Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Nút bi a trong hình lập phương...

Tài liệu Nút bi a trong hình lập phương

.PDF
46
404
68

Mô tả:

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC PHÙNG THANH HẢI NÚT BI-A TRONG HÌNH LẬP PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC PHÙNG THANH HẢI NÚT BI-A TRONG HÌNH LẬP PHƯƠNG Chuyên ngành: Hình học và Tô pô Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS VŨ THẾ KHÔI HÀ NỘI - 2015 Möc löc Líi nâi ¦u Danh möc kþ hi»u 1 Nót v  link 1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n . . . . . . . . . . . . 1.1.1 H¼nh £nh trüc quan v· nót . . . . . 1.1.2 ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Bi¸n d¤ng v  t÷ìng ÷ìng cõa nót 1.1.4 Sì ç v  h¼nh chi¸u . . . . . . . . . 1.1.5 ành h÷îng . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Dàch chuyºn Reidemeister . . . . . 1.2 Mët v i b§t bi¸n cõa nót . . . . . . . . . . 1.2.1 Sè li¶n k¸t . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 a thùc Alexander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 5 5 5 5 7 10 13 15 19 19 23 2 Nót Lissajous v  nót Bi-a 26 K¸t luªn Phö löc A: Sì ç nót Phö löc B: a thùc Alexander T i li»u tham kh£o 40 41 43 43 2.1 ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Sü bi¸n d¤ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 T½nh èi xùng cõa nót Bi-a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1 Líi nâi ¦u Tæpæ theo quan iºm h¼nh håc l  mët ng nh khoa håc nghi¶n cùu c¡c b§t bi¸n Tæpæ, tùc l  c¡c t½nh ch§t khæng thay êi qua c¡c ph²p bi¸n êi li¶n töc. Lþ thuy¸t nót l  mët bë phªn quan trång cõa Tæpæ. Lþ thuy¸t nót ÷ñc khði x÷îng bði C. F. Gauss v o kho£ng 1835-1840. Sau â ÷ñc mët håc trá xu§t s­c cõa Gauss l  J. B. Listing ph¡t triºn v  nghi¶n cùu nh÷ mët èi t÷ñng cõa Tæpæ. Trong v i ba thªp ni¶n g¦n ¥y, lþ thuy¸t nót ph¡t triºn r§t m¤nh v  t¼m ÷ñc nhi·u ùng döng trong c£ nëi t¤i to¡n håc công nh÷ trong vªt lþ, cì håc. M°c dò cæng cö ¤i sè r§t húu döng trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu nh÷ng cì b£n lþ thuy¸t nót thuëc v· tæpæ h¼nh håc. Möc ½ch cõa vi»c nghi¶n cùu tæpæ c¡c nót l  cè g­ng t¼m hiºu c¡c t½nh ch§t tæpæ, h¼nh håc cõa nót trong mèi quan h» vîi tæpæ v  h¼nh håc cõa khæng gian ba chi·u chùa nâ. °c bi»t l  x¥y düng c¡c b§t bi¸n º ph¥n bi»t c¡c nót câ c§u h¼nh kh¡c nhau. Ch½nh v¼ th¸ em chån · t i luªn v«n l : "Nót Bi-a trong h¼nh lªp ph÷ìng" Luªn v«n ÷ñc c§u tróc gçm hai ch÷ìng nh÷ sau: Ch÷ìng 1: Nót v  link Trong ch÷ìng n y, ta d nh º ành ngh¾a ch½nh x¡c th¸ n o l  mët nót v  mæ t£ h¼nh £nh cö thº cõa nâ trong thüc t¸ b¬ng ngæn ngú h¼nh håc thæng th÷íng. çng thíi ÷a ra ph÷ìng ph¡p tê hñp trong vi»c nghi¶n cùu nót bao gçm vi»c chùng minh hai nót t÷ìng ÷ìng qua bi¸n êi Redemeister v  ành ngh¾a mët v i b§t