§¹i häc huÕ
Trêng §¹i häc S ph¹m
TrÇn §ç Minh Ch©u
VÒ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña
m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc
HuÕ - 2014
§¹i häc HuÕ
Trêng §¹i häc S ph¹m
TrÇn §ç Minh Ch©u
VÒ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña
m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ lý thuyÕt sè
M· sè: 62.46.01.04
luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc
Ngêi híng dÉn khoa häc:
1. PGS.TS. Lª ThÞ Thanh Nhµn
2. GS.TS. Lª V¨n ThuyÕt
HuÕ - 2014
Lêi cam ®oan
T«i xin cam ®oan ®©y lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña riªng t«i. C¸c kÕt qu¶
viÕt chung víi t¸c gi¶ kh¸c ®· ®îc sù nhÊt trÝ cña ®ång t¸c gi¶ khi ®a vµo
luËn ¸n. C¸c kÕt qu¶ cña luËn ¸n lµ míi vµ cha tõng ®îc ai c«ng bè trong
bÊt k× c«ng tr×nh nµo kh¸c.
T¸c gi¶
TrÇn §ç Minh Ch©u
Lêi c¶m ¬n
LuËn ¸n nµy ch¾c ch¾n kh«ng thÓ hoµn thµnh ®îc nÕu kh«ng cã sù híng
dÉn nghiªm kh¾c nhng v« cïng tËn t×nh vµ t©m huyÕt cña C« t«i-PGS.TS.
Lª ThÞ Thanh Nhµn. T«i xin ®îc bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn c«. C« ®·
®a t«i ®Õn víi §¹i sè giao ho¸n vµ truyÒn ®¹t cho t«i ph¬ng ph¸p nghiªn
cøu, tõ c¸ch ®äc s¸ch, ph¸t hiÖn vµ n¶y sinh ra nh÷ng ý tëng to¸n häc ®Õn
c¸ch gi¶i quyÕt vÊn ®Ò. T«i thùc sù thÊy m×nh trëng thµnh lªn rÊt nhiÒu vµ
ngµy cµng say mª nghiªn cøu h¬n.
T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi ThÇy t«i-GS.TS. Lª V¨n ThuyÕt. ThÇy lu«n
tËn t×nh, ®éng viªn t«i trong suèt bèn n¨m nghiªn cøu sinh. Sù ©n cÇn cña
thÇy ®· gióp t«i vît qua nhiÒu khã kh¨n mçi khi xa nhµ. ThÇy lu«n lµ mét
tÊm g¬ng vÒ sù say mª nghiªn cøu khoa häc còng nh sù cèng hiÕn cho
céng ®ång To¸n häc ViÖt Nam ®Ó t«i häc tËp.
LuËn ¸n ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn tËn t×nh cña hai ngêi thÇy
PGS.TS. Lª ThÞ Thanh Nhµn vµ GS.TS. Lª V¨n ThuyÕt. Mét lÇn n÷a t«i xin
bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn hai ngêi thÇy cña t«i vµ sÏ phÊn ®Êu h¬n n÷a
®Ó xøng ®¸ng víi c«ng lao cña thÇy, c«, xøng ®¸ng víi niÒm tin cña thÇy, c«
®· dµnh cho t«i.
T«i xin tr©n träng c¶m ¬n c¸c thÇy gi¸o Khoa To¸n §HSP HuÕ, phßng
Sau §H ®· lu«n gióp ®ì, t¹o mäi ®iÒu kiÖn ®Ó cho t«i häc tËp, nghiªn cøu
vµ hoµn thµnh luËn ¸n nµy.
T«i xin c¶m ¬n Ban gi¸m hiÖu trêng THPT Chuyªn Th¸i Nguyªn ®· cho
t«i c¬ héi ®îc ®i häc tËp vµ nghiªn cøu. T«i xin c¶m ¬n Ban chñ nhiÖm
khoa To¸n vµ tæ §¹i sè Trêng §¹i häc S ph¹m-§¹i häc Th¸i Nguyªn ®·
t¹o ®iÒu kiÖn vµ s¾p xÕp c«ng viÖc thuËn lîi cho t«i trong suèt thêi gian t«i
viÕt luËn ¸n.
T«i xin c¶m ¬n nh÷ng ®ång nghiÖp, c¸c anh, chÞ, em ®· vµ ®ang c«ng t¸c
t¹i trêng THPT Chuyªn, chÞ NguyÔn ThÞ KiÒu Nga, b¹n TrÇn Nguyªn An
®· ®éng viªn, chia sÎ, gióp ®ì t«i trong suèt bèn n¨m nghiªn cøu sinh.
Cuèi cïng, t«i muèn bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi nh÷ng ngêi th©n
trong gia ®×nh cña m×nh - nh÷ng ngêi ®· ®éng viªn, chia sÎ mäi khã kh¨n
cïng t«i suèt nh÷ng n¨m th¸ng qua ®Ó t«i cã thÓ hoµn thµnh luËn ¸n.
2
Môc lôc
Ch¬ng 1.
KiÕn thøc chuÈn bÞ
14
1.1 BiÓu diÔn thø cÊp cho m«®un Artin . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Artin . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Vµnh catenary phæ dông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 ChiÒu vµ tÝnh b·o hßa nguyªn tè
Ch¬ng 2.
