Tài liệu Bài toán cauchy cho phương trình dạng tiến hóa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN HỮU DŨNG BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TIẾN HÓA LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2015 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN HỮU DŨNG BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TIẾN HÓA Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội - Năm 2015 1 Mục lục Mở đầu 3 Các kí hiệu 5 1 Các kiến thức chuẩn bị 6 1.1 1.2 1.3 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Không gian L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Không gian H m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Không gian H ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 Không gian BC m . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5 Không gian C m ([a, b], E) . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.6 Không gian S . Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . 8 Nửa nhóm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Khái niệm nửa nhóm liên tục . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục . . . . . . . 9 1.2.3 Các tính chất của nửa nhóm liên tục . . . . . . . 10 1.2.4 Định lý Hille-Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Bài toán Cauchy cho phương trình dạng tiến hóa 15 18 2.1 Khái niệm mặt đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya . . . . . . . . 19 2 2.2.1 toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Định lý Cauchy-Kowalewskaya . . . . . . . . . . 20 Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya mở rộng . . . 20 2.2.2 2.3 Phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya. Bài 2.3.1 Phương trình kiểu Kowalewskaya mở rộng. Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 20 Đưa phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya mở rộng về hệ phương trình cấp một theo biến thời gian 21 2.3.3 2.4 2.5 Khái niệm tính đặt chỉnh đều của bài toán Cauchy 22 Tính đặt chỉnh đều của bài toán Cauchy khi các hệ số của phương trình chỉ phụ thuộc vào biến thời gian . . . 23 2.4.1 Định lý Petrowsky . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.2 Định lý Hadamard trong trường hợp hệ số hằng . 25 2.4.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt . . . . . 31 2.5.1 Phương trình truyền nhiệt. Bài toán Cauchy . . 31 2.5.2 Các tính chất của toán tử Laplace . . . . . . . . 32 2.5.3 Nửa nhóm của phương trình truyền nhiệt . . . . 33 2.5.4 Nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Mở đầu Phương trình tiến hóa là các phương trình đạo hàm riêng chứa biến thới gian t. Các dữ kiện ban đầu của bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa thường được cho trên các mặt phẳng t = 0 hoặc t = t0 . Đối với các phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya thì các mặt phẳng t = t0 là không đặc trưng, song đối với các phương trình kiểu Kowalewskaya mở rộng thì các mặt phẳng t = t0 thường lại là đặc trưng, nên việc nghiên cứu bài toán Cauchy