VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
———————o0o——————–
VŨ THỊ HẢI YẾN
TỪ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12
Người hướng dẫn: GS. TSKH. Lê Dũng Mưu
Hà Nội - 2015
Mục lục
Mở đầu
3
1 CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ
5
1.1. Không gian Euclidean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.1. Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.2. Chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.3. Không gian định chuẩn, không gian Euclidean . . . . .
6
1.2. Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.2. Hàm lồi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.3. Một số tính chất của ánh xạ trên tập lồi . . . . . . . . . . . .
17
2 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
20
2.1. Phát biểu bài toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.1.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.1.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1
2.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) 23
2.3. Phương pháp chiếu để giải bài toán (VIP) . . . . . . . . . . .
25
2.3.1. Phương pháp chiếu cơ bản để giải bài toán (VIP) . . .
26
2.3.2. Phương pháp chiếu dưới đạo hàm để giải bài toán (VIP) 31
3 BÀI TOÁN CÂN BẰNG
37
3.1. Phát biểu bài toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.1.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.1.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng . . . . . . . . . . .
39
3.3. Phương pháp chiếu để giải bài toán cân bằng (EP) . . . . . .
44
3.3.1. Phương pháp chiếu cơ bản để giải bài toán cân bằng
(EP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.3.2. Phương pháp chiếu dưới đạo hàm (IPSM) để giải bài
toán (EP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận
49
58
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
61
Mở đầu
Toán học là bản lề then chốt cho mọi ngành khoa học và nó có ứng dụng
rộng rãi trong thực tiễn nhất là trong kinh tế. Ngày nay có rất nhiều nhà
kinh tế học cũng như các nhà toán học tập trung nghiên cứu phát triển các
lý thuyết toán học, đặc biệt là lý thuyết tối ưu toán học về tăng trưởng kinh
tế.
Bài toán cân bằng là vấn đề quan trọng trong lý thuyết tối ưu và đã được
nghiên cứu qua các công trình của Nikaido và Isoda, Ky Fan, L.D Muu và
W Oettli,. . . . Bài toán cân bằng có mối liên hệ với nhiều bài toán khác, đặc
biệt là bài toán bất đẳng thức biến phân. Để giải bài toán cân bằng có nhiều
phương pháp khác nhau và một trong những phương pháp đang được phát
triển là phương pháp chiếu. Phương pháp chiếu này cũng dùng để giải bài
toán tối ưu và bài toán bất đẳng thức biến phân rất hiệu quả.
Luận văn: "Từ bất đẳng thức biến phân đến bài toán cân bằng" nhằm
mục đích trình bày những vấn đề cơ bản nhất về bài toán bất đẳng thức biến
phân, bài toán cân bằng và phương pháp chiếu để giải hai bài toán này. Qua
đó để thấy được sự phát triển từ bài toán bất đẳng thức biến phân đến bài
toán cân bằng.
Luận văn được chia làm 3 chương:
3
Chương 1: "Các kiến thức bổ trợ" trình bày các kiến thức cơ bản về không
gian Euclidean, tập lồi, hàm lồi, một số tính chất về ánh xạ trên tập lồi sẽ
được sử dụng trong các chương sau.
Chương 2: "Bài toán bất đẳng thức biến phân" trình bày về bài toán bất
đẳng thức biến phân, sự tồn tại nghiệm của bài toán và phương pháp chiếu
để giải bài toán.
Chương 3: "Bài toán cân bằng" giới thiệu về bài toán cân bằng, sự tồn tại
nghiệm của bài toán, phương pháp chiếu để giải bài toán và chỉ ra mối liên
hệ của bài toán cân bằng với bài toán bất đẳng thức biến phân.
Do thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn mới chỉ dừng lại ở việc
tìm hiểu tài liệu và trình bày lại các kết quả đã được nghiên cứu theo chủ đề
đặt ra. Mặc dù đã có cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những thiếu
xót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo, của các nhà
nghiên cứu và của các độc giả quan tâm đến luận văn này.
Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Viện Toán học, trung
tâm Đào tạo Sau đại học của Viện Toán, các thầy cô giáo, các cán bộ công
nhân viên trong Viện Toán đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ và tạo điều kiện
cho tác giả trong suốt thời gian học tập tại Viện Toán. Đặc biệt, tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS – TSKH Lê Dũng Mưu đã tận tình chỉ
bảo, hướng dẫn và giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 8 năm 2015
Tác giả
VŨ THỊ HẢI YẾN
4
Chương 1
CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về không gian Euclidean, tập
lồi, hàm lồi và một số tính chất về ánh xạ trên tập lồi sẽ được sử dụng trong
các chương sau. Nội dung của chương này lấy trong các tài liệu [1], [2], [3].
