Tài liệu Khung sóng nhỏ

Mục lục Mở đầu 2 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert . . 5 1.2 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian L1 (R) . 8 1.3.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian L2 (R) . . 8 1.4 Khung trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Khung và việc xử lý tín hiệu . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Khung sóng nhỏ 22 2.1 Các điều kiện cần và đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Khung sóng nhỏ không đều . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 1 Mở đầu Khung được R.J. Duffin và A.C. Schaeffer [7] đưa ra năm 1952 trong khi họ nghiên cứu về chuỗi Fourier không điều hòa. Tuy nhiên, phải đến năm 1986 sau bài báo của I. Daubechies và A. Grossmann và Y. Meyer [6] thì khung mới được các nhà khoa học quan tâm rộng rãi. Khung được sử dụng nhiều trong các lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý hình ảnh, nén dữ liệu, lý thuyết mẫu, lý thuyết mật mã, lý thuyết lượng tử. . . Một khung có thể xem như một cơ sở trực chuẩn suy rộng. Nếu {fi }, i ∈ I là một khung cho không gian Hilbert H thì bất kỳ véc tơ f ∈ H nào cũng có thể viết như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử fi . Các hệ số không nhất thiết duy nhất và khai triển nói chung là không trực giao. Nhờ tính thừa mà khung có nhiều ứng dụng quan trọng trong xử lý tín hiệu và hình ảnh bởi vì nó cho chúng ta tính bền vững: chất lượng của tín hiệu bị ảnh hưởng ít hơn khi có nhiễu tiếng ồn và tín hiệu có thể khôi phục lại từ các mẫu có độ chính xác tương đối thấp [1]. Lịch sử của sóng nhỏ được bắt đầu vào khoảng năm 1982. Lý thuyết sóng nhỏ là kết quả của sự nỗ lực của nhiều ngành và góp phần đem các nhà toán học, vật lý, kỹ sư ngồi lại với nhau. Có rất nhiều lý do cho sự thành công của lý thuyết này. Một trong đó là khả năng ứng dụng rộng rãi của nó. Những ứng dụng của sóng nhỏ có mặt trong xử lý tín hiệu, kỹ thuật nâng cao chất lượng hình ảnh, nén dấu vân tay, nhận dạng đối tượng, kỹ thuật giảm tiếng ồn âm thanh. 2 MỤC LỤC Một câu hỏi cơ bản trong giải tích sóng nhỏ là với các điều kiện nào đặt trên hàm ψ sao cho một tín hiệu bất kì f ∈ L2 (R) có thể khai triển thông qua các phiên bản giãn nở và tịnh tiến của ψ , tức là thông qua các hàm ψ a,b (x) :=  1 |a| 1 2 ψ  x−b , a 6= 0, b ∈ R. a Có hai cách để khai triển một hàm f thông qua các hàm ψ a,b . Một cách là viết f như tích phân chứa ψ a,b lấy trên R2 . Một cách khác, ta có thể hạn chế các tham số a, b trên một tập con rời rạc Λ của R2 và ta viết f dưới dạng chuỗi của các hàm tương ứng ψ a,b . Trong ứng dụng, cách thứ hai thường được lựa chọn. Trong luận văn này chúng ta sẽ đi nghiên cứu cách để chọn các tập con rời rạc Λ và hàm ψ sao cho {ψ a,b }(a,b)∈Λ là một khung của L2 (R). Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về các khung sóng nhỏ trong không gian L2 (R) và được sự đồng ý hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu “Khung sóng nhỏ” để thực hiện luận văn tốt nghiệp. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1 dành cho các kiến thức chuẩn bị, được chia làm 5 mục lớn. Mục 1.1 trình bày các tính chất của toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert. Mục 1.2 nhắc lại một số không gian hàm số được sử dụng trong luận văn. Mục 1.3 dành cho các kiến thức cơ sở của phép biến đổi Fourier. Mục 1.4 nghiên cứu về khungtrong không gian Hilbert. Mục 1.5 trình bày ứng dụng của khung trong xử lý tín hiệu nhờ tính chất thừa của nó. Chương 2 chứa đựng nội dung chính của luận văn, được chia làm 3 mục. Mục 2.1 trình bày các điều kiện cần và đủ. Mục 2.2 trình bày một số ví dụ. Mục 2.3 trình bày các khung sóng nhỏ không đều. 3 MỤC LỤC Luận văn được hoàn thành tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới cô Nguyễn Quỳnh Nga đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô và cán bộ công nhân viên của Viện Toán học đã quan tâm giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Viện. Hà Nội, ngày 28 tháng 8 năm 2015 Hoàng Mạnh Hùng 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một vài kết quả cơ bản sẽ dùng trong chương sau. Nội dung của chương này được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo [1], [5], [9]. 1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert Toán tử tuyến tính từ không gian Hilbert H và không gian Hilbert K là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là, tồn tại hằng số C > 0 sao cho ||T x|| ≤ C ||x|| , ∀x ∈ H. (1.1) Kí hiệu B(H, K) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào K . Khi H = K thì B(H, K) được kí hiệu đơn giản là B(H). Chuẩn của T ∈ B(H, K) được định nghĩa là hằng số C nhỏ nhất thỏa mãn (1.1). Nói một cách tương đương, ||T || = sup {||T x|| : x ∈ H, ||x|| ≤ 1} = sup {||T x|| : x ∈ H, ||x|| = 1}. Mệnh đề 1.1.1. Giả sử H, K, L là các không gian Hilbert. Nếu T ∈ B(H, K) thì tồn tại duy nhất một phần tử T ∗ ∈ B(K, H) sao cho (T ∗ x, y) = (x, T y), x ∈ K, y ∈ H 5 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Hơn nữa, (i) (aS + bT )∗ = aS ∗ + bT ∗ . (ii) (RS)∗ = S ∗ T ∗ . (iii) (T ∗ )∗ = T . (iv) I ∗ = I . (v) Nếu T khả nghịch, thì T ∗ cũng khả nghịch và (T −1 )∗ = (T ∗ )−1 , trong đó S, T ∈ B(H, K), R ∈ B(K, L) và a, b ∈ C. Mệnh đề 1.1.2. Giả sử T ∈ B(H, K) và S ∈ B(K, L). Khi đó (i) ||T x|| ≤ ||T |||x||, ∀x ∈ H . (ii) ||ST || ≤ ||S||||T ||. (iii) ||T || = ||T ∗ ||. (iv) ||T ∗ T || = ||T ||2 . Cho T ∈ B(H). T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T ∗ = T, T được gọi là dương ( ký hiệu T ≥ 0) nếu (T x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ H . T, K ∈ B(H), T ≥ K nếu T − K ≥ 0. Chú ý rằng với mỗi T ∈ B(H) thì (T ∗ T x, x) = (T x, T x) ≥ 0 với mọi x ∈ H . Do đó, T ∗ T là dương. 