cho chúng sẽ phức tạp hơn. Mục đích của luận văn nhằm trình bày tính đặt chỉnh đều của bài toán Cauchy cho các phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya và Kowalewskaya mở rộng. Luận văn gồm hai chương, chương 1 bao gồm một số kiến thức chuẩn bị gồm một số không gian hàm, khái niệm nửa nhóm liên tục, bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường trong không gian Banach. Nội dung chính của luận văn là chương 2, trong đó trình bày về tính đặt chỉnh đều của bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa. Đối với phương trình tiến hóa kiểu Kowalewskaya, luận văn đã phát biểu Định lý Cauchy-Kowalewskaya về tính giải được và duy nhất nghiệm của bài toán trong lớp hàm giải tích. Luận văn đã phát biểu và chứng minh các Định lý Petrowsky và Hadamard về tính đặt chỉnh đều của bài toán Cauchy đối với các phương trình dạng tiến hóa khi các hệ số của phương trình tương ứng là các hàm số chỉ phụ thuộc biến thời gian hoặc là hằng số. Do Định lý CauchyKowalewskaya không thể áp dụng cho bài toán Cauchy cho phương trình kiểu Kowalewskaya mở rộng, nên công cụ của nửa nhóm đã được áp dụng để giải bài toán Cauchy đối với phương trình kiểu Kowalewskaya 4 mở rộng. Luận văn đã minh họa phương pháp nửa nhóm thông qua việc giải bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt. Nội dung chính của luận dựa trên các tài liệu [2], [3]. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tận tình của thầy PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, sự nỗ lực của bản thân và sự động viên của bạn bè. Một lần nữa tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, tới các thầy cô trong Viện Toán học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin cảm ơn tất cả bạn bè đặc biệt là các bạn lớp cao học K21 Viện Toán học. Cho dù đã cố gắng, nhưng do thời gian và kiến thức của bản thân còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi sai sót. Tác giả mong sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và các bạn. Tác giả Nguyễn Hữu Dũng 5 Các kí hiệu • R+ = {t ∈ R : t ≥ 0}. • |x| là chuẩn của x trong không gian Euclid Rn . • ||f ||E là chuẩn của hàm f trong không gian Banach E . • ∆ là toán tử Laplace. 6 Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số không gian hàm Không gian L2 Giả sử Rn là không gian Euclid n chiều với các phần tử x = (x1 , ..., xn ) và chuẩn q |x| = x21 + ... + x2n . Ký hiệu L2 = L2 (Rn ) là các hàm bình phương khả tích trên Rn nghĩa là Z |f (x)|2 dx < +∞ Rn với chuẩn là kf kL2 Z 1 = ( |f (x)|2 dx) 2 . Rn L2 là không gian Hilbert với tích vô hướng Z (f, g)L2 = f (x)g(x)dx. Rn 1.1.2 Không gian H m Không gian H m = H m (Rn ) là tập hợp các hàm f ∈ L2 thỏa mãn điều kiện Dα f ∈ L2 , ∀ |α| ≤ m. Với α = (α1 , ..., αn ), |α| = α1 + ... + αn , 7 ∂ , Dα f = D1α1 ...Dnαn f, với chuẩn ∂xj X 1 kDα f k2 L2 ] 2 . kf kH m = [ D = (D1 , ..., Dn ), Dj = |α|≤m H m là không gian Hilbert với tích vô hướng Z X X α α Dα f.Dα gdx. (D f, D g)L2 = (f, g) = Rn |α|≤m |α|≤m Không gian H ∞ ∞ T ∞ Đặt H = H m . Không gian H ∞ là không gian tôpô vectơ. Trong 1.1.3 m=0 H ∞ có các nửa chuẩn pk (f ) = kf (x)kH k k = 0, 1, 2... Hàm f ∈ H ∞ khi và chỉ khi với mọi m sao cho f ∈ H m . Ta nói dãy {fk } ⊂ H ∞ hội tụ tới f ∈ H ∞ nếu với mọi m thì fk −→ f trong H m . 