VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
PHÙNG THANH HẢI
NÚT BI-A
TRONG HÌNH LẬP PHƯƠNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2015
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
PHÙNG THANH HẢI
NÚT BI-A
TRONG HÌNH LẬP PHƯƠNG
Chuyên ngành: Hình học và Tô pô
Mã số: 60 46 01 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS VŨ THẾ KHÔI
HÀ NỘI - 2015
Möc löc
Líi nâi ¦u
Danh möc kþ hi»u
1 Nót v link
1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n . . . . . . . . . . . .
1.1.1 H¼nh £nh trüc quan v· nót . . . . .
1.1.2 ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Bi¸n d¤ng v t÷ìng ÷ìng cõa nót
1.1.4 Sì ç v h¼nh chi¸u . . . . . . . . .
1.1.5 ành h÷îng . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Dàch chuyºn Reidemeister . . . . .
1.2 Mët v i b§t bi¸n cõa nót . . . . . . . . . .
1.2.1 Sè li¶n k¸t . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 a thùc Alexander . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
4
5
5
5
5
7
10
13
15
19
19
23
2 Nót Lissajous v nót Bi-a
26
K¸t luªn
Phö löc A: Sì ç nót
Phö löc B: a thùc Alexander
T i li»u tham kh£o
40
41
43
43
2.1 ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Sü bi¸n d¤ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 T½nh èi xùng cõa nót Bi-a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1
Líi nâi ¦u
Tæpæ theo quan iºm h¼nh håc l mët ng nh khoa håc nghi¶n cùu c¡c b§t bi¸n
Tæpæ, tùc l c¡c t½nh ch§t khæng thay êi qua c¡c ph²p bi¸n êi li¶n töc. Lþ thuy¸t
nót l mët bë phªn quan trång cõa Tæpæ. Lþ thuy¸t nót ÷ñc khði x÷îng bði C. F.
Gauss v o kho£ng 1835-1840. Sau â ÷ñc mët håc trá xu§t sc cõa Gauss l J. B.
Listing ph¡t triºn v nghi¶n cùu nh÷ mët èi t÷ñng cõa Tæpæ. Trong v i ba thªp
ni¶n g¦n ¥y, lþ thuy¸t nót ph¡t triºn r§t m¤nh v t¼m ÷ñc nhi·u ùng döng trong
c£ nëi t¤i to¡n håc công nh÷ trong vªt lþ, cì håc. M°c dò cæng cö ¤i sè r§t húu
döng trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu nh÷ng cì b£n lþ thuy¸t nót thuëc v· tæpæ h¼nh
håc. Möc ½ch cõa vi»c nghi¶n cùu tæpæ c¡c nót l cè gng t¼m hiºu c¡c t½nh ch§t
tæpæ, h¼nh håc cõa nót trong mèi quan h» vîi tæpæ v h¼nh håc cõa khæng gian ba
chi·u chùa nâ. °c bi»t l x¥y düng c¡c b§t bi¸n º ph¥n bi»t c¡c nót câ c§u h¼nh
kh¡c nhau. Ch½nh v¼ th¸ em chån · t i luªn v«n l :
"Nót Bi-a trong h¼nh lªp ph÷ìng"
Luªn v«n ÷ñc c§u tróc gçm hai ch÷ìng nh÷ sau:
Ch÷ìng 1: Nót v link
Trong ch÷ìng n y, ta d nh º ành ngh¾a ch½nh x¡c th¸ n o l mët nót v mæ t£
h¼nh £nh cö thº cõa nâ trong thüc t¸ b¬ng ngæn ngú h¼nh håc thæng th÷íng. çng
thíi ÷a ra ph÷ìng ph¡p tê hñp trong vi»c nghi¶n cùu nót bao gçm vi»c chùng minh
hai nót t÷ìng ÷ìng qua bi¸n êi Redemeister v ành ngh¾a mët v i b§t bi¸n cõa
nót nh÷ sè li¶n k¸t v a thùc Alexander.
Ch÷ìng 2: Nót Lissajous v nót Bi-a.
Ch÷ìng n y ta s³ ÷a ra ành ngh¾a ch½nh x¡c cho nót Lissajous v nót Bi-a trong
mët h¼nh lªp ph÷ìng, chùng minh chóng l t÷ìng ÷ìng, çng thíi mæ t£ t½nh èi
xùng cõa c¡c nót n y.
2
Líi nâi ¦u
Lþ thuy¸t nót l mët lþ thuy¸t khâ. Vîi mët ki¸n thùc h¤n ch¸ khi nghi¶n cùu
v· mët lþ thuy¸t mîi, b£n th¥n em khâ tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât, r§t mong nhªn
÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa quþ th¦y cæ v c¡c b¤n.
Cuèi còng em xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi quþ th¦y cæ v c¡n bë, cæng
nh¥n vi¶n cõa Vi»n To¡n Håc ¢ quan t¥m, gióp ï em trong suèt qu¡ tr¼nh håc
tªp v nghi¶n cùu t¤i Vi»n º hæm nay em câ cì hëi ÷ñc thüc hi»n · t i n y. °c
bi»t, em xin ÷ñc gûi tîi PGS.TS Vô Th¸ Khæi, ng÷íi trüc ti¸p h÷îng d¨n em láng
bi¸t ìn ch¥n th nh v s¥u sc.
Trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n · t i, em ¢ tham kh£o mët sè t i li»u s¡ch cõa mët
sè t¡c gi£ nh÷ng khæng câ i·u ki»n li¶n h», qua ¥y em xin ÷ñc gûi líi c£m ìn
¸n c¡c t¡c gi£.
Nh¥n dàp n y em công c£m ìn gia ¼nh v b¤n b± ¢ t¤o i·u ki»n công nh÷
gióp ï em ho n th nh khâa luªn.
H Nëi, ng y 25 th¡ng 8 n«m 2015
Phòng Thanh H£i
3
Danh möc kþ hi»u
Z
R
Zn
Rn
Z [z]
S3
x∈A
y∈
/A
∀x
x 6= y
[a, b]
A∩B
A⊂B
(a, b)
∅
µ (L)
ω (L)
∆L (x)
v nh c¡c sè nguy¶n
tr÷íng c¡c sè thüc
V nh c¡c sè d÷ mod n
khæng gian v²c tì Euclide n chi·u
v nh c¡c a thùc cõa z vîi h» sè nguy¶n
h¼nh c¦u 3 chi·u
ph¦n tû x thuëc tªp A
ph¦n tû y khæng thuëc tªp A
vîi måi x
x kh¡c y
o¤n a, b
giao cõa tªp A v tªp B
A l tªp con cõa B
÷îc chung lîn nh§t cõa a v b
tªp réng
sè th nh ph¦n cõa L
ë xon cõa L
a thùc Alexander cõa L
4
Ch֓ng 1
Nót v link
Trong ch÷ìng n y chóng ta s³ tr¼nh b y nhúng ành ngh¾a cì b£n ban ¦u v· nót,
h¼nh £nh cõa mët nót trong thüc t¸. Tø â i ¸n c¡c kh¡i ni»m v· sü t÷ìng ÷ìng
cõa nót, sì ç cõa nót v bi¸n êi Reidemeister. Sau â chóng ta giîi thi»u mët sè
b§t bi¸n cì b£n cõa nót v link nh÷ sè li¶n k¸t, a thùc Alexander. Nëi dung cõa
ch÷ìng n y ÷ñc düa theo c¡c t i li»u tham kh£o [3, 7].
1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n
1.1.1 H¼nh £nh trüc quan v· nót
Ta l§y mët sñi d¥y, tht mët c¡i nót läng tr¶n â rçi nèi hai ¦u sñi d¥y l¤i ta s³
÷ñc mët nót.
H¼nh 1.1
Nh÷ vªy ta câ thº hiºu mët c¡ch trüc quan: nót l mët ÷íng cong âng trong
khæng gian m khæng tü ct t¤i b§t cù iºm n o tr¶n nâ. Tr¶n thüc t¸, nót ÷ñc
ành ngh¾a qua ngæn ngú tæpæ.
1.1.2 ành ngh¾a
Ta câ thº ành ngh¾a ìn gi£n, mët nót l mët ÷íng cong a gi¡c trong khæng gian
3 chi·u. Thüc ch§t, mët nót l mët ÷íng cong a gi¡c âng, ìn b¬ng c¡ch "nèi
c¡c iºm".
5
Ch÷ìng 1. Nót v link
L§y hai iºm ph¥n bi»t b§t ký trong khæng gian 3 chi·u p v q, gi£ sû [p, q]
l kþ hi»u cõa o¤n th¯ng nèi chóng. Cho mët tªp câ thù tü c¡c iºm ph¥n bi»t
(p1 , p2 , ..., pn ), hñp cõa c¡c o¤n [p1 , p2 ], [p2 , p3 ], ..., [pn−1 , pn ] v [pn , p1 ] ÷ñc gåi l
mët ÷íng cong a gi¡c âng. N¸u méi o¤n giao vîi óng hai o¤n kh¡c ch¿ t¤i
iºm k¸t thóc th¼ ÷íng cong â ÷ñc gåi l ìn.
ành ngh¾a 1.1.1. Mët nót l mët ÷íng cong a gi¡c âng, ìn trong R3.
V½ dö 1.1.2. H¼nh 1.2a mæ t£ nót khæng t¦m th÷íng ìn gi£n nh§t, gåi l nót ba l¡
÷ñc v³ nh÷ mët ÷íng cong a gi¡c. Nót t¦m th÷íng l ành ngh¾a cho nót x¡c
ành bði ba iºm khæng th¯ng h ng, ÷ñc mæ t£ trong h¼nh 1.2b. (Chó þ r¬ng, n¸u
ta chån tªp ba iºm kh¡c s³ cho ta mët nót t¦m th÷íng kh¡c - i·u n y s³ ÷ñc
mæ t£ rã hìn trong ph¦n bi¸n d¤ng v t÷ìng ÷ìng).
H¼nh 1.2
Nhªn x²t 1.1.3.
1.