. . . . . . . . . . . . . . . . 22
M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng víi gi¸ cùc ®¹i
2.1 ChuyÓn i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt qua ®Çy ®ñ
28
. . . . . . . . . . 28
2.2 Trêng hîp vµnh catenary phæ dông víi thí h×nh thøc CohenMacaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 §èi ®Þa ph¬ng hãa
Ch¬ng 3.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸
tïy ý
56
3.1 TÝnh b·o hßa nguyªn tè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 TËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 §èi gi¸ vµ sè béi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
KÕt luËn vµ kiÕn nghÞ
76
C¸c c«ng tr×nh liªn quan ®Õn luËn ¸n
78
Tµi liÖu tham kh¶o
79
3
Më ®Çu
Vµo nh÷ng n¨m 1960, A. Grothendieck [18] ®· giíi thiÖu lý thuyÕt ®èi
®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng dùa trªn c«ng tr×nh cña J. P. Serre [56] n¨m 1955 vÒ
c¸c bã ®¹i sè. Ngay sau ®ã, lý thuyÕt nµy nhanh chãng ph¸t triÓn vµ ®îc
nhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi quan t©m (cã thÓ kÓ ®Õn mét sè c«ng tr×nh
®iÓn h×nh nh [18], [19], [20], [22], [23], [25], [29], [31], [47], [50], [52],
[57], [58]). Ngµy nay, lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng ®· trë thµnh c«ng
cô kh«ng thÓ thiÕu trong nhiÒu lÜnh vùc kh¸c nhau cña to¸n häc nh §¹i sè
giao ho¸n, H×nh häc ®¹i sè, §¹i sè tæ hîp...
Mét trong nh÷ng kÕt qu¶ quan träng vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
lµ tÝnh triÖt tiªu. Cho
M lµ m«®un trªn vµnh giao ho¸n Noether R. N¨m
1967, A. Grothendieck [18] ®· chØ ra r»ng m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
HIi (M ) triÖt tiªu t¹i mäi cÊp i > dim SuppR M vµ nÕu (R, m) lµ vµnh ®Þa
ph¬ng,
M lµ h÷u h¹n sinh th× Hmd (M ) 6= 0, trong ®ã d = dim M. Sau ®ã,
«ng còng chøng minh ®îc ®é s©u cña
M lµ sè i bÐ nhÊt ®Ó Hmi (M ) 6= 0.
§Þnh lý triÖt tiªu Lichtenbaum-Hartshorne ([20], [50]) næi tiÕng cßn kh¼ng
®Þnh r»ng nÕu
I lµ i®ªan cña vµnh ®Þa ph¬ng (R, m) víi dim R = n th×
b R
b + P) ≥ 1 víi mäi i®ªan nguyªn tè
HIn (R) = 0 khi vµ chØ khi dim R/(I
b TÝnh chÊt tiÕp theo ®îc
liªn kÕt chiÒu cao nhÊt P cña vµnh ®Çy ®ñ m-adic R.
rÊt nhiÒu ngêi quan t©m lµ tÝnh h÷u h¹n sinh cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa
ph¬ng. Ngay c¶ khi
M h÷u h¹n sinh th× HIi (M ) nh×n chung kh«ng h÷u h¹n
sinh. V× thÕ ngêi ta ®Æt ra c©u hái víi ®iÒu kiÖn nµo th× m«®un
HIi (M ) h÷u
4
h¹n sinh. N¨m 1978, G. Faltings [57] ®· ®Æc trng sè
i bÐ nhÊt ®Ó HIi (M )
kh«ng h÷u h¹n sinh. ¤ng cßn ®a ra nguyªn lý ®Þa ph¬ng toµn côc vÒ tÝnh
h÷u h¹n sinh cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng (xem [58]).
Mét trong nh÷ng tÝnh chÊt rÊt ®îc chó ý cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa
ph¬ng lµ tÝnh Artin. Cho
vµ
(R, m) lµ vµnh giao ho¸n Noether ®Þa ph¬ng
M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh víi dim M = d. N¨m 1971, b»ng mét
chøng minh ng¾n gän, sö dông gi¶i néi x¹ tèi tiÓu cña
bao néi x¹
M vµ tÝnh Artin cña
E(R/m), I. G. Macdonald vµ R. Y. Sharp [31] ®· suy ra ®îc
Hmi (M ) lu«n lµ Artin víi mäi i ≥ 0. Sau ®ã, sö dông §Þnh lý triÖt tiªu
Lichtenbaum-Hartshorne, R. Y. Sharp [50] ph¸t hiÖn ra líp m«®un ®èi ®ång
®iÒu ®Þa ph¬ng Artin thø hai lµ
HId (M ). VÒ sau, L. Melkersson [34] ®·
chøng minh l¹i hai kÕt qu¶ vÒ tÝnh Artin nµy b»ng mét ph¬ng ph¸p s¬ cÊp.
NhiÒu th«ng tin vÒ hai líp m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Artin
vµ
Hmi (M )
HId (M ) ®· ®îc ph¶n ¸nh th«ng qua c¸c c«ng tr×nh cña R. Y. Sharp [47],
M. Brodmann-Sharp ([3], [4], [5]), M. Hochster vµ C. Huneke [21], K. E.
Smith [53], K. Divaani-Aazar vµ P. Schenzel [17], H. Zöschinger [61] vµ c¸c
c«ng tr×nh cña N. T. Cêng cïng c¸c häc trß (xem [10], [11], [38], [39]).
Theo I. G. Macdonald [30], tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña
Artin
R-m«®un
A, kÝ hiÖu lµ AttR A, cã vai trß quan träng t¬ng tù nh tËp i®ªan
nguyªn tè liªn kÕt ®èi víi m«®un h÷u h¹n sinh. Môc ®Ých cña luËn ¸n lµ
nghiªn cøu tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
cÊp bÊt k× víi gi¸ cùc ®¹i
cao nhÊt víi gi¸ tïy ý
c¬ së
Hmi (M ) vµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp
HId (M ), tõ ®ã lµm râ cÊu tróc cña m«®un M vµ vµnh
R. §ång thêi, c¸c tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt nµy cßn ®îc nghiªn
cøu trong mèi liªn hÖ víi sè béi, tÝnh b·o hßa nguyªn tè vµ ®èi ®Þa ph¬ng
hãa cña hai líp m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
l¹i r»ng mét
Hmi (M ) vµ HId (M ). Nh¾c
R-m«®un Artin A ®îc gäi lµ tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn
5
tè nÕu
AnnR (0 :A p) = p víi mçi i®ªan nguyªn tè p chøa AnnR A. TÝnh
b·o hßa nguyªn tè ®îc giíi thiÖu bëi N. T. Cêng vµ L. T. Nhµn [11] nh»m
nghiªn cøu cÊu tróc cña m«®un Artin.
