Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương...

Tài liệu Về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương

.PDF
87
420
92

Mô tả:

§¹i häc huÕ Tr­êng §¹i häc S­ ph¹m TrÇn §ç Minh Ch©u VÒ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc HuÕ - 2014 §¹i häc HuÕ Tr­êng §¹i häc S­ ph¹m TrÇn §ç Minh Ch©u VÒ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ lý thuyÕt sè M· sè: 62.46.01.04 luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: 1. PGS.TS. Lª ThÞ Thanh Nhµn 2. GS.TS. Lª V¨n ThuyÕt HuÕ - 2014 Lêi cam ®oan T«i xin cam ®oan ®©y lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña riªng t«i. C¸c kÕt qu¶ viÕt chung víi t¸c gi¶ kh¸c ®· ®­îc sù nhÊt trÝ cña ®ång t¸c gi¶ khi ®­a vµo luËn ¸n. C¸c kÕt qu¶ cña luËn ¸n lµ míi vµ ch­a tõng ®­îc ai c«ng bè trong bÊt k× c«ng tr×nh nµo kh¸c. T¸c gi¶ TrÇn §ç Minh Ch©u Lêi c¶m ¬n LuËn ¸n nµy ch¾c ch¾n kh«ng thÓ hoµn thµnh ®­îc nÕu kh«ng cã sù h­íng dÉn nghiªm kh¾c nh­ng v« cïng tËn t×nh vµ t©m huyÕt cña C« t«i-PGS.TS. Lª ThÞ Thanh Nhµn. T«i xin ®­îc bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn c«. C« ®· ®­a t«i ®Õn víi §¹i sè giao ho¸n vµ truyÒn ®¹t cho t«i ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu, tõ c¸ch ®äc s¸ch, ph¸t hiÖn vµ n¶y sinh ra nh÷ng ý t­ëng to¸n häc ®Õn c¸ch gi¶i quyÕt vÊn ®Ò. T«i thùc sù thÊy m×nh tr­ëng thµnh lªn rÊt nhiÒu vµ ngµy cµng say mª nghiªn cøu h¬n. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi ThÇy t«i-GS.TS. Lª V¨n ThuyÕt. ThÇy lu«n tËn t×nh, ®éng viªn t«i trong suèt bèn n¨m nghiªn cøu sinh. Sù ©n cÇn cña thÇy ®· gióp t«i v­ît qua nhiÒu khã kh¨n mçi khi xa nhµ. ThÇy lu«n lµ mét tÊm g­¬ng vÒ sù say mª nghiªn cøu khoa häc còng nh­ sù cèng hiÕn cho céng ®ång To¸n häc ViÖt Nam ®Ó t«i häc tËp. LuËn ¸n ®­îc hoµn thµnh d­íi sù h­íng dÉn tËn t×nh cña hai ng­êi thÇy PGS.TS. Lª ThÞ Thanh Nhµn vµ GS.TS. Lª V¨n ThuyÕt. Mét lÇn n÷a t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn hai ng­êi thÇy cña t«i vµ sÏ phÊn ®Êu h¬n n÷a ®Ó xøng ®¸ng víi c«ng lao cña thÇy, c«, xøng ®¸ng víi niÒm tin cña thÇy, c« ®· dµnh cho t«i. T«i xin tr©n träng c¶m ¬n c¸c thÇy gi¸o Khoa To¸n §HSP HuÕ, phßng Sau §H ®· lu«n gióp ®ì, t¹o mäi ®iÒu kiÖn ®Ó cho t«i häc tËp, nghiªn cøu vµ hoµn thµnh luËn ¸n nµy. T«i xin c¶m ¬n Ban gi¸m hiÖu tr­êng THPT Chuyªn Th¸i Nguyªn ®· cho t«i c¬ héi ®­îc ®i häc tËp vµ nghiªn cøu. T«i xin c¶m ¬n Ban chñ nhiÖm khoa To¸n vµ tæ §¹i sè Tr­êng §¹i häc S­ ph¹m-§¹i häc Th¸i Nguyªn ®· t¹o ®iÒu kiÖn vµ s¾p xÕp c«ng viÖc thuËn lîi cho t«i trong suèt thêi gian t«i viÕt luËn ¸n. T«i xin c¶m ¬n nh÷ng ®ång nghiÖp, c¸c anh, chÞ, em ®· vµ ®ang c«ng t¸c t¹i tr­êng THPT Chuyªn, chÞ NguyÔn ThÞ KiÒu Nga, b¹n TrÇn Nguyªn An ®· ®éng viªn, chia sÎ, gióp ®ì t«i trong suèt bèn n¨m nghiªn cøu sinh. Cuèi cïng, t«i muèn bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi nh÷ng ng­êi th©n trong gia ®×nh cña m×nh - nh÷ng ng­êi ®· ®éng viªn, chia sÎ mäi khã kh¨n cïng t«i suèt nh÷ng n¨m th¸ng qua ®Ó t«i cã thÓ hoµn thµnh luËn ¸n. 2 Môc lôc Ch­¬ng 1. KiÕn thøc chuÈn bÞ 14 1.1 BiÓu diÔn thø cÊp cho m«®un Artin . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Artin . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Vµnh catenary phæ dông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 ChiÒu vµ tÝnh b·o hßa nguyªn tè Ch­¬ng 2. . . . . . . . . . . . . . . . . 22 M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng víi gi¸ cùc ®¹i 2.1 ChuyÓn i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt qua ®Çy ®ñ 28 . . . . . . . . . . 