Mô tả:
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
A. LÍ DO CHỌN ðỀ TÀI:
Trong xu thế ñổi mới phương pháp dạy và học của Bộ Giáo dục và ñào tạo trong
những năm vừa qua thì phương pháp tạo cho học sinh có khả năng tư duy từ một số bài toán
ñể từ ñó có thể tự nghiên cứu, tìm tòi, sáng tạo ñược các giáo viên chú ý và ñược Bộ khuyến
khích nhất. Vì thế hầu hết các giáo viên ñều chọn phương pháp giảng dạy theo một chuyên
ñề về một mảng kiến thức nào ñó trong trường phổ thông.
Bài toán ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
trong chương trình lớp 11 là một trong những bài toán nhiều dạng hay, chứa ñựng nhiều tính
tư duy logic phù hợp nhiều ñối tượng học sinh từ Trung bình cho ñến học sinh Khá giỏi. ðể
làm bài toán dạng này ñòi hỏi phải nắm vững một số công thức liên quan ñến tổ hợp và các
tính chất của nhị thức Newton. ðây là một trong những dạng toán chiếm tỷ lệ không nhiều
trong chương trình nhưng có rất nhiều dạng toán liên quan. Do ñó, tôi chỉ trình bày trong
chuyên ñề một phần ứng dụng là tính tổng của biểu thức mà trong một số ñề thi tuyển sinh
ñại học, cao ñẳng thường gặp.
Là giáo viên giảng dạy ở THPT Nam Hà tôi thấy nhìn chung ñối tượng học sinh ở
mức Trung bình khá (một số ít là HSG). Do ñó, chuyên ñề này chỉ ñược viết ở mức ñộ tư
duy vừa phải, phân loại bài tập từ dễ ñến khó ñể học sinh tiếp cận một cách ñơn giản nhằm
từng bước giúp học sinh hình thành lối tư duy giải quyết vấn ñề. Qua ñó các em có thể hoàn
thành tốt bài kiểm tra, ñề thi học kỳ cũng như ñề thi tuyển sinh ðHCð.
Trang 1
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
B. NỘI DUNG CHUYÊN ðỀ:
I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:
1. Công thức:
( a + b)
n
n-1
= C0na n + C1na n-1b +...+ Ckna n-k bk + ... + Cn-1
+ Cnn bn
n ab
( n ∈ N*)
2. Các tính chất:
2.1. Trong khai triển (a + b)n có n + 1 số hạng.
Nếu n là số chẵn thì có 1 số hạng ñứng giữa là số hạng thứ n +1 .
2
Nếu n là số lẻ thì có 2 số hạng ñứng giữa là số hạng thứ
n +1
n +1
và
+1
2
2
2.2. Mỗi số hạng có tổng số mũ của a và b là n.
k
2.3. Số hạng tổng quát thứ k + 1 là: Tk +1 = C n a
0
1
2
3
n
n -k
bk
n
2.4. C n + C n + C n + C n + ... + C n = (1 +1) = 2
n
3
n n
n
2.5. C0n - C1n + C2
n - C n + ... + (-1) C n = (1-1) = 0
II. CÁC DẠNG TÍNH TỔNG CỦA MỘT BIỂU THỨC:
1. Dạng 1:
VD1: Khai triển (1 + x)n. Từ ñó tính:
S = 1- 2C17 + 22 C72 - 23 C37 + 24 C74 - 25 C57 + 26 C76 - 27 C77
Giải:
0
1
2 2
n n
Ta có: (1 + x ) = C n + C n x + C n x + ... + C n x
n
Thế x = -2 và n = 7 vào khai trển trên ta ñược:
S = 1- 2C17 + 22 C72 - 23 C37 + 24 C74 - 25 C57 + 26 C67 - 27 C77
= (-1)7 = -1
n
0
n-1
1
n-2 2
2
n
n
VD2: Tìm số tự nhiên n thỏa: 5 Cn + 5 3Cn + 5 3 C n + ... + 3 C n = 2
Ta có: ( a + b
)
6021
Giải
n
0
n
= C a
n
1
n
n
+ C a b + C 2n a n - 2 b 2 + . . . + C nn b n
Thế a = 5 và b = 3 vào khai triển trên:
⇒ 8n = 5n C0n + 5n-13C1n + 5n-232 C2n + ... + 3n Cnn
⇔ 8n = 26021 ⇔ 8n = 82007 ⇔ n = 2007
Trang 2
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Vậy n =2007.