C¡c nót th÷íng ÷ñc cho v v³ nh÷ c¡c ÷íng cong trìn. V· m°t trüc gi¡c, mët
nót trìn câ thº ÷ñc x§p x¿ bði mët nót a gi¡c. H¼nh 1.3 biºu di¹n nót 1050 trong
tr÷íng hñp a gi¡c v trìn.
H¼nh 1.3
2.
Mët nót ÷ñc ành ngh¾a l mët tªp con trong khæng gian ba chi·u, hñp cõa tªp
hñp c¡c o¤n. Vi»c lüa chån c¡c tªp iºm câ thù tü kh¡c nhau câ thº ành ngh¾a
còng mët nót. V½ dö, ho¡n và váng quanh thù tü c¡c ¿nh cõa mët nót khæng l m
thay êi nâ. Hìn núa, n¸u mët nót câ ba iºm li¶n ti¸p l th¯ng h ng th¼ vi»c bä
i mët iºm ð giúa công khæng l m thay êi nót. Tø â ta câ ành ngh¾a sau:
6
Ch÷ìng 1. Nót v link
ành ngh¾a 1.1.4. Cho K l mët nót x¡c ành bði tªp câ thù tü (p1, p2, ..., pn) v
khæng câ tªp con sp thù tü thüc sü n o kh¡c công ành ngh¾a K th¼ méi ph¦n tû
cõa tªp {pi}ni=1 ÷ñc gåi l mët ¿nh cõa K .
Tø k¸t qu£ cõa vi»c nghi¶n cùu c¡c nót ri¶ng l´ ta câ kh¡i ni»m link vîi nhi·u
th nh ph¦n.
ành ngh¾a 1.1.5. Mët link l hñp húu h¤n cõa c¡c nót ríi nhau: L = K1 ∪ K2 ∪
... ∪ Kn , Ki
l mët nót ∀i = 1, ..., n v Ki ∩ Kj = ∅, ∀i 6= j . Khi â, méi nót Ki
÷ñc gåi l mët th nh ph¦n cõa link. Sè th nh ph¦n cõa mët link ÷ñc gåi l bëi sè
cõa link v ÷ñc kþ hi»u l µ (L). Mët tªp con cõa L câ c¡c th nh ph¦n ÷ñc nhóng
theo còng mët c¡ch nh÷ trong L, ÷ñc gåi l mët link con. Trong tr÷íng hñp °c
bi»t, mët nót l mët link vîi mët th nh ph¦n. Link t¦m th÷íng l hñp cõa c¡c nót
t¦m th÷íng n¬m tr¶n m°t ph¯ng.
V½ dö 1.1.6. H¼nh 1.4 biºu di¹n mët v i link ìn gi£n.
H¼nh 1.4
1.1.3 Bi¸n d¤ng v t÷ìng ÷ìng cõa nót
Ph¦n ti¸p theo ta s³ x¥y düng ành ngh¾a to¡n håc cho kh¡i ni»m bi¸n d¤ng cõa
nót v kh¡i ni»m t÷ìng ÷ìng cõa hai nót.
ành ngh¾a 1.1.7. Mët nót J ÷ñc gåi l mët bi¸n d¤ng cì sð cõa mët nót K n¸u
mët trong hai nót ÷ñc x¡c ành bði mët d¢y c¡c iºm (p1, p2, ..., pn) v nót cán l¤i
÷ñc x¡c ành bði d¢y iºm (p0, p1, p2, ..., pn) sao cho:
(1) p0
(2)
l mët iºm khæng th¯ng h ng vîi p1 v pn.
Giao iºm cõa tam gi¡c sinh bði (p0, p1, pn) vîi nót x¡c ành bði (p1, p2, ..., pn)
ch¿ n¬m tr¶n o¤n [p1, pn]
7
Ch÷ìng 1. Nót v link
Nhªn x²t 1.1.8.
1.
Mët tam gi¡c câ bi¶n tr¶n ph¯ng ÷ñc x¡c ành bði c¡c c¤nh [p0, p1], [p1, pn],
[pn , p0 ] câ cæng thùc l :
T = {xp0 + yp1 + zpn |0 ≤ x, y, z; x + y + z = 1}.
2.
i·u ki»n (2) £m b£o r¬ng trong biºu di¹n cõa bi¸n d¤ng cì sð cõa mët nót
khæng câ iºm tü ct. H¼nh 1.5a mæ t£ mët bi¸n d¤ng cì sð v h¼nh 1.5b khæng ph£i
l mët bi¸n d¤ng cì sð.
H¼nh 1.5
Nót K v J ÷ñc gåi l t÷ìng ÷ìng n¸u K câ thº bi¸n êi th nh J bði vi»c
thüc hi»n mët chuéi c¡c bi¸n d¤ng cì sð. Ch½nh x¡c hìn, ta câ ành ngh¾a:
ành ngh¾a 1.1.9. Cho K v J l hai nót trong R3. Khi â ta nâi K v J l
hai nót t÷ìng ÷ìng n¸u tçn t¤i mët d¢y c¡c nót K = K0, K1, ..., Kn = J sao cho
Ki+1 l mët bi¸n d¤ng cì sð cõa Ki vîi 0 < i < n − 1.
