Tài liệu Sự tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất xúc tác - ức chế

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG THẾ TUẤN SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT HỆ PHẢN ỨNG CÁC CHẤT XÚC TÁC - ỨC CHẾ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn: TS. Lê Huy Chuẩn Hà Nội - 2011 Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1 Không gian các hàm nhận giá trị trong một không gian Banach . . . . 1 1.1.1 Không gian các hàm khả vi liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Không gian các hàm liên tục Holder . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Không gian các hàm liên tục Holder có trọng . . . . . . . . . . . 3 1.1.4 Không gian các hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Hạn chế của toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Tập giải thức, tập phổ và Tích phân Dunford . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.4 Nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Nội suy không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Không gian và các toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Không gian liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.3 Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Ngoại suy không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Toán tử tuyến tính liên kết với dạng tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . 12 1.6.1 Dạng tựa tuyến tính và toán tử liên kết . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6.2 Dạng liên hợp và toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Không gian Sobolev-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7.1 Biên của miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7.2 Không gian Sobolev với cấp nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 1.7 1.7.3 1.7.4 1.7.5 n Không gian Sobolev-Lebesgue trong R . . . . . . . . . . . . . . Không gian Sobolev-Lebesgue trong Rn+ 15 hoặc trong một miền bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Các định lí nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i 1.7.6 Vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7.7 Không gian H̊ps (Ω) và H−s p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7.8 Không gian tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Toán tử quạt, hàm mũ và toán tử lũy thừa 2.1 2.2 2.3 20 Toán tử quạt và vài tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1 Định nghĩa toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 Toán tử quạt liên kết với một dạng tựa tuyến tính . . . . . . . . 21 2.1.3 Toán tử quạt trong không gian L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.4 Tính chất chuyển trong L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 Nửa nhóm giải tích sinh bởi một toán tử quạt . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính . . . 29 Toán tử lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.1 Toán tử lũy thừa và nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.2 Miền của một toán tử elliptic lũy thừa trong L2 . . . . . . . . . 32 2.3.3 Nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . 33 3 Sự tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế 36 3.