VD3: (ðề Cð Xây dựng số 2 - 2006) (HS tự giải)
Chứng minh: C0n 3n - C1n 3n-1 + C n2 3n-2 - ... + (-1)n C nn = C0n + C1n + Cn2 + ... + C nn
VD4: (ðề ðH - Khối D - 2002)
Tìm số nguyên dương n sao cho: C 0n + 2C 1n + 4C 2n + ... + 2 n C nn = 243
(Hs tự giải VD3)
2. Dạng 2:
1
3
5
2n-1
2n-1
VD5: CMR: C02n + C 22n + C 42n + ... + C 2n
2n = C 2n + C 2n + C 2n + ... + C 2n = 2
Giải
Ta có:
2n-1
2n
C02n - C12n + C 22n - C32n + ... - C 2n
+ C 2n
=0
2
2n
⇔ C02n + C2n
+... + C2n
= C12n + C32n + ... + C2n-1
(1)
2n
Ta có:
2
2n-1
2n
C 02n + C12n + C 2n
+ C 32n + ... + C 2n
+ C 2n
= 2 2n
0
1
2
3
2n -1
2n
C 2n - C 2n + C 2n - C 2n + ... - C 2n + C 2n = 0
2
2n
⇒ 2(C 02n + C 2n
+ ... + C 2n
) = 2 2n
2n
⇔ C 02n + C 22n + ... + C 2n
= 2 2n-1
(2)
1
3
5
2n-1
2n-1
(1), (2) suy ra: C02n + C 22n + C 42n + ... + C 2n
2n = C 2n + C 2n + C 2n + ... + C 2n = 2
VD6: Tính tổng:
0
2
4
2008
a) S = C2008 + C2008 + C2008 + ... + C2008
0
2 2
4 4
2010 2010
b) S = C2011 + 3 C2011 + 3 C2011 + ... + 3 C 2011
1
3
3
5
5
2009
2009
c) S = 3.C2010 + 3 .C2010 + 3 .C2010 + ... + 3 .C2010
Giải
a) Ta có:
2
2008
2008
C 02008 + C12008 + C 2008
+ C 32008 + ... + C 2007
2008 + C 2008 = 2
0
1
2
3
2007
2008
C 2008 - C 2008 + C 2008 - C 2008 + ... - C 2008 + C 2008 = 0
2008
⇒ 2 ( C 02008 + C 22008 + ... + C 2008
) = 2 2008
2007
⇔ C 02008 + C 22008 + ... + C 2008
2008 = 2
2007
Vậy S = 2
Trang 3
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
b) Ta có:
2011 2011
C 02011 + 3C12011 + 32 C 22011 + 33 C 32011 + ... + 32010 C 2010
C 2011 = 4 2011
2011 + 3
0
1
2 2
3 3
2010 2010
2011 2011
2011
C 2011 - 3C 2011 - 3 C 2011 - 3 C 2011 - ... + 3 C 2011 - 3 C 2011 = -2
2010
2011
2
- 2 2011
⇒ 2 ( C 02011 + 32 C 2011
+ ... + 32010 C 201
1)= 4
2
2011
⇔ 2 ( C 02011 + 32 C 2011
+ ... + 32010 C 2010
( 22011 -1)
2011 ) = 2
2
2010
⇔ C 02011 + 32 C 2011
+ ... + 32010 C 2011
= 2 2010 ( 2 2011 -1)
(
)
Vậy 22010 22011 -1
c) Tương tự (HS tự giải)
VD7: (ðH Vinh – D-2001)
0
2
2
4
4
2000
2000
CMR: C 2001 + C 2001 3 + C 2001 3 + ... + C 2001 3
= 22000 (22001 -1)
Giải
Ta có:
(1+ 3)
(1- 3)
2001
2
2000 2000
2001 2001
= C02001 + C120013 + C2001
32 + C3200133 + ... + C2001
3 + C2001
3
2001
2
2000
2001 2001
= C02001 - C12001 3 + C2001
32 - C3200133 + ... + C2000
- C2001
3
2001 3
Cộng vế theo vế ta ñược:
2
4
2000 2000
42001 - 22001 = 2 ( C02001 + C2001
32 + C 2001
34 + ... + C2001
3 )
4
2000 2000
⇔ 22001 (22001 -1) = 2 ( C02001 + C 22001 32 + C2001
34 + ... + C 2001
3 )
2
4
2000 2000
⇔ 22000 (22001 -1) = C02001 + C 2001
32 + C 2001
34 + ... + C 2001
3
0
2
2
4
4
2000 2000
= 22000 (22001 -1) (ñpcm)
Vậy: C 2001 + C 2001 3 + C 2001 3 + ... + C 2001 3
VD8: (ðề Cð Y Tế 1 - 2006) (HS tự giải)
Tìm số tự nhiên thỏa mãn hệ thức sau:
2k
2n-2
2n
C02n + C 22n 32 + ... + C2k
+ ... + C 2n-2
+ C 2n
= 215 ( 216 +1)
2n 3
2n 3
2n 3
3. Dạng 3:
0
1
3
n
VD9: Tính tổng: S = C 2n + 1 + C 2n + 1 + C 2n + 1 + ... + C 2n + 1
Giải
k
n -k
Ta có: C n = C n
Suy ra:
Trang 4
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
2n +1
C 02n +1 = C 2n
+1
1
2n
C 2n +1 = C 2n +1
...
