Tài liệu Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN ----------------------- NGÔ THỊ PHƯƠNG THANH CÁC TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA NGHIỆM SUY RỘNG PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60. 46. 01. 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội – Năm 2016 Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev . . . . . 1.1.1 Không gian W k,p (Ω) 1.1.2 Các ví dụ . . . . . . 1.1.3 Không gian W0k,p (Ω) 1.2 Không gian Hölder . . . . . 1.3 Các định lý nhúng . . . . . . 1.4 Nguyên lý loại trừ Fredholm 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng 2.1 Nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Nguyên lý cực đại yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Tính giải được của bài toán Dirichlet . . . . . . . . 2.2 Tính khả vi của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Tính khả tích của đạo hàm cấp hai bên trong miền 2.2.2 Tính khả tích của đạo hàm cấp cao bên trong miền 2.3 Tính bị chặn toàn cục của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . 2.4 Bất đẳng thức Harnack yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Nguyên lý cực đại mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Bất đẳng thức Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Tính liên tục Hölder của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Tính liên tục Hölder bên trong miền . . . . . . . . . 2.7.2 Tính liên tục Hölder trong lân cận của biên . . . . . KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 5 6 7 8 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 19 20 23 25 25 28 29 34 34 35 36 36 38 43 44 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Trong lý thuyết Phương trình đạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp hai, việc nghiên cứu về tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai là hết sức cần thiết. Thông thường các phương trình được suy ra từ các định luật bảo toàn, nên chúng thường được viết dưới dạng bảo toàn. Điều này cho phép định nghĩa lớp nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn mà trong đó độ trơn của các hệ số và của nghiệm được đòi hỏi một cách tối thiểu. Lớp nghiệm suy rộng thường được tìm trong các không gian Sobolev thích hợp. Sau khi đã chỉ ra được sự tồn tại của nghiệm suy rộng, thì các nghiên cứu về các tính chất định tính của chúng là rất cần thiết, và đã được nhắc đến trong tài liệu tham khảo. Để tìm hiểu những vấn đề đó, tôi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là "Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng phương trình elliptic tuyến tính cấp " . Tài liệu tham khảo chính của luận văn là chương 8 của cuốn sách chuyên khảo [2]. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai và các tính chất định tính của nghiệm suy rộng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Nguyên lý cực đại Tính khả vi của nghiệm yếu Tính bị chặn toàn cục của nghiệm yếu 2 - Bất đẳng thức Harnack - Tính liên tục Hölder của nghiệm yếu. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nội dung chủ yếu của luận văn là nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm suy rộng như nguyên lý cực đại, các đánh giá địa phương và toàn cục đối với nghiệm suy rộng. Luận văn gồm hai chương: Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Trình bày một số kiến thức về không gian Sobolev, không gian Hölder, các định lý nhũng và Nguyên lý loại trừ Fredholm. Chương 2. Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng. Đây là nội dung chính của luận văn, trình bày khái niệm nghiệm suy rộng, các điều kiện đủ để nghiệm suy rộng tồn tại và duy nhất, nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm suy rộng như nguyên lý cực đại, bất đẳng thức Harnack, tính liên tục Hölder. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết: thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được một nghiên cứu tổng quan về các tính chất định tính của nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp hại. 3 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chỉ bảo nghiêm khắc của PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo. Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô của Viện Toán Học, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2013 - 2015, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình. Hà Nội, tháng 3 năm 2016 Tác giả luận văn Ngô Thị Phương Thanh 4 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian Sobolev Không gian W k,p (Ω) Giả sử Ω ⊂ Rn là miền bị chặn với biên ∂Ω, không gian W k,p (Ω) được định nghĩa như sau Với k ∈ N; 1 ≤ p < +∞, đặt W k,p (Ω) = {u(x) ∈ Lp (Ω); Dα u ∈ Lp (Ω); ∀α : |α| ≤ k} (1.1) trong đó α = (α1 , α2 , ..., αn ); αj ∈ N; |α| = α1 +α2 +...+αn và Dα u = Dxα11 Dxα22 ...Dxαnn ; ∂ . Dxj = ∂x j Khi đó chuẩn của u ∈ W k,p (Ω) được định nghĩa bởi   p1 Z X kukk;p;Ω = kukW k,p (Ω) =  |Dα u|p dx . (1.2) Ω |α|≤k Một chuẩn khác tương đương là kukpW k,p (Ω) = X kDα ukpLp (Ω) . |α|≤k Nhận xét: Nếu k1 < k2 thì W k2 ,p ⊂ W k1 ,p . 1.1.2 Các ví dụ Ví dụ 1.1.1. Cho k = 0. Khi đó, ta có: W 0,p = Lp (Ω) . 5 (1.3) Ví dụ 1.1.2. Cho k = 1. Khi đó, ta có:  1,p W (Ω) = u(x); u(x) ∈ Lp (Ω); Dxj u ∈ Lp (Ω), ∀j , và kukpW 1,p (Ω) = ku(x)kpLp (Ω) n X Dxj u p p + L (Ω) . j=1 Ví dụ 1.1.3. Cho k = 2. Khi đó, ta có:  2,p p (Ω) = u(x) ∈ L (Ω); Dxj u, Dxj xk u ∈ Lp (Ω) , W và kukpW 2,p (Ω) = ku(x)kpLp (Ω) n X Dxj u p p + L j=1 1.1.3 n X Dxj xk u p p . + L (Ω) (Ω) j,k=1 Không gian W0k,p (Ω) Không gian Banach W0k,p (Ω) phát sinh do việc lấy bao đóng của C0k (Ω) trong W k,p (Ω). Các không gian W k,p (Ω), W0k,p (Ω) không trùng nhau đối với miền Ω bị chặn. Đặc biệt, khi p = 2, W k,2 (Ω), W0k,2 (Ω) (đôi khi kí hiệu là H k (Ω), H0k (Ω) là các không gian Hilbert với tích vô hướng Z X (u, v)k = Dα uDα vdx. (1.4) Ω |α|≤k Dùng sự kiện tích hữu hạn và các không gian con đóng của không gian Banach tách được (phản xạ) là các không gian Banach tách được (phản xạ) ta suy ra không gian W k,p (Ω), W0k,p (Ω) là tách được với 1 ≤ p < ∞ (phản xạ nếu 1 < p < ∞). Kí hiệu: W0k,p (Ω) = C0k (Ω). Khi đó  W0k,p (Ω) = u(x); u(x) ∈ W k,p (Ω), Dα u |∂Ω = 0, |α| ≤ k − 1 . (1.5) Trường hợp khi p = +∞, không gian Sobolev và Lipchitz có mối quan hệ với nhau, cụ thể là: k,∞ Wloc (Ω) = C k−1,1 (Ω) với Ω tùy ý W k,∞ (Ω) = C k−1,1 (Ω) với Ω đủ trơn. 6 1.2 Không gian Hölder Cho x0 là một điểm trên Rn và f là hàm được định nghĩa trên tập bị chặn D chứa x0 . Nếu 0 < α < 1, ta nói f là liên tục Hölder với lũy thừa α tại x0 nếu đẳng thức [f ]α;x0 = sup D |f (x) − f (x0 )| |x − x0 |α (1.6) là hữu hạn. Ta gọi [f ]α;x0 là α – hệ số Hölder của f tại x0 đối với tập D. Rõ ràng nếu f liên tục Hölder tại x0 thì f liên tục tại x0 . Khi (1.6) xác định với α = 1, f được gọi là liên tục Lipschitz tại x0 . Ví dụ 1.2.1. Hàm f trên B1 (0) được cho bởi f (x) = |x|β , với 0 < β < 1, là liên tục Hölder với lũy thừa β tại x = 0, và liên tục Lipschitz khi β = 1. Chú ý sự liên tục Hölder sẵn sàng được mở rộng trên toàn tập D (tập D không nhất thiết là bị chặn). Ta gọi f là liên tục Hölder đều với lũy thừa α trong D nếu đẳng thức |f (x) − f (y)| , 0 < α 6 1, |x − y|α x,y∈D [f ]α;D = sup (1.7) là hữu hạn. Và f là liên tục Hölder địa phương với lũy thừa α trong D nếu f là liên tục Hölder đều với lũy thừa α trên tập compact D. Hai khái niệm này hiển nhiên trùng nhau khi D compact. Hơn nữa, chú ý rằng liên tục Hölder địa phương có đặc tính mạnh hơn liên tục Hölder theo từng điểm trong các tập con compact. Một hàm liên tục Hölder địa phương sẽ liên tục Hölder theo từng điểm trong tập D, miễn là hàm đó bị chặn trong D. Sự liên tục Hölder được chứng tỏ là tiêu chuẩn định lượng của tính liên tục. Điều này cũng phù hợp với phương trình vi phân cục bộ. Hiển nhiên, đây còn là sự khả vi phân đoạn. Điều này đã mở rộng ra không gian các hàm khả vi.