28 2.2 Tr­êng hîp vµnh catenary phæ dông víi thí h×nh thøc CohenMacaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 §èi ®Þa ph­¬ng hãa Ch­¬ng 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ tïy ý 56 3.1 TÝnh b·o hßa nguyªn tè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 TËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 §èi gi¸ vµ sè béi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 KÕt luËn vµ kiÕn nghÞ 76 C¸c c«ng tr×nh liªn quan ®Õn luËn ¸n 78 Tµi liÖu tham kh¶o 79 3 Më ®Çu Vµo nh÷ng n¨m 1960, A. Grothendieck [18] ®· giíi thiÖu lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng dùa trªn c«ng tr×nh cña J. P. Serre [56] n¨m 1955 vÒ c¸c bã ®¹i sè. Ngay sau ®ã, lý thuyÕt nµy nhanh chãng ph¸t triÓn vµ ®­îc nhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi quan t©m (cã thÓ kÓ ®Õn mét sè c«ng tr×nh ®iÓn h×nh nh­ [18], [19], [20], [22], [23], [25], [29], [31], [47], [50], [52], [57], [58]). Ngµy nay, lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng ®· trë thµnh c«ng cô kh«ng thÓ thiÕu trong nhiÒu lÜnh vùc kh¸c nhau cña to¸n häc nh­ §¹i sè giao ho¸n, H×nh häc ®¹i sè, §¹i sè tæ hîp... Mét trong nh÷ng kÕt qu¶ quan träng vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng lµ tÝnh triÖt tiªu. Cho M lµ m«®un trªn vµnh giao ho¸n Noether R. N¨m 1967, A. Grothendieck [18] ®· chØ ra r»ng m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng HIi (M ) triÖt tiªu t¹i mäi cÊp i > dim SuppR M vµ nÕu (R, m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, M lµ h÷u h¹n sinh th× Hmd (M ) 6= 0, trong ®ã d = dim M. Sau ®ã, «ng còng chøng minh ®­îc ®é s©u cña M lµ sè i bÐ nhÊt ®Ó Hmi (M ) 6= 0. §Þnh lý triÖt tiªu Lichtenbaum-Hartshorne ([20], [50]) næi tiÕng cßn kh¼ng ®Þnh r»ng nÕu I lµ i®ªan cña vµnh ®Þa ph­¬ng (R, m) víi dim R = n th× b R b + P) ≥ 1 víi mäi i®ªan nguyªn tè HIn (R) = 0 khi vµ chØ khi dim R/(I b TÝnh chÊt tiÕp theo ®­îc liªn kÕt chiÒu cao nhÊt P cña vµnh ®Çy ®ñ m-adic R. rÊt nhiÒu ng­êi quan t©m lµ tÝnh h÷u h¹n sinh cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng. Ngay c¶ khi M h÷u h¹n sinh th× HIi (M ) nh×n chung kh«ng h÷u h¹n sinh. V× thÕ ng­êi ta ®Æt ra c©u hái víi ®iÒu kiÖn nµo th× m«®un HIi (M ) h÷u 4 h¹n sinh. N¨m 1978, G. Faltings [57] ®· ®Æc tr­ng sè i bÐ nhÊt ®Ó HIi (M ) kh«ng h÷u h¹n sinh. ¤ng cßn ®­a ra nguyªn lý ®Þa ph­¬ng toµn côc vÒ tÝnh h÷u h¹n sinh cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng (xem [58]). Mét trong nh÷ng tÝnh chÊt rÊt ®­îc chó ý cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng lµ tÝnh Artin. Cho vµ (R, m) lµ vµnh giao ho¸n Noether ®Þa ph­¬ng M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh víi dim M = d. N¨m 1971, b»ng mét chøng minh ng¾n gän, sö dông gi¶i néi x¹ tèi tiÓu cña bao néi x¹ M vµ tÝnh Artin cña E(R/m), I. G. Macdonald vµ R. Y. Sharp [31] ®· suy ra ®­îc Hmi (M ) lu«n lµ Artin víi mäi i ≥ 0. Sau ®ã, sö dông §Þnh lý triÖt tiªu Lichtenbaum-Hartshorne, R. Y. Sharp [50] ph¸t hiÖn ra líp m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Artin thø hai lµ HId (M ). VÒ sau, L. Melkersson [34] ®· chøng minh l¹i hai kÕt qu¶ vÒ tÝnh Artin nµy b»ng mét ph­¬ng ph¸p s¬ cÊp. NhiÒu th«ng tin vÒ hai líp m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Artin vµ Hmi (M ) HId (M ) ®· ®­îc ph¶n ¸nh th«ng qua c¸c c«ng tr×nh cña R. Y. Sharp [47], M. Brodmann-Sharp ([3], [4], [5]), M. Hochster vµ C. Huneke [21], K. E. Smith [53], K. Divaani-Aazar vµ P. Schenzel [17], H. Zöschinger [61] vµ c¸c c«ng tr×nh cña N. T. C­êng cïng c¸c häc trß (xem [10], [11], [38], [39]). Theo I. G. Macdonald [30], tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña Artin R-m«®un A, kÝ hiÖu lµ AttR