C n = C n +1
2n +1
2n +1
0
1
2n +1
⇒ C 2n +1 + C 2n +1 + ... + C n2n +1 = C n2n+1+1 + ... + C 2n
2n +1 + C 2n +1
0
1
n
n +1
2n
2n +1
2n +1
Mà: C 2n +1 + C 2n +1 + ... + C 2n +1 + C 2n +1 + ... + C 2n +1 + C 2n +1 = 2
n
2n +1
⇒ 2 ( C 02n +1 + C12n +1 + ... + C 2n
+1 ) = 2
n
2n
⇔ C 02n +1 + C 12n +1 + ... + C 2n
+1 = 2
Vậy S = 22n
0
1
3
1005
VD10: Tính tổng: S = C 2011 + C 2011 + C 2011 + ... + C 2011
(HS tự giải)
VD11: (ðề ðH - Khối A - 2006)
n
1
Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của 4 + x 7 , biết
x
26
1
2
n
20
rằng C 2n + 1 + C 2n + 1 + ... + C 2n + 1 = 2 -1 .
4. Dạng 4:
VD12: (ðH Luật TPHCM – A-2001)
1
n-1
CMR: C n 3
+ 2.C2n 3n-2 + 3.C3n 3n-3 + ... + n.Cnn = n.4n-1
Giải
Ta có: ( 3 + x ) = C 0n 3 n + C 1n 3 n -1 x + C n2 3 n -2 x 2 + C 3n 3 n -3 x 3 + ... + C nn x n
n
Lấy ñạo hàm hai vế:
⇒ n (3 + x )
n -1
= 3 n -1 C1n + 2.3 n -2 C 2n + 3.3 n -3 x 2 C 3n + ... + nx n -1C nn
Thế x = 1 vào khai triển trên:
⇒ n ( 3 +1)
n-1
= 3n-1 C1n + 2.3n-2 C2n + 3.3n-3 C3n + ... + nCnn
1 n-1
2 n-2
3 n-3
n
n-1
Vậy: C n 3 + 2.C n 3 + 3.C n 3 + ... + n.C n = n.4 (ðpcm)
VD13: Giải bất phương trình: C1n + 2C2n + 3C3n + ... + nCnn ≤ n(7 - n)
Giải
0
1
2 2
3 3
n n
Ta có: (1 + x ) = C n + C n x + C n x + C n x + ... + C n x
n
Trang 5
( n ∈ ℕ*)
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Lấy ñạo hàm hai vế:
⇒ n (1 + x )
n -1
= C 1n + 2xC n2 + 3x 2 C n2 + ... + nx n -1C nn
Thế x = 1 vào khai triển trên:
⇒ n.2 n -1 = C1n + 2C 2n + 3C 2n + ... + nC nn
⇔ n.2 n -1 ≤ n.(7 - n)
⇔2
n -1
+n≤7⇔ n≤3
.
Do n ∈ ℕ * nên n ∈ {1; 2; 3}
VD14: (ðH Tiền Giang – 2003)
2n-1
2
CMR: C12n + 3C32n + ... + (2n -1)C2n
= 2C2n
+ 4C42n + ... + 2nC2n
2n
Giải
0
1
2
2
3
3
4
4
2n-1 2n-1
2n
+ C 2n
Ta có: (1 - x ) = C 2n - C 2n x + C 2n x - C 2n x + C 2n x - ... - C 2n x
2n x
n
Lấy ñạo hàm hai vế ta ñược:
2n-2
2n-1
⇒ n (1- x ) = -C12n + 2C22n x - 3C32n x 2 + 4C42n x 3 - ... - (2n -1)C2n-1
+ 2nC2n
2n x
2n x
n-1
Thế x = 1 ta ñược:
2n -1
2n
- C 12n + 2C 22n - 3C 32n + 4C 42n - ... - (2n - 1)C 2n
+ 2nC 2n
=0
2n -1
2
4
2n
⇔ C 12n + 3C 32n + ... + (2n - 1)C 2n
= 2C 2n
+ 4C 2n
- ... + 2nC 2n
2n-1
2
4
2n
Vậy: C12n + 3C32n + ... + (2n -1)C2n
= 2C2n
+ 4C2n
+ ... + 2nC2n
VD15: Tính tổng:
2
2010 2010
S = 2010.C 02010 + 2008.C 2010
2 2 + 2006.C 42010 2 4 + ... + C 2010
2
Giải: Ta có:
( x +2)
( x -2)
2010
2010
2
2009
2010 2010
= C02010x2010 +C12010x2009 2+C2010
x2008 22 +C32010x2007 23 + ... +C2010
x22009 +C2010
2
2
2009 2009
2010 2010
=C02010x2010 -C12010x2009 2+C2010
x2008 22 -C32010x2007 23 + ... -C2010
x2 +C2010
2
Cộng vế theo vế ta ñược:
(x + 2)
2010
+ (x - 2)
2010
2
2010
= 2(C 02010 x 2010 + C 2010
x 2008 2 2 + ... + C 2010
)
2010 2
Lấy ñạo hàm 2 vế ta ñược:
2010.( x + 2)
2009
+ 2010.( x - 2)
2009
2010 2010
= 2(2010C02010x2009 + 2008C22010x2007 22 +...+ C2010
2 )
Thế x = 1 ta ñược:
Trang 6
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
2
2010 2010
2010.32009 - 2010 = 2(2010C02010 + 2008C2010
22 + ... + C2010
2 )
2
2010 2010
⇔ 1005.(32009 -1) = 2010C02010 + 2008C2010
22 + ... + C2010
2
Vậy: S = 1005.(32009 -1)
5. Dạng 5:
2010
VD16: Tính tổng: S = 1.2.C 22010 - 2.3.C32010 + ... + 2009.2010.C 2010
Giải
= C 2010 - C 2010 x + C 2010 x - C 2010 x + ... + C 2010 x
Ta có: (1 - x )
Lấy ñạo hàm hai vế của (1) ta ñược:
2010
0
⇒-2010(1- x)
2009
1
2
2
3
3
2010
2010
(1)
2009
=-C12010 +2.C22010x -3.C32010x2 + ... + 2010.C2010
(2)
2010x
Lấy ñạo hàm hai vế của (1) ta ñược:
⇒ 2009.2010.(1- x)
2008
2008
=1.2.C22010 -2.3.C32010x + ... + 2009.2010.C2010
(3)
2010x
Thế x = 1 vào hai vế của (3) ta ñược:
0 = 1.2.C 22010 - 2.3.C32010 + ... + 2009.2010.C 2010
2010
Vậy S = 0
2
2011
VD17: Tính tổng: S = 12 C12011 + 2 2 C 2011
+ ... + 20112 C 2011
Giải
= C 2011 + C 2011x + C 2011x + C 2011x + ... + C 2011x
Ta có: (1 + x )
Lấy ñạo hàm hai vế của (1) ta ñược:
2011
⇒ 2011(1+x)
0
2010
1
2
2
3
3
2011
2011
(1)
2
2010
=C12011 +2.C2011
x +3.C32011x2 + ... + 2011.C2011
(2)
2011x
Nhân x vào hai vế của (2) ta ñược:
⇒ 2011x(1+x)
2010
2011
=C12011x +2.C22011x2 +3.C32011x3 + ... + 2011.C2011
(3)
2011x
Lấy ñạo hàm hai vế của (3) ta ñược:
⇒ 2011(1+2011x)(1+x)
2009
2
2010
=C12011 +22.C2011
x +32.C32011x2 + ... + 20112.C2011
(4)
2011x
Thế x = 1 vào hai vế của (4) ta ñược:
Vậy S = 2011.2012.2 2009
6. Dạng 6:
0
VD18: CMR: C n +
1 1 1 2
1
1
C n + Cn + ... +
Cnn =
2n+1 -1)
(
2
3
n +1
n +1
Giải
Ta có: (1 + x ) = C 0n + C 1n x + C 2n x 2 + C 3n x 3 + ... + C nn x n
n
Trang 7
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
1
1
⇒ ∫ (1 + x ) dx = ∫ ( C 0n + C1n x + C n2 x 2 + C 3n x 3 + ... + C nn x n )dx
n
0
0
0 x 2 1 x3 2
1
x n +1 n 1
n +1 1
= xC n +
C n + C n + ... +
Cn
⇔
(1 + x )
0
n +1
2
3
n +1 0
⇔
1
1
1
1
2 n +1 -1) = C 0n + C1n + C n2 + ... +
C nn (dpcm)
(
n +1
2
3
n +1
VD19: (ðH ðà Nẵng – A-2001)
0
Tính tổng: S = C n 2 +
1 1 2 1 2 3
1
Cn 2 + Cn 2 + ... +
Cnn 2n+1
2
3
n +1
Giải
Ta có:
(1 + x )
n
= C0n + C1n x + C2n x 2 + C3n x 3 + ... + Cnn x n
2
2
⇒ ∫ (1 + x ) dx = ∫ ( C 0n + C1n x + C n2 x 2 + C 3n x 3 + ... + C nn x n )dx
n
0
0
0 x2 1 x3 2
1
x n +1 n 2
n +1 2
⇔
= xC n +
C n + C n + ... +
Cn
(1 + x )
0
n +1
2
3
n +1 0
1
1
1
1
3n+1 -1) = C 0n 2 + C1n 2 2 + C 2n 2 3 + ... +
C nn 2 n+1
⇔
(
n +1
2
3
n +1
Vậy: S =
1
3n+1 -1)
(
n +1
VD20: (B-2003) Cho n là số nguyên dương.
22 -1 1 23 -1 2
2n+1 -1 n
Cn +
C n + ... +
Cn
Tính tổng: S = C +
2
3
n +1
0
n
Giải
Ta có:
(1 + x )
n
= C0n + C1n x + C2n x 2 + C3n x 3 + ... + Cnn x n
2
2
⇒ ∫ (1 + x ) dx = ∫ ( C 0n + C1n x + C n2 x 2 + C 3n x 3 + ... + C nn x n )dx
n
1
1
0 x2 1 x3 2
1
x n +1 n 2
n +1 2
⇔
= xC n +
C n + C n + ... +
Cn
(1 + x )
1
n +1
2
3
n +1 1
1
2 2 -1 1 2 3 -1 2
2 n +1 -1 n
n +1
n +1
0
⇔
( 3 - 2 ) = C n + 2 C n + 3 C n + ... + n + 1 C n
n +1
Vậy: S =
1
3n+1 - 2 n +1 )
(
n +1
Trang 8
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
7. Dạng 7:
VD21: Tìm 4 chữ số cuối cùng của 11211.
Giải
3
209
2
210
211
Ta có: 11211 = (10 + 1)211 = C021110211 +C121110210 +...+C208
21110 +C21110 +C21110+C211
Bốn chữ số cuối của 11200 phụ thuộc vào tổng của bốn chữ cuối của bốn số hạng cuối trong
khai triển: 5000 + 5500 + 2110 + 1 = 12.611
Vậy 4 chữ số cuối là 2611
VD22: Tìm 3 chữ số cuối cùng của
9 15
3
. (HS tự giải)
8. Dạng 8: Một số dạng khác:
0
2006
1
2005
2
2004
k
2006-k
2006
0
VD23: Tính tổng sau: S= C2007C2007 +C2007C2006 +C2007C2005 +...+C2007C2007-k +...+C2007C1
Giải
2006-k
Ta có: C k2007 C 2007-k
=
2007!
( 2007 - k ) ! = 2007!
k!( 2007 - k ) ! ( 2006 - k ) ! k!( 2006 - k ) !
= 2007
2006!
= 2007C k2006
k!( 2006 - k ) !
(
)
2006
Suy ra: S = 2007 C 02006 + C12006 + ... + C 2006
2006 = 2007.2
VD24: (ðH Kinh tế TPHCM – 2006)
0
2
4
2n
Tìm số tự nhiên n thỏa: C 4 n + 2 + C 4 n + 2 + C 4 n + 2 + ... + C 4 n + 2 = 2 5 6
Giải
Ta có:
2n +1
2n + 2
4n +1
4n + 2
4n + 2
C 04n + 2 + C 14n + 2 + ... + C 2n
4n + 2 + C 4n + 2 + C 4n + 2 + ... + C 4n + 2 + C 4n + 2 = 2
2n +1
2n + 2
4n +1
4n + 2
C 04n + 2 - C 14n + 2 + ... + C 2n
4n + 2 - C 4n + 2 + C 4n + 2 - ... - C 4n + 2 + C 4n + 2 = 0
Cộng vế theo vế ta ñược:
2 (C 04 n + 2 + C 24 n + 2 + ... + C 24 nn + 2 + C 24 nn ++ 22 + ... + C 44 nn ++ 22 ) = 2 4 n + 2
⇔ C 04 n + 2 + C 24 n + 2 + ... + C 24 nn + 2 + C 24 nn ++ 22 + ... + C 44 nn + 2 + C 44 nn ++ 22 = 2 4 n +1
k
m -k
Mà: C m = C m
Do ñó:
C 04 n + 2 = C 44 nn ++ 22
C 24 n + 2 = C 44 nn + 2
…
Trang 9
(1 )
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
C 24 nn + 2 = C 42 nn ++ 22
(1 ) ⇔ 2 (C 04 n + 2 + C 42 n + 2 + ... + C 42 nn + 2 ) = 2 4 n +1
⇔ C 04 n + 2 + C 42 n + 2 + ... + C 42 nn + 2 = 2 4 n
⇔ 2 4n = 2 5 6 ⇔ 2 4n = 2 8 ⇔ n = 2
Vậy: n = 2
III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1:
1
x
2
10
a) Trong khai triển (2 x − ) . Tìm hệ số của số hạng chứa x8
3
15
b) Tìm 2 số hạng ñứng giữa trong khai triển ( x − xy)
c) Tìm x ñể số hạng thứ 4 trong khai triển
d) Tìm x ñể số hạng thứ 5 trong khai triển
( x + x ) bằng 200
( x + x ) bằng 150
3
3
12
2
12
6
6
e) Khai triển: (1 + x)5. Từ ñó tính tổng sau:
f) Tìm hệ số của số hạng thứ tám trong khai triển của (x2 –
2 x
1
1
1
1
1
S = 1+ C15 + 2 C52 + 3 C35 + 4 C54 + 5 C55
2
2
2
2
2
)12. Và tìm số hạng
không chứa x trong khai triển của biểu thức trên.
g) Khai triển: (1 + x)5 . Từ ñó tính tổng S = 1- 3C15 + 32 C52 - 33 C53 + 34 C54 - 35 C55
h) Tìm hệ số của x25y10 trong khai triển (x3 + xy)15
i) Tìm hệ số của x35y10 trong khai triển (x + x3y)15
j) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển ( 2x - 3y )6 .
k) Cho nhị thức (2x – 3x2)7. Tìm hệ số của x10.
Bài 2: Khai triển (1 + x)n. Từ ñó tính S = 1- 2C17 + 22 C72 - 23 C37 + 24 C74 - 25 C57 + 26 C67 - 27 C77
Bài 3: Giải phương trình: 5n C0n + 5n-13C1n + 5n-232 C2n + ... + 3n C nn = 26021
Bài 4: Giải bất phương trình: C1n + 2Cn2 + 3C3n + ... + nCnn ≤ n(7 - n)
0
Bài 5: CMR: C n +
1 1 1 2
1
1
Cn + Cn + ... +
Cnn =
2n+1 -1)
(
2
3
n +1
n +1
Bài 6: Trong khai triển
(
4
2+33
)
16
có bao nhiêu số hạng nguyên ?
Trang 10
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Bài 7: Tìm x ñể số hạng thứ 5 trong khai triển
(x
3
2
+ 12 x
)
6
bằng 150.
52 - 32 1 53 - 33 2
5n +1 - 3n +1 n
Cn +
C n + ... +
Cn
Bài 8: Tính tổng S = 2C +
2
3
n +1
0
n
n
3
1
Bài 9: Biết tổng hệ số của 3 số hạng ñầu tiên trong khai triển x x + 15 28 bằng 79. Hãy
x
tìm số hạng không chứa x.
n
Bài 10: Trong khai triển của nhị thức P = x + 41 , ba hệ số ñầu theo thứ tự lập thành
2 x
cấp số cộng. Tìm các số hạng có lũy thừa của x là số nguyên.
Bài 11: Chứng minh rằng:
a) C0n + 9C1n + 92 C 2n + ... + 9n C nn = 10n
n
0
b) 5 C n +
1 1 1 2
1
Cn + 2 Cn + ... + n Cnn = 6n
5
5
5
1
3
5
2n-1
2n-1
c) C02n + C 22n + C 42n + ... + C 2n
2n = C 2n + C 2n + C 2n + ... + C 2n = 2
0
2
4
2008
2007
d) C2008 + C2008 + C2008 + ... + C2008 = 2
(
)
0
2 2
4 4
2006 2006
2006
22007 -1
e) C2007 + 3 C 2007 + 3 C2007 + ... + 3 C 2007 = 2
1
3
3
5
5
2009
2009
2009
2010
-1)
f) 3.C2010 + 3 .C2010 + 3 .C2010 + ... + 3 .C2010 = 2 .(2
Bài 12: Chứng minh rằng:
a) C1n + 2C2n + 3C3n + ... + nCnn = n.2n-1
b) C1n - 2C n2 + 3C3n - ... + (-1) n nCnn = 0
c) n.C0n - (n -1)C1n + (n - 2)C2n - (n - 3)C3n + ... + (-1) n Cn-1
n = 0
2n-1
2
4
2n
d) C12n + 3C32n + ... + (2n -1)C2n
= 2C 2n
+ 4C 2n
+ ... + 2nC2n
1 1 1 2 1 3
(-1)n n
1
Cn =
Bài 13: Chứng minh rằng: C - Cn + Cn - Cn + ... +
2
3
4
n +1
n +1
0
n
Bài 14: (ðề ðH - Khối A - 2002)
Trang 11
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Bài 15: (ðề ðH - Khối D - 2002)
Bài 16: (ðề ðH - Khối A - 2003)
Bài 17: (ðề ðH - Khối B - 2003)
Bài 18: (ðề ðH - Khối D - 2003)
Bài 19: (ðề ðH - Khối A - 2004)
Bài 20: (ðề ðH - Khối D - 2004)
Bài 21: (ðề ðH - Khối A - 2006)
Trang 12
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Bài 22: (ðề Cð ðiện lực TPHCM - 2006)
n
2 1
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển x + 3 , biết rằng C1n + C3n =13n (n là số tự
x
nhiên lớn hơn 2 và x là số thực khác 0).
Bài 23: (ðề Cð Y Tế 1 - 2006)
Bài 24: (ðề Cð kinh tế ñối ngoại - 2006)
Bài 25: (ðề Cð kinh tế - 2006)
Bài 26: (ðề CðSP TPHCM – Khối A - 2006)
Bài 27: (ðề CðSP TPHCM – Khối B - 2006)
Bài 28: (ðề Cð Xây dựng số 2 - 2006)
Bài 29: (ðề Cð Cao Thắng - 2005)
Bài 30: (ðề Cð Giao thông vận tải 3 - 2005)
Trang 13
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Bài 31: (ðề Cð Kinh tế Kỹ thuật công nghiệp II - 2005)
Bài 32: (ðề CðSP TPHCM - Khối A - 2005)
Bài 33: (ðề CðSP TPHCM - Khối B-D - 2005)
Bài 34: (ðề ðH - Khối A - 2007)
Bài 35: (ðề ðH - Khối B - 2007)
Bài 36: (ðề ðH - Khối D - 2007)
Hướng dẫn:
Bài 1:
1
a) Trong khai triển (2x 2 - )10 , ta có số hạng thứ (k +1) là :
x
1
k
k
Tk+1 = C10(x 2 )10-k (- ) k = (-1) k C10x 20-3k . Nên : 20 – 3k = 8 ⇔ x = 4
x
Vậy hệ số của số hạng chứa x8 là: (−1)
4
C
=
10
4
10!
= 210
4!6!
3
15
b) Trong khai triển ( x − xy) 2 số hạng ñứng giữa là :
Trang 14
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
7
7
T8 = (-1) 7 C15(x 3 )8 (xy) 7 = -C15x 31 y 7 = -6435x 31 y 7
8
8
T9 = (-1)8 C15(x 3 )7 (xy)8 = C15x 29 y8 = 6435x 29 y8
(x
c) Tìm x ñể số hạng thứ 4 trong khai triển
T 4 = C3 6
( x ) ( x)
3
3
3
12
T5 = C
19
( x ) ( x ) = 150
3
6
2
2
4
12
0
6
19
= 200 x 4 =10 x =
(x
3
d) Tìm x ñể số hạng thứ 5 trong khai triển
4
)
+ 12 x bằng 200
3
1
2 2
2
10 4
)
6
+ 12 x bằng 150
5
3
x =10 x = 5 10 3
3 3
4 4
5 5
e) Khai triển: (1+x)5 = C5 + C5x + C5x + C5x + C5x + C5x
= 1+5x + 10x2 + 10x3 + 5x4 + x5
f) Trong khai triển (x2 –
2 x
1
1
1
1
1
243
Thay = ½ ta ñược: (3/2)5 = 1+ C15 + 2 C52 + 3 C53 + 4 C54 + 5 C55 =
2
2
2
2
2
32
2
x
)12. Số hạng thứ tám: T8 = C127 (x 2 )5 (- )7
( −)
−)
k
k
2 x
.
(
k
2
1
2
2
x
.
2
k
C1
k
k
2
1
2
x
k
C1
+
= ( ) (− − ) =
1
Tk
Gọi số hạng không chứa x:
2 x
7
Suy ra hệ số là: -128.C12
Tk+1 không chứa x khi 2(12 – k) = k hay k = 8.
8
Vậy số hạng không chứa x là: 256. C12
0
1
2 2
3 3
4 4
5 5
g) (1 + x)5 = C5 +C5x+C5x +C5x +C5x +C5x = 1 + 5x + 10x2 + 10x3 + 5x4 + x5
Thay = - 3 ta ñược: (- 2)5 = 1- 3C15 + 32 C52 - 33 C53 + 34 C54 - 35 C55 = -32
h) Trong khai triển (x3 + xy)15 có số hạng tổng quát:
Tk +1 = C15k x 3(15− k ) ( xy ) k = C15k x 45− 2 k y k
45 - 2k = 25
⇔ k = 10
Ta có
k = 10
k 15 − k
3
k
k 15+ 2 k k
y
i) Trong khai triển (x + x3y)15 có số hạng tổng quát Tk +1 = C15 x ( x y ) = C15 x
15 + 2k = 35
⇔ k = 10
k = 10
Ta có
j) Số hạng chính giữa trong khai triển ( 2x - 3y )6 là số hạng thứ 4.
Trang 15
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
T4 =
C
3
6
3
3
3 3
.a 3 .b 3 = 20.8x .(-27y ) = - 4320x y
k) Nhị thức (2x - 3x 2 )7 = x 7 (2 - 3x)7 . Suy ra số hạng chứa x10 là số hạng thứ 4
Nên hệ số chứa x10 −C37 .24.33 = −15120
Bài 2: Ta có: (1+ x )
n
= C0n + C1n x + Cn2 x 2 + ... + Cnn x n
Thế x = -2 và n = 7 vào khai trển trên ta ñược:
S = 1- 2C17 + 22 C72 - 23 C37 + 24 C74 - 25 C57 + 26 C67 - 27 C77 = (-1)7 = -1
Bài 3: Ta có:
(a + b )
n
= C 0n a n + C 1n a n b + C 2n a n -2 b 2 + ... + C nn b n
Thế a = 5 và b = 3 vào khai triển trên:
⇒8n =5n C0n +5n-13C1n +5n-232 C2n + ... +3n Cnn Û8n = 26021 ⇒8n =82007 ⇒ n = 2007
Bài 4: Ta có: (1+ x ) = Cn + Cn x + Cn x + C n x + ... + Cn x
n
0
Lấy ñạo hàm hai vế:
1
2
⇒ n (1+ x )
2
n-1
3
n-1
1
⇒
∫
n
n
= C1n + 2C2n + 3C2n + ... + nCnn
⇔ n.2n-1 ≤ n.(7 - n) ⇔ 2n-1 + n ≤ 7 ⇔ n ≤ 3 .
(1 + x )
n
= C1n + 2xC2n + 3x 2Cn2 + ... + nx n-1Cnn
Thế x = 1 vào khai triển trên: ⇒ n.2
Bài 5: Ta có:
3
Vậy n ∈ {1; 2;3}
= C0n + C1n x + C2n x 2 + C3n x 3 + ... + Cnn x n
1
dx = ∫ ( C 0n + C1n x + C n2 x 2 + C 3n x 3 + ... + C nn x n )dx
0
0
⇔
0 x2 1 x3 2
1
x n +1 n 1
n +1 1
1
+
x
=
xC
+
C
+
C
+
...
+
Cn
(
)
n
n
n
0
n +1
2
3
n +1 0
⇔
1
1
1
1
2 n +1 -1) = C 0n + C1n + C n2 + ... +
C nn (dpcm)
(
n +1
2
3
n +1
k
Bài 6: Tk+1 = C16
( 2 ) ( 3) =
4
16-k
3
k
k
16
C 2
16-k
4
.3
k
3
Tk + 1 là số nguyên
0 ≤ k ≤ 16 0 ≤ k ≤ 16
⇔ (16 - k)⋮ 4 ⇔ k ∈ {0; 4;8;12;16} ⇔ k ∈ {0;12}
k ⋮ 3
k ∈ {0;3;6;9;12;15}
Vậy có 2 số hạng là số nguyên:
Trang 16
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
0
T1 = C 16
( 2) ( 3)
16
4
3
0
= 32 ; T13 = C12
16
Bài 7: Tìm x ñể số hạng thứ 5 trong khai triển
T5 = C
4
6
( x ) ( x)
3
2
2
12
4
( 2 ) ( 3)
4
4
(x
3
+ 12 x
2
12
3
)
6
= 294840
bằng 150
5
3
= 150 ⇔ x =10 ⇔ x =
5
103
52 - 32 1 53 - 33 2
5n +1 - 3n +1 n
Cn +
C n + ... +
Cn
Bài 8: Tính tổng S = 2C +
2
3
n +1
0
n
Ta có: (1+ x ) = Cn + Cn x + Cn x + Cn x + ... + Cn x
n
0
5
⇒
1
5
∫ (1 + x ) dx = ∫ ( C
n
3
0
n
2
2
3
3
n
n
+ C 1n x + C n2 x 2 + C 3n x 3 + ... + C nn x n )dx
3
1
n +1
⇔
(1 + x )
n +1
5
3
x2 1 x3 2
x n +1 n 5
0
= xC n +
Cn +
C n + ... +
Cn
2
3
n +1 3
1
5 2 - 3 2 1 5 3 - 33 2
5 n +1 - 3 n +1 n
n +1
n +1
0
⇔
( 6 - 4 ) = 2C n + 2 C n + 3 C n + ... + n + 1 C n
n +1
6 n +1 − 4 n +1
Vậy S =
n +1
Bài 9: Tổng hệ số của 3 số hạng trong khai triển trên là C0n + C1n + C n2 = 79 ⇔ n = 12
n
12
12-k
4
12
3
3
1
1
k 3
x
x
+
=
x
x
+
=
C
x
Khi ñó:
∑ 12
15
15
x 28
x 28 k =0
Theo ñề: 16 - 48 k = 0 ⇔ k = 5
15
5 = 495 .
Vậy số hạng không chứa x là C12
Bài 10: n = 8 ⇒ các số hạng có lũy thừa nguyên là To, T4, T8
Bài 14: (ðề ðH - Khối A - 2002)
Trang 17
x
-28k
15
12
k
= ∑ C12
x
k=0
16-
28k
15
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Bài 15: (ðề ðH - Khối D - 2002)
Bài 16: (ðề ðH - Khối A - 2003)
Bài 17: (ðề ðH - Khối B - 2003)
Bài 18: (ðề ðH - Khối D - 2003)
Trang 18
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Bài 19: (ðề ðH - Khối A - 2004)
Trang 19
ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON TRONG TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Bài 20: (ðề ðH - Khối D - 2004)
Bài 21: (ðề ðH - Khối A - 2006)
Bài 22: (ðề Cð ðiện lực TPHCM - 2006)
Trang 20
- Xem thêm -