bi¸n cõa nót nh÷ sè li¶n k¸t v  a thùc Alexander. Ch÷ìng 2: Nót Lissajous v  nót Bi-a. Ch÷ìng n y ta s³ ÷a ra ành ngh¾a ch½nh x¡c cho nót Lissajous v  nót Bi-a trong mët h¼nh lªp ph÷ìng, chùng minh chóng l  t÷ìng ÷ìng, çng thíi mæ t£ t½nh èi xùng cõa c¡c nót n y. 2 Líi nâi ¦u Lþ thuy¸t nót l  mët lþ thuy¸t khâ. Vîi mët ki¸n thùc h¤n ch¸ khi nghi¶n cùu v· mët lþ thuy¸t mîi, b£n th¥n em khâ tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât, r§t mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa quþ th¦y cæ v  c¡c b¤n. Cuèi còng em xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi quþ th¦y cæ v  c¡n bë, cæng nh¥n vi¶n cõa Vi»n To¡n Håc ¢ quan t¥m, gióp ï em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu t¤i Vi»n º hæm nay em câ cì hëi ÷ñc thüc hi»n · t i n y. °c bi»t, em xin ÷ñc gûi tîi PGS.TS Vô Th¸ Khæi, ng÷íi trüc ti¸p h÷îng d¨n em láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c. Trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n · t i, em ¢ tham kh£o mët sè t i li»u s¡ch cõa mët sè t¡c gi£ nh÷ng khæng câ i·u ki»n li¶n h», qua ¥y em xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ¸n c¡c t¡c gi£. Nh¥n dàp n y em công c£m ìn gia ¼nh v  b¤n b± ¢ t¤o i·u ki»n công nh÷ gióp ï em ho n th nh khâa luªn. H  Nëi, ng y 25 th¡ng 8 n«m 2015 Phòng Thanh H£i 3 Danh möc kþ hi»u Z R Zn Rn Z [z] S3 x∈A y∈ /A ∀x x 6= y [a, b] A∩B A⊂B (a, b) ∅ µ (L) ω (L) ∆L (x) v nh c¡c sè nguy¶n tr÷íng c¡c sè thüc V nh c¡c sè d÷ mod n khæng gian v²c tì Euclide n chi·u v nh c¡c a thùc cõa z vîi h» sè nguy¶n h¼nh c¦u 3 chi·u ph¦n tû x thuëc tªp A ph¦n tû y khæng thuëc tªp A vîi måi x x kh¡c y o¤n a, b giao cõa tªp A v  tªp B A l  tªp con cõa B ÷îc chung lîn nh§t cõa a v  b tªp réng sè th nh ph¦n cõa L ë xo­n cõa L a thùc Alexander cõa L 4 Ch÷ìng 1 Nót v  link Trong ch÷ìng n y chóng ta s³ tr¼nh b y nhúng ành ngh¾a cì b£n ban ¦u v· nót, h¼nh £nh cõa mët nót trong thüc t¸. Tø â i ¸n c¡c kh¡i ni»m v· sü t÷ìng ÷ìng cõa nót, sì ç cõa nót v  bi¸n êi Reidemeister. Sau â chóng ta giîi thi»u mët sè b§t bi¸n cì b£n cõa nót v  link nh÷ sè li¶n k¸t, a thùc Alexander. Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc düa theo c¡c t i li»u tham kh£o [3, 7]. 1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n 1.1.1 H¼nh £nh trüc quan v· nót Ta l§y mët sñi d¥y, th­t mët c¡i nót läng tr¶n â rçi nèi hai ¦u sñi d¥y l¤i ta s³ ÷ñc mët nót. H¼nh 1.1 Nh÷ vªy ta câ thº hiºu mët c¡ch trüc quan: nót l  mët ÷íng cong âng trong khæng gian m  khæng tü c­t t¤i b§t cù iºm n o tr¶n nâ. Tr¶n thüc t¸, nót ÷ñc ành ngh¾a qua ngæn ngú tæpæ. 1.1.2 ành ngh¾a Ta câ thº ành ngh¾a ìn gi£n, mët nót l  mët ÷íng cong a gi¡c trong khæng gian 3 chi·u. Thüc ch§t, mët nót l  mët ÷íng cong a gi¡c âng, ìn b¬ng c¡ch "nèi c¡c iºm". 