1.1.4 Không gian BC m Ký hiệu BC m = BC m (Rn ) là tập hợp các hàm có đạo hàm riêng đến cấp m liên tục và bị chặn trên Rn . BC m là không gian Banach với chuẩn X kf kBC m = sup |Dα f (x)|. x∈Rn 1.1.5 |α|≤m Không gian C m ([a, b], E) Giả sử E là không gian Banach hoặc không gian tôpô vectơ. Đặt C m ([a, b], E) là tập hợp các hàm f : [a, b] −→ E khả vi liên tục đến cấp m trong E . Nếu E là không gian Banach thì C m ([a, b], E) cũng là không gian Banach với chuẩn m X kf kC m ([a,b],E) = sup kf (k) (t)kE . t∈[a,b] k=0 8 Trường hợp nếu E = H ∞ thì C m ([a, b], H ∞ ) = {f (t)|f (t) ∈ H ∞ , a ≤ t ≤ b} là không gian Frechet với các nửa chuẩn: m X max pk (f (h) (t)) (k = 0, 1, 2, ...). h=0 1.1.6 a≤t≤b Không gian S. Biến đổi Fourier Định nghĩa 1.1. Không gian S = S(Rn ) là tập hợp tất cả các hàm f (x) ∈ C ∞ sao cho với mọi đa chỉ số α, β tồn tại Cα,β > 0 và  α β  x D f (x) ≤ Cα,β ∀x ∈ Rn , trong đó xα = (xα1 , xα2 , ....., xαn ). Giả sử f (x) ∈ S. Biến đổi Fourier của f (x), kí hiệu là fb(ξ) với ξ = (ξ1 , ξ2 , ......., ξn ), được định nghĩa bởi công thức Z F [f ](ξ) = fb(ξ) = e−2πi(x,ξ) f (x) dx. (1.1) Rn Ta có công thức nghịch đảo sau đây F −1 Z [fb](x) = f (x) = e2πi(x,ξ) fb(ξ) d(ξ). (1.2) Rn Với mọi f (x) ∈ S ta có các công thức sau F [Dxα f (x)] = (2πiξ)α F [f ] (1.3) Dξα fb(ξ) = F [(−2πix)α f (x)] Z Z f (x)g(x) dx = fb(ξ)gb(ξ) dξ. (1.4) Rn (1.5) Rn Z Rn Z    b 2 |f (x)| dx = f (ξ) dξ 2 (1.6) Rn Biến đổi Fourier là một song ánh từ S lên S . Công thức (1.1) cho phép thác triển biến đổi Fourier từ L2 vào L2 . Biến đổi Fourier là một song ánh và đẳng cự từ L2 lên L2 , đồng thời các công thức (1.1) - (1.6) vẫn còn đúng. 9 1.2 Nửa nhóm liên tục Cho E là không gian Banach. Không gian L(E, E) gồm các toán tử tuyến tính liên tục từ E vào E và cũng là không gian Banach với chuẩn kT k = sup ||T (x)||. kxkE =1 1.2.1 Khái niệm nửa nhóm liên tục Định nghĩa 1.2. Giả sử E là không gian Banach. Tập hợp các toán tử {Tt , t ≥ 0} trong đó Tt ∈ L(E; E) được gọi là nửa nhóm liên tục nếu {Tt } thỏa mãn các tính chất sau: a) T0 = I , I là toán tử đồng nhất của E , b) Ts Tt = Ts+t (t, s ≥ 0), c) Ánh xạ t → Tt của R+ → L(E; E) là liên tục theo t trong tôpô hội tụ từng điểm của E , tức là với t0 ∈ R+ và với mỗi x ∈ E ta có k(Tt − Tt0 )xkE → 0 khi t → t0 . Ví dụ 1.1. Giả sử A : E → E là một toán tử tuyến tính liên tục. Xét tập hợp {Tt , t ≥ 0}, trong đó Tt xác định bởi tA Tt = e = +∞ X (tA)k k=0 k! . Khi đó {Tt , t ≥ 0} là một nửa nhóm liên tục. 1.2.