Tr¶n thüc t¸ khi x²t ¸n c¡c nót v link, nâi mët c¡ch trüc gi¡c, ta coi mæi
tr÷íng bao quanh chóng l mët ch§t läng nhît v khi c¡c nót câ thº ©y v· thæng
suèt trong ch§t läng m khæng tü giao nhau cho ¸n khi tròng vîi nhau th¼ chóng
÷ñc gåi l t÷ìng ÷ìng. Ta câ ành ngh¾a thù hai v· t÷ìng ÷ìng cõa nót thæng
qua kh¡i ni»m ¯ng lu¥n.
8
Ch÷ìng 1. Nót v link
ành ngh¾a 1.1.10. Cho K1 v K2 l hai nót b§t ký trong R3. Khi â, ta nâi K1
l ¯ng lu¥n vîi K2 n¸u tçn t¤i mët ¡nh x¤ li¶n töc h : R3 × [0, 1] → R3 sao cho:
(i) Vîi méi t ∈ [0, 1], ¡nh x¤ ht := h (−, t) : R3 → R3 l ph²p çng phæi.
(ii) h (−, 0) = h0 l ¡nh x¤ çng nh§t v h (K1, 1) = h1 (K1) = K2.
Trong ành ngh¾a tr¶n, ta câ t l bi¸n thíi gian v £nh ht (K1) vîi t t«ng d¦n
chùng tä sü bi¸n êi cõa K1 trong R3 theo thíi gian.
D¹ nhªn th§y c¡c quan h» ÷ñc ành ngh¾a ð 1.1.9 v 1.1.10 l quan h» t÷ìng
÷ìng. Ta câ thº chùng minh ÷ñc hai nót l t÷ìng ÷ìng theo 1.1.9 khi v ch¿ khi
chóng l ¯ng lu¥n theo 1.1.10. Chi ti¸t chùng minh câ thº xem trong t i li»u [2].
Tòy theo b i to¡n m ta quy¸t ành s³ sû döng kh¡i ni»m n o cho thuªn lñi.
V½ dö 1.1.11. Nót True lovers (b¶n tr¡i) v nót 819 (b¶n ph£i) trong h¼nh 1.6 l
¯ng lu¥n vîi nhau.
H¼nh 1.6
Nhªn x²t 1.1.12. Vi»c nghi¶n cùu c¡c lîp t÷ìng ÷ìng cõa nót l cæng vi»c ch½nh
cõa lþ thuy¸t nót. Méi mët lîp t÷ìng ÷ìng cõa nót ÷ñc gåi l mët kiºu nót.
Thæng th÷íng sü kh¡c nhau giúa mët nót v kiºu cõa nâ th÷íng ÷ñc bä qua.
Tr¶n thüc t¸ i·u n y công khæng g¥y hiºu l¦m. V½ dö, khi nâi mët nót t÷ìng ÷ìng
vîi nót t¦m th÷íng, tùc l ph¡t biºu: nót â l nót t¦m th÷íng. T÷ìng tü, khi nâi
hai nót l ph¥n bi»t, tùc l c¡c nót â khæng t÷ìng ÷ìng hay câ kiºu kh¡c nhau.
Vi»c quy ÷îc n y câ thº khæng rã r ng nh÷ng s³ tr¡nh ÷ñc nhúng t¼nh huèng mì
hç.
Ð möc n y chóng ta ch¿ ành ngh¾a c¡c kh¡i ni»m cho nót, tuy nhi¶n ng÷íi åc
câ thº d¹ d ng mð rëng sang cho link m khæng g°p ph£i khâ kh«n g¼.
9
Ch÷ìng 1. Nót v link
1.1.4 Sì ç v h¼nh chi¸u
M°c dò mët nót l mët tªp con cõa khæng gian nh÷ng ta s³ mæ t£ chóng tr¶n m°t
ph¯ng. C¡c h¼nh ÷ñc v³ ð ¥y ·u n¬m tr¶n mët m£nh cõa tí gi§y v nhúng thao
t¡c cõa chóng ta tr¶n mët b£ng ph¯ng ho°c tr¶n mët m£nh cõa tí gi§y l r§t d¹
thüc hi»n. Vªy, l m th¸ n o º ành ngh¾a tèt mët sì ç tr¶n mët m£nh cõa tí gi§y
l h¼nh £nh cho mët nót? C¥u tr£ líi ÷ñc hi»n thüc hâa bði kh¡i ni»m sì ç nót.
H m f : R3 → R2 bi¸n (x, y, z) 7→ (x, y) ÷ñc gåi l mët ¡nh x¤ chi¸u. N¸u K
l mët nót th¼ £nh cõa K d÷îi ph²p chi¸u n y ÷ñc gåi l mët h¼nh chi¸u cõa K .
Mët h¼nh chi¸u cõa nót h¼nh sè t¡m ÷ñc mæ t£ trong h¼nh 1.7.