1.2 Một số không gian hàm Định nghĩa 1.2.1. Cho p ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞. Ta định nghĩa không gian Lp (R) với 1 ≤ p ≤ ∞ như sau Lp (R) = {f : R → R ( hay C) : f đo được và R |f |p < ∞} với R 1 ≤ p < ∞. L∞ (R) = {f : R → R ( hay C) : f đo được và tồn tại C sao cho |f (x)| ≤ C h.k.n}. 6 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị  Kí hiệu kf kp = R p  p1 |f | và kf k∞ = inf {C : |f (x)| ≤ C h.k.n}. R Chú ý - Lp (R) với 1 ≤ p ≤ ∞ là không gian Banach với chuẩn ||.||p. R - L2 (R) là không gian Hilbert với tích vô hướng (f, g) = R f g với f, g ∈ L2 (R). - Nếu f ∈ L∞ (R) thì |f (x)| ≤ ||f ||∞ h.k.n. Định lý 1.2.1. ( Bất đẳng thức Hölder) Cho f ∈ Lp (R), g ∈ Lq (R)với 1/p + 1/q = 1, 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó f g ∈ L1 (R) và Z |f g| ≤ kf kp kgkq . (1.2) R Đặc biệt, khi p = q = 2 ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Z |f g| ≤ kf k2 kgk2 . (1.3) R Cho I là một khoảng bị chặn trong R. Khi đó ta định nghĩa L2 (I) và tích vô hướng trên đó tương tự như L2 (R) và tích vô hướng bên trên, chỉ thay tích phân trên R thành tích phân trên I . Ta cũng có công thức tương tự như (1.3), tương ứng cho f, g ∈ L2 (I). Trong luận văn cũng sử dụng không gian Cc (R), được định nghĩa như sau Cc (R) = {f : R → C : f liên tục và có giá compact}, trong đó giá của hàm thường được kí hiệu là supp f và được định nghĩa như sau supp f = {x ∈ R và f (x) 6= 0}. 1.3 Phép biến đổi Fourier Trước tiên chúng ta nhắc lại định nghĩa và các tính chất của phép biến đổi Fourier trong không gian L1 (R). 7 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.3.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian L1 (R) Định nghĩa 1.3.1. Phép biến đổi Fourier của một hàm f ∈ L1 (R) được cho bởi công thức fˆ(w) = (Ff )(w) = Z e−2πixw f (x)dx. R Một số tính chất cơ bản của fˆ(w) với f ∈ L1 (R) được cho trong hai định lý sau. Định lý 1.3.1. Cho fˆ ∈ L1 (R). Khi đó ∞ ˆ (i) f ∈ L (R) và fˆ ∞ ≤ kf kL1 (R) . L (R) (ii) fˆ liên tục đều trên R. (iii) fˆ(w) → 0 khi w → ±∞. Định lý 1.3.2. Nếu f, g ∈ L1 (R) và β, γ ∈ C, a, b, w ∈ R, α ∈ Z+ thì (i) F(βf + γg) = β F(f ) + γ F(g). (ii) F(Ta f )(w) = e−2πiaw fˆ(w). (iii) FEb f (w) = fˆ(w − b). (iv) (Dα f )(w) = (2πiw)α fˆ(w) trong đó Ta f (t) = f (t − a), Eb f (t) = e2πibt f (t). 1.3.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian L2 (R) Định lý 1.3.3. Cho f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R). Khi đó phép biến đổi Fourier của f là fˆ ∈ L2 (R) và thỏa mãn đồng nhất thức Parseval ||fˆ||L2 (R) = ||f ||L2 (R) . 