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục Định nghĩa 1.3. Giả sử {Tt , t ≥ 0} là một nửa nhóm liên tục. Trong không gian E ta xét toán tử A cho bởi 1 (Th x − x). h→+0 h Ax = lim (1.7) 10 Khi đó miền xác định D(A) của A là tập hợp sau 1 (Th x − x)} h→0+ h D(A) = {x ∈ E; ∃ lim Toán tử tuyến tính A : D(A) → E được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm {Tt }. Ví dụ 1.2. Xét nửa nhóm liên tục {Tt , t ≥ 0} trong Ví dụ 1.1 có toán tử sinh là A. 1.2.3 Các tính chất của nửa nhóm liên tục Sau đây là một số tính chất của nửa nhóm liên tục. Tính chất 1.1. Cho {Tt } là một nửa nhóm liên tục trong không gian Banach E . Khi đó, tồn tại các hằng số dương M, B sao cho: kTt k ≤ M eBt , ∀t ≥ 0. Chứng minh. Cho a > 0 bất kỳ, Ba ký hiệu là ảnh của một khoảng đóng của [0; a] dưới ánh xạ t → Tt của R+ → L(E; E) với E là không gian Banach. Khi đó Ba là compact cho tôpô hội tụ từng điểm trong L(E, E). Đặt Ma = sup kTt k. Cho t > 0 bất kỳ, cho m là số nguyên lớn nhất 0≤t≤a thỏa mãn ma ≤ t. Do Ts Tt = Ts+t chúng ta có: kTt k = kTt−ma .Tma k = kTt−ma .Ta m k ≤ Ma m+1 ≤ Ma .eBma ≤ Ma .eBt , 1 trong đó B = log Ma . a Với số phức p ∈ C mà Re p > B chúng ta định nghĩa biến đổi Laplace R(p) của nửa nhóm {Tt , t ≥ 0} theo công thức sau +∞ R −pt R(p) = e Tt dt 0 tức là Z+∞ R(p)x = e−pt Tt xdt, ∀ x ∈ E. 0 (1.8) 11 Toán tử R(p) là hàm chỉnh hình theo biến p khi Re p > B và nhận giá trị trong L(E, E). Do Tt giao hoán với A nên R(p) cũng giao hoán với A. Tính chất 1.2. Nếu Re p > B thì miền giá trị của R(p) được chứa trong D(A) và ta có: (pI − A)R(p) = R(p)(pI − A) = I. (1.9) Chứng minh. Cho x ∈ E, h > 0 tùy ý. Ta có: h−1 (Th − I) R(p)x = h−1 Z+∞ e−pt (Tt+h − Tt )xdt 0 1 = (eph − 1) h Z+∞ Zh 1 e−pt Tt x dt − e−pt Tt x dt (1.10) h h 0 +∞ R −pt 1 ph (e − 1) e Tt x dt → pR(p)x. h h Mặt khác khi h −→ +0, ta có Khi h → +0 thì 1 h Zh e−pt Tt x dt → T0 x = x. (1.11) 0 Do đó, h−1 (Th − I) −→ A, từ (1.10) ta suy ra AR(p) = pR(p) − I. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Tính chất 1.3. Giả sử số phức p hội tụ tới ∞ khi biến thiên trong một hình quạt với |Imp| < C Re p (C > 0). Khi đó, với mỗi x ∈ E, pR(p)x hội tụ tới x trong E khi p −→ ∞. 12 Chứng minh. Ta đặt p = σ + iτ (σ, τ ∈ R). Khi đó từ (1.8) suy ra +∞ R e−pt (Tt x − x)dt 0 p R −( )t p +∞ = e σ (T t x − x)dt. σ 0 σ +∞ R −t e T σt x − x dt. Do vế phải tiến Do đó kpR(p)x − xkE ≤ (1 + C) pR(p)x − x = p 0 tới 0 khi σ −→ +∞ nên suy ra điều phải chứng minh. Định nghĩa 1.4. Toán tử tuyến tính A được gọi là toán tử đóng nếu {xm } ⊂ D(A), xm → x và Axm → y thì ta có x ∈ D(A) và Ax = y. Tính chất 1.4. Giả sử A là toán tử tuyến tính và A được xác định bởi (1.7). Khi đó A là toán tử đóng và D(A) là trù mật trong E . Chứng minh. Trước hết ta chứng minh A là toán tử đóng. Thật vậy, giả sử {xm } ⊂ D(A), xm → x, Axm → y . R(p)(pI − A) = I R(p)(pI − A)xm = xm R(p)(pxm − Axm ) = xm Cho m −→ +∞ ta được R(p)(px − y) = x (1.12) Do Jm R(p) ⊂ D(A) nên x ∈ D(A). Áp (pI − A) lên hai vế của (1.12) ta có (pI − A)R(p)(px − y) = (pI − A)x px − y = px − Ax suy ra y = Ax. Vậy A là toán tử đóng. Tiếp theo ta chứng minh D(A) trù mật trong E . Thật vậy, lấy x ∈ E bất kỳ R(p)x ∈ D(A) kéo theo pR(p)x ∈ D(A). Mặt khác pR(p)x −→ x ∈ E . Suy ra D(A) trù mật trong E 13 Chú ý rằng: Toán tử tuyến tính