A, cã vai trß quan träng t­¬ng tù nh­ tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt ®èi víi m«®un h÷u h¹n sinh. Môc ®Ých cña luËn ¸n lµ nghiªn cøu tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp bÊt k× víi gi¸ cùc ®¹i cao nhÊt víi gi¸ tïy ý c¬ së Hmi (M ) vµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp HId (M ), tõ ®ã lµm râ cÊu tróc cña m«®un M vµ vµnh R. §ång thêi, c¸c tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt nµy cßn ®­îc nghiªn cøu trong mèi liªn hÖ víi sè béi, tÝnh b·o hßa nguyªn tè vµ ®èi ®Þa ph­¬ng hãa cña hai líp m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng l¹i r»ng mét Hmi (M ) vµ HId (M ). Nh¾c R-m«®un Artin A ®­îc gäi lµ tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn 5 tè nÕu AnnR (0 :A p) = p víi mçi i®ªan nguyªn tè p chøa AnnR A. TÝnh b·o hßa nguyªn tè ®­îc giíi thiÖu bëi N. T. C­êng vµ L. T. Nhµn [11] nh»m nghiªn cøu cÊu tróc cña m«®un Artin. bHmi (M ) cã cÊu tróc R i b lu«n x¸c m«®un Artin nªn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña Hm (M ) trªn R Chó ý r»ng c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng ®Þnh. C©u hái tù nhiªn ®Æt ra lµ mèi quan hÖ gi÷a hai tËp AttR Hmi (M ) vµ AttRb Hmi (M ) nh­ thÕ nµo. N¨m 1975, R. Y. Sharp [47] chøng minh ®­îc khi b ch¹y trong Att b Hmi (M ) th× tËp c¸c i®ªan nguyªn i®ªan nguyªn tè P cña R R tè P ∩ R chÝnh lµ AttR Hmi (M ). ¤ng cßn ®­a thªm mét sè th«ng tin vÒ chiÒu cña c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña ®Ò ng­îc l¹i, cho tr­íc tËp Hmi (M ) trªn R. Tuy nhiªn, vÊn AttR Hmi (M ), b»ng c¸ch nµo x¸c ®Þnh ®­îc tËp AttRb Hmi (M ) vÉn ch­a ®­îc gi¶i quyÕt. Trong luËn ¸n nµy, chóng t«i ®­a ra c©u tr¶ lêi cho vÊn ®Ò ®ã. Khi R lµ ¶nh ®ång cÊu cña vµnh Gorenstein, R. Y. Sharp [47] ®· chøng minh nguyªn lý chuyÓn dÞch ®Þa ph­¬ng ®Ó chuyÓn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña i−dim R/p Hmi (M ) qua ®Þa ph­¬ng hãa HpRp (Mp ). ý t­ëng nµy tiÕp tôc ®­îc M. Brodmann vµ R. Y. Sharp [4] sö dông ®Ó nghiªn cøu chiÒu vµ sè béi i (M ) vµ më réng kÕt qu¶ ®ã cho cho c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Hm líp vµnh catenary phæ dông cã mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay. Chó ý r»ng nguyªn lý chuyÓn dÞch ®Þa ph­¬ng nµy kh«ng ®óng trong tr­êng hîp tæng qu¸t. V× thÕ bµi to¸n thø hai ®­îc gi¶i quyÕt trong luËn ¸n nµy lµ t×m ®iÒu kiÖn cña vµnh c¬ së víi mäi m«®un R ®Ó tån t¹i mét ®èi ®Þa ph­¬ng hãa t­¬ng thÝch Hmi (M ). KÕt qu¶ cña I. G. Macdonald vµ R. Y. Sharp [31] n¨m 1971 ®· m« t¶ rÊt râ rµng tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu cÊp cao nhÊt víi gi¸ cùc ®¹i b. Tõ §Þnh lý triÖt tiªu LichtenbaumHmd (M ) trªn R vµ R Hartshorne, n¨m 1981, R. Y. Sharp [50] tiÕp tôc m« t¶ tËp i®ªan nguyªn tè 6 g¾n kÕt cña b Sau ®ã, K. Divaani-Aazar vµ P. Schenzel HId (R) trªn vµnh R. [17] ®· më réng kÕt qu¶ nµy cho m«®un. MÆc dï vËy, vÊn ®Ò x¸c ®Þnh tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña HId (M ) trªn vµnh R vÉn lµ vÊn ®Ò më. Bµi to¸n thø ba ®­îc gi¶i quyÕt trong luËn ¸n nµy lµ m« t¶ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un HId (M ) trªn vµnh R trong mèi liªn hÖ víi tÝnh b·o hßa nguyªn tè, ®èi ®Þa ph­¬ng hãa vµ c«ng thøc béi liªn kÕt cña m«®un nµy. VÒ ph­¬ng ph¸p tiÕp cËn, ®Ó nghiªn cøu m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng víi gi¸ cùc ®¹i, nÕu R lµ th­¬ng cña vµnh Gorenstein th× b»ng c¸ch sö dông ®èi ngÉu ®Þa ph­¬ng vµ c¸c tÝnh chÊt quen biÕt cña m«®un h÷u h¹n sinh ta cã i thÓ thu ®­îc nh÷ng th«ng tin cña Hm (M ) mét c¸ch nhanh chãng. Tuy nhiªn, trªn vµnh tïy ý, chóng t«i ph¶i sö dông khÐo