8 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Từ định lý này ta thấy phép biến đổi Fourier F : L1 (R) ∩ L2 (R) → L2 (R) là toán tử tuyến tính bị chặn. Do L1 (R) ∩ L2 (R) là trù mật trong L2 (R) nên F có thể thác triển lên toàn bộ L2 (R) mà vẫn bảo toàn chuẩn. Cụ thể hơn nếu f ∈ L2 (R) thì ( f (x) nếu |x| ≤ N fN (x) = 0 nếu |x| > N , N = 1, 2, ... nằm trong L1 (R) ∩ L2 (R). Do đó fˆN ∈ L2 (R). Có thể kiểm tra được rằng {fˆN } là dãy Cauchy trong L2 (R). Do tính đầy đủ của L2 (R) ta có thể tìm được fˆ∞ ∈ L2 (R) sao cho lim||fˆN − fˆ∞ ||L2 (R) = 0. Định nghĩa 1.3.2. Phép biến đổi Fourier fˆ của hàm f ∈ L2 (R) được định nghĩa là giới hạn fˆ∞ của {fˆN }N . Chú ý Định nghĩa fˆ của hàm f ∈ L2 (R) là độc lập với sự lựa chọn của fN ∈ L1 (R) ∩ L2 (R). Nói cách khác, bất kỳ dãy Cauchy nào khác trong L1 (R) ∩ L2 (R) mà xấp xỉ f trong L2 (R) có thể sử dụng để định nghĩa fˆ. Định lý 1.3.4. ( Định lý Plancherel) Cho f, g ∈ L2 (R). Khi đó, (f, g) = (fˆ, ĝ). (1.4) ||f ||L2 (R) = ||fˆ||L2 (R) . (1.5) Đặc biệt, Bổ đề 1.3.1. Cho a > 1, b > 0, ψ ∈ L2 (R). Kí hiệu ψj,k (x) = aj/2 ψ(aj x − kb), j, k ∈ Z. Khi đó 9 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị −j ψ̂j,k (ξ) = a−j/2 e−2πia kbξ ψ̂(a−j ξ) (1.6) Chứng minh. Z∞ ψ̂j,k (ξ) = −∞ Z∞ = ψj,k (x) e−2πixξ dx
j a 2 ψ aj x − kb e−2πixξ dx. −∞ Đặt y = aj x − kb. Khi đó x = a−j y + a−j kb và dx = a−j dy . Từ đó Z∞ ψ̂j,k (ξ) = −j −j a 2 ψ (y)e−2πiya ξ −2πia−j kbξ e dy −∞ −j −j = a 2 e−2πia kbξ
ψ̂ a−j ξ .  1.4 Khung trong không gian Hilbert Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung cần đến cho Chương 2. Các kết quả này có thể tham khảo ở các tài liệu [1], [5]. Cho H là một không gian Hilbert khả ly với tích vô hướng < ., . > tuyến tính theo thành phần thứ nhất, tuyến tính liên hợp theo thành phần thứ hai. Định nghĩa 1.4.1. Dãy {fi }∞ i=1 trong H được gọi là dãy Bessel nếu tồn tại B > 0 sao cho ∞ X |(f, fi )2 | ≤ B||f ||2 , ∀f ∈ H . i=1 B được gọi là cận Bessel của {fi }∞ i=1 . 10 (1.7) Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.4.2. Một dãy{fi }∞ i=1 trong H được gọi là một khung nếu tồn tại hai hằng số 0 < A ≤ B < ∞ sao cho ∞ X 2 A||f || ≤ |(f, fi )|2 ≤ B||f ||2 , ∀f ∈ H. (1.8) i=1 Các số A, B được gọi là các cận khung, chúng không là duy nhất. Cận khung dưới tối ưu là superemum trên tất cả các cận khung dưới và cận khung trên tối ưu là infimum trên tất cả các cận khung trên. Chú ý rằng các cận khung tối ưu là các cận khung thật sự. Khung {fi }∞ i=1 được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parseval nếu A = B = 1. Mệnh đề 1.4.1. Cho một dãy {fj }m j=1 trong không gian Hilbert hữu hạn m chiều V . Khi đó {fj }m j=1 là một khung cho span {fj }j=1 . Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng không phải tất cả các fj đều bằng 0. Như vậy ta thấy điều kiện khung trên là thỏa mãn với m X B= ||fj ||2 . j=1 Bây giờ ta đặt W = span {fj }m j=1 và xem xét ánh xạ liên tục Φ : W → R Φ (f ) = m X |(f, fj ) |2 . j=1 Mặt cầu đơn vị trong W là compact, vì vậy ta có thể tìm g ∈ W với ||g|| = 1 sao cho A := m X |(g, fj )|2 = inf j=1  m X  j=1   2 |(f, fj )| : f ∈ W, kf k = 1 .  Rõ ràng là A > 0. Bây giờ ta lấy f ∈ W, f 6= 0. Ta có  2 m m  X X   f   ||f ||2 ≥ A||f ||2 . |(f, fj )|2 = , f j   ||f || j=1 j=1 Mệnh đề được chứng minh.  11 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Hệ quả 1.4.1. Một họ các phần tử {fj }m j=1 trong V là một khung của V khi và chỉ khi span{fj }m j=1 = V . Hệ quả trên chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần tử cần thiết để là cơ sở. Đặc biệt, nếu {fj }kj=1 là một khung của V và k m {gj }m j=1 là một tập hữu hạn tùy ý các véc tơ trong V thì {fj }j=1 ∪{gj }j=1 cũng là một khung của V . √ Ví dụ 1.4.1. Lấy H = R2 , e1 = (0, 1)T , e2 = √ 3 1 ,− 2 2 là 3/2. e3= 3 1 , 2 2 !T , !T . Khi đó {e1 , e2 , e3 } là một khung chặt với cận khung Thật vậy, với x = (x1 , x2 )T ∈ H bất kỳ, ta có, !2 !2 √ √ 3 X 3 1 3 1 x1 + x2 + x1 − x2 |(x, ej )|2 = x22 + 2 2 2 2 j=1 =
3 2 3 x1 + x22 = ||x||2 2 2 Ví dụ 1.4.2. Giả sử {ek }∞ k=1 là một cơ sở trực chuẩn của H (i) {ek }∞ k=1 là khung Parseval. (ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {ek }∞ k=1 hai lần ta thu được ∞ {fk }∞ k=1 = {e1 , e1 , e2 , e2 , ...}. Khi đó {ek }k=1 là khung chặt với cận khung A = 2. Thật vậy, ta có ∞ P |(f, fk )|2 = 2 k=1 ∞ P |(f, ek )|2 = 2 ||f ||2 , ∀f ∈ H . k=1 Nếu chỉ e1 được lặp lại ta thu được{fk }∞ k=1 = {e1 , e1 , e2 , e3 , ...}. 12 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Khi đó {fk }∞ k=1 là khung với cận A = 1, B = 2. Thật vậy, ta có ∞ X 2 2 |(f, fk )| = |(f, e1 )| + ∞ X |(f, ek )|2 k=1 k=1 ≤ ∞ X 2 |(f, ek )| + k=1 ∞ X =2 ∞ X |(f, ek )|2 k=1 |(f, ek )|2 = 2||f ||2 . k=1 Mặt khác, 2 |(f, e1 )| + ∞ X 2 |(f, ek )| ≥ k=1 Do đó ||f ||2 ≤ ∞ P ∞ X |(f, ek )|2 = ||f ||2 . k=1 |(f, ek )|2 ≤ 2||f ||2 , ∀f ∈ H . k=1 Vì vậy {fk }∞ k=1 là một khung với một cận khung dưới là 1 và một cận khung trên 2.   1 1 1 1 1 (iii) Giả sử {fk }∞ e1 , √ e2 , √ e2 , √ e3 , √ e3 , √ e3 , ... k=1 := 2 2 3 3 3 1 nghĩa là, {fk }∞ k=1 là dãy mà mỗi véc tơ √ ek được lặp lại k lần. k Khi đó với mỗi f ∈ H ta có   2 ∞ ∞ X X   1 2 |(f, fk )| = k  f, √ ek  = ||f ||2 . k k=1 k=1 Vì thế {fk } là một khung chặt của H với cận khung A = 1. Ví dụ 1.4.3. Cho K = L2 (T ) trong đó T là đường tròn đơn vị với độ đo Lebesgue chuẩn hóa. Khi đó {eins }n∈Z là một cơ sở trực chuẩn. Nếu E ⊂ T là tập đo được bất kỳ thì {eins |E }n∈Z là một khung Parseval cho L2 (E). Thật vậy, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau. 13 