Tài liệu Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

N G U Y Ễ N Q U A N G BÁU LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC m (In lần thứ tư) N H À X U ẤT B Ả N Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G I A H À N Ộ I LỜI NÓI ĐẨU Giáo trìn h "Lý t huy ết x á c s uấ t vả t h ố n g hê t oán" chrợc biôn soạn trên cơ sỏ các bài giảng cùa lác giả tr in h bày nhiều năm (có tham khảo các’ tà i liệu tro n g và ngoài nước [1-6]) và theo chương trìn h toán giai đoạn 2 dành cho sinh viên ngành học V ật lý. Khoa học V ậ t liệu, Khoa học và Còng nghẹ hạt nhân, Vô tuyến -Đ iệ n tử cùa Trường Đại học Tống hợp H à'N ôi (nay là Trường Đại học Khoa học Tự nhiên thuộc Dại hoc Quốc gia ílà Nội). Giáo trin h cũng rất bò ích và có thổ dùng làm tài liệu tham khao, giảng dạy cho sinh viên các trường Đại học Sư phạm, Đại học Kỳ thuật., Đại học Kinh tế’ Quốc đán và các trưòng khác trong nước có học môn “ Lý thuyết xác suất và thông kê toán". K h i viết, chúng tôi đã cố gắng dạt tối mục dich đề ra là cơ bản, hiện dại và Viột Nam. Giáo trìn h tr in h bày những khái niệm cơ bán của lý thuyết xác suất (chương 1); một số công thức tính xác suất quan trọng trong lý th u y ê t Nác suất (chương 2); những kh ái niệm về đại lượng ngẫu nhiên và i-ác tin h chất, th a m số đặc trư ng của chủng (chương 3); những khái niệm vò thông ke toán như mẫu thông kê và ước lượng tham sô (chương 4); kiêm nghiệm các giá th iế t thòng kê (chương 5). Ngoài phần bài giảng' giáo trìn h r.ồ (lưa ra phần phụ lục (bố túc toán và các báng tra cửu thường dùng); một ỉượng lỏn bài tập có kèm theo lời giải và chỉ dẫn rỏ ràng, cụ thể. Những bai tập này nhằm giúp cho học viên dỗ nắm bắt và hiểu sâu sắc hơn nội (lung bài giảng và đặc biệt có tắc dụng ròn luyện kỷ nãng vận dụng lý th u y ế t xác suất và thống kê toán trong các ngành Khoa học V ậ t lý, Khoa học Vật liệu, Khoa học và Công nghệ hạt nhân. Vò tu yế n-Đ iệ n tứ, ... củng như trong các vấn để thực tế của k in h tê - xã hội dặt ra. 3 Giáo trìn h là một trong các giáo trìn h thuộc “ Bộ giao t r in h toán cho V ậ t lý ” do các GS, PGS, T S K H , TS. cán bộ giảng dạy lâu năm của Bộ môn V ậ t lý lý thuyế t, Khoa V ậ t lý, Trường Đại học Tổng họp Hà Nội (nay là Trường Đại học Khoa học Tự nhiên thuộc Đại học Quôc gia I là Nội) đám nhận giảng dạy và biên soạn. V iế t giáo trìn h “ L ý th u y