Cho Ω là tập mở trong Rn và k là số nguyên không âm. Không gian C k,α Ω
(C k,α (Ω)) được định nghĩa như những không gian con của C k Ω (C k (Ω)), bao gồm các hàm có đạo hàm riêng thứ k là liên tục đều Hölder (liên tục Hölder địa phương) với lũy thừa α trong Ω. Để đơn giản, ta kí hiệu: C 0 (Ω) = C(Ω);

C 0,α Ω = C α Ω ; C 0,α (Ω) = C α (Ω) với 0 < α < 1.

Hơn nữa, bằng cách đặt C k,0 Ω = C k Ω ; C k,0 (Ω) = C k (Ω), ta có không gian C k (Ω)(C k (Ω)) nằm trong không gian C k,α (Ω)(C k,α (Ω)) với 0 ≤ α ≤ 1. Ta cũng kí hiệu C0k,α (Ω) là không gian các hàm trên C k,α (Ω) và compact trong Ω. 7 Ta đặt:     [u]k,0;Ω = Dk u0;Ω = sup sup Dβ u , k = 0, 1, 2, ... |β|=k Ω [u]k,α;Ω   = D k u  α;Ω (1.8)  = sup Dβ uα;Ω . |β|=k Với những nửa chuẩn này, ta định nghĩa các chuẩn liên kết sau: kukC k (Ω) = |u|k;Ω = |u|k,0;Ω = k X [u]j,0;Ω k X  j  D u = 0;Ω , (1.9) j=0 j=0 kukC k,α (Ω) = |u|k,α;Ω = |u|k;Ω + [u]k,α;Ω = |u|k,Ω + Dk u   α;Ω , lần lượt theo thứ tự trên không gian C k (Ω), C k,α (Ω) . Nếu Ω bị chặn, với d = diam Ω, ta đặt: kuk0C k (Ω) = |u|0k;Ω = k X j d [u]j,0;Ω = k X j=0   dj Dj u0;Ω ; (1.10) j=0 kuk0C k,α (Ω) = |u|0k,α;Ω = |u|0k;Ω + dk+α [u]k,α;Ω = |u|0k;Ω + d  k+α Dk u  α;Ω . Không gian C k (Ω), C k,α (Ω) lần lượt cùng với các chuẩn trên là các không gian Banach. Chú ý rằng tích của các hàm liên tục Hölder cũng là liên tục Hölder. Thực tế, nếu u ∈ C α (Ω), v ∈ C β (Ω) thì uv ∈ C γ (Ω) với γ = min(α, β) và kuvkC γ (Ω) ≤ max(1, dα+β−2γ ) kukC α (Ω) kvkC β (Ω) ; kuvk0C γ (Ω) ≤ kuk0C α (Ω) kvk0C β (Ω) . 1.3 Các định lý nhúng Định lý 1.3.1. Giả sử Ω là miền bị chặn. Khi đó ta có các phép nhúng sau  np L n−p (Ω) với p < n 1,p W0 (Ω) ⊂ C 0 (Ω) với p > n. Hơn nữa, tồn tại một hằng số c = c(n, p) sao cho với mọi u ∈ W01,p (Ω) thì: kuk np n−p ≤ c kDukp với p < n, 1 1 sup |u| ≤ c |Ω| n − p kDukp với p > n. Chứng minh. Chúng ta thiết lập đánh giá (1.11) cho các hàm C01 (Ω) Trường hợp p = 1 8 (1.11) Rõ ràng với u bất kì thuộc C01 (Ω) và i bất kì, 1 ≤ i ≤ n, thì Zxi |u(x)| ≤ |Di u| dxi , −∞ do đó:  n |u(x)| n−1 ≤  1  n−1 +∞ n Z Y |Di u| dxi  . (1.12) i=1−∞ Bất đẳng thức (1.12) bây giờ được lấy tích phân liên tục với mỗi biến xi , i = 1, .., n. Sau đó áp dụng bất đẳng thức Hölder tổng quát cho m = p1 = ... = pm = n − 1 cho mỗi tích phân, ta có:   n1 Z n Y kuk n ≤  |Di u| dx n−1 i=1 Ω ≤ Z X n 1 n |Di u| dx (1.13) i=1 Ω 1 ≤ √ kDi