Tài liệu Bài tập về ánh xạ tuyến tính liên tục

BÀI TẬP 3.6.12 Lê Thị Ngọc Hiền Vũ Thị Thùy Dương Trịnh Ngọc Thanh Duy Nguyễn Mạnh Trường Giang Ngày 15 tháng 5 năm 2016 3.6.12: Cho M là một không gian vectơ con dày đặc trong một không gian định chuẩn E và T ∈ L(M, F ). Giả sử F Banach, chứng minh có duy nhất một S ∈ L(E, F ) sao cho S(x) = T (x), ∀x ∈ M Giải: Cho x ∈ E vì M trù mật trong E nên tồn tại dãy {xn } trong M sao cho xn → x khi n → ∞. Ta có: kT xn − T xm k = kT (xn − xm )k ≤ kT k kxn − xm k ≤ kT k ε, ∀n, m ≥ 1 Suy ra {T xn } là dãy Cauchy trong F . Mặt khác, vì F Banach nên ∃y ∈ F sao cho T xn → y khi n → ∞ Xét dãy {x0n } trong M sao cho x0n → x ∈ E khi n → ∞. Đặt: z2n = xn và z2n+1 = x0n ta có zn → x khi n → ∞. Chứng minh tương tự như trên ta cũng có {T z2n+1 } là dãy Cauchy trong không gian Banach F suy ra T z2n+1 → y 0 ∈ F khi n → ∞. Vì {T z2n } và {T z2n+1 } là dãy con của {T zn } nên suy ra y = y 0 hay nói cách khác giới hạn y của {T xn } không phụ thuộc vào cách chọn dãy {xn }. Do đó ta có thể định nghĩa ánh xạ S : E → F như sau: S(x) = lim (T xn ), ∀x ∈ E và {xn } là dãy trong M sao cho xn → x n→∞ Ta sẽ chứng minh S được định nghĩa như trên là ánh xạ thỏa yêu cầu của bài toán. i) Chứng minh S(x) = T (x), ∀x ∈ M . Với mọi x ∈ M , xét dãy {xn } thỏa xn = x, ∀n ≥ 1. Ta có xn → x khi n → ∞ và S(x) = lim (T xn ) = lim [T (x)] = T (x) n→∞ n→∞ ii) Chứng minh S là ánh xạ tuyến tính. Với mọi α ∈ F, ∀x, x0 ∈ E lấy dãy {xn } và {x0n } trong M sao cho xn → x, x0n → x0 khi n → ∞. Ta có: S(x + αx0 ) = lim [T (xn + αx0n )] = lim (T xn ) + α lim (T x0n ) = S(x) + αS(x0 ) n→∞ n→∞ Vậy S là ánh xạ tuyến tính. 1 n→∞ iii) Chứng minh S là ánh xạ liên tục. Với mọi x ∈ E lấy dãy {xn } ⊂ M sao cho xn → x khi n → ∞. Vì Sx → kSxk là ánh xạ liên tục nên ta có: kSxk = lim T xn = lim kT xn k ≤ lim kT k kxn k = kT k kxk n→∞ n→∞ n→∞ suy ra S liên tục. iv) Chứng minh S là ánh xạ duy nhất thỏa yêu cầu bài toán. Giả sử G ∈ L(E, F ) là một ánh xạ mở rộng khác của T , nghĩa là G(x) = T (x), ∀x ∈ M . Với mọi x ∈ E, lấy dãy {xn } ⊂ M sao cho xn → x khi n → ∞ ta có: S(x) = lim S(xn ) = lim T (xn ) = lim G(xn ) = G(x) n→∞ n→∞ n→∞ Vậy S ≡ G hay S là ánh xạ mở rộng duy nhất của T . 2