H¼nh 1.7
H¼nh chi¸u tr¶n m°t ph¯ng cõa mët nót l mët ÷íng cong. Khi â, t¤i c¡c iºm
æi, gåi l giao ct h¼nh chi¸u s³ khæng biºu di¹n ÷ñc ph¦n n o cõa nót i qua tr¶n
nhúng ph¦n kh¡c. V¼ vªy, º sûa chúa ph¦n thæng tin bà m§t n y, kho£ng trèng
÷ñc v³ v o º ch¿ ph¦n nót i qua b¶n d÷îi ph¦n kh¡c, c¡ch v³ â ÷ñc gåi l mët
sì ç nót.
V½ dö 1.1.13. Ta câ mët sì ç cõa nót ba l¡.
H¼nh 1.8
10
Ch÷ìng 1. Nót v link
Nhªn x²t 1.1.14. Tr¶n thüc t¸ r§t nhi·u nót kh¡c nhau câ thº câ sì ç gièng
nhau. i·u n y xu§t ph¡t tø vi»c, sì ç ch¿ ra ÷ñc ph¦n n o cõa nót i qua tr¶n
nhúng ph¦n kh¡c nh÷ng khæng ÷a ra ÷ñc thæng tin v· sü ch¶nh l»ch ë cao giúa
chóng. Vªy câ óng khæng khi ta nâi: n¸u hai nót câ còng mët h¼nh chi¸u th¼ chóng
l t÷ìng ÷ìng. º ph¡t biºu i·u n y ch½nh x¡c nh÷ mët ành lþ, ái häi ta ph£i
nghi¶n cùu h¼nh chi¸u mët c¡ch c©n thªn.
Gi£ sû r¬ng mët nót câ mët h¼nh chi¸u nh÷ ÷ñc mæ t£ trong h¼nh 1.9a. N¸u
quay nót â i mët gâc nhä trong khæng gian th¼ nót thu ÷ñc s³ câ mët h¼nh chi¸u
nh÷ ÷ñc mæ t£ trong h¼nh 1.9b. Nh÷ vªy, h¼nh chi¸u cõa mët nót ph£i £m b£o
nhúng thæng tin cõa nót khæng bà m§t i. Tø â ta câ ành ngh¾a h¼nh chi¸u ch½nh
quy.
H¼nh 1.9
ành ngh¾a 1.1.15. H¼nh chi¸u ch½nh quy cõa mët nót l h¼nh chi¸u cõa nót â
sao cho:
(i) Khæng câ ba iºm n o tr¶n nót ÷ñc chi¸u xuèng còng mët iºm.
(ii) Khæng câ ¿nh n o cõa nót ÷ñc chi¸u xuèng còng mët iºm vîi b§t ký iºm
n o kh¡c tr¶n nót.
Câ hai ành lþ v· h¼nh chi¸u ch½nh quy th÷íng ÷ñc sû döng. ành lþ thù nh§t
ph¡t biºu r¬ng: n¸u mët nót khæng câ h¼nh chi¸u ch½nh quy th¼ câ mët nót t÷ìng
÷ìng "g¦n" vîi nót â câ h¼nh chi¸u ch½nh quy. ành lþ thù hai ph¡t biºu r¬ng:
n¸u mët nót câ h¼nh chi¸u ch½nh quy th¼ t§t c£ c¡c nót "g¦n" vîi nâ l t÷ìng ÷ìng
v công câ h¼nh chi¸u ch½nh quy. Kh¡i ni»m "g¦n" ð ¥y ÷ñc l m chi ti¸t bði þ
ngh¾a l kho£ng c¡ch giúa c¡c ¿nh.
11
Ch÷ìng 1. Nót v link
ành l½ 1.1.16. Gi£ sû K l mët nót ÷ñc x¡c ành bði mët tªp sp thù tü c¡c iºm
(p1 , p2 , ..., pn ).
Vîi måi sè t > 0 tçn t¤i mët nót K 0 x¡c ành bði mët tªp sp thù tü
c¡c iºm (q1, q2, ..., qn) sao cho kho£ng c¡ch tø qi ¸n pi nhä hìn t vîi måi i th¼ K 0
t÷ìng ÷ìng vîi K v h¼nh chi¸u cõa K 0 l ch½nh quy.
ành l½ 1.1.17. Gi£ sû K ÷ñc x¡c ành bði d¢y (p1, p2, ..., pn) v câ mët h¼nh chi¸u
ch½nh quy. Tçn t¤i mët sè t > 0 thäa m¢n: n¸u mët nót K 0 x¡c ành bði (q1, q2, ..., qn)
vîi méi qi khæng v÷ñt qu¡ mët kho£ng c¡ch t tîi pi, th¼ K 0 t÷ìng ÷ìng vîi K v câ
h¼nh chi¸u ch½nh quy.
Nh÷ vªy sì ç cõa nót ch¿ ÷ñc ành ngh¾a cho c¡c nót câ h¼nh chi¸u ch½nh quy.
Mèi quan h» giúa nót v sì ç ÷ñc thº hi»n qua ành lþ sau:
ành l½ 1.1.18. Cho K v J l hai nót trong R3. Khi â, n¸u K v J ·u câ h¼nh
chi¸u ch½nh quy v c¡c sì ç l çng nh§t th¼ K t÷ìng ÷ìng vîi J .
Chùng minh. ¦u ti¶n, ta gi£ sû r¬ng K ÷ñc x¡c ành bði mët d¢y câ thù tü
v J ÷ñc x¡c ành bði d¢y (q1, q2, ..., qn) sao cho h¼nh chi¸u cõa pi
v qi l tròng nhau vîi måi i = 1, ..., n. Nh÷ vªy, câ thº c¦n ph£i bê sung th¶m c¡c
iºm v o d¢y ành ngh¾a cõa c£ hai nót.
Ti¸p theo, ta thüc hi»n mët d¢y c¡c bi¸n d¤ng cì sð thay méi pi vîi mët qi trong
d¢y ành ngh¾a cõa K . C¡c dàch chuyºn â d¦u ti¶n ÷ñc ¡p döng cho t§t c£ c¡c
¿nh khæng n¬m tr¶n o¤n câ h¼nh chi¸u thu ÷ñc l iºm æi. Sau â, ta s³ ¡p
döng t¤i méi iºm æi.
(p1 , p2 , ..., pn )
Nhªn x²t 1.1.19. Méi sì ç cõa nót ÷ñc t¤o th nh bði tªp hñp c¡c cung tr¶n
m°t ph¯ng. Mët cung ÷ñc t½nh tø iºm æi ph½a d÷îi n y ¸n iºm æi ph½a d÷îi
H¼nh 1.10
kh¡c, ð giúa hai iºm æi n y câ duy nh§t mët iºm æi m nâ n¬m tr¶n. C¡c cung
12
Ch÷ìng 1. Nót v link
â ÷ñc gåi l c¡c c¤nh ho°c c¡c cung cõa sì ç. Ta câ thº xem b£ng sì ç cõa c¡c
nót câ sè iºm ct nhä hìn 8 trong ph¦n phö löc A.
C¡c iºm tr¶n sì ç ùng vîi c¡c iºm æi tr¶n h¼nh chi¸u ÷ñc gåi l c¡c iºm
ch²o. T¤i méi iºm ch²o l hai o¤n tr¶n nót: mët ÷ñc gåi l cung tr¶n v mët
÷ñc gåi l cung d÷îi (xem h¼nh 1.10). Chó þ r¬ng, sè c¡c cung tròng vîi sè c¡c
iºm ch²o.
Nh÷ vªy, mët nót l mët tªp con cõa khæng gian ba chi·u, c¡c nót ÷ñc ph¥n
bi»t vîi lîp t÷ìng ÷ìng cõa nâ, nót vîi h¼nh chi¸u ch½nh quy câ sì ç ÷ñc v³ tr¶n
m°t ph¯ng. Hìn núa, mët nót câ thº ÷ñc biºu di¹n bði nhi·u sì ç kh¡c nhau.
Ch¯ng h¤n, ta câ ba sì ç còng biºu di¹n nót h¼nh sè t¡m.
H¼nh 1.11
1.1.5 ành h÷îng
Nót câ thº câ h÷îng hay nâi mët c¡ch h¼nh thùc l câ thº cho mët h÷îng x¡c ành
tr¶n nót. Nhî l¤i r¬ng, n¸u mët nót K ÷ñc x¡c ành bði mët d¢y câ thù tü c¡c
¿nh (p1, p2, ..., pn) th¼ nh÷ chó þ ban ¦u, b§t ký mët ho¡n và váng quanh n o cõa
c¡c ¿nh s³ cho còng mët nót. i·u n y v¨n óng trong tr÷íng hñp nót â câ c¡c
¿nh sp x¸p theo thù tü nghàch £o.
ành ngh¾a 1.1.20. Mët nót ành h÷îng l mët nót v mët thù tü tr¶n tªp ¿nh
cõa nâ. Thù tü ph£i ÷ñc chån sao cho nâ x¡c ành nót ban ¦u. Hai thù tü ÷ñc
xem l t÷ìng ÷ìng n¸u chóng sai kh¡c nhau bði mët ho¡n và váng quanh.
º biºu di¹n mët nót ành h÷îng ta gn tr¶n sì ç cõa nót c¡c môi t¶n t÷ìng
ùng theo chi·u cõa nâ. Trong tr÷íng hñp cõa link ta công câ ành ngh¾a cho link
ành h÷îng.
ành ngh¾a 1.1.21. Mët link L ÷ñc gåi l ành h÷îng n¸u c¡c th nh ph¦n cõa
nâ ·u câ h÷îng.
V½ dö 1.1.22. Mët v i link ành h÷îng ÷ñc mæ t£ trong h¼nh 1.12.
13
Ch÷ìng 1. Nót v link
H¼nh 1.12
Kh¡i ni»m t÷ìng ÷ìng d¹ d ng ÷ñc têng qu¡t hâa trong tr÷íng hñp ành
h÷îng. N¸u mët nót ÷ñc ành h÷îng th¼ k¸t qu£ cõa mët bi¸n d¤ng cì sð tr¶n nót
s³ câ h÷îng x¡c ành tü nhi¶n, tùc l câ h÷îng x¡c ành theo thù tü gièng nh÷ thù
tü tr¶n tªp ¿nh cõa nót ban ¦u nh÷ng câ ¿nh bt ¦u ho°c ¿nh k¸t thóc l ¿nh
÷ñc th¶m v o. Khi â, mët bi¸n d¤ng cì sð cõa mët nót ành h÷îng l mët nót
ành h÷îng.
