Tài liệu Luận văn thạc sĩ Về tính lồi đa thức của một số tập hợp trong Cn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG PHƯƠNG KHÁNH VỀ TÍNH LỒI ĐA THỨC CỦA MỘT SỐ TẬP HỢP TRONG Cn LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG PHƯƠNG KHÁNH VỀ TÍNH LỒI ĐA THỨC CỦA MỘT SỐ TẬP HỢP TRONG Cn Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NINH VĂN THU Hà Nội - Năm 2011 Mục lục Lời nói đầu 2 1 4 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Hàm đa điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Một số định lý xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Khái niệm tập lồi đa thức và một số ví dụ . . . . . . . . . . 6 1.5 Đại số đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6 Bổ đề Kallin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7 Đa tạp thuần túy thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8 Vành chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Tính lồi đa thức của hợp hai n-phẳng thực trong Cn 22 2.1 Tính lồi đa thức của hợp hai n-phẳng thực trong Cn . . . . 22 2.2 Xấp xỉ đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 1 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình Giả sử Ω là tập mở trong Cn , ta có thể đồng nhất Cn với R2n . Xét hàm f : Ω → C, f ∈ C 1 (Ω), zj = xj + iyj , j = 1, ..., n. n df = j=1 n = j=1 ∂f dxj + ∂xj ∂f dzi + ∂zj n j=1 n j=1 ∂f dyj ∂yj ∂f dzj , ∂zj trong đó ∂f 1 = ∂zj 2 1 ∂f = ∂zj 2 ∂f ∂f −i ∂xj ∂yj ∂f ∂f +i ∂xj ∂yj , . Định nghĩa 1.1. Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định trong Ω với x, y ∈ Rn . Hàm f được gọi là R2n -khả vi tại z0 = x0 + iy0 nếu các hàm u(x, y) và v(x, y) khả vi tại (x0 , y0 ). Định nghĩa 1.2. Hàm f được gọi là Cn -khả vi tại z0 ∈ Ω nếu f là R2n -khả 4 vi tại z0 và f thỏa mãn phương trình Cauchy-Riemann: ∂f (z0 ) = 0, j = 1, ..., n, ∂zj n tức là df = ∂f dzj . ∂zj j=1 Định nghĩa 1.3. Hàm f được gọi là chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu nó là Cn -khả vi trong một lân cận nào đó của z0 . Hàm f được gọi là chỉnh hình trên Ω nếu f chỉnh hình tại mọi z0 ∈ Ω. Hàm f được gọi là chỉnh hình trên tập compact K ⊂ Ω nếu tồn tại tập mở ω sao cho K ⊂ ω ⊂ Ω và f chỉnh hình trên ω . Hàm f chỉnh hình trên toàn bộ Cn được gọi là hàm nguyên. Đối với hàm chỉnh hình ta có tính chất sau: Định lý 1.1. Nguyên lý môđun cực đại. Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền bị chặn D và liên tục trên D. Khi đó hoặc f là hàm hằng hoặc f chỉ đạt cực đại trên biên bD của D. 1.2 Hàm đa điều hòa Định nghĩa 1.4. Hàm thực n biến u(x1 , x2 , ..., xn ) khả vi liên tục cấp hai trên tập mở D ⊂ Rn được gọi là hàm đa điều hòa nếu ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u u(x) = 2 (x) + 2 (x) + ... + 2 (x) = 0, ∂x1 ∂x2 ∂xn với mọi x ∈ D. Định lý 1.2. Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y) là hàm chỉnh hình trên miền Ω ⊂ Cn , với z = x + iy và x, y ∈ Rn . Khi đó u(x, y) và v(x, y) là các hàm đa hàm điều hòa trên Ω. 5 Định lý 1.3. Nguyên lý cực đại. Giả sử u : D → R là hàm đa điều hòa, trong đó D ⊂ Cn . Nếu K là tập con compact của D thì f |K đạt giá trị cực đại và cực tiểu trên biên bK của K . Trong trường hợp D là tập liên thông, nếu f đạt cực đại địa phương tại điểm z0 ∈ D thì nó là hằng số trong lân cận nào đó của z0 . 1.3 Một số định lý xấp xỉ Định lý 1.4. Định lý Stone-Weirstrass. Mỗi hàm số liên tục f (x) trên một tập compact X ⊂ Rn là giới hạn đều của một dãy các đa thức với hệ số hữu tỉ. Định lý 1.5. Định lý Runge. Cho K là tập con compact trong C và C \ K là tập liên thông, f là hàm chỉnh hình trên K . Khi đó f là giới hạn đều trên K của một dãy các đa thức. Định lý 1.6. Định lý Mergelyan. Giả sử K là tập compact trong C và C \ K là tập liên thông. Khi đó với mọi hàm f : K → C liên tục sao cho f |int(K) : int(K) → C là hàm chỉnh hình có thể xấp xỉ đều trên K bởi các đa thức. 1.4 Khái niệm tập lồi đa thức và một số ví dụ Định nghĩa 1.5. Tập K ⊂ Cn được gọi là tập lồi nếu với mọi z0 ∈ Cn \K , tồn tại phiếm hàm tuyến tính l : Cn → R sao cho: l(z0 ) = 1 và l(z) < 1 với mọi z ∈ K . Mở rộng khái niệm tập lồi là khái niệm tập lồi đa thức. 6 Định nghĩa 1.6. Tập con compact X của Cn được gọi là lồi đa thức nếu với mỗi điểm z ∈ Cn \ X tồn tại đa thức P sao cho: |P (z)| > sup{|P (x)| : x ∈ X}. Ta ký hiệu P X = sup{|P (x)| : x ∈ X}. Định nghĩa 1.7. Nếu X là tập con compact của Cn , bao lồi đa thức của X là tập X = {z ∈ Cn : |P (z)| ≤ P X với mọi đa thức P }. Dễ thấy X là tập lồi đa thức khi và chỉ khi X = X . Vì hàm chỉnh hình có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa nên tập compact X ⊂ Cn là lồi đa thức khi và chỉ khi mỗi điểm z ∈ Cn \ X tồn tại hàm nguyên F sao cho: |F (z)| > F X. Sau đây là một số ví dụ đơn giản về các tập lồi đa thức trong Cn . Ví dụ 1.1. Mọi tập K compact và lồi trong Cn đều là lồi đa thức. Chứng minh. Xét z0 ∈ Cn \K . Do K là tập lồi nên tồn tại phiếm hàm tuyến tính l : Cn → R sao cho: l(z0 ) = 1 và l(z) < 1 với mọi z ∈ K . Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính L : Cn → C sao cho ReL = l. Đặt F (z) = eL(z) thì F là hàm chỉnh hình. Khi đó |F (z)| = |eL(z) | = eReL(z) = el(z) . Với mọi z ∈ K thì |F (z)| = el(z) < e = |F (z0 )| nên K là tập lồi đa thức. Ví dụ 1.2. Giả sử K là tập con compact trong C. Khi đó K là tập lồi đa thức khi và chỉ khi C\K là tập liên thông. Chứng minh. Giả sử K là tập lồi đa thức, ta phải chứng minh C\K là tập liên thông. Giả sử phản chứng C\K không là tập liên thông. Khi đó tồn tại D ⊂ C\K sao cho bD ⊂ K . Theo nguyên lý môđun cực đại, với mọi z ∈ D thì |P (z)| ≤ P bD ≤ P K. Do đó D ⊂ K = K , điều này trái với 7 giả thiết phản chứng. Vậy C\K là tập liên thông. Giả sử C\K là tập liên thông, ta chứng minh K là tập lồi đa thức. 1 Xét z0 ∈ C\K thì f (z) = chỉnh hình trong lân cận nào đó của K . z − z0 Theo định lý Runge, f có thể xấp xỉ đều bởi các đa thức trên K . Vì vậy, tồn tại đa thức P sao cho P (z0 ) = 1 và P K < 1 . Do |P (z0 )| > P 2 K nên K là tập lồi đa thức. Ví dụ 