Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Khoa học tự nhiên Toán học Tổng hợp kiến thức Đại số THCS...

Tài liệu Tổng hợp kiến thức Đại số THCS

.DOC
28
2364
102

Mô tả:

Tổng hợp kiến thức Đại số THCS
TæNG HîP KIÕN THøC — ™ M«n : §¹i Sè - THCS I - C¸c lo¹i ph¬ng tr×nh 1. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt - Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax + b = 0 (a  0 ) - Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x =  b a - Chó ý: NÕu ph¬ng tr×nh chøa tham sè ta chuyÓn vÒ d¹ng Ax = B vµ xÐt c¸c trêng hîp sau:  NÕu A  0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x =  B A  NÕu A = 0 , B  0 ph¬ng tr×nh trë thµnh 0.x = B => ph¬ng tr×nh v« nghiÖm  NÕu A = 0, B = 0 => ph¬ng tr×nh v« sè nghiÖm 2. Ph¬ng tr×nh tÝch - Ph¬ng tr×nh tÝch cã d¹ng A(x).B(x) = 0 - C¸ch gi¶i: A(x).B(x) = 0 <=> A(x) = 0 hoÆc B(x) = 0 A( x )  0 - Tr×nh bµy gän : A(x).B(x) = 0 <=>  B( x )  0 A( x )  0 - Më réng: A(x).B(x).C(x) = 0 <=> B( x )  0 C( x )  0 3. Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu - Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu ta thùc hiÖn theo 4 bíc:  Bíc 1: T×m §KX§ cña ph¬ng tr×nh  Bíc 2: Quy ®ång mÉu hai vÕ cña ph¬ng tr×nh råi khö mÉu  Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh võa nhËn ®îc  Bíc 4: (kÕt luËn) Trong c¸c gi¸ trÞ cña Èn t×m ®îc ë bíc 3, c¸c gi¸ trÞ tháa m·n §KX§ chÝnh lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho, gi¸ trÞ cña x kh«ng thuéc §KX§ lµ nghiÖm ngo¹i lai (lo¹i ®i) 4. Ph¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi  A n�u A  0   A n�u A < 0 - §Þnh nghÜa: A   - C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh  f ( x )  0  f ( x )  0  f ( x )  k( k  0)  f ( x )   k  f ( x )  g( x )  f ( x )  g( x )   f ( x )   g( x ) Hay f ( x )  g( x )   f ( x ) 2   g( x ) 2 , ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch   f(x)  0   f ( x )  g( x )  f ( x )  g( x ) <=>  hoÆc <=>  f(x)  0   f ( x )   g( x )   g( x )  0    f ( x )  g( x )  g( x )  0   f ( x )   g( x )  g( x )  0  f ( x )  g( x ) ho�c f ( x )   g( x ) HoÆc <=>   g( x )  0 2 2  f ( x )   g( x ) HoÆc <=>  - Chó ý: A 2  A 2 ; A   A vµ A  B  A  B  A  B 5. Ph¬ng tr×nh v« tØ  f ( x )  A( A  0)  f ( x )  A 2 (víi f(x) lµ mét ®a thøc)    f(x)  0  f ( x )  g( x )   g( x )  0  f ( x )   g( x ) 2   f(x)  0  f ( x )  g( x )   g( x )  0  f ( x )  g( x )  *)Lu ý: HÇu hÕt khi gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn trong c¨n, ta cÇn x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn cã nghÜa cña ph¬ng tr×nh vµ c¸c ®iÒu kiÖn t¬ng ®¬ng. NÕu kh«ng cã thÓ thö l¹i trùc tiÕp. 6. Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: 4 2 ax  bx  c  0 (a  0 )  §Æt x2 = t ( t  0 ), ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t : at2  bt  c  0 (*)  Gi¶i ph¬ng tr×nh (*), lÊy nh÷ng gi¸ trÞ thÝch hîp tháa m·n t  0  Thay vµo ®Æt x2 = t vµ t×m x = ? 7. Ph¬ng tr×nh bËc cao a) Ph¬ng tr×nh bËc ba d¹ng: ax3 + bx2 + cx + d = 0 Híng dÉn: NhÈm nghiÖm (nÕu cã nghiÖm nguyªn th× nghiÖm ®ã lµ íc cña h¹ng tö tù do d) hoÆc dïng s¬ ®å Hooc- ne hoÆc dïng m¸y tÝnh ®Ó t×m nhanh nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh, khi ®· biÕt mét nghiÖm th× dÔ dµng ph©n tÝch VT díi d¹ng tÝch vµ gi¶i ph¬ng tr×nh tÝch (hoÆc chia ®a thøc) b) Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 Híng dÉn: Ph¬ng ph¸p t¬ng tù nh ph¬ng tr×nh bËc ba trªn c) Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng: 2 x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 (víi d =  c  ). a  Ph¬ng ph¸p: Víi x = 0, thay vµo ph¬ng tr×nh vµ kiÓm tra xem x = 0 cã lµ nghiÖm hay kh«ng ? Víi x  0. Chia c¶ hai vÕ cho x2, sau ®ã ta ®Æt t = x + c ax d) Ph¬ng tr×nh bËc 4 d¹ng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (víi a + b = c + d = m) Ph¬ng ph¸p: §Æt t = x2 + mx + ab  cd 2 e) Ph¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2 (víi ab = cd = k) Ph¬ng ph¸p: Chia c¶ hai vÕ cho x2. §Æt t = x + k II- BÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn x 1) §Þnh nghÜa: Mét bÊt ph¬ng tr×nh d¹ng ax + b > 0 (hoÆc ax + b < 0) víi a  0 ®îc gäi lµ mét bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn 2) C¸ch gi¶i: ax + b > 0 <=> ax > - b NÕu a > 0 th× x   b a NÕu a < 0 th× x   b a 3) KiÕn thøc cã liªn quan:  Hai bÊt ph¬ng tr×nh ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng tËp nghiÖm vµ dïng kÝ hiÖu <=> ®Ó chØ sù t¬ng ®¬ng ®ã  Quy t¾c chuyÓn vÕ: Khi chuyÓn mét h¹ng tö (lµ sè hoÆc ®a thøc) tõ vÕ nµy sang vÕ kia cña bÊt ph¬ng tr×nh ta ph¶i ®æi dÊu h¹ng tö ®ã => ta cã thÓ xãa hai h¹ng tö gièng nhau ë hai vÕ  Quy t¾c nh©n: Khi nh©n hai vÕ cña mét bÊt ph¬ng tr×nh víi cïng mét sè kh¸c 0, ta ph¶i: Gi÷ nguyªn chiÒu BPT nÕu sè ®ã d¬ng; ®æi chiÒu BPT nÕu sè ®ã ©m. 4) TÝnh chÊt c¬ b¶n cña bÊt ®¼ng thøc - Víi mäi sè thùc a, b, c ta cã : a > b <=> a + c > b + c - Víi mäi sè thùc a, b, c, d ta cã : a > b, b > c => a > c (t/c b¾c cÇu) a > b, c > d => a + c > b + d a > b > 0, c > d > 0 => ac > b - Víi mäi sè thùc a, b, c, + NÕu c > 0 th× a > b <=> ac > bc + NÕu c < 0 th× a > b <=> ac < bc - Víi a, b lµ hai sè thùc : a > b <=> a3  b3 vµ a > b <=> a3  b3 - NÕu a  0, b  0 th× a > b <=> a  b vµ a > b <=> a2  b2 - Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc A  A, n�u A  0 A    A, n�u