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Bổ đề 1.4.1. Cho H là một không gian Hilbert và K là một không gian con đóng của H . Gọi P là phép chiếu trực giao của H lên K và {ei }i∈I là một cơ sở trực chuẩn của H . Khi đó {P ei }i∈I là một khung Parseval của K . Chứng minh. Gọi f là phần tử thuộc K bất kì. Khi đó P f = f . Ta có X X X 2 2 |(f, P ei )| = |(Pf, ei )| = |(f, ei )|2 = ||f ||2 . i∈I i∈I i∈I Do đó {P ei }i∈I là khung Parseval của K .  Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh {eins |E }n∈Z là khung Parseval cho L2 (E). Cho f˜ ∈ L2 (E). Đặt ( f˜ (t) = f (t) nếu t ∈ E 0 nếu t ∈ T \E. Khi đó f˜(t) ∈ L2 (T ). Do đó bằng cách đồng nhất f và f˜ ta có thể coi L2 (E) là một không gian con đóng của L2 (T ). Gọi P là phép chiếu trực giao từ L2 (T ) lên L2 (E). Khi đó P (eins ) = eins |E . Do {eins }n∈Z là cơ sở trực chuẩn của L2 (T ) nên theo Bổ đề 1.4.1 là {eins |E } khung của Parseval cho L2 (E). Bổ đề sau chỉ ra rằng ta chỉ cần kiểm tra điều kiện Bessel (1.7) trong một tập con trù mật của H . Bổ đề 1.4.2. Giả sử {fk }∞ k=1 là một dãy các phần tử trong H và tồn tại hằng số B > 0 sao cho ∞ X |(f, fk )|2 ≤ Bkf k2 , k=1 với mọi f trong tập con trù mật V của H . Khi đó {fk }∞ k=1 là một dãy Bessel với cận B . 14 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chứng minh. Ta cần chứng minh điều kiện Bessel (1.7) thỏa mãn với mọi phần tử trong H . Giả sử g ∈ H và X |(g, fk )|2 > Bkgk2 . k=1 Khi đó tồn tại tập hữu hạn F ⊂ N mà X |(g, fk )|2 > Bkgk2 . k∈F Vì V trù mật trong H nên tồn tại h ∈ V sao cho X |(h, fk )|2 > Bkhk2 . k∈F Mâu thuẫn này chứng tỏ rằng {fk }∞ k=1 là dãy Bessel với cận B .  ∞ Định lý 1.4.1. Giả sử {fk }∞ k=1 là một dãy trong H . Khi đó {fk }k=1 là một dãy Bessel B khi và chỉ khi T : {ck }∞ k=1 → ∞ X ck fk k=1 là toàn tử hoàn toàn xác định, tuyến tính, bị chặn từ l2 (N) vào H và √ kT k ≤ B . Chứng minh. Trước hết, giả thiết {fk }∞ k=1 là dãy Bessel với cận Bessel B . 2 ∞ Giả sử {ck }∞ k=1 ∈ l (N). Ta phải chỉ ra T {ck }k=1 là hoàn toàn xác định, ∞ P tức là ck fk hội tụ. k=1 15 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Xét m, n ∈ N, n > m. Khi đó    m n n  X   X X    ck fk | =  ck fk  = sup  ck fk − |   ||g||=1  k=1 k=1 k=m+1 n X ≤ sup n X k=m+1 !   ck fk , g   |ck (fk , g)| ||g||=1 k=m+1 ≤ ≤ ! 12 n X |ck |2 k=m+1 n X √ B( sup kgk=1 n X ! 21 |(fk , g)|2 k=m+1 1 |ck |2 ) 2 k=m+1  n P 2 ∞ 2 Do {ck }∞ |ck | k=1 ∈ l (N), ta biết rằng k=1  n ∞ P Tính toán trên chỉ ra rằng ck fk k=1 là dãy Cauchy trong C. n=1 là một dãy Cauchy trong n=1 H và do đó hội tụ. Vậy T {ck }∞ k=1 là hoàn toàn xác định. Rõ ràng T là tuyến tính. Từ ∞ ||T {ck }∞ k=1 || = sup |(T {ck }k=1 , g)| ||g||=1 tính toán trên chỉ ra T bị chặn và kTk ≤ √ B. Để chứng minh điều ngược lại, giả sử T là hoàn toàn xác định và √ kTk ≤ B . Khi đó ∞  X  2 (f, fk )| < ||T|| 2 ||f ||2 , ∀f ∈ H. k=1 Từ đó {fk }∞ k=1 dãy Bessel với cận Bessel B . Hệ quả 1.4.2. Nếu {fk }∞ k=1 là một dãy trong H và ∞ X ck fk k=1 2 ∞ hội tụ với mọi {ck }∞ k=1 ∈ l (N) thì {fk }k=1 là một dãy Bessel. 