5 Ch÷ìng 1. Nót v  link L§y hai iºm ph¥n bi»t b§t ký trong khæng gian 3 chi·u p v  q, gi£ sû [p, q] l  kþ hi»u cõa o¤n th¯ng nèi chóng. Cho mët tªp câ thù tü c¡c iºm ph¥n bi»t (p1 , p2 , ..., pn ), hñp cõa c¡c o¤n [p1 , p2 ], [p2 , p3 ], ..., [pn−1 , pn ] v  [pn , p1 ] ÷ñc gåi l  mët ÷íng cong a gi¡c âng. N¸u méi o¤n giao vîi óng hai o¤n kh¡c ch¿ t¤i iºm k¸t thóc th¼ ÷íng cong â ÷ñc gåi l  ìn. ành ngh¾a 1.1.1. Mët nót l  mët ÷íng cong a gi¡c âng, ìn trong R3. V½ dö 1.1.2. H¼nh 1.2a mæ t£ nót khæng t¦m th÷íng ìn gi£n nh§t, gåi l  nót ba l¡ ÷ñc v³ nh÷ mët ÷íng cong a gi¡c. Nót t¦m th÷íng l  ành ngh¾a cho nót x¡c ành bði ba iºm khæng th¯ng h ng, ÷ñc mæ t£ trong h¼nh 1.2b. (Chó þ r¬ng, n¸u ta chån tªp ba iºm kh¡c s³ cho ta mët nót t¦m th÷íng kh¡c - i·u n y s³ ÷ñc mæ t£ rã hìn trong ph¦n bi¸n d¤ng v  t÷ìng ÷ìng). H¼nh 1.2 Nhªn x²t 1.1.3. 1. C¡c nót th÷íng ÷ñc cho v  v³ nh÷ c¡c ÷íng cong trìn. V· m°t trüc gi¡c, mët nót trìn câ thº ÷ñc x§p x¿ bði mët nót a gi¡c. H¼nh 1.3 biºu di¹n nót 1050 trong tr÷íng hñp a gi¡c v  trìn. H¼nh 1.3 2. Mët nót ÷ñc ành ngh¾a l  mët tªp con trong khæng gian ba chi·u, hñp cõa tªp hñp c¡c o¤n. Vi»c lüa chån c¡c tªp iºm câ thù tü kh¡c nhau câ thº ành ngh¾a còng mët nót. V½ dö, ho¡n và váng quanh thù tü c¡c ¿nh cõa mët nót khæng l m thay êi nâ. Hìn núa, n¸u mët nót câ ba iºm li¶n ti¸p l  th¯ng h ng th¼ vi»c bä i mët iºm ð giúa công khæng l m thay êi nót. Tø â ta câ ành ngh¾a sau: 6 Ch÷ìng 1. Nót v  link ành ngh¾a 1.1.4. Cho K l  mët nót x¡c ành bði tªp câ thù tü (p1, p2, ..., pn) v  khæng câ tªp con s­p thù tü thüc sü n o kh¡c công ành ngh¾a K th¼ méi ph¦n tû cõa tªp {pi}ni=1 ÷ñc gåi l  mët ¿nh cõa K . Tø k¸t qu£ cõa vi»c nghi¶n cùu c¡c nót ri¶ng l´ ta câ kh¡i ni»m link vîi nhi·u th nh ph¦n. ành ngh¾a 1.1.5. Mët link l  hñp húu h¤n cõa c¡c nót ríi nhau: L = K1 ∪ K2 ∪ ... ∪ Kn , Ki l  mët nót ∀i = 1, ..., n v  Ki ∩ Kj = ∅, ∀i 6= j . Khi â, méi nót Ki ÷ñc gåi l  mët th nh ph¦n cõa link. Sè th nh ph¦n cõa mët link ÷ñc gåi l  bëi sè cõa link v  ÷ñc kþ hi»u l  µ (L). Mët tªp con cõa L câ c¡c th nh ph¦n ÷ñc nhóng theo còng mët c¡ch nh÷ trong L, ÷ñc gåi l  mët link con. Trong tr÷íng hñp °c bi»t, mët nót l  mët link vîi mët th nh ph¦n. Link t¦m th÷íng l  hñp cõa c¡c nót t¦m th÷íng n¬m tr¶n m°t ph¯ng. V½ dö 1.1.6. H¼nh 1.4 biºu di¹n mët v i link ìn gi£n. H¼nh 1.4 1.1.3 Bi¸n d¤ng v  t÷ìng ÷ìng cõa nót Ph¦n ti¸p theo ta s³ x¥y düng ành ngh¾a to¡n håc cho kh¡i ni»m bi¸n d¤ng cõa nót v  kh¡i ni»m t÷ìng ÷ìng cõa hai nót. ành ngh¾a 1.1.7. Mët nót J ÷ñc gåi l  mët bi¸n d¤ng cì sð cõa mët nót K n¸u mët trong hai nót ÷ñc x¡c ành bði mët d¢y c¡c iºm (p1, p2, ..., pn) v  nót cán l¤i ÷ñc x¡c ành bði d¢y iºm (p0, p1, p2, ..., pn) sao cho: (1) p0 (2) l  mët iºm khæng th¯ng h ng vîi p1 v  pn. Giao iºm cõa tam gi¡c sinh bði (p0, p1, pn) vîi nót x¡c ành bði (p1, p2, ..., pn) ch¿ n¬m tr¶n o¤n [p1, pn] 7 Ch÷ìng 1. Nót v  link Nhªn x²t 1.1.8. 