A < 0. Ta cã: A2 ≥ 0, |A| ≥ 0, A 2  A - BÊt ®¼ng thøc C« - si: Cho a, b lµ hai sè thùc kh«ng ©m, ta cã: a  b  ab DÊu “=” x¶y ra <=> a = b 2 III – C¸c d¹ng bµi tËp cã liªn quan ®Õn biÓu thøc h÷u tØ, c¨n bËc hai, c¨n bËc ba. 1. D¹ng 1 : Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc h÷u tØ - Khi thùc hiÖn rót gän mét biÓu thøc h÷u tØ ta ph¶i tu©n theo thø tù thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n : Nh©n chia tríc, céng trõ sau. Cßn nÕu biÓu thøc cã c¸c dÊu ngoÆc th× thùc hiÖn theo thø tù ngoÆc trßn, ngoÆc vu«ng, ngoÆc nhän. - Víi nh÷ng bµi to¸n t×m gi¸ trÞ cña ph©n thøc th× ph¶i t×m ®iÒu kiÖn cña biÕn ®Ó ph©n thøc ®îc x¸c ®Þnh (mÉu thøc ph¶i kh¸c 0) 2. D¹ng 2 : T×m ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cã nghÜa - BiÓu thøc cã d¹ng A x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi B  0 B - BiÓu thøc cã d¹ng - BiÓu thøc cã d¹ng - BiÓu thøc cã d¹ng A x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi A  0 A x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi B > 0 B A  B x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi C A  0  C  0 A  B x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi C - BiÓu thøc cã d¹ng A  0  C  0 3. D¹ng 3 : Rót gän c¸c biÓu thøc chøa c¨n bËc hai, c¨n bËc ba LÝ thuyÕt chung: a) C¸c c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc 1) A 2  A 2) AB  A B 3) 4) B ( v�i A  0 v� B  0) A A (v�i A  0 v� B > 0) B  2 A B  A 5) A B  B (v�i B  0) 2 A B (v�i A  0 v� B  0) 2 A B   A B (v�i A < 0 v� B  0) 6) A B 7) A B  1 B  A B B C  A B 8) C A  9) AB (v�i AB  0 v� B  0) B C (v�i B > 0)  A mB A B  C   2 (v�i A  0 v� A  B ) 2 A m B A B  (v�i A  0 , B  0 v� A  B) *) Lu ý: §Ó rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai ta lµm nh sau : - Quy ®ång mÉu sè chung (nÕu cã) - §a bít thõa sè ra ngoµi dÊu c¨n (nÕu cã) - Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã) - Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh lòy thõa, khai c¨n, nh©n, chia , … theo thø tù ®· biÕt ®Ó lµm xuÊt hiÖn c¸c c¨n thøc ®ång d¹ng - Céng, trõ c¸c biÓu thøc ®ång d¹ng (c¸c c¨n thøc ®ång d¹ng) b) C¸c h»ng ®¼ng thøc quan träng, ®¸ng nhí: 1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ( a  b)2  a  2 a.b  b (a,b  0) ( a  b)2  a  2 a.b  b (a,b  0) 2) (a - b) = a - 2ab + b 2 2 2 3) a - b = (a + b).(a - b) 2 2 a  b  ( a  b).( a  b) (a,b  0) 4) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 5) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 6) a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 ) a a  b b  a3  b 3   a   b 3 3  ( a  b)(a  ab  b) (a,b  0) 7) a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 ) a a  b b  a3  b 3   a   b 3 3  ( a  b)(a  ab  b) (a,b  0) 8) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 9) ( a  b  c)2  a  b  c  2 ab  2 ac  2 bc 1) a2  a (a,b,c  0) IV – C¸c d¹ng to¸n vÒ hµm sè LÝ thuyÕt chung 1) Kh¸i niÖm vÒ hµm sè (kh¸i niÖm chung). NÕu ®¹i lîng y phô thuéc vµo ®¹i lîng thay ®æi x sao cho víi mçi gi¸ trÞ cña x ta lu«n x¸c ®Þnh ®îc chØ mét gi¸ trÞ t¬ng øng cña y th× y ®îc gäi lµ hµm sè cña x vµ x ®îc gäi lµ biÕn sè. *) VÝ dô: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x + 3 ; ... *) Chó ý: Khi ®¹i lîng x thay ®æi mµ y lu«n nhËn mét gi¸ trÞ kh«ng ®æi th× y ®îc gäi lµ hµm h»ng. *) VÝ dô: C¸c hµm h»ng y = 2; y = - 4; y = 7; ... 2) C¸c c¸ch thêng dïng cho mét hµm sè a) Hµm sè cho bëi b¶ng. b) Hµm sè cho bëi c«ng thøc. - Hµm h»ng: lµ hµm cã c«ng thøc y = m (trong ®ã x lµ biÕn, m  �) - Hµm sè bËc nhÊt: Lµ hµm sè cã d¹ng c«ng thøc y = ax + b Trong ®ã: x lµ biÕn, a,b  �, a 0 . a lµ hª sè gãc, b lµ tung ®é gèc. - Chó ý: NÕu b = 0 th× hµm bËc nhÊt cã d¹ng y = 2ax ( a  0 ) Hµm sè bËc hai: Lµ hµm sè cã c«ng thøc y = ax + bx + c (trong ®ã x lµ biÕn, a,b,c  �, a 0 ). Chó ý: NÕu c = 0 th× hµm bËc hai cã d¹ng y = ax2 + bx ( a  0 ) NÕu b = 0 vµ c = 0 th× hµm bËc hai cã d¹ng y = ax2 ( a  0 ) 3) Kh¸i niÖm hµm ®ång biÕn vµ hµm nghÞch biÕn. Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh víi mäi x  �. Víi x1, x2 bÊt k× thuéc R a) NÕu gi¸ trÞ cña biÕn x t¨ng lªn mµ gi¸ trÞ t¬ng øng f(x) còng t¨ng lªn th× hµm sè y = f(x) ®îc gäi lµ hµm ®ång biÕn. NÕu x1  x2 m� f(x1 ) < f(x2 ) th× hµm sè y = f(x) ®ång biÕn trªn R b) NÕu gi¸ trÞ cña biÕn x t¨ng lªn mµ gi¸ trÞ t¬ng øng f(x) gi¶m ®i th× hµm sè y = f(x) ®îc gäi lµ hµm nghÞch biÕn. NÕu x1  x2 m� f(x1 ) > f(x2 ) th× hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn /R 4) DÊu hiÖu nhËn biÕt hµm ®ång biÕn vµ hµm nghÞch biÕn. a) Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b ( a  0 ). - NÕu a > 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n ®ång biÕn trªn �. - NÕu a < 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n nghÞch biÕn trªn �. b) Hµm bËc hai mét Èn sè y = ax2 ( a  0 ) cã thÓ nhËn biÕt ®ång biÕn vµ nghÞch biÕn theo dÊu hiÖu sau: - NÕu a > 0 th× hµm ®ång biÕn khi x > 0, nghÞch biÕn khi x < 0. - NÕu a < 0 th× hµm ®ång biÕn khi x < 0, nghÞch biÕn khi x > 0. 