1.3. Mọi tập compact K ⊂ Rn đều lồi đa thức. 1 . Ta có hàm f liên z−x tục trên K . Theo định lý Stone-Weierstrass tồn tại đa thức P sao cho Chứng minh. Xét x ∈ Rn \K và đặt f (z) = P (x) = 1 > P K. Do đó x ∈ K . Vì vậy K ∩ Rn = K . / Xét w = u + iv ∈ Cn , với u = (u1 , ..., un ), v = (v1 , ..., vn ) ∈ Rn , n v = 0, tức là w ∈ Rn . Đặt F (z) = / 2 e−(zj −uj ) . Vì |F (w)| = j=1 n 2 evj > 1 và F j=1 Rn ≤ 1 nên |F (w)| > F n 2 e−(ivj ) = j=1 Rn ≥ F K. Do đó w ∈ K . / Vậy K = K hay K là tập lồi đa thức. Từ ví dụ 1.2 và định lý Runge, ta có mọi hàm f chỉnh hình trên một tập lồi đa thức trong C có thể xấp xỉ đều bởi các đa thức. Liệu kết quả này có đúng trong trường hợp tổng quát Cn không? Định lý Oka-Weil đã trả lời cho câu hỏi này. Định lý 1.7. Định lý Oka-Weil. Nếu tập compact K trong Cn là tập lồi đa thức và nếu f là hàm chỉnh hình trong một lân cận của K thì với mọi f −P K< . 8 > 0 tồn tại đa thức P sao cho 1.5 Đại số đều Cho X là tập compact trong Cn . Ký hiệu : C(X) = {f : X → C, f liên tục}. P(X) = {f ∈ C(X), ∃ dãy đa thức {Pn } : Pn K f }. A(X) = {f liên tục, chỉnh hình trong phần trong của X}. B(V ) = {f chỉnh hình trên V, với V là tập mở trong Cn }. Định nghĩa 1.8. Một C-đại số A được gọi là đại số Banach nếu (A, · ) là không gian Banach thỏa mãn xy ≤ x . y với mọi x, y ∈ A và 1 = 1. Định nghĩa 1.9. Giả sử X là không gian compact, Hausdorff, mỗi đại số con có đơn vị, tách điểm, đóng của đại số C(X) được gọi là một đại số đều trên X . Điều kiện tách điểm có nghĩa là với hai điểm phân biệt x, x ∈ X , tồn tại hàm f thuộc đại số đó sao cho f (x) = f (x ). Ví dụ 1.4. C(X), P(X), A(X), B(V ) là các đại số đều trên X . Định nghĩa 1.10. Giả sử A là một đại số Banach giao hoán, mỗi phiếm hàm tuyến tính ϕ : A → C, ϕ = 0 và thỏa mãn ϕ(f.g) = ϕ(f ).ϕ(g) được gọi là một đặc trưng của A. Từ định nghĩa đặc trưng của đại số Banach ta có ϕ(1) = 1. Thật vậy, nếu ϕ(1) = 0 suy ra với mọi f ∈ A, ϕ(f ) = ϕ(f.1) = ϕ(f ).ϕ(1) = 0. Từ đó suy ra ϕ ≡ 0, mâu thuẫn với định nghĩa đặc trưng. Vậy ϕ(1) = 0. Từ ϕ(1) = ϕ(1.1) = ϕ(1).ϕ(1) suy ra ϕ(1) = 1. Mỗi đặc trưng trên đại số đều bất kỳ đều có chuẩn bằng 1. Thật vậy, nếu f thuộc đại số đều A thỏa mãn f 9 X < 1 và ϕ là một đặc trưng của A thì ϕ(f ) < 1. Giả sử phản chứng ϕ(f ) = c với |c| ≥ 1. Theo định nghĩa chuẩn, ta có tồn tại > 0 sao cho với mọi x ∈ X thì |f (x)| < 1 − . Khi đó chuỗi ∞ f j j=0 ( c ) 1 c hội tụ đều trên X tới hàm g ∈ A thỏa mãn 1 = (c − f )g . Ta có ϕ(1) = (c − ϕ(f ))ϕ(g) = 0. Từ mâu thuẫn này suy ra điều phải chứng minh. Nếu cho một đại số A, xác định đặc trưng của A là vấn đề khó. Nhưng trong trường hợp đại số C(X), P(X) thì ta có các kết quả sau: Định lý 1.8. Giả sử X là không gian compact Hausdorff và ϕ là một đặc trưng của C(X). Khi đó tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho ϕ(f ) = f (x) với mọi f ∈ C(X). Chứng minh. Trước hết ta chứng minh tồn tại x ∈ X thỏa mãn. Giả sử không tồn tại x ∈ X sao cho ϕ(f ) = f (x) với mọi f ∈ C(X). Xét tập ker ϕ = {f ∈ C(X) : ϕ(f ) = 0}. Khi đó với mỗi f ∈ C(X), ta có ϕ(ϕ(f ).1 − f ) = ϕ(f ).