1. Mở đầầu
1.1. Lí do chọn đềầ tài
Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong
Nghị quyếết Trung ương 4 khóa VII, Nghị quyếết Trung ương 2 khóa VIII, được
thể chếế hóa trong Luật Giáo dục, được cụ thể hóa trong các chỉ th ị c ủa B ộ
Giáo dục và Đào tạo.
Trong Luật Giáo dục, tại điếều 24.2 đã ghi: "Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng t ạo c ủa h ọc sinh;
phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bôềi d ưỡng ph ương pháp
tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiếến thức vào thực tiếễn; tác đ ộng đếến
tình cảm, đem lại niếềm vui, hứng thú học tập cho học sinh".
Chương trình Toán học ở THPT có nội dung tương đôếi tr ừu t ượng và
khái quát. Mặc dù, nội dung chương trình đã được biến so ạn phù h ợp v ới
khả năng nhận thức, tiếếp thu của lứa tuổi học sinh THPT nh ưng v ới đôếi
tượng học sinh đa dạng thì việc tìm ra phương pháp gi ảng d ạy phù h ợp là
yếu cầều cầền thiếết đôếi với giáo viến. Giáo viến cầền phải phần lo ại đ ược h ọc
sinh, thiếết kếế bài giảng cho từng đôếi tượng, giúp học sinh h ứng thú v ới môn
học, chủ động, tích cực trong học tập. Trong quá trình gi ảng d ạy, tôi nh ận
thầếy việc phần dạng và hình thành phương pháp giải từng dạng toán là bi ện
pháp mang lại hiệu quả cao trong giảng dạy, đặc bi ệt với đôếi t ượng h ọc sinh
có học lực trung bình, yếếu môn Toán.
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là một phương pháp dùng đ ại
sôế và giải tích để giải các bài toán hình học phẳng. Đầy là phầền kiếến th ức
mới, được đưa vào nội dung môn Hình học lớp 10 nến đa sôế h ọc sinh còn g ặp
nhiếều lúng túng khi tiếếp cận phương pháp giải toán này, nhầết là nh ững h ọc
sinh có học lực trung bình, yếếu.
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng có thể coi là bước đệm để học
sinh để học sinh có thể tiếếp thu tôết nội dung phương pháp t ọa đ ộ trong
không gian, một mảng kiếến thức quan trọng ở chương trình Hình học lớp 12.
Vì vậy, việc tìm ra giải pháp giúp học sinh (đặc bi ệt là h ọc sinh có h ọc l ực
trung bình hoặc yếếu) năếm được kiếến thức cơ bản và kyễ năng gi ải các bài
toán tọa độ là một việc thực sự cầền thiếết.
Trường THPT Thường Xuần 2 đóng trến địa bàn miếền núi, v ới đa sôế
học sinh là con em dần tộc Thái, Mường, còn nhiếều h ạn chếế trong vi ệc tiếếp
thu kiếến thức, đặc biệt là kiếến thức của các môn đòi h ỏi kh ả năng t ư duy
trừu tượng như môn Toán. Đại đa sôế các em đếều có học lực môn Toán là
trung bình, yếếu. Với đặc điểm như trến, để c ải thi ện chầết l ượng môn Toán
cho đôếi tượng học sinh đại trà, chúng tôi thường tập trung vào giúp các em
năếm vững kiếến thức và giải thành thạo các bài toán cơ bản.
1
Từ những lí do trến, tôi chọn đếề tài: “ Một sôế gi ải pháp giúp h ọc sinh
trường THPT Thường Xuần 2 giải bài toán lập ph ương trình đ ường th ẳng
trong mặt phẳng tọa độ Oxy”.
1.2. Mục đích nghiền cứu
Nghiến cứu nội dung các định nghĩa phương trình tham sôế, ph ương
trình tổng quát của đường thẳng, từ đó để phần dạng các bài toán l ập
phương trình đường thẳng.
1.3. Đốối tượng nghiền cứu
Đôếi tượng nghiến cứu mà đếề tài hướng tới là:
- Phần dạng các bài toán cơ bản vếề lập phương trình đường th ẳng,
nhăềm giúp đôếi tượng học sinh có học lực trung bình, yếếu năếm vững kiếến th ức
và kyễ năng giải bài toán dạng này.
1.4. Phương pháp nghiền cứu
- Phương pháp nghiến cứu lý luận: nghiến cứu tài li ệu, sách tham kh ảo
liến quan đếến phương trình đường thẳng trong mặt phẳng , nghiến cứu
chương trình giáo khoa của bộ môn.
- Phương pháp nghiến cứu thực tếế: thông qua việc dạy và học giúp học
sinh nhận dạng và biếết cách lập phương trình đường thẳng trong mặt
phẳng.
- Phương pháp kiểm chứng sư phạm: tiếến hành d ạy và ki ểm tra kh ả
năng
ứng dụng của học sinh nhăềm minh chứng cho hiệu quả của việc sử d ụng các
giải
pháp.
2. Nội dung sáng kiềốn kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiềốn kinh nghiệm
Với xu thếế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay c ủa Bộ giáo d ục và
đào tạo, trong quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người
thầềy phải nghiến cứu tìm hiểu kyễ chương trình, đôếi tượng học sinh; đưa ra
các phương pháp phù hợp với kiếến thức, với các đôếi t ượng h ọc sinh cầền
truyếền thụ.
Toán học là một môn học đòi hỏi ở người học khả năng tư duy và
logic. Một trong những hoạt động cơ bản của học sinh trong h ọc t ập môn
Toán ở trường phổ thông là hoạt động giải toán. Thực tiếễn dạy h ọc lầu nay
ở nước ta, theo nội dung, chương trình và SGK đã ban hành, ho ạt đ ộng h ọc
và giải toán của học sinh đôếi tượng trung bình , yếếu cơ bản diếễn ra theo trình
tự: quan sát, tiếếp thu kiếến thức; làm bài có sự hướng dầễn; t ự làm theo mầễu;
độc lập làm bài.
Bài toán lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng là phầền kiếến
thức rầết đa dạng, phong phú. Đầy là phầền kiếến thức học sinh mới được làm
quen nến không tránh khỏi những bỡ ngỡ. Kiếến th ức, bài t ập ở SGK t ương
2
đôếi dếễ với đôếi tượng học sinh khá, giỏi, nhưng đôếi v ới h ọc sinh trung bình,
yếếu thì khá khó khăn trong việc phần biệt các dạng toán và sử dụng cách
giải phù hợp.
Do đó, tôi luôn muôến tìm ra phương pháp dạy hi ệu qu ả cho đôếi t ượng
học sinh có học lực trung bình, yếếu; một phương pháp học đơn giản giúp học
sinh tiếếp thu kiếến thức dếễ dàng và thầếy hứng thú khi h ọc .
2.2. Thực trạng của vầốn đềầ nghiền cứu trước khi áp d ụng sáng kiềốn
kinh nghiệm
Lượng kiếến thức vếề phầền phương trình đường thẳng trình bày trong
sách giáo khoa Hình học 10 tương đôếi nhiếều, bài tập đa dạng. Tuy nhiến, các
ví dụ minh họa chủ yếếu ở mức độ nhận biếết, thông hiểu trong khi nhiếều bài
tập lại đòi hỏi ở mức độ vận dụng hoặc vận dụng cao. Qua thực tếế giảng
dạy trực tiếếp ở các lớp đại trà, tôi thầếy răềng khi ra những bài tập dạng này
học sinh có học lực trung bình, yếếu thường bị lúng túng khi xác định các yếếu
tôế để lập phương trình đường thẳng như: vectơ chỉ phương, vect ơ pháp
tuyếến, điểm thuộc đường thẳng, quan hệ vuông góc, quan h ệ song song,
….dầễn đếến lập không chính xác phương trình các đ ường th ẳng . Cụ thể, năm
học 2018-2019 khi chưa áp dụng sáng kiếến vào giảng dạy , tôi cho học sinh
lớp 10C2 làm bài khảo sát, kếết quả như sau:
Lớp
Sĩ sốố
10C2 45
Giỏi
SL
4
TL(%)
8.9
Khá
TB
SL
TL(%) SL
15
33.3
14
Yềốu
TL(%) SL
31.1
12
TL(%)
26.7
Xuầết phát từ thực tếế đó, trong năm học 201 9-2020 tôi đã tiếến hành đổi
mới cách dạy nội dung này tại lớp 10C3 (có chầết lượngmôn Toán tương
đương với lớp 10C2 trong năm học trước).
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyềốt vầốn đềầ
Như tôi đã nói ở trến, hoạt động học và giải toán của học sinh đôếi
tượng trung bình, yếếu cơ bản diếễn ra theo trình tự: quan sát, tiếếp thu kiếến
thức; làm bài có sự hướng dầễn; tự làm theo mầễu; độc lập làm bài .Vì vậy, để
giúp học sinh có học lực môn Toán ở mức trung bình, yếếu có th ể gi ải đ ược
bài toán lập phương trình đường thẳng tôi đã thực hi ện các gi ải pháp sau:
2.3.1. Giải pháp 1: Hệ thốống các kiềốn thức cơ bản vềầ phương trình
đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy
a. Phương trình tham sốố của đường thẳng:
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x 0 ; y 0 ), có vectơ chỉ phương u⃗ =( u1 ; u 2 )
có phương trình tham sôế có dạng:
{
x=x 0 +u1 t ( t ∈ R )
y= y 0 +u2 t
3
Nhận xét 1: Muôến viếết phương trình tham sôế của đường thẳng ∆ ta
cầền biếết một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường
thẳng đó.
b. Phương trình tổng quát của đường thẳng:
Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:
ax +by +c =0, với a 2+ b2 ≠ 0 .
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x 0 ; y 0 ), có vectơ pháp tuyếến n⃗ =( a ; b ) ,
có phương trình tổng quát dạng:
a ( x−x 0 ) + b ( y− y 0 ) =0.
Nhận xét 2: Muôến viếết phương trình tổng quát của đường thẳng ta
cầền biếết một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ pháp tuyếến của đường
thẳng đó.
c. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắốn
Nếếu đường thẳng ∆ căết trục Ox tại điểm A ( a ; 0 ) và căết trục Oy tại điểm
B ( 0; b ), với a ≠ 0 , b ≠ 0, thì đường thẳng ∆ có phương trình dạng:
x y
+ =1
a b
d. Vị trí tương đốối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆ 1 : a 1 x +b1 y+ c 1=0
∆ 2 :a 2 x +b2 y +c 2=0
a1 x+ b1 y + c1=0
Xét hệ phương trình:
a2 x+ b2 y + c2=0
{
(*)
Khi đó:
- ∆ 1 , ∆ 2 song song với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (*) vô nghi ệm.
- ∆ 1 , ∆ 2 căết nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (*) có nghi ệm duy nhầết.
- ∆ 1 , ∆ 2 trùng nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (*) vô sôế nghi ệm.