ế t xác suất và Thống kê toán” là một việc r ấ t khó khàn, vì vậy mặc dù đã hết. sức cốgáng, nhưng giáo t r in h chắc không trá n h khỏi m ột sô thiếu sót. Chúng tôi hy vọng nhặn được nhiều ý kiến nhặn xét, dóng góp của bạn đọc để giáo t r in h ngày càng hoàn th iệ n hơn. C h ú n g tôi x in cảm dn các bạn đồng n g h iệ p th uộ c bộ môn V ật lý lý th u y ế t, khoa V ậ t lý, T rư ờ ng Đ ạ i học Khoa học T ự n h iê n thuộc Đ ạ i học Quốc gia H à Nội, các G S .T S N g u y ễ n V ă n T hỏa, G S .T S K H N g uyễn X u â n H ã n , P G S .T S K H N g u y ễ n V ă n H ù n g , PG S.TS Lê V án Trực, PGS P h ạ m Công D ù n g , PGS.TS P hạm T ế T h ế (là đóng góp n h iề u ý k iế n quý báu tr o n g quá t r ì n h biên soạn giáo tr ì n h này. Tác giả GS.TS Nguyền Quang Báu 4 Chương 1 NHỮNG KHÁI NIỆM cơ BẢN CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP THỬ. BIẾN c ố VA XÁC SUẤT CỦA BIÊN CÔ 1.1 -1. P h é p t hu’ và b ie n cô nhiều k('\ cục khác nhau, các kết cục này được gọi là car “ biến r ổ ’ Ta CỊU) líỏc ky hiệu ra r !>ièn ró bànti <•;u- chủ in A, B. rlỏi khi co I lú kèm ih r o c h i <ò). Yi chấm. Mỗi kèl cục nny cũng như các két cục phức hợp cua chúng: xuất hiện 80 ehnm chan, sỏ chấm lẻ,... tiểu là những biíMì cỏ. - Quan sát trạ n g thái họMl dộng cũiì một máy móc là phép thử. H;ũ kêt rục: máy chạy tò! và máy hóng hóc là hai biên cô. T uy theo tín h chất xuất hiện của cải' biên cò trong phép ihư m«i ta ch iỉi chúng In 111 ‘A loại: biến cỏ chac chân, biên cỏ không Ihc có v;i biíMi cô ngMU nhiíMi. Biên ró c h Ấ r chán ln hiên cỏ nh.Vt Ihiõt xay ra khi thực hiện |>hép thư. r> H i ỏ n r n k h ô n . ” ( h ô c ó l;ì I l i o n <:õ ì 111;ì 1 l l ì i ò l k l i ô n ụ X ỉ i v r a k h i t h ự c h iệ n |>lu'Ị) I lì Li. Hiên <‘ô 1 1 gnu n h ir n 1. 1 ỉ)ión cố cỏ thô x;iv r;i kh i thực hiện pliéỊi thù Til <|UV xtỏc kỹ Ỉ1 U*U bién có chủe rh;in j;*i chu in [', biên rũ không t.hô có \i\ clìử in V. V í dụ: - Xói Ị>lú‘Ị) thử: Ị»it‘u một cun xúc* xár. The thì biốn cô XIU1 1 hiện sò chàm nho hon hoặc liñiii» c» l:'ì hiên cố chàr chan, biêu cỏ xuâl hiện số chỏm lỏn hon (ì là bien rò không thế có. biêu <*ô x iiấ l hiện số chấm Ỉ);'U1Ị4 2 Ia bièn cỏ ngảu tihi<’*n. - Xét phép thử: 1)M11 một phát dạn vào lua. The thì l>iôn rỏ trú n g hoặc trượt b ia là luèn CŨ‘M có k h ô n g l l ì ố í*ò, h i ê n có t r ú n g hia là h iê n cò lìiiỉUi I i h i r n . 