uk1 . n Do đó, bất đẳng thức (1.11) được thiết lập cho trường hợp p = 1. Các trường hợp còn lại có thể nhận được bằng cách thay thế u bằng lũy thừa của |u| trong đánh giá (1.13). Theo cách này chúng ta nhận được, với γ > 1 Z kuk n n−1 γ ≤√ n |u|γ−1 . |Du| dx Ω γ ≤ √ |u|γ−1 p . kDukp n do bất đẳng thức Hölder. Bây giờ với p < n, ta có thể chọn γ thỏa mãn: γn (γ − 1) p = , n−1 p−1 tức là: γ = (n−1)p n−p . Và do vậy, ta được: kuk np n−p γ ≤ √ kDukp , n như cần tìm. 9 Trường hợp p>n Với p > n ta viết: √ n |u| u e= kDukp và với |Ω| = 1, ta có: ku eγ kn0 ≤ γ u eγ−1 p0 ; n0 = n p ; p0 = . n−1 p−1 Do đó: 1 1− 1 1 1− 1 γ ekp0 (γ−1) ku ekγn0 ≤ γ γ ku ≤ γ γ ku ekp0 γ γ vì |Ω| = 1. 0 Cho phép thay thế γ bằng trị số δ ν , ν = 1, 2, ... mà δ = np0 > 1. Do đó, chúng ta có được: −ν −ν ν = 1, 2, ... ku ekn0 δν ≤ δ νδ ku ekn1−δ 0 δ ν−1 , Lặp lại ν = 1 và dùng (1.13), ta nhận được ν bất kì: ku ekδν ≤ δ P νδ −ν ≡ X. Do vậy, nếu ν → ∞, ta được: sup u e ≤ X, Ω và do đó: X sup |u| ≤ √ kDukp . n Ω 1 Để bỏ hạn chế |Ω| = 1 , ta xét biến đổi yi = |Ω| n xi . Ta có: 1 1 X sup |u| ≤ √ |Ω| n − p kDukp n Ω như cần tìm. Để mở rộng đánh giá (1.11) cho u tùy ý thuộc W01,p (Ω), ta giả sử {um } là một dãy các hàm của C01 (Ω) tiến đến u trong W 1,p (Ω). Áp dụng đánh giá (1.11) cho np hiệu um1 − um2 , ta thấy rằng dãy {um } sẽ là dãy Cauchy trong L n−p (Ω) với p < n
và trong C 0 Ω với p > n. Do vậy, hàm giới hạn u sẽ nằm trong không gian muốn có và thỏa mãn (1.11). 10 Chú ý: Hằng số tốt nhất thỏa mãn (1.11) cho trường hợp p < n là:   n1 n!Γ (n/2) 1 C=− √ n π 2Γ (n/p) Γ (n + 1 − n/p) n (p − 1) γ= n−p γ 1−1/p ; Khi p = 1, hằng số trên trở thành hằng số đẳng chu nổi tiếng n−1 (ωn )−1/n . Một không gian Banach B1 được gọi là nhúng liên tục trong không gian Banach B2 (kí hiệu: B1 → B2 ) nếu tồn tại một ánh xạ bị chặn liên tục 1 ÷ 1 : B1 → B2 . Định lý 1.3.1 có thể được phát biểu là các phép nhúng W01,p (Ω) → Lnp/(n−p) (Ω) nếu p < n, và W01,p (Ω) → C 0 (Ω) nếu p > n. Bằng cách lập lại kết quả của Định lý 1.3.1 k lần, chúng ta đạt được mở rộng của không gian W0k,p (Ω). Hệ quả 1.3.1. Lnp/(n−kp) (Ω) W0k,p (Ω) % & C m (Ω) nếu kp < n nếu 0 ≤ m < k − np . Trường hợp thứ hai là hệ quả của trường hợp thứ nhất cùng với trường hợp p > n trong Định lý 1.3.1. Các đánh giá (1.11) và mở rộng của chúng đối với không gian W0k,p (Ω) chỉ ra rằng một chuẩn trên W0k,p (Ω) có