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Nghiệm địa phương không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4.1 Uớc lượng dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4.2 Đánh giá tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4.3 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4.4 Ước lượng toàn cục. 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tài liệu tham khảo 48 ii Lời mở đầu Một trong những cách tiếp cận hệ thống để nghiên cứu các phương trình, hệ phương trình vi phân với biến thời gian là lý thuyết nửa nhóm. Lý thuyết này dựa trên những kết quả về nửa nhóm giải tích được phát triển vào những năm 50 của thế kỉ trước. Điểm nổi bật trong cách tiếp cận này là cho công thức tổng quát biểu diễn nghiệm. Chẳng hạn, nửa nhóm giải tích e−tA sinh bởi toán tử tuyến tính −A là một nghiệm cơ bản dU + AU = của Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính ô-tô-nôm, dt F (t), 0 < t ≤ T ; U (0) = U0 và nghiệm tổng quát của nó được cho bởi công thức Rt U (t) = e−tA U0 + 0 e−(t−s)A F (s)ds. Không chỉ vậy, mỗi nghiệm của Bài toán Cauchy dU đối với phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, + AU = F (U ), 0 < t ≤ T ; U (0) = U0 dt Rt cũng là một nghiệm của phương trình tích phân U (t) = e−tA U0 + 0 e−(t−s)A F (U (s))ds. Những công thức nghiệm như thế cung cấp cho ta nhiều thông tin quan trọng về các nghiệm như tính duy nhất, tính chính quy tối đại, tính trơn ...v.v. Đặc biệt đối với các bài toán phi tuyến, ta có thể suy ra tính liên tục Lipchitz hoặc thậm trí đạo hàm Frechet của nghiệm theo giá trị ban đầu. Từ đó xây dựng được hệ động lực xác định bởi Bài toán Cauchy; nghiên cứu được dáng điệu tiệm cận của nghiệm; chỉ ra sự tồn tại của tập hút; nghiên cứu được tính ổn định hoặc không ổn định của nghiệm dừng; xây dựng được đa tạp trơn ổn định hoặc không ổn định ...v.v. thậm trí bằng phương pháp giải gần đúng ta có thể thu được lời giải số của nghiệm. Luận văn này sử dụng lý thuyết nửa nhóm giải tích để chứng minh tính tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế. Chúng tôi chia luận văn ra làm ba chương. Chương 1 nói về một số không gian hàm nhận giá trị trong một không gian Banach, những nét khái quát nhất về các không gian Sobolev, về toán tử tuyến tính, không gian liên hợp và toán tử liên hợp. Chúng tôi cũng giới thiệu ở đây khái niệm và một số tính chất nội suy, ngoại suy của một không gian Banach. Chương 2 giành để nói về toán tử quạt, hàm mũ và toán tử lũy thừa. Chúng tôi đề cập đến ở đây khái niệm toán tử quạt liên kết với một dạng tựa tuyến tính và nghiên cứu tính chất chuyển của toán tử này trong L2 . Ngoài ra sự tồn tại nghiệm của Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa tuyến tính, nửa tuyến tính cũng được phát biểu. Chương 3 trình bày những kết quả nghiên cứu mới về sự tồn tại nghiệm toàn cục của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế. Bằng cách sử dụng lý thuyết nửa nhóm giải tích, chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm toàn cục của hệ phản ứng iv các chất Xúc tác-Ức chế trong một trường hợp riêng. Do thời gian và năng lực có hạn, một số điểm trình bày trong luận văn có thể còn thiếu xót. Tác giả mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy, các cô cũng như của các bạn đồng nghiệp. Hà nội, tháng 04 năm 2011 Hoàng Thế Tuấn v Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian các hàm nhận giá trị trong một không gian Banach Cho X là một không gian Banach với chuẩn || . ||. Ta sẽ giới thiệu một số không gian các hàm nhận giá trị trong X, xác định trên một khoảng của R hoặc một miền của C. Không gian các hàm bị chặn đều Cho [a, b] là một đoạn trong R. Xét không gian các hàm bị chặn đều trên [a, b], kí hiệu là B([a, b]; X). Trên B([a, b]; X) ta đưa vào chuẩn supremum kF k = sup kF (t)k. a≤t≤b Với chuẩn này B([a, b]; X) là một không gian Banach. 