16  Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Hệ quả 1.4.3. Nếu {fk }∞ k=1 là một dãy Bessel trong H thì ∞ P ck fk hội k=1 2 tụ không điều kiện với mọi {ck }∞ k=1 ∈ ` (N). Do một khung {fk }∞ k=1 là một dãy Bessel nên toán tử 2 T : ` (N) → H, T {ck }∞ k=1 = ∞ X ck fk k=1 bị chặn bởi Định lý 1.4.1. T được gọi là toán tử tổng hợp. Gọi T ∗ : H → `2 (N) là toán tử liên hợp của T . Theo định nghĩa của toán tử liên hợp thì với mọi j ta có (T∗ f, ej ) = (f, Tej ) = (f, fj ). ∗ Từ đó T∗ f = {(f, fj )}∞ j=1 . T được gọi là toán tử phân tích. Hợp thành của T và T ∗ được gọi là toán tử khung. ∗ S : H → H, Sf = TT f = ∞ X (f, fk )fk . k=1 Mệnh đề 1.4.2. Giả sử {fk }∞ k=1 là một khung với toán tử khung S và các cận khung A, B . Khi đó ta có các khẳng định sau (i) S bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tử dương. −1 −1 (ii) {S −1 fk }∞ k=1 là khung với các cận B , A . Nếu A, B là các cận −1 −1 tối ưu của {fk }∞ là tối ưu của {S −1 fk }∞ k=1 thì các cận B , A k=1 . −1 Toán tử khung của {S −1 fk }∞ k=1 là S . ∞ Khung {S −1 fk }∞ k=1 được gọi là khung đối ngẫu của {fk }k=1 . Khai triểu khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quan trọng nhất. Nó chỉ ra rằng nếu {fk }∞ k=1 là một khung của H thì mọi phần tử trongH có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử khung. Do đó ta có thể xem khung như một dạng cơ sở suy rộng. 17 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Định lý 1.4.2. Giả sử {fk }∞ k=1 là một khung với toán tử khung là S . Khi đó ∞ X (f, S −1 fk )fk , ∀ f ∈ H f= k=1 Chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f ∈ H . Chứng minh. Giả sử f ∈ H . Sử dụng các tính chất của toán tử khung trong Mệnh đề 1.4.2 ta có −1 f = SS f = ∞ X −1 (S f, fi )fi = i=1 ∞ X (f, S −1 fi )fi , ∀f ∈ H. i=1 ∞ −1 là một dãy Bessel và (f, S f ) ∈ `2 (N) theo Hệ quả Do {fk }∞ k k=1 k=1  1.4.3 chuỗi hội tụ không điều kiện.  Bổ đề sau chỉ ra rằng chỉ cần kiểm tra điều kiện khung trong một tập trù mật. Bổ đề 1.4.3. Giả sử {fk }∞ k=1 là một dãy của các phần tử trong H và tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho ∞ X 2 A ||f || ≤ |(f, fk )|2 ≤ B||f ||2 , (1.9) k=1 với mọi f trong một tập hợp con trù mật V của H . Khi đó {fk }∞ k=1 là một khung của H với các cận A, B . Chứng minh. Ta đã chứng minh trong Bổ đề 1.4.2, {fk }∞ k=1 là một dãy Bessel với cận B nếu (1.9) được thỏa mãn. Bây giờ ta chứng minh rằng (1.9) kéo theo điều kiện khung dưới được thỏa mãn trên H . Biểu thị dưới dạng toán tử phân tích T ∗ , giả thiết của ta nghĩa là A||f ||2 ≤ ||T ∗ f ||2 , ∀ f ∈ V. 18 (1.10) Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Do T ∗ bị chặn và V trù mật trong H kéo theo (1.10) thỏa mãn với mọi f ∈ H.  