ành ngh¾a 1.1.23. C¡c nót ành h÷îng ÷ñc gåi l t÷ìng ÷ìng ành h÷îng n¸u
tçn t¤i mët d¢y c¡c bi¸n d¤ng cì sð bi¸n mët nót ành h÷îng n y th nh mët nót
ành h÷îng kh¡c.
Vi»c ph¥n bi»t t÷ìng ÷ìng v t÷ìng ÷ìng ành h÷îng l mët v§n · khâ trong
lþ thuy¸t nót. V½ dö ¦u ti¶n v· nót t÷ìng ÷ìng m khæng t÷ìng ÷ìng ành h÷îng
÷ñc cho bði H. Trotter v o n«m 1963 l nót xon (3, 5, 7) câ thº ành h÷îng theo
hai c¡ch v Trotter ¢ chùng tä r¬ng nót ành h÷îng thu ÷ñc l khæng t÷ìng ÷ìng
ành h÷îng, m°c dò chóng l nh÷ nhau khi h÷îng khæng x¡c ành.
Do â, câ mët ành ngh¾a kh¡c ÷ñc sû döng th÷íng xuy¶n hìn.
ành ngh¾a 1.1.24. Nghàch £o cõa mët nót ành h÷îng x¡c ành bði mët tªp
sp thù tü c¡c ¿nh (p1, p2, ..., pn) l nót ành h÷îng K r vîi c¡c ¿nh gièng nh÷ vªy
nh÷ng thù tü cõa chóng l nghàch £o. Mët nót ành h÷îng K ÷ñc gåi l kh£ nghàch
n¸u K v K r l t÷ìng ÷ìng ành h÷îng. N¸u K khæng ÷ñc ành h÷îng th¼ nâ
÷ñc gåi l kh£ nghàch n¸u vîi mët c¡ch chån h÷îng n o â, nâ l kh£ nghàch.
V½ dö 1.1.25. Nghàch £o cõa mët nót ba l¡ ÷ñc cho trong h¼nh 1.13.
14
Ch÷ìng 1. Nót v link
H¼nh 1.13
1.1.6 Dàch chuyºn Reidemeister
Nh÷ ta ¢ bi¸t måi nót ·u câ mët sì ç, vªy trong tr÷íng hñp c¡c nót l t÷ìng
÷ìng th¼ sì ç s³ câ mèi quan h» nh÷ th¸ n o? Rã r ng, mët bi¸n d¤ng cì sð câ
thº câ £nh h÷ðng lîn tr¶n sì ç. Mët v i thay êi ìn gi£n nh§t tr¶n sì ç câ thº
x£y ra khi mët nót l bi¸n d¤ng nh÷ mæ t£ trong h¼nh 1.14. Tr¶n h¼nh ch¿ mæ t£
ph¦n sì ç x£y ra thay êi.
H¼nh 1.14
Méi h¼nh ùng vîi mët c°p c¡c thay êi câ thº x£y ra: méi thao t¡c i k±m vîi
nghàch £o cõa nâ. S¡u thao t¡c ìn gi£n â ÷ñc thüc hi»n tr¶n mët sì ç nót
15
Ch÷ìng 1. Nót v link
v t÷ìng ùng l m thay êi nót ÷ñc gåi l c¡c ph²p dàch chuyºn Reidemeister. Nh÷
vªy, ta câ ba ph²p dàch chuyºn Redemeister nh÷ sau:
− Ph²p dàch chuyºn Redemeister R1 ùng vîi c°p 1a, 1b cho ph²p ta t¤o hay th¡o
mët iºm ch²o tr¶n sì ç cõa mët nót.
− Ph²p dàch chuyºn Redemeister R2 ùng vîi c°p 2a, 2b cho ph²p ta t¤o th¶m hay
bît i hai iºm ch²o tr¶n sì ç cõa mët nót.
− Ph²p dàch chuyºn Redemeister R3 ùng vîi c°p 3a, 3b cho ph²p ta di chuyºn mët
cung tr¶n sì ç tø hai ché giao nhau n y ¸n hai ché giao nhau kh¡c.
Qua â, ta câ mët nhªn x²t quan trång trong lþ thuy¸t nót tê hñp ÷ñc ÷a ra
bði Alexander v Briggs.
ành l½ 1.1.26. Cho K v J l hai nót (link) b§t ký trong R3. Gi£ sû D1, D2 l¦n
l÷ñt l sì ç cõa K v J tr¶n m°t ph¯ng. Khi â, n¸u K t÷ìng ÷ìng vîi J th¼ D1
v D2 câ thº nhªn ÷ñc tø mët d¢y húu h¤n c¡c ph²p dàch chuyºn Reidemeister.