ϕ(1) − ϕ(f ) = 0. Do đó ϕ(f ).1 − f ∈ ker ϕ. Vì vậy ker ϕ = {0}. Khi đó ∪g∈ker ϕ {x ∈ X : g(x) = 0} = X. Thật vậy, giả sử ∪g∈ker ϕ {x ∈ X : g(x) = 0} = X , tức là tồn tại x ∈ X sao cho g(x) = 0 với mọi g ∈ ker ϕ. Ta có (ϕ(f ).1 − f )(x) = 0 hay ϕ(f )−f (x) = 0 với mọi f ∈ C(X). Vì vậy ϕ(f ) = f (x) với mọi f ∈ C(X). Điều này mâu thuẫn với giả sử phản chứng nên ∪g∈ker ϕ {x ∈ X : g(x) = 0} = X. Do X là tập compact nên tồn tại các hàm g1 , g2 , ..., gr ∈ C(X) ∩ ker ϕ sao cho X = ∪r {x ∈ X : gj (x) = 0}. Đặt hj = gj / j=1 r và 1 = r hj gj . Do đó 1 = ϕ(1) = ϕ( j=1 j=1 10 r gj gj thì hj ∈ C(X) j=1 r hj gj ) = ϕ(hj )ϕ(gj ) = 0. Điều j=1 này vô lý suy ra tồn tại x ∈ X sao cho ϕ(f ) = f (x) với mọi f ∈ C(X). Ta chứng minh sự tồn tại của x là duy nhất. Giả sử x = y thuộc X thỏa mãn ϕ(f ) = f (x) và ϕ(f ) = f (y) với mọi f ∈ C(X). Điều này dẫn đến f (x) = f (y) với mọi f ∈ C(X), mâu thuẫn với tính tách điểm của C(X). Nếu X là tập con compact của Cn thì tồn tại một thác triển f ∈ C(X) của mỗi hàm f ∈ P(X). Ta xây dựng hàm f như sau: với mỗi f ∈ P(X), tồn tại dãy các đa thức {Pj }j=1... hội tụ đều trên X tới f . Với bất kỳ điểm y ∈ X thì dãy {Pj (y)}j=1... là dãy Cauchy trong C nên hội tụ. Gọi giới hạn của dãy này là f (y). Giới hạn này không phụ thuộc vào việc chọn dãy các đa thức. Do sự hội tụ là hội tụ đều nên f liên tục và f ∈ P(X). Ta có thể đồng nhất f với f , đại số P(X) với P(X). Định lý 1.9. Nếu X là một tập con compact của Cn thì mỗi đặc trưng ϕ của P(X) đều có dạng f −→ f (z) với duy nhất z ∈ X . Khi đó ϕ(f ) = f (z) với mọi f ∈ P(X). Chứng minh. Do P(X) ≡ P(X) nên ta có tương ứng 1-1 mỗi f ∈ P(X) với f ∈ P(X). Ta có thể giả sử X = X hay X là tập lồi đa thức. Vì các hàm trong P(X) tách các điểm trên X nên điểm z nếu tồn tại thì phải là duy nhất. Ta chứng minh tồn tại z thỏa mãn. Lấy cố định một đặc trưng ϕ của P(X). Với mỗi z = (z1 , z2 , ...zn ) ∈ Cn , ta có các phép chiếu lên thành phần thứ j sau: Zj : Cn −→ C z −→ zj Ta xét điểm z ∈ Cn sao cho z = (ϕ(Z1 ), ...ϕ(Zn )). Giả sử P là đa thức bất kỳ. Khi đó P (z) = I i i aI z I , trong đó I = (i1 , ..., in ) và z I = z11 ...znn . 11 Vì ϕ là hàm tuyến tính và nhân tính nên aI ϕ(Z1 )i1 ...ϕ(Zn )in = P (ϕ(Z1 ), ...ϕ(Zn )) = P (z). ϕ(P ) = I Vì ϕ = 1 nên |ϕ(P )| ≤ P X. Do đó |P (z)| ≤ P X với mọi P hay z ∈ X = X . Từ định nghĩa tập P(X), ta có tập các đa thức là trù mật trong P(X) nên với mọi f ∈ P(X) thì ϕ(f ) = f (z). Từ hai định lý 1.8 và 1.9 ta có: Định lý 1.10. Nếu P(X) = C(X) thì X là tập lồi đa thức. Chứng minh. Vì P(X) = C(X) nên mỗi đặc trưng của đại số P(X) được xác định qua một điểm duy nhất thuộc X . Nhưng mỗi đặc trưng của P(X) hoàn toàn xác định tại một điểm duy nhất thuộc X . Do đó X = X hay X là tập lồi đa thức. Trước khi đưa ra định nghĩa độ đo biểu diễn của đặc trưng của một đại số đều, ta nhắc lại định lý Haln-Banach và định lý biểu diễn Riesz. Định lý 1.11. Định lý Haln-Banach. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên một không gian con M của không gian định chuẩn X bao giờ cũng có thể thác triển thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên toàn thể X sao cho F = f . Định lý 1.12. Định lý biểu diễn Riesz. Cho Λ là hàm tuyến tính dương trên C(X). Khi đó tồn tại một σ -đại số M trên X chứa tất cả các tập Borel trong X và tồn tại duy nhất độ đo dương µ là biểu diễn của Λ theo nghĩa: a) Λ(f ) = X f dµ với mọi f ∈ C(X). b) µ(K) < ∞ với mọi tập compact K ⊂ X . c) Với mọi E ∈ M ta có µ(E) = inf{µ(V ) : V ⊂ E, V mở}. 12 d)µ(E) = sup{µ(K) : K ⊂ E, K compact }, với mọi tập mở E và với mọi E ∈ M có µ(E) < ∞. e) Nếu E ∈ M, A ⊂ E với µ(E) = 0 thì A ∈ M. Định nghĩa 1.11. Cho A là đại số đều trên không gian compact Hausdorff X và ϕ là một đặc trưng của A. Một độ đo Borel hữu hạn µ trên X dµ = 1 được gọi là độ đo biểu diễn cho ϕ nếu với mỗi f ∈ A, với ϕ(f ) = X f (x)dµ(x). Từ định lý Haln-Banach và định lý biễu diễn Riesz suy ra sự tồn tại độ đo biểu diễn. Thật vậy, nếu ϕ là đặc trưng của A thì nó có chuẩn bằng 1. Theo định lý Haln-Banach có thể thác triển ϕ tới một hàm tuyến tính liên tục ϕ trên C(X) sao cho ϕ = 1. Theo định lý biểu diễn Riesz, tồn tại độ đo Borel hữu hạn µ trên X , mà dµ = 1 sao cho X f (x)dµ(x) = ϕ(f ) với mọi f ∈ C(X). Ta có 1 ∈ A, ϕ(1) = 1 và µ = 1 nên µ là độ đo dương thỏa mãn định nghĩa. 1.6 Bổ đề Kallin Đối với hai tập lồi compact rời nhau trong Cn thì hợp của chúng là lồi đa thức vì chúng có thể được tách bởi hàm tuyến tính. Một cách tổng quát, hợp của hai tập lồi đa thức trong Cn chưa chắc là tập lồi đa thức. Ví dụ sau chỉ ra hợp của hai tập compact, lồi chỉ có một điểm chung không là tập lồi đa thức. Ví dụ 1.5. Xét hai tập hợp X1 = {z ∈ C2 : z1 = z2 , |z2 | ≤ 2}, X2 = {z ∈ C2 : z1 = 2z2 , |z2 | ≤ 2}. 13 Mỗi tập này đều compact và là tập lồi, X1 ∩ X2 = {0}. Nhưng X = X1 ∪ X2 không lồi đa thức. Thật vậy, xét ánh xạ ψ : C\{0} → C2 xác √ 1 định bởi ψ(ζ) = (ζ, ζ ). Đặt A = {ζ ∈ C : 1 ≤ |ζ| ≤ 2}. Ta có √ K1 = ψ(|ζ| = 1) ⊂ X1 và K2 = ψ(|ζ| = 2) ⊂ X2 . Với mọi đa thức P , z ∈ A ta có |P ◦ ψ(z)| ≤ P ◦ ψ ≤ P K1 ∪K2 ≤ P X, nên ψ(z) ∈ X. Do đó ψ(A) ∈ X . Ta có P = ψ( 5 ) ∈ X nhưng P ∈ ψ(A) 4 / nên X = X hay X không là tập lồi đa thức. Bổ đề Kallin sau đây đưa ra điều kiện để hợp của hai tập lồi đa thức không nhất thiết rời nhau là tập lồi đa thức. Bổ đề 1.1. Bổ đề Kallin. Cho X1 , X2 là các tập con lồi đa thức của Cn và p là đa thức sao cho các tập con lồi đa thức Yj = (p(Xj )), j = 1, 2 của C giao nhau nhiều nhất tại điểm gốc là điểm biên của mỗi tập. Nếu tập p−1 (0) ∩ (X1 ∪ X2 ) là lồi đa thức thì X = X1 ∪ X2 là tập lồi đa thức. Nếu thêm điều kiện P(X1 ) = C(X1 ) và P(X2 ) = C(X2 ) thì P(X) = C(X). Chứng minh. Xét x ∈ X1 ∪ X2 và µ là độ đo biểu diễn cho x trên tập X1 ∪ X2 . Ta có p(X1 ∪ X2 ) ⊂ (p(X1 ∪ X2 ))∧ ⊂ Y1 ∪ Y2 nên p(x) ∈ Y1 ∪ Y2 . Nếu p(x) = 0, giả sử p(x) ∈ Y1 . Theo định lý Mergelyan tồn tại hàm g ∈ P(Y1 ∪ Y2 ) thỏa mãn g(p(x)) = 