1.1.
1.1.1.
Không gian Euclidean
Tích vô hướng
Cho X là một không gian vectơ, trong đó có xác định một hàm hai biến
hx, yi, gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y nếu nó thỏa mãn các tính
chất:
(i) hx, yi = hy, xi,
(ii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi,
(iii) hαx, yi = α hx, yi , ∀α ∈ R,
(iv) hx, xi > 0 nếu x 6= 0, hx, xi = 0 nếu x = 0.
5
1.1.2.
Chuẩn
Cho X là một không gian vectơ, trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X , ta
có một số kxk, gọi là chuẩn của nó nếu thỏa mãn các điều kiện:
(i) kxk > 0 nếu x 6= 0; kxk = 0 nếu x = 0,
(ii) kαxk = |α| kxk (tính thuần nhất của chuẩn),
(iii) kx + yk ≤ kxk + kyk (bất đẳng thức tam giác),
(Với mọi x, y ∈ X và với mọi số α).
1.1.3.
Không gian định chuẩn, không gian Euclidean
a. Không gian định chuẩn
Một không gian định chuẩn X là một không gian vectơ, trong đó ứng với mỗi
phần tử x ∈ X , ta có một số kxk, gọi là chuẩn của nó được xác định trong
mục 1.1.2.
b. Không gian Euclidean
Với mỗi số nguyên không âm n, không gian của các bộ n số thực tạo thành
một không gian vectơ n chiều trên R, ký hiệu là Rn .
Một phần tử của Rn được viết là x = (x1 , x2 , ..., xn ), trong đó xi (i = 1, n) ∈
R. Không gian Rn là không gian Euclidean.
Trên không gian Euclidean Rn xác định tích vô hướng của hai vectơ x, y như
sau:
hx, yi =
n
P
i=1
và chuẩn
6
xi y i ,
s
p
kxk = hx, xi =
n
P
(xi )2 , (gọi là chuẩn Euclidean).
i=1
Nhận xét: Với mọi số thực α ta có:
0 ≤ hx − αy, x − αyi = hx, xi − 2α hx, yi + α2 hy, yi.
Tam thức bậc hai theo α này phải có ∆0 ≤ 0 tức là
|hx, yi|2 − hx, xi hy, yi ≤ 0 hay |hx, yi| ≤ kxk . kyk.
Đây là bất đẳng thức Schwarz.
1.2.
Tập lồi và hàm lồi
1.2.1.
Tập lồi
Định nghĩa 1.2.1. Một tập C ⊂ Rn được gọi là một tập lồi nếu C chứa mọi
đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kì của nó. Tức là C lồi khi và chỉ khi
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1] thì λx + (1 − λ)y ∈ C .
Ví dụ 1.2.1. a. Các nửa không gian đóng hay các nửa không gian mở đều là
các tập lồi.
b. Các hình vuông hay các hình elip đều là các tập lồi.
Mệnh đề 1.2.1. Tập C lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các
điểm của nó. Tức là C lồi khi và chỉ khi
∀k ∈ N; ∀λ1 ; ...; λk > 0 :
k
P
1
k
λj = 1; ∀x ; ...; x ∈ C ⇒
j=1
k
P
j=1
7
λj xj ∈ C .
Ta nói C là tổ hợp lồi của các điểm (vectơ) x1 ; ...; xk nếu
x=
k
P
λj xj , λj > 0, ∀j = 1; k,
k
P
λj = 1.
j=1
j=1
Định nghĩa 1.2.2. Một tập C được gọi là tập a-phin nếu nó chứa đường
thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó, tức là
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C .
Bao a-phin của C là giao của tất cả các tập a-phin chứa C . Ký hiệu là af f C .
Mệnh đề 1.2.2. C 6= ∅ là tập a-phin khi và chỉ khi nó có dạng C = L + a
với L là một không gian con của C và a ∈ C . Không gian con L này được
xác định duy nhất.
Định nghĩa 1.2.3. Không gian L trong Mệnh đề 1.2.2 được gọi là không
gian con song song với C .