Gọi F, F̃ là các toán tử phân tích tương ứng của khung {fk }∞ k=1 và khung đối ngẫu {S −1 fk }∞ k=1 của nó. Gọi RF là miền giá trị của toán tử F. Mệnh đề 1.4.3. (xem [5]) F̃ ∗ F = Id = F ∗ F̃ và F̃ F ∗ = F F̃ ∗ là phép chiếu trực giao từ `2 (N) lên RF = RF̃ . 1.5 Khung và việc xử lý tín hiệu Trong mục nhỏ này ta mô tả vài bước để áp dụng những kết quả trừu tượng trong lý thuyết khung vào trong thực hành. Thành phần cơ bản nhất trong toán học là các số thực, đã bị thay đổi khi làm việc với máy tính. Mỗi số phải được thay thế bởi một số với hữu hạn chữ số thập phân trước khi xử lý. Điều này có nghĩa là trong thực   hành ta biểu diễn tất cả các số trên một khoảng (ví dụ 1, 1 + 10−8 ) bằng cùng một số (trong trường hợp này số này là số 1). Điều này dẫn đến một sai số, được gọi là sai số lượng tử hóa. Hạn chế cơ bản trong ứng dụng của các kết quả khung là bất kỳ kiểu xử lý tín hiệu nào đều phải thực hiện trên dãy số hữu hạn. Điều này ∞ P kéo theo biểu diễn f = (f, fk )S −1 fk , với mọi f ∈ H sẽ bị cắt cụt, k=1 ta chỉ có thể tập trung vào tính toán một số hữu hạn các hệ số khung, ví dụ {(f, fk )}N k=1 và biểu diễn chính xác f= ∞ X (f, fk )S −1 fk , ∀f ∈ H k=1 phải được thay thế bởi f∼ N X (f, fk )S −1 fk . k=1 19 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Thậm chí tính toán các hệ số khung (f, fk ) nói chung chỉ có thể làm với độ chính xác hữu hạn. Nghĩa là, kết quả của một tính toán sẽ là (f, fk ) + ωk , với một lỗi ωk nào đó (hy vọng nhỏ). Tất cả các kiểu truyền hay xử lý sẽ sinh ra thêm các lỗi. Ta nói rằng các hệ số khung (f, fk ) đã bị nhiễu bởi tiếng ồn ωk . Năm 1986, J. Morlet đã chú ý rằng tính thừa của khung dẫn đến tính bền vững, theo nghĩa là chúng ta có thể lưu trữ các hệ số khung với độ chính xác thấp mà vẫn có thể khôi phục lại tín hiệu với độ chính xác cao hơn nhiều. Ký hiệu F là toán tử phân tích tương ứng với khung {fk }. Nếu khung là một cơ sở trực chuẩn thì F : H → l2 (N), F f = {(f, fj )}∞ j=1 là một ánh xạ unita và ảnh F (H) = l2 (N). Nếu khung là thừa, tức là các fj là không độc lập tuyến tính thì F (H) = RF là một không gian con thực sự của l2 (N). Khung càng thừa thì RF càng nhỏ hơn. Theo Mệnh đề 1.4.3 thì f = Fe ∗ F f và Fe ∗ c = 0 nếu c ∈ R⊥ . Nếu (f, fj ) bị F nhiễu bởi ωj thì hàm được khôi phục sẽ là fapprox = Fe ∗ (F f + ω) = f + Fe ∗ ω, trong đó ω = {ωj }j . Do đó e∗ kf − fapprox k = F ω ≤ kωk . Do đó nếu RF càng nhỏ tức là khung càng thừa thì kf − fapprox k càng nhỏ. Tính thừa của khung có thể giảm bớt ảnh hưởng của tiếng ồn, so sánh với sử dụng một cơ sở trực chuẩn. 20