1.1.2. X á c s u â t c u a b iê n có Qiiĩ.m sát CiU' bien cò ngỉiu nlìiô ií, 1;| Ih ấ y rà n g kh;i n;ìiụj x u iíl hiện cùa chung nói chung không dồng ílốu. một sổ biến í*("> thưòng hay xáv ra. một sô kh;ic u.ii Ihường ít xây )•;». Từ (ỉó nảy sinh vãn 4lố lim cách “ (1(1 h í ò n g " khỉi n â n g xuát hiện củíi m ột biên (Tố. D ( ‘ l i l i l í < i n * u dó. ngiííii 1:ì IÓ11 cố một số khỏU£' ỉ’mi và sô 1Ù1V (lưõr £>ọi là xác SUIÌI cua biên cô. Ta qui ước ký hiệu \;ic suất của biên co A lò P(A). Xát: su.Vt PíA) của một biên cỏ A phỉii xây (lựng sao cho thoíi màn các dòi hói hợp Iv .sau: - Xíic: suất cua hiên rô chác chíìii u ]: P iU í^ l (VI VÓ1 biên cô c h á r ch;'m th ì 100% xây ra). - X;H• suất rũa cỏ khòng ih ê r õ V I>áng 0: P (V )-0 (VI VOI biến cõ không 1hế có thì 100% không xay ni ). - X:u* s u ấ t r u n h i ỏ n cố n g ả u n h i ê n A bị k ẹ p giừíì sô ọ V;’ì sò* 1: 0) Được một rô sò clìiVm r l i ẵ n ? Ciidi: (rí)! A la luôn cô (hĩọr mạt sau châm. R là l)iỏn có dirợc mạt co sỏ rlìấm í lìÀn. () dây sò I\(‘1 cục dồng khổ nâng 11 - 6 . sỏ kóì cục ih iw in loi i hn A M in t h iộ iì m v- ỉ . m. = ki*i «'lie* th u ậ n lợi r i l o \\ x u ñ i h iệ n Ị )o 1.1«» ! a r õ : p< A ) (; - \ ’/ du 2 (ỉioo liai con xnc \:'ìr hoan loàn clòi xùny. 11:ỉ V lin h \ac s 11ất ( I ế cI 1rộ«• I ì ;ì I m ậ t s â u <■h : ỉ m . Giai Ky liiộu a. ỉ' lã sỏ chùm t iv n mặt con x u r x;i<- thử Ììlìãt và thủ' h:»i ( ỉ < ;ì < 0 ;1 !'• ('» ). Nhu' vậy. k('*l quà í‘ó duọf sô chíiììi l qui iríc* kồ i lun sô lìộỊ) (lọ i V. l à bièn cỏ n h n n sỏ kòt cục i !<>nI» kh;ỉ n á n s b illig sò bộ h in sò Oỉ.bi. lữc Ii=r»• (>-30. s ỏ kõi cue th u :in U}\ cho c xuíVt h iộ n ửng VÒI trường hụp ;i=l>-(ì. tức m, = l. Do lio 1;) co; Pí e ) :u; c) Ha tì che Đ ịn h nghùi xác siiñl !lv *o lỊU íin (hom cô điên hạ l ì chè là c h i ã Ị.) đụng cho r a r kè! cục dỏnu khò llallí» và CMC .sỏ m. n ironi» Cunç í hue i I ) phai được xác ( l ị n h cụ th ó vã hữu hạn. Trong nhiêu (rương hộị) <‘ÌU' đicu kiện nò y rat khỏ ihực h lộn hoặc không thè ih ự f hiện đưỢí* Vỉ : Sỏ phep ỉ liu ru A X Tỏng só ] )ìì é Ị > I lui dược thựr hiện n t) Vi dụ: T i‘oü£ Ỉưỉ>0 iróíỊ«) sinh îtüiii> ìh.m.u 5 n.iiìì 1997 ờlia Nội co vãIV5 Ị4á 1. N hir vựv 1,'in su;Yi x\i:i! hiện con gai ỏ d:iy la: “>2”) Ira i ỉ - I • ___ - 0 . I V.) I { H)u />) /)///// nghĩa Tiìn su.li XUHÎ hiiMỉ hiên rò ,\ {ron y 11 Ị)h('Ị) thư luôn 1nôn í.liio dộng XU11LỊ (.jUMiil) một sỏ k h ỏ n g 1'lô’i P(A), và k h i n l i e n tỏi vô h ạ n í hì t ổ n su.n xuñt hiện biên có A càng .u;in đen sò không đói P(A) đó. K hi đó sỏ l ’( \) cliíợ<* uọi là xác s\ J:ú CU;| lìiõn cô A thro quan (liêm thống' ke. Nói c .v h khái*, la có : \ \ A ) = lim í' - lim x n >■/ 11 ><■lì (3) T ử d ịn lì nghĩa xác siiàí ihi»o quan (liỏm thòng ki* nôi trên. cũng dễ dỉiiìg suy rn CÍÌC lính ch;íi chuns fu a f'V\): - Đỏi voi hiên Cỏ ehÁc chắn 1' thì In 11 suất xuấi hiộn biến r o V: I u - r * h ^ I . | ) ; m ( l è n Xiầr S11.H f)ỏi VOI bien rô I >( l ,• ) - l i m I .. !.. khôn^ thô ró V 1hi 1fin sii.it xuất hiện 1ÙC11 cỏ V: <1 . Ị );m đèn \;ì(* sim! r< V ) lim r ■' 0. - r=x n \)iì\ Vói !>irn rô ns»;ìii n h iê n A 1ỉ 1 r l;m A. tvoi 0 m a y sần. n g h i ô n CIÍU cỏMti h iệ u c ủ a t h u ố c m e n , I r o n t ; n h â n c h u n i ì hục*, xã hội hục.. . . 1.2.3. D ịn h n g h ía xác* s u â t th e o q u a n (liê m h ĩn h hoe Đ ịn h nghìn xác surît lh ('0 (ịiin n d iế m th ô n g kó khác phục (luộc hạn chê rủn «lịnh nghiĩi xnc smií ihi*u <ịu;in <1lõm ró (lion về I-Ioi hi)i các kêt rụ c (‘ủn phép tliứ Ị)híii ilổng kh;i n niìỊi xtuVt hiện. f)ố kh.ic phục hạn chò iiõi t;i £ và (i in 11 >.;> híiv khỏi khòng y in II m A kích thuor (híọc hiên ]à (lọ i 1:11 . í-liẹn tích hỉiy í ho tích. b) ( tic VI (in - Vi d u /: D â m một m ủ i k i m một ị' i\rh n g ñ u n h i ê n và o h ì n h v u ô n g <•;In ]I a. Iro n g có h ìn h iro n nội I lỏp ban kính \\ỉ'l. U ày lìm xác SUỈÌ1 m ùi k im ròi V-IO lì 1 1 1 lì 1ròn. G i ò i : ( lọ i A là biên cô m ù i k im ròi vào h ìn h trò n . K h i dó xác suất hièn <•<"> I1ÌIII kim rói vào hm li Iron ilih.ir I.inh ihoo eỏng ihi.ìv H ) vò a~ tl . I \ A ) •-= (liên tích h ìn h irò n V d iện tích h ìn h vuỏ n g = ị a - z I - Vi (lu 2\ llỉũ ngưòi A Vil B hẹn gập nh:m lại một (lịa diôm xac d in h tr o n o VOI1 ỊỊ lu' 0 giò ilèn 1 ,ụiõ. Xgưũi diMì Irước chờ ngirơi kia quá 2<* p h iii th i si* ỈM) di. Mày lín h xác simt họ gập cliíọv nh;m, ỉ)iêí rang mồi iìị^uui ro 1hí* (lên chõ họn V;1 U một thòi íliém ỉ »ãt ky Irons* khoáng thòi gian trôn. Giòi: ( ìọi X \iì lúc* nglíril /\ ílòn ( lu m hẹn, V \i\ luc nnưói I» (). 