bHmi (M ) cã cÊu tróc R
i
b lu«n x¸c
m«®un Artin nªn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña Hm
(M ) trªn R
Chó ý r»ng c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
®Þnh. C©u hái tù nhiªn ®Æt ra lµ mèi quan hÖ gi÷a hai tËp
AttR Hmi (M ) vµ
AttRb Hmi (M ) nh thÕ nµo. N¨m 1975, R. Y. Sharp [47] chøng minh ®îc khi
b ch¹y trong Att b Hmi (M ) th× tËp c¸c i®ªan nguyªn
i®ªan nguyªn tè P cña R
R
tè
P ∩ R chÝnh lµ AttR Hmi (M ). ¤ng cßn ®a thªm mét sè th«ng tin vÒ
chiÒu cña c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña
®Ò ngîc l¹i, cho tríc tËp
Hmi (M ) trªn R. Tuy nhiªn, vÊn
AttR Hmi (M ), b»ng c¸ch nµo x¸c ®Þnh ®îc tËp
AttRb Hmi (M ) vÉn cha ®îc gi¶i quyÕt. Trong luËn ¸n nµy, chóng t«i ®a ra
c©u tr¶ lêi cho vÊn ®Ò ®ã.
Khi
R lµ ¶nh ®ång cÊu cña vµnh Gorenstein, R. Y. Sharp [47] ®· chøng
minh nguyªn lý chuyÓn dÞch ®Þa ph¬ng ®Ó chuyÓn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n
kÕt cña
i−dim R/p
Hmi (M ) qua ®Þa ph¬ng hãa HpRp
(Mp ).
ý tëng nµy tiÕp tôc
®îc M. Brodmann vµ R. Y. Sharp [4] sö dông ®Ó nghiªn cøu chiÒu vµ sè béi
i
(M ) vµ më réng kÕt qu¶ ®ã cho
cho c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Hm
líp vµnh catenary phæ dông cã mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay. Chó
ý r»ng nguyªn lý chuyÓn dÞch ®Þa ph¬ng nµy kh«ng ®óng trong trêng hîp
tæng qu¸t. V× thÕ bµi to¸n thø hai ®îc gi¶i quyÕt trong luËn ¸n nµy lµ t×m
®iÒu kiÖn cña vµnh c¬ së
víi mäi m«®un
R ®Ó tån t¹i mét ®èi ®Þa ph¬ng hãa t¬ng thÝch
Hmi (M ).
KÕt qu¶ cña I. G. Macdonald vµ R. Y. Sharp [31] n¨m 1971 ®· m« t¶ rÊt
râ rµng tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu cÊp cao nhÊt
víi gi¸ cùc ®¹i
b. Tõ §Þnh lý triÖt tiªu LichtenbaumHmd (M ) trªn R vµ R
Hartshorne, n¨m 1981, R. Y. Sharp [50] tiÕp tôc m« t¶ tËp i®ªan nguyªn tè
6
g¾n kÕt cña
b Sau ®ã, K. Divaani-Aazar vµ P. Schenzel
HId (R) trªn vµnh R.
[17] ®· më réng kÕt qu¶ nµy cho m«®un. MÆc dï vËy, vÊn ®Ò x¸c ®Þnh tËp
i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña
HId (M ) trªn vµnh R vÉn lµ vÊn ®Ò më. Bµi to¸n
thø ba ®îc gi¶i quyÕt trong luËn ¸n nµy lµ m« t¶ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt
cña m«®un
HId (M ) trªn vµnh R trong mèi liªn hÖ víi tÝnh b·o hßa nguyªn
tè, ®èi ®Þa ph¬ng hãa vµ c«ng thøc béi liªn kÕt cña m«®un nµy.
VÒ ph¬ng ph¸p tiÕp cËn, ®Ó nghiªn cøu m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
víi gi¸ cùc ®¹i, nÕu
R lµ th¬ng cña vµnh Gorenstein th× b»ng c¸ch sö dông
®èi ngÉu ®Þa ph¬ng vµ c¸c tÝnh chÊt quen biÕt cña m«®un h÷u h¹n sinh ta cã
i
thÓ thu ®îc nh÷ng th«ng tin cña Hm
(M ) mét c¸ch nhanh chãng. Tuy nhiªn,
trªn vµnh tïy ý, chóng t«i ph¶i sö dông khÐo lÐo tËp gi¶ gi¸ giíi thiÖu bëi M.
Brodmann vµ R. Y. Sharp [4] vµ nh÷ng tÝnh chÊt ®Æc thï vÒ chiÒu cña m«®un
Artin ®Ó chøng minh c¸c kÕt qu¶. §Ó nghiªn cøu líp m«®un
HId (M ), chóng
t«i cÇn ®Õn nh÷ng hiÓu biÕt s©u vÒ §Þnh lý ph©n tÝch nguyªn s¬ Noether, tÝnh
chÊt ®èi h÷u h¹n cña
HId (M ) vµ mét sè kÕt qu¶ ®· biÕt vÒ líp m«®un ®èi
®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng nµy.