1. Mët tam gi¡c câ bi¶n tr¶n ph¯ng ÷ñc x¡c ành bði c¡c c¤nh [p0, p1], [p1, pn], [pn , p0 ] câ cæng thùc l : T = {xp0 + yp1 + zpn |0 ≤ x, y, z; x + y + z = 1}. 2. i·u ki»n (2) £m b£o r¬ng trong biºu di¹n cõa bi¸n d¤ng cì sð cõa mët nót khæng câ iºm tü c­t. H¼nh 1.5a mæ t£ mët bi¸n d¤ng cì sð v  h¼nh 1.5b khæng ph£i l  mët bi¸n d¤ng cì sð. H¼nh 1.5 Nót K v  J ÷ñc gåi l  t÷ìng ÷ìng n¸u K câ thº bi¸n êi th nh J bði vi»c thüc hi»n mët chuéi c¡c bi¸n d¤ng cì sð. Ch½nh x¡c hìn, ta câ ành ngh¾a: ành ngh¾a 1.1.9. Cho K v  J l  hai nót trong R3. Khi â ta nâi K v  J l  hai nót t÷ìng ÷ìng n¸u tçn t¤i mët d¢y c¡c nót K = K0, K1, ..., Kn = J sao cho Ki+1 l  mët bi¸n d¤ng cì sð cõa Ki vîi 0 < i < n − 1. Tr¶n thüc t¸ khi x²t ¸n c¡c nót v  link, nâi mët c¡ch trüc gi¡c, ta coi mæi tr÷íng bao quanh chóng l  mët ch§t läng nhît v  khi c¡c nót câ thº ©y v· thæng suèt trong ch§t läng m  khæng tü giao nhau cho ¸n khi tròng vîi nhau th¼ chóng ÷ñc gåi l  t÷ìng ÷ìng. Ta câ ành ngh¾a thù hai v· t÷ìng ÷ìng cõa nót thæng qua kh¡i ni»m ¯ng lu¥n. 8 Ch÷ìng 1. Nót v  link ành ngh¾a 1.1.10. Cho K1 v  K2 l  hai nót b§t ký trong R3. Khi â, ta nâi K1 l  ¯ng lu¥n vîi K2 n¸u tçn t¤i mët ¡nh x¤ li¶n töc h : R3 × [0, 1] → R3 sao cho: (i) Vîi méi t ∈ [0, 1], ¡nh x¤ ht := h (−, t) : R3 → R3 l  ph²p çng phæi. (ii) h (−, 0) = h0 l  ¡nh x¤ çng nh§t v  h (K1, 1) = h1 (K1) = K2. Trong ành ngh¾a tr¶n, ta câ t l  bi¸n thíi gian v  £nh ht (K1) vîi t t«ng d¦n chùng tä sü bi¸n êi cõa K1 trong R3 theo thíi gian. D¹ nhªn th§y c¡c quan h» ÷ñc ành ngh¾a ð 1.1.9 v  1.1.10 l  quan h» t÷ìng ÷ìng. Ta câ thº chùng minh ÷ñc hai nót l  t÷ìng ÷ìng theo 1.1.9 khi v  ch¿ khi chóng l  ¯ng lu¥n theo 1.1.10. Chi ti¸t chùng minh câ thº xem trong t i li»u [2]. Tòy theo b i to¡n m  ta quy¸t ành s³ sû döng kh¡i ni»m n o cho thuªn lñi. V½ dö 1.1.11. Nót True lovers (b¶n tr¡i) v  nót 819 (b¶n ph£i) trong h¼nh 1.6 l  ¯ng lu¥n vîi nhau. H¼nh 1.6 Nhªn x²t 1.1.12. Vi»c nghi¶n cùu c¡c lîp t÷ìng ÷ìng cõa nót l  cæng vi»c ch½nh cõa lþ thuy¸t nót. Méi mët lîp t÷ìng ÷ìng cõa nót ÷ñc gåi l  mët kiºu nót. Thæng th÷íng sü kh¡c nhau giúa mët nót v  kiºu cõa nâ th÷íng ÷ñc bä qua. Tr¶n thüc t¸ i·u n y công khæng g¥y hiºu l¦m. V½ dö, khi nâi mët nót t÷ìng ÷ìng vîi nót t¦m th÷íng, tùc l  ph¡t biºu: nót â l  nót t¦m th÷íng. T÷ìng tü, khi nâi hai nót l  ph¥n bi»t, tùc l  c¡c nót â khæng t÷ìng ÷ìng hay câ kiºu kh¡c nhau. Vi»c quy ÷îc n y câ thº khæng rã r ng nh÷ng s³ tr¡nh ÷ñc nhúng t¼nh huèng mì hç. Ð möc n y chóng ta ch¿ ành ngh¾a c¡c kh¡i ni»m cho nót, tuy nhi¶n ng÷íi åc câ thº d¹ d ng mð rëng sang cho link m  khæng g°p ph£i khâ kh«n g¼. 9 Ch÷ìng 1. Nót v  link 1.1.4 Sì ç v  h¼nh chi¸u M°c dò mët nót l  mët tªp con cõa khæng gian nh÷ng ta s³ mæ t£ chóng