0 < V • GO . T iip hợp nàv có thỏ 1)1011 (liền hĩnh học hôi h ĩn h v u ô n ụ O I K M ( l ii n h 2). Hình 2 Các kết cục t huận lợi cho hai người gặp nhau là cặp sổ (x,y) sao cho: |x - yị < 20 Trên h ìn h võ tập hợp các cặp sô này ứng với miền con của hình vuông gồm giữa các dường thẳng y=x+20 và y=x-20 (phần gạch gạch trong hình 2). Cìọi c là biến cô hai người gặp được nhau. K h i dó P(C) tín h theo công t hức (4) bàng: P ( Q - d iệ n tíc h O Q 1Q 2K Q 3Q ,iO diện tích (OIKMO) 6 0 2 - 40" _ 5 602 ~ 9 1.3. MỐI QUAN HỆ VÀ CÁC PHÉP TÍNH GIỮA CÁC BIẾN c ố T rong thực tô ta thường gặp các loại biến cố phức tạp do vậy việc tín h trực tiếp xác suất của chúng đôi k h i gặp khỏ khăn. Lúc đó, nguòi ta có thế tín h gián tiếp xác suất của chúng thông qua các môi quan hệ giữa các biến cố và các phép tín h giữa chúng. 1 M ỏ i q u í u i hộ líiĩía CÌU' bicMì cô a) l ì ưọi b i ỏ n < ỏ A kẽo il n u ) b iô n cô li. n e u A x u . l i h i ộ n t h i lìlì.Vi ih iĩM B cun Li x u ã l h i ( ‘ n. Tí* k y h i n i A • IV Xén 1.HỎU rõ A Iscij ihíM» hiõn rò B v; 1 nmiột’ lại 1)1011 cò u rù n g keo ih e u biẽ i. r o A t in I : I l ũ A v;i I» In hai 1)1011 <‘6 tu õ iụ : ilu o n i!. l a k y h iệ u A--B. b ) B iê n cỏ A va I»lẽn cỏ B (ỉưnc gọi In x u n ỵ k h a r n ê u c h ú n g k h ỏ n ỵ . b ií‘M CV m i tluóc viên phỉìn mau liỉ ỉ)iỏn cò to ll54rua lìm l>iỏncỏ: hiên co rút (luộc vi»-ii ph.ìỉì dó \'i\ l>ión ró rul dược viôn phAn \;m h . b ) Tĩeh cua h a i lnén có A va l> là một lỉiỏ n cỏ XMV ra k h i Vil c h i k h i Oc» ha i bien n i'A va B cùng V i du (\> haï x;i tliu . xày r ;i. Ta kv hiệu (A B ). mỗi người 1.KU1 ! p h á t và bản VÀO r ù n g một b ia . Khi (l>> bien cỏ bin bị ban trún g dung hai Ian In bi&n co lích rúa hai biến (õằ . iỉiòn rõ nmioi ihư nhíìt bán trú n g ỉ)ia va biên cố ngũòi thu hai bắn tru n g bia. 1.4. XÁC SUAT CỦA TỎNG HAI BỈẺN c ố XUNG KHAC T iì Ihiẽt X I I MỈ Í k h â c lập fö n « i h ư r c h o Illen x a r s u a i phe]) linh suât Clin c a r b i e n c ñ t h a n h t)inh lý: Nô 11 A, l> In lia I l)icn CO XII Clin toiiK h a ï b i e n en p h àn . k li;ir I hi U\ rũ: m + R )= m > + iv m Til chu'ns* m inh (lịnh ly cho trương hộp CMC l)irn CỎ mà xar su;Vt (ùa chúng ihoii 111 A11 đ ịn h nghĩa cô diên, (iiíi sứ sô kòl cục dong k hà 1ì : 11i i4 r u n plìóp I luï la I I. Irons »lo co m, k('*i rục thích hộp (thuận lọi) ello A vil I1Ì_, k ximi»' khắc HÕM số két cục thích hộp (Ihuận lội) chu se lã (m. + m.,). Do f!