lÐo tËp gi¶ gi¸ giíi thiÖu bëi M. Brodmann vµ R. Y. Sharp [4] vµ nh÷ng tÝnh chÊt ®Æc thï vÒ chiÒu cña m«®un Artin ®Ó chøng minh c¸c kÕt qu¶. §Ó nghiªn cøu líp m«®un HId (M ), chóng t«i cÇn ®Õn nh÷ng hiÓu biÕt s©u vÒ §Þnh lý ph©n tÝch nguyªn s¬ Noether, tÝnh chÊt ®èi h÷u h¹n cña HId (M ) vµ mét sè kÕt qu¶ ®· biÕt vÒ líp m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng nµy. LuËn ¸n ®­îc chia lµm 3 ch­¬ng. Ch­¬ng 1 nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ së nh­ biÓu diÔn thø cÊp, m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Artin, tÝnh catenary phæ dông cña vµnh, chiÒu vµ tÝnh b·o hßa nguyªn tè cña m«®un Artin. Ch­¬ng 2, ®­îc viÕt dùa theo c¸c bµi b¸o [7] vµ [41], tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ cña luËn ¸n vÒ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp tïy ý víi gi¸ cùc ®¹i. Ch­¬ng 3 tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ cña luËn ¸n vÒ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ bÊt k× dùa theo bµi b¸o [40] . Trong suèt luËn ¸n, lu«n gi¶ thiÕt ph­¬ng, (R, m) lµ vµnh giao ho¸n Noether ®Þa M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh cã chiÒu Krull dim M = d vµ A lµ R-m«®un Artin. 7 Trong Ch­¬ng 2, chóng t«i tr×nh bµy c¸c kÕt qu¶ liªn quan ®Õn viÖc chuyÓn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña Hmi (M ) qua ®Çy ®ñ m-adic. Cô thÓ, chóng t«i ®Æc tr­ng vµnh catenary phæ dông víi c¸c thí h×nh thøc Cohen-Macaulay AttR Hmi (M ) vµ AttRb Hmi (M ). Chóng th«ng qua mèi quan hÖ gi÷a c¸c tËp t«i còng ®­a ra ®iÒu kiÖn cÇn cña vµnh c¬ së R ®Ó tån t¹i mét hµm tö ®èi ®Þa ph­¬ng hãa t­¬ng thÝch víi mäi m«®un Artin Hmi (M ). Víi mçi R-m«®un h÷u h¹n sinh, c«ng thøc sau ®­îc suy ra tõ [33, §Þnh lý 23.2(ii)] cho ta mèi quan hÖ gi÷a tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña kÕt cña M vµ tËp i®ªan nguyªn tè liªn c M [ c= AssRb M b R). b AssRb (R/p p∈AssR M Tuy nhiªn c«ng thøc ®èi ngÉu cho m«®un Artin [ AttRb A = A b R) b AssRb (R/p (1) p∈AttR A nh×n chung kh«ng ®óng thËm chÝ khi A = Hmi (M ) (xem VÝ dô 2.1.2). Chóng t«i chØ ra r»ng c«ng thøc (1) ®óng cho mäi m«®un Artin x¹ c¶m sinh A khi vµ chØ khi ¸nh b → Spec(R) lµ song ¸nh. H¬n n÷a, nÕu gi¶ thiÕt f a : Spec(R) R lµ vµnh th­¬ng cña vµnh Gorenstein ®Þa ph­¬ng (R0 , m0 ) chiÒu n, kÝ hiÖu 0 K i (M ) lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh Extn−i R0 (M, R ) víi mçi sè nguyªn i ≥ 0. M«®un K i (M ) ®­îc gäi lµ m«®un khuyÕt thø i cña M vµ K(M ) := K d (M ) ®­îc gäi lµ m«®un chÝnh t¾c cho ta c¸c ®¼ng cÊu ®ã cña M. Khi ®ã §Þnh lý §èi ngÉu ®Þa ph­¬ng Hmi (M ) ∼ = HomR (K i (M ), E(R/m)) víi mäi i, trong E(R/m) lµ bao néi x¹ cña tr­êng thÆng d­ R/m. Trong tr­êng hîp nµy, sö dông c¸c tÝnh chÊt ®· biÕt cña i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña K i (M ) vµ ®èi ngÉu ®Þa ph­¬ng, ®èi ngÉu Matlis, chóng t«i chøng minh ®­îc mèi quan hÖ sau gi÷a AttR Hmi (M ) vµ AttRb Hmi (M ) AttRb Hmi (M ) = [ i (M ) p∈AttR Hm b R). b AssRb (R/p (2) 8 Chó ý r»ng tån t¹i vµnh Noether ®Þa ph­¬ng R kh«ng thÓ viÕt d­íi d¹ng th­¬ng cña vµnh Gorenstein ®Þa ph­¬ng nh­ng c«ng thøc (2) vÉn ®óng víi mäi R-m«®un h÷u h¹n sinh M vµ víi mäi sè nguyªn i ≥ 0 (xem VÝ dô 2.1.8). V× thÕ mét c©u hái tù nhiªn lµ liÖu quan hÖ (2) cßn ®óng trong tr­êng hîp tæng qu¸t h¬n, khi R lµ vµnh catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay. §Þnh lý sau, lµ kÕt qu¶ chÝnh ®Çu tiªn cña Ch­¬ng 2, tr¶ lêi mét phÇn cho c©u hái nµy. ë ®©y, víi mçi R-m«®un Artin A, ta kÝ hiÖu N-dimR A lµ chiÒu Noether cña A giíi thiÖu bëi R. N. Roberts [46]. §Þnh lý 2.2.5. (i) R C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: lµ vµnh catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc cña R lµ Cohen- Macaulay; (ii) [ min AttRb Hmi (M ) = min b R) b AssRb (R/p víi mäi R-m«®un i (M ) p∈AttR Hm h÷u h¹n sinh (iii) M vµ víi mäi sè nguyªn i ≥ 0; dim(R/ AnnR Hmi (M )) = N-dimR Hmi (M ) h¹n sinh M vµ víi mäi sè nguyªn víi mäi R-m«®un h÷u i ≥ 0. C«ng cô chÝnh ®Ó chøng minh §Þnh lý 2.2.5 lµ kh¸i niÖm gi¶ gi¸ giíi thiÖu bëi M. Brodmann vµ R.Y. Sharp [4]. Víi mçi sè nguyªn cña i ≥ 0, gi¶ gi¸ thø i M , kÝ hiÖu lµ PsuppiR (M ), ®­îc cho bëi c«ng thøc i−dim R/p PsuppiR (M ) = {p ∈ Spec(R) : HpRp Chó ý r»ng béi cho (Mp ) 6= 0}. PsuppiR (M ) cã vai trß quan träng trong nghiªn cøu chiÒu vµ sè Hmi (M ) (xem [4], [38]) còng nh­ quü tÝch kh«ng Cohen-Macaulay vµ quü tÝch kh«ng Cohen-Macaulay suy réng cña trong ®ã vai trß cña M (xem [2], [14], [42]), PsuppiR (M ) ®èi víi m«®un Artin Hmi (M ) theo nghÜa nµo ®ã t­¬ng tù nh­ tËp gi¸ ®èi víi m«®un h÷u h¹n sinh. Tõ §Þnh lý 2.2.5, chóng t«i suy ra mét ®Æc tr­ng n÷a cho líp vµnh catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay th«ng qua mèi quan hÖ gi÷a PsuppiR (M ) 9 vµ c). PsuppiRb (M HÖ qu¶ 2.2.8. (i) R C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: lµ vµnh catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc cña R lµ Cohen- Macaulay; (ii) sinh c)} víi mäi R-m«®un h÷u h¹n PsuppiR M = {P ∩ R | P ∈ PsuppiRb (M M vµ víi mäi sè nguyªn Víi mçi i®ªan nguyªn tè i ≥ 0. p cña R, hµm tö ®Þa ph­¬ng hãa t¹i p lµ hµm tö khíp, tuyÕn tÝnh tõ ph¹m trï c¸c tháa m·n R-m«®un ®Õn ph¹m trï c¸c Rp -m«®un Mp lµ Rp -m«®un Noether vµ Mp 6= 0 víi mäi p ⊇ AnnR M. Hµm tö nµy ®ãng vai trß quan träng trong nghiªn cøu m«®un Noether. Tuy nhiªn, ngay c¶ khi p ⊇ AnnR A, nÕu p 6= m th× Ap = 0. V× thÕ, trªn nhiÒu khÝa c¹nh, hµm tö ®Þa ph­¬ng hãa kh«ng h÷u Ých trong viÖc nghiªn cøu m«®un Artin. Do ®ã chóng ta cÇn x©y dùng víi mçi ®Þa ph­¬ng hãa" c¸c p ∈ Spec(R) mét hµm tö "®èi Fp : MR → MRp tõ ph¹m trï c¸c R-m«®un ®Õn ph¹m trï Rp -m«®un sao cho Fp t­¬ng thÝch víi mäi R-m«®un Artin A, nghÜa lµ Fp cã c¸c tÝnh chÊt sau: (a) Fp lµ tuyÕn tÝnh vµ khíp trªn ph¹m trï c¸c R-m«®un Artin; (b) Fp biÕn c¸c R-m«®un Artin thµnh c¸c Rp -m«®un Artin; (c) Fp (A) 6= 0 nÕu p ⊇ AnnR A víi mçi R-m«®un Artin A. Chóng t«i chØ ra mét ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó tån t¹i hµm tö ®èi ®Þa ph­¬ng hãa nh­ vËy trong ®Þnh lý sau. Nh¾c l¹i r»ng ¸nh x¹ tù nhiªn b ®­îc gäi R→R b lµ tháa m·n tÝnh chÊt ®i lªn nÕu víi bÊt k× p, q ∈ Spec(R), Q ∈ Spec(R) b sao cho Q ⊆ P vµ tháa m·n q ⊆ p vµ Q ∩ R = q, tån t¹i P ∈ Spec(R) P ∩ R = p. §Þnh lý 2.3.8. Gi¶ Fp : MR → MRp sö víi mçi p ∈ Spec(R) lu«n tháa m·n c¸c tÝnh chÊt (a), (b), tån (c). t¹i mét hµm tö Khi ®ã ¸nh x¹ 10 tù nhiªn b tháa m·n tÝnh chÊt ®i lªn. §Æc biÖt, mäi thí h×nh thøc cña R→R R ®Òu lµ vµnh Artin. Mét sè t¸c gi¶ ®· x©y dùng ®èi ®Þa ph­¬ng hãa Fp , víi mçi p ∈ Spec(R) (xem [35], [45], [53]...). Tuy nhiªn kh«ng mét ®èi ®Þa ph­¬ng hãa nµo tháa m·n c¶ ba tÝnh chÊt (a), (b), (c) ë trªn. Còng trong [4], víi gi¶ thiÕt R lµ catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc lµ Cohen-Macaulay, M. Brodmann vµ R.Y. Sharp ®· xem vai trß cña i−dim(R/p) Rp -m«®un HpRp (Mp ) nh­ lµ ®èi ®Þa i ph­¬ng hãa cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Hm (M ) ®Ó x©y dùng thµnh c«ng c«ng thøc béi liªn kÕt cña Hmi (M ). C©u hái ®Æt ra lµ víi ®iÒu kiÖn nµo ta cã ®­îc mét ®èi ®Þa ph­¬ng hãa t­¬ng thÝch cho mäi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Hmi (M )? §Þnh lý d­íi ®©y lµ c©u tr¶ lêi bé phËn cho c©u hái nµy. §Þnh lý 2.3.11. tÝnh Gi¶ sö tån t¹i, víi mçi