thể được xác định bởi:  1/p Z X kuk k,p = |Dα u|p dx . (1.14) W0 (Ω) Ω |α|=k Nói chung, W0k,p (Ω) không thể thay thế bởi W k,p (Ω) trong Hệ quả 1.3.1. Tuy nhiên, thay thế này có thể thực hiện cho một lớp lớn các miền Ω bao gồm, chẳng hạn các miền với biên liên tục Lipchitz. Tổng quát hơn, nếu Ω thỏa mãn điều kiện nón trong đều (có nghĩa là tồn tại một hình nón cố định KΩ sao cho ∀x ∈ Ω là đỉnh của hình nón KΩ (x) ⊂ Ω và giống như KΩ ), và có một phép nhúng: Lnp/(n−kp) (Ω) W k,p (Ω) % & C m (Ω) B nếu kp < n (1.15) nếu 0 ≤ m < k − np .  trong đó CBm (Ω) = u ∈ C m (Ω) | Dα u ∈ L∞ (Ω) với |α| ≤ m . Các kết quả nhúng của phần trước có thể thu được bằng cách khác và hoàn thiện thông qua việc sử dụng đánh giá thế vị nào đó. Cho µ ∈ (0; 1] và định nghĩa toán tử Vµ trên L1 (Ω) là thế vị Riesz sau đây Z (Vµ f )(x) = |x − y|n(µ−1) f (y)dy. (1.16) Ω 11 Toán tử Vµ được xác định tốt và ánh xạ L1 (Ω) vào chính nó sẽ xuất hiện như một hệ quả phụ của bổ đề tiếp theo. Đầu tiên, ta nhận thấy bằng cách đặt f ≡ 1 trong (1.16), Vµ 1 ≤ µ−1 ωn1−µ | Ω |µ . (1.17) Chọn R > 0 để |Ω| = |BR (x)| = ωn Rn . Khi đó: Z Z |x − y|n(µ−1) dy ≤ Ω |x − y|n(µ−1) dy BR(x) = µ−1 ωn Rnµ = µ−1 ωn1−µ |Ωµ | . Bổ đề 1.3.1. Toán tử Vµ , ánh xạ liên tục Lp (Ω) vào Lq (Ω) với q bất kì, 1 ≤ q ≤ ∞ thỏa mãn: 0 ≤ δ = δ(p, q) = p−1 − q −1 < µ. (1.18) Hơn nữa, với mọi f ∈ Lp (Ω),  kVµ f kq ≤ 1−δ µ−δ 1−δ ωn1−µ |Ω|µ−δ kf kp . (1.19) Chứng minh. Chọn r ≥ 1 sao cho: r−1 = 1 + q −1 − p−1 = 1 − δ Khi đó h(x − y) = |x − y|n(µ−1) ∈ Lp (Ω), và từ (1.17) ta thu được  1−δ khkr ≤ 1−δ µ−δ ωn1−µ |Ω|µ−δ . Đánh giá (1.19) có thể thu được bằng cách phỏng theo chứng minh thông thường của bất đẳng thức Young với phép tích chập trong Rn . Viết: h |f | = hr/q hr(1−1/p) |f |p/q |f |pδ , ta có thể đánh giá bằng bất đẳng thức Hölder |Vµ f (x)| ≤  Z  Ω hr (x − y) |f (y)|p dy 1/q   Z   Ω 12 hr (x − y)dy 1−1/p   Z   Ω |f (y)|p dy δ   . Do đó: Z kVµ f kq ≤ sup 1/r r kf kp h (x − y)dy Ω  ≤ 1−δ µ−δ 1−δ ωn1−µ |Ω|µ−δ kf kp . Bổ đề 1.3.2. Cho f ∈ Lp (Ω) và g = V1/p f . Khi đó tồn tại các hằng số c1 và c2 chỉ phụ thuộc vào n và p sao cho:   Z g p dx ≤ c2 |Ω| , p0 = . (1.20) exp c1 kf kp p−1 Ω Chứng minh. Từ Bổ đề 1.3.1, ta nhận được với mọi q ≥ p 1−1/p kgkq ≤ q 1−1/p+1/q ωn |Ω|1/q kf kp , do đó, Z 0 q/p0 |g|q dx ≤ q 1+q/p ωn |Ω| kf kqp Ω và hơn nữa với q ≥ p − 1 Z p0 q |g|  0 dx ≤ p0 |Ω| X 0 dx ≤ p q ωn p 0 q kf kpp q |Ω| . Ω Do đó:  Z X N 1 Ω N0 k! |g| c1 kf kp  p0 k p0 ωn cp1 0 !k kk , N0 = [p] . (k − 1)! 