Tài liệu Một số tính chất của vành giao hoán Artin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN – TIN …..o0o…. VŨ KIM HỒNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH GIAO HOÁN ARTIN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN – TIN VŨ KIM HỒNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH GIAO HOÁN ARTIN Ngành: Sư phạm Toán MSSV: 34101028 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến PGS. TS. Trần Tuấn Nam, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tôi về mặt nghiên cứu cũng như niềm tin để hoàn thành luận văn này. Bên cạnh đó, tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn đến các quý thầy cô trong tổ bộ môn Đại số nói riêng và toàn thể quý thầy cô khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh nói chung đã tận tình giảng dạy, truyền thụ những tri thức quý báu cho tôi trong suốt bốn năm học tại trường. Và cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã hỗ trợ tôi về vật chất cũng như tinh thần để tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp này. Vũ Kim Hồng MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa ............................................................................................................. 1 Lời cảm ơn ................................................................................................................. 2 Mục lục ....................................................................................................................... 3 Danh mục các ký hiệu ................................................................................................ 4 MỞ ĐẦU .....................................................................................................................5 Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN .............................................................................7 1.1. Vành và iđêan ...................................................................................................7 1.2. Môđun .............................................................................................................15 1.3. Sự phân tích nguyên sơ...................................................................................20 Chương 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH ARTIN ........................................22 2.1. Điều kiện dây chuyền .....................................................................................22 2.2. Sự phân tích nguyên sơ trong vành Noether ..................................................29 2.3. Một số tính chất của vành Artin .....................................................................32 KẾT LUẬN ...............................................................................................................38 TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................40 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Vành và môđun được ký hiệu bởi chữ in hoa: A, B,…, M, N,…. Iđêan được