (và dấu = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì f ( x) nghịch biến trên (a; b) . 1.3. Điểm tới hạn của hàm số Điểm x0 được gọi là điểm tới hạn của hàm số f ( x) nếu nó thuộc tập xác định của f ( x) và f '( x0 )  0 hoặc f '( x0 ) không xác định. Chú ý: Trên mỗi khoảng phân chia bởi hai điểm tới hạn kề nhau, đạo hàm của hàm số giữ nguyên một dấu. 2. Cực trị của hàm số 2.1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên tập D, x0 �D *) x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao cho (a;b) �D và f(x)f(x0), với mọi x0 �(a;b)\{x0}. Lúc đó, f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của f. - Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. - Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị của hàm số. - Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f. 2.2. Định lí 1 (Định lí Fecmart-Điều kiện cần để hàm số có cực trị) Nếu hàm số f có đạo hàm và đạt cực trị tại điểm x0 thì f’(x0) = 0. 2.3. Định lí 2 (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 1) Trường THPT Bình Sơn 4 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a;x0) và (x0;b). Khi đó: i) Nếu f’(x)<0, x �(a;x0 ) và f’(x) > 0 x �( x0 ;b) thì f đạt cực tiểu tại điểm x0 ii) Nếu f’(x)>0, x �(a;x0 ) và f’(x) < 0 x �( x0 ;b) thì f đạt cực đại tại điểm x0 Quy tắc 1 -Tìm tập xác định. -Tính f’(x). Tìm các điểm tới hạn. -Lập Bảng biến thiên. -Kết luận. 2.4. Định lí 3 (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 đồng thời f’(x0) = 0 và f’’(x0) �0. Khi đó i) Nếu f’’(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 ii) Nếu f’’(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 Quy tắc 2 -Tìm tập xác định. -Tính f’(x). Tìm các nghiệm xi của phương trình f’(x) = 0 -Tính f’’(x) và suy ra f’’(xi). o Nếu f’’(xi) < 0 thì f đạt cực đại tại xi o Nếu f’’(xi) > 0 thì f đạt cực tiểu tại xi Chú ý: Khi áp dụng qui tắc 2, ta chỉ tìm được các điểm cực trị là nghiệm của phương trình f’(x)=0, hơn nữa f’’(x) phải bằng khác 0. Ngoài các trường hợp trên, ta phải sử dụng qui tắc 1. 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và biểu thức 3.1. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số <1>Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên tập D. Khi đó - Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: �M �f ( x )x �D � x0 �D | f ( x0 )  M � f ( x)  f ( x0 ) . Kí hiệu: M  max D Trường THPT Bình Sơn 5 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. - Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: m �f ( x)x �D � � x0 �D | f ( x0 )  m � f ( x)  f ( x0 ) . Kí hiệu: m  min D <2>Các bước tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng: - Tính đạo hàm - Lập Bảng biến thiên - Dựa vào Bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất <3> Các bước tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a;b]: - Tính đạo hàm - Tìm các điểm tới hạn xi và tính các giá trị f (a), f (b), f ( xi ). - f ( x )  max  f (a ); f (b); f ( xi ) ; min f ( x)  min  f (a ); f (b); f ( xi ) Kết luận max [a ;b ] [a ;b ] 3.2. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Cho biểu thức n biến P  f ( x1 ; x2 ;...; xn ) xác định trên D  D1 �D2 �... �Dn , tức là xi �Di , i  1, n. Khi đó - Số M được gọi là giá trị lớn nhất của P trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: � �M �P, xi �Di , i  1, n � 0 xi �Di , i  1, n sao cho P  f ( x10 ; x20 ;...; xn0 )  M � f ( x1 ; x2 ;...; xn )  f ( x10 ; x20 ;....; xn0 ) . Kí hiệu: Pmax  M  max D - Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của P trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: � m �P, xi �Di , i  1, n � � 0 xi �Di , i  1, n sao cho P  f ( x10 ; x20 ;...; xn0 )  m � f ( x1 ; x2 ;...; xn )  f ( x10 ; x20 ;....; xn0 ) . Kí hiệu: Pmin  m  min D 4. Một số Bất đẳng thức áp dụng trong đề tài 4.1. Bất đẳng thức Cô si - Trường hợp 2 số: Với mọi x, y không âm, ta đều có: x  y �2 xy . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y. - Trường hợp 3 số: Với mọi x, y, z không âm, ta đều có: x  y  z �3 3 xyz . Bất đẳng thức Cô si được vận dụng nhiều trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cũng như các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Ta có thể khai thác, sử dụng các dạng Trường THPT Bình Sơn 6 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. thức khác nhau của bất đẳng thức này, chẳng hạn trường hợp ba số dương, ta có các dạng khác như: 3 1 1 1 3 9 �x  y  z � x  y  z �3xyz ;   � � ;� ��xyz;... x y z 3 xyz x  y  z � 3 � 3 3 3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. 4.2. Bất đẳng thức Bunhia-copxki Với 6 số thực bất kì: a1 , a2 , a3 ; b1 , b2 , b3 ta luôn có a1b1  a1b1  a1b1 �a1b1  a1b1  a1b1 �  a12  a22  a32  .  b12  b22  b32  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 : a2 : a3  b1 : b2 : b3 . 4.3. Các bất đẳng thức suy ra từ bình phương một biểu thức *) ( x  y) 2 �0 � x 2  y 2 �2 xy. Dấu bằng xảy ra khi x = y. *) ( x  y ) 2  ( y  z ) 2  ( z  x) 2 �0 � x 2  y 2  z 2 �xy  yz  zx . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. *) ( x  y )2  ( y  z )2  ( z  x) 2 �0 � ( x  y  z )2 �3( xy  yz  zx) 5. Các bước lập Bảng biến thiên của hàm số Việc lập Bảng biến thiên của hàm số là một khâu quan trọng trong quá trình giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số một biến trên khoảng hay nửa khoảng. Kỹ năng này học sinh đã được rèn luyện nhiều trong quá trình học lý thuyết, vì thời gian không nhiều nên trong đề tài này tôi chỉ đề cập tới kĩ năng chuyển bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến thành bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (một biến) và đưa ra bảng biến thiên để suy ra kết luận cuối cùng mà không trình bày chi tiết từng bước, đặc biệt là bỏ qua việc tìm giới hạn. Trong giảng dạy, yêu cầu học sinh phải lập bảng biến thiên với những bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng, còn với đoạn thì ta không cần lập bảng biến thiên. Các bước cơ bản để lập Bảng biến thiên bao gồm: Tìm tập xác định, tính đạo hàm, tìm các điểm tới hạn, các giới hạn cần thiết rồi hoàn thiện Bảng biến thiên. 6. Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức: - Đánh giá, biến đổi biểu thức, bất đẳng thức đưa về xét một hàm số. - Tìm khoảng đánh giá của hàm số. - Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng vừa tìm được. - Giải quyết bài toán ban đầu. II. CÁC VÍ DỤ Trường THPT Bình Sơn 7 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 1.Sử dụng phương pháp hàm số chứng minh bất đẳng thức Dạng 1. Bất đẳng thức chỉ có 1 ẩn - Đối với bất đẳng thức dạng này ta chuyển tất cả sang một vế và xét hàm số . Ví dụ 1. Chứng minh rằng: e x  cos x �2  x  x2 LG: Xét hàm số f ( x )  e  cos x  2  x  , 2 x x2 , 2 x �� x �� f '( x)  e x  sin x  1  x � f ''( x)  e x  cos x  1  0 , x �� � f '( x) là hàm số đồng biến và f '( x)  0 có tối đa một nghiệm. Kiểm tra thấy x  0 là nghiệm duy nhất của f '( x )  0 . Bảng biến thiên: Dựa vào BBT của f ( x) � f (� x) �� 0, x � ex cos x 2 x x2 , 2 x � 2 3 Ví dụ 2. Chứng minh rằng: x � 0;1 luôn có x  1  x 2  � 9 2 2 Lg: Xét hàm số: f  x  = x  1  x  ; x � 0;1 f '  x  = 1  3 x ; f '  x   0 � x  � 1 3 Bảng biến thiên: Trường THPT Bình Sơn 8 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 2 3 Từ đó suy ra: f  x  � ; x � 0;1 9 Dấu “=” xảy ra khi x  1 . 3 Dạng 2. Bất đẳng thức có nhiều ẩn - Đối với bất đẳng thức có 2 ẩn thì từ giả thiết ta biểu diễn 1 ẩn theo ẩn còn lại rồi thay vào bất đẳng thức để xét hàm số. - Đối với bất đẳng thức có nhiều hơn 2 ẩn thì sử dụng đánh giá tìm ra hàm số, ra khoảng của biến số để giải. Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu a, b, c  0 và a 2  b 2  c 2  1 thì a b c 3 3   � b2  c2 a 2  c 2 a 2  b2 2 Lg: 1 3 3 � Áp dụng ví dụ 2) ta có: 2 2 x1 x  x 1  x2 3 3x2 2 a b c a b c  2 2 2    2 2 2 2 b  c a  c a  b 1  a 1  b 1  c2 Do đó: 2 3 3a 2 3 3b 2 3 3c 2 3 3 2 3 3 �    a  b2  c2    2 2 2 2 2 Vậy a b c 3 3  2  2 � 2 2 2 b c a c a b 2 2 Dấu “=” xảy ra khi a  b  c  1 . 3 1 4 4 Ví dụ 4. Chứng minh rằng với x  y  1 thì x  y � . 8 Trường THPT Bình Sơn 9 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. Lg: Từ x  y  1 � y  1  x nên x 4  y 4  x 4   1  x  4 Xét hàm số: f  x   x 4   1  x  4 � f '  x   4 x3  4  1  x  3 ; f '  x   0 � x  1 . 2 Bảng biến thiên: 1 Từ đó suy ra: f  x  � 8 x �� 1 Dấu “=” xảy ra khi x  y  . 2 Ví dụ 5. Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn ( x  y )3  4 xy �2 . Chứng minh : 9 P  3( x 4  y 4  x 2 y 2 )  2( x 2  y 2 )  1 � 16 3 4 xy � 2 2�( x Lg: Ta có ( x �y)�� y )3 (x y )2 x y 1 x2 y2 1 2 P  3( x 4  y 4  x 2 y 2 )  2( x 2  y 2 )  1 2 3 3  x 2  y 2  x 4  y 4  2( x 2  y 2 )  1 2 2 2 9 � x 2  y 2  2( x 2  y 2 )  1 4  Đặt  t  x2     y2 t   1 9 . Khi đó: P � .t 2  2t  1 2 4 9 1 Xét hàm số: f (t )  .t 2  2t  1 với t � . 