5) Kh¸i niÖm vÒ ®å thÞ hµm sè. §å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c cÆp gi¸ trÞ t¬ng øng (x; f(x)) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é. Chó ý: D¹ng ®å thÞ: a) Hµm h»ng. §å thÞ cña hµm h»ng y = m (trong §å thÞ cña hµm h»ng x = m (trong ®ã ®ã x lµ biÕn, m  �) lµ mét ®êng y lµ biÕn, m  �) lµ mét th¼ng lu«n song song víi trôc Ox. ®êng th¼ng lu«n song song víi trôc Oy. b) §å thÞ hµm sè y = ax ( a  0 ) lµ mét ®êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp c¸c ®iÓm) lu«n ®i qua gèc to¹ ®é. *) C¸ch vÏ: LÊy mét ®iÓm thuéc ®å thÞ kh¸c O(0 ; 0), ch¼ng h¹n ®iÓm A(1 ; a). Sau ®ã vÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm O(0 ; 0) vµ A(1 ; a) ta ®îc ®å thÞ hµm sè y = ax ( a  0 ) c) §å thÞ hµm sè y = ax + b ( a,b  0 ) lµ mét ®êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp c¸c ®iÓm) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; b) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm ( b , 0). a *) C¸ch vÏ: Cã hai c¸ch vÏ c¬ b¶n +) C¸ch 1: X¸c ®Þnh hai ®iÓm bÊt k× nµo ®ã thuéc ®å thÞ, ch¼ng h¹n nh sau: Cho x = 1 => y = a + b, ta ®îc A(1 ; a + b) Cho x = -1 => y = - a + b, ta ®îc A(-1 ; - a + b) VÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vµ B ta ®îc ®å thÞ hµm sè y = ax + b ( a,b  0 ) +) C¸ch 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc täa ®é, cô thÓ: Cho x = 0 => y = b, ta ®îc M(0 ; b)  Oy d) Cho y = 0 => x =  b , ta ®îc N(  b ; 0)  Ox a a VÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M vµ N ta ®îc ®å thÞ hµm sè y = ax + b ( a,b  0 ) §å thÞ hµm sè y = ax2 ( a  0 ) lµ mét ®êng cong yParabol cã ®Ønh O(0;0). NhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng x O - §å thÞ ë phÝa trªn trôc hoµnh nÕu a > 0. - §å thÞ ë phÝa díi trôc hoµnh nÕu a < 0. a < 0 y a>0 6) *) + + + + *) + x VÞ trÝ t¬ngO ®èi cña hai ®êng th¼ng Hai ®êng th¼ng y = ax + b ( a  0 ) vµ y = a’x + b’ ( a'  0 ) Trïng nhau nÕu a = a’, b = b’. Song song víi nhau nÕu a = a’, b  b’. C¾t nhau nÕu a  a’. Vu«ng gãc nÕu a.a’ = -1 . Hai ®êng th¼ng ax + by = c vµ a’x + b’y = c’ (a, b, c, a’, b’, c’ ≠ 0) Trïng nhau nÕu a  b  c a' b' c' Song song víi nhau nÕu a  b  c a' b' c' + C¾t nhau nÕu a  b a' b' + 7) Gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b ( a  0 ) vµ trôc Ox Gi¶ sö ®êng th¼ng y = ax + b ( a  0 ) c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm A. Gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b ( a  0 ) lµ gãc t¹o bëi tia Ax vµ tia AT (víi T lµ mét ®iÓm thuéc ®êng th¼ng y = ax + b cã tung ®é d¬ng). - NÕu a > 0 th× gãc  t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b víi trôc Ox ®îc tÝnh theo c«ng thøc nh sau: tg  a (cÇn chøng minh míi ®îc dïng). NÕu a < 0 th× gãc  t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b víi trôc Ox ®îc tÝnh - theo c«ng thøc nh sau:   1800   víi tg  a (cÇn chøng minh míi ®îc dïng). y y T T (a < 0) (a > 0) A   O x A O Ph©n d¹ng bµi tËp chi tiÕt D¹ng 1: NhËn biÕt hµm sè D¹ng 2: TÝnh gi¸ trÞ cña hµm sè, biÕn sè. D¹ng 3: Hµm sè ®ång biÕn, hµm sè nghÞch biÕn. a) Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b ( a  0 ). - NÕu a > 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n ®ång biÕn trªn �. - NÕu a < 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n nghÞch biÕn trªn �.  x b) Hµm bËc hai mét Èn sè y = ax 2 ( a  0 ) cã thÓ nhËn biÕt ®ång biÕn vµ nghÞch biÕn theo dÊu hiÖu sau: - NÕu a > 0 th× hµm ®ång biÕn khi x > 0, nghÞch biÕn khi x < 0. - NÕu a < 0 th× hµm ®ång biÕn khi x < 0, nghÞch biÕn khi x > 0. D¹ng 4: VÏ ®å thÞ hµm sè §å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c cÆp gi¸ trÞ t¬ng øng (x; f(x)) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é. Chó ý: D¹ng ®å thÞ: a) Hµm h»ng. §å thÞ cña hµm h»ng y = m (trong §å thÞ cña hµm h»ng x = m (trong ®ã ®ã x lµ biÕn, m  �) lµ mét ®êng y lµ biÕn, m  �) lµ mét th¼ng lu«n song song víi trôc Ox. ®êng th¼ng lu«n song song víi trôc Oy. b) §å thÞ hµm sè y = ax ( a  0 ) lµ mét ®êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp c¸c ®iÓm) lu«n ®i qua gèc to¹ ®é. *) C¸ch vÏ: LÊy mét ®iÓm thuéc ®å thÞ kh¸c O(0 ; 0), ch¼ng h¹n ®iÓm A(1 ; a). Sau ®ã vÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm O(0 ; 0) vµ A(1 ; a) ta ®îc ®å thÞ hµm sè y = ax ( a  0 ) c) §å thÞ hµm sè y = ax + b ( a,b  0 ) lµ mét ®êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp c¸c ®iÓm) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; b) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm ( b , 0). a *) C¸ch vÏ: Cã hai c¸ch vÏ c¬ b¶n +) C¸ch 1: X¸c ®Þnh hai ®iÓm bÊt k× nµo ®ã thuéc ®å thÞ, ch¼ng h¹n nh sau: Cho x = 1 => y = a + b, ta ®îc A(1 ; a + b) Cho x = -1 => y = - a + b, ta ®îc A(-1 ; - a + b) VÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vµ B ta ®îc ®å thÞ hµm sè y = ax + b ( a,b  0 ) +) C¸ch 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc täa ®é, cô thÓ: Cho x = 0 => y = b, ta ®îc M(0 ; b)  Oy d) Cho y = 0 => x =  b , ta ®îc N(  b ; 0)  Ox a a VÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M vµ N ta ®îc ®å thÞ hµm sè y = ax + b ( a,b  0 ) §å thÞ hµm sè y = ax2 ( a  0 ) lµ mét ®êng cong Parabol cã ®Ønh O(0;0). NhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng - §å thÞ ë phÝa trªn trôc hoµnh nÕu a > 0. - §å thÞ ë phÝa díi trôc hoµnh nÕu a < 0. y y O a>0 x a<0 x O D¹ng 5: §iÓm thuéc vµ kh«ng thuéc ®å thÞ hµm sè. *) §iÓm thuéc ®êng th¼ng. - §iÓm A(xA; yA)  (d): y = ax + b (a  0) khi vµ chØ khi yA = axA + b - §iÓm B(xB; yB)  (d): y = ax + b (a  0) khi vµ chØ khi yB= axB + b *) §iÓm thuéc Parabol : Cho (P) y = ax2 ( a  0 ) - §iÓm A(x0; y0)  (P)  y0 = ax02. - §iÓm B(x1; y1)  (P)  y1  ax12. D¹ng 6: X¸c ®Þnh hµm sè D¹ng 7: X¸c ®Þnh ®iÓm cè ®Þnh cña hµm sè *) Ph¬ng ph¸p: §Ó t×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®êng th¼ng y = ax + b ( a  0 ; a,b cã chøa tham sè) lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m, ta lµm nh sau:  Bíc 1: Gäi ®iÓm cè ®Þnh lµ A(x0; y0) mµ ®êng th¼ng y = ax + b lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m  Bíc 2: Thay x = x0; y = y0 vµo hµm sè ®îc y0 = ax0 + b, ta biÕn ®æi vÒ d¹ng <=> A( x0 ,y0 ).m  B( x0 ,y0 )  0 , ®¼ng thøc nµy lu«n ®óng víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m hay ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm m  Bíc 3: §Æt ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm.  