Fp : MR → MRp Artin vµ p ∈ Spec(R), mét hµm tö khíp, tuyÕn trªn ph¹m trï c¸c R-m«®un sao cho Fp (Hmi (M )) lµ Fp (Hmi (M )) 6= 0 víi bÊt k× p ⊇ AnnR Hmi (M ), víi mäi sè nguyªn i vµ víi mäi R-m«®un h÷u h¹n sinh M . Khi ®ã vµnh R lµ catenary phæ dông vµ mäi thí h×nh thøc cña R lµ Cohen-Macaulay. PhÇn cuèi cña Ch­¬ng 2 ®­a ra vÝ dô cho thÊy ®èi ®Þa ph­¬ng hãa t­¬ng thÝch cho mäi m«®un Artin nh×n chung kh«ng tån t¹i ngay c¶ khi R lµ th­¬ng cña vµnh chÝnh quy Noether ®Þa ph­¬ng (xem VÝ dô 2.3.9). Trong Ch­¬ng 3, chóng t«i quan t©m ®Õn tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ bÊt k× trong mèi liªn hÖ víi tÝnh b·o hßa nguyªn tè vµ sè béi cña m«®un nµy. Theo N. T. C­êng vµ L. T. Nhµn [11], mét R-m«®un A tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè nÕu AnnR (0 :A p) = p víi mäi i®ªan nguyªn tè p ⊇ AnnR A. TÝnh b·o hßa nguyªn tè nh×n chung kh«ng tháa m·n víi mäi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Artin (xem [11, VÝ dô 4.4]). Trong [10], N. T. C­êng - N. T. Dung 11 - L. T. Nhµn ®· ®Æc tr­ng tÝnh b·o hßa nguyªn tè cho m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ cùc ®¹i cña vµnh Hmd (M ) th«ng qua tÝnh catenary R/ AnnR (Hmd (M )) vµ chØ ra r»ng nÕu R lµ miÒn nguyªn kh«ng catenary th× Hmdim R (R) kh«ng b·o hßa nguyªn tè. Víi cÊp i tïy ý, L. T. Nhµn vµ T. N. An [38] ®· ®Æc tr­ng tÝnh b·o hßa nguyªn tè cña Hmi (M ). Hmi (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè nÕu vµ chØ  i i nÕu PsuppR (M ) = Var AnnR Hm (M ) (xem [38, §Þnh lý 3.1]). Chó ý Hä chøng minh r»ng r»ng m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng HId (M ) lµ Artin vµ m«®un nµy cã thÓ kh«ng tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè ngay c¶ khi R lµ th­¬ng cña vµnh chÝnh quy (xem VÝ dô 3.3.7). §Ó nghiªn cøu tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña HId (M ), chóng t«i ®Æc tr­ng tÝnh b·o hßa nguyªn tè cho m«®un nµy th«ng qua tÝnh catenary cña vµnh råi chuyÓn nã vÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt víi gi¸ cùc ®¹i cña mét m«®un th­¬ng cña \ 0= M. KÝ hiÖu N (p) lµ mét ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän cña m«®un con 0 cña p∈AssR M M vµ p  AssR (I, M ) = p ∈ AssR M | dim(R/p) = d, I + p = m . §Æt \ N = N (p). V× mçi phÇn tö cña AssR (I, M ) ®Òu lµ i®ªan p∈AssR (I,M ) nguyªn tè liªn kÕt tèi tiÓu cña M nªn N kh«ng phô thuéc vµo sù lùa chän ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän cña m«®un con 0. §Þnh lý 3.1.2. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè; √ (ii) Vµnh R/ AnnR HId (M ) lµ catenary vµ I + p = m víi mäi i®ªan nguyªn (i) tè g¾n kÕt p cña HId (M ); (iii) R/ AnnR HId (M ) lµ catenary vµ HId (M ) ∼ = Hmd (M/N ). Vµnh Trong [50], tõ §Þnh lý triÖt tiªu Lichtenbaum-Hartshorne, R. Y. Sharp ®· m« t¶ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cho m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng 12 b nh­ sau HIdim R (R) trªn vµnh ®Çy ®ñ R AttRb HIdim R (R) q b | dim(R/P) b b + P = mR}. b = {P ∈ Ass(R) = dim R, I R KÕt qu¶ nµy ®· ®­îc K. Divaani-Aazar vµ P. Schenzel [17] më réng cho m«®un. Trong luËn ¸n nµy, tõ §Þnh lý 3.1.2, chóng t«i më réng kÕt qu¶ trªn cña R. Y. Sharp cho tr­êng hîp m«®un HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè. HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè th× p  AttR HId (M ) = p ∈ AssR M | dim(R/p) = d, I + p = m . HÖ qu¶ 3.2.2. NÕu PhÇn cuèi cña ch­¬ng dµnh ®Ó nghiªn cøu ®èi gi¸ vµ sè béi cho m«®un HId (M ). Víi hµm tö "®èi ngÉu víi ®Þa ph­¬ng hãa" ®Þnh nghÜa bëi K. E. Smith [53]  Fp (−) = HomR HomR (−, E(R/m)), E(R/p) tõ ph¹m trï c¸c R-m«®un ®Õn