ký hiệu bởi chữ cái thường tiếng Đức: a , b,..., m ,..., p, q,... . Phần tử của vành, môđun và iđêan được ký hiệu bởi chữ thường: a, b, …, x, y,…. Kết thúc một chứng minh (hoặc thiếu đi chứng minh) được đánh dấu: . Sự bao hàm của những tập hợp được ký hiệu bởi: ⊆ . Sự bao hàm ngặt của những tập hợp được ký hiệu bởi: ⊂ . MỞ ĐẦU Điều kiện dây chuyền tăng và điều kiện dây chuyền giảm là những tính chất hữu hạn được thỏa mãn bởi cấu trúc đại số nào đó, đặc biệt là các iđêan của vành giao hoán. Hai điều kiện này đóng vai trò quan trọng đối với sự phát triển lý thuyết cấu trúc của vành giao hoán trong những nghiên cứu của David Hilbert, Emmy Noether và Emil Artin. Vành Artin và vành Noether là những vành giao hoán thỏa điều kiện dây chuyền giảm và điều kiện dây chuyền tăng trên mọi tập không rỗng những iđêan. Trong đó, vành Artin được tìm ra bởi nhà toán học người Áo Emil Artin (1898 – 1962), là loại vành đơn giản nhất sau trường. Và luận văn này nhằm mục đích tìm hiểu một số tính chất của vành giao hoán Artin. Bố cục luận văn được chia làm hai chương: • Chương 1: Kiến thức cơ bản Chương này trình bày những kiến thức cơ bản liên quan đến đề tài: 1.1. Vành và iđêan, 1.2. Môđun, 1.3. Sự phân tích nguyên sơ. Các chứng minh ở chương này được bỏ qua. • Chương 2: Một số tính chất của vành Artin Đây là chương chính của luận văn gồm ba phần: 2.1. Điều kiện dây chuyền: Từ điều kiện dây chuyền xây dựng khái niệm môđun Artin (và Noether), vành Artin (và Noether), chứng minh một số tính chất của môđun Artin (và Noether). 2.2. Sự phân tích nguyên sơ trong vành Noether: Phần này cung cấp một số định lý, mệnh đề nhằm phục vụ cho việc chứng minh các tính chất của vành Artin có liên quan đến vành Noether ở phần tiếp theo. 2.3. Một số tính chất của vành Artin: Phần này đi sâu vào tìm hiểu những tính chất của vành Artin về: iđêan nguyên tố, căn lũy linh, vành Artin địa phương, mối quan hệ giữa vành Artin và vành Noether và đặc biệt là định lý cấu trúc của vành Artin. Vì khả năng và thời gian còn hạn chế nên luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và bạn đọc đóng góp để luận văn được hoàn chỉnh hơn nữa. Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. Vành và iđêan Định nghĩa 1.1.1. Một vành A là một tập hợp với hai phép toán hai ngôi (phép cộng và phép nhân) thỏa: 1) A là một nhóm aben đối với phép cộng, có phần tử trung hòa là phần tử không (ký hiệu 0). 2) Phép nhân có tính kết hợp: ( ab ) c = a ( bc ) , và phân phối đối với phép cộng: a ( b + c ) = ab + ac , ( b + c ) a =ba + ca . Ta chỉ xét những vành có tính giao hoán: 3) ab = ba với mọi a, b ∈ A , và có phần tử đơn vị (ký hiệu 1): 4) = 1a= a với mọi a ∈ A . ∃1 ∈ A sao cho a1 Ghi chú: • Khái niệm “vành” được dùng ở đây là “vành giao hoán có đơn vị”, nghĩa là một vành thỏa các tiên đề từ (1) đến (4) cho ở trên. • Nếu trong vành A ta có 1 = 0 thì A chỉ có một phần tử là 0. Ta gọi A là vành không, ký hiệu 0. Mệnh đề 1.1.2. Cho vành A. Khi đó: • Phần tử đơn vị của vành là duy nhất. • 0a = 0 với mọi a ∈ A . • a ( −b ) = − ( ab ) ( −a ) b = • ab với mọi a, b ∈ A . ( −a )( −b ) = • na ) b (= •  n  m  n m  ∑ a i   ∑ b j  = ∑∑ a i b j với mọi a1 ,...,a n , b1 ,..., b m ∈ A . =i 1  =j 1  =i 1 =j 1 với mọi a, b ∈ A . a= ( nb ) n ( ab ) với mọi a, b ∈ A , mọi n ∈  . • ( ab ) • (a + b) n = a n b n với mọi a, b ∈ A , mọi n ∈  . n n = ∑ Cin a n −i bi với mọi a, b ∈ A , mọi n ∈  .  