Nhận xét 3:
- Hai đường thẳng song song với nhau thì vect ơ pháp tuyếến c ủa
đường thẳng này cũng là vectơ pháp tuyếến của đường th ẳng kia và ng ược
lại.
- Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì hai vect ơ pháp tuyếến c ủa
chúng cũng vuông góc với nhau.
e. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆ 1 : a 1 x +b1 y+ c 1=0
∆ 2 :a 2 x +b2 y +c 2=0
Góc giữa hai đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2 được xác định băềng công thức:
|a1 a2 +b1 b2|
cos ( ∆1 , ∆2 )= 2 2 2 2
√ a1 +b 1 √ a2 +b 2
Nhận xét 4:
4
- Góc giữa hai đường th ẳng băềng ho ặc bù v ới góc gi ữa hai vect ơ
pháp tuyếến ( hoặc góc giữa hai vectơ chỉ phương )c ủa hai đ ường th ẳng đó.
f. Cống thức tính khoảng cách từ một điểm đếốn một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ có phương trình: ax +by +c =0, với a 2+ b2 ≠ 0.
Khoảng cách từ điểm M (x 0 ; y 0 ) đếến đường thẳng ∆ được xác định bởi
công thức:
d ( M 0 , ∆ )=
|a x 0 +b y 0 + c|
√ a2 +b 2
2.3.2. Giải pháp 2: Hướng dầẫn học sinh phần dạng và tìm cách gi ải
cho bài toán lập phương trình đường thẳng trong mặt ph ẳng t ọa đ ộ
Oxy
a. Lập phương trình tham sốố của đường thẳng
Phương pháp giải:
- Tìm vectơ chỉ phương (VTCP) u⃗ =( u1 ; u 2 ) của đường thẳng ∆ ;
- Tìm một điểm M (x 0 ; y 0 ) thuộc ∆ ;
{
x=x +u t
- Phương trình tham sôế của ∆ là: y= y0 +u1 t ( t ∈ R )
0
2
Dạng a1: Lập phương trình tham sôế của đường thẳng ∆ đi qua điểm
M (x 0 ; y 0 ), có vectơ chỉ phương u⃗ =( u1 ; u 2 ).
Ptts ∆ có dạng:
{
x=x 0 +u1 t ( t ∈ R )
y= y 0 +u2 t
Dạng a2: Lập phương trình tham sôế của đường thẳng ∆ đi qua điểm
M (x 0 ; y 0 ), có vectơ pháp tuyếến n⃗ =( a ; b ) .
Cách giải:
+ Tìm VTCP: u⃗ =(−b ; a ) hoặc u⃗ =( b ;−a ).
+ Lập ptts ∆ như dạng a1.
Dạng a3: Lập phương trình tham sôế của đường thẳng ∆ đi qua điểm
M (x 0 ; y 0 ), có hệ sôế góc k .
Cách giải:
+ Tìm VTCP: u⃗ =( 1; k ).
+ Lập ptts ∆ như dạng a1
Dạng a4: Lập phương trình tham sôế của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm
A( x A ; y A ) và B( x B ; y B ).
Cách giải:
AB=( x B−x A ; y B− y A ) hoặc u⃗ =⃗
BA
+ Tìm VTCP: u⃗ =⃗
+ Lập ptts ∆ như dạng a1.
b. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng
Phương pháp giải:
- Tìm vectơ pháp tuyếến (VTPT) n⃗ =( a ; b ) của đường thẳng ∆ ;
- Tìm một điểm M (x 0 ; y 0 ) thuộc ∆ ;
- Lập phương trình ∆ theo công thức: a ( x−x 0 ) + b ( y− y 0 ) =0
- Biếến đổi phương trình ∆ vếề dạng: ax +by +c =0
5
Dạng b1: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm
M (x 0 ; y 0 ), có vectơ pháp tuyếến n⃗ =( a ; b ) .
Cách giải:
+ Phương trình tổng quát ∆ có dạng:
a ( x−x 0 ) + b ( y− y 0 ) =0
⇔ ax +by +c =0 , với c=−a x 0−b y 0 .
Dạng b2: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm
M (x 0 ; y 0 ), có vectơ chỉ phương u⃗ =( a ; b ) .
Cách giải:
+ Tìm VTPT: n⃗ =(−b ; a ) hoặc n⃗ =( b ;−a ).
+ Lập pttq ∆ như dạng b1.
Dạng b3: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm
M (x 0 ; y 0 ), có hệ sôế góc k .
Cách giải:
+ Tìm VTCP u⃗ =( 1; k ), suy ra VTPT n⃗ =(−k ; 1 )
+ Lập pttq ∆ như dạng b1.
Dạng b4: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm
A( x A ; y A ), B( x B ; y B )
Cách giải:
AB=( x B−x A ; y B− y A ) hoặc u⃗ =⃗
BA , từ đó suy ra VTPT của
+ Tìm VTCP: u⃗ =⃗
∆.
+ Lập pttq ∆ như dạng b1.
Chú ý: Nếếu đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A ( a ; 0 ) và B ( 0; b ), với a ≠ 0 , b ≠ 0 thì
đường thẳng ∆ có phương trình dạng:
x y
+ =1
a b
Dạng b5: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm
M (x 0 ; y 0 ) và song song với đường thẳng d : ax +by +c =0.
Cách giải:
+ Tìm VTPT của ∆ : do ∆ /¿ d nến n⃗ ∆=⃗n d= ( a ; b ).
+ Lập pttq ∆ như dạng b1.
Dạng b6: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm
M (x 0 ; y 0 ) và vuông góc với đường thẳng d : ax +by +c =0.
Cách giải:
+ Tìm VTPT của ∆ : do ∆ ⊥ d nến n⃗ ∆=⃗u d=(−b ; a ).
+ Lập pttq ∆ như dạng b1.
Dạng b7: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là đường phần
giác của góc tạo bởi hai đường thẳng căết nhau ∆ 1 , ∆ 2, biếết ∆ 1 :a 1 x +b1 y+ c 1=0 và
∆ 2 :a 2 x +b2 y +c 2=0 .
Cách giải:
+ Giả sử điểm M ( x ; y ) thuộc đường thẳng ∆ , do ∆ đường phần giác
của góc tạo bởi hai đường thẳng căết nhau ∆ 1 , ∆ 2 nến ta có:
6
d ( M , ∆1 )=d ( M , ∆2 )
|a1 x +b1 y +c 1| |a2 x+b 2 y + c2|
⇔
=
√ a12+b 21
√ a22 +b22
a x+ b y+ c
a x+b y + c
⇔ 1 2 1 2 1 =± 2 2 2 2 2
√ a1 +b 1
√ a2 +b2
Từ đó suy ra lập được phương trình của hai đường phần giác c ủa góc
tạo bởi hai đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2.
Dạng b8: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là tập hợp các
điểm M cách đếều hai đường thẳng song song ∆ 1 , ∆ 2, với ∆ 1 :ax +by + c1=0 và
∆ 2 :ax +by + c2=0, c 1 ≠ c 2.
Cách giải:
+ Do M cách đếều hai đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2 nến ta có:
d ( M , ∆1 )=d ( M , ∆2 )
⇔
|ax+by + c1| |ax +by + c2|
√ a2 +b 2
=
√ a2 +b 2
⇔2 ax +2 by +c 1+ c 2=0
Từ đó phương trình ∆ : ax +by +
c 1+ c 2
=0.
2
c. Chuyển từ phương trình tham sốố sang phương trình t ổng quát và
ngược lại
{
x=x +u t
c1. Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham sôế: y= y0 +u1 t ( t ∈ R )
0
2
u
⃗
=
u
;
u
( 1 2 ) nến ∆ đi qua điểm
Khi đó, ∆ đi qua điểm M (x 0 ; y 0 ), có VTCP
M (x 0 ; y 0 ), có VTPT n⃗ =(−u2 ; u1 ), từ đó suy ra phương trình tổng quát của
đường thẳng ∆ ( dạng b1).
c2. Cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát: ax +by +c =0,
Chọn điểm M (x 0 ; y 0 ) sao cho a x 0 +b y 0 +c=0, khi đó ∆ đi qua điểm
M (x 0 ; y 0 ), có VTCP u⃗ =(−b ; a ) , từ đó suy ra phương trình tham sôế c ủa đ ường
thẳng ∆ ( dạng a1).
2.3.3. Giải pháp 3: Hướng dầẫn học sinh giải các ví dụ minh h ọa vềầ bài
toán lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa đ ộ Oxy
Ví dụ 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , lập phương trình tham sôế của đường
thẳng ∆ , biếết:
a) ∆ đi qua điểm A ( 2 ;1 ) và có VTCP u⃗ =( 3; 4 );
b) ∆ đi qua điểm B (−2; 3 ) và có VTPT n⃗ =( 5 ;1 );
c) ∆ đi qua điểm C ( 0 ; 1 ) và có hệ sôế góc k =3;
d) ∆ đi qua hai điểm M (3 ; 1 ) và N ( 2;3 ).
Hướng dẫẫn:
HS đọc đếề bài để nhận dạng và nếu cách giải.
Lời giải:
7
a) Phương trình tham sôế của đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 2 ;1 ) và có
VTCP u⃗ =( 3; 4 ) là:
t (t ∈ R )
{ x=2+3
y=1+4 t
b) Do ∆ có VTPT n⃗ =( 5 ; 1 ) nến ∆ có VTCP là u⃗ =(−1; 5 ).
Phương trình tham sôế của đường thẳng ∆ đi qua điểm B (−2; 3 ) và có
VTCP u⃗ =(−1; 5 ) là:
(t ∈ R )
{x=−2−t
y =3+5 t
c) Do ∆ có hệ sôế góc k =3 nến ∆ có VTCP là u⃗ =( 1; 3 ) .
Phương trình tham sôế của đường thẳng ∆ đi qua điểm C ( 0 ; 1 ) và có
VTCP u⃗ =( 1; 3 ) là:
x=t ( t ∈ R )
{ y=1+3
t
MN= (−1; 2 ) .
d) Do ∆ đi qua hai điểm M (3 ; 1 ) và N ( 2; 3 ) nến ∆ có VTCP u⃗ =⃗
Phương trình tham sôế của đường thẳng ∆ đi qua điểm M (3 ; 1 ) và có
VTCP u⃗ =(−1; 2 ) là:
x=3−t ( t ∈ R )
{ y=1+2
t
Ví dụ 2:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , lập phương trình tổng quát của đường
thẳng ∆ , biếết:
a) ∆ đi qua điểm A ( 2 ;1 ) và có VTPT n⃗ =( 3 ; 4 );
b) ∆ đi qua điểm B (−2; 3 ) và có VTCP u⃗ =( 5; 1 ) ;
c) ∆ đi qua điểm C ( 0 ; 1 ) và có hệ sôế góc k =3;
d) ∆ đi qua hai điểm M (3 ; 1 ) và N ( 2;3 );
e) ∆ đi qua hai điểm A ( 3 ; 0 ) và B ( 0;−2 ) ;
f) ∆ đi qua điểm P ( 3; 4 ), song song với đường thẳng d :2 x− y+ 5=0;
g) ∆ đi qua điểm Q ( 1;−4 ), vuông góc với đường thẳng d :3 x+2 y=0;
h) ∆ là đường phần giác của góc tạo bởi hai đường th ẳng ∆ 1 , ∆ 2, biếết
∆ 1 :2 x− y +3=0 và ∆ 2 : 4 x+ 2 y −7=0.
Hướng dẫẫn:
HS nhận dạng và nếu cách giải.
Lời giải:
a) PTTQ của đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 2 ;1 ) và có VTPT n⃗ =( 3 ; 4 ) là:
3 ( x−2 ) +4 ( y−1 )=0
⇔ 3 x+ 4 y −10=0
b) Do ∆ có VTCP u⃗ =( 5; 1 ) nến ∆ có VTPT là n⃗ =(−1 ;5 )
Khi đó, PTTQ của đường thẳng ∆ đi qua điểm B (−2; 3 ) và có VTPT
n⃗ =(−1 ;5 ) là:
−1 ( x+2 ) +5 ( y−3 )=0
8
⇔ −x +5 y−17=0
c) Do ∆ có hệ sôế góc k =3 nến ∆ có VTCP là u⃗ =( 1; 3 ) , suy ra ∆ có VTPT
n⃗ =(−3 ; 1 ).
Khi đó, PTTQ của đường thẳng ∆ đi qua điểm C ( 0 ; 1 ) và có VTPT
n⃗ =(−3 ; 1 ) là:
−3 ( x−0 ) +1 ( y−1 ) =0
⇔ −3 x+ y−1=0
d) Do ∆ đi qua hai điểm M (3 ; 1 ) và N ( 2; 3 ) nến ∆ có VTCP là
u⃗ =⃗
MN= (−1; 2 ) , suy ra ∆ có VTPT n⃗ =(−2 ;−1 ) .
Khi đó, PTTQ của đường thẳng ∆ đi qua điểm M (3 ; 1 ) và có VTPT
n⃗ =(−2 ;−1 ) là:
−2 ( x−3 )−1 ( y−1 ) =0
⇔ −2 x− y +7=0 .
e) Do ∆ đi qua hai điểm A ( 3 ; 0 ) và B ( 0;−2 ) nến phương trình ∆ có dạng:
x y
+
=1
3 −2
⇔−2 x+ 3 y +6=0
f) Do ∆ song song với đường thẳng d : 2 x− y+ 5=0 nến ∆ có VTPT
n⃗ =⃗nd =( 2 ;−1 ) .
Khi đó, PTTQ của đường thẳng ∆ đi qua điểm P ( 3; 4 ) và có VTPT
n⃗ =( 2;−1 ) là:
2 ( x−3 )−1 ( y−4 ) =0
⇔ 2 x− y−2=0 .
g) Do ∆ vuông góc với đường thẳng d :3 x+2 y=0 nến ∆ có VTPT
n⃗ =⃗ud =(−2 ; 3 ).
Khi đó, PTTQ của đường thẳng ∆ đi qua điểm Q ( 1;−4 ) và có VTPT
n⃗ =(−2 ; 3 ) là:
−2 ( x−1 ) +3 ( y+ 4 )=0
⇔ −2 x+3 y +14=0 .
h) Giả sử điểm M ( x ; y ) thuộc đường thẳng ∆ , do ∆ đường phần giác
của góc tạo bởi hai đường thẳng căết nhau ∆ 1 , ∆ 2 nến ta có:
d ( M , ∆1 )=d ( M , ∆2 )
|2 x− y +3| |4 x+ 2 y −7|
⇔ 2
=
2
(
)
2
+
−1
√ 42 +22
√
⇔
2 x− y +3
4 x+ 2 y −7
=±
2 √5
√5
⇔ −4 y+13=0
8 x−1=0
Vậy PTTQ ∆ : −4 y +13=0 hoặc ∆ : 8 x−1=0.
[
9
Ví dụ 3: (BT3-sgk-tr93)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp các điểm cách đếều hai
đường thẳng ∆ 1 :5 x+ 3 y−3=0 và ∆ 2 :5 x+ 3 y+7=0 .
Hướng dẫẫn:
Tập hợp các điểm M cách đếều hai đường thẳng song song ∆ 1 , ∆ 2 là một
đường thẳng ∆ song song với ∆ 1 , ∆ 2 ( dạng b8).
Lời giải:
Do điểm M ( x ; y ) cách đếều hai đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2 nến ta có:
d ( M , ∆1 )=d ( M , ∆2 )
|5 x +3 y−3| |5 x +3 y+ 7|
⇔
√52 +32
=
⇔5 x +3 y +2=0
√ 52 +32
Vậy tập hợp các điểm M cách đếều hai đ ường th ẳng ∆ 1 , ∆ 2 là đường
thẳng ∆ có phương trình: 5 x+ 3 y +2=0
Ví dụ 4:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC , biếết A ( 1; 4 ), B ( 4 ; 0 ),
C ( 5 ; 1 ). Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng:
a) Đường thẳng chứa cạnh BC ;
b) Đường trung tuyếến AM ;
c) Đường cao AH ;
d) Đường trung trực của cạnh BC ;
e) Đường phần giác trong góc A .
Hướng dẫẫn:
HS phần tích đếề bài, năếm vững các định nghĩa đ ường trung tuyếến,
đường cao, đường trung trực, đường phần giác từ đó veễ hình, nh ận d ạng và
lập phương trình đường thẳng.
a) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC (dạng b4).
b) Lập phương trình đường trung tuyếến AM (dạng b4).
c) Lập phương trình đường cao AH (dạng b6).
d) Lập phương trình đường trung trực của cạnh BC (dạng b6).
e) Lập phương trình đường phần giác trong góc A (dạng b7).
Lời giải:
10
a) Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua hai điểm B ( 9 ;−2 ) , C ( 4 ; 0 ) nến có
BC =(−5 ; 2 ), suy ra VTPT n⃗ =( 2; 5 ).
VTCP u⃗ =⃗
Phương trình cạnh BC :
2 ( x−9 ) +5 ( y +2 )=0
⇔ 2 x+5 y −8=0 .
Vậy phương trình cạnh BC : 2 x+5 y −8=0.
b) Đường trung tuyếến AM đi qua hai điểm A ( 1; 4 ) và trung điểm
13
11
11
M
;−1 của BC nến có VTCP u⃗ =⃗
AM =
;−5 , suy ra VTPT
n⃗ = 5 ;
.
2
2
2
Phương trình trung tuyếến AM :
11
5 ( x−1 ) + ( y−4 ) =0
2
⇔ 10 x+11 y−54=0
Vậy phương trình trung tuyếến AM : 10 x+11 y−54=0.
c) Đường cao AH đi qua điểm A ( 1; 4 ) và vuông góc với cạnh BC nến có
BC =(−5 ; 2 ) .
VTPT n⃗ =⃗
Phương trình đường cao AH :
−5 ( x−1 ) +2 ( y−4 )=0
⇔ −5 x+ 2 y −3=0 .
Vậy phương trình đường cao AH : −5 x+ 2 y −3=0 .
13
d) Đường trung trực của cạnh BC đi qua trung điểm M 2 ;−1 của BC
BC=(−5 ; 2 ) .
và vuông góc với cạnh BC nến có VTPT n⃗ =⃗
Phương trình đường trung trực của cạnh BC :
13
−5 x −
+ 2 ( y +1 )=0
2
⇔ −10 x+ 4 y +69=0
Vậy phương trình đường trung trực của cạnh BC : −10 x+ 4 y +69=0.
e) Trước hếết, lập phương trình đường phần giác ∆ của góc A , là góc
tạo bởi hai đường thẳng lầền lượt chứa cạnh AB và AC .
Tương tự cầu a), ta có phương trình c ạnh AB: 3 x+ 4 y −19=0 và
phương trình cạnh AC : 4 x+3 y −16=0
Giả sử điểm P ( x ; y ) thuộc đường thẳng ∆ , do ∆ đường phần giác của
góc tạo bởi hai đường thẳng AB , AC nến ta có:
d ( P , AB )=d ( P , AC )
|3 x +4 y−19| |4 x+3 y −16|
⇔
=
√32 + 42
√ 4 2 +32
(
)
(
)
(
(
(
⇔
)
)
)
3 x+ 4 y −19
4 x+3 y −16
=±
5
5
11
⇔ −x+ y−3=0
x+ y−5=0
[
Do ∆ là phần giác trong của góc
A nến hai điểm B ,C phải năềm vếề hai phía khác nhau so với ∆ , vậy phương
trình đường phần giác ∆ cầền tìm là: x + y−5=0.
Ví dụ 5: (BT1-sgk-tr93)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD. Biếết các đỉnh
A ( 5 ; 1 ) , C ( 0 ; 6 ) và phương trình CD : x +2 y −12=0 . Tìm phương trình các đường
thẳng chứa các cạnh còn lại.
Hướng dẫẫn:
HS veễ hình, phần tích đếề bài, nhận dạng và lập phương trình đ ường
thẳng.
- Đường thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm A ( 5 ; 1 ) và song song với CD
(dạng b5).
- Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua điểm C ( 0 ; 6 ) và vuông góc với CD
(dạng b6).
- Đường thẳng chứa cạnh AD đi qua điểm A ( 5 ; 1 ) và vuông góc với CD
(dạng b6).
Lời giải:
+) Đường thẳng chứa cạnh AB song song với CD nến có VTPT:
n⃗ AB =⃗nCD =( 1 ; 2 ).
Khi đó, PTTQ của đường thẳng AB đi qua điểm A ( 5 ; 1 ) và có VTPT
n⃗ AB =( 1; 2 ) là:
1 ( x−5 ) +2 ( y−1 )=0
⇔ x +2 y −7=0 .
+) Đường thẳng chứa cạnh BC vuông góc với CD nến có VTPT
n⃗ BC =⃗uCD =(−2 ; 1 ).
Khi đó, PTTQ của đường thẳng BC đi qua điểm C ( 0 ; 6 ) và có VTPT
n⃗ BC =(−2 ; 1 ) là:
−2 ( x−0 ) +1 ( y−6 )=0
⇔ −2 x+ y−6=0 .
+) Đường thẳng chứa cạnh AD vuông góc với CD nến có VTPT
n⃗ AD =⃗uCD =(−2 ; 1 ).
Khi đó, PTTQ của đường thẳng AD đi qua điểm A ( 5 ; 1 ) và có VTPT
n⃗ AD =(−2 ; 1 ) là:
−2 ( x−5 ) +1 ( y−1 )=0
⇔ −2 x+ y+ 9=0 .
12
Ví dụ 6: (BT3.6- Sách BTHH 10-tr131)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC , biếết phương trình
đường thẳng AB: x−3 y +11=0, đường cao AH :3 x+ 7 y−15=0, đường cao
BH :3 x−5 y +13=0. Lập phương trình hai đường thẳng chứa hai c ạnh còn l ại
của tam giác.
Hướng dẫẫn:
HS đọc kĩ đếề bài , veễ hình, phần tích, định h ướng cách gi ải.
- Xác định tọa độ điểm A , B .
- Đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm A và vuông góc với đường
cao BH (dạng b6).
- Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua điểm B và vuông góc với đường
cao AH (dạng b6).
Lời giải:
Điểm A là giao của hai đường thẳng AB, AH nến tọa độ điểm A là
nghiệm của hệ phương trình:
y +11=0
x=−2
⇔{
{3x−3
x +7 y −15=0
y=3
⇒ A (−2 ; 3 ).
Tương tự, điểm B là giao của hai đường thẳng AB, BH nến tọa độ
điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
y +11=0
x=4
⇔{
{3x−3
x −5 y+13=0
y=5
⇒ B ( 4 ; 5).
Đường thẳng chứa cạnh AC vuông góc với BH : 3 x−5 y +13=0
VTPT n⃗ AC =⃗uBH =( 5 ; 3 ) .
Khi đó, PTTQ của đường thẳng AC đi qua điểm A (−2 ; 3 ) và có VTPT
n⃗ AC =( 5; 3 ) là:
⇒
5 ( x+ 2 )+ 3 ( y −3 )=0
⇔ 5 x+ 3 y +1=0 .
Vậy phương trình cạnh AC : 5 x+ 3 y +1=0
Đường thẳng chứa cạnh BC vuông góc với AH : 3 x+ 7 y−15=0
VTPT n⃗ BC =⃗u AH =(−7 ; 3 ).
Khi đó, PTTQ của đường thẳng BC đi qua điểm B ( 4 ; 5 ) và có VTPT
n⃗ BC =(−7 ; 3 ) là:
−7 ( x−4 ) +3 ( y−5 )=0
⇔ −7 x +3 y+ 13=0 .
Vậy phương trình cạnh BC : −7 x +3 y+ 13=0
⇒
13
Ví dụ 7:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (C) có phương trình:
2
2
x + y −4 x −2 y +3=0. Lập phương trình tiếếp tuyếến ∆ của (C), biếết ∆ vuông góc
với đường thẳng d : y=x .
Hướng dẫẫn:
HS đọc kĩ đếề bài, veễ hình, phần tích yếu cầều bài toán, đ ịnh h ướng cách
giải.
- Xác định dạng phương trình của ∆ .
- Xác định điếều kiện để ∆ là tiếếp tuyếến của đường tròn (C).
Lời giải:
Đường tròn (C) có tầm A ( 2 ;1 ), bán kính R=√ 2.
Do đường thẳng ∆ đường thẳng d : y=x nến VTPT n⃗ ∆=⃗u d=( 1 ; 1 ).
Khi đó, ptđt ∆ có dạng: x + y +c=0 .
Mặt khác, ∆ là tiếếp tuyếến của (C) nến ta có: d ( A , ∆)=R
|2+1+c|
⇔
= √ 2 ⇔|3+ c|=2
2
2
√1 +1
⇔ c=−1
c=−5
[
Vậy phương trình dường thẳng ∆ là: x + y−1=0 hoặc x + y−5=0.
2.3.4. Giải pháp 4: Giao bài tập vềầ nhà.
Bài 1. Lập phương trình tham sôế của đường thẳng ∆ trong môễi trường hợp
sau:
a) ∆ đi qua điểm A (−5 ;−2 ) và có VTCP u⃗ =( 4 ;−3 ) ;
b) ∆ đi qua điểm B (3 ; 0 ) và có VTPT n⃗ =( 2; 1 ) ;
c) ∆ đi qua điểm C (−3 ; 2 ) và có hệ sôế góc k =−2;
d) ∆ đi qua hai điểm M ( √3 ; 1 ) và N ( 2+ √ 3; 4 ) .
Bài 2. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ , trong các trường
hợp sau:
a) ∆ đi qua điểm A ( 1; 1 ) và có VTPT n⃗ =( 3 ;−2 ) ;
b) ∆ đi qua điểm B (−1;−3 ) và có VTCP u⃗ =( 2;−3 ) ;
−1
c) ∆ đi qua điểm C ( 2 ;−1 ) và có hệ sôế góc k = 2 ;
d) ∆ đi qua hai điểm M (3 ; 5 ) và N (−2 ;3 );
e) ∆ đi qua hai điểm A ( 2 ; 0 ) và B ( 0;−3 );
14
f) ∆ đi qua điểm P ( 1; 4 ), song song với đường thẳng d : x−2 y+ 1=0;
g) ∆ đi qua điểm Q ( 5; 0 ) và vuông góc với đường thẳng
d :−4 x +3 y−1=0;
h) ∆ là đường phần giác của góc tạo bởi hai đường th ẳng ∆ 1 , ∆ 2, biếết
∆ 1 :2 x+ 4 y +7=0 và ∆ 2 : x−2 y−3=0 .
Bài 3. (BT6-sgk-93) Lập phương trình hai đường phần giác c ủa các góc t ạo
bởi hai đường thẳng 3 x−4 y+ 12=0 và 12 x+5 y−7=0 .
Bài 4. (BT3.5- BTHH10-tr131) Lập phương trình đường thẳng đi qua đi ểm
M (1 ; 2 ) và chăến trến hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài băềng nhau.
Bài 5. Lập phương trình đường thẳng chứa ba cạnh của một tam giác có
trung điểm các cạnh lầền lượt là M (−1; 0 ), N ( 4 ; 1 ) , P ( 2; 4 ) .
Bài 6. (BT3-sgk-tr80) Cho tam giác ABC , biếết A ( 1; 4 ), B (3 ;−1 ) và C ( 6 ; 2 ) .
a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và CA .
b) Lập phương trình tổng quát của đường cao AH và trung tuyếến AM .
Bài 7. Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình x +3 y=0 và
2 x−5 y+ 6=0, một đỉnh của hình bình hành là C(4; 1). Lập phương trình các cạnh
còn lại của hình bình hành.
Bài 8. Biết phương trình hai cạnh của một tam giác là 5 x−2 y+ 6=0 và
4 x+7 y −21=0 . Lập phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm tam giác
trùng với gốc toạ độ.
Bài 9. Cho tam giác ABC có A (−2 ; 1 ) và các đường cao có phương trình
2 x− y +1=0 và x + y +2=0 . Lập phương trình đường trung tuyến qua đỉnh A của
tam giác ABC .
Bài 10.(BT7-sgk-tr99) Cho tam giác ABC với H là trực tâm. Biết phương trình
của đường thẳng AB, BH và AH lần lượt là 4 x+ y−12=0, 5 x−4 y−15=0 và
2 x+2 y−9=0 . Hãy lập phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại và
đường cao thứ ba.
2.4. Hiệu quả của sáng kiềốn kinh nghiệm đốối với ho ạt đ ộng giáo d ục,
với bản thần, đốầng nghiệp và nhà trường
Như trong phầền lí do chọn đếề tài đã nếu, sáng kiếến kinh nghiệm trình
bày các giải pháp giúp học sinh trường THPT Th ường Xuần 2 gi ải bài toán
lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa đ ộ Oxy . Với tinh thầền
đó, trong quá trình giảng dạy bài toán này tôi thực hiện theo cách hệ thôếng
kiếến thức, phần dạng và định hướng cách giải cho từng dạng, thông qua các
ví dụ được chọn lọc từ dếễ đếến khó. Từ những bài toán cơ bản học sinh có thể
áp dụng vào giải các bài phức tạp, đòi hỏi nhiếều kiếến th ức và kyễ năng h ơn .
Khi thực hiện các giải pháp này tại lớp 1 0C3 (năm học 2019-2020), tôi nhận
thầếy:
- Học sinh hứng thú hơn khi giải toán, bởi các kiếến thức, kyễ năng mà
các em còn lúng túng, mơ hôề đã được trình bày m ột cách t ường minh, dếễ
hiểu.
15
nay.
- Giờ dạy tránh được tính đơn điệu, nhàm chán theo m ột lôếi mòn lầu
- Học sinh có nhiếều thay đổi tích cực vếề phương pháp học tập và t ư duy
giải toán.
Kếết quả đó còn được thể hiện rõ r ệt qua các bài ki ểm tra :
Giỏi
Khá
TB
Yềốu
Sốố
Lớp
HS
SL
TL(%)
SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%)
10C3 43
6
14
17
39,5
17
39,5
3
7
3. Kềốt luận và đềầ xuầốt
3.1. Kềốt quả thực hiện đềầ tài
Qua thực tếế giảng dạy, tôi nhận thầếy khi chưa áp dụng đếề tài vào
giảng dạy, học sinh có học lực môn Toán ở mức trung bình, yếếu gặp khá
nhiếều khó khăn, kể cả giải những bài tập ở dạng cơ bản nhầết. Sau khi triển
khai đếề tài học sinh đã có thể làm tôết các bài tập cơ bản ở mức độ thông
hiểu và vận dụng, đặc biệt là các bài tập trong sách giáo khoa. Vì v ậy, các
em đã thực sự cảm thầếy tự tin, hứng thú với môn Toán . Qua khảo sát kếết quả
học tập của các em cũng có sự tiếến bộ rõ rệt.
3.2. Kiềốn nghị
a)Trong quá trình giảng dạy, giáo viến cầền nghiến cứu, tìm tòi các
phương pháp dạy phù hợp với từng đôếi tượng học sinh để mang lại hiệu
quả cao nhầết.
b) Giáo viến cầền tăng cường kiểm tra, sửa chữa sai sót cho học sinh,
đôềng thời động viến các em khi các em tiếến b ộ.
c) Giáo viến hướng dầễn cách tự đọc sách c ủa học sinh, đ ộng viến tìm
tòi các phương pháp hay, ngăến gọn.
d) Đếề tài là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các em học sinh và thầềy
cô giáo.
Trến đầy là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thần trong quá trình
thực hiện việc đổi mới phương pháp dạy học, đếề tài không tránh kh ỏi nh ững
hạn chếế. Vì vậy, tôi rầết mong sự đóng góp quý báu của bạn bè, đôềng nghi ệp.
Tôi xin chần thành cảm ơn.
XÁC NHẬN
Thanh Hóa, ngày 26 tháng 6 năm
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
2020
Tôi xin cam đoan đầy là SKKN của
mình viếết, không sao chép nội dung
của người khác.
Nguyềẫn Thị Thanh Huyềần
16
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa: Hình học 10.
2. Sách bài tập: Bài tập Hình học 10.
3. Một sôế tài liệu tham khảo từ trang web: Violet.vn.
17
- Xem thêm -
.DOCX 
17 
26 
129 