ỏ tn cỏ XI U' suíVt tín ỉ ỉ lh<*o (lịnh im hi;i rỏ dien: lì ỉỉự ,Ịỉi --1 - P { /\) ilú* <111 d ụ n g «lịnh ly vo \;if sun! cun lo n g hai biên <■«> S U 1 1 Ö k h á c cho A và A : P íA + A ) - P (A ) + P (A ) (8) P ( A ♦ A ) - l >( U ) = 1 í 9) mậi khác. 1:1 l ạ i co: v ậ y , I ừ (, . . .. A„ là các biên c o ’ % i m < j k h í H : ( ừ n g d ô i m ộ t , t h i t n có: P(A,+ A 2+ . . .+ AẼị)= P(Aj)+P( A,)+ . . . +P( A„) V i ỉ ụ Î: Trong một hộp phiín có 5 viên Ị) ha lì xanh, 4 viên phấn đỏ và 11 vén phấn trắng. Rút hú họa một viên phàn. I l â y tín h xác suất: a) \úị ra được vie il phân màu. b ) i ú \ n\ dược v iê n plìĩVn tra n g . (.7/7/: a) T ín h xác suất rú t ra dược viên phàn màu. Gọi A là biến cô r ú t ru aíỢc viên phấn đỏ, B là biến cô rú t ra được viên phàn xanh. Rõ rà n g ciến cố x u n g khắc và đ ịn h nghĩa xác s u ấ t theo quan điểm cỏ cỉiíẩn ta có: F(C) = P (A + B) = P(A) + P(B) = J - + A 20 b) 20 = JL 20 ''in h xác su ấ t rút. ra dược viên phấn trắng: Nếu c là biến cô r ú t ra dvưu viên phấn màu, thi biến cỏ r ú t ra (lược viên phấn trắng rõ r à n g làbiêì i cô* đôi l ặ p c ủ a b iế n cố r ú t r a dược vi ên p h ấ n m à u và SC là c . /Vp lụ n g hộ quả vê tính xác siuYt của biến cỏ dối lập, ta có: P(C) = 1 -P (C ) = 1 9 20 11 — 20 V / dụ 2: Một. dợt xô sô phát hành N vé. tro n g đó có M vé có thưỏing M ột người mua r vé (với giá th iế t r< N -M ). T ín h xác suất đổ ngitờii cỏ cỏ ít nhất một vé trú n g thưởng. G i ã i : (ĩọ i A là <‘ô ir o n s Y VC Cd it nhất m ột vé t r u n g ihưon.Li. Thê thì hiên ro <ỈÕI l.ip A lã l>iõn í'ỏ r;i r VI' ilỏu ìru ộ t. Tníỏc lien In lin h P( A ). Vi so kcl ell r thu;;m lụi rh o A Xn:r1 liK/n là sỏ (ỏ hộp ( ’ x y . rciiì sò ki ỉ t cục ilontỉ u h : In ñ n g lã s ô t ô h ọ p ( ' ^ , n e 11 ỉn ró: P(Ã> = % ụ . C'~ T ừ do s u y rn: I ’( A ) 1 P t.\) I ( ' M 1.5. XÁC SUẤT CÓ ĐIỂU KIỆN - ĐỊNH LÝ NHÀN XÁC SUẦT 1.5.1. X á c su â t có đ iể u k i ệ n - B iê n cỏ p h ụ t h u ộ c và l)i«*n cò d ộ c lậ p a) Hai toán dan den khai ttietìi Trong một hộp phíin có 5 viên phàn xanh và 1 VUM1 phán do. Láy ra một vión phấn (không hoàn lại), rồi Im liVy m một viôn phiVn mì;), Ciọi A l à b i e n c ò (Jó VIÔI1 p h í ì i i i h ú nliíVl r o m.