liên tục thì đóng. Ngược lại nói chung là không đúng. Tính chất 1.5. Giả sử A là toán tử sinh của nửa nhóm {Tt }. Khi đó dTt = ATt = Tt A dt 1.2.4 (1.13) Định lý Hille-Yosida Định lý sau cho ta điều kiện đủ để một toán tử là toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục. Định lý 1.1. Cho A là một toán tử tuyến tính đóng từ E vào E với miền xác định D(A) trù mật trong không gian Banach E . Giả sử rằng tồn tại λ0 > 0 sao cho giải thức R(p; A) = (λI − A)−1 của A tồn tại và là một toán tử bị chặn trong E với tất cả các giá trị nguyên λ > λ0 . Khi đó hai điều kiện sau là tương đương: (a) A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục {Tt } nào đó. (b) Tồn tại những hằng số M, B > 0 sao cho với mọi k = 1, 2, ... và với mọi λ ∈ R, λ > B ta có k(λI − A)−k k ≤ M (λ − B)−k . (1.14) Chứng minh. (a) ⇒ (b) Giả sử A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục {Tt }, khi đó ta có +∞ R −λt e Tt dt với Reλ > B, (B > 0, B = const). R(λ; A) = R(λ) = 0 Chúng ta có thể đạo hàm theo λ dưới dấu tích phân: Z+∞ R(k) (λ) = (−t)k e−λt Tt dt. 0 Mặt khác, từ R(λ) = (λI − A)−1 , ta có thể kiểm tra: R(k) (λ) = (−1)k k! R(λ)k+1 . (1.15) 14 k+1 Do Tính chất 1.1, kR(λ) k≤M +∞ R 0 tk −(Reλ−B)t dt k! e = M (Reλ − B)−k−1 . Do đó (b) được chứng minh (Lưu ý: pR(p) = (I + p−1 A)−1 ). (b) ⇒ (a) 1 −1 A) , m là số nguyên lớn hơn λ0 . Từ (b) chúng m ta biết Jm , m > sup(λ0 , B), là tập bị chặn của toán tử tuyến tính trên E . Nếu x ∈ D(A), x − Jm x = m−1 A Jm x = m−1 Jm Ax. Do đó C kJm x − xkE ≤ m kAxkE → 0, m → +∞. Do D(A) trù mật trong E , có nghĩa là Jm x → x, m → +∞, x ∈ E . Ta đặt Xét tập Jm = (I − m Tt = exp(−tAJm ) = exp(mt(Jm − J)) = e−mt exp(mtJm ), t ≥ 0. Lại bởi (1.14), ta có: n +∞ P (mt)k kexp(mtJm )k ≤ k! ≤ M exp m(1 − k=0 B −1 m) t o m B −1 ) − m = m−B B . Ta nhận được: Chú ý rằng: m(1 − m   B −1 m k Tt k ≤ M exp (1 − ) Bt , m > sup(λ0 , B) , t ≥ 0. (1.16) m Rõ ràng tất cả toán tử Jm , n Tt thay thế A và thay thế một trong số chúng. Hơn nữa, m Tt − n Tt = {exp[−tA(Jm − Jn )] − I} exp(tAJn ) Zt = − exp(−tAJn ) A(Jm − Jn ) exp [ − sA(Jm − Jn )ds 0 =− Zt m Tt n Tt−s (Jm − Jn ) Ads. 0 Cho tùy ý x ∈ D(A). Bởi (1.16) ta có: km Tt x − n Tt xkE ≤ M 2 k(Jm − Jn )AxkE Rt e2Bs ds. Nếu m, n > 2B , 0 chúng ta xem rằng Jm Ax → Ax. m Tt x là một dãy Cauchy trong E hội tụ đến 1 giới hạn, mà ta kí hiệu bởi Tt x. Sự hội tụ là đều theo t trong một khoảng đóng [0, T ], t < +∞. 15 Nhiều khi bởi (1.16), ta thấy rằng, khi 0 ≤ t ≤ T , m Tt có dạng là tập bị chặn của toán tử tuyến tính. Ta kết luận rằng: m Tt x → Tt x, x ∈ E , đều liên quan tới t trong một khoảng đóng. Cho x ∈ E, t → Tt x là hàm số liên tục theo t trong R+ : Ts Tt = Ts+t và T0 = I , cho những tính chất đúng khi m T thay cho T . Chú ý rằng, từ (1.16) ta có: kTt k ≤ M eBt , ∀t ≥ 0. (1.17) Phần chứng minh còn lại là A là toán tử sinh của nửa nhóm {Tt } . Giả sử A0 là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục {Tt }. Từ (1.17) ta thấy cho Reλ đủ lớn, giải thức R(λ; A0 ) là bằng với Z+∞ Z+∞ e−λt Tt dt = lim exp(−λt) exp(−tAJm )dt m→+∞ 0 0 = lim (λI − AJm )−1 = R(λ; A) m→+∞ ở đây giới hạn có được theo nghĩa của sự hội tụ điểm trong E . Do đó (λI − A0 )−1 = (λI − A)−1 , và suy ra A0 = A nên A là toán tử sinh của {Tt }. 