Tài liệu Nhóm 1 - Vành con

Chương 1 Vành con 1.1 1.1.1 Định nghĩa và các tiêu chuẩn nhận biết Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Cho R là một vành và S là một bộ phận của R ổn định với các phép toán cộng và nhân của vành. S được gọi là vành con của vành R nếu S cùng với phép toán cảm sinh là một vành • Một bộ phận của X được gọi là ổn định đối với phép toán 2 ngôi trong X nếu và chỉ nếu ∀x, y ∈ X, xy ∈ X • Phép toán cảm sinh: Cho H là một tập con của X. Nếu phép toán đại số hai ngôi ω : X × X 7→ X xác định một ánh xạ hạn chế: ω |H : H × H → H thì ta nói bộ phận H ổn định (đối với phép toán đại số 2 ngôi trên X) tức là ∀(a, b) ∈ H × H ta có ω(a, b) ∈ H. Phép toán ω |H được gọi là phép toán cảm sinh trên H bởi phép toán ω của X. Chẳng hạn, phép cộng, phép nhân thông thường trên N là các phép toán cảm sinh trên N bởi các phép cộng, phép nhân thông thường của Z, Q, R, C. Có thể nói ngắn gọn như sau: Cho R là vành và ∅ 6= S ⊂ R, S được gọi là vành con của R nếu: - S ổn định với các phép toán trên R. - S cùng với các phép toán đó cảm sinh là vành 1.1.2 Ví dụ về vành con: Ví dụ 1. Cho R là một vành. Ta luôn luôn có 2 vành con là {0} và R, được gọi là các vành con tầm thường của vành R. Riêng R còn được gọi là vành con không thực sự của vành R. Ví dụ 2. Trong vành Z các số nguyên, lấy bộ phận mZ = {mz |z ∈ Z } với m là số nguyên cho trước thì mZ là vành con của Z. 1 CHƯƠNG 1. VÀNH CON 2 Ví dụ 3. A, B là 2 vành tùy ý. Xét tập hợp tích Đề-Các X = A × B trong tập X ta định nghĩa các phép toán: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)(c, d) = (ac, bd) (1.1) (1.2) Khi đó các bộ phận M = {(m, 0) |m ∈ A } và N = {0, n) |m ∈ B } là những vành con. Để nhận biết một bộ phận của vành có phải là vành con hay không ta có các tiêu chuẩn nhận biết sau đây: 1.2 Định lý Định lý 1.1. Cho S là một bộ phận của vành R. Các điều kiện sau là tương đương: (i) S là vành con của vành R; (ii) S 6= ∅ và ∀x, y ∈ S, x + y ∈ S, −x ∈ S, xy ∈ S; (iii) S 6= ∅ và ∀x, y ∈ S, x − y ∈ S, xy ∈ S Chứng minh: Giả sử S 6= ∅ • (i) ⇒ (ii) S là vành con của R ⇒ ∀x, y ∈ S, x + y ∈ S, xy ∈ S Mặt khác, vì A là vành nên A là nhóm đối với phép cộng nên ∀x ∈ S, −x ∈ S ⇒ ((i) ⇒ (ii)) • (ii) ⇒ (iii) Từ (ii), ta có: ∀x, y ∈ S, −y ∈ S, x + (−y) ∈ S nên x − y ∈ S và xy ∈ S ⇒ ((ii) ⇒ (iii)) • (iii) ⇒ (i) Vì: S 6= ∅ , ∀x, y ∈ S, x − y ∈ S, xy ∈ S ⇒ S là một nhóm con của nhóm cộng R. Ngoài ra, ∀x, y ∈ S, xy ∈ S nên S nên là bộ phận ổn định của nửa nhóm nhân R. Theo định nghĩa của vành và vành con ta có kết luận S là vành con của vành R, vì tính kết hợp của phép nhân và tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng thỏa mãn trên toàn bộ R thì cũng thỏa mãn trong bộ phận S của R. ⇒ ((iii) ⇒ (i)) 1.2.1 Áp dụng định lý: Chứng minh ví dụ (3) trang 2 - Chứng minh M = {(m, 0) |m ∈ A } là vành con của X. + M 6= ∅ vì (0, 0) ∈ M CHƯƠNG 1. VÀNH CON 3 + Giả sử (m, 0) ∈ M, (m0 , 0) ∈ M Ta có: (m, 0) − (m0 , 0) = (m − m0 , 0) ∈ M (m, 0)(m0 , 0) = (mm0 , 0) ∈ M (1.3) (1.4) Thỏa mãn điều kiện (iii) của định lý trên nên ta kết luận M là vành con của X. - Chứng minh N = {(0, n) |n ∈ B } là vành con của X. Tương tự ta có: + N 6= ∅ vì (0, 0) ∈ N + Giả sử (o, n) ∈ N, (o, n0 ) ∈ N Ta có: (0, n) − (0, n0 ) = (0, n − n0 ) ∈ N (0, n)(0, n0 ) = (0, nn0 ) ∈ N (1.5) (1.6) Vậy N cũng thỏa điều kiện (iii) của định lí trên nên ta suy ra N là vành con của X. 1.2.2 Một số ví dụ không phải là vành con: Ví dụ 4. Tập các số tự nhiên N không phải là vành con của tập các số nguyên Z với các phép toán cộng nhân thông thường vì N ⊂ Z nhưng không thỏa điều kiện (ii): 1 ∈ N, −1 ∈ /N Ví dụ 5. Tập M2 các ma trận vuông nhân ma trận trên trường số thực. Bộ  a M= 0 cấp 2 là một vành con với 2 phép toán cộng và phận:   b ∈ M2 |a, b ∈ R 1 không phải là vành con của M   2 vì: a b a0 b 0 ∈ M (X) X= ∈ M (X),Y = 0 1 0 1 Ta có:   a + a0 b + b 0 X +Y = ∈ / M (X) không thỏa điều kiện (ii) 0 2 1.3 Nhận xét: Nhận xét 1.1. Có thể thấy rằng: - Z là vành con của Q - Q là vành con của R - R là vành con của C CHƯƠNG 1. VÀNH CON 4 - M2 (Z) là vành con của M2 (Q) - M2 (Q) là vành con của M2 (R) - M2 (R) là vành con của M2 (C) 1.4 Mệnh đề: (Trang 221 - A first course in abstract algebra - Joseh J. Rotman) Mệnh đề 1.1. A subring S of a commutative ring R is itself a commutative ring (Vành con của một vành giao hoán là một vành giao hoán) Ngược lại không đúng, vành con S giao hoán thì vành R chưa chắc là vành giao hoán    a 0 Ví dụ 6. R = M2 (Q), R không giao hoán S = |a, b ∈ Q là vành con của 0 b R và S giao hoán. 1.5 Chú ý: Chú ý 1.1. Đơn vị của vành R và vành con S của vành R (1) Có thể khác nhau  Ví dụ 7. A = 0, 2, 4 là vành con của vành Z6 (vành các số nguyên đồng dư mod6 với các phép toán cộng nhân đồng dư modun 6). Ta dễ dàng nhận thấy vành Z6 có đơn vị là 1 nhưng A có đơn vị 4 Thật vậy, ta có: 4 × 0 = 0, 4 × 2 = 2, 4 × 4 = 4 (2) Vành R có đơn vị nhưng vành con S không có đơn vị Ví dụ 8. 2Z là vành con của Z. Z có đơn vị là 1 nhưng 2Z không có đơn vị. (3) Vành R không có đơn vị nhưng vành con S có đơn vị.       a b a 0 Ví dụ 9. A = |a, b ∈ Z , B = |a ∈ Z 0 0 0 0   1 0 B là vành con của vành A. Vành A không có đơn vị là 0 0 (4) Vành R và vành con S có đơn vị giống nhau. Ví dụ 10. K là 1 thể (thể là vành 6= {0}, có phần tử đơn vị và trong đó mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch) và B là một vành con 6= {0} của K có phần tử đơn vị 1B . Khi đó 1B = 1k Chứng minh: Vì B 6= {0} nên có b 6= 0 ∈ B và vì 1B .b = b = 1K .b nên 1B = 1k CHƯƠNG 1. VÀNH CON 5 Chú ý 1.2. Vành con của 1 vành có ước của 0 và không có ước của 0 (1) Vành con của vành có ước của 0 có Nếu R là vành có ước của 0  a Ví dụ 11. R = M2 (Q), S = 0 của 0. thể là vành không có ước của 0   0 |a ∈ Q là vành con của R không có ước 0       a 0 b 0 Vì ∀s, t ∈ S và st = 0. Khi đó s = |b ∈ Q , t = |b ∈ Q 0 0     0 0  b 0 0 0 a 0 st = 0 nghĩa là × = điều đó có thể xảy ra nếu a = 0 0 0 0 0 0 0 hoặc b = 0 trong Q có nghĩa là nếu chỉ s = 0 hoặc t = 0 trong S (2) Vành con của một vành không có ước của 0 là vành không có ước của 0. Chứng minh: Nếu R không có ước của 0, khi đó ∀a, b ∈ R, a 6= 0, b 6= 0 ⇒ ab 6= 0 ⇒ a, b ∈ S và a 6= 0, b 6= 0 ⇒ ab 6= 0 ⇒ S không có ước của 0 Chú ý 1.3. Vành con của 1 trường không nhất thiết là một trường Ví dụ 12. Z là vành con của trương Q nhưng Z không là một trường Chú ý 1.4. (Tham khảo bài tập 3 trang 230 trong sách Abstract Algebra, David Dummit, Richard Foote) Ví dụ 13. Let R be a ring with identity and let S be a subring R containing the identity. Prove that if u is a unit in R. Show by example that the converse is false (Cho R là một vành có phần tử đơn vị và S là một 1 vành con của R có chứa phần tử đơn vị. Chứng minh rằng nếu u khả nghịch trong S thì khả nghịch trong R. Cho ví dụ để thấy điều ngược lại không đúng) Chứng minh: Giả sử u khả nghịch trong S. Khi đó ∃v ∈ S sao cho uv = vu = 1 mà S là tập con của R nên v cũng là phần tử ∈ R ⇒ u khả nghịch trong R. Điều ngược lại không đúng, Chẳng hạn: R = Q, S = Z. Z là vành con chứa phần tử đơn vị 1. Ta có: 2 khả nghịch trong Z nhưng không khả nghịch trong Q 1.6 1.6.1 Vành con sinh ra bởi một bộ phận: Bổ đề Bổ đề 1.1. Cho Γ là tập tùy ý nào đó gồm những vành con của vành R. Khi đó: ∩A = {x ∈ R |(∀A ∈ Γ) ⇒ (x ∈ A)} A∈Γ là vành con của R. (Giao của một họ bất kí những vành con của vành R là một vành con của R) CHƯƠNG 1. VÀNH CON 6 Chứng minh: + Nếu Γ = ∅ thì ∩A = R A∈Γ + Nếu Γ 6= ∅. Đặt B = ∩A. Ta có: A∈Γ - B 6= ∅ vì 0 ∈ B do ∀A ∈ Γ, 0 ∈ A ⇒ 0 ⊂ ∩A A∈Γ - ∀x, y ∈ B ⇒ x, y ∈ A, ∀A ∈ Γ(∩A ⊂ A, ∀A ∈ Γ)   A∈Γ xy ∈ A xy ∈ B ⇒ (∀A ∈ Γ) ⇒ x−y ∈A x−y ∈B Vậy theo tiêu chuẩn nhận biết: B là vành con của vành R. 1.6.2 Hệ quả: Hệ quả 1.1. ∩A là vành con lớn nhất của R chứa trong tất cả các vành con A ∈ Γ A∈Γ Chứng minh: (Phản chứng) Giả sử B là vành con của R chứa trong tất cả các vành con A ∈ Γ và B ⊃ ∩A A∈Γ ⇔ ∃x ∈ B : x ∈ / ∩A A∈Γ B chứa trong tất cả các vành con A ∈ γ nên: ∀x ∈ B : x ∈ A, ∀A ∈ Γ ∩A là vành con của R (do bổ đề) ⇒ ∩A ∈ Γ A∈Γ A∈Γ ⇒ ∀x ∈ B : x ∈ ∩A ( trái giả thuyết) A∈Γ ⇒ vô lý Vậy ∩A là vành con lớn nhất của R chứa trong tất cả các vành con A ∈ Γ A∈Γ Ví dụ 14. Ta có: (1) Trong Z, 2Z ∩ 3Z = 6Z là vành con của vành Z (2) ∩pZ = {0}, với p là các số nguyên tố cũng là vành con của vành Z Chú ý 1.5. Trường hợp hợp của các vành con: Cho {Ri }i∈I là một họ vành con của một vành R. Hợp của chúng nói chung không phải là vành con của R. Tuy nhiên nếu ∀i, j ∈ I, ∃k ∈ I sao cho Ri ⊆ Rk và Rj ⊆ Rk thì S = ∪ Ri cũng là i∈i một vành con của R. Ví dụ 15. Ta có: (1) 2Z ∪ 3Z không phải là vành con của vành Z. (2) 2Z ∪ 4Z là vành con của Z. CHƯƠNG 1. VÀNH CON 1.7 7 Định nghĩa vành con của R sinh bởi P: Định nghĩa 1.2. Cho vành R và P là một bộ phận của nó. Xét Γ gồm tất cả các vành con A của R chứa P. Lúc ấy Γ 6= ∅, vì R ∈ Γ. Đặt (P )V = ∩ A. Theo bổ đề 1.1, A∈Γ (P )V là vành con của R chứa P và với mọi vành con A’ của R sao cho P ⊂ A0 . Nói cách khác, (P )V là vành con nhỏ nhất của R chứa P. Ta nói đó là vành con của R sinh bởi P Ví dụ 16. Ta có: • Cho vành R. Lúc đó {0} là vành con nhỏ nhất của R chứa ∅. Kí hiệu: (∅)V = {0} • Cho vành Z. Có thể kiểm chứng được ngay: (1)V = Z • Cho E là vành có đơn vi 1E , R là một vành con của E chứa 1E , x là một phần tử của E sao cho xa = ax∀a ∈ R. Lúc đó, ta kí hiệu R [x] = (R ∪ {x})V là vành con của E sinh bởi R ∪ {x}. Mỗi phần tử của vành R [x] có dạng: n P a0 + a1 x + ... + an xn = ai xi , ai ∈ R i=0 Được gọi là một đa thức theo biến x và có hệ tử trong vành R. Ta kí hiệu P (R, x) là bộ phận của E gồm tất cả các đa thức theo biến x và có hệ tử trong vành con R.Khi đó,ta có R [x] = P (R, x).Thật vậy,nhờ tính chất cảu vành con ta có ngay P (R, x) ⊆ R [x].Để chứng minh chiều ngược lại, ta cần chứng minh rằng P (R, x) là vành con của E chứa R ∪ {x} • R ∪ {x} ⊆ P (R, x) là rõ ràng. P P i • Lấy hai phần tử ni=0 ai xi và m i=0 bi x của P (R, x).Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử m ≤ n và bm+1 = ... = bn = 0.Ta viết: n+m n P Pm P Pn Pm Pn i i i i i b x )= p i xi a x )=( a x + b x = (a + b )x ,( i i i i i i i=0 i=0 i=0 i=0 i=0 i=0 P Trong đó pi = j+k=i ai bk , nên các tổng và tích trên thuộcP (R, x).Ngoài ra, với P P mọi ni=0 ai xi ∈ P (R, x) thì phần tử đối là ni=0 (−ai )xi ∈ P (R, x).Theo định lý (1.1) trang 2,P (R, x) là vành con của E. Khi E = R [x].ta nói E là một vành đa thức theo biến x có hệ tử trong vành R. Ví dụ 17. Tìm vành con của vành(, √ +, .)(với phép cộng và nhân thông thường trên trường các số thực) sinh bởi Z và 2. Giải: √ P =∪ 2 √ *Phải chứng minh:(P ) = {a + b 2|a, b ∈ Z} V √  Đặt A = a + b 2 |a, b ∈ ⊂ R √ + A 6= ∅ vì 0 = 0 + 0 2 ∈ A √ √ √ + ∀x = a + b 2, y = a0 + b0 2 ∈ A.Ta có: x + y = (a + a0 ) + (b + b0 ) 2 ∈ A CHƯƠNG 1. VÀNH CON 8 √ √ √ + ∀x = a + b 2, y = a0 + b0 2 ∈ A.Ta lại có: xy = (aa0 + 2bb0 ) + (ab0 + a0 b) 2 ∈ A. Vậy a là vành con của vành R. √ *Ta chưng minh A là vành con nhỏ nhất√của vành R chứa Z và 2 Giả xử B là vành con của R chứa Z và 2 ⇒ ∀a ∈, a ∈ B  √ √ √  2 + 2 + ... + 2} nếu b < 0  {z |     √ √ √ √b lần √ ∀b ∈, b 2 = (− 2) + (− 2) + ... + (− 2) nếu b < 0 ⇒ b 2 ∈ B | {z }     b lần   0 nếu b = 0 √ ⇒ a + b 2 ∈ B, ∀a, b ∈⇒ A ⊂ B Vậy A là vành con bé nhất của R chứa Z va 1.8 √ √ 2 nên (P )V = {a + b 2|a, b ∈ Z} Bài tập Bài tập 1.1. Cho vành R. Bộ phận Z(R) = {a ∈ R |ax = xa, x ∈ R } được gọi là tâm của vành R. Chứng minh rằng tâm của vành R là một vành con giao hoán. Giải: Trước tiên ta chứng minh Z(R) là vành con + Ta có: eR ∈ R ⇒ eR x = xeR = x eR ∈ R ⇒ eR x = xeR = x ⇒ eR ∈ Z(R) ⇒Z(R) 6= ∅ ax = xa ∀x ∈ R ∀a, b ∈ Z(R) ⇒ bx = xb ∀x ∈ R ⇒ (a + b) ∈ Z(R)  ax = xa ∀x ∈ R + ∀a, b ∈ Z(R) ⇒ bx = xb ∀x ∈ R ⇒ ax − bx = xa − xb, ∀x ∈ R ⇒ (a − b)x = x(a − b), ∀x ∈ R ⇒ (a − b) ∈ Z(R)  ax = xa ∀x ∈ R bx = xb ∀x ∈ R ⇒ (ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = (xa)b = x(ab) Do đó: ab ∈ Z(R) + ∀a, b ∈ Z(R) ⇒ CHƯƠNG 1. VÀNH CON 9 Vậy Z(R) là vành con của vành R. Bây giờ ta chứng minh Z(R) có tính chất giao hoán. Tức là chứng minh ∀a, b ∈ Z(R) thì ab = ba + Vì a ∈ Z(R), b ∈ Z(R) ⇒ b ∈ R Ta có: ab = ba ⇒ Z(R) có tính giao hoán. Vậy tâm của R là một vành con giao hoán. Chú ý 1.6. (Tham khảo sách Ring and Categories of Modules-Anderson trang 17) • R giao hoán ⇔ R = Z(R). • Z(R) • Nếu A ⊂ Z(R) thì vành con của R sinh bởi S nằm trong tâm của R. Bài tập 1.2. Chứng minh mọi vành con khác không cảu một miền nguyên là một miền nguyên. Giải: + A là vành con 6= {0} của miền nguyên M • A 6= {0} • A có tính chất giao hoán Vì ∀x, y ∈ A ⇒ x, y ∈ M mà M là miền nguyên nênxy = yx ⇒ A có tính giao hoán. + A không có ước của 0 ∀x, y ∈ A ⇒ x, y ∈ M vì M là miền nguyên nên M không có ước của 0 x 6= 0, y 6= 0 ⇒ xy 6= 0 ⇒ A không có ước của 0 Vậy A là miền nguyên. Chú ý 1.7. Nếu vành con là một miền nguyên thì vành con chứa nó chưa chắc là miền nguyên. Ví dụ 18. Vành con R là tập tất cả các hàm liên tục từ R → R không là miền nguyên. Vành con R là tập tất cả các hàm hằng.M là một miền nguyên(vì M=R)  0 (x < 0) Thật vậy,cho f (x) = x2 (x ≥ 0) Dễ thấy f (x) 6= 0 vì f (x) 6= 0 g(x) = −1 − x2 6= 0 vì −1 − x2 < 0 Ta có:f g = f (g(x)) = f (−1 − x2 ) = 0 Do đó R có ước của 0 Vậy R không là một miền nguyên. Bài tập 1.3. Let R be a non-trivial ring. Let S be a non-trivial subring of R. If 1 is the unity of R and x is the unity of S where x 6= 1, then x is a zero divisor in R. CHƯƠNG 1. VÀNH CON 10 Giải: Vì x không là đơn vị của R. ⇒ ∃r ∈ S sao cho rx 6= r hoặc xr 6= r Không mất tính tổng quát Giả sử rx 6= r Ta có (rx) x = r (xx) = rx vì x là phần tử đơn vị nên xx = x ⇒ (rx) x − rx = 0 ⇒ (rx − r) x = 0 Vì rx 6= r ⇒ rx − r 6= 0 và x đơn vị ⇒ x 6= 0 ⇒ x là ước của 0 Bài tập 1.4. Cho R= {0, 2, 4, 6, 8} là vành con của vành Z1 0 (vành các số nguyên đồng dư mod 10 với phép toán cộng nhân đồng dư modun 10). Tìm phần tử đơn vị của vành con R và chứng minh rằng nó là duy nhất. Giải: Phần tử đơn vị của vành con R là 6 Kiểm tra: 6×0=0 6×2=2 6×4=4 6×6=6 6×8=8 Do đó 6 × a = a ⇒ 6 là phần tử đơn vị của R. Giả sử a là đơn vị của vành con R thì a2 = a trong R. Phần tử duy nhất trong R thỏa mãn a2 = a mod 10 là 6. Do đó nếu R có đơn vị thì 6 là đơn vị duy nhất. Bài tập 1.5. Chứng minh rằng mZ là vành con của nZ ⇔ n là ước của m Giải: ” ⇒ ” ∀m, n tùy ý, cố định. Giả sử mZ là vành con của nZ ⇒ mZ ⊆ nZ m = m.1 ∈ mZ ⇒ m ∈ nZ (vì mZ ⊆ nZ) ⇒ ∃x ∈ Z ⇒ m = nx ⇒ n là ước của m ” ⇐ ” Giả sử n là ước của m. Khi đó ∃d ∈ Z sao cho: m = dn Lấy x, y ∈ mZ tùy ý, cố định + Vì x ∈ nZ ⇒ ∃b ∈ Z : x = mb Lại có: m = dn ⇒ x = b(dn) = (bd)n ⇒ x ∈ nZ CHƯƠNG 1. VÀNH CON 11 + Với y ∈ nZ ⇒ ∃c ∈ Z : y = mc x − y = mb − mc = m(b − c) ∈ mZ xy = mbmc = (mbc)m ∈ mZ ⇒ mZ là vành con của nZ Bài tập 1.6. Cho ϕ : R → R1 là một đồng cấu vành. Chứng minh Imϕ là vành con của R1 . Giải: + Imϕ 6= ∅  x = ϕ(r) (∀r, s ∈ R) y = ϕ(s) - ⇒ xy = ϕ(r)ϕ(s) = ϕ(rs) (do ϕ đồng cấu) ⇒ xy ∈ Imϕ - x + y = ϕ(r) + ϕ(s) = ϕ(r + s) (do ϕ đồng cấu) ⇒ Imϕ là vành con của R1 + ∀x, y ∈ Imϕ ⇒ Bài tập 1.7. Một phần tử a của vành R được gọi là lũy linh (nilpotent) nếu an = 0 với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng tập tất cả các phần tử lũy linh trong vành giao hoán R là vành con của R. Giải: Ta phải chứng minh: S = {a ∈ R |an = 0, n ∈ N ∗ } là vành con của R. + Vì 01 = 0⇒ 0 ∈ S ⇒ S 6= ∅ an = 0 + ∀a, b ∈ S ∀m, n ∈ N ∗ Giả sử n ≥ m bm = 0 - Vì R là vành giao hoán nên: n n (ab)n = abab...abab | {z } bb...bb | {z } = a b = 0 | {z } = aa...aa n lần n lần n lần ⇒ ab ∈ S - Lấy r ∈ Z : r ≥ n Khi đó: ar−n ∈ R và ar = an ar−n = 0 Tương tự lấy s ∈ Z : s ≥ m Khi đó: bs−m ∈ R và bs = bm bs−m = 0 Do đó: (a − b)n+m m−1 n+1 m−1 m+1 n−1 m+1 1 2 m a b +Cn+m an bm +Cn+m a b + = an+m +Cn+m an+m−1 +Cn+m an+m−2 b2 +...+Cn+m n+m−1 n+m−1 n+m ... + Cn+m ab +b m+1 n−1 n+m−1 m−1 m−1 1 2 m = 0+Cn+m 0b+Cn+m 0b2 +...+Cn+m 0b +Cn+m 0+Cn+m a 0+...+Cn+m a0+0 = 0 ⇒ (a − b)n+m = 0 ⇒ (a − b) ∈ S ⇒ S là vành con của R.