i =0 Định nghĩa 1.1.3. Một tập con S của vành A được gọi là vành con của A nếu thỏa: i) a − b ∈ S với mọi a, b ∈ S , ii) ab ∈ S với mọi a, b ∈ S , iii) 1 ∈ S . Định nghĩa 1.1.4. Một đồng cấu vành là một ánh xạ f từ vành A vào vành B thỏa: i) f ( a + b )= f ( a ) + f ( b ) với mọi a, b ∈ A , ii) f ( ab ) = f ( a ) .f ( b ) với mọi a, b ∈ A , iii) f (1) = 1. Ghi chú: • Đồng cấu vành f được gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu ánh xạ f tương ứng là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh. • Nếu có một đẳng cấu vành từ vành A đến vành B thì ta nói hai vành A và B đẳng cấu nhau, ký hiệu A ≅ B . Mệnh đề 1.1.5. Cho đồng cấu vành f : A → B . Khi đó: • f ( 0) = 0 . • f ( −a ) = −f ( a ) với mọi a ∈ A . • f ( a − b )= f ( a ) − f ( b ) với mọi a, b ∈ A .  Mệnh đề 1.1.6. Nếu f : A → B , g : B → C là hai đồng cấu vành thì tích (ánh xạ hợp) g  f : A → C cũng là đồng cấu vành.  Định nghĩa 1.1.7. Một iđêan a của vành A là một tập con của A thỏa: i) a ≠ ∅, ii) x − y ∈a với mọi x, y ∈a , ax ∈a với mọi a ∈ A và mọi x ∈a . iii) Định nghĩa 1.1.8. Cho a là một iđêan của một vành A. Quan hệ hai ngôi  xác định trên A: a  b ⇔ a − b ∈ a với mọi a, b ∈ A là một quan hệ tương đương. Tập thương A  được ký hiệu A a , lớp tương đương với đại diện a ∈ A được ký hiệu a + a . Khi đó, tập thương A a có cấu trúc vành với hai phép toán: • Phép cộng: với mọi x + a , y + a ∈ A a : ( x + a ) + ( y + a ) = ( x + y ) + a • Phép nhân: với mọi x + a , y + a ∈ A a : ( x + a )( y + a )= ( xy ) + a Ta gọi đó là vành thương của vành A trên iđêan a . Mệnh đề 1.1.9. Ánh xạ φ:A → A a x  x +a là một toàn cấu vành. Ta gọi đó là toàn cấu chính tắc từ A lên vành thương A a . Hơn nữa, Kerφ =a .  Mệnh đề 1.1.10. Nếu f : A → B là một đồng cấu vành bất kỳ thì Kerf = f −1 ( 0 ) là một iđêan của A, Im f = f ( A ) là một vành con của B và f cảm sinh một đẳng cấu vành: A Kerf ≅ Im f .  Định nghĩa 1.1.11. • Một phần tử x của vành A được gọi là ước của không nếu trong A tồn tại phần tử y ≠ 0 sao cho xy = 0 . Nếu x là ước của không và x ≠ 0 thì x được gọi là ước thật sự của không. • Vành khác không và không có ước thật sự của không được gọi là miền nguyên. • Một phần tử x của vành A được gọi là lũy linh nếu có một số nguyên dương n sao cho x n = 0 . • Một phần tử x của vành A được gọi là phần tử khả nghịch nếu trong A tồn tại phần tử y sao cho xy = 1 . Phần tử y được xác định duy nhất bởi x và được viết là x −1 . • Những bội số ax của phần tử x thuộc vành A lập thành một iđêan chính, ký hiệu Ax hoặc 〈 x 〉 . Iđêan không 〈 0〉 thường được ký hiệu 0. • Vành A được gọi là trường nếu A ≠ 0 và mọi phần tử khác không đều khả nghịch. Mệnh đề 1.1.12. Một phần tử x của vành A là phần tử khả nghịch khi và chỉ khi 〈 x 〉 =A .  