tr¶n m°t ph¯ng. C¡c h¼nh ÷ñc v³ ð ¥y ·u n¬m tr¶n mët m£nh cõa tí gi§y v  nhúng thao t¡c cõa chóng ta tr¶n mët b£ng ph¯ng ho°c tr¶n mët m£nh cõa tí gi§y l  r§t d¹ thüc hi»n. Vªy, l m th¸ n o º ành ngh¾a tèt mët sì ç tr¶n mët m£nh cõa tí gi§y l  h¼nh £nh cho mët nót? C¥u tr£ líi ÷ñc hi»n thüc hâa bði kh¡i ni»m sì ç nót. H m f : R3 → R2 bi¸n (x, y, z) 7→ (x, y) ÷ñc gåi l  mët ¡nh x¤ chi¸u. N¸u K l  mët nót th¼ £nh cõa K d÷îi ph²p chi¸u n y ÷ñc gåi l  mët h¼nh chi¸u cõa K . Mët h¼nh chi¸u cõa nót h¼nh sè t¡m ÷ñc mæ t£ trong h¼nh 1.7. H¼nh 1.7 H¼nh chi¸u tr¶n m°t ph¯ng cõa mët nót l  mët ÷íng cong. Khi â, t¤i c¡c iºm æi, gåi l  giao c­t h¼nh chi¸u s³ khæng biºu di¹n ÷ñc ph¦n n o cõa nót i qua tr¶n nhúng ph¦n kh¡c. V¼ vªy, º sûa chúa ph¦n thæng tin bà m§t n y, kho£ng trèng ÷ñc v³ v o º ch¿ ph¦n nót i qua b¶n d÷îi ph¦n kh¡c, c¡ch v³ â ÷ñc gåi l  mët sì ç nót. V½ dö 1.1.13. Ta câ mët sì ç cõa nót ba l¡. H¼nh 1.8 10 Ch÷ìng 1. Nót v  link Nhªn x²t 1.1.14. Tr¶n thüc t¸ r§t nhi·u nót kh¡c nhau câ thº câ sì ç gièng nhau. i·u n y xu§t ph¡t tø vi»c, sì ç ch¿ ra ÷ñc ph¦n n o cõa nót i qua tr¶n nhúng ph¦n kh¡c nh÷ng khæng ÷a ra ÷ñc thæng tin v· sü ch¶nh l»ch ë cao giúa chóng. Vªy câ óng khæng khi ta nâi: n¸u hai nót câ còng mët h¼nh chi¸u th¼ chóng l  t÷ìng ÷ìng. º ph¡t biºu i·u n y ch½nh x¡c nh÷ mët ành lþ, ái häi ta ph£i nghi¶n cùu h¼nh chi¸u mët c¡ch c©n thªn. Gi£ sû r¬ng mët nót câ mët h¼nh chi¸u nh÷ ÷ñc mæ t£ trong h¼nh 1.9a. N¸u quay nót â i mët gâc nhä trong khæng gian th¼ nót thu ÷ñc s³ câ mët h¼nh chi¸u nh÷ ÷ñc mæ t£ trong h¼nh 1.9b. Nh÷ vªy, h¼nh chi¸u cõa mët nót ph£i £m b£o nhúng thæng tin cõa nót khæng bà m§t i. Tø â ta câ ành ngh¾a h¼nh chi¸u ch½nh quy. H¼nh 1.9 ành ngh¾a 1.1.15. H¼nh chi¸u ch½nh quy cõa mët nót l  h¼nh chi¸u cõa nót â sao cho: (i) Khæng câ ba iºm n o tr¶n nót ÷ñc chi¸u xuèng còng mët iºm. (ii) Khæng câ ¿nh n o cõa nót ÷ñc chi¸u xuèng còng mët iºm vîi b§t ký iºm n o kh¡c tr¶n nót. Câ hai ành lþ v· h¼nh chi¸u ch½nh quy th÷íng ÷ñc sû döng. ành lþ thù nh§t ph¡t biºu r¬ng: n¸u mët nót khæng câ h¼nh chi¸u ch½nh quy th¼ câ mët nót t÷ìng ÷ìng "g¦n" vîi nót â câ h¼nh chi¸u ch½nh quy. ành lþ thù hai ph¡t biºu r¬ng: n¸u mët nót câ h¼nh chi¸u ch½nh quy th¼ t§t c£ c¡c nót "g¦n" vîi nâ l  t÷ìng ÷ìng v  công câ h¼nh chi¸u ch½nh quy. Kh¡i ni»m "g¦n" ð ¥y ÷ñc l m chi ti¸t bði þ ngh¾a l  kho£ng c¡ch giúa c¡c ¿nh. 11 Ch÷ìng 1. Nót v  link ành l½ 1.1.16. Gi£ sû K l  mët nót ÷ñc x¡c ành bði mët tªp s­p thù tü c¡c iºm (p1 , p2 , ..., pn ). Vîi måi sè t > 0 tçn t¤i mët nót K 0 x¡c ành bði mët tªp s­p thù tü c¡c iºm (q1, q2, ..., qn) sao cho kho£ng c¡ch tø qi ¸n pi nhä hìn t vîi måi i th¼ K 0 t÷ìng ÷ìng vîi K v  h¼nh chi¸u cõa K 0 l  ch½nh quy. ành l½ 1.1.17. Gi£ sû K ÷ñc x¡c ành bði d¢y (p1, p2, ..., pn) v  câ mët h¼nh chi¸u ch½nh