-iu i l õ v ã B hỉ b i e n c ô <|<* vit'lì phíVn thứ híii có mím xanh. Tìm xric su;Vl (tó VH‘11 ih ử h;u có mím Xíinh? Giai: Co hill khíi năng xây ỈM. Kho núng ilu i nil,-ít lã vicn pliân đau lấy ra là dó» lức bien cô A dã xây ra. Khi dó xác suất dé viên Iluĩ hai rỏ mau xanh P(B) = *> t . . . . Kha nàhỊi ihứ h;ii I il viôn phàn uàu liiy vu In xnnh. lut* bien cố A ilii không xây r;i. K hi n h . i n \ H : x ñ r >uã1 l 'i M > õ 1 i v n !;i xcu' s 11:11 <•11 <Ị 11*11 k K/I » Vít l i í i i l i i r n •') />///// NÌỊỈÌKI I X:H* .-.U:iì 'Uá» |\< u > I'll \ \ VÓI Lt I ; I l l ì u * ’ l u r n «•!> A <1.1 \ ; » v v u » k y h i f ‘ u 1.1 ) I.« ! \ s ô ụ i ĩ i í i N,n ^ \ ỉ : I ! «•u ; I n « ' h h : n h l t M I <*o \ . I» v o i \ : i r M 1;U < U ; l liic ll l ó ;\ Til Hì! ỈNA.ỈVi l\iH ) < 10 ) P vi] I lin tm (ụ t :» (’ũnu ỉ*. A I*.) h Ị NK > c ị t ) i n i i HÌ Ị Ỉ Ỉ I U 2 11,-11 lìion có A, I» í*ọi l;i 1'hti t huộ<* nêu sụ \;ìv r;i hay khônm Xí'iy Viì cun m oi In n iị* h : u Ỉ>K'I1 <•«> í i n l ì hueñis; (lẽn X.IC S U ỈÌI n in ỉ*ịỏ h có k I;I . lla lli.I I.-í : I \ | U) / P .«I3) iy A ) * iy A ) / m ti M li» lìn:)r: * p<;\> í/; />//;// nghía J 11:11 In rii f‘0 A. lỉ Ị»Ụ1 1.1 dột' lập vói nhau neu sự Xiiy ra hay khom; X.IV *¿I l’il.» !ìiột Monu h.n hiòn «•<) khoiìịĩ ỉtnh h iió iiii đòn xa* .siiàl run l)irn rõ kin. n.uhi.ỉ l;V P N(IỈ) I\u;it một Ìrong hai biên cỏ ñy VỎ1 xác suàt cun liiỏn cò còn 1.11 \u ih io t b i e n cò k i a d ã x a y r n , n g h iM là: P(A.B) P (A )I\(H ) p (B)Pfic.A> b illig tí c h các x.e s iiã l cùii r l u m Sĩ, n g l ì l í i l à : IN A .R ) --- Pt A >.IN Mi CỎHỊ’ lỉV ) ( h ứ c ( 1 7) s u y rn l u ( l ị n h n g h í ĩ ì • > v ế h ; n l>H*nr õ (|| • l ậ p ( C U I in tlìữ r (1 I). ( 1r>)> và clịnh ly n h â n xác sun! I ụ-ônii ihức í !<>)) 1lilac ( ] 7) c ũ n g dược m ơ r ộ n g t i l i n g đ ă n c h o sô b i ê n cò dộc hiỊ» lớn lò n 2. c) \ I ( hi / M ột ní*fin hộp (lựiìt: '1 lin h k iộ n báu án d ẫ n loại II. M ột k ỹ sư vó ( u v r n - ( Ỉ ! ( ‘ii lu I; 1 1 » m ay rú t hũ h« I một lin h k iệ n (k h ô n g hoãn lạ i) và Síiu dó ru t liỏ p một lin h kx/n th í h a i. l ỉ ã v tín h xác stuYl (.le ch ice lin h kiện th ủ nhai \ỉ\ Io:u I Vil rh i( lin h kiộn ( hữ li a i là lo:ii 2. ( H à i : ( «ỌI A l à b i ê n <-ò c l m V l i n h k i ộ n 1 h l í n h a t ih u ộ r lo i I V .1 I» in biên rò i-ln tV Imh kiỏu t ỉ )LI hai 1huộr loại II. Ta cân lililí I N / H): (lị Vi (ỉu 2 . ỊÔ1 ilu c i ĩiì III < h r n »111 1>Ụ Ị t h . m . t'h ii I)IỎ1 kho.