1.1.1 Không gian các hàm khả vi liên tục Cho [a, b] là một đoạn trong R và m = 0, 1, 2, ... là số nguyên không âm. Kí hiệu C ([a, b]; X) là không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp m trên [a, b]. Khi m = 0, m C0 ([a, b]; X) là không gian các hàm liên tục và thường được kí hiệu một cách đơn giản là C([a, b]; X). Trên Cm ([a, b]; X) ta sử dụng chuẩn sau kF kCm = m X i=0 max ||F (i) (t)||. a≤t≤b Với chuẩn này Cm ([a, b]; X) là một không gian Banach (xem [1, Tr. 10]). Sau đây là hai kết quả cơ bản. 1 Định lý 1.1.1. Cho A là một toán tử tuyến tính đóng trong X. Nếu F ∈ C([a, b]; X) và AF ∈ C([a, b]; X), thì Z b b Z AF (t)dt. F (t)dt = A a a Chứng minh. Xét một phân hoạch đoạn [a, b] bởi các điểm mốc a = t0 < t1 < ... < tN = b và lấy tổng N X (tn − tn−1 )F (τn ) với tn−1 ≤ τn ≤ tn . n=1 Rõ ràng A( N N X X (tn − tn−1 )F (τn )) = (tn − tn−1 )AF (τn ). n=1 n=1 Cho N → ∞ với điều kiện max1≤n≤N (tn − tn−1 ) → 0, ta được Rb Rb A a F (t)dt = a AF (t)dt. Rb a F (t)dt ∈ D(A) và Định lý 1.1.2. Cho a ∈ C([0, T ], R) và f ∈ C([0, T ], R). Nếu u ∈ C([0, T ], R) ∩ C1 ((0, T ], R) và thỏa mãn bất đẳng thức vi phân du + a(t)u ≤ f (t), 0 < t ≤ T, dt thì Z u(t) ≤ e− Rt 0 t a(τ )dτ e− u(0) + Rt s a(τ )dτ f (s)ds, (1.1) 0 < t ≤ T. 0 Nói riêng, nếu a(t) ≡ δ > 0 và f (t) ≡ f > 0 thì u(t) ≤ e−δt u(0) + f δ −1 , 0 < t ≤ T. Chứng minh. Với mỗi t cố định, ta có Rt Rt Rt  d u(s)e− s a(τ )dτ = [u0 (s) + a(s)u(s)]e− s a(τ )dτ ≤ f (s)e− s a(τ )dτ . ds Lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức này theo s trên đoạn [0, t], ta thu được Z t R Rt − st a(τ )dτ u(t) − u(0)e f (s)e− s a(τ )dτ ds. ≤ 0 Từ (1.1) chúng ta có u(t) ≤ e − Rt 0 a(τ )dτ t Z e− u(0) + Rt s a(τ )dτ f (s)ds, 0 < t ≤ T. 0 Nói riêng, nếu a(t) ≡ δ > 0 thì u(t) ≤ e −δt Z u(0) + t e−δ(t−s) f (s)ds, 0 < t ≤ T. 0 Thêm vào đó, nếu f (t) ≡ f > 0 thì u(t) ≤ e−δt u(0) + f δ −1 , 2 0 < t ≤ T. 1.1.2 Không gian các hàm liên tục Holder Với m = 0, 1, 2, ... và một số mũ σ ∈ (0, 1), kí hiệu Cm+σ ([a, b]; X) là không gian các hàm khả vi liên tục m lần, có đạo hàm cấp m liên tục Holder trên [a, b] với số mũ σ. Trên Cm+σ ([a, b]; X) ta đưa vào chuẩn kF k Cm+σ = kF k Cm kF (m) (t) − F (m) (s)k + sup . |t − s|σ a≤s ω sao cho A − λ0 I là toán ánh. Khi đó A sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh {etA }t≥0 và ketA k ≤ eωt . Chứng minh. Xem chứng minh trong [10, Tr. 407]. 6 1.2.4 Nửa nhóm giải tích Cho X là không gian Banach. Một hàm U (z) nhận giá trị trong L(X), xác định trên miền quạt π 2 được gọi là một nửa nhóm giải tích trên X nếu nó thỏa mãn Σφ = {z ∈ C : | arg z| < φ}, 0 < φ < 1. U (z) là một hàm giải tích trong Σφ ; 2. U (z) thỏa mãn tính chất nửa nhóm U (z + z 0 ) = U (z)U (z 0 ) với mọi z, z 0 ∈ Σφ ; 3. Với bất kì φ0 sao cho 0 < φ0 < φ, U (z) hội tụ mạnh tới toán tử 1 trong X khi Σφ0 \ {0} 3 z → 0. Do tính chất thứ ba ở trên, ta định nghĩa được U (0) = 1. Vì nửa nhóm giải tích U (z) trong Σφ có thể mở rộng được lên một miền quạt rộng hơn (có góc φ lớn hơn), nên một cách tự nhiên ta xét supremum tập tất cả các góc của những hình quạt mà U (z) có thể mở rộng lên được. Ta gọi giá trị này là góc của nửa nhóm U (z) và kí hiệu nó là φU . Xét toán tử tuyến tính A đóng, xác định trù mật trong X, có phổ σ(A) thỏa mãn σ(A) ⊂ β + Σω , −∞ < β < ∞, 0 < ω < π . 