A(x 0 ,y 0 )  0 )  B(x 0 ,y 0 )  0 ( A( x0 ,y0 ).m  B( x0 ,y0 )  0 , cã v« sè nghiÖm   D¹ng 8: T×m giao ®iÓm cña hai ®å thÞ 8.1: T×m giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng. Giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2 y  a xb 1 1 Lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh  y  a x  b  2 2 8.2: T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña Parabol víi ®êng th¼ng. Cho (P) : y = ax2 (a  0) vµ (d) : y = mx + n.  XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm ax2 = mx + n.  Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m x.  Thay gi¸ trÞ x võa t×m ®îc vµo hµm sè y = ax2 hoÆc y = mx + n ta t×m ®îc y. + Gi¸ trÞ cña x t×m ®îc lµ hoµnh ®é giao ®iÓm. + Gi¸ trÞ cña y t×m ®îc lµ tung ®é giao ®iÓm. 8.3: T×m sè giao ®iÓm cña ®êng th¼ng vµ Parabol. Cho (P) : y = ax2 (a  0) vµ (d) : y = mx + n. XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm ax2 = mx + n. (*) + Ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm (  < 0)  (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung. + Ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp (  = 0)  (d) tiÕp xóc víi (P). + Ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt (  > 0 hoÆc ac < 0)  (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. 8.4: T×m gi¸ trÞ cña mét tham sè khi biÕt giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng. 8.5: T×m gi¸ trÞ cña 2 tham sè khi biÕt giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng. 8.6: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt sè giao ®iÓm cña Parabol vµ ®êng th¼ng. Cho (d) : y = ax + b vµ (P): y = a’x2 (a’  0)(a’, a, b cã chøa tham sè) XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm a’x2 = ax + b. (*) + (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung  Ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm (  < 0) + (d) tiÕp xóc víi (P)  Ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp (  = 0). NghiÖm kÐp lµ hoµnh ®é ®iÓm tiÕp xóc + (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt  Ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt (  > 0 hoÆc ac < 0). Hai nghiÖm ®ã lµ hoµnh ®é cña hai giao ®iÓm 8.7: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt to¹ ®é giao ®iÓm cña Parabol vµ ®êng th¼ng. Cho (d): y = ax + b vµ (P): y = a’x2 (a’  0) (a’, a, b cã chøa tham sè) T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó (d) vµ (P) c¾t nhau t¹i A(xA; yA). C¸ch lµm: Thay täa ®é cña A vµo hµm sè cña (d); (P) ®Ó t×m gi¸ trÞ cña tham sè. Dang 9: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm 9.1: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A(xA; yA) vµ B(xB; yB) trong ®ã xA  xB vµ yA  yB. Ph¬ng ph¸p: Gäi ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) cÇn lËp ®i qua A vµ B cã d¹ng y = ax + b (a  0). Do A (d) thay x = xA; y = yA vµo y = ax + b ta cã yA = axA + b (1) Do B (d) thay x = xB; y = yB vµo y = ax + b ta cã yB = axB + b (2)  y A  ax A  b  yB  ax B  b Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:  Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh nµy t×m ®îc a, b vµ suy ra ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) cÇn lËp 9.2: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua M(x0 ; y0) vµ cã hÖ sè gãc lµ k.  Bíc 1: Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cã hÖ sè gãc k cã d¹ng y = kx + b  Bíc 2: §êng th¼ng nµy ®i qua M(x0 ; y0) => y0  kx0  b => b  y0  kx0  Bíc 3: Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cÇn t×m lµ y = kx  y0  kx 0 9.3: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A(m; yA) vµ B(m; yB) trong ®ã yA  yB. Ph¬ng ph¸p: Do A(m; yA)  (d): x = m; Do B(m; yB)  (d) : x = m; VËy ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cÇn lËp lµ: (d): x = m 9.4: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A(xA; n) vµ B(xB; n) trong ®ã xA  xB. Ph¬ng ph¸p: Do A(xA; n)  (d): y = n; Do B(xB; n)  (d) : y = n; VËy ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cÇn lËp lµ: (d): y = n 10 9.5: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(xA ; yA) vµ tiÕp xóc víi ®êng cong y  ax2 (a  0)  Bíc 1: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cÇn lËp lµ y = a’x + b’  Bíc 2: §êng th¼ng nµy tiÕp xóc víi ®êng cong y  ax2 (a  0 ) khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm ax2  a 'x  b' cã nghiÖm kÐp. Ta cho   0 , t×m ra mét hÖ thøc gi÷a a’ vµ b’ (1)  Bíc 3: §êng th¼ng ®i qua A(xA ; yA) => y A  a 'x A  b' (2)  Bíc 4: Tõ (1) vµ (2) ta cã mét hÖ ph¬ng tr×nh hai Èn lµ a’ vµ b’. Gi¶i hÖ t×m ®îc a’ vµ b’ => ph¬ng tr×nh cÇn lËp 9.6: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cã hÖ sè gãc lµ k vµ tiÕp xóc víi ®êng cong 2 y  ax (a  0 )  Bíc 1: Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cÇn t×m gi¶ sö lµ y = ax + b V× ®êng th¼ng cã hÖ sè gãc lµ k nªn a = k => y = kx + b  Bíc 2: §êng th¼ng y = kx + b tiÕp xóc víi ®êng cong y  ax2 (a  0) <=> ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm 2 2 kx  b  ax  ax  kx  b  0 cã nghiÖm kÐp Cho   0(  '  0) => b = ?  