quy. Tçn t¤i mët sè t > 0 thäa m¢n: n¸u mët nót K 0 x¡c ành bði (q1, q2, ..., qn) vîi méi qi khæng v÷ñt qu¡ mët kho£ng c¡ch t tîi pi, th¼ K 0 t÷ìng ÷ìng vîi K v  câ h¼nh chi¸u ch½nh quy. Nh÷ vªy sì ç cõa nót ch¿ ÷ñc ành ngh¾a cho c¡c nót câ h¼nh chi¸u ch½nh quy. Mèi quan h» giúa nót v  sì ç ÷ñc thº hi»n qua ành lþ sau: ành l½ 1.1.18. Cho K v  J l  hai nót trong R3. Khi â, n¸u K v  J ·u câ h¼nh chi¸u ch½nh quy v  c¡c sì ç l  çng nh§t th¼ K t÷ìng ÷ìng vîi J . Chùng minh. ¦u ti¶n, ta gi£ sû r¬ng K ÷ñc x¡c ành bði mët d¢y câ thù tü v  J ÷ñc x¡c ành bði d¢y (q1, q2, ..., qn) sao cho h¼nh chi¸u cõa pi v  qi l  tròng nhau vîi måi i = 1, ..., n. Nh÷ vªy, câ thº c¦n ph£i bê sung th¶m c¡c iºm v o d¢y ành ngh¾a cõa c£ hai nót. Ti¸p theo, ta thüc hi»n mët d¢y c¡c bi¸n d¤ng cì sð thay méi pi vîi mët qi trong d¢y ành ngh¾a cõa K . C¡c dàch chuyºn â d¦u ti¶n ÷ñc ¡p döng cho t§t c£ c¡c ¿nh khæng n¬m tr¶n o¤n câ h¼nh chi¸u thu ÷ñc l  iºm æi. Sau â, ta s³ ¡p döng t¤i méi iºm æi.  (p1 , p2 , ..., pn ) Nhªn x²t 1.1.19. Méi sì ç cõa nót ÷ñc t¤o th nh bði tªp hñp c¡c cung tr¶n m°t ph¯ng. Mët cung ÷ñc t½nh tø iºm æi ph½a d÷îi n y ¸n iºm æi ph½a d÷îi H¼nh 1.10 kh¡c, ð giúa hai iºm æi n y câ duy nh§t mët iºm æi m  nâ n¬m tr¶n. C¡c cung 12 Ch÷ìng 1. Nót v  link â ÷ñc gåi l  c¡c c¤nh ho°c c¡c cung cõa sì ç. Ta câ thº xem b£ng sì ç cõa c¡c nót câ sè iºm c­t nhä hìn 8 trong ph¦n phö löc A. C¡c iºm tr¶n sì ç ùng vîi c¡c iºm æi tr¶n h¼nh chi¸u ÷ñc gåi l  c¡c iºm ch²o. T¤i méi iºm ch²o l  hai o¤n tr¶n nót: mët ÷ñc gåi l  cung tr¶n v  mët ÷ñc gåi l  cung d÷îi (xem h¼nh 1.10). Chó þ r¬ng, sè c¡c cung tròng vîi sè c¡c iºm ch²o. Nh÷ vªy, mët nót l  mët tªp con cõa khæng gian ba chi·u, c¡c nót ÷ñc ph¥n bi»t vîi lîp t÷ìng ÷ìng cõa nâ, nót vîi h¼nh chi¸u ch½nh quy câ sì ç ÷ñc v³ tr¶n m°t ph¯ng. Hìn núa, mët nót câ thº ÷ñc biºu di¹n bði nhi·u sì ç kh¡c nhau. Ch¯ng h¤n, ta câ ba sì ç còng biºu di¹n nót h¼nh sè t¡m. H¼nh 1.11 1.1.5 ành h÷îng Nót câ thº câ h÷îng hay nâi mët c¡ch h¼nh thùc l  câ thº cho mët h÷îng x¡c ành tr¶n nót. Nhî l¤i r¬ng, n¸u mët nót K ÷ñc x¡c ành bði mët d¢y câ thù tü c¡c ¿nh (p1, p2, ..., pn) th¼ nh÷ chó þ ban ¦u, b§t ký mët ho¡n và váng quanh n o cõa c¡c ¿nh s³ cho còng mët nót. i·u n y v¨n óng trong tr÷íng hñp nót â câ c¡c ¿nh s­p x¸p theo thù tü nghàch £o. ành ngh¾a 1.1.20. Mët nót ành h÷îng l  mët nót v  mët thù tü tr¶n tªp ¿nh cõa nâ. Thù tü ph£i ÷ñc chån sao cho nâ x¡c ành nót ban ¦u. Hai thù tü ÷ñc xem l  t÷ìng ÷ìng n¸u chóng sai kh¡c nhau bði mët ho¡n và váng quanh. º biºu di¹n mët nót ành h÷îng ta g­n tr¶n sì ç cõa nót c¡c môi t¶n t÷ìng ùng theo chi·u cõa nâ. Trong tr÷íng hñp cõa link ta công câ ành ngh¾a cho link ành h÷îng. ành ngh¾a 1.1.21. Mët link L ÷ñc gåi l  ành h÷îng n¸u c¡c th nh ph¦n cõa nâ ·u câ h÷îng. V½ dö 1.1.22. Mët v i link ành h÷îng ÷ñc mæ t£ trong h¼nh 1.12. 