LuËn ¸n ®îc chia lµm 3 ch¬ng. Ch¬ng 1 nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc
c¬ së nh biÓu diÔn thø cÊp, m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Artin, tÝnh
catenary phæ dông cña vµnh, chiÒu vµ tÝnh b·o hßa nguyªn tè cña m«®un
Artin. Ch¬ng 2, ®îc viÕt dùa theo c¸c bµi b¸o [7] vµ [41], tr×nh bµy c¸c
kÕt qu¶ cña luËn ¸n vÒ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu
®Þa ph¬ng cÊp tïy ý víi gi¸ cùc ®¹i. Ch¬ng 3 tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ cña
luËn ¸n vÒ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
cÊp cao nhÊt víi gi¸ bÊt k× dùa theo bµi b¸o [40] .
Trong suèt luËn ¸n, lu«n gi¶ thiÕt
ph¬ng,
(R, m) lµ vµnh giao ho¸n Noether ®Þa
M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh cã chiÒu Krull dim M = d vµ A lµ
R-m«®un Artin.
7
Trong Ch¬ng 2, chóng t«i tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ liªn quan ®Õn viÖc chuyÓn
tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña
Hmi (M ) qua ®Çy ®ñ m-adic. Cô thÓ, chóng
t«i ®Æc trng vµnh catenary phæ dông víi c¸c thí h×nh thøc Cohen-Macaulay
AttR Hmi (M ) vµ AttRb Hmi (M ). Chóng
th«ng qua mèi quan hÖ gi÷a c¸c tËp
t«i còng ®a ra ®iÒu kiÖn cÇn cña vµnh c¬ së
R ®Ó tån t¹i mét hµm tö ®èi ®Þa
ph¬ng hãa t¬ng thÝch víi mäi m«®un Artin
Hmi (M ). Víi mçi R-m«®un
h÷u h¹n sinh, c«ng thøc sau ®îc suy ra tõ [33, §Þnh lý 23.2(ii)] cho ta mèi
quan hÖ gi÷a tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña
kÕt cña
M vµ tËp i®ªan nguyªn tè liªn
c
M
[
c=
AssRb M
b R).
b
AssRb (R/p
p∈AssR M
Tuy nhiªn c«ng thøc ®èi ngÉu cho m«®un Artin
[
AttRb A =
A
b R)
b
AssRb (R/p
(1)
p∈AttR A
nh×n chung kh«ng ®óng thËm chÝ khi A
= Hmi (M ) (xem VÝ dô 2.1.2). Chóng
t«i chØ ra r»ng c«ng thøc (1) ®óng cho mäi m«®un Artin
x¹ c¶m sinh
A khi vµ chØ khi ¸nh
b → Spec(R) lµ song ¸nh. H¬n n÷a, nÕu gi¶ thiÕt
f a : Spec(R)
R lµ vµnh th¬ng cña vµnh Gorenstein ®Þa ph¬ng (R0 , m0 ) chiÒu n, kÝ hiÖu
0
K i (M ) lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh Extn−i
R0 (M, R ) víi mçi sè nguyªn i ≥ 0.
M«®un
K i (M ) ®îc gäi lµ m«®un khuyÕt thø i cña M vµ K(M ) := K d (M )
®îc gäi lµ m«®un
chÝnh t¾c
cho ta c¸c ®¼ng cÊu
®ã
cña
M. Khi ®ã §Þnh lý §èi ngÉu ®Þa ph¬ng
Hmi (M ) ∼
= HomR (K i (M ), E(R/m)) víi mäi i, trong
E(R/m) lµ bao néi x¹ cña trêng thÆng d R/m. Trong trêng hîp nµy,
sö dông c¸c tÝnh chÊt ®· biÕt cña i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña
K i (M ) vµ ®èi
ngÉu ®Þa ph¬ng, ®èi ngÉu Matlis, chóng t«i chøng minh ®îc mèi quan hÖ
sau gi÷a
AttR Hmi (M ) vµ AttRb Hmi (M )
AttRb Hmi (M )
=
[
i (M )
p∈AttR Hm
b R).
b
AssRb (R/p
(2)
8
Chó ý r»ng tån t¹i vµnh Noether ®Þa ph¬ng
R kh«ng thÓ viÕt díi d¹ng
th¬ng cña vµnh Gorenstein ®Þa ph¬ng nhng c«ng thøc (2) vÉn ®óng víi
mäi
R-m«®un h÷u h¹n sinh M vµ víi mäi sè nguyªn i ≥ 0 (xem VÝ dô
2.1.8). V× thÕ mét c©u hái tù nhiªn lµ liÖu quan hÖ (2) cßn ®óng trong trêng
hîp tæng qu¸t h¬n, khi
R lµ vµnh catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ
Cohen-Macaulay. §Þnh lý sau, lµ kÕt qu¶ chÝnh ®Çu tiªn cña Ch¬ng 2, tr¶
lêi mét phÇn cho c©u hái nµy.
ë ®©y, víi mçi R-m«®un Artin A, ta kÝ hiÖu
N-dimR A lµ chiÒu Noether cña A giíi thiÖu bëi R. N. Roberts [46].
§Þnh lý 2.2.5.
(i)
R
C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng:
lµ vµnh catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc cña
R
lµ Cohen-
Macaulay;
(ii)
[
min AttRb Hmi (M ) = min
b R)
b
AssRb (R/p
víi mäi
R-m«®un
i (M )
p∈AttR Hm
h÷u h¹n sinh
(iii)
M
vµ víi mäi sè nguyªn
i ≥ 0;
dim(R/ AnnR Hmi (M )) = N-dimR Hmi (M )
h¹n sinh
M
vµ víi mäi sè nguyªn
víi mäi
R-m«®un
h÷u
i ≥ 0.
C«ng cô chÝnh ®Ó chøng minh §Þnh lý 2.2.5 lµ kh¸i niÖm gi¶ gi¸ giíi thiÖu
bëi M. Brodmann vµ R.Y. Sharp [4]. Víi mçi sè nguyªn
cña
i ≥ 0, gi¶ gi¸ thø i
M , kÝ hiÖu lµ PsuppiR (M ), ®îc cho bëi c«ng thøc
i−dim R/p
PsuppiR (M ) = {p ∈ Spec(R) : HpRp
Chó ý r»ng
béi cho
(Mp ) 6= 0}.