1 và g|Y2 = 0. Với mọi đa thức q và với mọi số nguyên dương k , ta có |q k (x)| = |q k (x)g(p(x))| ≤ q k X1 |g ◦ p|dµ. Lấy căn bậc k hai vế và cho k → ∞ ta được |q(x)| ≤ q X1 nên x ∈ X1 = X1 . Nếu p(x) = 0, xét g ∈ P(Y1 ∪ Y2 ) thỏa mãn g(0) = 1, |g| < 1 trên 14 (Y1 ∪Y2 )\{0}. Với mỗi đa thức q , ta có q(x) = q(x)[g(p(x))]k = dần tới p−1 (0)∩(X1 ∪X2 ) qdµ q[g◦p]k dµ khi k → ∞. Vì vậy x ∈ (p−1 (0) ∩ (X1 ∪ X2 ))∧ = p−1 (0) ∩ (X1 ∪ X2 ) ⊂ X1 ∪ X2 . Do đó X1 ∪ X2 lồi đa thức. Xét µ là độ đo trên X1 ∪ X2 trực giao với đại số P(X1 ∪ X2 ), tức là với mọi h ∈ P(X1 ∪ X2 ) ta có hdµ = 0. Ta chỉ ra µ|(X1 \p−1 (0)) ∈ P(X1 )⊥ . Thật vậy, xét h ∈ P(Y1 ∪Y2 ) là hàm 1 thỏa mãn h|Y2 = 0 và h(z) = z, z ∈ Y1 . Nếu hk = h k , k = 1, ... thì theo định lý Mergelyan hk ∈ P(Y1 ∪Y2 ). Với mọi đa thức q , 0 = (hk ◦p)qdµ → X1 \p−1 (0) pqdµ khi k → ∞. Vì vậy µ|(X1 \p−1 (0)) ∈ P(X1 )⊥ . Do P(X1 ) = C(X1 ) nên µ|(X1 \p−1 (0)) là độ đo không. Tương tự µ|(X2 \p−1 (0)) cũng là độ đo không. Ta có độ đo µ tập trung trên tập (X1 ∪ X2 )\((X1 \p−1 (0)) ∪ (X2 \p−1 (0)) = (X1 ∪ X2 ) ∩ p−1 (0). Vì P(X1 ) = C(X1 ) và P(X2 ) = C(X2 ) nên µ = 0. Vì vậy P(X1 ∪ X2 ) = C(X1 ∪ X2 ). Áp dụng bổ đề trên, Kallin đã chứng minh được kết quả sau: Định lý 1.13. Hợp của ba hình cầu đóng rời nhau là tập lồi đa thức. Chứng minh. Xét trường hợp n = 2. Giả sử B1 , B2 và B3 là ba hình cầu có bán kính lần lượt là r1 = 1 ≥ r2 ≥ r3 . Chọn hệ trục tọa độ thích hợp, ta có thể giả sử tâm của B1 là gốc, tâm của B2 là (α, 0) với α ∈ C. Sử dụng phép quay trục z1 , z2 , ta có thể giả sử tọa độ tâm của B3 là điểm β = (β1 , β2 ) với β1 , β2 thực. Qua phép quay trên, tâm của B2 là điểm (γ, 0) với γ ∈ C. 2 2 Xét đa thức ϕ(z) = z1 + z2 . Xét z = x + iy , trong đó x = (x1 , x2 ) với y = (y1 , y2 ) thuộc R2 . Ta có ϕ(B1 ) = {z ∈ C : |z| ≤ 1}. Vì ϕ là hàm 15 chỉnh hình nên Reϕ là hàm đa điều hòa. Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm Reϕ trên B3 đạt được trên biên bB3 . Ta giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất 2 2 của hàm Reϕ(z) = x2 − y1 + x2 − y2 với điều kiện 2 1 2 2 2 2 |z − β|2 = r3 hay(x1 − β1 )2 + (x2 − β2 )2 + y1 + y2 = r3 . Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, để tìm giá trị nhỏ nhất của Reϕ trên bB3 , ta giải hệ x1 = λ(x1 − β1 ) −y1 = λy1 x2 = λ(x2 − β2 ) −y2 = λy2 . Hệ có nghiệm chỉ khi λ = −1 hoặc y1 = y2 = 0. Nếu λ = −1 thì xj = βj /2. 2 Ta chỉ xét những điểm thuộc bB3 , tức là |x − β|2 + |y|2 = r3 . Từ đó ta 2 có |β|2 /4 + |y|2 = r3 . Do vậy |β| ≤ 2r3 ≤ 1 + r3 . Mặt khác, do B1 và B3 là hai hình cầu rời nhau nên |β| > 1 + r3 . Điều mâu thuẫn này suy ra 2 y1 = y2 = 0. Khi đó, ta chỉ cần xét bài toán min(x2 +x2 ) khi |x−β|2 = r3 . 