13 Ch÷ìng 1. Nót v  link H¼nh 1.12 Kh¡i ni»m t÷ìng ÷ìng d¹ d ng ÷ñc têng qu¡t hâa trong tr÷íng hñp ành h÷îng. N¸u mët nót ÷ñc ành h÷îng th¼ k¸t qu£ cõa mët bi¸n d¤ng cì sð tr¶n nót s³ câ h÷îng x¡c ành tü nhi¶n, tùc l  câ h÷îng x¡c ành theo thù tü gièng nh÷ thù tü tr¶n tªp ¿nh cõa nót ban ¦u nh÷ng câ ¿nh b­t ¦u ho°c ¿nh k¸t thóc l  ¿nh ÷ñc th¶m v o. Khi â, mët bi¸n d¤ng cì sð cõa mët nót ành h÷îng l  mët nót ành h÷îng. ành ngh¾a 1.1.23. C¡c nót ành h÷îng ÷ñc gåi l  t÷ìng ÷ìng ành h÷îng n¸u tçn t¤i mët d¢y c¡c bi¸n d¤ng cì sð bi¸n mët nót ành h÷îng n y th nh mët nót ành h÷îng kh¡c. Vi»c ph¥n bi»t t÷ìng ÷ìng v  t÷ìng ÷ìng ành h÷îng l  mët v§n · khâ trong lþ thuy¸t nót. V½ dö ¦u ti¶n v· nót t÷ìng ÷ìng m  khæng t÷ìng ÷ìng ành h÷îng ÷ñc cho bði H. Trotter v o n«m 1963 l  nót xo­n (3, 5, 7) câ thº ành h÷îng theo hai c¡ch v  Trotter ¢ chùng tä r¬ng nót ành h÷îng thu ÷ñc l  khæng t÷ìng ÷ìng ành h÷îng, m°c dò chóng l  nh÷ nhau khi h÷îng khæng x¡c ành. Do â, câ mët ành ngh¾a kh¡c ÷ñc sû döng th÷íng xuy¶n hìn. ành ngh¾a 1.1.24. Nghàch £o cõa mët nót ành h÷îng x¡c ành bði mët tªp s­p thù tü c¡c ¿nh (p1, p2, ..., pn) l  nót ành h÷îng K r vîi c¡c ¿nh gièng nh÷ vªy nh÷ng thù tü cõa chóng l  nghàch £o. Mët nót ành h÷îng K ÷ñc gåi l  kh£ nghàch n¸u K v  K r l  t÷ìng ÷ìng ành h÷îng. N¸u K khæng ÷ñc ành h÷îng th¼ nâ ÷ñc gåi l  kh£ nghàch n¸u vîi mët c¡ch chån h÷îng n o â, nâ l  kh£ nghàch. V½ dö 1.1.25. Nghàch £o cõa mët nót ba l¡ ÷ñc cho trong h¼nh 1.13. 14 Ch÷ìng 1. Nót v  link H¼nh 1.13 1.1.6 Dàch chuyºn Reidemeister Nh÷ ta ¢ bi¸t måi nót ·u câ mët sì ç, vªy trong tr÷íng hñp c¡c nót l  t÷ìng ÷ìng th¼ sì ç s³ câ mèi quan h» nh÷ th¸ n o? Rã r ng, mët bi¸n d¤ng cì sð câ thº câ £nh h÷ðng lîn tr¶n sì ç. Mët v i thay êi ìn gi£n nh§t tr¶n sì ç câ thº x£y ra khi mët nót l  bi¸n d¤ng nh÷ mæ t£ trong h¼nh 1.14. Tr¶n h¼nh ch¿ mæ t£ ph¦n sì ç x£y ra thay êi. H¼nh 1.14 Méi h¼nh ùng vîi mët c°p c¡c thay êi câ thº x£y ra: méi thao t¡c i k±m vîi nghàch £o cõa nâ. S¡u thao t¡c ìn gi£n â ÷ñc thüc hi»n tr¶n mët sì ç nót 15 Ch÷ìng 1. Nót v  link v  t÷ìng ùng l m thay êi nót ÷ñc gåi l  c¡c ph²p dàch chuyºn Reidemeister. Nh÷ vªy, ta câ ba ph²p dàch chuyºn Redemeister nh÷ sau: − Ph²p dàch chuyºn Redemeister R1 ùng vîi c°p 1a, 1b cho ph²p ta t¤o hay th¡o mët iºm ch²o tr¶n sì ç cõa mët nót. − Ph²p dàch chuyºn Redemeister R2 ùng vîi c°p 2a, 2b cho ph²p ta t¤o th¶m hay bît i hai iºm ch²o tr¶n sì ç cõa mët nót. − Ph²p dàch chuyºn Redemeister R3 ùng vîi c°p 3a, 3b cho ph²p ta di chuyºn mët cung tr¶n sì ç tø hai ché giao nhau n y ¸n hai ché giao nhau kh¡c. Qua â, ta câ mët nhªn x²t quan trång trong lþ thuy¸t nót tê hñp ÷ñc ÷a ra bði Alexander v  Briggs. ành l½ 1.1.26. Cho K v  J l  hai nót (link) b§t ký trong R3. Gi£ sû D1, D2 l¦n l÷ñt l  sì ç