Bíc 3: Tr¶ lêi D¹ng 10: Ba ®iÓm th¼ng hµng 10.1: Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng.  Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm.  Bíc 2: Chøng minh ®iÓm cßn l¹i thuéc ®êng th¼ng võa lËp. 10.2: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ba ®iÓm th¼ng hµng.  Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cã to¹ ®é ®¬n gi¶n nhÊt.  Bíc 2: Thay to¹ ®é cña ®iÓm cßn l¹i vµo ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng võa lËp. Gi¶i ph¬ng tr×nh vµ t×m tham sè. D¹ng 11: Ba ®êng th¼ng ®ång qui 11.1: Chøng minh ba ®êng th¼ng ®ång qui.  Bíc 1: T×m giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng.  Bíc 2: Chøng minh giao ®iÓm ®ã thuéc ®êng th¼ng cßn l¹i. 11.2: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ba ®êng th¼ng ®ång qui.  Bíc 1: T×m giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng ®¬n gi¶n nhÊt.  Bíc 2: Thay to¹ ®é giao ®iÓm trªn vµo ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cßn l¹i. Gi¶i ph¬ng tr×nh vµ t×m tham sè. D¹ng 12: VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®å thÞ cña hai hµm sè 12.1: VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®å thÞ cña hai hµm sè bËc nhÊt Cho hai ®êng th¼ng : (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2 +) (d1) c¾t (d2)  a1  a2 +) (d1) // (d2)  a1 = a2 +) (d1)  (d2)  a1 = a2 vµ b1 = b2 +) (d1)  (d2)  a1.a2 = -1 (ph¶i chøng minh míi ®îc dïng) 12.2: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hai ®êng th¼ng c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung. Cho (d1): y = a1x + b1 vµ (d2): y = a2x + b2 a  a (1) §Ó (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung th×  1 2 b1  b2 (2) Gi¶i (1) Gi¶i (2) vµ chän nh÷ng gi¸ trÞ tho¶ m·n (1). 12.3: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hai ®êng th¼ng c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoµnh. Cho (d1): y = a1x + b1 vµ (d2): y = a2x + b2 11  a1  a2 (1)  §Ó (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoµnh th×  b1 b2 (2)  a  a  1 2 Lu ý: ChØ nªn ¸p dông khi hai ph¬ng tr×nh ®Òu chøa tham sè. D¹ng 13: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®êng th¼ng y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é Ox, Oy t¹o thµnh mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng c  Bíc 1: §Ó ®å thÞ hµm sè y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é t¹o thµnh mét tam gi¸c th× ta cã ®iÒu kiÖn cÇn lµ: a  0,b  0 => ®iÒu kiÖn cña m  Bíc 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi hai trôc täa ®é; gi¶ sö A vµ B lÇn lît lµ giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung vµ trôc hoµnh A(0 ; b) vµ B(  b ;0 ) ð a  Bíc 3: XÐt tam gi¸c vu«ng OAB cã SOAB = 1 OA.OB  1  b .  b  c 2 2 a => m = ? (kiÓm tra víi ®iÒu kiÖn ë bíc 1) D¹ng 14: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®êng th¼ng y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é Ox, Oy t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n C¸ch 1:  Bíc 1: §Ó ®å thÞ hµm sè y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é t¹o thµnh mét tam gi¸c th× ta cã ®iÒu kiÖn cÇn lµ: a  0, b  0 => ®iÒu kiÖn cña m  Bíc 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi hai trôc täa ®é; gi¶ sö A vµ B lÇn lît lµ giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung vµ trôc hoµnh A(0 ; b) vµ B(  b ;0 ) ð a  Bíc 3: Tam gi¸c OAB c©n <=> OA = OB <=> b   b (*) a Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) ta t×m ®îc gi¸ trÞ cña m (kiÓm tra ®iÒu kiÖn ë bíc1) C¸ch 2: §å thÞ hµm sè c¾t hai trôc täa ®é t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n khi vµ chØ khi ®êng th¼ng y = ax + b song song víi ®êng th¼ng y = x hoÆc song song víi ®êng th¼ng y = - x D¹ng 15: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng ax + by = c vµ a–x + b–y = c– n»m trong c¸c gãc phÇn t cña hÖ trôc täa ®é.  Bíc 1: T×m täa ®é giao ®iÓm A(x ; y) cña hai ®êng th¼ng, chÝnh lµ nghiÖm  ax  by  c  a 'x  b'y  c' cña hÖ ph¬ng tr×nh:   Bíc 2: x  0 y  0 +) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø I th× ®iÒu kiÖn lµ:  x  0 y  0 +) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø II th× ®iÒu kiÖn lµ:  x  0 y  0 +) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø III th× ®iÒu kiÖn lµ:  x  0 y  0 +) NÕu A n»m trong gãc phÇn t thø IV th× ®iÒu kiÖn lµ:   Bíc 3: T×m m = ? D¹ng 16: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ tham sè ®Ó ®a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc 0 12 A  0 B  0  Bíc 1: §a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc 0 <=>   Bíc 2: Gi¶i hÖ nµy t×m ®îc gi¸ trÞ cña tham sè V - C¸c d¹ng to¸n vÒ hÖ ph¬ng tr×nh LÝ thuyÕt chung 1. §Þnh nghÜa: HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã d¹ng tæng qu¸t lµ:  ax  by  c (I)  (trong ®ã a, b, c, a’ , b’, c’ cã thÓ chøa tham sè)  a' x  b' y  c ' 2. §Þnh nghÜa nghiÖm, tËp nghiÖm - NghiÖm (x0 ; y0) cña hÖ (I) lµ nghiÖm chung cña hai ph¬ng tr×nh trong hÖ - NÕu hai ph¬ng tr×nh trong hÖ kh«ng cã nghiÖm chung th× hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh lµ t×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm (t×m tËp nghiÖm) cña nã. *) §iÒu kiÖn ®Ó hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã nghiÖm duy nhÊt, cã v« sè nghiÖm, v« nghiÖm.  ax  by  c (a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)  a' x  b' y  c '  a b c + HÖ cã v« sè nghiÖm nÕu   a' b' c ' a b c + HÖ v« nghiÖm nÕu   a' b' c ' a b + HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu  a' b ' + §iÒu kiÖn cÇn ®Ó hÖ v« nghiÖm hoÆc v« sè nghiÖm lµ ab’ – a’b = 0 3. C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn .  ax  by  c   a' x  b' y  c ' a) Ph¬ng ph¸p céng ®¹i sè. *) C¸ch gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p céng ®¹i sè  Bíc1: Nh©n hai vÕ cña mçi ph¬ng tr×nh víi mét sè thÝch hîp (nÕu cÇn) sao cho c¸c hÖ sè cña mét Èn nµo ®ã trong hai ph¬ng tr×nh cña hÖ b»ng nhau hoÆc ®èi nhau.  Bíc 2: ¸p dông quy t¾c céng ®¹i sè ®Ó ®îc hÖ ph¬ng tr×nh míi, trong ®ã cã mét ph¬ng tr×nh mµ hÖ sè cña mét trong hai Èn b»ng 0 (tøc lµ ph¬ng tr×nh mét Èn)  Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa thu ®îc, råi suy ra nghiÖm cña hÖ ®· cho *) Tæng qu¸t:  ax  by  c (b  b')y  c  c ' + NÕu cã     ax  b' y  c '  ax  b' y  c '  ax  by  c (b  b')y  c  c ' + NÕu cã     ax  b' y  c '  ax  b' y  c '  ax  by  c k.ax  kby  kc (kb  b ')y  k.c  c ' + NÕu cã      k.ax  b' y  c ' k.ax  b' y  c '  ax  by  c b) Ph¬ng ph¸p thÕ. 13 *) C¸ch gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ  Bíc 1: Dïng quy t¾c thÕ biÕn ®æi hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho ®Ó ®îc mét hÖ ph¬ng tr×nh míi, trong ®ã cã mét ph¬ng tr×nh mét Èn  Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa cã, råi suy ra nghiÖm cña hÖ ®· cho *) Tæng qu¸t: a c  y   x  a c    ax  by  c b b y   x    b b     a' x  b' y  c ' a ' x  b '  a x  c   c '  a' x  b' y  c '  b  b   c) Ph¬ng ph¸p ®å thÞ - VÏ hai ®êng th¼ng biÓu diÔn hai tËp nghiÖm cña hai ph¬ng tr×nh trong hÖ - Dùa vµo ®å thÞ, xÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng +) NÕu hai ®êng th¼ng c¾t nhau th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt, dùa vµo ®å thÞ ®o¸n nhËn nghiÖm duy nhÊt ®ã, sau ®ã thö l¹i vµ kÕt luËn nghiÖm cña hÖ +) NÕu hai ®êng th¼ng song song th× hÖ v« nghiÖm +) NÕu hai ®êng th¼ng trïng nhau th× hÖ cã v« sè nghiÖm Chó ý: Cã thÓ ®Æt Èn phô tríc khi ¸p dông c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i hÖ: (¸p dông cho c¸c hÖ ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu, díi dÊu c¨n bËc hai.) Ph©n d¹ng bµi tËp chi tiÕt D¹ng 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè D¹ng 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi biÕt gi¸ trÞ cña tham sè Ph¬ng ph¸p:  Bíc 1: Thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo hÖ ph¬ng tr×nh  Bíc 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè võa thu ®îc. D¹ng 3: Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè - Dïng ph¬ng ph¸p céng hoÆc thÕ ®Ó t×m x theo tham sè m (hoÆc y theo tham sè m), lµm xuÊt hiÖn ph¬ng tr×nh cã d¹ng : Ax = B (1) (hoÆc Ay = B)  NÕu A = 0 th× ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 0x = B. +) Khi B = 0 th× ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 0x = 0  ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm => hÖ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm +) Khi B  0 ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm => hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm  NÕu A  0 th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt B A  x B  A => hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt   y  y(m ) D¹ng 4: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt, v« nghiÖm, v« sè nghiÖm. *) §iÒu kiÖn ®Ó hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã nghiÖm duy nhÊt, cã v« sè nghiÖm, v« nghiÖm.  ax  by  c (a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)  a' x  b' y  c '  a b c   a' b ' c ' a b c + HÖ v« nghiÖm nÕu   a' b' c ' + HÖ cã v« sè nghiÖm nÕu 14 + HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu a b  a' b' D¹ng 5: T×m gi¸ trÞ tham sè khi biÕt dÊu cña nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh D¹ng 6: T×m gi¸ tham sè khi biÕt nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh 6.1: T×m mét gi¸ trÞ tham sè khi biÕt nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh. (1)  ax  by  c Cho hÖ ph¬ng tr×nh :   ax  by  c  (2)  x  x0 T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm   y  y0 C¸ch 1: Thay x = x0; y = y0 lÇn lît vµo (1) vµ gi¶i. Thay x = x0; y = y0 lÇn lît vµo (2) vµ gi¶i. C¸ch 2: Thay x = x0; y = y0 vµo c¶ hai ph¬ng tr×nh vµ gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè 6.2: T×m hai gi¸ trÞ tham sè khi biÕt nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh.  ax  by  c  ax  by  c Cho hÖ ph¬ng tr×nh:   x  x0 cã nghiÖm   y  y0  Bíc 1: Thay x = x0; y = y0 vµo c¶ hai ph¬ng tr×nh cña hÖ ph¬ng tr×nh ta ®îc  ax 0  by 0  c   ax0  by0  c  Bíc 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè. D¹ng 7: T×m