2 1 Từ đánh giá |β| − |x| ≤ |x − β| = r3 ta có |x| ≥ |β| − r3 > 1 do B1 và B3 là hai hình cầu rời nhau. Vì vậy Reϕ > 1 trên B3 . Vì B1 và B2 là hai hình cầu rời nhau nên điểm gốc không thuộc B2 . Khi đó 1/|ϕ| là hàm chỉnh hình trên B2 nên đạt giá trị lớn nhất trên bB2 . Vì vậy giá trị nhỏ nhất của |ϕ| đạt được trên bB2 . Chú ý rằng (z1 , z2 ) ∈ bB2 thì (z1 , eiυ z2 ) ∈ bB2 với mọi υ ∈ R. Do đó giá trị nhỏ nhất của |ϕ| trên z1 2 2 bB2 đạt được khi arg z2 = arg z1 + π , tức là z2 = i |z1 | |z2 |. Vì vậy giá trị nhỏ nhất của |ϕ| trên B2 là căn bậc hai giá trị nhỏ nhất của 2 |z1 2 z1 2 2 2 − (r − |z1 − γ|2 )| = z1 − r2 + |z1 − γ|2 , 2 2 |z1 | 2 2 với |z1 − γ| ≤ r2 . Đặt F (z1 ) = z1 − r2 + |z1 − γ|2 thì điểm tới hạn trong mặt phẳng là z1 = γ/2, điểm này không thuộc đĩa |z1 − γ| ≤ r2 . Giá trị 16 nhỏ nhất là (|γ| − r2 )2 ≥ 1 đạt được tại duy nhất một điểm. Do đó |ϕ| ≥ 1 trên B2 . Vì vậy ϕ(B1 ) ∩ ϕ(B2 ) tại nhiều nhất một điểm. Áp dụng bổ đề Kallin với hai tập lồi đa thức là X1 = B1 và X2 = B2 ∪ B3 ta được B1 ∪ B2 ∪ B3 là tập lồi đa thức. Xét trường hợp n > 2, ta có thể chọn hệ tọa độ sao cho B1 là hình cầu đóng đơn vị trong Cn và giả sử bán kính của B2 và B3 không lớn hơn 1. Hơn nữa ta có thể giả sử tâm của B2 và B3 thuộc không gian con Π = {z ∈ Cn : z3 = ... = zn = 0} của Cn . Nếu Bj = Bj ∩ Π thì ∪j Bj là tập lồi đa thức vì đây là hợp của ba hình cầu đóng rời nhau trong C2 . Nếu π là phép chiếu trực giao từ Cn vào Π thì với mọi tập con compact E của π −1 (∪Bj ), ta có E ⊂ π −1 (∪Bj ). Do vậy ∪Bj là tập lồi đa thức. Kallin cũng chứng minh được rằng hợp của ba đa đĩa đóng rời nhau không lồi đa thức. Khudaiberganov và Kytmanov cũng đưa ra ví dụ hợp của ba ellipsoid đóng rời nhau không lồi đa thức. Liệu hợp của bốn hình cầu đóng rời nhau có là tập lồi đa thức hay không? Vấn đề này vẫn chưa có câu trả lời. Tuy nhiên, nếu tâm của các hình cầu thuộc Rn , ta có kết quả sau: Định lý 1.14. Tập X là hợp hữu hạn của các hình cầu đóng có phần trong rời nhau, tâm là các điểm thuộc Rn là lồi đa thức. Chứng minh. Ký hiệu Bn là hình cầu đơn vị và Bn (a, r) là hình cầu tâm a, bán kính r. Ta chứng minh định lý bằng quy nạp theo số hình cầu. Nếu chỉ có một hình cầu, vì hình cầu là tập lồi nên nó là lồi đa thức. Giả sử hợp của k hình cầu đóng có phần trong rời nhau, tâm là các điểm thuộc Rn là tập lồi đa thức. Ta cần chứng minh điều này cũng đúng với k + 1. Không 17 mất tính tổng quát, ta có thể giả sử một trong các hình cầu này là Bn và những hình cầu khác có bán kính không lớn hơn 1. Gọi hợp của k hình còn lại đó là X . Theo giả thiết quy nạp X là tập lồi đa thức. Đặt đa thức 2 2 2 P (z) = z1 + z2 + ... + zn . Xét z thuộc biên bBn (a, r) của hình cầu với a ∈ Rn , |a| > 1 và r nhỏ thuộc [0, 1). Khi đó z = x + iy với x, y ∈ Rn và |x − a|2 + |y|2 = r2 . Ta có ReP (z) = |x|2 − |y|2 = |x|2 + |x − a|2 − r2 = 2|x|2 − 2x.a + |a|2 − r2 ≥ 2|x|2 − 2|x||a| + |a|2 − r2 . Hàm ϕ(t) = 2t2 − 2t|a| + |a|2 − r2 đạt giá trị nhỏ nhất khi t = |a|/2. Vì |a| > 1 và r ∈ [0, 1) nên |a|/2 ≤ |a|−r, |a| ≥ r+1. Mà |a|−r < |x| < |a|+r nên ReP (z) ≥ 2(|a| − r)2 − 2|a|(|a| − r) + |a|2 − r2 = (|a| − r)2 ≥ 1. Hàm ReP (z) là hàm đa điều hòa trên Bn (a, r) nên giá trị nhỏ nhất của nó đạt được trên biên. Do vậy ReP (z) ≥ 1 với mọi z ∈ Bn (a, r). Với z ∈ Bn thì ReP (z) ≤ 1. Vậy hai tập P (X) và P (Bn ) chỉ giao nhau tại biên của mỗi tập. Xét z ∈ P −1 (0). Ta có z ∈ X vì trên X , ReP (z) ≥ 1. Do đó / P −1 (0) ∩ (X ∪ Bn ) = P −1 (0) ∩ Bn = {0} là tập lồi đa thức. Theo bổ đề Kallin ta có X ∪ Bn là tập lồi đa thức. 1.7 Đa tạp thuần túy thực Định nghĩa 1.12. Một C 1 đa tạp con Σ của một tập con mở trong Cn được gọi là thuần túy thực nếu với mỗi điểm p ∈ Σ thì không gian tiếp xúc Tp (Σ) không chứa bất kỳ đường thẳng phức nào, tức là Tp (Σ) ∩ iTp (Σ) = {0}. 18 Bổ đề 1.2. ∂/∂x1 |p , ..., ∂/∂xn |p , ∂/∂y1 |p , ..., ∂/∂yn |p là cơ sở của Tp (Σ). Ví dụ 1.6. Đặt M (A) = (A + iI)Rn . M (A) là đa tạp thuần túy thực khi và chỉ khi i không là giá trị riêng của A. Chứng minh. Vì M (A) là không gian con tuyến tính của Cn nên không gian tiếp xúc Tp (M (A)) = M (A) với mọi p ∈ M (A). Giả sử M (A) là đa tạp thuần túy thực ta chứng minh i không là giá trị riêng của A. Ta chứng minh bằng phản chứng. Nếu i là giá trị riêng của A thì tồn tại vectơ khác không v ∈ Rn sao cho Av = iv . Ta có v v iv iv v =A +i = + = iv. 2 2 2 2 2 (A + iI) Do đó iv ∈ M (A). Ta có i(A + iI) −Av 2 =i A −iv 2 +i −Av 2 = −i2 Av = iv. Do đó iv ∈ iM (A). Ta có iv ∈ M (A) ∩ iM (A), trái với giả thiết M (A) là đa tạp thuần túy thực. Vì vậy i không là giá trị riêng của ma trận A. Giả sử i không là giá trị riêng của A ta chứng minh M (A) là đa tạp thuần túy thực. Nếu v = v +iv ∈ M (A)∩iM (A) thì v +iv = (A+iI)x và v + iv = i(A + iI)y , với x, y ∈ Rn . Khi đó x = Ay và y = −Ax nên A(−y +ix) = i(−y +ix). Vì i không là giá trị riêng của A nên −y +ix = 0 hay x = y = 0. Khi đó ta có v = 0. Do đó M (A) ∩ iM (A) = {0}. Định lý 1.15. Cho X là tập compact trong Cn và ánh xạ R = (R1 , R2 , ..., Rn ) : X → Cn thỏa mãn điều kiện Lipschitz: tồn tại c ∈ (0, 1), |R(z) − R(z )| < c|z − z | với mọi z, z ∈ X . Xét Ω là một lân cận của X và ánh xạ Φ : Ω → C2n xác định bởi Φ(z) = (z, z + R(z)). Khi đó Φ(X) là tập lồi đa thức trong C2n . 19 Chứng minh. Ký hiệu [f1 , f2 , ..., fk |X] là lớp các hàm trên X và là giới hạn đều trên X của các đa thức với biến là các hàm f1 , f2 , ..., fk ∈ C(X). Đặt U = [z1 , z2 ..., zn , z1 + R1 , z2 + R2 ..., zn + Rn |X], U1 = [z1 , ..., z2n |X1 ] với X1 = Φ(X). Φ cảm sinh một đẳng cấu giữa U và U1 . Để chỉ ra X1 là tập lồi đa thức, ta cần chỉ ra mỗi đồng cấu từ U1 vào C hoàn toàn xác định tại một điểm x ∈ X1 và tương ứng với mỗi đồng cấu từ U vào C hoàn toàn xác định tại một điểm x ∈ X . Xét h là đồng cấu từ U vào C. Khi đó tồn tại độ đo µ trên X sao cho f dµ với mọi f ∈ U. h(f ) = X Đặt h(zi ) = αi , i = 1, ..., n với α = (α1 , ..., αn ). Chọn một mở rộng của ánh xạ R từ Cn vào Cn sao cho điều kiện Lipschitz được thỏa mãn với z, z ∈ Cn . Với mọi z ∈ X , xét n (zi − αi )((zi + Ri (z)) − (αi + Ri (α))). f (z) = i=1 Vì zi , zi ∈ U và αi , Ri (α) là hằng số nên f ∈ U . Ta có n (h(zi ) − αi )(h(zi + Ri (z)) − (αi + Ri (α))) = 0. h(f ) = i=1 Mặt khác n n 2 |zi − αi | + f (z) = i=1 (zi − αi )(Ri (z) − Ri (α)). i=1 20