0 Chuỗi ở vế phải hội tụ với điều kiện cp1 > eωn p0 , từ định lý hội tụ đơn điệu ta có đánh giá (1.20). Các bổ đề tiếp theo nhằm làm rõ mối liên hệ giữa đạo hàm yếu và các thế vị ở trên. Bổ đề 1.3.3. Cho u ∈ W01,1 (Ω). Khi đó: Z u(x) = (xi − yi )Di u(y) dy. |x − y|n 1 nωn Ω 13 (1.21) Chứng minh. Giả sử rằng u ∈ C01 (Ω) và mở rộng u bằng cách cho u = 0 bên ngoài Ω. Khi đó, với vectơ ω bất kì có |ω| = 1, Z∞ u(x) = − Dr u(x + rω)dr. 0 Tích phân đối với ω , ta có được: 1 u(x) = − nωn Z∞ Z Dr u(x + rω)drdω 0 |ω|=1 = 1 nωn Z (xi − yi )Di u(y) dy |x − y|n |Ω| và (1.21) có được từ Bổ đề 1.3.1 và thực tế rằng C01 (Ω) là trù mật trong W01,1 (Ω). Ngoài ra, ta còn có được với u ∈ W01,1 (Ω) |u| ≤ 1 V |Du| nωn 1/n (1.22) Kết hợp Bổ đề 1.3.1 và bất đẳng thức (1.22), chúng ta có ngay phép nhúng W01,p (Ω) → Lp (Ω) với p−1 − q −1 < n−1 , điều này gần như đã là kết luận của Định lý 1.3.1. Trên thực tế, phiên bản yếu hơn sẽ phù hợp cho mục đích của phần này. Khi kết hợp Bổ đề 1.3.2 với (1.22), ta có được một kết quả chính xác hơn của trường hợp p = n được thể hiện trong định lý sau đây. Định lý 1.3.2. Cho u ∈ W01,n (Ω). Khi đó tồn tại các hằng số c1 , c2 chỉ phụ thuộc vào n, sao cho: n/(n−1)  Z |u| exp dx ≤ c2 |Ω| . (1.23) c1 kDukn Ω Chú ý: Đánh giá (1.22) dễ dàng tổng quát cho các đạo hàm yếu bậc cao hơn. Ta có, cho u ∈ W0k,1 (Ω), |u| ≤   1 Vk/n Dk u , (k − 1)!nωn (1.24) và dùng Bổ đề 1.3.2 ta có được một mở rộng của Định lý 1.3.2. Cụ thể là, tồn tại các hằng số c1 , c2 chỉ phụ thuộc vào n và k , sao cho nếu u ∈ W0k,p (Ω) với n = kp, 14 thì Z exp Ω |u| c1 Dk u n !p/(p−1) dx ≤ c2 |Ω| . (1.25) Trường hợp p > n của Định lý nhúng Sobolev có thể được chính xác hóa thông qua bổ đề sau. Bổ đề 1.3.4. Cho Ω lồi và u ∈ W 1,1 (Ω). Khi đó: Z n |u(x) − uS | ≤ d n |S| |x − y|1−n |Du(y)| dy, Ω hầu khắp nơi trên Ω, trong đó: Z uS = 1 |S| udx, d = diam Ω (đường kính của miền Ω), S và S là tập con đo được bất kì của Ω. Chứng minh. Cho u ∈ C 1 (Ω), x, y ∈ Ω: |x−y| Z u(x) − u(y) = − Dr u(x + rω)dr, ω= y−x . |y − x| 0 Tích phân theo y trên S , ta được: |x−y| Z Z |S| (u(x) − uS ) = − dy Dr u(x + rω)dr. 0 S Kí hiệu  V (x) = |Dr u(x)| , x ∈ Ω 0, x∈ / Ω. 15 (1.26) Do đó, ta có: Z∞ Z 1 |u(x) − uS | ≤ |S| V (x + rω)dr dy 0 |x−y| n, khi đó u ∈ C γ Ω , trong đó γ = 1 − n/p. Hơn nữa, với hình cầu bất kì B = BR - hình cầu bán kính R, osc u ≤ CRγ kDukp , Ω∩BR (1.27) trong đó C = C(n, p), osc u = sup |u(x) − u(y)|. ω x,y∈ω Chứng minh. Kết hợp đánh giá (1.26) và (1.19), cho S = Ω = B, q = ∞ và µ = n−1 , ta có: |u(x) − uB | ≤ C(n, p)Rγ kDukp (hầu khắp nơi (Ω ∩ B)). Từ đó suy ra kết quả vì: |u(x) − u(y)| ≤ |u(x) − uB | + |u(y) − uB | ≤ 2C(n, p)Rγ kDukp (hầu khắp nơi (Ω ∩ B)). Kết hợp Định lý 1.3.1 và Định lý 1.3.3, với u ∈ W01,p (Ω) và p > n, ta có đánh giá:   (1.28) |u|0,γ ≤ C 1 + (diam Ω)γ kDukp 16 Hơn nữa, kết quả của các Định lý 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3 có thể tóm lược theo sơ đồ sau đây: % Lnp/(n−p) (Ω), W01,p (Ω) p n. p & Cλ Ω ,
 − 1, p = n trong đó Lϕ (Ω) là kí hiệu của không gian Orlicz với hàm ϕ xác định. Từ Bổ đề 1.3.1 và 1.3.3 ta có: Với u ∈ W01,p (Ω), 1 ≤ p < ∞  1/n kukp ≤ 1 |Ω| ωn kDukp . (1.29) Trong khi mà từ Bổ đề 1.3.1 và 1.3.4 ta có: với u ∈ W 1,p (Ω) và Ω lồi:  1−1/n ku − uS kp ≤ ωn |S| dn kDukp , (1.30) d = diam Ω là đường kính của miền Ω. Định lý 1.3.4. Các không gian W01,p (Ω) được nhúng compact i) vào trong các không gian Lq (Ω) với mọi q < np/(n − p) nếu p < n và
ii) vào trong C 0 Ω nếu p > n. Bổ đề 1.3.5. Giả sử u ∈ W 1,p (Ω). Khi đó ∆h u ∈ Lp (Ω0 ) với mọi Ω0 ⊂⊂ Ω thỏa mãn h < dist(Ω0 , ∂Ω) và ta có: h ∆ u p 0 ≤ kDi ukLp (Ω) . L (Ω ) Bổ đề 1.3.6. Cho u ∈ Lp (Ω), 1 < p < ∞ và giả sử tồn tại hằng số K sao cho ∆h u ∈ Lp (Ω0 ) và ∆h u Lp (Ω0 ) ≤ K với mọi h > 0 và Ω0 ⊂⊂ Ω thỏa mãn h < dist(Ω0 , ∂Ω). Khi đó đạo hàm yếu Di u tồn tại và thỏa mãn kDi ukLp (Ω) ≤ K . 1.4 Nguyên lý loại trừ Fredholm Cho H1 và H2 là các không gian Hilbert. Một ánh xạ T : H1 → H2 được gọi là compact (hoặc liên tục hoàn toàn) nếu ánh xạ T biến các tập bị chặn trong H1 thành các tập tiền compact trong H2 hoặc ánh xạ T biến các dãy bị chặn trong H1 thành các dãy trong H2 mà có dãy con hội tụ. Từ đấy kéo theo các ánh xạ tuyến tính compact thì cũng liên tục nhưng điều ngược lại thì không đúng trừ khi H2 là không gian hữu hạn chiều. Nguyên lý Fredholm (hoặc lý thuyết Riesz 17 - Schauder) liên quan đến các toán tử tuyến tính compact từ không gian Hilbert H vào chính nó và là một mở rộng của lý thuyết các ánh xạ tuyến tính trong các không gian hữu hạn chiều. Giả sử T là toán tử tuyến tính compact từ H và H. Khi đó, toán tử liên hợp ∗ T cũng