PsuppiR (M ) cã vai trß quan träng trong nghiªn cøu chiÒu vµ sè
Hmi (M ) (xem [4], [38]) còng nh quü tÝch kh«ng Cohen-Macaulay
vµ quü tÝch kh«ng Cohen-Macaulay suy réng cña
trong ®ã vai trß cña
M (xem [2], [14], [42]),
PsuppiR (M ) ®èi víi m«®un Artin Hmi (M ) theo nghÜa
nµo ®ã t¬ng tù nh tËp gi¸ ®èi víi m«®un h÷u h¹n sinh. Tõ §Þnh lý 2.2.5,
chóng t«i suy ra mét ®Æc trng n÷a cho líp vµnh catenary phæ dông vµ mäi
thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay th«ng qua mèi quan hÖ gi÷a
PsuppiR (M )
9
vµ
c).
PsuppiRb (M
HÖ qu¶ 2.2.8.
(i)
R
C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng:
lµ vµnh catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc cña
R
lµ Cohen-
Macaulay;
(ii)
sinh
c)} víi mäi R-m«®un h÷u h¹n
PsuppiR M = {P ∩ R | P ∈ PsuppiRb (M
M
vµ víi mäi sè nguyªn
Víi mçi i®ªan nguyªn tè
i ≥ 0.
p cña R, hµm tö ®Þa ph¬ng hãa t¹i p lµ hµm
tö khíp, tuyÕn tÝnh tõ ph¹m trï c¸c
tháa m·n
R-m«®un ®Õn ph¹m trï c¸c Rp -m«®un
Mp lµ Rp -m«®un Noether vµ Mp 6= 0 víi mäi p ⊇ AnnR M. Hµm
tö nµy ®ãng vai trß quan träng trong nghiªn cøu m«®un Noether. Tuy nhiªn,
ngay c¶ khi
p ⊇ AnnR A, nÕu p 6= m th× Ap = 0. V× thÕ, trªn nhiÒu khÝa
c¹nh, hµm tö ®Þa ph¬ng hãa kh«ng h÷u Ých trong viÖc nghiªn cøu m«®un
Artin. Do ®ã chóng ta cÇn x©y dùng víi mçi
®Þa ph¬ng hãa"
c¸c
p ∈ Spec(R) mét hµm tö "®èi
Fp : MR → MRp tõ ph¹m trï c¸c R-m«®un ®Õn ph¹m trï
Rp -m«®un sao cho Fp
t¬ng thÝch
víi mäi
R-m«®un Artin A, nghÜa lµ
Fp cã c¸c tÝnh chÊt sau:
(a)
Fp lµ tuyÕn tÝnh vµ khíp trªn ph¹m trï c¸c R-m«®un Artin;
(b)
Fp biÕn c¸c R-m«®un Artin thµnh c¸c Rp -m«®un Artin;
(c)
Fp (A) 6= 0 nÕu p ⊇ AnnR A víi mçi R-m«®un Artin A.
Chóng t«i chØ ra mét ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó tån t¹i hµm tö ®èi ®Þa ph¬ng hãa
nh vËy trong ®Þnh lý sau. Nh¾c l¹i r»ng ¸nh x¹ tù nhiªn
b ®îc gäi
R→R
b
lµ tháa m·n tÝnh chÊt ®i lªn nÕu víi bÊt k× p, q ∈ Spec(R), Q ∈ Spec(R)
b sao cho Q ⊆ P vµ
tháa m·n q ⊆ p vµ Q ∩ R = q, tån t¹i P ∈ Spec(R)
P ∩ R = p.
§Þnh lý 2.3.8.
Gi¶
Fp : MR → MRp
sö
víi
mçi
p ∈ Spec(R)
lu«n
tháa m·n c¸c tÝnh chÊt (a),
(b),
tån
(c).
t¹i
mét
hµm
tö
Khi ®ã ¸nh x¹
10
tù nhiªn
b tháa m·n tÝnh chÊt ®i lªn. §Æc biÖt, mäi thí h×nh thøc cña
R→R
R ®Òu lµ vµnh Artin.
Mét sè t¸c gi¶ ®· x©y dùng ®èi ®Þa ph¬ng hãa
Fp , víi mçi p ∈ Spec(R)
(xem [35], [45], [53]...). Tuy nhiªn kh«ng mét ®èi ®Þa ph¬ng hãa nµo tháa
m·n c¶ ba tÝnh chÊt (a), (b), (c) ë trªn. Còng trong [4], víi gi¶ thiÕt
R lµ
catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay, M. Brodmann
vµ R.Y. Sharp ®· xem vai trß cña
i−dim(R/p)
Rp -m«®un HpRp
(Mp ) nh lµ ®èi ®Þa
i
ph¬ng hãa cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Hm
(M ) ®Ó x©y dùng thµnh
c«ng c«ng thøc béi liªn kÕt cña
Hmi (M ). C©u hái ®Æt ra lµ víi ®iÒu kiÖn nµo
ta cã ®îc mét ®èi ®Þa ph¬ng hãa t¬ng thÝch cho mäi m«®un ®èi ®ång
®iÒu ®Þa ph¬ng
Hmi (M )? §Þnh lý díi ®©y lµ c©u tr¶ lêi bé phËn cho c©u
hái nµy.