Thứ nguyên (hay chiều) của một tập a-phin C được định nghĩa bởi thứ
nguyên của không gian con song song với C và được ký hiệu là dimC .
Thứ nguyên của một tập C bất kỳ được định nghĩa như là thứ nguyên của
bao a-phin của nó. Tức là
dimC := dim(af f C).
Định nghĩa 1.2.4. Một tập F ⊆ C được gọi là một diện của tập lồi C nếu
F là tập lồi có tính chất là
∀x, y ∈ C : tx + (1 − t)y ∈ F ; 0 < t < 1 ⇒ [x, y] ⊂ F .
Điểm cực biên là điểm có thứ nguyên bằng 0.
Tia cực biên là một diện nửa đường thẳng.
8
Hướng cực biên là hướng của tia cực biên .
Tập hợp tất cả các điểm cực biên của C kí hiệu là V (C) và tập hợp tất cả
các hướng cực biên của C kí hiệu là U (C).
Định lý 1.2.1. (Định lý biểu diễn tập lồi) Nếu C là một tập lồi đóng không
chứa trọn một đường thẳng nào thì
C = CoV (C) + ConeU (C).
Tức là mọi điểm của C đều biểu diễn được như là tổng của một tổ hợp lồi
của các điểm cực biên và tổ hợp không âm của các hướng cực biên.
Định nghĩa 1.2.5. Cho hai tập C và D khác rỗng, ta nói siêu phẳng aT x = α
tách C và D nếu
aT x ≤ α ≤ aT y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D.
Ta nói siêu phẳng aT x = α tách mạnh C và D nếu
sup aT x < α < inf aT y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D.
x∈C
y∈D
Định lý 1.2.2. (Định lý tách 1) Cho C và D là 2 tập lồi khác rỗng trong Rn
sao cho C ∩ D 6= ∅. Khi đó có một siêu phẳng tách C và D.
Định lý 1.2.3. (Định lý tách 2) Cho C và D là 2 tập lồi khác rỗng trong
Rn sao cho C ∩ D 6= ∅. Giả sử có ít nhất một tập là compact. Khi đó hai tập
này có thể tách mạnh được bởi một siêu phẳng.
Định lý không đúng nếu có ít nhất một tập là compact và tập còn lại không
đóng.
9
Chẳng hạn, C = {0}; D = (x; 0) ∈ R2 |x > 0 . Khi đó, hai tập này không
thể được tách mạnh bởi một siêu phẳng.
Định nghĩa 1.2.6. Cho C 6= ∅ (không nhất thiết lồi) và y là một vectơ bất
kì, đặt dC (y) := inf kx − yk. Ta nói dC (y) là khoảng cách từ y đến C .
x∈C
Nếu tồn tại π ∈ C sao cho dC (y) = kπ − yk thì ta nói π là hình chiếu (vuông
góc) của y trên C . Kí hiệu: π = pC (y).
Định nghĩa 1.2.7. Cho C ⊂ Rn ; x0 ∈ C . Nón pháp tuyến ngoài của C tại
x0 là tập hợp
NC (x0 ) := w/wT (x − x0 ) ≤ 0, ∀x ∈ C .
Định nghĩa 1.2.8. Cho x0 ∈ C . Ta nói aT x = α là siêu phẳng tựa của C
tai x0 , nếu
aT x0 = α, aT x ≥ α∀x ∈ C .
Như vậy siêu phẳng tựa của C tại x0 là siêu phẳng đi qua x0 và để tập C về
một phía.
Mệnh đề 1.2.3. Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng. Khi đó:
(i) Với mọi y ∈ Rn , π ∈ C hai tính chất sau tương đương:
a. π = pC (y),
b. y − π ∈ NC (π).
(ii) Với mọi y ∈ Rn , hình chiếu pC (y) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất.
(iii) Nếu y ∈
/ C , thì hpC (y) − y, x − pC (y)i = 0 là siêu phẳng tựa của C tại
pC (y) và tách hẳn y khỏi C , tức là
hpC (y) − y, x − pC (y)i ≥ 0, ∀x ∈ C ,
10
và
hpC (y) − y, y − pC (y)i < 0.
(iv) Ánh xạ y 7→ pC (y) có các tính chất sau:
a. kpC (x) − pC (y)k ≤ kx − yk , ∀x, y ∈ C , (tính không giãn).
b. hpC (x) − pC (y), x − yi ≥ kpC (x) − pC (y)k2 , (tính đồng bức).
Đây là mệnh đề quan trọng được dùng trong chương sau nên ta sẽ chứng
minh mệnh đề này.
Chứng minh. (i) Giả sử có a). Lấy x ∈ C và λ ∈ (0; 1). Đặt
xλ := λx + (1 − λ)π .
Do x, π ∈ C và C lồi, nên xλ ∈ C . Hơn nữa do π là hình chiếu của y , nên
kπ − yk ≤ ky − xλ k. Hay
kπ − yk2 ≤ kλ(x − π) + (π − y)k2 .
Khai triển vế phải, ước lược và chia hai vế cho λ > 0, ta có:
λkx − πk2 + 2 hx − π, π − yi ≥ 0.
Điều này đúng với mọi x ∈ C và λ ∈ (0; 1). Do đó khi cho λ tiến đến 0, ta
được:
hπ − y, x − πi ≥ 0∀x ∈ C
11
Vậy y − π ∈ NC (π).
Bây giờ giả sử có b). Với mọi x ∈ C , ta có:
0 ≥ (y − π)T (x − π) = (y − π)T (x − y + y − π)
= ky − πk2 + (y − π)T (x − y).
Từ đây và b), dùng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:
ky − πk2 ≤ (y − π)T (y − x) ≤ ky − πk ky − xk.
Suy ra ky − πk ≤ ky − xk ∀x ∈ C , và do đó π = p(y).
(ii) Do dC (y) = infx∈C kx − yk nên theo định nghĩa của cận dưới đúng (infimum), tồn tại một dãy xk ∈ C sao cho
lim
xk − y
= dC (y) < +∞
k
Vậy dãy xk bị chặn, do đó nó có một dãy con xkj hội tụ đến một điểm
π nào đó. Do C đóng, nên π ∈ C . Vậy
kπ − yk = lim
xkj − y
= lim
xk − y
= dC (y).
j
k
Chứng tỏ π là hình chiếu của y trên C .
Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu. Thật vậy, nếu tồn tại hai
điểm π và π 1 đều là hình chiếu của y trên C , thì
y − π ∈ NC (π), y − π 1 ∈ NC (π 1 ).
Tức là
12
π − y, π 1 − π ≥ 0.
và
π 1 − y, π − π 1 ≥ 0.
Cộng hai vế của bất đẳng thức này ta suy ra
π − π 1
≤ 0, và do đó π = π 1 .
(iii) Do y − π ∈ NC (π), nên
hπ − y, x − πi ≥ 0, ∀x ∈ C .
Vậy hπ − y, xi = hπ − y, πi là một siêu phẳng tựa của C tại π . Siêu phẳng
này tách y khỏi C vì y 6= π , nên
hπ − y, y − πi = −kπ − yk2 < 0.
(iv) Theo phần (ii) ánh xạ x 7→ p(x) xác định khắp nơi. Do z − p(z) ∈
NC (p(z)) với mọi z , nên áp dụng với z = x và z = y , ta có:
hx − p(x), p(y) − p(x)i ≤ 0,
và
hy − p(y), p(x) − p(y)i ≤ 0.
Cộng hai bất đẳng thức lại sẽ được
hp(y) − p(x), p(y) − p(x) + x − yi ≤ 0.
Từ đây và theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, suy ra
13
kp(x) − p(y)k ≤ kx − yk.
Để chứng minh tính đồng bức, áp dụng tính chất b) của i, lần lượt với p(x)
và p(y), ta có:
hp(x) − x, p(x) − p(y)i ≤ 0.
hy − p(y), p(x) − p(y)i ≤ 0.
Cộng hai bất đẳng thức ta được:
hp(x) − p(y) + y − x, p(x) − p(y)i
= hp(x) − p(y), y − xi + kp(x) − p(y)k2 ≤ 0.
Chuyển vế ta có
hp(x) − p(y), x − yi ≥ kp(x) − p(y)k2 .
Đây chính là tính đồng bức cần được chứng minh.
1.2.2.
Hàm lồi
Định nghĩa 1.2.9. Cho C ⊆ Rn là tập lồi và f : C → R ∪ {+∞}. Kí hiệu
domf := {x ∈ C/f (x) < +∞} được gọi là miền hữu dụng của f .
Tập epif := {(x, µ) ∈ C × R/f (x) ≤ µ} được gọi là tập trên đồ thị của f .
Định nghĩa 1.2.10. Cho ∅ =
6 C ⊆ Rn lồi và f : C → R ∪ {+∞}. Ta nói f
là hàm lồi trên C nếu epif là một tập lồi trong Rn+1 .
Định nghĩa trên tương đương với f là hàm lồi nếu
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0; 1).
14
Hàm f được gọi là hàm lõm trên C nếu −f là hàm lồi trên C .
Hàm f được gọi là chính thường nếu domf 6= ∅ và f (x) > −∞ với mọi x.
Hàm f được gọi là lồi mạnh trên C với hệ số η > 0 nếu ∀x, y ∈ C , ∀λ ∈ (0; 1)
ta có:
1
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − ηλ(1 − λ)kx − yk2
2
Mệnh đề 1.2.4. Một hàm f : C → R ∪ {+∞} là lồi trên C khi và chỉ khi
∀x, y ∈ C; ∀α > f (x); ∀β > f (y); ∀λ ∈ [0; 1]
⇒f (λx + (1 − λ)y) ≤ λα + (1 − λ)β.
Bổ đề 1.2.1. Cho C là một tập con lồi của Rn . Một hàm khả vi f : C → R
là lồi nếu và chỉ nếu
f (x) − f (y) ≥ h∇f (y), x − yi , ∀x, y ∈ C .
Ví dụ 1.2.2. a. Hàm afin f (x) := aT x + α, trong đó a ∈ Rn , α ∈ R là hàm
vừa lồi, vừa lõm trên toàn không gian.
b. Hàm khoảng cách: Cho C là tập lồi, đóng, hàm khoảng cách đến tập C
được định nghĩa bởi dC (x) := min kx − yk là hàm lồi.
y∈C
Định nghĩa 1.2.11. Cho f : Rn → R ∪ {+∞} và x0 ∈ Rn sao cho f (x0 ) <
+∞. Nếu với một vectơ y ∈ Rn mà giới hạn
f (x0 + λy) − f (x0 )
lim
λ&0
λ
tồn tại (hữu hạn hay vô hạn) thì ta nói f có đạo hàm theo hướng y tại điểm
x0 .
Kí hiệu là f 0 (x0 , y).
15
0
nếu x < 0,
Ví dụ 1.2.3. Cho f (x) = 1
nếu x = 0,
+∞ nếu x > 0.
Ta có
f (0 − λ) − f (0)
f (−λ) − 1
0−1
= lim
= lim
= −∞,
λ&0
λ&0
λ&0
λ
λ
λ
f (0 + 0) − f (0)
1−1
f 0 (0; 0) = lim
= lim
= 0,
λ&0
λ&0
λ
λ
f (0 + λ) − f (0)
f (λ) − 1
+∞ − 1
f 0 (0; 1) = lim
= lim
= lim
= +∞.
λ&0
λ&0
λ&0
λ
λ
λ
f 0 (0; −1) = lim
Định nghĩa 1.2.12. Cho f : Rn → R ∪ {+∞}. Ta nói x∗ ∈ Rn là dưới đạo
hàm của f tại x nếu
hx∗ , z − xi + f (x) ≤ f (z), ∀z .
Kí hiệu tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là ∂f (x).
Khi ∂f (x) 6= ∅ thì ta nói hàm f khả dưới vi phân tại x.
0
nếu x ∈ C,
là hàm chỉ của một tập lồi
Ví dụ 1.2.4. Đặt δC (x) :=
+∞ nếu x ∈
/ C.
C 6= ∅.
Khi đó với x0 ∈ C thì
∂δ C (x0 ) = x∗ / x∗ , x − x0 ≤ δC (x), ∀x .
Với x ∈
/ C , thì δC (x) = +∞, nên bất đẳng thức này luôn đúng. Vậy
∂δ C (x0 ) = x∗ / x∗ , x − x0 ≤ 0, ∀x ∈ C = NC (x0 ).
Vậy dưới vi phân của một hàm chỉ của một tập lồi C 6= ∅ tại một điểm
x0 ∈ C chính là nón pháp tuyến ngoài của C tại x0 .
16
1.3.
Một số tính chất của ánh xạ trên tập lồi
Định nghĩa 1.3.13. Một ánh xạ đa trị f : C → 2Y từ một tập C trong
không gian định chuẩn X vào một không gian định chuẩn Y , gọi là đóng, nếu
đồ thị của nó
{(x, y) : x ∈ C, y ∈ f (x)},
là tập đóng trong không gian X × Y .
Định lý 1.3.4. (Định lý Kakutani) Cho một tập lồi, compact C ⊂ Rn và một
ánh xạ đa trị đóng f : C → 2C từ C vào chính nó, sao cho với mọi x ∈ C ,
f (x) là tập lồi, compact, không rỗng. Khi ấy f có một điểm bất động, nghĩa
là có một điểm x∗ ∈ C sao cho x∗ ∈ f (x∗ ).
Định nghĩa 1.3.14. Cho C là một tập lồi đóng, khác rỗng trong Rn . Ánh
xạ F : C → Rn .
Ánh xạ F được gọi là đơn điệu mạnh trên C với hệ số µ > 0, nếu
hF (x) − F (y), x − yi ≥ µkx − yk2 , ∀x, y ∈ C .
Ánh xạ F được gọi là đơn điệu trên C , nếu
hF (x) − F (y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C .
Ánh xạ F được gọi là giả đơn điệu trên C nếu với mỗi cặp x, y ∈ C ta có
hF (y), x − yi ≥ 0 kéo theo hF (x), x − yi ≥ 0.
Ví dụ 1.3.5. Cho F (x) = Q(x).
F là đơn điệu trên toàn không gian khi Q là ma trận vuông, đối xứng, nửa
17
xác định dương.
F là đơn điệu mạnh trên toàn không gian khi Q là ma trận vuông, đối xứng,
xác định dương.
Định nghĩa 1.3.15. Cho C là một tập lồi trên Rn và F : C → Rn là một
ánh xạ. Ánh xạ F được gọi là Lipschitz với hằng số L nếu với mỗi cặp điểm
x, y ∈ C ta có:
kF (x) − F (y)k ≤ L kx − yk.
Một hàm F : Rn → R được gọi là Lipschitz địa phương tại x với hằng số
Lipschitz L nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho
kF (x) − F (y)k ≤ L kx − yk ∀x, y ∈ U .
Hàm F được gọi là Lipschitz địa phương trên C nếu nó Lipschitz địa phương
tại mọi điểm thuộc C (tất nhiên hằng số Lipschitz có thể khác nhau ở mỗi
điểm).
Định nghĩa 1.3.16. Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn . Một
song hàm f : C × C → R ∪ {+∞} được gọi là một song hàm cân bằng nếu
f (x, x) = 0 với mỗi x ∈ C .
Định nghĩa 1.3.17. Một hàm f : Rn → R ∪ {+∞} được gọi là nửa liên tục
dưới đối với E , tại một điểm x, nếu như với mọi dãy xk ⊂ E, xk → x ta
có lim inf f (xk ) ≥ f (x).
Hàm f được gọi là nửa liên tục trên, đối với E , tại x nếu −f nửa liên tục
dưới, đối với E , tại x.
Hàm f được gọi là liên tục đối với E , tại x nếu nó vừa nửa liên tục trên và
18
nửa liên tục dưới, đối với E , tại x.
Nếu f liên tục đối với E , tại mọi điểm thuộc tập A thì f liên tục đối với E
trong tập A.
Định nghĩa 1.3.18. Một hàm số thực f được gọi là tựa lồi trên một tập lồi
C nếu với mỗi số thực γ tập mức dưới {x ∈ C/f (x) ≤ γ} lồi.
Dễ thấy rằng nếu f tựa lồi trên C thì với mọi x, y ∈ C và λ ∈ [0; 1] ta có:
f (λx + (1 − λ)y) ≤ max(f (x), f (y)).
Hàm f được gọi là tựa lõm trên C nếu −f là hàm tựa lồi trên C .
Nhận xét: Mọi hàm lồi (lõm) trên C đều tựa lồi (tựa lõm) trên C . Nhưng
ngược lại chưa chắc đúng. Ví dụ như hàm phân thức afin
aT x + α
f (x) := T
(trong đó a, b, x ∈ Rn ; α, β ∈ R).
b x+β
Hàm này vừa tựa lồi, vừa tựa lõm trên mọi tập lồi C , mà trên đó mẫu số
khác 0 nhưng không là hàm lồi, hàm lõm trên C .
Kết luận chương
Chương này đã trình bày các kiến thức cơ bản về không gian Euclidean,
tập lồi, hàm lồi và một số tính chất của ánh xạ trên tập lồi. Chương tiếp theo
của luận văn sẽ trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân có sử dụng
các kiến thức của Chương 1.
19
- Xem thêm -