là tuyến tính compact. Ta có các định lý sau. Định lý 1.4.1. Các không gian bao gồm nghiệm của các phương trình thuần nhất x − T x = 0, x − T ∗ = 0, là các không gian hữu hạn chiều trong H và có cùng số chiều. Định lý 1.4.2. Cho T là ánh xạ tuyến tính compact của không gian Hilbert H vào chính nó. Khi đó, ta có Nguyên lý loại trừ Fredholm sau đây (i) hoặc phương trình thuần nhất x−T x = 0 có nghiệm không tầm thường x ∈ H (ii) hoặc với mỗi y ∈ H, phương trình x − T x = y với T ∗ có nghiệm duy nhất x ∈ H. Hơn nữa, toán tử (I − T )−1 tồn tại và bị chặn. Định lý 1.4.3. Cho H là không gian Hilbert và T là ánh xạ tuyến tính compact từ H vào chính nó. Khi đó, tồn tại một tập đếm được Λ ⊂ R không có điểm giới hạn ngoại trừ khả năng λ = 0, như vậy nếu λ 6= 0, λ ∈ / Λ thì các phương trình λx − T x = y, λx − T ∗ x = y (1.31) xác định được duy nhất nghiệm x ∈ H, với mọi y ∈ H, và các ánh xạ nghịch đảo (λI − T )−1 , (λI − T ∗ )−1 là bị chặn. Nếu λ ∈ Λ, các không gian nghiệm của các ánh xạ λI − T, λ − T ∗ có số chiều hữu hạn dương và phương trình (1.31) là giải được nếu và chỉ nếu y trực giao với không gian nghiệm của λI − T ∗ trong trường hợp thứ nhất và trực giao với không gian nghiệm của λI − T trong trường hợp còn lại. 18 Chương 2 Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng 2.1 2.1.1 Nghiệm suy rộng Định nghĩa Cho toán tử L có dạng Lu = Di aij (x) Dj u + bi (x) u + ci (x) Di u + d (x) u
(2.1) các hệ số aij , bi , ci , d (i, j = 1, ..., n) giả sử là các hàm đo được trong miền bị chặn Ω ⊂ Rn . Ta quy ước rằng phép cộng được lấy theo các chỉ số lặp. Nếu giả sử hàm u khả vi yếu và các hàm aij Dj u + bi u, ci Di u + du, i = 1, ..., n khả tích địa phương. Khi đó, u là nghiệm của Lu = 0(≥ 0, ≤ 0) trong Ω nếu Z  ij

L (u, v) = a Dj u + bi u Dv − ci Di u + du v dx = 0 (≤ 0, ≥ 0) (2.2) Ω với mọi hàm không âm v ∈ C01 (Ω). Nếu các hệ số của L khả tích địa phương và hàm u ∈ C 2 (Ω) thì từ (2.2) suy ra Lu = 0 (≥ 0, ≤ 0) theo nghĩa cổ điển cũng thỏa mãn các quan hệ trong chiều suy rộng. Hơn nữa, nếu các hệ số aij , bi có các đạo hàm riêng khả tích địa phương, khi đó nghiệm suy rộng u ∈ C 2 (Ω) còn được gọi là nghiệm cổ điển. Định nghĩa 2.1.1. Cho f i , g, i = 1, .., n là các hàm thuộc L2 (Ω). Khí đó, hàm u(x) ∈ W 1,2 (Ω) được gọi là nghiệm yếu hay nghiệm suy rộng của phương trình không thuần nhất Lu = g + Di f i (2.3) 19