ph¹m trï c¸c Rp -m«®un, trong ®ã E(−) lµ d−dim R/p bao néi x¹, ta thÊy r»ng nÕu R ®Çy ®ñ th× Fp (H d (M )) ∼ (M/N )p . =H I pRp KÕt qu¶ nµy gîi ý cho chóng t«i ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm tËp ®èi gi¸ cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng HId (M ). TËp nµy ®­îc kÝ hiÖu lµ CosR (HId (M )), vµ ®­îc cho bëi c«ng thøc  d−dim(R/p) CosR (HId (M )) = p ∈ Spec(R) | HpRp (M/N )p 6= 0 , trong ®ã N x¸c ®Þnh nh­ trong §Þnh lý 3.1.2. §Þnh lý sau ®©y ®­a ra ®Æc tr­ng kh¸c cho tÝnh b·o hßa nguyªn tè cña §Þnh lý 3.3.5. HId (M ) th«ng qua tËp ®èi gi¸. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè; (i) (ii) CosR (HId (M )) = Var(AnnR HId (M )). §Ó chøng minh §Þnh lý 3.3.5, chóng t«i cÇn sö dông kÜ thuËt ph©n tÝch nguyªn s¬ kh¸ phøc t¹p. §Þnh lý 3.3.5 còng kh¼ng ®Þnh r»ng CosR (HId (M )) 13 lµ tËp con ®ãng cña Spec(R) trong t«p« Zariski khi m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè. Chó ý r»ng CosR (HId (M )) cã thÓ kh«ng ®ãng thËm chÝ khi I = m (xem [4, VÝ dô 3.2]). Chóng t«i còng ®­a ra vÝ dô chøng tá r»ng ngay c¶ khi ph­¬ng vµ tËp R lµ th­¬ng cña vµnh chÝnh quy ®Þa CosR (HId (M )) lµ ®ãng, HId (M ) vÉn kh«ng tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè (xem VÝ dô 3.3.7). Theo D. Kirby [27], nÕu h¹n th× `R (0 :A q lµ i®ªan cña R sao cho (0 :A q) cã ®é dµi h÷u qn+1 ) lµ mét ®a thøc bËc N-dimR A víi hÖ sè h÷u tû khi n ®ñ lín, ta kÝ hiÖu ®a thøc nµy lµ ΘqA (n) = `R (0 :A qn+1 ) = khi ΘqA (n). §Æt N-dimR A = s. Ta cã biÓu diÔn e0 (q, A) s n + ®a thøc cã bËc nhá h¬n s s! n  0, trong ®ã e0 (q, A) lµ mét sè nguyªn d­¬ng. Ta gäi e0 (q, A) lµ béi cña sè A øng víi q (xem [4], [13]). Trong [4], M. Brodmann vµ R. Y. Sharp i ®· giíi thiÖu kh¸i niÖm tËp gi¶ gi¸ PsuppR (M ) ®Ó x©y dùng thµnh c«ng c«ng thøc béi liªn kÕt cho m«®un dông tËp ®èi gi¸ Hmi (M ). KÕt qu¶ cuèi cïng cña Ch­¬ng 3 lµ sö CosR (HId (M )) ®Ó ®­a ra c«ng thøc liªn kÕt vÒ sè béi cho HId (M ) khi m«®un nµy tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè. Chó ý r»ng N vµ AssR (I, M ) vÉn ®­îc kÝ hiÖu nh­ trong §Þnh lý 3.1.2. HÖ qu¶ 3.3.8. Cho q lµ i®ªan m-nguyªn s¬. NÕu HId (M ) tháa m·n tÝnh b·o hßa nguyªn tè th× e 0 (q, HId (M )) = X  0 (M/N ) e(q, R/p). `Rp HpR p p p∈CosR (HId (M )) dim(R/p)=d H¬n n÷a, 0 e (q, HId (M )) = e(q, M/N ) = X p∈AssR (I,M ) `Rp (Mp )e(q, R/p). 14 Ch­¬ng 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ Trong ch­¬ng nµy, chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc ®· biÕt vÒ biÓu diÔn thø cÊp vµ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt, m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Artin, chiÒu vµ tÝnh b·o hßa nguyªn tè cña m«®un Artin, líp vµnh catenary phæ dông nh»m thuËn tiÖn cho viÖc theo dâi kÕt qu¶ trong c¸c ch­¬ng sau. Trong suèt c¶ ch­¬ng, lu«n gi¶ thiÕt (R, m) lµ vµnh giao ho¸n Noether ®Þa ph­¬ng, b lµ vµnh ®Çy ®ñ m-adic cña R, M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh víi R chiÒu lµ d, A lµ R-m«®un Artin vµ L lµ mét R-m«®un (kh«ng nhÊt thiÕt h÷u h¹n sinh hay Artin). Ta còng kÝ hiÖu c¸c i®ªan nguyªn tè cña 1.1 I lµ i®ªan tïy ý cña R vµ Var(I) lµ tËp R chøa I. BiÓu diÔn thø cÊp cho m«®un Artin Lý thuyÕt biÓu diÔn thø cÊp cho c¸c m«®un ®­îc giíi thiÖu bëi I. G. Macdonald [30] cã thÓ xem lµ ®èi ngÉu cña lý thuyÕt ph©n tÝch nguyªn s¬. Trong tiÕt nµy, chóng ta nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ vÒ biÓu diÔn thø cÊp. §Þnh nghÜa 1.1.1. mçi (i) Mét R-m«®un L ®­îc gäi lµ thø cÊp nÕu L 6= 0 vµ víi x ∈ R, phÐp nh©n bëi x trªn L lµ toµn cÊu hoÆc lòy linh. Trong tr­êng hîp nµy, tËp hîp c¸c phÇn tö x ∈ R sao cho