-iiụ.', ihni uiíin T I)Ụ ph;m 1. :ỉ, •» k h ô n ì* 1>Ị h o iiỉí lió r IUÕ1 1 £Ĩ íỉn g in O.M: 0,S; (1.7. T m l i \ : \ r su ;ii co Ít n lv it Tìì Õ1 tro n g 11:» 1>Ộ Ị>h;u) klìDip.i I'M hoiJi* h o r tn.»m: v ó iỉii I lì< >1 Ị.;i;m I n lì í b i ê n C O ỉ 1 ). ( ỉ i à i : ( l o i A. K c H ín iìíỉ U 1 H> là bi (Ml 1 * 6 1>Ộ p h ạ n I. I I , I I I khôn«- l)i h o \ii h ue Iro im 1ỈÌU I U I.U Ì T i:i;i ih ic i \ \ . \ ) - : 1MB) - o.s . I M ' ) - 0.7 V à kh ỉ (lo XIÌC suãt !u n n< ỉ L Ì I Ì Ị Ĩ t h o i gÌMH T â: P tA .IỈ C ) - I ‘(A>. Pd V». P(<') - 0. 1.0.2.o.a - 0.000 Biỏn cô co li nlìâỉ mộl bộ Ịih.-m khùng bị hong hóc In biõn rỏ dôi lạ >ciiíi biên cỏ cá lm bộ p h ậ n bị hôn« hoc. do do Uì có: í M I) 1 P(A . I> . - 1 - 0.00(5 = 0.ỈKM 1.6. XAC SUÁT CUA TÒNG HAI BIẾN c õ KHÒNG XUNG KHAC 1.(>.1. I ) ị nil lý Xác su;it củỉi lon tị' lun biên rô không xun.u khìxr Uìxnụ, tõng rác Xiic s i.it của c h u n g t i ll d i xác s iiã ỉ Iic iì cu;i c h ú n g , ng h ía líi: P íA + lt)= ll(A )+ l>( » ) - í l(A.Bì Í1H) C h ư n ụ m itỉ lr T ư k h íii m r m vr m o i ip K in hộ Ịíiũ :i I»ic*n <■<> V.I Ịih rp li li l í Ị£ÌĨÍM eñe I>i(*n cô. Ì 1ÒU A. I?> l;i hai l)i(‘n ro khnn.i* xuiií»' k lifir, I 11J I ;ì rũ 1h r vit*t • A+H=A. B + \ -It+A.B M ill k h ;u \ r ; ir 1'K‘IÌ co 1. \ < 191 R >. < A . 1»!. (A 15) NUI1 .1 » Is lì :*ic Ví il n h : 1 1 1 , m>n I ;1 <•«»: h.\+B)=P+ l'K‘H <•(> «A. khãc* vơi í I I ; i i» » M i n u k 1ì ; I< VÕI h i t ' l l r ò (II. A ) Mint; I . Il c ỏ: P i A ï - h A . B H-IYA.R) (21) nm =h Ci2) A H) ^ 1 A I »> ỉ);ịì (21 ). (1¿2) v;iu (20), 111 CÕ: h A H V i - h A ) - h .V B » + Pi Hỉ INA. I!) 4- |> (A .» )= h A) +■ INK) - I V V I Ỉ I D o c h m h lã rùng \ hue ( 1S) can r illin g minh. l.f>.2. V i d ụ lia i \'i) I hù, mol n.míõi l»í»n mội p lin t Vilo III.I. Xnc sill'll tru n ỵ (lu ll CU.'I n g i f o i I h ử n h à l l;i 0 . 7 ; <•ũ : I n g i m i i h u h i l l 1,1 O.S. T í n h X i t r s u . l l d ó CO I t n h i . l l I Ì Ì Ộ I I >11; 11 I r ũ t ì Ị i Ỉ 11; I . G7Õ/: (!ọi A la biỏn CO xn Ihu th ú nhỉíỉ ban I ru ng ln:i; K là biíMi cu Xii 1lu i I lu í hai brin irím<Ị l)i;i T;ï can 11 1 ÌÌ P(.\-H>). Th(*o cl ion k iệ n <»i;i l»;u lo a n . 1;« có PíA) 0.7, I*cM> o .s vil haï l>K*n <*ô A , R I:» lia i ỉ»i(*n CO k h ô n g x u n g khííc, I.lụr ií.ỉỊ) Ví)! n h íiu S u y vu: hA-HV) -- h . \ ) + r d t ) P'A.Ui hA.IV) = INAUMV) -> P(A-t-B) = P(A } + P( B) - P (A ).P (B ) = 0,7+0 X - 0.7.0, - Xem thêm -