Mệnh đề 1.1.13. Cho A là một vành khác 0. Khi đó những phát biểu sau là tương đương: i) A là một trường; ii) Chỉ có hai iđêan trong A là 0 là 〈1〉 ; iii) Mọi đồng cấu từ A vào vành B khác 0 là đơn ánh.  Định nghĩa 1.1.14. • Một iđêan p của vành A được gọi là iđêan nguyên tố nếu p ≠ 〈1〉 và nếu xy ∈ p thì suy ra x ∈ p hoặc y ∈ p . • Một iđêan m của vành A được gọi là iđêan tối đại nếu m ≠ 〈1〉 và chỉ có hai iđêan của A chứa m là m và A. Mệnh đề 1.1.15. Cho a là iđêan của vành A, khi đó: • a là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi A a là miền nguyên. • a là iđêan tối đại khi và chỉ khi A a là trường.  Hệ quả 1.1.16. • Mọi iđêan tối đại đều là iđêan nguyên tố. • Iđêan 0 của vành A là nguyên tố khi và chỉ khi A là miền nguyên.  Mệnh đề 1.1.17. Nếu f : A → B là một đồng cấu vành và q là một iđêan nguyên tố của B thì f −1 ( q ) là một iđêan nguyên tố của A.  Định lý 1.1.18. Mọi vành A khác không đều chứa ít nhất một iđêan tối đại.  Hệ quả 1.1.19. • Nếu a ≠ 〈1〉 là một iđêan của vành A thì tồn tại một iđêan tối đại của A chứa a . • Mỗi phần tử không khả nghịch của vành A luôn được chứa trong một iđêan tối đại.  Định nghĩa 1.1.20. Vành A chỉ có một iđêan tối đại duy nhất được gọi là vành địa phương. Mệnh đề 1.1.21. Tập N gồm tất cả lũy linh của vành A là một iđêan và A N không chứa lũy linh nào khác 0.  Định nghĩa 1.1.22. Iđêan N được gọi là căn lũy linh của vành A. Mệnh đề 1.1.23. Căn lũy linh của vành A là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của A.  Định nghĩa 1.1.24. Căn Jacobson J của vành A là giao của tất cả iđêan tối đại của A. Mệnh đề 1.1.25. Giao a i∈I i của một họ iđêan ( a i )i∈I của vành A là một iđêan của vành A.  Định nghĩa 1.1.26. Cho a và b là hai iđêan của vành A. • Tổng của a và b , ký hiệu a + b , là tập gồm tất cả các phần tử x + y với x ∈a , y ∈b . Tổng quát, tổng ∑a i∈I i của họ iđêan ( a i )i∈I là tập gồm tất cả các tổng ∑x i∈I i với x i ∈a i ( i ∈ I ) và hầu hết x i = 0 trừ một số hữu hạn. • Tích của a và b , ký hiệu ab , là tập gồm tất cả các tổng hữu hạn ∑x y i j với x i ∈a , y j ∈b . Tổng quát, tích của n iđêan a1 , a 2 ,..., a n là a1a 2 ...a n . Nói riêng, ta có khái niệm lũy thừa của iđêan a : a 0 (:= A ) , a1 (:= a ) , a 2 , a 3 ,..., a n ,... . • Thương của a và b , ký hiệu ( a : b) , là tập gồm tất cả các phần tử x ∈ A thỏa xb ⊆ a . Nói riêng, ( 0 : b) là tập gồm tất cả các phần tử x ∈ A thỏa xb = 0 , được gọi là linh hóa tử của b , ký hiệu Ann (b) . Nếu b là iđêan chính 〈 x 〉 thì có thể viết ( a : x ) thay cho ( a : 〈 x 〉 ) . • Căn của a , ký hiệu rad ( a ) , là tập gồm tất cả phần tử x ∈ A thỏa có số nguyên dương n sao cho x n ∈a . Mệnh đề 1.1.27. Cho a và b là hai iđêan của vành A. Khi đó a + b , ab , ( a : b) , rad ( a ) đều là iđêan của A.  Mệnh đề 1.1.28. Cho a , b , c , ( a i )i∈I là những iđêan của vành A. Ta có: • a ∩ b ⊇ ab • a (b + c ) = ab + ac • a ⊆ ( a : b) • ( a : b) b ⊆ a • b ) : c ) (= a : bc ) ( ( a : c ) : b) ( (a := •     a i : a  =  (a i : a )  i∈I  i∈I • (a : b + c=) (a : b) ∩ (a : c ) • rad ( a ) ⊇ a • rad ( rad ( a ) ) = rad ( a ) • rad ( ab= ) rad (a ∩ b=) rad (a ) ∩ rad (b) • rad ( a ) = A ⇔ a = A • rad= (a + b) rad ( rad (a ) + rad (b) )  Định nghĩa 1.1.29. Hai iđêan a và b của vành A được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu a + b = 〈1〉 . Mệnh đề 1.1.30. Hai iđêan a và b của vành A nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn tại x ∈a và y ∈b sao cho x + y = 1 . Mệnh đề 1.1.31. Nếu a và b iđêan nguyên tố cùng nhau thì a ∩ b = ab .  Định nghĩa 1.1.32. Cho A1 , A 2 ,..., A n là vành. Khi đó, tích trực tiếp của chúng n A = ∏ A i là tập tất cả các dãy x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) với x i ∈ A i ( 1 ≤ i ≤ n ) cùng với i =1 hai phép toán theo thành phần: • x + y= = xy • ( x1 , x 2 ,..., x n ) + ( y1 , y 2 ,..., y n ) := ( x1 + y1 , x 2 + y 2 ,..., x n + y n ) , x1 , x 2 ,..., x n ) . ( y1 , y 2 ,..., y n ) : ( x1y1 , x 2 y 2 ,..., x n y n ) , (= là một vành giao hoán với đơn vị 1 = (1,1,...,1) . Vành A này được gọi là vành tích của A1 , A 2 ,..., A n . Mệnh đề 1.1.33. • n Cho A1 , A 2 ,..., A n là vành và A = ∏ A i là vành tích của chúng. Những i =1 phép chiếu pi : A → A i được xác định bởi pi ( x ) = x i là những đồng cấu vành. n Cho a1 , a 2 ,..., a n là những iđêan của vành A. Ánh xạ φ : A → ∏ ( A a i ) • i =1 xác định bởi quy tắc φ ( x ) =( x + a1 , x + a 2 ,..., x + a n ) là một đồng cấu vành.  Mệnh đề 1.1.34. Cho a1 , a 2 ,..., a n là những iđêan của vành A và đồng cấu vành n φ : A → ∏ ( A a i ) , φ ( x ) =( x + a1 , x + a 2 ,..., x + a n ) . Khi đó : i =1 • n Nếu a i , a j nguyên tố cùng nhau với mọi i ≠ j thì a1...a n =  a i . i =1 • φ toàn ánh ⇔ a i , a j nguyên tố cùng nhau với mọi i ≠ j . • φ đơn ánh ⇔ n a i =〈 0〉 .  i =1 Định lý 1.1.35. (Định lý tránh nguyên tố) • Cho p1 ,..., pn là những iđêan nguyên tố và a là một iđêan chứa trong n  p . Khi đó a ⊆ p i i với i nào đó. i =1 • Cho a1 ,..., a n là những iđêan và p là một iđêan nguyên tố chứa n a i . i =1 n Khi đó a i ⊆ p với i nào đó. Nếu p =  a i thì a i = p với i nào đó.  i =1 Mệnh đề 1.1.36. Cho a là một iđêan của vành A. Khi đó căn của iđêan a là giao của tất cả iđêan nguyên tố chứa a .  Mệnh đề 1.1.37. Cho a , b là hai iđêan của vành A. Khi đó rad ( a ) , rad (b) nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi a , b nguyên tố cùng nhau.  1.2. Môđun Định nghĩa 1.2.1. Cho A là một vành. Một A – môđun là một tập hợp M với phép nội toán + : M × M → M và phép ngoại toán : A × M → M thỏa: 1) M là một nhóm aben đối với phép cộng, có phần tử không (ký hiệu 0), 2) a ( x + y ) = ax + ay với mọi a ∈ A và mọi x, y ∈ M , 3) ( a + b ) x =ax + bx 4) a ( bx ) = ( ab ) x với mọi a, b ∈ A và mọi x ∈ M , 5) 1x = x với mọi x ∈ M (1 là phần tử đơn vị của vành A). với mọi a, b ∈ A và mọi x ∈ M , Khi đó, vành A được gọi là vành hệ tử của môđun. Định nghĩa 1.2.2. Cho M, N là hai A – môđun. Một ánh xạ f : M → N là một đồng cấu A – môđun (hay A – tuyến tính) nếu: i) f ( x + y )= f ( x ) + f ( y ) với mọi x, y ∈ M , ii) f ( ax ) = a.f ( x ) với mọi a ∈ A và mọi x ∈ M . Ghi chú: • Nếu A là trường thì một đồng cấu A – môđun giống như phép biến đổi tuyến tính của không gian vectơ. • Đồng cấu A – môđun được gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu ánh xạ f tương ứng là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh. • Nếu có một đẳng cấu A – môđun từ M đến N thì ta nói M và N đẳng cấu nhau, ký hiệu M ≅ N . Mệnh đề 1.2.3 Nếu f : M → N , g : N → L là hai đồng cấu A – môđun thì tích (ánh xạ hợp) g  f : M → L cũng là đồng cấu A – môđun.  Định nghĩa 1.2.4. Cho A – môđun M và N là tập con của M. Khi đó, N được gọi là môđun con của M nếu: i) N ≠∅, ii) x − y ∈ N với mọi x, y ∈ N , iii) ax ∈ N với mọi x ∈ N , a ∈ A . Ghi chú: • Môđun con cũng là một A – môđun với các phép toán cảm sinh. • Iđêan a của vành A cũng là một A – môđun. Đặc biệt, bản thân A cũng là một A – môđun. • Nếu A là một trường K thì A – môđun là một K – không gian vectơ. Định nghĩa 1.2.5. Cho N là môđun con của A – môđun M. Tập thương M N có cấu trúc A – môđun với hai phép toán: • Với mọi x + N, y + N ∈ M N : ( x + N ) + ( y + N ) = ( x + y ) + N . • Với mọi x + N ∈ M N , a ∈ A : a ( x + N ) =ax + N . Ta gọi đó là môđun thương của môđun M trên môđun con N. Mệnh đề 1.2.6. Ánh xạ φ:M → M N xx+N là một toàn cấu A – môđun. Ta gọi đó là toàn cấu chính tắc từ môđun M lên môđun thương M N .  Mệnh đề 1.2.7. Cho N là môđun con của A – môđun M. Có một sự tương ứng 1 – 1 bảo toàn thứ tự giữa những môđun con của M mà chứa N với những môđun con của M N. Mệnh đề 1.2.8. Nếu f : M → N là một đồng cấu A – môđun thì Kerf = f −1 ( 0 ) là một môđun con của M, Im f = f ( M ) là một môđun con của N và f cảm sinh một đẳng cấu A – môđun: M Kerf ≅ Im f .  Mệnh đề 1.2.9. Cho f : M → N là một đồng cấu A – môđun. Khi đó : • Nếu M ' là môđun con của M thì f ( M ') là môđun con của N. • Nếu N ' là môđun con của N thì f −1 ( N ') là môđun con của M.  Mệnh đề 1.2.10. Giao M i∈I i của một họ môđun con ( M i )i∈I của A – môđun M là một môđun con của M.  Định nghĩa 1.2.11. Cho M1 , M 2 là hai môđun con của A – môđun M và a là một iđêan của A. • Tổng của M1 và M 2 , ký hiệu M1 + M 2 , là tập gồm tất cả các phần tử x + y với x ∈ M1 , y ∈ M 2 . Tổng quát, tổng ( Mi )i∈I ∑M i∈I i của họ môđun con của A – môđun M là tập gồm tất cả các tổng ∑x i∈I i với x i ∈ M i ( i ∈ I ) và hầu hết x i = 0 trừ một số hữu hạn. • Tích của a và M, ký hiệu aM , là tập gồm tất cả các tổng hữu hạn ∑a x i • i với a i ∈a , x i ∈ M . Thương của M1 và M 2 , ký hiệu ( M1 : M 2 ) , là tập gồm tất cả phần tử a ∈ A thỏa aM 2 ⊆ M1 . Đặc biệt, thương ( 0 : M ) là tập gồm tất cả phần tử a ∈ A thỏa aM = 0 , được gọi là linh hóa tử của A – môđun M và ký hiệu Ann ( M ) . Ghi chú: Nếu iđêan a ⊆ Ann ( M ) thì A – môđun M sẽ có cấu trúc A a – môđun nhờ phép nhân ngoài ( a + a ) x = ax ( a ∈ A, x ∈ M ). Mệnh đề 1.2.12. Cho M1 , M 2 là hai môđun con của A – môđun M và a là một iđêan của A. Khi đó, M1 + M 2 , aM là hai môđun con của M và ( M1 : M 2 ) là một iđêan của A.  Mệnh đề 1.2.13. Nếu x là một phần tử của A – môđun M thì tập tất cả các bội số ax với a ∈ A là một môđun con của M, ký hiệu Ax hoặc 〈 x 〉 và gọi là môđun con của M sinh bởi x.  Định nghĩa 1.2.14. Cho A – môđun M. • Nếu M = ∑ Ax i thì ( x i )i∈I được gọi là hệ sinh của M, có nghĩa là mọi i∈I phần tử của M có thể biểu diễn (không nhất thiết duy nhất) dưới dạng tổ hợp tuyến tính hữu hạn của ( x i )i∈I với hệ số trong A. • M được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn. • Hệ sinh ( x i )i∈I của M được gọi là cơ sở của M nếu phần tử 0 được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của họ ( x i )i∈I , tức là nếu ∑a x i∈I i i = 0 thì a i = 0 với mọi i ∈ I . Định nghĩa 1.2.15. • Nếu M, N là các A – môđun thì tổng trực tiếp của chúng, ký hiệu M ⊕ N , là tập gồm tất cả các cặp ( x, y ) với x ∈ M, y ∈ N . Tổng quát, nếu ( M i )i∈I là một họ bất kỳ các A – môđun thì tổng trực tiếp ⊕ M là i∈I tập gồm tất cả các họ ( x i )i∈I thỏa x i ∈ M i với mỗi i ∈ I và hầu hết xi = 0 . • Nếu ( M i )i∈I là một họ bất kỳ các A – môđun thì tích trực tiếp của chúng, ký hiệu ∏M i∈I i , là tập gồm tất cả các họ ( x i )i∈I thỏa x i ∈ M i với mỗi i ∈ I . Ghi chú: Khi tập chỉ số I = {1, 2,..., n} là một tập hữu hạn thì tổng trực tiếp ⊕ M = M1 ⊕ M 2 ⊕ ... ⊕ M n và tích trực tiếp i∈I ∏M = i∈I i M1 × M 2 × ... × M n hiển nhiên trùng nhau. Còn nếu I là tập vô hạn thì tổng trực tiếp và tích trực tiếp hoàn toàn khác nhau. Mệnh đề 1.2.16. Nếu M, N là các A – môđun thì tổng trực tiếp M ⊕ N là một A – môđun nếu ta định nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng: • ( x1 , y1 ) + ( x 2 , y 2 ) = ( x1 + x 2 , y1 + y 2 ) • a ( x, y ) = ( ax,ay )  Mệnh đề 1.2.17. M là một A – môđun hữu hạn sinh khi và chỉ khi M đẳng cấu với thương của A n = A ⊕ ... ⊕ A (n số hạng) với số nguyên dương n nào đó.  Mệnh đề 1.2.18. (Bổ đề Nakayama). Cho M là một A – môđun hữu hạn sinh và a là một iđêan của A được chứa trong căn Jacobson J của A. Khi đó nếu aM = M thì suy ra M = 0 .  Ghi chú: Nếu A là một vành địa phương, m là iđêan tối đại của nó, M là một A – môđun hữu hạn sinh. Khi đó M mM được linh hóa bởi m , do đó là một A m – môđun, nghĩa là A m – không gian vectơ hữu hạn chiều. Mệnh đề 1.2.19. Cho x1 ,..., x n là những phần tử của M mà ảnh của chúng trong M mM tạo thành một cơ sở của không gian vectơ này. Khi đó, x i sinh ra M.  Định nghĩa 1.2.20. • Một dãy các A – môđun và A – đồng cấu: fi fi +1 → M i −1  → M i → → ... ...  M i +1  được gọi là khớp tại M i nếu Im f i = Kerf i +1 . • Một dãy được gọi là dãy khớp nếu dãy đó khớp tại mọi M i . • f g Dãy khớp dạng 0  → M '  → M  → M ''  → 0 được gọi là dãy khớp ngắn. Mệnh đề 1.2.21. • f Dãy 0  → M '  → M là khớp khi và chỉ khi f đơn cấu. • g Dãy M  → M ''  → 0 là khớp khi và chỉ khi g toàn cấu. 