Chùng minh. Nh÷ ta ¢ bi¸t, c¡c sì ç kh¡c nhau câ thº ¤i di»n cho c¡c nót
gièng nhau. Do â, k¸t luªn n y l phò hñp vîi trüc gi¡c. Sì ç n y ch¿ bi¸n êi
th nh sì ç kh¡c khi ta thüc hi»n c¡c dàch chuyºn Reidermeister. Ph¦n chùng minh
¦y õ l vi»c vi¸t chi ti¸t c¡c tr÷íng hñp cán þ t÷ðng chùng minh l kh¡ ìn gi£n.
V¼ K v J l hai nót t÷ìng ÷ìng n¶n tçn t¤i mët sè húu h¤n c¡c nót, méi nót thu
÷ñc bði vi»c thüc hi»n li¶n ti¸p c¡c bi¸n d¤ng cì sð gièng nh÷ [AB] → [AC] ∪ [CB].
Ð ¥y, "nót tr÷îc" l ÷ñc x¥y düng l¤i tø "nót sau". B¬ng mët ph²p quay nhä, ta
câ thº gi£ sû méi nót â ·u câ mët h¼nh chi¸u ch½nh quy v h¼nh chi¸u cõa tam
gi¡c m bi¸n d¤ng cì sð ÷ñc thüc hi»n l tam gi¡c ph¯ng ABC .
H¼nh 1.15
Gåi L0 l h¼nh chi¸u cõa "nót tr÷îc" tr¶n m°t ph¯ng ABC . Khi â, ph¦n trong
cõa tam gi¡c ABC câ thº chùa r§t nhi·u iºm ch²o cõa sì ç nót. Gi£ sû, ta chia
ABC th nh c¡c tam gi¡c nhä, sao cho chóng ch¿ chùa nhi·u nh§t mët iºm ch²o
16
Ch÷ìng 1. Nót v link
v c¤nh cõa tam gi¡c nhä khæng chùa ¿nh cõa L0 th¼ méi tam gi¡c nhä s³ câ d¤ng
cõa mët trong bèn kiºu sau:
Kiºu thù nh§t: méi tam gi¡c nhä ch¿ chùa mët iºm ch²o cõa L0 v c¡c c¤nh cõa
L0 giao vîi hai c¤nh b¶n cõa tam gi¡c.
Kiºu thù hai: tam gi¡c nhä ch¿ chùa ¿nh cõa L0 v c¡c ph¦n i ra ngo i c¡c c¤nh.
Kiºu thù ba: tam gi¡c nhä chùa mët ph¦n cõa mët c¤nh cõa L0 v khæng chùa ¿nh.
Kiºu thù t÷: tam gi¡c nhä khæng chùa b§t k¼ ¿nh ho°c c¤nh n o cõa L0.
T§t c£ c¡c kiºu tam gi¡c n y ÷ñc mæ t£ trong h¼nh 1.16
H¼nh 1.16
Nh÷ vªy, mët ph²p tam gi¡c ph¥n cõa tam gi¡c ABC ÷ñc x¥y düng nh÷ sau:
¦u ti¶n, ta ct t§t c£ c¡c ¿nh v c¡c iºm ch²o bði c¡c tam gi¡c kiºu mët v kiºu
hai. Sau â, ta chia ph¦n cán l¤i cõa tam gi¡c ABC v thu ÷ñc c¡c tam gi¡c cõa
kiºu ba v kiºu bèn. Khi â, chùng minh ÷ñc quy v· vi»c thüc hi»n c¡c bi¸n d¤ng
cì sð tr¶n c¡c tam gi¡c nhä thay v¼ thüc hi»n tr¶n tam gi¡c ABC . Rã r ng, c¡c bi¸n
d¤ng cì sð câ thº d÷ñc thüc hi»n bði tê hñp c¡c bi¸n êi Redemeister. Thªt vªy,
c¡c tam gi¡c kiºu mët t¤o ra tê hñp c¡c dàch chuyºn Redemeister thù hai v thù ba.
C¡c tam gi¡c kiºu hai v ba t¤o ra dàch chuyºn Redemeister thù hai v bi¸n d¤ng
cì sð. C¡c tam gi¡c kiºu bèn t¤o ra bi¸n d¤ng cì sð. Khi â, c¡c bi¸n d¤ng cì sð câ
thº ÷ñc mæ t£ thæng qua mët d¢y c¡c bi¸n d¤ng cì sð nhä m ÷ñc thüc hi»n bði
c¡c dàch chuyºn Redemeister.
V½ dö 1.1.27. 1.Bi¸n êi trong h¼nh 1.17 câ thº thu ÷ñc bði mët d¢y gçm hai dàch
17
Ch÷ìng 1. Nót v link
chuyºn Redemeister.
H¼nh 1.17
Thªt vªy:
H¼nh 1.18
2.Nót ÷ñc mæ t£ trong h¼nh 1.19 l t÷ìng ÷ìng vîi nót t¦m th÷íng qua mët
chuéi c¡c ph²p dàch chuyºn Redemeister.
H¼nh 1.19
V¼
18
- Xem thêm -