4 2 9 f '(t )  .t  2 �0 2 1 t � � Suy ra hàm số đồng biến trên 2 Trường THPT Bình Sơn 10 1 � � ; �� � 2 � � GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. �1 � 9 P  f� (t )� f � � �2 � 16 P 9 (ĐPCM) 16 1 2 �1 1 1 � Ví dụ 6. Chứng minh rằng:  x  y  z  �   ��12 với mọi số thực x, y, z � 1;3 �x y z � Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y  �� (3  x)(��� x 1)  0  Lg: Ta có : x �  1;3  �� Tương tự : x2 4x 3 0 4 x 3 x 0 1 x 4 x 3 1 4 y 1 4 z � ; � y 3 z 3 �1 1 1 � �4  x 4  y 4  z �   Suy ra: P   x  y  z  �   �� x  y  z  � � 3 3 � �3 �x y z � 2 x  y  z   P �4  x  y  z  3 Đặt t  x  y  z � t � 3;9 Khi đó : P �f (t )  4t  f '(t )  4  t2 t2 . Xét hàm số : f (t )  4t  với t � 3;9 3 3 2t ; f '(t )  0 � t  6 3 f (3)  f (9)  9; f (6)  12  f (t ) f (6) 12 với mọi t � 3;9 �1 1 1 � Vậy  x  y  z  �   ��12 (ĐPCM) �x y z � Ví dụ 7. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2  b2  c 2  1 , ta có: a5  2a3  a b5  2b3  b c5  2c3  c 2   � b2  c 2 c2  a2 a2  b2 3 Lg: Do a, b, c  0 , a 2  b 2  c 2  1 � a, b, c �(0;1)   5 3 a a2  1 a  2 a  a Ta có:  b2  c 2 1  a2  2  a3  a      3 3 3 Bất đẳng thức trở thành: a  a  b  b  c  c � Trường THPT Bình Sơn 11 2 3 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 3 Xét hàm số : f ( x)   x  x với x � 0;1 1 3 f '(t )  3 x 2  1; f '( x)  0 � t  Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra : Max f ( x)  (0;1)      2 3 3  3 3 3 Suy ra: a  a  b  b  c  c � Đẳng thức xảy ra � a  b  c  2 3 (ĐPCM) 1 3 Ví dụ 8. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c  1 . 7 Chứng minh rằng: ab  bc  ca  2abc � . 27 Lg: Ta có ab  bc  ca  2abc  a(b  c)  (1  2a)bc  a(1  a )  (1  2a)bc . (b  c) 2 (1  a) 2 Đặt t = bc thì ta có 0 �t  bc � .  4 4 � (1  a) 2 � 0; Xét hs f (t )  a(1  a)  (1  2a)t trên đoạn � �. 4 � � 2 ( a  1  a ) 1 7 Có f (0)  a (1  a ) �   4 4 27 2 �(1  a) 2 � 7 1 1 � 1� 7  (2a  ) � a  �� với mọi a � 0;1 và f � � 3 � 3 � 27 � 4 � 27 4 Trường THPT Bình Sơn 12 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. � 1� 0;  f (t ) Với a �� � 2� � 7 27 f (0) �(1  a) 2 � 7 f� � � 4 � 27 1 � � Với a �� ;1��f (t ) 2 � � 7 Vậy ab  bc  ca  2abc � . Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/3 27 Ví dụ 9. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  0 . Chứng minh rằng: 3 x y 3 y z zx 3  6 x 2  6 y 2  6 z 2 �3 (Đề thi ĐH khối B năm 2012) Lg: t Trước tiên, ta đi chứng minh f '  t   3 ln t  1  0; t �0(*) t Thật vậy: Xét hàm số f  t   3  t  1; t �0 f '  t   3t ln t  1  0; t �0 . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng  f  t f  t 0 Áp dụng (*) ta có: 3  0;� Dấu bằng xảy ra khi t  0 x y 3 yz 3 z x �x  y  y  z  z  x  3 Áp dụng BĐT: a  b �a  b , ta được:  x y  yz  zx  2 2 2 2  x  y  y  z  z  x  2. x  y . y  z  2. x  y . z  x  2. y  z . z  x  2 2 �2. x  y  y  z  z  x 2   2 2 Do đó: x  y  y  z  z  x � 2 x  y  y  z  z  x 2   6 x2  6 y 2  6 z 2  2  x  y  z   6x2  6 y 2  6z 2 2 Vậy 3 x  y  3 y  z  3 z  x  6 x 2  6 y 2  6 z 2 �3 Dấu bằng xảy ra khi x  y  z  0 Ví dụ 10. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  0 và x 2  y 2  z 2  1 . Trường THPT Bình Sơn 13 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. Chứng minh rằng: 5 x5  y 5  z 5 � 6 6 (Đề thi ĐH khối B năm 2012) Lg: Ta có: 0   x  y  z   x 2  y 2  z 2  2 x  y  z   2 yz  1  2 x 2  2 yz � yz  x 2  2 y 2  z 2 1  x2 Mặt khác, ta có: yz ��� ��� �x 2 2 2 1 2 1  x2 2 3x 2 2 2 3 x 1 2 2 3 5 5 5 5 2 2 3 3 2 2 Khi đó: x  y  z  x   y  z   y  z   y z  y  z   2 3 � 1� 5  x  1 x  �  �x 2  �x   2 x 3  x   f  x  �y  z   3 yz  y  z  � � � 2� 4 5 2 Xét hàm số f  x   ta có f '  x   � 2 2� 5 3 x �  ; 2 x  x với   � � 4 � 3 3� 15 2 5 1 x  ; f ' x   0 � x  � 2 4 6 Bảng biến thiên � 2 2� 5 ; x ��  ; Từ đó suy ra: f  x  � � 6 6 � 3 3� Trường THPT Bình Sơn 14 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 1 2 � x  y   ; z  � 6 6 � 1 2 1 � x ;y  ;z   Dấu bằng xảy ra khi � 6 6 6 � 2 1 1 � x ;y  ;z   � 6 6 6 � Ví dụ 11. Cho 4 số thực a, b, c, d thỏa mãn: a 2  b 2  1; c  d  3 . 96 2 CM: F  ac  bd  cd � 4 LG: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki và giả thiết ta có:    F � a 2  b 2 c 2  d 2  cd  2d 2  6d  9  d 2  3d  f (d ) 1  2  d  3  2 Ta có: f '(d )  (2d  3) 2 d 2  6d  9 9 2 ; f '(d )  0 � d   3 2 Bảng biến thiên: � 3� 96 2  � Dựa vào BBT ta suy ra được : f (d ) �f � 4 � 2� Dấu “=” xảy ra khi a  1 1 3 3 ;b   ;c  ; d   2 2 2 2 2. Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Dạng 1. Biểu thức chứa 2 ẩn Ví dụ 12. Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 4( x  y )  5  0 . Tìm giá 4 1 trị nhỏ nhất của biểu thức S   x 4y Trường THPT Bình Sơn 15 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. LG: Ta có : 4( x  y )  5  0 � y  Đặt f ( x)  f '( x)   5  4x 20  15 x �S  4 x(5  4 x) với 0  x  5 4 20  15 x 5 với 0  x  x(5  4 x) 4 4 25  40 x  15 x 2 2 x (5  4 x) 2  ; f '( x)  0 � x  1; x  5 3 Bảng biến thiên: Dựa vào BBT � minS = 5 đạt được khi x  1, y  4 �y �0 Ví dụ 13. Cho các số thực x, y thỏa mãn �2 �x  x  y  12 của biểu thức P  xy  x  2 y  17 . . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Lời giải: Theo giả thiết, ta có y  x 2  x  12 �0 � x �[  4;3]. Khi đó, P  x3  3 x 2  9 x  7 , suy ra x  3 � P '( x )  3 x 2  6 x  9.P '( x)  0 � � x 1 � � x  3; y  6 � �Pmax  20 � � x  3; y  0 Từ đó suy ra � � �P  12 � x  1; y  10. �min Ví dụ 14. Cho các số thực x, y thỏa mãn  x  4    y  4   2 xy �32. Tìm GTNN của biểu 3 3 thức P  x  y  3  xy  1 ( x  y  2). 2 4 Lời giải: Theo giả thiết ta có  x  4    y  4   2 xy �32 �  x  y   8  x  y  �0 � x  y �[0;8] . 2 Trường THPT Bình Sơn 4 2 16 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 3 2 2 3 3 3 P  x  y  3  xy  1  x  y  2    x  y   6 xy  3  x  y   6 Lại có 4 xy � x  y  � 6 xy �  x  y  . Do đó 2 � x  y   3 3 2  x  y   3 x  y   6 2 3 2 Đặt t  x  y � t �[0;8]. Xét hàm số f (t )  t 3  t 2  3t  6 , ta có 1 5 , vì t thuộc đoạn [0;8]. Ta có 2 � 1  5 � 17  5 5 f  0   6; f  8   398; f � Suy ra � 2 � � 4 � � f '(t )  3t 2  3t  3. f '(t )  0 � t  Pmin  min f (t )  [0;8] 17  5 5 1 5 1 5 �t �x y . 4 2 4 Ví dụ 15. Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy �y  1 . Tìm giá trị x y x  2y  lớn nhất của biểu thức P  2 x  xy  3 y 2 6( x  y ) ( Đề thi đại học khối D năm 2013) 2 x y  1 1 �1 1 � Lg: Do x, y  0, xy �y  1 � 0  � 2   �  � y 4 �y 2 � y Đặt t  t 1 t 2 x 1  � 0  t � . Khi đó : P  2 y 4 t  t  3 6(t  1) Xét f (t )  Ta có: t 1 t2  t  3  t2 1 với 0  t � 6(t  1) 4 7  3t f '(t )  2 t 2 t 3  3  1 � 1�  0  t � 0; � � 2(t  1) 2 � 4� �1 � 5 7  Do đó : P  f (t ) �f � � �4 � 3 30 Vậy : m ax P  �x  1 / 2 5 7  �� 3 30 �y  2 x Ví dụ 16. Cho hai số thực x, y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  Trường THPT Bình Sơn 17 3    y3  x2  y 2 ( x  1)( y  1)  GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. LG: Đặt t  x  y ; t  2 . Áp dựng BĐT 4 xy (� x y)2 xy t2 4 t 3  t 2  xy (3t  2) t2 Ta có: P  . Do t  2;3t  2  0 và  xy � xy  t  1 4 t2 t  t  (3t  2) t2 4  Suy ra: P � t 2 t2  t 1 4 3 2 t 2  4t t2 f '( t )  ; f '(t )  0 � t  0 �t  4 Xét hàm số f (t )  với t > 2. Ta có : 2 t2  t  2 Lập bảng biến thiên f (t )  8 � min P  8 � x  y  2 Suy ra : min 2;� Ví dụ 17. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn : x 2  xy  y 2  1 . Tìm giá trị lớn nhất và x4  y 4  1 nhỏ nhất của biểu thức: P  2 x  y2  1 LG: Từ giả thiết suy ra: 1  x 2  xy  y 2  ( x  y ) 2  xy �xy 1  x 2  xy  y 2  ( x  y ) 2  3xy �3xy 1 Từ đó suy ra:  �xy �1 3 Mặt khác : x 2  xy  y 2  1 � x 2  y 2  1  xy � x 4  y 4  1  2 xy  x 2 y 2 Trường THPT Bình Sơn 18 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 2 1 t  2t  2 1 Đặt t  xy �  �t �1. Khi đó: P  f (t )  ;  �t �1 3 t2 3 f '(t )  t 2  4t  2  t  2 2 � t  62 ; f '(t )  0 � � t   6  2 (l ) � Bảng biến thiên: Từ BBT suy ra: max P  f ( 6  2)  6  2 6 � 1 � 11 min P  f �  � � 3 � 15 Ví dụ 18. Cho các số thực x, y khác không và thỏa mãn ( x  y ) xy  x 2  y 2  xy . Tìm giá trị 1 1 lớn nhất của biểu thức P  x3  y 3 . Lời giải:   Đặt  s  x y; p x. y p 0. Theo giả thiết s. p  s 2  3 p � p  s2 (dễ thấy s �3 ). s3 Khi đó x, y là các nghiệm của phương trình X 2  sX  p  0 , nên để x, y tồn tại ta phải có s 2 �۳۳� 4p s2 4s 2 s3 s 1 s3 0 s �1 � . � s  3 � 2 2 t 3 x3  y 3 ( x  y )( x 2  y 2  xy ) �x  y � �s  3 � � Mặt khác: P  3 3  � � �. Xét hàm số f (t )  t , với 3 3 x y x y � xy � � s � 3 t �(�; 3) �[1; �) . Ta có f '(t )   2  0 . Bảng biến thiên t Trường THPT Bình Sơn 19 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 1 2 2 Suy ra f (t ) �(0;1) �(1; 4] . Từ đó P   f (t ) �16 � Pmax  16 � x  y  . x Ví dụ 19. Cho x,y  R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P  3    y3  x2  y 2 ( x  1)( y  1)  Lg : Đặt t = x + y ; t > 2. t2 Áp dụng BĐT 4xy  (x + y)2 ta có xy � 4 t 3  t 2  xy (3t  2) P . xy  t  1 t 2 (3t  2) t t  t2 t2 4  Do 3t - 2 > 0 và  xy � nên ta có P � t2 t2 4  t 1 4 3 Xét hàm số f (t )  2 t2 t 2  4t ; f '(t )  ; f’(t) = 0  t = 0 v t = 4. t2 (t  2)2 x  y  4 �x  2 min f (t ) = f(4) = 8 đạt được khi � �� Do đó min P = (2; � �) xy  4 � �y  2 Ví dụ 20. Cho x  0, y  0, x  y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x y  1 x 1 y �� 2 2 0; �khi đó Lg: Đặt x  cos a; y  sin a � a �� � 2� Trường THPT Bình Sơn 20 GV: Phạm Văn Minh
- Xem thêm -