cõa K v  J tr¶n m°t ph¯ng. Khi â, n¸u K t÷ìng ÷ìng vîi J th¼ D1 v  D2 câ thº nhªn ÷ñc tø mët d¢y húu h¤n c¡c ph²p dàch chuyºn Reidemeister. Chùng minh. Nh÷ ta ¢ bi¸t, c¡c sì ç kh¡c nhau câ thº ¤i di»n cho c¡c nót gièng nhau. Do â, k¸t luªn n y l  phò hñp vîi trüc gi¡c. Sì ç n y ch¿ bi¸n êi th nh sì ç kh¡c khi ta thüc hi»n c¡c dàch chuyºn Reidermeister. Ph¦n chùng minh ¦y õ l  vi»c vi¸t chi ti¸t c¡c tr÷íng hñp cán þ t÷ðng chùng minh l  kh¡ ìn gi£n. V¼ K v  J l  hai nót t÷ìng ÷ìng n¶n tçn t¤i mët sè húu h¤n c¡c nót, méi nót thu ÷ñc bði vi»c thüc hi»n li¶n ti¸p c¡c bi¸n d¤ng cì sð gièng nh÷ [AB] → [AC] ∪ [CB]. Ð ¥y, "nót tr÷îc" l  ÷ñc x¥y düng l¤i tø "nót sau". B¬ng mët ph²p quay nhä, ta câ thº gi£ sû méi nót â ·u câ mët h¼nh chi¸u ch½nh quy v  h¼nh chi¸u cõa tam gi¡c m  bi¸n d¤ng cì sð ÷ñc thüc hi»n l  tam gi¡c ph¯ng ABC . H¼nh 1.15 Gåi L0 l  h¼nh chi¸u cõa "nót tr÷îc" tr¶n m°t ph¯ng ABC . Khi â, ph¦n trong cõa tam gi¡c ABC câ thº chùa r§t nhi·u iºm ch²o cõa sì ç nót. Gi£ sû, ta chia ABC th nh c¡c tam gi¡c nhä, sao cho chóng ch¿ chùa nhi·u nh§t mët iºm ch²o 16 Ch÷ìng 1. Nót v  link v  c¤nh cõa tam gi¡c nhä khæng chùa ¿nh cõa L0 th¼ méi tam gi¡c nhä s³ câ d¤ng cõa mët trong bèn kiºu sau: Kiºu thù nh§t: méi tam gi¡c nhä ch¿ chùa mët iºm ch²o cõa L0 v  c¡c c¤nh cõa L0 giao vîi hai c¤nh b¶n cõa tam gi¡c. Kiºu thù hai: tam gi¡c nhä ch¿ chùa ¿nh cõa L0 v  c¡c ph¦n i ra ngo i c¡c c¤nh. Kiºu thù ba: tam gi¡c nhä chùa mët ph¦n cõa mët c¤nh cõa L0 v  khæng chùa ¿nh. Kiºu thù t÷: tam gi¡c nhä khæng chùa b§t k¼ ¿nh ho°c c¤nh n o cõa L0. T§t c£ c¡c kiºu tam gi¡c n y ÷ñc mæ t£ trong h¼nh 1.16 H¼nh 1.16 Nh÷ vªy, mët ph²p tam gi¡c ph¥n cõa tam gi¡c ABC ÷ñc x¥y düng nh÷ sau: ¦u ti¶n, ta c­t t§t c£ c¡c ¿nh v  c¡c iºm ch²o bði c¡c tam gi¡c kiºu mët v  kiºu hai. Sau â, ta chia ph¦n cán l¤i cõa tam gi¡c ABC v  thu ÷ñc c¡c tam gi¡c cõa kiºu ba v  kiºu bèn. Khi â, chùng minh ÷ñc quy v· vi»c thüc hi»n c¡c bi¸n d¤ng cì sð tr¶n c¡c tam gi¡c nhä thay v¼ thüc hi»n tr¶n tam gi¡c ABC . Rã r ng, c¡c bi¸n d¤ng cì sð câ thº d÷ñc thüc hi»n bði tê hñp c¡c bi¸n êi Redemeister. Thªt vªy, c¡c tam gi¡c kiºu mët t¤o ra tê hñp c¡c dàch chuyºn Redemeister thù hai v  thù ba. C¡c tam gi¡c kiºu hai v  ba t¤o ra dàch chuyºn Redemeister thù hai v  bi¸n d¤ng cì sð. C¡c tam gi¡c kiºu bèn t¤o ra bi¸n d¤ng cì sð. Khi â, c¡c bi¸n d¤ng cì sð câ thº ÷ñc mæ t£ thæng qua mët d¢y c¡c bi¸n d¤ng cì sð nhä m  ÷ñc thüc hi»n bði c¡c dàch chuyºn Redemeister.  V½ dö 1.1.27. 1.Bi¸n êi trong h¼nh 1.17 câ thº thu ÷ñc bði mët d¢y gçm hai dàch 17 Ch÷ìng 1. Nót v  link chuyºn Redemeister. H¼nh 1.17 Thªt vªy: H¼nh 1.18 2.Nót ÷ñc mæ t£ trong h¼nh 1.19 l  t÷ìng ÷ìng vîi nót t¦m th÷íng qua mët chuéi c¡c ph²p dàch chuyºn Redemeister. H¼nh 1.19 V¼ 18
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan