Tài liệu Luận văn thạc sĩ tuán học định lý sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN HUYỀN TRANG ĐỊNH LÝ SARD NỬA ĐẠI SỐ CHO TẬP GIÁ TRỊ TỚI HẠN SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN HUYỀN TRANG ĐỊNH LÝ SARD NỬA ĐẠI SỐ CHO TẬP GIÁ TRỊ TỚI HẠN SUY RỘNG Chuyên ngành: Hình học và tô pô Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐINH SĨ TIỆP Hà Nội - 2015 2 Lời nói đầu Định lý Sard là một trong những định lý quan trọng, và được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Định lý Sard được phát biểu như sau: Định lý: Cho f : Rn → Rk là ánh xạ khả vi vô hạn, U là tập mở trong Rn . Đặt Σ = {x ∈ U : rank (dfx ) < k}, tập các điểm tới hạn của f . Khi đó K0 (f ) = f (Σ) ⊂ Rk , tập các giá trị tới hạn của f , có độ đo Lebesgue bằng không. Nếu Σ = ∅ (f (Σ) = ∅) và f là riêng thì theo định lý phân thớ Ehresmann, f là phân thớ tầm thường địa phương. Hơn nữa nếu Σ 6= ∅ và f là riêng thì f là phân thớ tầm thường địa phương trên Rk \f (Σ). Gọi B (f ) là tập các y ∈ Rk sao cho f không phải là phân thớ tầm thường địa phương tại y, hay tập các giá trị rẽ nhánh của f . Dễ thấy B (f ) ⊇ K0 (f ). Nếu f không riêng, nói chung B (f ) 6= K0 (f ) (Xem Ví dụ 3.24). Việc đặc trưng B (f ) vẫn là một câu hỏi mở ngay cả cho trường hợp f là đa thức. Xét f : Rn → Rk là ánh xạ nửa đại số, khả vi vô hạn. Theo [8], B (f ) ⊂ K (f ) = K0 (f ) ∪ K∞ (f ) với K∞ (f ) là tập các giá trị tới hạn tại vô hạn của f được định nghĩa như sau     k n   y ∈ R : ∃xl ∈ R , kxl k → ∞, K∞ (f ) =    f (xl ) → y, (1 + kxl k)ν(df (xl )) → 0 với ν là hàm Rabier (xem Định nghĩa 3.2). Mục đích chính của luận văn này là tìm hiểu Định lý Sard nửa đại số cho tập các giá trị tới hạn suy rộng K (f )(Định lý 4.1). Định lý này khẳng định tập K∞ (f ) là một tập "bé"(có độ đo Lebesgue bằng 0) và do đó f là phân thớ tầm thường địa phương trên một tập đủ lớn mà cụ thể hơn là tập nửa đại số mở trù mật của Rk . Luận văn cấu trúc gồm bốn chương. Chương 1 trình bày kiến thức về Giải tích hàm và Hình học vi phân. Chương 2 trình bày khái niệm cơ bản của hình học nửa đại số như tập nửa đại số, hàm nửa đại số và trình bày Định lý Tarski-seidenberg và một số hệ quả. Chương 3 trình bày về hàm Rabier, tập các giá trị tới hạn suy rộng và tập các giá trị rẽ 3 nhánh. Trong Chương 3 tác giả cũng trình bày kỹ một vài ví dụ minh họa cho các tập trên. Chương 4 trình bày nội dung và chứng minh cụ thể của Định lý Sard nửa đại số cho tập các giá trị tới hạn suy rộng. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Đinh Sĩ Tiệp. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy, người hướng dẫn khoa học của mình, người đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tôi. Đồng thời tôi cũng xin được chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đọc kỹ bản thảo luận văn và chỉ dẫn cho tôi những ý kiến quý báu. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Viện Toán học-Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, Trung tâm đào tạo sau đại học và các thầy cô trong tổ hình học và topo đã tạo mọi điều kiện cho tôi về tài liệu và thủ tục hành chính để tôi hoàn thành bản luận văn này. Cuối cùng tôi xin được bày tỏ sự biết ơn tới gia đình, người thân và bạn bè về những lời khích lệ động viên tôi trong suốt quá trình học tập, để tôi có thể vượt qua mọi khó khăn và đạt kết quả như ngày hôm nay. Do điều kiện về thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo nhiệt tình của các thầy cô và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cám ơn! Hà Nội, năm 2015 Học viên Nguyễn Huyền Trang 4 Bảng kí hiệu N R R+ Rn A×B hu, vi Ā A◦ SX (x, R) BX (x, R) gradf (a) R [x1 , ..., xn ] f∗ k.k f|D Tập các số tự nhiên. Tập các số thực. Tập các số thực dương. Không gian thực n chiều. Tích đề các của hai tập hợp A và B . Tích vô hướng của hai vectơ u và v . Bao đóng của A trong không gian topo. Phần trong của A. Mặt cầu tâm x bán kính R trong không gian X . Hình cầu mở tâm x bán kính R trong không gian X . Gradient của f tại a. Không gian các đa thức hệ số thực. Toán tử liên hợp của toán tử f . Chuẩn Euclide trên Rn . Hạn chế của f trên D. Mục lục LỜI NÓI ĐẦU 2 BẢNG KÍ HIỆU 4 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Một số khái niệm và định lý của giải tích hàm . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Một số khái niệm và định lý của độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Phân thớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Hình học nửa đại số 2.1 2.2 11 Tập nửa đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2 Đinh lý Tarski-Seidenberg và hệ quả . . . . . . . . . . . . . . 14 Hàm nửa đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Hàm Rabier và tập các giá trị tới hạn suy rộng của hàm số 25 3.1 Hàm Rabier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Tập các giá trị tới hạn suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4 Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng 5 48 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong phần này tác giả nhắc lại một số kiến thức về Giải tích hàm và Hình học vi phân cần thiết để định nghĩa hàm Rabier và tập các giá trị tới hạn, đồng thời được sử dụng trong chứng minh Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (Định lý 4.1). 1.1 Một số khái niệm và định lý của giải tích hàm Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian tuyến tính trên trường R. Ta nói k.k là chuẩn trên X nếu nó thỏa 3 tính chất sau: 1)||x|| > 0, ∀x ∈ X; ||x|| = 0 ⇔ x = 0. 2)||kx|| = |k|.||x||; ∀x ∈ X, k ∈ R. 3)||x + y|| 6 ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X. Nếu k.k là chuẩn trên X, ta nói (X, k.k) là không gian tuyến tính định chuẩn (còn đọc tắt là không gian định chuẩn). Định nghĩa 1.2. Không gian Banach là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ. Cụ thể hơn, X là không gian Banach nếu X là không 6 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị gian định chuẩn sao cho mọi dãy Cauchy (tương ứng với metric d(x, y) = kx − yk) đều có giới hạn trong X. Cho X và Y là các không gian banach trên R. Tập hợp các ánh xạ tuyến tính liên tục f : X → Y được ký hiêu là L(X, Y ). Nếu Y = R ta đặt X 0 = L(X, R). Nhận xét 1.3. 1) Với các không gian định chuẩn hữu hạn chiều thì mọi toán tử tuyến tính đều liên tục. 2) L(X, Y ) với chuẩn ||A|| = sup ||Ax||, A ∈ x∈X,||x|| = 1 L(X, Y ) là không gian Banach. Định nghĩa 1.4. Cho một không gian tuyến tính X trên R. Hàm số f : X → R được gọi là dưới tuyến tính nếu   f (αx) = αf (x) ; ∀x ∈ X, ∀α ∈ R+ .  f (x + y) 6 f (x) + f (y) ; ∀x, y ∈ X. Định nghĩa 1.5. Ánh xạ tuyến tính f : X → R được gọi là phiếm hàm tuyến tính. Định nghĩa 1.6. Cho A và B là hai tập hợp con của không gian định chuẩn X. Ta nói siêu phẳng H = {x ∈ X : f (x) = α ∈ R} tách A và B nếu:    ∀x ∈ A, f (x) 6 α.   ∀x ∈ B, f (x) > α. Định lí 1.7. (Định lý Hahn–Banach dạng giải tích). Giả sử f : X → R là dưới tuyến tính và ϕ : U → R là một phiếm hàm tuyến tính trên một không gian con U của X. Nếu ϕ bị chặn trên bởi f trên U (|ϕ (x)| 6 7 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị f (x), ∀x ∈ U ) thì tồn tại một mở rộng tuyến tính ψ : X → R của ϕ (ψ (x) = ϕ (x) , ∀x ∈ U ) cũng bị chặn trên bởi f trên X. Định lí 1.8. (Định lý Hahn–Banach dạng hình học). Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của không gian định chuẩn X, A là tập mở. Khi đó tồn tại siêu phẳng tách A và B. Định lí 1.9. (Nguyên lý ánh xạ mở). Nếu f : X → Y là một toán tử tuyến tính toàn ánh liên tục giữa các không gian Banach X và Y , thì f là một ánh xạ mở. Đặc biệt ∃r > 0 : f (BX (0, 1)) ⊃ BY (0, r). 1.2 Một số khái niệm và định lý của độ đo Định nghĩa 1.10. Cho tập hợp X, kí hiệu 2X là các tập con của X. Tập Σ ⊂ 2X được gọi là σ-đại số nếu: 1)Σ 6= ∅. 2)A ∈ Σ ⇒ X\A ∈ Σ. 3)Ai ∈ Σ, i ∈ I đếm được thì ∪ Ai ∈ Σ. i∈I Định nghĩa 1.11. Hàm µ : Σ → R ∪ {+∞} được gọi là một độ đo trên X nếu: 1)∀A ∈ Σ, µ(A) > 0. 2)µ(∅) = 0. 3){Ai }i∈I , I đếm được, Ai ∩Aj = ∅, i 6= j ⇒ µ( ∪ Ai ) = i∈I P µ(Ai ). i∈I Nếu µ là một độ đo trên X, thì mọi phần tử của Σ được gọi là µ-đo được, hay đơn giản hơn là đo được. Bộ (X, Σ, µ) được gọi là một không gian đo được. 8 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.12. Cho (X1 , Σ1 , µ1 ) ; (X2 , Σ2 , µ2 ) là các không gian đo được. Hàm f : X1 → X2 được gọi là đo được nếu ∀A ∈ Σ2 , f −1 (A) ∈ Σ1 . Định nghĩa 1.13. Cho (X, Σ, µ) là một không gian đo được, A ∈ Σ. Một dãy hàm {fn } được gọi là hội tụ hầu khắp nơi tới hàm số f trên tập A nếu ∃B ⊂ A, B ∈ Σ, µ(B) = 0 sao cho lim fn (x) = f (x), ∀x ∈ A\B. n→∞ Định lí 1.14. (Định lý lebesgue về sự hội tụ bị chặn) Giả sử fn là dãy các hàm đo được trên X thỏa mãn: 1) fn bị chặn bởi một hàm khả tích g không âm trên X |fn (x)| 6 g(x), ∀n > 1, ∀x ∈ X. 2) fn hội tụ hầu khắp nơi tới f . Khi đó f khả tích và Z lim Z fn dµ = n→∞ X f dµ. X Định nghĩa 1.15. Cho hình hộp B = [x1 , y1 ] × ... × [xn , yn ] , (xi < yi ). n Q (yi − xi ). Kí hiệu thể tích của B là V oln (B) = i=1 Định nghĩa 1.16. Cho A ∈ Rn . Độ đo ngoài Lebesgue, kí hiệu V oln∗ (A), được định nghĩa bởi V oln∗ (A) = inf ( X ) V oln (Bα ) α∈I với {Bα }α∈I là một phủ đếm được của A bằng các hình hộp. Độ đo Lebesgue của A được cho bởi độ đo ngoài Lebesgue V oln (A) = V oln∗ (A) nếu với E ⊂ Rn V oln∗ (E) = V oln∗ (A ∩ E) + V oln∗ ((Rn \A) ∩ E). 9 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Nhận xét 1.17. Tập A ⊂ Rn có độ đo không nếu ∀ε > 0, ∃ phủ mở đếm P được của A bằng một họ các hình hộp {Bα }α∈I sao cho V oln (Bα ) < ε. α∈I 1.3 Phân thớ Định nghĩa 1.18. Cho f : Rn → Rk khả vi vô hạn lần. Ánh xạ f được gọi là một phân thớ khả vi tầm thường trên Rk nếu tồn tại vi phôi ϕ : Rn → Rk × F với F là đa tạp n − k chiều sao cho biểu đồ sau giao hoán ϕ Rn → − Rk × F f& .π Rk với π : Rk × F → Rk (y, z) 7→ y Định nghĩa 1.19. Cho f : Rn → Rk khả vi vô hạn lần, V ⊂ Rk là tập mở. Ánh xạ f được gọi là phân thớ khả vi tầm thường địa phương trên V nếu f |f −1 (V ) : f −1 (V ) → V là một phân thớ tầm thường trên V . Định nghĩa 1.20. Cho f : Rn → Rk khả vi vô hạn lần, a ∈ Rk . Ánh xạ f được gọi là phân thớ (khả vi) tầm thường tại a nếu f là một phân thớ tầm thường địa phương trên một lân cận Va của a. 10 Chương 2 Hình học nửa đại số 2.1 Tập nửa đại số Trước tiên, ta trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của tập nửa đại số. Đồng thời trình bày Định lý Tarski-seidenberg cùng một số hệ quả của nó. 2.1.1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 2.1. ([3]) Một tập con nửa đại số trong Rn là tập các điểm của Rn thỏa mãn tổ hợp hữu hạn các phương trình và bất phương trình đa thức với hệ số thực. Cụ thể hơn, các tập con nửa đại số của Rn hình thành lớp nhỏ nhất SAn các tập con của Rn sao cho: 1) Nếu P ∈ R [x1 , ..., xn ] thì {x ∈ Rn : P (x) = 0} ∈ SAn và {x ∈ Rn : P (x) > 0} ∈ SAn . 2) Nếu A ∈ SAn và B ∈ SAn thì A ∪ B ∈ SAn , A ∩ B ∈ SAn và Rn \A ∈ SAn . Mệnh đề 2.2. Mọi tập con nửa đại số của Rn là hợp của hữu hạn các 11 Chương 2. Hình học nửa đại số tập con nửa đại số có dạng: {x ∈ Rn : P (x) = 0, Q1 (x) > 0, ..., Ql (x) > 0} với l ∈ N và P, Q1 , ..., Ql ∈ R[x1 , ..., xn ]. Ví dụ 2.3. • Tập con nửa đại số trong R là hợp của hữa hạn điểm và khoảng mở. Chứng minh. Tập con nửa đại số trong R là hợp của hữu hạn các tập có dạng: {x ∈ R : P (x) = 0, Q1 (x) > 0, ..., Ql (x) > 0} với l ∈ N; P, Q1 , ..., Ql ∈ R [x]. Phương trình P (x) = 0, x ∈ R có hữu hạn nghiệm. Các bất phương trình Qi (x) > 0, x ∈ R cho ta hữu hạn khoảng mở. Vậy tập con nửa đại số trong R là hợp của hữa hạn điểm và khoảng mở. • Tập đại số trong Rn là tập nửa đại số. • Cho F : Rm → Rn là ánh xạ đa thức. F = (F1 , ..., Fm ), với Fi ∈ R[x1 , ..., xn ]. Nếu A là tập con nửa đại số trong Rn thì F −1 (A) là tập con nửa đại số của Rm . Chứng minh. Ta có A là tập nửa đại số nên A là hợp hữu hạn của các tập có dạng {y ∈ Rn : P (y) = 0, Q1 (y) > 0, ..., Ql (y) > 0} với l ∈ N và P, Q1 , ..., Ql ∈ R[y1 , ..., yn ]. Để đơn giản ta giả sử chính A có dạng đó. Khi đó 12 Chương 2. Hình học nửa đại số F −1 (A) = {x ∈ Rm : F (x) ∈ A} = {x ∈ Rm : P (F (x)) = 0, Q1 (F (x)) > 0, ..., Ql (F (x)) > 0} = {x ∈ Rm : (P ◦ F )(x) = 0, (Q1 ◦ F )(x) > 0, ..., (Ql ◦ F )(x) > 0} . Vì ánh xạ F là ánh xạ đa thức và P, Q1 , ..., Ql ∈ R[y1 , ..., yn ] nên {x ∈ Rm : (P ◦ F )(x) = 0, (Q1 ◦ F )(x) > 0, ..., (Ql ◦ F )(x) > 0} là nửa đại số hay F −1 (A) là nửa đại số. • Nếu A là tập con nửa đại số của Rn và L ⊂ Rn là một đường thẳng thì L ∩ A là hợp của hữu hạn điểm và khoảng mở. Do đó L ∩ A là nửa đại số. • Nếu A ⊂ Rm và B ⊂ Rn là các tập nửa đại số thì A × B là tập con nửa đại số của Rm × Rn . Chứng minh. Giả sử  A = x ∈ Rm : P 1 (x) = 0, Q11 (x) > 0, ..., Q1l (x) > 0  B = y ∈ Rn : P 2 (y) = 0, Q21 (y) > 0, ..., Q2k (y) > 0 trong đó l, k ∈ N, P 1 , Q11 , ..., Q1l ∈ R[x1 , ..., xm ] và P 2 , Q21 , ..., Q2k ∈ R [y1 , ..., yn ]. Khi đó A × B = {(x, y) ∈ Rm × Rn : x ∈ A, y ∈ B}  

2 2    (x, y) ∈ Rm × Rn : P 1 (x) + P 2 (y) = 0,  =   Q11 (x) > 0, ..., Q1l (x) > 0, Q21 (y) > 0, ..., Q2k (y) > 0  là tập nửa đại số. 13 Chương 2. Hình học nửa đại số 2.1.2 Đinh lý Tarski-Seidenberg và hệ quả Định lí 2.4. (Tarski-Seidenberg-dạng thứ nhất)([3]). Cho hệ phương trình và bất phương trình đa thức theo biến là T = (T1 , ..., Tp ) và X, với hệ số trong R   S1 (T, X).1 0       S2 (T, X).2 0 S(T, X) :   ···      S (T, X). 0 l l ở đó .i ∈ {=, 6=, >, >}. Khi đó tồn tại một thuật toán cho ta một danh sách hữu hạn C1 (T ), ..., Ck (T ) các hệ phương trình và bất phương trình đa thức trong T với hệ số thực sao cho với mọi t ∈ Rp , hệ S(t, X) có nghiệm thực khi và chỉ khi một trong các Cj (t) được thỏa mãn. Nói cách khác, công thức "∃X, S(T, X)" tương đương với "C1 (X) hoặc ... hoặc Ck (X)". Định lý Tarski-Seidenberg khẳng định sự tồn tại của một thuật toán để loại trừ biến thực X. Định lí 2.5. (Tarski-Seidenberg-dạng thứ hai)([3]). Cho A là tập con nửa đại số của Rn+1 và π : Rn+1 → Rn là ánh xạ chiếu lên n tọa độ đầu tiên. Khi đó π(A) là tập con nửa đại số của Rn . Chứng minh. Vì A là hợp hữu hạn của các tập có dạng  x = (x1 , ..., xn+1 ) ∈ Rn+1 ; P (x) = 0; Q1 (x) > 0, ..., Qk (x) > 0 với l ∈ N và P, Q1 , ..., Qk ∈ R[x1 , ...xn+1 ]. Để đơn giản ta có thể giả sử rằng chính A có dạng đó. Ta có π(A) = {(x1 , ..., xn ) ∈ Rn : ∃xn+1 ∈ R, (x1 , ..., xn+1 ) ∈ A} . 14 Chương 2. Hình học nửa đại số Theo định lý 2.4, tồn tại một tổ hợp C(x1 , ...xn ) các phương trình và bất phương trình đa thức sao cho mỗi phần tử của π(A) đều thỏa mãn C(x1 , x2 , ...xn ), do đó π(A) là nửa đại số. Hệ quả 2.6. 1) Nếu A là tập con nửa đại số của Rn+k thì ảnh của nó bởi phép chiếu lên n tọa độ đầu tiên là một tập con nửa đại số của Rn . 2) Nếu A là một tập con nửa đại số của Rm và F : Rm → Rn là một ánh xạ đa thức thì ảnh trực tiếp F (A) là một tập con nửa đại số của Rn . Chứng minh. Hệ quả 1) dễ dàng được suy ra từ Định lý 2.5 bởi quy nạp theo k. Với hệ quả 2), trước hết ta có {(y, x) ∈ Rn × Rm : x ∈ A; y = F (x)} là tập con nửa đại số của Rm × Rn . Xét phép chiếu của tập đó lên Rn ta thu được F (A). Áp dụng 1) ta có F (A) là nửa đại số. Hệ quả 2.7. Nếu A là tập con nửa đại số của Rn thì bao đóng của nó trong Rn cũng là nửa đại số. Chứng minh. Bao đóng của A là: n 2 n 2 Ā = x ∈ R : ∀ε ∈ R, ε > 0, ∃y ∈ A : kx − yk < ε o . Ta có: n o 2 n 2 R \Ā = R \ x ∈ R : ∀ε ∈ R, ε > 0, ∃y ∈ A : kx − yk < ε      n  (x, ε) ∈ R × R :    n = π1 {(x, ε) ∈ R × R, ε > 0} \    ∃y ∈ A : kx − yk2 < ε2       n n  (x, ε, y) ∈ R × R × R     n = π1 {(x, ε) ∈ R × R, ε > 0} \π2    y ∈ A, k x − yk2 < ε2   n n 15 Chương 2. Hình học nửa đại số trong đó π1 (x, ε) = x và π2 (x, ε, y) = (x, ε).  Ta thấy (x, ε, y) ∈ Rn × R × Rn , y ∈ A, k x − yk2 < ε2 là nửa đại  số, suy ra π2 (x, ε, y) ∈ Rn × R × Rn , y ∈ A, k x − yk2 < ε2 là nửa đại số. Vì {(x, ε) ∈ Rn × R, ε > 0} là nửa đại số nên Rn \Ā là nửa đại số. Do đó Ā là nửa đại số. Ta thấy rằng việc viết ra phép chiếu để chứng tỏ một tập con là nửa đại số thường khá phức tạp. Do đó, chúng ta sẽ sử dụng cách viết công thức nhiều hơn. Trước hết ta cần định nghĩa "công thức thứ tự đầu tiên". Định nghĩa 2.8. ([3]) Công thức thứ tự đầu tiên thu được bởi các quy tắc sau: 1) Nếu P ∈ R [x1 , ...xn ] thì P = 0 và P > 0 là công thức thứ tự đầu tiên. 2) Nếu Φ và Ψ là công thức thứ tự đầu tiên thì "Φ và Ψ", "Φ hoặc Ψ", "không Φ" (kí hiệu tương ứng là Φ ∧ Ψ, Φ ∨ Ψ, ¬Φ) là công thức thứ tự đầu tiên. 3) Nếu Φ là công thức thứ tự đầu tiên và x thuộc R thì ∃xΦ và ∀xΦ là công thức thứ tự đầu tiên. Công thức thu được bởi chỉ quy tắc 1) và 2) được gọi là "công thức lượng hóa tự do".Theo định nghĩa, tập con A ⊂ Rn là nửa đại số khi và chỉ khi tồn tại công thức lượng hóa tự do Φ(x1 , ..., xn ) sao cho (x1 , ..., xn ) ∈ A ⇔ Φ(x1 , ..., xn ). Định lí 2.9. (Tarski-Seidenberg-dạng thứ ba)([3]). Nếu Φ(x1 , ..., xn ) 16 Chương 2. Hình học nửa đại số là công thức thứ tự đầu tiên thì tập các (x1 , ..., xn ) ∈ Rn thỏa mãn Φ(x1 , ..., xn ) là nửa đại số. Chứng minh. Dễ thấy quy tắc 1) và 2) chỉ sinh ra các tập nửa đại số. Đối với quy tắc 3), nếu  A = (x1 , ..., xn+1 ) ∈ Rn+1 : φ (x1 , ..., xn+1 ) là nửa đại số thì {(x1 , ..., xn ) ∈ Rn : ∃xn+1 , φ (x1 , ..., xn+1 )} là ảnh của A qua phép chiếu lên Rn , do đó, là nửa đại số theo Định lý 2.5. Tương tự B = {(x1 , ..., xn ) ∈ Rn : ∀xn+1 , φ (x1 , ..., xn+1 )} là nửa đại số vì Rn \B = {(x1 , ..., xn ) ∈ Rn : ∃xn+1 , ¬φ (x1 , ..., xn+1 )} là nửa đại số. Nhận xét 2.10. Theo Định lý 2.8, "Mỗi công thức thứ tự đầu tiên tương đương với một công thức lượng hóa tự do". Chú ý 2.11. Nhận xét trên không đúng trong trường hợp khoảng biến thiên không phải là R, Rn hoặc tập con nửa đại số của Rn . Ví dụ tập  (x, y) ∈ R2 : ∃n ∈ N, y = nx không là nửa đại số do N không là nửa đại số. Chú ý 2.12. 1) Cho tập nửa đại số A = {x ∈ Rn : h(x) > 0} thì nói  chung Ā 6= {x ∈ Rn : h(x) > 0}. Ví dụ A = x ∈ R2 : x31 − x21 − x22 > 0 , 17 Chương 2. Hình học nửa đại số ta có (0, 0) ∈  x ∈ R2 : x31 − x21 − x22 > 0 nhưng với mọi x ∈ A thì x1 > 1, do đó (0, 0) ∈ / Ā. 2) Cho tập nửa đại số A = {x ∈ Rn : h(x) > 0} thì nói chung A◦ 6=  {x ∈ Rn : h(x) > 0}. Ví dụ A = x ∈ R : (1 − x)x2 (1 + x) > 0 = [−1, 1].  Ta có 0 ∈ A◦ = (−1, 1) nhưng tập x ∈ Rn , (1 − x)x2 (1 + x) > 0 không chứa 0. 2.2 Hàm nửa đại số Tiếp theo, ta trình bày định nghĩa và một số tính chất của hàm nửa đại số. Định nghĩa 2.13. ([3]) Cho A ⊂ Rn và B ⊂ Rk là các tập nửa đại số. Ánh xạ f : A → B được gọi là nửa đại số nếu đồ thị của nó Γf = {(x, y) ∈ A × B : y = f (x)} là tập con nửa đại số của Rn × Rk . Ví dụ 2.14. • Nếu f : A → B là ánh xạ đa thức (tất cả tọa độ của f đều là đa thức) thì nó là nửa đại số. Chứng minh. Ta có Γf = {(x, y) ∈ A × B : y = f (x)} = {(x, y) ∈ A × B : f (x) − y = 0} là tập nửa đại số nên f là hàm nửa đại số. • Nếu f : A → B là ánh xạ hữa tỉ chính quy (tất cả các tọa độ của f là phân thức hữu tỉ không triệt tiêu trên A) thì nó là nửa đại số. 18 Chương 2. Hình học nửa đại số  gk (x) g1 (x) , ..., Chứng minh. Giả sử f (x) = (f1 (x), ..., fk (x)) = h1 (x) hk (x) gi (x), hj (x) là các ánh xạ đa thức, hj (x) 6= 0, ∀x ∈ A. Khi đó  với Γf = {(x, y) ∈ A × B : yi = fi (x), i = 1, ..., k}   gi (x) = (x, y) ∈ A × B : yi = , hi (x) 6= 0, ∀x ∈ A, i = 1, ..., k hi (x) = {(x, y) ∈ A × B : gi (x) − yi .hi (x) = 0, i = 1, ..., k} là tập nửa đại số nên f là hàm nửa đại số. • Nếu f : A → R là hàm nửa đại số thì |f | là hàm nửa đại số. Chứng minh. Do f là nửa đại số nên ta có Γf là hợp của hữu hạn các tập có dạng {(x, y) ∈ A × R : P (x, y) = 0, Q1 (x, y) > 0, ..., Ql (x, y) > 0} với l ∈ N; P (x, y), Q1 (x, y), ..., Ql (x, y) ∈ R [x, y]. Để đơn giản ta có thể giả sử rằng chính Γf có dạng đó. Khi đó Γ|f | = {(x, y) ∈ A × R : y = |f (x)|}      {(x, y) ∈ A × R : y = f (x), y > 0} ∪ =   {(x, y) ∈ A × R : y = −f (x), y > 0}         (x, y) ∈ A × R : P (x, y) = 0, Q1 (x, y) > 0, ...,       = Ql (x, y) > 0, y > 0} ∪ {(x, y) ∈ A × R : P (x, −y) = 0,           Q (x, −y) > 0, ..., Q (x, −y) > 0, y > 0 1 l là tập nửa đại số nên |f | là hàm nửa đại số. • Nếu f : A → R là hàm nửa đại số và f > 0 trên A thì √ f là hàm nửa đại số. Chứng minh. Do f là nửa đại số nên ta có Γf là hợp của hữu hạn các 19