§Þnh lý 2.3.11.
tÝnh
Gi¶ sö tån t¹i, víi mçi
Fp : MR → MRp
Artin vµ
p ∈ Spec(R), mét hµm tö khíp, tuyÕn
trªn ph¹m trï c¸c
R-m«®un sao cho Fp (Hmi (M )) lµ
Fp (Hmi (M )) 6= 0 víi bÊt k× p ⊇ AnnR Hmi (M ), víi mäi sè nguyªn i
vµ víi mäi
R-m«®un h÷u h¹n sinh M . Khi ®ã vµnh R lµ catenary phæ dông
vµ mäi thí h×nh thøc cña
R lµ Cohen-Macaulay.
PhÇn cuèi cña Ch¬ng 2 ®a ra vÝ dô cho thÊy ®èi ®Þa ph¬ng hãa t¬ng
thÝch cho mäi m«®un Artin nh×n chung kh«ng tån t¹i ngay c¶ khi R lµ th¬ng
cña vµnh chÝnh quy Noether ®Þa ph¬ng (xem VÝ dô 2.3.9).
Trong Ch¬ng 3, chóng t«i quan t©m ®Õn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña
m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ bÊt k× trong mèi liªn
hÖ víi tÝnh b·o hßa nguyªn tè vµ sè béi cña m«®un nµy. Theo N. T. Cêng
vµ L. T. Nhµn [11], mét
R-m«®un A
tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè
nÕu
AnnR (0 :A p) = p víi mäi i®ªan nguyªn tè p ⊇ AnnR A. TÝnh b·o hßa
nguyªn tè nh×n chung kh«ng tháa m·n víi mäi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa
ph¬ng Artin (xem [11, VÝ dô 4.4]). Trong [10], N. T. Cêng - N. T. Dung
11
- L. T. Nhµn ®· ®Æc trng tÝnh b·o hßa nguyªn tè cho m«®un ®èi ®ång ®iÒu
®Þa ph¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ cùc ®¹i
cña vµnh
Hmd (M ) th«ng qua tÝnh catenary
R/ AnnR (Hmd (M )) vµ chØ ra r»ng nÕu R lµ miÒn nguyªn kh«ng
catenary th×
Hmdim R (R) kh«ng b·o hßa nguyªn tè. Víi cÊp i tïy ý, L. T.
Nhµn vµ T. N. An [38] ®· ®Æc trng tÝnh b·o hßa nguyªn tè cña
Hmi (M ).
Hmi (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè nÕu vµ chØ
i
i
nÕu PsuppR (M ) = Var AnnR Hm
(M ) (xem [38, §Þnh lý 3.1]). Chó ý
Hä chøng minh r»ng
r»ng m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
HId (M ) lµ Artin vµ m«®un nµy cã
thÓ kh«ng tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè ngay c¶ khi
R lµ th¬ng cña
vµnh chÝnh quy (xem VÝ dô 3.3.7). §Ó nghiªn cøu tËp i®ªan nguyªn tè g¾n
kÕt cña
HId (M ), chóng t«i ®Æc trng tÝnh b·o hßa nguyªn tè cho m«®un nµy
th«ng qua tÝnh catenary cña vµnh råi chuyÓn nã vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa
ph¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ cùc ®¹i cña mét m«®un th¬ng cña
\
0=
M. KÝ hiÖu
N (p) lµ mét ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän cña m«®un con 0 cña
p∈AssR M
M vµ
p
AssR (I, M ) = p ∈ AssR M | dim(R/p) = d, I + p = m .
§Æt
\
N =
N (p). V× mçi phÇn tö cña AssR (I, M ) ®Òu lµ i®ªan
p∈AssR (I,M )
nguyªn tè liªn kÕt tèi tiÓu cña
M nªn N kh«ng phô thuéc vµo sù lùa chän
ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän cña m«®un con 0.
§Þnh lý 3.1.2.
C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng:
HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè;
√
(ii) Vµnh R/ AnnR HId (M ) lµ catenary vµ I + p = m víi mäi i®ªan nguyªn
(i)
tè g¾n kÕt
p cña HId (M );
(iii)
R/ AnnR HId (M ) lµ catenary vµ HId (M ) ∼
= Hmd (M/N ).
Vµnh
Trong [50], tõ §Þnh lý triÖt tiªu Lichtenbaum-Hartshorne, R. Y. Sharp ®·
m« t¶ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cho m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
12
b nh sau
HIdim R (R) trªn vµnh ®Çy ®ñ R
AttRb HIdim R (R)
q
b | dim(R/P)
b
b + P = mR}.
b
= {P ∈ Ass(R)
= dim R, I R
KÕt qu¶ nµy ®· ®îc K. Divaani-Aazar vµ P. Schenzel [17] më réng cho
m«®un. Trong luËn ¸n nµy, tõ §Þnh lý 3.1.2, chóng t«i më réng kÕt qu¶
trªn cña R. Y. Sharp cho trêng hîp m«®un
HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa
nguyªn tè.
HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè th×
p
AttR HId (M ) = p ∈ AssR M | dim(R/p) = d, I + p = m .
HÖ qu¶ 3.2.2.
NÕu
PhÇn cuèi cña ch¬ng dµnh ®Ó nghiªn cøu ®èi gi¸ vµ sè béi cho m«®un
HId (M ). Víi hµm tö "®èi ngÉu víi ®Þa ph¬ng hãa" ®Þnh nghÜa bëi K. E.
Smith [53]
Fp (−) = HomR HomR (−, E(R/m)), E(R/p)
tõ ph¹m trï c¸c
R-m«®un ®Õn ph¹m trï c¸c Rp -m«®un, trong ®ã E(−) lµ
d−dim R/p
bao néi x¹, ta thÊy r»ng nÕu R ®Çy ®ñ th× Fp (H d (M )) ∼
(M/N )p .