1.3 Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường trong không gian Banach Giả sử E là không gian Banach, A là toán tử đóng trong E với miền xác định D(A) trù mật trong E . Ta xét bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường trong không gian E Ta có định lý sau: d u(t) = Au(t) + f (t) dt (1.18) u(0) = u0 (1.19) 16 Định lý 1.2. Giả sử A là toán tử đóng với miền xác định D(A) trù mật trong E . Giả sử rằng A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục {Tt } nào đó. Ta cũng giả sử rằng t → f (t) và t → Af (t) là liên tục trong tôpô của E với t ∈ [0; T ] đối với vế phải của f (t). Khi đó với giá trị tùy ý ban đầu u0 ∈ D(A) bài toán Cauchy (1.18), (1.19) có nghiệm duy nhất u(t) ∈ C 1 ([0, T ], E) và nghiệm được cho bởi công thức sau Zt u(t) = Tt u0 + Tt−s f (s)ds. (1.20) 0 Chứng minh. Để chứng minh (1.20) là nghiệm, ta chỉ cần chứng minh d ψ(t) = Aψ(t) + f (t) với ψ(t) = dt Zt Tt−s f (s)ds 0 Ta chú ý rằng ψ ∈ D(A) và Aψ(t) = Rt Tt−s Af (s)ds. 0 Để chứng minh, thứ nhất nhớ lại định nghĩa của phép lấy tích phân và chú ý A là toán tử đóng. Vì thế Aψ(t) cũng là liên tục. Mặt khác với η > 0, Zt+η Zt ψ(t + η) − ψ(t) 1 Tη − I = Tt+η−s f (s)ds + Tt−s f (s)ds. η η η t 0 Cho η → +0, ψ 0 (t) = f (t) + Aψ(t), với vế phải là hàm liên tục theo t. Vì thế ψ 0 (t) = f (t) + Aψ(t). Ta chứng minh tính duy nhất: Với Jλ = (I − Aλ )−1 , λ > 0. Dễ dàng có d uλ (t) và uλ (t) = (AJλ )uλ (t) + f (t) là xác định duy nhất cho giá trị dt ban đầu u0 bởi vì AJλ là một toán tử bị chặn. Đặt u(t) − uλ (t) = vλ (t) cho nghiệm u(t) của (1.20). Khi đó ta có: d vλ (t) = (AJλ )vλ (t) + (A − AJλ )u(t). dt 17 Vì thế vλ (t) = Rt (λ) Tt−s (A − AJλ )u(s)d(s) (u ∈ D(A)). 0 Rt (λ) (Chú ý rằng vλ (0) = 0) và cũng như: Tt−s (I − Jλ )Au(s)d(s) 0 (λ) Tt−s (I − Jλ )Au(s) là bị chặn đều với λ và ∀s ∈ [0; t]. Do vậy nếu (λ) chúng ta cố định s và cho λ → +∞ thì Tt−s (I − Jλ )Au(s) → 0. Từ Định lý Lebesgue’s, ta có vλ (t) → 0, có nghĩa là u(t) là giới hạn của uλ (t). Khi đó u(t) là xác định và duy nhất. 18 Chương 2 Bài toán Cauchy cho phương trình dạng tiến hóa Trong chương này ta ký hiệu (x, t) ∈ Rn+1 = Rn × R, trong đó x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn , t ∈ R là biến thời gian. Đặt ν = (ν1 , ..., νn ) ∈ Nn ,  ∂ ν  ∂ ν1  ∂ ν2  ∂ νn là đa chỉ số và |ν| = ν1 + ... + νn , = ... , ∂x ∂x1 ∂x2 ∂xn ξ = (ξ1 , ..., xn ) ∈ Rn , ξ ν = ξ1ν1 ξ2ν2 ...ξnνn , iξ = (iξ1 , iξ2 , ..., iξn ), (iξ)ν = i|ν| ξ ν . 2.1 Khái niệm mặt đặc trưng Xét phương trình dạng tổng quát X |ν|+j≤m  ∂ ν  ∂ j u = f. aν,j (x, t) ∂x ∂t Mặt cong S = {(x, t); ϕ(x, t) = 0 ; ϕ(x,t) (x, t) 6= 0} Định nghĩa 2.1. 1. Mặt cong S được gọi là mặt đặc trưng nếu với mọi (x, t) ∈ S ta có X aν,j (x, t)(ϕx )ν (ϕt )j = 0 |ν|+j=m trong đó (ϕx )ν = (ϕx1 )ν1 (ϕx2 )ν2 ...(ϕxn )νn .