phÐp nh©n bëi x trªn L lµ lòy 15 linh lµm thµnh mét i®ªan nguyªn tè, ch¼ng h¹n lµ p, vµ ta gäi (ii) Cho L lµ p-thø cÊp. L lµ R-m«®un. Mét biÓu diÔn L = L1 + . . . + Ln , trong ®ã mçi Li lµ m«®un con pi -thø cÊp L, ®­îc gäi lµ mét biÓu diÔn thø cÊp cña L. NÕu L = 0 hoÆc L cã biÓu diÔn thø cÊp th× ta nãi L lµ biÓu diÔn ®­îc. BiÓu diÔn nµy ®­îc gäi lµ mçi tèi tiÓu nÕu c¸c i®ªan nguyªn tè pi lµ ®«i mét kh¸c nhau vµ Li lµ kh«ng thõa víi mäi i = 1, . . . , n. Chó ý r»ng, nÕu L1 , L2 lµ c¸c m«®un con p thø cÊp cña L th× L1 + L2 còng lµ m«®un con p-thø cÊp cña L. V× thÕ mäi biÓu diÔn thø cÊp cña L ®Òu cã thÓ ®­a ®­îc vÒ d¹ng tèi tiÓu b»ng c¸ch bá ®i nh÷ng thµnh phÇn thõa vµ gép l¹i nh÷ng thµnh phÇn cïng chung mét i®ªan nguyªn tè. TËp hîp lµ ®éc lËp víi viÖc chän biÓu diÔn thø cÊp tèi tiÓu cña c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt i = 1, . . . , n, ®­îc gäi lµ trong tËp cña {p1 , . . . , pn } L vµ ®­îc gäi lµ tËp L, kÝ hiÖu lµ AttR L. C¸c h¹ng tö Li , víi c¸c thµnh phÇn thø cÊp cña L. NÕu pi lµ tèi tiÓu AttR L th× pi ®­îc gäi lµ i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt c« lËp cña L vµ Li ®­îc gäi lµ thµnh phÇn thø cÊp c« lËp cña L. MÖnh ®Ò 1.1.2. (Xem [30, 4.2]) Gi¶ sö L lµ mét R-m«®un biÓu diÔn ®­îc. Khi ®ã c¸c ph¸t biÓu sau lµ ®óng: (i) AttR L 6= ∅ khi vµ chØ khi L 6= 0. (ii) min AttR L = min Var(AnnR L). §Æc biÖt, dim(R/ AnnR L) = max{dim(R/p) | p ∈ AttR L}. (iii) Cho 0 → L0 → L → L00 → 0 lµ d·y khíp c¸c R-m«®un biÓu diÔn ®­îc. Khi ®ã ta cã AttR L00 ⊆ AttR L ⊆ AttR L0 ∪ AttR L00 . §Þnh lý sau ®©y cho ta mét líp c¸c m«®un biÓu diÔn ®­îc. §Þnh lý 1.1.3. [30, §Þnh lý 5.2] Mäi m«®un Artin ®Òu biÓu diÔn ®­îc. 16 Cho b, u ∈ A. Gäi (rn )n∈N lµ d·y C«si trong A lµ R-m«®un Artin vµ rb ∈ R R ®¹i diÖn cho líp rb. V× Ru cã ®é dµi h÷u h¹n nªn tån t¹i sè tù nhiªn k sao cho mk u = 0. Chó ý r»ng tån t¹i n0 sao cho rn − rm ∈ mk víi mäi m, n ≥ n0 . Suy ra rn u = rn0 u víi mäi n ≥ n0 . Ta ®Þnh nghÜa tÝch v« h­íng b-m«®un. Víi cÊu tróc nµy, rbu = rn u. Khi ®ã A cã cÊu tróc tù nhiªn nh­ R 0 mét m«®un con cña A xÐt nh­ R-m«®un khi vµ chØ khi nã lµ m«®un con cña b-m«®un. Do ®ã A lµ R b-m«®un Artin. NÕu xem R b-m«®un A nµy A xÐt nh­ R nh­ lµ b th× ta ®­îc cÊu tróc R-m«®un x¸c ®Þnh bëi ®ång cÊu tù nhiªn R → R R-m«®un ban ®Çu trªn A. Nh­ vËy, tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña A trªn b lu«n x¸c ®Þnh vµ ta cã mèi liªn hÖ gi÷a c¸c tËp i®ªan nguyªn tè g¾n R vµ R kÕt nµy nh­ sau. MÖnh ®Ò 1.1.4. [50, Bæ ®Ò 2.1] AttR A = {P ∩ R | P ∈ AttRb A}. MÖnh ®Ò sau ®©y cho ta mèi liªn hÖ gi÷a tËp c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Artin MÖnh ®Ò 1.1.5. A vµ ®é dµi cña A. [3, HÖ qu¶ 7.2.12] A 6= 0 vµ `R (A) < ∞ khi vµ chØ khi AttR A = {m}. 1.2 M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Artin Lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng ®­îc giíi thiÖu ®Çu tiªn bëi A. Grothendieck [18] vµo nh÷ng n¨m 1960 vµ nhanh chãng ph¸t triÓn, ®­îc nhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi quan t©m (cã thÓ kÓ ®Õn mét sè c«ng tr×nh ®iÓn h×nh nh­ [18], [19], [20], [22], [23], [25], [29], [31], [47], [50], [52], [57], [58]). Ngµy nay, lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng ®· trë thµnh c«ng cô kh«ng thÓ thiÕu trong nhiÒu lÜnh vùc kh¸c nhau cña to¸n häc nh­ §¹i sè giao ho¸n, H×nh häc ®¹i sè, §¹i sè tæ hîp... Mét sè tÝnh chÊt rÊt ®­îc chó ý cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng lµ tÝnh triÖt tiªu, tÝnh h÷u h¹n sinh vµ tÝnh Artin. Kho¶ng nh÷ng n¨m 1970, I. G. Macdonald vµ R. Y. Sharp ([31],
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan