giới hạn liên tục toán cao cấp
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I.2 – Giới hạn của hàm số
– Hàm số.
– Giới hạn của hàm số.
– Vô cùng bé, Vô cùng lớn.
1. Hàm số
Định nghĩa (hàm hợp)
Cho hai hàm g : X Y ; f : Y Z .
Khi đó tồn tại hàm hợp f g : X Z .
h f g f ( g ( x))
Ví dụ.
g ( x) x 3; f ( x) x 2
f g ( x) f ( g ( x ) f ( x 3) x 3
2
g f ( x) g ( f ( x)) g ( x 2 ) x 2 3
1
Ví dụ.
Cho f ( x ) x ; g ( x) 2 x . Tìm các hàm sau và miền
xác định của nó: a ) f g ;
a ) f g ( x)
b) g f ;
2 x 4 2 x
c) f f ;
d) g g .
D f g (,2]
b) g f ( x) 2 x
Dg f 0,4
c) f f ( x) 4 x
D f f 0,
d ) g g ( x) 2 2 x
Dg g 2, 2
Đầu vào
Đầu ra
2
Định nghĩa (hàm 1 – 1)
Hàm y = f(x) được gọi là hàm 1 – 1, nếu x1 x2 D f
thì f ( x1 ) f ( x2 ).
Hàm y = f(x) là hàm 1 – 1 khi và chỉ khi không tồn tại
đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều hơn một điểm.
Ví dụ.
Hàm 1 – 1
Không là hàm 1 – 1
3
Định nghĩa (hàm ngược)
Cho y = f(x) là hàm 1 – 1 với miền xác định D và miền
giá trị E. Hàm ngược của y = f(x) là hàm từ E vào D,
ký hiệu x f 1 ( y ), xác định bởi x f 1 ( y ) y f ( x).
Chú ý:
Vì a f 1 (b) b f ( a ) , nên (a,b) thuộc đồ thị y = f(x)
khi và chỉ khi (b,a) thuộc đồ thị của f 1.
4
Đồ thị y = f(x) và đồ thị của f 1 đối xứng nhau qua
qua đường thẳng y = x.
Ví dụ. Vẽ đồ thị của
Vẽ đồ thị của y x 1
và đồ thị hàm ngược.
Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Xét hàm lượng giác y = sin x
-
Trên đoạn , , y = sin x là hàm 1 – 1.
2 2
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y arcsin x
5
Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Xét hàm lượng giác y = cos x
Trên đoạn
0,
, y = cos x là hàm 1 – 1.
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y arccos x
Hàm arcsin x
Miền xác định: [-1,1]
Miền giá trị:
-
2 , 2
Hàm luôn luôn tăng.
Hàm arccos x
Miền xác định: [-1,1]
Miền giá trị:
0,
Hàm luôn luôn giảm.
6
Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Xét hàm lượng giác y = tanx
Trên khoảng , , y = tan x là hàm 1 – 1.
2 2
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y arctanx
Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Xét hàm lượng giác y = cot x
Trên khoảng
0,
, y = cot x là hàm 1 – 1.
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu y arccot x
7
Hàm arctan x
Miền xác định: R
Miền giá trị:
-
,
2 2
Hàm luôn luôn tăng.
Hàm arccotan x
Miền xác định: R
Miền giá trị:
0,
Hàm luôn luôn giảm.
Định nghĩa (hàm Hyperbolic)
sin hyperbolic
e x e x
sinh( x)
2
cos hyperbolic
e x e x
cosh( x )
2
tan hyperbolic
tanh( x)
sinh( x)
cosh( x)
cotan hyperbolic
coth( x)
cosh( x)
sinh( x)
8
Hàm y cosh( x)
Hàm y tanh( x)
Hàm y sinh( x)
Hàm y coth( x)
9
Có các công thức sau (tương tự công thức lượng giác)
1) cosh 2 (a) sinh 2 (a ) 1
2) sinh(2a) 2sinh( a ) cosh( a ); cosh(2a ) cosh 2 ( a) sinh 2 (a )
3) cosh( a b) cosh( a ) cosh(b) sinh( a )sinh(b)
4) cosh(a b) cosh(a ) cosh(b) sinh(a )sinh(b)
5) sinh(a b) sinh(a) cosh(b) sinh(b) cosh(a)
6) sinh(a b) sinh(a) cosh(b) sinh(b) cosh(b)
và các công thức lượng giác hyperbolic khác.
Để thu được công thức lượng giác hyperbolic từ công
thức lượng giác quen thuộc ta thay cos bởi cosh và thay
sin bởi isinh.
Ví dụ. Từ công thức cos2 a sin 2 a 1
ta có
cosh 2 a i 2 sin 2 a 1
cosh 2 a sinh 2 a 1
10
Hàm cho bởi phương trình tham số.
Cho hai hàm x = x(t), y = y(t) xác định trong một lân cận
V nào đó của điểm t0 .
Giả sử tồn tại hàm ngược của một trong hai hàm trên,
giả sử của x = x(t) là t = t(x).
Khi đó tồn tại hàm y = y(t(x)) và hàm này được gọi là hàm
cho bởi phương trình tham số: x = x(t) và y = y(t).
Ví dụ.
Hàm y = y(x) cho bởi phương trình tham số
x 2cos t
(1)
y
3sin
t
x
2 cos t
(1)
y sin t
3
x2 y 2
1
4
9
Đây chính là phương trình của ellipse.
11
Ví dụ.