=H
I
pRp
KÕt qu¶ nµy gîi ý cho chóng t«i ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm tËp ®èi gi¸ cña m«®un
®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
HId (M ). TËp nµy ®îc kÝ hiÖu lµ CosR (HId (M )),
vµ ®îc cho bëi c«ng thøc
d−dim(R/p)
CosR (HId (M )) = p ∈ Spec(R) | HpRp
(M/N )p 6= 0 ,
trong ®ã
N x¸c ®Þnh nh trong §Þnh lý 3.1.2. §Þnh lý sau ®©y ®a ra ®Æc
trng kh¸c cho tÝnh b·o hßa nguyªn tè cña
§Þnh lý 3.3.5.
HId (M ) th«ng qua tËp ®èi gi¸.
C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng:
HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè;
(i)
(ii)
CosR (HId (M )) = Var(AnnR HId (M )).
§Ó chøng minh §Þnh lý 3.3.5, chóng t«i cÇn sö dông kÜ thuËt ph©n tÝch
nguyªn s¬ kh¸ phøc t¹p. §Þnh lý 3.3.5 còng kh¼ng ®Þnh r»ng
CosR (HId (M ))
13
lµ tËp con ®ãng cña Spec(R) trong t«p« Zariski khi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa
ph¬ng HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè. Chó ý r»ng CosR (HId (M ))
cã thÓ kh«ng ®ãng thËm chÝ khi
I = m (xem [4, VÝ dô 3.2]). Chóng t«i còng
®a ra vÝ dô chøng tá r»ng ngay c¶ khi
ph¬ng vµ tËp
R lµ th¬ng cña vµnh chÝnh quy ®Þa
CosR (HId (M )) lµ ®ãng, HId (M ) vÉn kh«ng tháa m·n tÝnh b·o
hßa nguyªn tè (xem VÝ dô 3.3.7).
Theo D. Kirby [27], nÕu
h¹n th× `R (0 :A
q lµ i®ªan cña R sao cho (0 :A q) cã ®é dµi h÷u
qn+1 ) lµ mét ®a thøc bËc N-dimR A víi hÖ sè h÷u tû khi n
®ñ lín, ta kÝ hiÖu ®a thøc nµy lµ
ΘqA (n) = `R (0 :A qn+1 ) =
khi
ΘqA (n). §Æt N-dimR A = s. Ta cã biÓu diÔn
e0 (q, A) s
n + ®a thøc cã bËc nhá h¬n s
s!
n 0, trong ®ã e0 (q, A) lµ mét sè nguyªn d¬ng. Ta gäi e0 (q, A) lµ
béi cña
sè
A øng víi q (xem [4], [13]). Trong [4], M. Brodmann vµ R. Y. Sharp
i
®· giíi thiÖu kh¸i niÖm tËp gi¶ gi¸ PsuppR (M ) ®Ó x©y dùng thµnh c«ng c«ng
thøc béi liªn kÕt cho m«®un
dông tËp ®èi gi¸
Hmi (M ). KÕt qu¶ cuèi cïng cña Ch¬ng 3 lµ sö
CosR (HId (M )) ®Ó ®a ra c«ng thøc liªn kÕt vÒ sè béi cho
HId (M ) khi m«®un nµy tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè. Chó ý r»ng N vµ
AssR (I, M ) vÉn ®îc kÝ hiÖu nh trong §Þnh lý 3.1.2.
HÖ qu¶ 3.3.8.
Cho
q lµ i®ªan m-nguyªn s¬. NÕu HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o
hßa nguyªn tè th×
e
0
(q, HId (M ))
=
X
0
(M/N
)
e(q, R/p).
`Rp HpR
p
p
p∈CosR (HId (M ))
dim(R/p)=d
H¬n n÷a,
0
e
(q, HId (M ))
= e(q, M/N ) =
X
p∈AssR (I,M )
`Rp (Mp )e(q, R/p).
14
Ch¬ng 1
KiÕn thøc chuÈn bÞ
Trong ch¬ng nµy, chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc ®· biÕt vÒ biÓu
diÔn thø cÊp vµ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt, m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
Artin, chiÒu vµ tÝnh b·o hßa nguyªn tè cña m«®un Artin, líp vµnh catenary
phæ dông nh»m thuËn tiÖn cho viÖc theo dâi kÕt qu¶ trong c¸c ch¬ng sau.
Trong suèt c¶ ch¬ng, lu«n gi¶ thiÕt (R, m) lµ vµnh giao ho¸n Noether ®Þa
ph¬ng,
b lµ vµnh ®Çy ®ñ m-adic cña R, M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh víi
R
chiÒu lµ d,
A lµ R-m«®un Artin vµ L lµ mét R-m«®un (kh«ng nhÊt thiÕt h÷u
h¹n sinh hay Artin). Ta còng kÝ hiÖu
c¸c i®ªan nguyªn tè cña
1.1
I lµ i®ªan tïy ý cña R vµ Var(I) lµ tËp
R chøa I.
BiÓu diÔn thø cÊp cho m«®un Artin
Lý thuyÕt biÓu diÔn thø cÊp cho c¸c m«®un ®îc giíi thiÖu bëi I. G.
Macdonald [30] cã thÓ xem lµ ®èi ngÉu cña lý thuyÕt ph©n tÝch nguyªn s¬.
Trong tiÕt nµy, chóng ta nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ vÒ biÓu diÔn
thø cÊp.
§Þnh nghÜa 1.1.1.
mçi
(i) Mét
R-m«®un L ®îc gäi lµ thø cÊp nÕu L 6= 0 vµ víi
x ∈ R, phÐp nh©n bëi x trªn L lµ toµn cÊu hoÆc lòy linh. Trong trêng
hîp nµy, tËp hîp c¸c phÇn tö
x ∈ R sao cho phÐp nh©n bëi x trªn L lµ lòy
15
linh lµm thµnh mét i®ªan nguyªn tè, ch¼ng h¹n lµ p, vµ ta gäi
(ii) Cho
L lµ p-thø cÊp.
L lµ R-m«®un. Mét biÓu diÔn L = L1 + . . . + Ln , trong ®ã mçi
Li lµ m«®un con pi -thø cÊp L, ®îc gäi lµ mét biÓu diÔn thø cÊp cña L. NÕu
L = 0 hoÆc L cã biÓu diÔn thø cÊp th× ta nãi L lµ biÓu diÔn ®îc. BiÓu diÔn
nµy ®îc gäi lµ
mçi
tèi tiÓu
nÕu c¸c i®ªan nguyªn tè pi lµ ®«i mét kh¸c nhau vµ
Li lµ kh«ng thõa víi mäi i = 1, . . . , n.
Chó ý r»ng, nÕu L1 , L2 lµ c¸c m«®un con p thø cÊp cña L th× L1 + L2 còng
lµ m«®un con p-thø cÊp cña L. V× thÕ mäi biÓu diÔn thø cÊp cña L ®Òu cã thÓ
®a ®îc vÒ d¹ng tèi tiÓu b»ng c¸ch bá ®i nh÷ng thµnh phÇn thõa vµ gép l¹i
nh÷ng thµnh phÇn cïng chung mét i®ªan nguyªn tè. TËp hîp
lµ ®éc lËp víi viÖc chän biÓu diÔn thø cÊp tèi tiÓu cña
c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt
i = 1, . . . , n, ®îc gäi lµ
trong tËp
cña
{p1 , . . . , pn }
L vµ ®îc gäi lµ
tËp
L, kÝ hiÖu lµ AttR L. C¸c h¹ng tö Li , víi
c¸c thµnh phÇn thø cÊp
cña
L. NÕu pi lµ tèi tiÓu
AttR L th× pi ®îc gäi lµ i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt c« lËp cña L vµ
Li ®îc gäi lµ thµnh phÇn thø cÊp c« lËp cña L.
MÖnh ®Ò 1.1.2.
(Xem [30, 4.2])
Gi¶ sö
L
lµ mét
R-m«®un
biÓu diÔn ®îc.
Khi ®ã c¸c ph¸t biÓu sau lµ ®óng:
(i)
AttR L 6= ∅ khi vµ chØ khi L 6= 0.
(ii)
min AttR L = min Var(AnnR L). §Æc biÖt,
dim(R/ AnnR L) = max{dim(R/p) | p ∈ AttR L}.
(iii)
Cho
0 → L0 → L → L00 → 0
lµ d·y khíp c¸c
R-m«®un
biÓu diÔn
®îc. Khi ®ã ta cã
AttR L00 ⊆ AttR L ⊆ AttR L0 ∪ AttR L00 .
§Þnh lý sau ®©y cho ta mét líp c¸c m«®un biÓu diÔn ®îc.
§Þnh lý 1.1.3.
[30, §Þnh lý 5.2]
Mäi m«®un Artin ®Òu biÓu diÔn ®îc.
16
Cho
b, u ∈ A. Gäi (rn )n∈N lµ d·y C«si trong
A lµ R-m«®un Artin vµ rb ∈ R
R ®¹i diÖn cho líp rb. V× Ru cã ®é dµi h÷u h¹n nªn tån t¹i sè tù nhiªn k
sao cho
mk u = 0. Chó ý r»ng tån t¹i n0 sao cho rn − rm ∈ mk víi mäi
m, n ≥ n0 . Suy ra rn u = rn0 u víi mäi n ≥ n0 . Ta ®Þnh nghÜa tÝch v« híng
b-m«®un. Víi cÊu tróc nµy,
rbu = rn u. Khi ®ã A cã cÊu tróc tù nhiªn nh R
0
mét m«®un con cña
A xÐt nh R-m«®un khi vµ chØ khi nã lµ m«®un con cña
b-m«®un. Do ®ã A lµ R
b-m«®un Artin. NÕu xem R
b-m«®un A nµy
A xÐt nh R
nh lµ
b th× ta ®îc cÊu tróc
R-m«®un x¸c ®Þnh bëi ®ång cÊu tù nhiªn R → R
R-m«®un ban ®Çu trªn A. Nh vËy, tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña A trªn
b lu«n x¸c ®Þnh vµ ta cã mèi liªn hÖ gi÷a c¸c tËp i®ªan nguyªn tè g¾n
R vµ R
kÕt nµy nh sau.
MÖnh ®Ò 1.1.4.
[50, Bæ ®Ò 2.1]
AttR A = {P ∩ R | P ∈ AttRb A}.
MÖnh ®Ò sau ®©y cho ta mèi liªn hÖ gi÷a tËp c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt
cña m«®un Artin
MÖnh ®Ò 1.1.5.
A vµ ®é dµi cña A.
[3, HÖ qu¶ 7.2.12]
A 6= 0
vµ
`R (A) < ∞
khi vµ chØ khi
AttR A = {m}.
1.2
M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Artin
Lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng ®îc giíi thiÖu ®Çu tiªn bëi A.
Grothendieck [18] vµo nh÷ng n¨m 1960 vµ nhanh chãng ph¸t triÓn, ®îc
nhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi quan t©m (cã thÓ kÓ ®Õn mét sè c«ng tr×nh
®iÓn h×nh nh [18], [19], [20], [22], [23], [25], [29], [31], [47], [50], [52],
[57], [58]). Ngµy nay, lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng ®· trë thµnh c«ng
cô kh«ng thÓ thiÕu trong nhiÒu lÜnh vùc kh¸c nhau cña to¸n häc nh §¹i sè
giao ho¸n, H×nh häc ®¹i sè, §¹i sè tæ hîp... Mét sè tÝnh chÊt rÊt ®îc chó ý
cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng lµ tÝnh triÖt tiªu, tÝnh h÷u h¹n sinh vµ
tÝnh Artin. Kho¶ng nh÷ng n¨m 1970, I. G. Macdonald vµ R. Y. Sharp ([31],
- Xem thêm -