2 (1.4) Ngoài ra, giả sử thêm rằng tồn tại hằng số Mω ≥ 1 sao cho k(λ − A)−1 k ≤ Mω , |λ − β| λ∈ / β + Σω . (1.5) Ta có định lý sau. Định lý 1.2.3. Cho A là toán tử đóng, xác định trù mật trong X, thỏa mãn (1.4) và (1.5). Khi đó, e−zA là một nửa nhóm giải tích xác định trong Σ π2 −ω , thỏa mãn ước lượng ke−zA k ≤ Cφ e−(β+δφ )|z| , z ∈ Σφ , 0 < φ < với các hằng số δφ > 0 và Cφ ≥ 1 chỉ phụ thuộc vào φ. Chứng minh. Xem trong [14, Tr. 119]. 7 π − ω, 2 (1.6) 1.3 Nội suy không gian Banach Với X0 , X1 là hai không gian Banach với các chuẩn tương ứng là k . kX0 , k . kX1 . Giả sử X1 được nhúng trù mật và liên tục vào X0 . Cho S là dải S = {z : 0 < Rez < 1} trong mặt phẳng phức C. Ta kí hiệu H(X0 , X1 ) là không gian tất cả các hàm giải tích như sau 1. F (z) là một hàm giải tích trong S, nhận giá trị trong X0 ; 2. F (z) là một hàm bị chặn, liên tục trong S̄, nhận giá trị trong X0 ; 3. F (z) là một hàm bị chặn, liên tục theo biến z = 1 + iy, nhận giá trị trong X1 . Trên H(X0 , X1 ) ta đưa vào chuẩn kF kH = max  sup −∞ ϕ(y 0 )}, ∂Ω ∩ V = {y = (y 0 , yn ) ∈ V ; yn = ϕ(y 0 )}; 3. kϕkC(V 0 ) ≤ c (tương ứng kϕkLip(V 0 ) ≤ c, hoặc kϕkCm (V 0 ) ≤ c) với một hằng số c > 0 nào đó. 14 1.7.2 Không gian Sobolev với cấp nguyên Cho Ω là một tập mở trong Rn . Với 1 ≤ p ≤ ∞ và k = 0, 1, 2, . . ., kí hiệu Hpk (Ω) là không gian các hàm u thuộc lớp Lp (Ω) sao cho các đạo hàm riêng Dα u đến cấp k đều thuộc Lp (Ω) theo nghĩa phân bố, ở đây α = (α1 , α2 , . . . , αn ) là một đa chỉ số và cấp của đạo hàm riêng Dα u là số |α| = α1 + α2 + . . . + αn . Ta trang bị cho Hpk (Ω) chuẩn X
1 kukHpk = kDα ukpLp p , u ∈ Hpk (Ω). |α|≤k Với chuẩn này Hpk (Ω) là một không gian Banach. Đặc biệt khi p = 2, H2k (Ω) là một không gian Hilbert với tích trong X hu, viH2k = hDα u, Dα viL2 , u, v ∈ H2k (Ω). |α|≤k  Trong trường hợp Ω là tập Rn+ = x = (x0 , xn ) : x0 ∈ Rn−1 , xn > 0 hoặc là một miền bị chặn trong Rn với biên Lipchitz, theo các Định lý 5 và 5’ trong [12], ta có thể xây dựng một toán tử mở rộng biến các hàm trong Ω thành các hàm trong Rn . Định lý 1.7.1. Giả sử Ω là Rn+ hoặc là một miền bị chặn trong Rn với biên Lipschitz. Khi đó tồn tại một toán tử tuyến tính C biến các hàm trong Ω thành các hàm trong Rn với các tính chất sau 1. (Cu)|Ω = u; 2. C là một toán tử liên tục từ Hpk (Ω) vào Hpk (Rn ) (1 ≤ p ≤ ∞, k = 0, 1, 2, . . .) thỏa mãn kCukHpk (Rn ) ≤ Ap,k kukHpk (Ω) , ở đây Ap,k > 0 là hằng số chỉ phụ thuộc vào p và k. 1.7.3 Không gian Sobolev-Lebesgue trong Rn Khi 1 < p < ∞, không gian Sobolev Hpk (Ω) có thể được mở rộng cho trường hợp các cấp k không nguyên. Trong mục này, chúng ta xét Ω = Rn . Giả sử s ≥ 0, kí hiệu Hps (Rn ) là không gian các hàm có tính chất như sau s Hps (Rn ) = {u ∈ S(Rn )0 : F −1 [(1 + |ξ|2 ) 2 Fu] ∈ Lp (Rn )}, ở đây S(Rn )0 là không gian các hàm suy rộng tăng chậm, F, F −1 tương ứng là phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier ngược trên S(Rn )0 . Hps (Rn ) là một không gian Banach với chuẩn s kukHps = kF −1 [(1 + |ξ|2 ) 2 Fu]kLp , 15 u ∈ Hps (Rn ).