Phương trình tham số của đường
tròn tâm O bán kính R:
x R cos t
y R sin t
Phương trình tham số của đường
tròn tâm (a,b) bán kính R:
Phương trình tham số của ellipse
x a R cos t
y b R sin t
x2
a
2
y2
b
2
1 là
x a cos t
y b sin t
2. Giới hạn của hàm số
Định nghĩa.
Cho D là tập số thực. Điểm x0 được gọi là điểm tụ của
tập D nếu trong mọi khoảng ( x0 , x0 ) đều chứa vô
số các phần tử của tập D.
Ví dụ.
D = (0,1)
Điểm tụ của D là [0,1]
1
D ,n N
D có duy nhất một điểm tụ là 0
n
n 1
D (1)n
, n N D có hai điểm tụ -1 và 1.
n2
12
2. Giới hạn của hàm số
Định nghĩa. (ngôn ngữ )
Cho x0 là điểm tụ của miền xác định.
lim f ( x ) a
x x0
0
0
x D f , x x0 | f ( x ) a | .
Chú ý:
Trong định nghĩa không đòi hỏi là f(x) phải xác định tại x0
Ví dụ.
lim
x 0
1 cos x
x2
1
2
mặc dù hàm không
xác định tại x = 0.
2. Giới hạn của hàm số
Định nghĩa.
lim f ( x) a
0
x
A 0
x D f , x A | f ( x) a | .
Định nghĩa.
lim f ( x) a
0
B 0
x
x D f , x B | f ( x ) a | .
13
lim f ( x) L
x
thì f(x) trong
khoảng này
khi x trong khoảng
này
lim f ( x) L
thì f(x) trong
khoảng này
x
khi x trong
khoảng này
14
2. Giới hạn của hàm số
Định nghĩa.
lim f ( x )
x x0
0
M 0
x D f ,| x x0 | f ( x) M .
Định nghĩa.
lim f ( x )
M 0
0
x x0
x D f ,| x x0 | f ( x) M .
2. Giới hạn của hàm số
Định nghĩa. (ngôn ngữ dãy )
Cho x0 là điểm tụ của miền xác định.
lim f ( x) a ( xn ) D f ,
x x0
n
xn x0 , xn
xo
n
f ( xn )
a
Chú ý:
Thường dùng định nghĩa này chứng tỏ hàm
không có giới hạn.
Nếu tìm được hai dãy ( xn ),( xn' ) x0 mà
f ( xn ), f ( xn' )
hội tụ về hai số khác nhau thì hàm không có giới hạn.
15
2. Giới hạn của hàm số
Ví dụ. Chứng tỏ không tồn tại giới hạn limsin 1
x 0
x
Chọn dãy xn
Chọn dãy
1
n
0
2n
xn,
f ( xn ) sin 2n 0 0
1
n
0
2n / 2
f ( xn ) sin(2n ) 1 1
2
Suy ra không tồn tại giới hạn
Tính chất của giới hạn hàm số
lim f ( x) a, lim g ( x) b
x x0
x x0
1) lim ( f ) a, R
x x0
3) lim ( f g ) a b
2) lim ( f g ) a b
x x0
4) lim
x x0
x x0
f a
, b0
g b
5) x V ( x0 ), f ( x ) g ( x ) a b
f ( x ) g ( x) h( x )
6) lim f lim h a
x x0
x x0
lim g ( x) a
x x0
16
Mệnh đề
lim u ( x ) a 0
x x0
v( x ) b
xlim
x
0
lim u ( x)
x x0
v( x )
lim e
lim u ( x)
x x0
v ( x ) ln u ( x )
ab
lim v ( x ) ln(u ( x ))
e
x x0
v ( x)
x x0
eb ln a a b .
x
1
lim 1 e
x
x
x
1
lim
1 e
x
x
1
x
lim 1 x e
x0
17
Các giới hạn cơ bản thường gặp khi x 0
1) lim
x 0
sin x
1
x
6) lim
x 0
ex 1
2) lim
1
x 0
x
1 cos x 1
3) lim
2
x 0
x
2
ln(1 x)
4) lim
1
x 0
x
(1 x) 1
5) lim
x 0
x
arctan x
1
x
arcsin x
1
x 0
x
tan x
8) lim
1
x 0
x
7) lim
1/ x
9) lim 1 x
x0
1/ x
10) lim 1 x
x 0
e
1
e
Các giới hạn cơ bản thường gặp khi x
1) lim x , 0
x
2) lim ln x , 0
x
3) lim a x , a 1
x
x
1
4) xlim
1 e
x
5) lim sin x không tồn tại
x
18
Các dạng vô định
0
1)
0
2)
3) 0
4)
6) 0
5) 1
0
7) 0
Định nghĩa. (giới hạn trái)
Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu
0 0 x D f ,0 x0 x
ký hiệu
| f ( x) a | .
lim f ( x) a
x x0
Định nghĩa. (giới hạn phải)
Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu
0 0 x D f ,0 x x0
ký hiệu
| f ( x) a | .
lim f ( x) a
x x0
19
Ví dụ
lim
x 1
1
x 1
lim
x 1
1
x 1
Ví dụ
lim e1/ x 0
x 0
lim e1/ x
x 0
Ví dụ
sin x
lim
1
x0
x
sin x
Không tồn tại
lim
x0
|x|
Vì
lim
sin x
sin x
lim
1
x
0
|x|
x
và
lim
sin x
sin x
lim
1
x
0
| x|
x
x 0
x 0
20
- Xem thêm -