gi¸ trÞ tham sè khi biÕt hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y. (1)  ax  by  c (I)  ax  by  c (2) Cho hÖ ph¬ng tr×nh :  Cã nghiÖm (x; y) tho¶ m·n: px + qy = d (3)  Bíc 1: Tríc hÕt cÇn t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó hÖ (I) cã nghiÖm duy nhÊt  Bíc 2: Do (x; y) lµ nghiÖm cña hÖ (I) vµ tho¶ m·n (3)  (x; y) lµ nghiÖm cña (1), (2), (3). KÕt hîp 2 ph¬ng tr×nh ®¬n gi¶n nhÊt ®Ó ®îc mét hÖ ph¬ng tr×nh => Gi¶i hÖ t×m nghiÖm thay vµo ph¬ng tr×nh cßn l¹i  Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè D¹ng 8: T×m gi¸ trÞ tham sè m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt (x 0 ; y0) lµ nh÷ng sè nguyªn  Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt  Bíc 2: Ph©n tÝch x0 ; y0 díi d¹ng b v�i a, b  Z A(m ) d y0  c  v�i c, d  Z B(m ) b  x  Z   Z  A(m )  � ( b)  0 A(m )  m  ?  d  Z  B(m )  � (d )  y0  Z  B(m )  x0  a  *) §Æc biÖt nÕu : b v�i a, b  Z A(m ) d y0  c  v�i c, d  Z A(m ) x0  a  15 => x0 ,y0  Z  A(m )  � C( b,d )  m  ? D¹ng 9: T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ó biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x, y lµ P(x,y) = ax2 + bx + c nhËn gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt. C¸ch 1:  Bíc 1: Tríc hÕt t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt  Bíc 2: BiÕn ®æi biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y lµ: P(x,y) = kA2(x) + d (d lµ h»ng sè). 2  k < 0  kA (x)  0  kA2(x) + d  d  P(x,y)  d Gi¸ trÞ lín nhÊt cña P(x,y) b»ng d ®¹t ®îc khi A(x) = 0.  k > 0  kA2(x)  0  kA2(x) + d  d  P(x,y)  d Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P(x,y) b»ng d ®¹t ®îc khi A(x) = 0. C¸ch 2: P(x,y) = ax2 + bx + c  ax2 + bx + c – P(x,y) = 0  Bíc 1: TÝnh  hoÆc  ' .  Bíc 2: §Æt ®iÒu kiÖn   0 (  '  0)  Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh chøa Èn P(x,y).  P(x,y)  e  Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P(x,y) b»ng e ®¹t ®îc khi  =' = 0  x  b b ' = . a 2a  P(x,y)  e  Gi¸ trÞ lín nhÊt cña P(x,y) b»ng e ®¹t ®îc khi b b' =  =' = 0  x  2a a D¹ng 10: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo tham sè 1. Ph¬ng ph¸p:  ax  by  c trong ®ã a, b, c, a’, b’, c’ chøa tham sè a ' x  b ' y  c ' Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  m. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo tham sè m ? *) C¸ch 1:  Bíc 1: Tõ mét ph¬ng tr×nh cña hÖ ta rót m theo x vµ y lµ m = A(x,y)  Bíc 2: Thay m = A(x,y) vµo ph¬ng tr×nh thø hai cña hÖ ta ®îc hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo tham sè m *) C¸ch 2: Sö dông ®èi víi hÖ ph¬ng tr×nh cã tham sè m díi d¹ng bËc nhÊt  ax  by  c  m  A( x, y )   a ' x  b ' y  c '  m  B( x, y )  Bíc 1: Tõ hÖ ph¬ng tr×nh   Bíc 2: Cho A(x,y) = B(x,y). §©y lµ hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo tham sè m Lu ý: Ta cÇn rót gän c¸c hÖ thøc sao cho ng¾n gän, ®¬n gi¶n nhÊt D¹ng 11: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hai hÖ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng - Hai hÖ ph¬ng tr×nh ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nÕu chóng cã cïng mét tËp nghiÖm (tøc lµ mäi nghiÖm cña hÖ nµy ®Òu lµ nghiÖm cña hÖ kia vµ ngîc l¹i) D¹ng 12: Gi¶i hÖ phư¬ng tr×nh theo ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô vµ gi¶i mét sè hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng ë d¹ng hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn (hÖ ®Æc biÖt) VI – Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn PhÇn I: Ph¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè 16 I. §Þnh nghÜa: Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn (nãi gän lµ ph¬ng tr×nh bËc hai) lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax2  bx  c  0 ( a  0) Trong ®ã: x lµ Èn; a, b, c lµ nh÷ng sè cho tríc gäi lµ c¸c hÖ sè II. Ph©n lo¹i. 1. Ph¬ng tr×nh khuyÕt c: ax2 + bx = 0 (a  0) Ph¬ng ph¸p gi¶i: ax2 + bx = 0 (a, b  0)  x(ax + b) = 0  x  0  x  b  a b a 2. Ph¬ng tr×nh khuyÕt b: ax2 + c = 0 (a, c  0) Ph¬ng ph¸p gi¶i: ax2 + c = 0 (a  0) c  x2  a +) c NÕu < 0  Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. a +) c NÕu > 0  Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 0; x2 = x1  c ; c x2   a a 3. Ph¬ng tr×nh bËc hai ®Çy ®ñ: ax2 + bx + c = 0 (a , b, c  0) *) C«ng thøc nghiÖm:  = b2 - 4ac +)  < 0  Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm +)  > 0  ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = b   ; x2 = b   2a 2a +)  = 0  Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 = b 2a * ) C«ng thøc nghiÖm thu gän NÕu b = 2b’ (b’ = b ) ta cã : ’ = b’2 - ac 2 + NÕu ’ > 0  ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ : x1  b '  ' b '  ' ; x2  a a + NÕu ’ = 0  ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = b ' a + NÕu ’ < 0  ph¬ng tr×nh v« nghiÖm PhÇn II – C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh chøa tham sè D¹ng 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh khi biÕt gi¸ trÞ cña tham sè Thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo ph¬ng tr×nh vµ gi¶i ph¬ng tr×nh D¹ng 2: Gi¶i vµ biÖn ph¬ng tr×nh theo tham sè Tæng qu¸t:  Víi a = 0: Ph¬ng tr×nh trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc nhÊt bx + c = 0. + NÕu b  0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = c b 17 + NÕu b = 0 vµ c  0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. + NÕu b = 0 vµ c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm.  Víi a  0 ph¬ng tr×nh trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc hai cã biÖt sè:  = b2 – 4ac ( hay  ’ = b’2 – ac) + NÕu  < 0 (  ’ < 0) th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. + NÕu  = 0 (  ’ = 0) th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : x1 = x2 = - b =  b ' 2a a + NÕu  > 0 (  ’ > 0) th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = b    b'  ' ; x2 = b    b'  ' 2a a 2a a D¹ng 3: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm - XÐt hai trêng hîp cña hÖ sè a:  Trêng hîp 1: a = 0, ta t×m ®îc mét vµi gi¸ trÞ cña m, sau ®ã thay trùc tiÕp vµo ph¬ng tr×nh råi kÕt luËn víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm  Trêng hîp 2: a ≠ 0, ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã nghiÖm <=>   0   '  0 D¹ng 4: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã hai nghiÖm ph©n biÖt  a 0 <=>     0(  '  0) D¹ng 5: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp  a 0 Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn cã nghiÖm kÐp <=>     0(  '  0) D¹ng 6: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - XÐt hai trêng hîp cña hÖ sè a:  Trêng hîp 1: a = 0, ta t×m ®îc mét vµi gi¸ trÞ cña m, sau ®ã thay trùc tiÕp vµo ph¬ng tr×nh råi kÕt luËn víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm  Trêng hîp 2: a ≠ 0, ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn v« nghiÖm <=>   0   '  0  D¹ng 7: Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt §Ó chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a 0  C¸ch 1: Chøng minh:   ac  0 a  0  C¸ch 2: Chøng minh:    0 Chó ý: Cho tam thøc bËc hai  = am2  bm  c  a  0 2  m  b  4ac  0 §Ó chøng minh   0, m ta cÇn chøng minh  D¹ng 8: T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu, tr¸i dÊu, cã hai nghiÖm d¬ng, cã hai nghiÖm ©m, cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt, cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt, cã hai nghiÖm lµ hai sè ®èi nhau, cã hai nghiÖm lµ hai sè nghÞch ®¶o cña nhau 18 Cho ph¬ng tr×nh ax2  bx  c  0 ; trong ®ã a, b, c chøa tham sè S  x  x   b 1 2  a Theo ®Þnh lÝ Vi - Ðt, ta cã :   P  x1 x2  c a  a  0 a 0   a) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu <=>    0 hoÆc    0 P  0  ac  0   a  0 a 0 b) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu <=>  hoÆc  P  0  ac  0 a  0   0  c) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d¬ng <=>  P  0  S  0 a  0   0  d) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m <=>  P  0  S  0 a  0   0  e) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt <=>  P  0  S  0 a  0   0  f) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt <=>  P  0  S  0 g) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ hai sè ®èi nhau   a 0  <=>    0  b 0  S  x1  x2   a  h) Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ hai sè nghÞch ®¶o cña nhau  a 0  <=>    0  c 1  P  x1 x2  a  D¹ng 9: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm 19  Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm.  Bíc 2: TÝnh x1 + x1 = b c vµ x1.x1 = a a  Bíc 3: BiÓu thÞ ®îc c¸c biÓu thøc theo x1 + x1 vµ x1.x1 ; sau ®ã thay gi¸ trÞ cña x1 + x1 vµ x1.x1 vµo ®Ó tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. Chó ý: a2  b2  (a  b)2  2ab a3  b3  (a  b)3  3ab(a  b) (a  b)2  (a  b)2  4ab ( a  b)2  (a  b)  2 a.b a4  b4  (a2  b2 )2  2a2b2 (a,b  0) a3  b3  a a  b b  ( a  b)(a  ab  b) (a,b  0) D¹ng 10: T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tháa m·n mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: 1  1 n a)  x1   x2   b) c) x12  x22  k d) x13  x23  t , x1 x2 .... ...............  Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2. Gi¶i a  0 hÖ §K:  => m = ?   0 S  x  x   b 1 2  a  Bíc 2: Theo hÖ thøc Vi – Ðt, ta cã:   P  x1 x2  c a   Bíc 3: BiÕn ®æi ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi (lµ mét ®¼ng thøc hoÆc bÊt ®¼ng thøc) ®Ó cã tæng vµ tÝch hai nghiÖm, sau ®ã thay tæng vµ tÝch hai nghiÖm cã ®îc ë bíc 2 vµo ®iÒu kiÖn võa biÕn ®æi; tõ ®ã gi¶i ph¬ng tr×nh hoÆc bÊt ph¬ng tr×nh víi biÕn lµ tham sè ®Ó t×m gi¸ trÞ cña tham sè. TiÕp theo kiÓm tra xem c¸c gi¸ trÞ tham sè t×m ®îc cã tháa m·n hÖ ®iÒu kiÖn ë bíc 1 hay kh«ng ? HoÆc cã bµi to¸n ta kÕt hîp ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi víi mét hÖ thøc Vi - Ðt ®Ó t×m hai nghiÖm x1, x2 (gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi hai Èn lµ x1, x2); sau ®ã ta thay x1, x2 vµo hÖ thøc Vi – Ðt cßn l¹i ®Ó t×m tham sè. D¹ng 11: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = x1. T×m nghiÖm cßn l¹i  Bíc 1: Thay x = x1 vµo ph¬ng tr×nh, ta cã: ax12  bx1  c  0  m  ?  Bíc 2: §Ó t×m nghiÖm cßn l¹i x2 ta thùc hiÖn theo hai c¸ch: C¸ch 1: Thay gi¸ trÞ cña m vµo ph¬ng tr×nh ban ®Çu. Tõ ®ã cã ph¬ng tr×nh bËc hai vµ gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc x2 C¸ch 2: TÝnh x2 nhê ®Þnh lÝ Vi - Ðt: x2  S  x1 ho�c x2 = P : x1 D¹ng 12: T×m ph¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt tríc hai nghiÖm sè  Trêng hîp 1: Cho tõng nghiÖm x1, x2 . Ta cã ph¬ng tr×nh víi Èn x lµ : ( x  x1 )  x  x2   0  x2  ( x1  x2 ) x  x1 x2  0 20
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan