Tài liệu Lý thuyết-bài tập hình học 10 cơ bản- nâng cao (có đáp án)

TRAÀN SÓ TUØNG ---- ›š & ›š ---- BAØI TAÄP OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC Naêm 2014 Trần Sĩ Tùng Vectơ CHƯƠNG I VECTƠ I. VECTƠ 1. Các định nghĩa uuur · Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB . · Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó. uuur · Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB . r · Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0 . · Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. · Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. · Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. r r Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu a , b ,... để biểu diễn vectơ. r + Qui ước: Vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. r Mọi vectơ 0 đều bằng nhau. 2. Các phép toán trên vectơ a) Tổng của hai vectơ uuur uuur uuur · Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB + BC =uuu AC r .uuur uuur · Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB + AD = AC . r r r r r r r r r ( ar + b ) + cr = ar + ( b + cr ) ; · Tính chất: a+b =b+a; a+0=a b) Hiệu của hai vectơ r r r r r r r · Vectơ đối của a là vectơ b sao cho a + b = 0 . Kí hiệu vectơ đối của a là - a . r r · Vectơ đối của 0 là 0 . r r r r · a - b = a + ( -b ) . uuur uuur uuur · Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB - OA = AB . c) Tích của một vectơ với một số r r · Cho vectơ a và số k Î R. ka là một vectơ được xác định như sau: r r r r + ka cùng hướng với a nếu k ³ 0, ka ngược hướng với a nếu k < 0. r r + ka = k . a . r r r r r r r r r · Tính chất: k ( a + b ) = ka + kb ; (k + l)a = ka + la ; k ( la ) = (kl)a r r r r ka = 0 Û k = 0 hoặc a = 0 . r r r r r r · Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a vaø b ( a ¹ 0 ) cuøng phöông Û $k Î R : b = ka uuur uuur · Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng Û $k ¹ 0: AB = k AC . · Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng r r r r r r phương a , b và x tuỳ ý. Khi đó $! m, n Î R: x = ma + nb . Chú ý: · Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: uuur uuur r uuur uuur uuur M là trung điểm của đoạn thẳng AB Û MA + MB = 0 Û OA + OB = 2OM (O tuỳ ý). · Hệ thức trọng tâm tam giác: uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur G là trọng tâm DABC Û GA + GB + GC = 0 Û OA + OB + OC = 3OG (O tuỳ ý). Trang 1 Vectơ Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ r Baøi 1. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0 ) có điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, C, D ? Baøi 2. Cho DABC có A¢, B¢, C¢ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. uuuur uuur uuuur a) Chứng minh: BC¢ = C ¢ A = A¢ B¢ . uuuur uuuur b) Tìm các vectơ bằng B¢C¢ , C¢ A¢ . Baøi 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, uuur uuur uuur uuur BC. Chứng minh: MP = QN ; MQ = PN . Baøi 4. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh: uuur uuur uuur uuur uuur a) AC - AB = AD ; AB + AD = AC . uuur uuur uuur uuur b) Nếu AB + AD = CB - CD thì ABCD là hình chữ nhật. r r r r r r Baøi 5. Cho hai vectơ a , b . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng: a + b = a - b . uuur uuur uuur uuur Baøi 6. Cho DABC đều cạnh a. Tính AB + AC ; AB - AC . uuur uuur uuur Baøi 7. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB + AC + AD . uuur uuur uuur Baøi 8. Cho DABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ HA, HB, HC . uuur uuur Baøi 9. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các vectơ AB + AD , uuur uuur uuur uuur AB + AC , AB - AD . VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, ta thường sử dụng: – Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ. – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác. – Tính chất của các hình. Baøi 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) AB + DC = AC + DB b) AD + BE + CF = AE + BF + CD . Baøi 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur a) Nếu AB = CD thì AC = BD b) AC + BD = AD + BC = 2IJ . uuur uuur uuur uuur r c) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: GA + GB + GC + GD = 0 . d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm. Baøi 3. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh: uuur uur uur uuur uuur 2( AB + AI + JA + DA) = 3DB . Baøi 4. Cho DABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng uur uur uur r minh: RJ + IQ + PS = 0 . Baøi 5. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM. uur uur uur r a) Chứng minh: 2IA + IB + IC = 0 . uuur uuur uuur uur b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA + OB + OC = 4OI . Trang 2 Trần Sĩ Tùng Vectơ Baøi 6. Cho DABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) AH = 2OM b) HA + HB + HC = 2 HO c) OA + OB + OC = OH . Baøi 7. Cho hai tam giác ABC và A¢B¢C¢ lần lượt có các trọng tâm là G và G¢. uuur uuur uuuur uuuur ¢ ¢ ¢ a) Chứng minh AA + BB + CC = 3GG¢ . b) Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm. Baøi 8. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh: uuur 1 uuur 2 uuur AM = AB + AC . 3 3 Baøi 9. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm uuur uuur thuộc AC sao cho CN = 2 NA . K là trung điểm của MN. Chứng minh: uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur a) AK = AB + AC b) KD = AB + AC . 4 6 4 3 Baøi 10. Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng: uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuuur 1 uuur uuur a) AM = OB - OA b) BN = OC - OB c) MN = ( OC - OB ) . 2 2 2 Baøi 11. Cho DABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng: uuur uuur uuuur 1 uuur 1 uuur 2 uuur 4 uuur 4 uuur 2 uuur b) AC = - CM - BN c) MN = BN - CM . a) AB = - CM - BN 3 3 3 3 3 3 Baøi 12. Cho DABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G. uuur 2 uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur a) Chứng minh: AH = AC - AB và CH = - ( AB + AC ) . 3 3 3 uuuur 1 uuur 5 uuur b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: MH = AC - AB . 6 uuur r uuur r 6 Baøi 13. Cho hình bình hành ABCD, đặt AB = a , AD = b . Gọi I là trung điểm của CD, G là uur uuur r r trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ BI , AG theo a , b . uuur uuur Baøi 14. Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ BC vaø BD theo các vectơ uuur uuur AB vaø AF . Baøi 15. Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ uuur uuur uuur uuur AM theo các vectơ OA, OB, OC . Baøi 16. Cho DABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho uuur uuur uuur uuur uur uuur r MB = 3MC , NA = 3CN , PA + PB = 0 . uuur uuur uuur uuur a) Tính PM , PN theo AB, AC b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng. Baøi 17. Cho DABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. uuur uuur uuuur r a) Chứng minh: AA1 + BB1 + CC1 = 0 uuur r uuuur r uuur uur uuur r r b) Đặt BB1 = u , CC1 = v . Tính BC , CA, AB theo u vaø v . Baøi 18. Cho DABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo 2FC. uur dài uuursao cho uuur5FB =uuu r a) Tính AI , AF theo AB vaø AC . uuur uur uuur b) Gọi G là trọng tâm DABC. Tính AG theo AI vaø AF . Baøi 19. Cho DABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của G qua B. uuur uuur uuur r a) Chứng minh: HA 0 .r uuur r uuur - 5rHB + HC uuur= uuu r r b) Đặt AG = a , AH = b . Tính AB, AC theo a vaø b . Trang 3 Vectơ Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 3: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của đó đối với hình vẽ. Thông uuurđiểm r r thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OM = a , trong đó O và a đã được xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về: – Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k. – Hình bình hành. – Trung điểm của đoạn thẳng. – Trọng tâm tam giác, … uuur uuur uuur r Baøi 1. Cho DABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA - MB + MC = 0 . Baøi 2. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I . M là điểm tuỳ ý không nằm trên đường thẳng AB . Trên MIuuu kéo 1 điểm N sao cho IN = MI. r dài, uur lấyuuur a) Chứng minh: BN - BA = MBuuu . r uur uuur uuur uuur uuur b) Tìm các điểm D, C sao cho: NA + NI = ND ; NM - BN = NC . Baøi 3. Cho hình bình hành ABCD. uuur uuur uuur uuur a) Chứng minh rằng: AB + AC + AD = 2 ACuuur . uuur uuur uuur b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3 AM = AB + AC + AD . Baøi 4. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. uuuur 1 uuur uuur a) Chứng minh: MN = ( AB + DC ) . 2 uuur uuur uuur uuur r b) Xác định điểm O sao cho: OA + OB + OC + OD = 0 . Baøi 5. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung uur uur uur uuur uuur điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta có: SA + SB + SC + SD = 4SO . Baøi 6. Cho DABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau: uur uur r uur uur uur uur a) 2IB + 3IC = 0 b) 2 JA + JC - JB = CA uuur uuur uuur uuur uur uur uuur r c) KA + KB + KC = 2 BC d) 3LA - LB + 2 LC = 0 . Baøi 7. Cho DABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau: uur uur uuur uur uur uur r IA 3 IB = 3 BC b) JA a) 2uuu r uuur uuur uuur uur + JBuuu+r 2 JC uuur= 0 uuur c) KA + KB - KCuur = BC uuur d) LA - 2 LC = AB - 2 AC . HD: a) Iuuu Îr AC:uuu AI b) J là trung điểm MC (M là trung điểm AB) r = 3 AC c) KA = 2 BC d) L º B Baøi 8. Cho DABC. Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau: uur uur uuur uur uuur uuur uuur uuur a) IAuuu+r IBuuu -rIC uuu = rBC b) FA + FCuuu=r AB + AC uuuur+ FBuur r r c) 3KA +uuKB + KC = 0 d) 3 LA 2 LB + LC = 0 . r uuur HD: a) IA = 2 BC b) F º A uuur 2 uuur uur 3 uuur c) K Î GA: GK = GA (G là trọng tâm của DABC) d) LA = GB . 5 2 Baøi 9. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các đẳng thức sau: uu r uu r uur uur uur uuur uuur uuur a) IAuuu +r IB +uuu IC = 4 ID b) 2 FA + 2 FB = 3 FC - FD r uuur uuur r c) 4 KA +uur 3KB +uuur 2 KC + KD = 0 . HD: a) DI = 4 DO uuur uuur b) Gọi M làuur trunguuu điểm AB, N Î DC: ND = 3 r r uuur uuur r NC . F đối xứng với N qua M. c) Gọi P: 4 PA + PD = 0 , Q: 3QB + 2QC = 0 . K là trung điểm của PQ. Trang 4 Trần Sĩ Tùng Vectơ Baøi 10. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý. uuuur uuur uuur uuur uuur uuur a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD = MC + AB , ME = MA + BC , uuur uuur uur MF = MB + CA . Chứng E, F không uuur minh uuur D,uuur uuuur phụ uuurthuộc uuurvào vị trí của điểm M. b) So sánh 2 véc tơ MA + MB + MC vaø MD + ME + MF . Baøi 11. Cho tứ giác ABCD. uuur uuur uuur uuur r a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho: GA + GB + GC + GD = 0 (G đgl trọng tâm của tứ giác ABCD). uuur 1 uuur uuur uuur uuur b) Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta có: OG = ( OA + OB + OC + OD ) . 4 Baøi 12. Cho G là trọng tâm của tứ giác ABCD. A¢, B¢, C¢, D¢ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh: a) G là điểm chung của các đoạn thẳng AA¢, BB¢, CC¢, DD¢. b) G cũng là trọng tâm của của tứ giác A¢B¢C¢D¢. Baøi 13. Cho tứ giác ABCD. Trong mỗi trường hợp sau đây hãy xác định điểm I và số k sao uuur r chouuur các vectơ v đều bằng k .MI với mọi điểm M: uuur uuur r r uuur uuur uuur a) v = uuur MA + uuur MB + 2uuur MC uuuur b) v = MA - 2 MC uuur- MBuuur uuur uuuur r r c) v = MA + MB + MC + MD d) v = 2 MA + 2 MB + MC + 3MD . VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau · Để uuu chứng minh r uuur ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn đẳng thức AB = k AC , với k ¹ 0. ·uuur Để chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức uuur minh hai điểm M, N trùng nhau uuuuta r chứng r OM = ON , với O là một điểm nào đó hoặc MN = 0 . uuur uuur uuur r Baøi 1. Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : OA + 2OB - 3OC = 0 . Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng. Baøi 2. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho: uuur 1 uuur uuur 1 uuur BH = BC , BK = BD . Chứng minh: A, K, H thẳng hàng. 5 6 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 6 uuur HD: BH = AH - AB; BK = AK - AB . Chứng minh AH = AK . 5 uur uur uur Baøi 3. Cho DABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: IB = 2 IC , JC = - 1 uur JA , 2 uuur uuur KA = - KB . uur uur uuur uuur uur uuur 4 uuur uur 3 uuur uuur a) Tính IJ , IK theo AB vaø AC . (HD: IJ = AB - AC , IK = AB - 2 AC ) 3 2 uur 2 uur b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: IJ = IK ). 3 Baøi 4. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P uuur uuur uuur uuur uur uuur r sao cho MB = 3 MC , NA = 3 CN , PA + PB = 0 . uuur uuur uuur uuur a) Tính PM , PN theo AB, AC . b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng. Trang 5 Vectơ Trần Sĩ Tùng Baøi 5. Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho 1 1 AF, AB = AE. Chứng minh: 2 2 a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng. b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành. uur uur r uur uur uur r Baøi 6. Cho DABC. Hai điểm I, J được xác định bởi: IA + 3IC = 0 , JA + 2 JB + 3JC = 0 . Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng. uuur uuur r uuur uuur r Baøi 7. Cho DABC. Hai điểm M, N được xác định bởi: 3MA + 4 MB = 0 , NB - 3NC = 0 . Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, trọng tâm uuur với uuurG làuuu r uuu r của uurDABC. uuur r Baøi 8. Cho DABC. Lấy các điểm M N, P: MB - 2 MC = NA + 2 NC = PA + PB = 0 uuur uuur uuur uuur a) Tính PM , PN theo AB vaø AC . b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng. Baøi 9. Cho DABC. Về phía ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh các tam giác RIP và JQS có cùng trọng tâm. Baøi 10. Cho tam giác ABC, A¢ là điểm đối xứng của A qua B, B¢ là điểm đối xứng của B qua C, C¢ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A¢B¢C¢ có chung trọng tâm. uuur uuur r uuur uuur r Baøi 11. Cho DABC. Gọi A¢, B¢, C¢ là các điểm định bởi: 2 A¢B + 3 A¢C = 0 , 2 B¢C + 3B¢A = 0 , uuur uuur r 2C ¢A + 3C ¢B = 0 . Chứng minh các tam giác ABC và A¢B¢C¢ có cùng trọng tâm. Baøi 12. Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý. Gọi A¢, B¢, C¢ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB. a) Chứng minh ba đường thẳng AA¢, BB¢, CC¢ đồng qui tại một điểm N. b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G củauuur DABC. uuur r Baøi 13. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M, N thoả mãn: 3MA + 4 MB = 0 , uuur 1 uuur CN = BC . Chứng minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của DABC. 2 Baøi 14. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho uuur uuur uuur BD = DE = EC uuur . uuur uuur uuur a) Chứnguur minhuuurAB uuu + AC = rADuuu + rAE . uur r uuu b) Tính AS = AB + AD + AC + AE theo AI . Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng. uuur uuur uuur Baøi 15. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức BM = BC - 2 AB , uuur uuur uuur CN = x AC - BC . a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng. IM b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC. Tính . IN Baøi 16. Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho a + b + c ¹ 0 . uuur uuur uuur r a) Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm G thoả mãn aGA bGB + cGC = 0 . uuur uuur uuur +uuur b) Gọi M, P là hai điểm di động sao cho MP = aMA + bMB + cMC . Chứng minh ba điểm G, M, P thẳng hàng. uuuur uuur uuur uuur Baøi 17. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn MN = 2 MA + 3MB - MC . uur uur uur r a) Tìm điểm I thoả mãn 2IA + 3IB - IC = 0 . b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một uuuu điểm định.uuur uuur r cốuuur Baøi 18. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thoả mãn MN = 2 MA - MB + MC . uur uur uur r a) Tìm điểm I sao cho 2IA - IB + IC = 0 . b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. c) Gọi P là trung điểm của BN. Chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định. AD = Trang 6 Trần Sĩ Tùng Vectơ VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết. Chẳng hạn: – Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó. – Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng không đổi là đường tròn có tâm là điểm cố định và bán kính là khoảng không đổi. – Baøi 1. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) MA + MB = MA - MB b) 2 MA + MB = MA + 2 MB . HD: a) Đường tròn đường kính AB b) Trung trực của AB. Baøi 2. Cho DABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 3 uuur uuur a) MA + MB + MC = MB + MC b) MA + BC = MA - MB 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur c) 2 MA + MB = 4 MB - MC d) 4 MA + MB + MC = 2 MA - MB - MC . HD: a) Trung trực của IG (I là trung điểm của BC, G là trọng tâm DABC). b) Dựng hình bình hành ABCD. Tập hợp là đường tròn tâm D, bán kính BA. Baøi 3. Cho DABC. uur uur uur r a) Xác định điểm I sao cho: 3IA - 2 IB + IC = 0 . b) Chứng minh rằng đường thẳng uuur nối 2 điểm uuuu r uuur uuur M, N xác định bởi hệ thức: MN = 3MA - 2 MB + MC luôn đi qua một điểm cố định. uuur uuur uuur uuur uuur c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: 3HA - 2 HB + HC = HA - HB . uuur uuur uuur uuur uuur d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 2 KA + KB + KC = 3 KB + KC AB HD: b) M, N, I thẳng hàng c) Đường tròn tâm I, bán kính . 2 Baøi 4. Cho DABC. uur uur uur r a) Xác định điểm I sao cho: IAuuu +3 2 IC = 0 . r IB -uuur r b) Xác định điểm D sao cho: 3DB - 2 DC = 0 . c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng. uuur uuur uuur uuur uuur uuur d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA + 3MB - 2 MC = 2 MA - MB - MC . Trang 7 Vectơ Trần Sĩ Tùng II. TOẠ ĐỘ 1. Trục toạ độ · Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ r r đơn vị e . Kí hiệu ( O; e ) . r r r · Toạ độ của vectơ trên trục: u = (a) Û u = a.e . uuur r · Toạ độ của điểm trên trục: M (k ) Û OM = k .e . uuur r · Độ dài đại số củauuuvectơ trên trục: AB = a Û AB = a.e . r r Chú ý: + Nếu AB cuøng höôùng vôùi e thì AB = AB . uuur r Nếu AB ngöôïc höôùng vôùi e thì AB = - AB . + Nếu A(a), B(b) thì AB = b - a . + Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta có: AB + BC = AC . 2. Hệ trục toạ độ · Hệ hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt r gồm r là i , j . O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung. r r r r · Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: u = ( x; y ) Û u = x.i + y. j . uuur r r · Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: M ( x; y ) Û OM = x.i + y. j . r r · Tính chất: Cho a = ( x; y ), b = ( x¢ ; y¢ ), k Î R , A( x A ; y A ), B( x B ; yB ), C ( xC ; yC ) : r r r r r ïì x = x¢ + a=bÛí + a ± b = ( x ± x¢ ; y ± y¢ ) + ka = (kx; ky ) ïî y = y¢ r r r + b cùng phương với a ¹ 0 Û $k Î R: x¢ = kx vaø y¢ = ky . Û uuur + AB = ( x B - x A ; yB - y A ) . x¢ y¢ = (nếu x ¹ 0, y ¹ 0). x y x A + xB y + yB ; yI = A . 2 2 x + x B + xC y + yB + yC + Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: xG = A ; yG = A . 3 3 x - kx B y - kyB + Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ¹ 1: x M = A ; yM = A . 1 k 1 k uuur uuur ( M chia đoạn AB theo tỉ số k Û MA = k MB ). + Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: x I = Trang 8 Trần Sĩ Tùng Vectơ VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trên trục Baøi 1. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là -2 và 5. uuur a) Tìm tọa độ của AB . uuur ĐS: AB = (7) æ 7ö ĐS: I ç ÷ è2ø b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB. uuur uuur r c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 MA + 5MB = 0 . ĐS: M(3) æ 12 ö ĐS: N ç ÷ è 5ø d) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA + 3NB = -1 . Baøi 2. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là -3 và 1. a) Tìm tọa độ điểm M sao cho 3MA - 2 MB = 1 . b) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3NB = AB . Baøi 3. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(-2), B(4), C(2), D(10). 1 1 2 a) Chứng minh rằng: + = . AC AD AB ĐS: ĐS: 2 b) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh: IC . ID = IA . c) Gọi J là trung điểm của CD. Chứng minh: AC . AD = AB . AJ . Baøi 4. Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c. a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB. ĐS: uuur uuur uuur r ĐS: b) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA uuur + MB uuur- MC uuur= 0 . c) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA - 3NB = NC . ĐS: Baøi 5. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D tuỳ ý. a) Chứng minh: AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0 . b) Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AB, CD. Chứng minh rằng các đoạn IJ và KL có chung trung điểm. VẤN ĐỀ 2: Toạ độ trên hệ trục Baøi 1. Viết tọa độ của các vectơ sau: r 1r r r r r r b = i - 5 j ; c = 3i ; d = -2 j . 3 r 1r r r 3r r r r r r r r r b) a = i - 3 j ; b = i + j ; c = -i + j ; d = -4 j ; e = 3i . 2 r r 2 r r Baøi 2. Viết dưới dạng u = xi + yj khi biết toạ độ của vectơ u là: r r r r a) u = (2; -3); u = (-1; 4); u = (2; 0); u = (0; -1) . r r r r b) u = (1;3); u = (4; -1); u = (1; 0); u = (0; 0) . r r Baøi 3. Cho a = (1; -2), b = (0;3) . Tìm toạ độ của các vectơ sau: r r r r r r r r 1r r r r r r r r r r a) x = a + b; y = a - b; z = 2a - 3b . b) u = 3a - 2b; v = 2a + b ; w = 4a - b . 2 ĐS: r r r a) a = 2i + 3 j ; Trang 9 Vectơ Trần Sĩ Tùng r r 1ö r 2ø r r r r a) Tìm toạ độ của vectơ d = 2a - 3b + 5c . æ è Baøi 4. Cho a = (2; 0), b = ç -1; ÷ , c = (4; -6) . r æ 63 ö ĐS: d = ç 27; - ÷ è 2 ø 1 1 ĐS: m = ; n = 3 12 r r r ĐS: c = -4a - 12b r r r r b) Tìm 2 số m, n sao cho: ma + b - nc = 0 . r r r c) Biểu diễn vectơ c theo a , b . Baøi 5. Cho hai điểm A(3; -5), B(1; 0) . uuur uuur a) Tìm toạ độ điểm C sao cho: OC = -3 AB . ĐS: b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C. ĐS: c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3. ĐS: Baøi 6. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0). a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB. ĐS: Baøi 7. Cho ba điểm A(1; -2), B(0; 4), C(3; 2). uuur uuur uuur a) Tìm toạ độ các vectơ AB, AC , BC . ĐS: b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB. ĐS: uuur uuur uuur c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: CM = 2 AB - 3 AC . ĐS: uuur uuur uuur r d) Tìm tọa độ điểm N sao cho: AN + 2 BN - 4CN = 0 . ĐS: Baøi 8. Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2). a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C. b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C. c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. ĐS: Trang 10 Trần Sĩ Tùng Vectơ BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I Baøi 1. Cho tam giác ABC với trực tâm H, B¢ là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường uuur uuur uuur uuur tròn ngoại tiếp tam giác. Hãy xét quan hệ giữa các vectơ AH vaø B¢C; AB¢ vaø HC . uuur uuur uuur uuur HD: AH = B¢C; AB¢ = HC . Baøi 2. Cho bốn điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. uuur uuur uuur uuur uur a) Chứng minh: AC + BD = AD + BC = 2IJ . uuur uuur uuur uuur r b) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: GA + GB + GC + GD = 0 . (G được gọi là trọng tâm của tứ giác ABCD). c) Gọi P, Q là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD; M, N là trung điểm của các đoạn thẳng AD và BC. Chứng minh rằng ba đoạn thẳng IJ, PQ và MN có chung trung điểm. Baøi 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi X, Y, Z, T lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC. Chứng minh rằng AX, BY, CZ, DT đồng qui tại trọng tâm của tứ giác ABCD. uuur uuur r HD: Gọi G là trọng tâm của tứ giác ABCD. Ta suy ra được GA + 3GX = 0 Þ AX đi qua G. Tương tự, cũng chứng minh được BY, CZ, DT đi qua G. uuuur uuur uuur uuur Baøi 4. Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N thay đổi sao cho: MN = 4 MA + MB - 2 MC . Chứng minh rằng đường thẳng MN uur luôn uuu đirqua mộtuurđiểmuurcố định. uur uur uur r r r 4 EA + EB = 0 , 5 IE 2 IC = 0 Þ 4 IA + IB 2 IC = 0 HD: Gọi E và I làuuuu các điểm sao cho: r uuur Suy ra được: MN = 3MI Þ M, N, I thẳng hàng Þ MN đi qua điểm I cố định. Baøi 5. Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý. uuuur uuur uuur uuur uuur uuur a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD = MC + AB , ME = MA + BC , uuur uuur uur MF = MB + CA . Chứng minh điểmuuur D, E, Fuuuu không phụ thuộc uuurcácuuur r uuur uuur vào vị trí của điểm M. b) So sánh hai tổng vectơ: MA + MB + MC và MD + ME + MF . HD: a) ABDC, ABCE, ACBF là các hình bình hành b) Hai vectơ tổng bằng nhau. Baøi 6. Cho DABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM. uur uur uur r a) Chứng minh: 2IA + IB + IC = 0 . uuur uuur uuur uur b) Với điểm O bất kì, chứng minh: 2OA + OB + OC = 4OI . Baøi 7. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm DABC. Chứng uur minh: uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) 2 AI = 2 AO + AB . b) 3DG = DA + DB + DC . Baøi 8. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD. uuur uur uur r uur 1 uuur uuur b) Chứng minh: OA + OI + OJ = 0 . a) Chứng minh: AI = ( AD + 2 AB ) 2 uuur uuur uuur r c) Tìm điểm M thoả mãn: MA - MB + MC = 0 . HD: c) CABM là hình bình hành. uuur uuur Baøi 9. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi AD = 2 AB , uuur 2 uuur AE = AC . 5r uuur uuur uuu uuur uuur a) Tính AG, DE , DG theo AB vaø AC . b) Chứng minh ba điểm D, E, G thẳng hàng. HD: a) uuur 2 uuur Baøi 10. Cho DABC. Gọi D là điểm xác định bởi AD = AC và M là trung điểm đoạn BD. 5 Trang 11 Vectơ uuur uuur uuur a) Tính AM theo AB vaø AC . Trần Sĩ Tùng b) AM cắt BC tại I. Tính IB AM và . IC AI HD: a) Baøi 11. Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N lần lượt thuộc các đoạn AD, BC sao cho: MA NB m = = MD NC n uuur uuur uuuur nAB + mDC Chứng minh rằng: MN = . m+n Baøi 12. Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c. I là tâm đường tròn nội tiếp DABC. uur uur uur r Chứng minh: aIA + bIB + cIC = 0 . HD: Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác. Baøi 13. Cho tam giác ABC. M là một điểm trên cạnh BC. Chứng minh rằng: uuur MC uuur MB uuur AM = AB + AC . BC BC HD: Vẽ MN // AC. Sử dụng định lí Ta–let, ta có: uuur AN uuur MC uuur uuur NM uuur MB uuur AN = AB = AB , NM = AC = AC Þ đpcm. AB BC AC BC Baøi 14. Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) nội tiếp DABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB uuur uur uur r lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng: aIM + bIN + cIP = 0 . HD: Gọi p là nửa chu vi DABC, ta có: AP = AN = p – a; BM = BP = p – b; CN = CM = p – c. uuur MC uur MB uur uuur uur uur Áp dụng bài 11, ta có: IM = IB + IC Þ aIM = ( p - c)IB + ( p - b)IC (1) uur uur BC uur BC uur uur uur Tương tự, bIN = ( p - a)IC + ( p - c)IA (2), cIP = ( p - b)IA + ( p - a)IB (3) Từ (1), (2), (3), suy ra đpcm. Baøi 15. Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho: uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r a) MA + 2 MB + 3MC = 0 b) MA + 2 MB - 3MC = 0 uur uuur HD: a) Lấy E trên AB: EA = -2 EB . M là trung điểm của BC. b) Lấy E như trên. Không tồn tại điểm M thoả đề bài. Baøi 16. Cho DABC có trọng tâm G. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện: uuur uuur uuur uuur uuur r a) MA = MB b) MA + MB + MC = 0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur c) MA + MB = MA - MB d) MA + MB = MA + MB uuur uuur uuur uuur e) MA + MB = MA + MC AB HD: a) Æ b) M º G c) Đường tròn tâm trung điểm I của AB, bán kính 2 d) Hai phần của đường thẳng AB trừ đi những điểm nằm trong đoạn AB. e) Đường trung trực đoạn IJ (I, J lần lượt là trung điểm của AB, AC). Baøi 17. Cho DABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện: uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 MA + MB + MC = MA + 2 MB + 3 MC uur uur uur r HD: Gọi G là trọng tâm DABC, J là điểm sao cho: JA + 2 JB + 3JC = 0 . Tập hợp các điểm M là đường trung trực của GJ. Baøi 18. Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur MA + MB + MC + MD = MA + MB - 2 MC (*) HD:uuur Gọi Guuur là trọng của giác E là trung uuur tâm uuuu r tứuuuu r ABCD, uuur uuur uuur điểm uuurcủa AB. Ta có: MA + MB + MC + MD = 4 MG , MA + MB - 2 MC = 2CE Trang 12 Trần Sĩ Tùng Vectơ æ 1 ö 1 Do đó, (*) Û MG = CE Þ Tập hợp các điểm M là đường tròn ç G; CE ÷ . 2 è 2 ø uuur uuur uuur Baøi 19. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm trên d, điểm M sao cho MA + MB + 3MC nhỏ nhất. uur uur uur r HD: Gọi I là điểm sao cho: IA + IB + 3IC = 0 . YCBT Û MI nhỏ nhất Û M là hình chiếu của I trên d. Baøi 20. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Tìm trên (O), điểm M sao cho uuur uuur uuur MA + MB - MC lớn nhất, nhỏ nhất. uur uur uur r HD:uuur Gọi Iuuur là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI. Ta có: IA + IB - IC = 0 . uuur uuur Þ MA + MB - MC = MI , "M . uuur uuur uuur uuur · MA + MB - MC lớn nhất Û MI lớn nhất Û M º M1 uuur uuur uuur uuur · MA + MB - MC nhỏ nhất Û MI nhỏ nhất Û M º M2 Trong đó M1, M2 là giao điểm của đường thẳng IO với (O), M1 khác phía với I, M2 cùng phía với I đối với O. Baøi 21. Cho DABC có A(4; 3) , B(-1; 2) , C(3; -2). a) Tìm tọa độ trọng tâm G của DABC. ĐS: G(2;1) b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. ĐS: D(8; -1) Baøi 22. Cho A(2; 3), B(-1; -1), C(6; 0). a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Tìm tọa độ trọng tâm G của DABC. ĐS: c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. ĐS: Baøi 23. Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; -1). Tìm toạ độ các điểm M, N, P sao cho: a) Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P lần lượt làm trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. b) Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C lần lượt làm trung điểm của các cạnh MN, NP, PM. ĐS: a) Trang 13 Tích vô hướng của hai vectơ Trần Sĩ Tùng CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800 1. Định nghĩa Lấy M trên nửa đường tròn đơn vị tâm O. Xét góc a = · xOM . Giả sử M(x; y). sina = y (tung độ) cosa = x (hoành độ) y y æ tung ñoä ö tana = ç (x ¹ 0) M y ÷ x è hoaønh ñoä ø x1 -1 O x x æ hoaønh ñoä ö cota = ç (y ¹ 0) ÷ y è tung ñoä ø Chú ý: – Nếu a tù thì cosa < 0, tana < 0, cota < 0. – tana chỉ xác định khi a ¹ 900, cota chỉ xác định khi a ¹ 00 và a ¹ 1800. 2. Tính chất · Góc phụ nhau · Góc bù nhau sin(900 - a ) = cos a cos(900 - a ) = sin a tan(900 - a ) = cot a cot(900 - a ) = tan a 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 00 300 450 600 900 1800 1 0 0 –1 sina 0 1 2 2 2 cosa 1 3 2 2 2 3 2 1 2 tana 0 3 3 1 3 || 0 cota || 3 1 3 3 0 || 4. Các hệ thức cơ bản sin a tan a = (cos a ¹ 0) cos a cos a cot a = (sin a ¹ 0) sin a tan a .cot a = 1 (sin a .cos a ¹ 0) Chú ý: sin(1800 - a ) = sin a cos(180 0 - a ) = - cos a tan(180 0 - a ) = - tan a cot(180 0 - a ) = - cot a 0 £ sin a £ 1; - 1 £ cos a £ 1 . Trang 14 sin2 a + cos2 a = 1 1 1 + tan 2 a = (cos a ¹ 0) cos2 a 1 1 + cot 2 a = (sin a ¹ 0) sin 2 a Trần Sĩ Tùng Tích vô hướng của hai vectơ Baøi 1. Tính giá trị các biểu thức sau: a) a sin 0 0 + b cos 00 + c sin 900 b) a cos 900 + b sin 900 + c sin1800 c) a2 sin 900 + b2 cos 900 + c2 cos1800 d) 3 - sin 2 90 0 + 2 cos2 600 - 3tan2 450 e) 4a2 sin2 450 - 3(a tan 450 )2 + (2a cos 450 )2 ĐS: a) b + c c) a2 - c2 b) b d) - 1 2 e) a2 Baøi 2. Tính giá trị của các biểu thức sau khi x bằng 00 ; 30 0 ; 450 ; 600 : a) sin x + cos x b) 2 sin x + cos 2 x . 0 0 sin x + cos x 1 2 sin x + cos 2 x 1 30 0 450 1+ 3 2 3 2 2 2 600 1+ 3 2 1 32 Baøi 3. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại: 1 , b nhọn. 4 1 b) cos a = 3 a) sin b = c) tan x = 2 2 ĐS: ĐS: ĐS: 6- 2 . Tinh cos150 , tan150 , cot150 . 4 6+ 2 . ĐS: cos150 = 4 Baøi 5. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức: 1 tan x + 3cot x + 1 a) sin x = , 900 < x < 1800 . Tính A = . ĐS: 3 tan x + cot x sin a - cos a b) tan a = 2 . Tính B = ĐS: 3 sin a + 3cos3 a + 2sin a Baøi 6. Chứng minh các đẳng thức sau: Baøi 4. Biết sin150 = b) sin 4 x + cos4 x = 1 - 2sin2 x.cos2 x a) (sin x + cos x )2 = 1 + 2sin x.cos x c) tan 2 x - sin 2 x = tan 2 x.sin 2 x d) sin 6 x + cos6 x = 1 - 3sin 2 x.cos2 x e) sin x.cos x (1 + tan x )(1 + cot x ) = 1 + 2sin x.cos x Baøi 7. Đơn giản các biểu thức sau: a) cos y + sin y.tan y d) 1 - cos2 x 1 - sin2 x + tan x.cot x b) 1 + cos b . 1 - cos b e) c) sin a 1 + tan2 a 1 - 4sin2 x.cos2 x (sin x + cos x )2 f) sin(900 - x ) + cos(1800 - x ) + sin2 x (1 + tan2 x ) - tan2 x ĐS: a) Baøi 8. Tính giá trị các biểu thức sau: a) cos2 120 + cos2 780 + cos2 10 + cos2 890 Trang 15 b) sin 2 30 + sin2 150 + sin2 750 + sin 2 870 Tích vô hướng của hai vectơ Trần Sĩ Tùng II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 1. Góc giữa hai vectơ uuur r uuur r r r r Cho a , b ¹ 0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA = a , OB = b . r r AOB với 00 £ · Khi đó ( a , b ) = · AOB £ 1800. r a O Chú ý: r r r r + ( a , b ) = 900 Û a ^ b r r r r + ( a , b ) = 00 Û a , b cùng hướng r r r r + ( a , b ) = 1800 Û a , b ngược hướng r r r r + ( a, b ) = ( b , a ) 2. Tích vô hướng của hai vectơ rr r r r r a.b = a . b .cos ( a , b ) . · Định nghĩa: rr r r2 Đặc biệt: a.a = a 2 = a . r r r · Tính chất: Với a , b , c bất kì và "kÎR, ta có: rr rr r r r rr rr + a.b = b .a ; a ( b + c ) = a.b + a.c ; r r r r r r r ( kar ) .b = k ( ar.b ) = ar. ( kb ) ; a 2 ³ 0; a 2 = 0 Û a = 0 . r r r r r 2 r rr r ( ar - b )2 = ar 2 - 2ar.b + b 2 ; + ( a + b ) = a 2 + 2a.b + b 2 ; r r r r r r a 2 - b 2 = ( a - b )( a + b ) . rr rr r r r r + a.b > 0 Û ( a, b ) nhoïn a.b < 0 Û ( a, b ) tuø rr r r a.b = 0 Û ( a, b ) vuoâng. 3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng r r · Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2). Khi đó: r · a = a12 + a22 ; r r cos(a , b ) = · Cho A( x A ; y A ), B( x B ; yB ) . Khi đó: r b r A a r b B rr a.b = a1b1 + a2 b2 . a1b1 + a2 b2 a12 + a22 . b12 + b22 ; r r a ^ b Û a1b1 + a2 b2 = 0 AB = ( x B - x A )2 + ( yB - y A )2 . VẤN ĐỀ 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ Baøi 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng: uuur uuur a) AB. AC uuur uuur b) AC.CB uuur uuur c) AB.BC ĐS: a) 0 b) -3a2 c) - a2 Baøi 2. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) AB. AC b) AC.CB c) AB.BC ĐS: a) Baøi 3. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8. uuur uuur a) Tính AB AC uur .uuu r , rồi suy ra giá trị của góc A. b) Tính CA.CB . uuur uuur c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính CD.CB . Trang 16 Trần Sĩ Tùng Tích vô hướng của hai vectơ uuur uuur ĐS: a) AB. AC = 20; µA = 600 uur uuur b) CA.CB = 44 uuur uuur 33 c) CD.CB = 2 Baøi 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) AB. AC b) ( AB + AD )(BD + BC ) c) ( AC - AB)(2 AD - AB) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur d) AB.BD e) ( AB + AC + AD )(DA + DB + DC ) HD: a) a2 b) a2 c) 2a2 d) - a2 e) 0 Baøi 5. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3. uuur uuur a) Tính AB. AC , rồi suy ra cosA. uuur uuur b) Gọi G là trọng tâm của DABC. Tính .BC . r uuur uuur uuur uuuAG r uuu r uuu c) Tính giá trị biểu thức S = GA.GB + GB.GC + GC.GA . uuur uuur uuur BAC (D Î BC). Tính AD theo AB, AC , suy ra d) Gọi AD là phân giác trong của góc · AD. uuur uuur uuur uuur 5 3 1 HD: a) AB. AC = - , cos A = b) AG.BC = 2 4 3 uuur uuur 1 uur uur uuur uuur 29 c) Chú ý: GA.GB = ( BA + CA)(CB + AB) . S = 9 6 d) Sử dụng tính chất đường phân giác của góc trong tam giác: uuur uuur 3 uuur 2 uuur AB uuur 54 DB = .DC Þ AD = AB + AC , AD = AC 5 5 5 µ 0 Baøi 6. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 120 . M là trung điểm của BC. a) Tính BC, AM. uur uur r uur uur b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: 2 IA + IB = 0, JB = 2 JC . 7 2 b) IJ = 133 2 3 Baøi 7. Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB, cạnh đáy AD = a, BC = 2a. Tính AB trong các trường hợp sau: uuur uuur uuur uuur uur uur a) AB. AC = a2 b) AC.BD = - a2 c) IC.ID = a2 (I là trung điểm của AB). HD: a) BC = 19 , AM = HD: a) AB = a b) AB = a 3 c) AB = 2a. Baøi 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a 3 . M là trung điểm của BC. Biết uuur uuur a2 AM .BC = . Tính AB, AC. 2 uuur uuur HD: Phân tích các vectơ theo AB, AC . AB = a, AC = a 2 . Baøi 9. Cho tam giác ABC. AD là đường phân giác trong góc A. H là hình chiếu của D trên uuur uuur uuur uuur AB. Biết AB. AD = 2a2 , AC. AD = 3a2 , AH = a . uuur uuur a) Tính AB, AC. b) Tính AB. AC , suy ra BC, AD. uuur uuur uuur HD: a) AB = 2a, AC = 3a b) Sử dụng tính chất đường phân giác: 5 AD = 3 AB + 2 AC uuur uuur uuur uuur 2 15 Tính AD. AB Þ AB.AC = -a2 . BC = a 15 , AD = a. 5 Baøi 10. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là giao điểm của hai đường chéo. a) Tính AC 2 , BD 2 , AC 2 + BD 2 , biết AB = a, AD = b, · BAD = j . uuur uuur 1 b) Chứng minh rằng AB. AD = AE 2 - BE 2 = ( AC 2 - BD 2 ) . 4 Trang 17 Tích vô hướng của hai vectơ Trần Sĩ Tùng HD: Baøi 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6, AC = 8. Gọi M, N là hai điểm sao cho uuur 2 uuur uuur 1 uuur AM = AB , CN = CB . 3 uuur 3 r uuur uuu uuur uuur a) Biểu diễn AN theo AB, AC . Tính AN. b) Tính AM . AN . Suy ra độ dài đoạn MN HD: a) r r Baøi 12. Cho các vectơ a , b . rr r r a) Tính a.b . Biết là các vectơ đơn vị và 2a - b = 3 . r r r r r r b) Tính a + b . Biết a = 2, b = 3, a - b = 1 . r r r r r r r r c) Tính a + b , a - b . Biết a = 5, b = 8, (a, b ) = 60 0 . r r r r r r d) Tính a - b . Biết a = 13, b = 19, a + b = 24 . rr 1 r r HD: a) a.b = b) a + b = 5 c) d) 2 r r r r r 1r 7r r r r r r Baøi 13. Cho a = -i + j , b = i + 3 j . Tìm góc của 2 vectơ c = 4a + b , d = - a + b . 4 4 HD: r r r r r rr rr rr r r r r r Baøi 14. Cho các vectơ a , b , c thoả a + b + c = 0 và a = 1, b = 3, c = 4 . Tính a.b + b .c + c .a . HD: Baøi 15. a) VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng hay độ dài Baøi 1. Cho tứ giác ABCD. uuur uuur a) Chứng minh: AB 2 - BC 2 + CD 2 - DA2 = 2 AC.DB . b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là: AB 2 + CD 2 = BC 2 + DA2 . uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 2 2 2 2 HD: a) Phân tích AB BC = AB BC , CD DA = CD - DA . uuur uuur b) AC ^ BD Û AC.BD = 0 . Baøi 2. Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh: uuuur uuur 1 MH .MA = BC 2 . 4 uuur 1 uur uur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur HD: Chú ý: MA = ( BA + CA) , MH = MB + BH , MH = MC + CH . 2 Baøi 3. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh: uuur uuur uuur uuuur a) MA2 + MC 2 = MB 2 + MD 2 b) MA.MC = MB.MD uuur uuuur uuur uuur c) MA2 + MB.MD = 2 MA.MO (O là tâm của hình chữ nhật). uuur uuur uuur uuuur uuur HD: Phân tích các vectơ MA, MB, MC , MD theo MO . Baøi 4. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. uuur uuur uuur uur uuur uuur a) Chứng minh: DA.BC + DB.CA + DC .AB = 0 . b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui". Trang 18 Trần Sĩ Tùng Tích vô hướng của hai vectơ uuur uur uuur HD: a) Phân tích BC = BA + AC . Baøi 5. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh: uuur uuur uur uuur uuur uuur BC. AD + CA.BE + AB.CF = 0 . HD: Sử dụng hệ thức trung điểm. Baøi 6. Cho hai điểm M, N nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN. uuur uur uuur uur uuur uur uur uur a) Chứng minh: AM .AI = AB.AI , BN .BI = BA.BI . uuur uur uuur uur b) Tính AM . AI + BN .BI theo R. uuur uuur uuur uuur uur uuur HD: a) Chú ý AI ^ BM , BI ^ AN . Phân tích AM = AB + BM , BN = BA + AN . uuur uur uuur uur b) AM . AI + BN .BI = 4 R 2 . Baøi 7. Cho tam giác ABC với các đường trung tuyến AM, BN, CP. Các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 a) BA.BC = BH .BC = BH .BE b) AH . AM + BH .BN + CH .CP = ( AB 2 + BC 2 + CA2 ) 2 HD: Baøi 8. a) VẤN ĐỀ 3: Chứng minh hai vectơ vuông góc. Thiết lập điều kiện vuông góc r r r r r r r r Baøi 1. Cho a ^ b , a = 1, b = 2 . Chứng các vectơ 2a - b , a + b vuông góc với nhau. Baøi 2. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi uuur uuur uuur uuur H là điểm đước xác định bởi OH = OA + OB + OC . uuur uuur a) Tính AH .BC . Suy ra H là trực tâm của tam giác ABC. b) Tìm hệ thức giữa a, b, c sao cho OH ^ AM (M là trung điểm của BC). uuur uuur HD: a) AH .BC = 0 b) b2 + c 2 = 2a2 . Baøi 3. Cho đường tròn (O; R). Chứng minh điều kiện cần và đủ để AM là tiếp tuyến với uuur uuur đường trònuuur (O) tạiuuur M là OA.OM = R 2 . HD: Sử dụng AM ^ OM . Baøi 4. Cho tam giác đều ABC, cạnh 3a. Lấy các điểm M, N, P lần lượt ở trên các cạnh BC, CA, AB =r a, CN = 2a, AP = x (0 < x < 3a). uuursao chouuuBM r uuu a) Tính AM theo AB, AC . uuur 1 æ uuur x uuur ö b) Chứng minh: PN = ç AC - AB ÷ . 3è a ø c) Tính x để AM ^ PN. uuur 2 uuur 1 uuur 4 HD: a) AM = AB + AC c) x = a . 3 3 5 Baøi 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = c, AC = b. M là trung điểm của BC. Tìm điểm D trên AC sao cho BD ^ AM. HD: D Î AC sao cho AD = c2 . b Trang 19