1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết
bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy toán nói
riêng trong trường trung học cơ sở hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt
động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học,
nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ
năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn.
Qua thời gian giảng dạy môn Toán 8, tôi nhận thấy việc biến đổi đa thức thành
nhân tử là một trong những nội dung cơ bản hết sức quan trọng. Nó là cơ sở để xây
dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng bài tập khác nhau như: giải phương trình,
bất phương trình, quy đồng mẫu các phân thức, rút gọn phân thức... Nếu nắm vững và
thành thạo kỹ năng này thì học sinh mới có khả năng giải quyết được nhiều vấn đề
trong chương trình đại số ở các lớp tiếp theo. Chúng ta thấy đối với đa thức có bậc
cao, hệ số lớn, phức tạp, nếu chỉ áp dụng những phương pháp đã được học trong sách
giáo khoa thì việc phân tích nó thành nhân tử là rất khó khăn đối với cả thầy và trò.
Chính vì vậy khi được giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 tôi đã tìm
kiếm, nghiên cứu các nguồn tài đưa ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử sao cho dễ hiểu, dễ nhớ và có hệ thống. Vẫn biết, hiện nay trên thị trường có rất
nhiều sách viết về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử và cũng đã có nhiều
giáo viên đúc rút kinh nghiệm về việc phân tích đa thức thành nhân tử. Song, tôi vẫn
mạnh dạn giới thiệu với các thầy cô và học sinh kinh nghiệm “Phân tích đa thức bậc
bốn một ẩn thành nhân tử thông qua đặt ẩn phụ trong chương trình Toán 8”. Đề
tài này chỉ là một phần trong chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, việc phân
tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử có vai trò quyết định trong giải phương
trình một ẩn, bất phương trình một ẩn bậc cao, cực trị đại số… Về nội dung đề tài, sau
khi giới thiệu những kiến thức cơ bản làm cơ sở, tôi sẽ giới thiệu tiếp một số dạng đa
thức bậc bốn được phân tích thành nhân tử có kèm theo cách giải và các ví dụ minh
họa, đồng thời đưa ra các bài tập tương tự. Hy vọng đề tài này sẽ trở thành tài liệu
tham khảo bổ ích cho thầy cô và các em học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh khá,
giỏi ở trường trung học cơ sơ.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Giúp học sinh lớp 8 phân tích thành thạo đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân
tử .
- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh.
1
- Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong việc giải
các dạng toán khác nhau.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Chỉ ra những phương pháp dạy loại bài “Phân tích đa thức bậc bốn một ẩn
thành nhân tử thông qua đặt ẩn phụ trong chương trình Toán 8”.
Đổi mới phương pháp và nâng cao chất lượng dạy học, cụ thể là chất lượng
mũi nhọn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: là nghiên cứu thực
trạng việc học sinh phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử hiện nay. Từ đó
giúp người nghiên cứu thu thập thông tin, làm nảy sinh các ý tưởng nghiên cứu và đề
xuất sáng tạo.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: là thu thập thông tin thông
qua đọc tài liệu nhằm mục đích tìm chọn những kiến thức mới, dựa vào đặc trưng của
đa thức bậc bốn một ẩn, phân loại và đưa ra cách phân tích thành nhân tử cho từng
loại, nhằm xây dựng những mô hình lý thuyết hay thực nghiệm ban đầu.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Để phân tích đa thức thành nhân tử, cách thông thường là khéo léo phân tích đa
thức đó thành các hạng tử có nhân tử chung. Với cách làm như vậy thì quả là một khó
khăn thách thức cho các em khi phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử.
2
Trong khi đó việc phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử sau này chỉ là một
phần cho việc thực hiện một số dạng toán như giải phương trình bậc bốn, giải bất
đẳng thức,... Do đó, giáo viên cần giúp các em học sinh khá, giỏi phân tích một số
dạng đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử nhanh nhất, để từ đó các em còn có đủ
thời gian hoàn thành nội dung chính của bài toán.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2016-2017, tôi được giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8.
Khi dạy các dạng toán biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỷ, chứng minh quan hệ,
giải một phương trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên của một phương trình, chứng minh
một bất đẳng thức, giải một bất phương trình,…Thông thường trong các bài toán này
hay xuất hiện phần phân tích đa thức thành nhân tử, là khâu then chốt để thực hiện bài
toán. Tuy nhiên, cả thầy và trò chỉ biết tách ghép, thêm bớt các hạng tử sao cho xuất
hiện nhân tử chung, nếu là các đa thức bậc thấp thì đơn giản, nhưng bắt gặp đa thức
bậc bốn một ẩn thì hiệu quả không cao, mất rất nhiều thời gian. Thực tế tôi cũng đã
kiểm tra học sinh khả năng phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử, với ba bài
như sau:
1. x4 - 13x2 +36
2. (x2 + 8x +12)(x2 + 12x + 32) +16
3. x4 + x3 - 4x2 + x + 1
Kết quả
Số học sinh
Điểm dưới 5
Điểm từ 5 đến
Điểm từ 6,5 đến
Điểm từ 8 trở
dưới 6,5
dưới 8
lên
tham gia
kiểm tra
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11
5
45,5
4
36,4
2
18,1
0
0
Rõ ràng với kết quả như trên là quá thấp, chưa đạt yêu cầu. Từ đó, tôi thấy cần
phải nghiên cứu các nguồn tài liệu, tìm ra phương pháp giải các bài toán phân tích đa
thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử nhanh và hiệu quả.
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
2.3.1. Giải pháp
Sử dụng việc đặt ẩn phụ một lần hoặc nhiều lần và áp dụng hằng đẳng thức(*)
sau:
3
Xét đa thức Q(y) = ay2 + by + c. Nếu có các số m, n sao cho: m.n a.c và
m n b
thì
ay 2 by c ay 2 m n y
= (ay 2 my ) (ny
mn
a
mn
n
) y ( ay m) ( ay m)
a
a
n
n
(ay m) ( ay m)( y )
a
a
m
n
a ( y )( y )
a
a
y ( ay m)
Hay
m
n
ay 2 by c a y y
a
a
Khi a = 1 thì
(*)
y 2 by c y m y n
Trong trường hợp a, b, c nguyên thì trước hết phân tích số nguyên a.c thành tích
hai số nguyên m.n sao cho
m b, n b
sau đó chọn m, n thỏa mãn m + n = b.
Chú ý rằng phương pháp này có thể áp dụng cho lớp 7 và lớp 8 khi các em chưa
biết cách giải phương trình bậc hai. Chính vì vậy ta cần phải biết hằng đẳng thức cơ
sở (*).
2.3.2. Tổ chức thực hiện
a. Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx2 + c
Cách giải. Đặt biến phụ y = x2 và áp dụng hằng đẳng thức (*)
Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = 6x4 + 19x2 +15
Lời giải.
Đặt y = x2 ta có Q(y) = 6y2 + 19y +15
Hệ số a = 6, b = 19, c = 15. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = 90 và m + n = b = 19 với m
< 19, n < 19. Do đó ta chọn được m = 9, n = 10.
Từ đó 6y2 + 19y +15
= 6y2 + 9y + 10y + 15
= 3y(2y + 3) + 5(2y + 3)
= (2y + 3)(3y + 5)
Từ đó suy ra: P(x) = 6x4 + 19x2 +15 = (2x2 + 3)(3x2 + 5)
Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = (x2 +3x)2 + 7 x2 + 21x +10
Lời giải.
Biến đổi P(x) = (x2 +3x)2 + 7(x2 + 3x) +10
4
Đặt y = x2 +3x, ta có Q(y) = y2 +7 y + 10
Hệ số a = 1, b = 7, c = 10. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = 10 và m + n = b =7. Do đó ta
chọn được m = 2, n = 5. Suy ra
Q(y) = y2 + 7 y + 10 = y2 + 2y +5y + 10
= y(y + 2) + 5(y + 2) = (y + 2)(y + 5)
Từ đó suy ra: P(x) = (x2 + 3x + 2)(x2 + 3x+5) = (x + 1)(x + 2)(x2 + 3x+5)
b. Đa thức dạng P(x) = a(a1x2 + b1x +c1)2 +bx(a1x2 + b1x +c1) + cx2
Cách giải. Đặt biến phụ y = a1x2 + b1x +c1 và áp dụng hằng đẳng thức (*)
Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
P(x) = 4(x2 + x +1)2 +5x(x2 + x +1) + x2
Lời giải.
Đặt y = x2 + x +1. Khi đó P(x) trở thành Q(y) = 4y2 + 5xy + x2
Hệ số a = 4, b = 5x, c = x2. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = 4x2 và m + n = b = 5x.
Do đó ta chọn được m = 4x, n = x
Từ đó Q(y) = 4y2 + (4x + x)y + x2
= (4y2 + 4xy ) + (xy + x2)
= 4y(y + x) + x( y + x)
= (x + y)(4y + x)
Vậy P(x) = (x + x2 + x +1)(4x2 + 4x +4 + x)
= (x2 + 2x +1)(4x2 + 5x + 4)
= (x + 1)2(4x2 + 5x + 4)
Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
P(x) = (x2 -1)2 - x(x2 -1) - 2x2
Lời giải.
Đặt y = x2 -1. Khi đó P(x) trở thành Q(y) = y2 - xy - 2x2
Hệ số a = 1, b = -x, c = -2x2. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = - 2x2 và m + n = b = - x.
Do đó ta chọn được m = -2x, n = x
Từ đó Q(y) = y2 - (-2x + x)y - 2x2
= (y2 - xy ) + (2xy - 2x2)
= y(y - x) + 2x( y - x)
= (y -x)( y + 2x)
Vậy P(x) = (x2 - 1- x)( x2 - 1+ 2x)
= (x2 - x -1)(x2 + 2x -1)
Trường hợp đa thức có bậc là 8
5
P(x) = a(a1x2 + b1x +c1)4 +bx2(a1x2 + b1x +c1)2 + cx4
Ta xử lý tương tự như bậc là 4
Cách giải. Đặt y = (a1x2 + b1x +c1)2 và áp dụng hằng đẳng thức(*)
Ví dụ. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
P(x) = 10(x2 - 2x +3)4 - 9x2(x2 - 2x +3)2 - x4
Lời giải.
Đặt y = (x2 - 2x +3)2. Khi đó P(x) trở thành Q(y) = 10y2 - 9x2y – x4
Hệ số a = 10, b = - 9x2, c = -x4. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = - 10x4
và m + n = b = - 9x2. Do đó ta chọn được m = - 10x2, n = x2
Từ đó Q(y) = 10y2 + (-10x2 + x2)y – x4
= (10y2 - 10x2y ) + (x2y - x4)
= 10y(y – x2) + x2( y – x2)
= (y – x2) (10y + x2)
Vậy P(x) = (x 2 - 2x 3) 2 - x 2 .10(x 2 - 2x 3) 2 x 2
= (x2 - 2x + 3 – x)( x2 - 2x + 3 +x) 10 x 4 4 x 2 9 8 x 3 12 x 6 x 2 x 2
= ( x2 - 3x + 3)( x2 - x + 3)(10x4- 80x3 + 101x2 – 120 x + 90)
c. Đa thức dạng P(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d
Cách giải. Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) và áp dụng hằng đẳng thức (*)
Có thể đặt y = (x + c)(x + d) hoặc y = x2 + (a+b)x
Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
P(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 15
Lời giải.
Với a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 thì a + d = 5 = b + c
Biến đổi P(x) = (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) – 15
= (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) – 15
Đặt y = (x + 1)(x + 4) = x2 + 5x + 4 thì P(x) trở thành
Q(y) = y(y +2) – 15 = y2 + 2y -15
Hệ số a = 1, b = 2, c = -15. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = - 15 và m + n = b = 2. Do đó
ta chọn được m = 5, n = -3
Từ đó Q(y) = (y2 + 5y) - (3y +15) =y (y+ 5) - 3(y +5) = (y+ 5)(y - 3)
Suy ra P(x) = (x2 + 5x + 9)( x2 + 5x + 1)
Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
6
P(x) = (x -1)(x - 3)(x - 5)(x - 7) - 20
Lời giải.
Với a = -1, b = -3, c = -5, d = -7 thì a + d = -8 = b + c
Biến đổi P(x) = (x - 1)(x - 7)(x - 3)(x - 5) – 20
= (x2 - 8x + 7)( x2 - 8x + 15) – 20
Đặt y = (x - 1)(x - 7) = x2 - 8x + 7 thì P(x) trở thành
Q(y) = y(y +8) – 20 = y2 + 8y - 20
Hệ số a = 1, b = 8, c = -20. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = - 20 và m + n = b = 8. Do đó
ta chọn được m = 10, n = -2
Từ đó Q(y) = y2 + 8y – 20 = (y2 + 10y) - (2y + 20) = (y+ 10)(y - 2)
Suy ra P(x) = (x2 - 8x +7+ 10)( x2 - 8x + 7 - 2)= (x2 - 8x +17)( x2 - 8x +5)
d. Đa thức dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) + ex2
với a1b1 = c1d1 và a2b2 = c2d2
Cách giải. Đặt biến phụ y = (a1x + a2)(b1x + b2) và áp dụng hằng đẳng thức (*)
Có thể đặt y = (c1x + c2)(d1x + d2)
Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
P(x) = (3x + 2)(3x - 5)(x – 1)(9x + 10) + 24x2
Lời giải.
Dễ thấy a1b1 = 3.3 = 1.9 = c1d1 và a2b2 = 2.(-5) = (-1).10 = c2d2
P(x) = (9x2 - 9x - 10)(9x2 + x - 10) +24x2
Đặt y = (3x + 2)(3x - 5) = (9x2 - 9x - 10), thì P(x) trở thành
Q(y) = y(y + 10x) + 24x2 = y2 + 10xy + 24x2
Hệ số a = 1, b = 10x, c = 24x2. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = 24x2 và m + n = b = 10x.
Do đó ta chọn được m = 6x, n = 4x
Áp dụng hằng đẳng thức (*) ta được:
Q(y) = (y + 6x)(y + 4x)
Vậy, suy ra P(x) = (9x2 - 3x - 10)(9x2 - 5x - 10)
Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
P(x) = (x - 3)(x - 10)(x - 5)(x - 6) - 24x2
Lời giải.
Dễ thấy a1b1 = 1.1 = 1.1 = c1d1 và a2b2 = (-3).(-10) = (-5).(-6) = c2d2
7
P(x) = (x2 - 13x + 30)(x2 -11x + 30) - 24x2
Đặt y = (x - 3)(x - 10) = (x2 - 13x + 30), thì P(x) trở thành
Q(y) = y(y + 2x) - 24x2 = y2 + 2xy - 24x2
Hệ số a = 1, b = 2x, c = - 24x2. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = - 24x2 và m+ n = b = 2x.
Do đó ta chọn được m = 6x, n = - 4x
Áp dụng hằng đẳng thức (*) ta được:
Q(y) = (y + 6x)(y - 4x)
Vậy, suy ra P(x) = (x2 - 13x + 30 + 6x)( x2 - 13x + 30 - 4x)
= (x2 - 7x + 30)( x2 - 17x + 30)
e. Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + kbx + a với k = 1 hoặc k = -1
Cách giải. Đặt biến phụ y = x2 + k và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử ay2 +
bxy rồi sử dụng hằng đẳng thức (*).
Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1
Lời giải.
Đặt y = x2 + 1 => y2 = x4 + 2x2 + 1
Biến đổi P(x) = (x4 + 2x2 + 1) + 6x3 +5x2 +6x
= (x2 + 1)2 + 6x(x2 + 1) + 5x2
Từ đó Q(y) = y2 + 6xy + 5x2
Hệ số a = 1, b = 6x, c = 5x2. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = 5x2 và m + n = b = 6x
Do đó ta chọn được m = 5x, n = x ta có
Q(y) = y2 + (5x + x)y + 5x2
= y2 + 5xy + xy + 5x2
= y(y + 5x) + x(y + 5x)
= (y +x)(y + 5x)
Từ đó suy ra P(x) = (x2 + 1+ x)(x2 +1 + 5x) =(x2 + x + 1)(x2 + 5x + 1)
Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = 2x4 + 3x3 - 9x2 - 3x + 2
Lời giải.
Đặt y = x2 - 1 => y2 = x4 - 2x2 + 1
Biến đổi P(x) = 2(x4 - 2x2 + 1) + 3x3 - 5x2 - 3x
= 2(x2 - 1)2 + 3x(x2 - 1) - 5x2
Từ đó Q(y) = 2y2 + 3xy - 5x2
Hệ số a = 2, b = 3x, c = -5x2. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = -10x2 và m + n = b = 3x
8
Do đó ta chọn được m = 5x, n = -2x ta có
Q(y) = 2y2 + (5x - 2x)y - 5x2
= 2y2 - 2xy + 5xy - 5x2
= 2y(y - x) + 5x(y - x)
= (y - x)(2y + 5x)
Từ đó suy ra P(x) = (x2 - 1- x)(2x2 - 2 + 5x) = (x2 - x- 1)(2x2 + 5x - 2)
f. Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + kbx + ak2, với k 1
Cách giải. Đặt biến phụ y = x2 + k và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử ay2 +
bxy rồi sử dụng hằng đẳng thức (*)
Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = x4 + 7x3 + 14x2 + 14x + 4
Lời giải.
Ta nhận thấy k = 2, nên ta đặt y = x2 + 2 => y2 = x4 + 4x2 + 4
Biến đổi P(x) = (x4 + 4x2 + 4) + 7x3 + 10x2 + 14x
= (x2 + 2)2 + 7x(x2 + 2) + 10x2
Từ đó Q(y) = y2 + 7xy + 10x2
Hệ số a = 1, b = 7x, c = 10x2. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = 10x2 và m + n = b = 7x
Do đó ta chọn được m = 5x và n = 2x ta có
Q(y) = y2 + (5x + 2x)y + 10x2
= y2 + 5xy + 2xy + 10x2
= y(y + 5x) + 2x(y + 5x)
= (y + 2x)(y + 5x)
Từ đó suy ra P(x) = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 + 3x)
= (x2 + 2x + 2)(x2 + 3x + 3)
Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = 2x4 - 5x3 - 27x2 + 25x + 50
Lời giải.
Ta nhận thấy k = - 5, nên ta đặt y = x2 - 5 => y2 = x4 - 10x2 + 25
Biến đổi P(x) = 2(x4 - 10x2 + 25) - 5x3 - 7x2 + 25x
= 2(x2 - 5)2 - 5x(x2 - 5) - 7x2
Từ đó Q(y) = 2y2 - 5xy - 7x2
Hệ số a = 2, b = -5x, c = -7x2. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = -14x2 và m + n = b = - 5x
Do đó ta chọn được m = -7x và n = 2x ta có
Q(y) = 2y2 + (-7x + 2x)y - 7x2
9
= 2y2 - 7xy + 2xy - 7x2
= y(2y - 7x) + x(2y - 7x)
= (2y - 7x)(y +x)
Từ đó suy ra P(x) = 2(x2 - 5) -7x) (x2 - 5 + x)
= (2x2 - 7x - 10)(x2 + x - 5)
g. Đa thức dạng P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e
Cách giải. Đặt biến phụ
y x 2
d
b
d2
b2
và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử y2 +
bxy rồi sử dụng hằng đẳng thức(*).
Ví dụ. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = x4 - x3 - 10x2 + 2x + 4.
Lời giải.
Dễ thấy b = -1, d = 2, e = 4. Đặt y = x2 - 2 => y2 = x4 - 4x2 + 4.
Biến đổi P(x) = x4 - x3 - 10x2 + 2x + 4
= (x4 - 4x2 + 4) - x(x2 - 2) - 6x2
= (x2 -2)2 - x(x2 - 2) - 6x2.
Từ đó Q(y) = y2 - xy - 6x2.
Hệ số a = 1, b = -x, c = -6x2. Tìm m, n sao cho m.n = a.c = 1.(-6x2) và m + n = b = -x.
Do đó ta chọn m = 2x và n = - 3x, ta có
Q(y) = y2 + (2x - 3x)y - 6x2
= y2 + 2xy - 3xy - 6x2
= y(y + 2x) - 3x(y + 2x)
= (y + 2x)(y - 3x)
Vậy P(x) = (x2 - 2 + 2x)( x2 - 2 - 3x) = (x2 + 2x -2)( x2 - 3x - 2)
Chú ý: Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 thì ta có thể xét đa thức Q( x)
P ( x)
a
và thực
hiện theo cách trên.
h. Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + (x + b)4 + c
Cách giải. Đặt biến phụ
y x
a b
2
và biến đổi P(x) về dạng mx4 + nx2 + p
Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = (x +2)4 + (x+8)4 – 272
Lời giải.
10
Đặt y = x + 5
Lúc đó P(x) trở thành Q(y) = (y - 3)4 + (y +3)4 – 272
= 2y4 + 108y2 + 110
= 2(y4 + 54y2 +55)
= 2( y4 + 55y2 - y2 - 55) ( áp dụng hằng đẳng thức(*))
= 2(y2 + 55)(y2 - 1)
= 2(y2 + 55)(y - 1)(y+1).
Vậy P(x) = 2(x2 + 10x + 25 +7)(x + 5 – 1)(x + 5 +1)
= 2(x2 + 10x + 32)(x + 4)(x + 6)
Ví dụ. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = (x -3)4 + (x-1)4 – 16
Lời giải.
Đặt y = x – 2
Lúc đó P(x) trở thành Q(y) = (y - 1)4 + (y +1)4 – 16
= 2y4 + 12y2 - 14
= 2(y4 + 6y2 - 7)
= 2( y4 + 7y2 - y2 - 7) ( áp dụng hằng đẳng thức(*))
= 2(y2 +7)(y2 - 1)
= 2(y2 +7)(y - 1)(y+1).
Vậy P(x) = 2(x2 – 4x + 4 +7)(x – 2 – 1)(x - 2 +1)
= 2(x2 – 4x + 11)(x – 3)(x - 1)
Nhận xét:
Ta thấy rằng việc phân tích các đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử là cơ sở
cho việc thực hiện các bài toán như: giải phương trình bậc bốn một ẩn trở lên, bài toán
rút gọn,…
Đối với phương trình bậc bốn một ẩn trở lên ta phân tích đa thức ở vế trái của
phương trình thành nhân tử để đưa về phương trình tích các đa thức bậc nhất để tìm ra
nghiệm.
Ví dụ giải các phương trình:
a) (x2 +3x)2 + 7 x2 + 21x +10 = 0
(Dạng a)
b) (x -1)(x + 5)(x - 3)(x + 7) - 297 = 0
(Dạng c)
c) x5 + 7x4 + 14x3 + 14x2 + 4x = 0
(Dạng f)
d) (x +2)4 + (x+8)4 = 272
(Dạng h)
11
Lời giải.
a) (x2 +3x)2 + 7 x2 + 21x +10 = 0
(x2 +3x)2 + 7(x2 + 3x) +10 = 0
Đặt y = x2 +3x, ta có: y2 + 7 y + 10 = 0
y2 + 2y +5y + 10 = 0
y(y + 2) + 5(y + 2) = 0
(y + 2)(y + 5) = 0
(x2 + 3x + 2)(x2 + 3x+5) = 0
(x2 + 3x + 2) = 0 (vì x2 + 3x+5 > 0)
(x + 1)(x + 2) = 0
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -1 hoặc x = -2
b) (x -1)(x + 5)(x - 3)(x + 7) - 297 = 0
(x2 + 4x - 5)( x2 + 4x - 21) - 297 = 0
Đặt ẩn phụ: y = x2 + 4x – 5, ta có
t (t - 16) - 297 = 0
t2 - 16t - 297 = 0
(t - 27)(t + 11) = 0 (Áp dụng hằng đẳng thức (*))
(x2 + 4x - 5 - 27)(x2 + 4x - 5 +11) = 0
(x2 + 4x - 32)(x2 + 4x + 6) = 0
(x2 + 4x - 32) = 0 (do x2 + 4x + 6 >0)
(x - 4)(x + 8) = 0
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 4 hoặc x = -8
c) x5 + 7x4 + 14x3 + 14x2 + 4x = 0
x(x4 + 7x3 + 14x2 + 14x + 4) = 0
x= 0 hoặc x4 + 7x3 + 14x2 + 14x + 4 = 0 (1)
Ta đặt y = x2 + 2 => y2 = x4 + 4x2 + 4
(1) (x4 + 4x2 + 4) + 7x3 + 10x2 + 14x = 0
(x2 + 2)2 + 7x(x2 + 2) + 10x2 = 0
y2 + 7xy + 10x2 = 0
y2 + (5x + 2x)y + 10x2 = 0
y2 + 5xy + 2xy + 10x2 = 0
y(y + 5x) + 2x(y + 5x) = 0
(y + 2x)(y + 5x) = 0
12
(x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 + 3x) = 0 ( do y = x2 + 2)
(x2 + 2x + 2)(x2 + 3x + 3) = 0 (phương trình tích vô nghiệm do vế trái dương)
Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 0
d) (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272
Đặt ẩn phụ: y = x + 5, ta có:
(x + 2)4 + (x + 8)4 = 272
(y - 3)4 + (y + 3)4 = 272
2y4 + 108y2 + 110 = 0
2(y4 + 54y2 +55) = 0
2( y4 + 55y2 - y2 - 55) = 0 ( áp dụng hằng đẳng thức(*))
2(y2 + 55)(y2 - 1) = 0
2(y2 + 55)(y - 1)(y+1) = 0
2(x2 + 10x + 25 +7)(x + 5 – 1)(x + 5 +1) =0
(x + 4)(x + 6) = 0 ( do x2 + 10x + 32 >0 )
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = - 4 hoặc x = - 6
Đối với bài toán rút gọn biểu mà mẫu là đa thức bậc bốn một ẩn thì ta thấy vấn
đề mấu chốt là phân tích mẫu thành nhân tử, từ đó tìm ra mẫu chung và quy đồng,
Ví dụ thực hiện phép tính (rút gọn) sau:
2
1
4x
2
4
3
x x 1 x 5x 1 x 6 x 7 x 2 6 x 1
A=
2
Lời giải.
(Đa thức x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 được phân tích thành nhân tử như ví dụ 1 dạng e)
2
1
4x
2
4
3
x x 1 x 5x 1 x 6 x 7 x 2 6 x 1
A=
2
2
1
4x
2
2
x x 1 x 5x 1 x x 1 x 2 5x 1
2 x 5 x 1 x x 1 4 x
x x 1 x 5x 1
2
2
2
2
2
x 2 5x 1
x 2 x 1 x 2 5x 1
1
2
x x 1
Ví dụ cũng biểu thức A như trên, nhưng ta lại yêu cầu, tìm giá trị lớn nhất
nhất của biểu thức A, thì việc đầu tiên là đi rút gọn
13
A=
2
1
4x
2
4
3
x x 1 x 5x 1 x 6 x 7 x 2 6 x 1
2
Lời giải.
Sau khi rút gọn ta có:
A=
1
x x 1
2
Để A có giá trị lớn nhất thì x2 + x + 1 có giá trị nhỏ nhất
Ta có:
2
1
3 3
x 2 x 1 x ,
2
4 4
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
4
Vậy giá trị lớn nhất của A = 3 khi và chỉ khi x
x
1
2
1
2
Bài tập vận dụng
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
1. A(x) = (48x2 + 8x – 1)(3x2+ 5x + 2) – 4
2. B(x) = (12x – 1) (6x – 1) (4x – 1) (3x – 1) – 330
3. C(x) = 4(x2 + 11x + 30)(x2 + 22x + 120) – 3x2
4. D(x) = (7 – x)4 + (5 – x)4 – 2
5. E(x) = x4 – 9x3 + 28x2 – 36x + 16
6. F(x) = x4 – 3x3 - 6x2 + 3x + 1
7. G(x) = 3x4 + 6x3- 33x2 - 24x + 48
8. H(x) = (x2 + 4x +8)2 + 3x(x2 + 4x +8) + 2x2
9. K(x) = -6(-x2 - x + 1)4 + x2(-x2 - x +1)2 + 5x4
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trong năm học 2017 - 2018 tôi đã đưa đề tài vào áp dụng, với đối tượng học
sinh cũng là các em nơi tôi đang công tác, số lượng học sinh như nhau, mức độ đề
giống nhau. Tuy nhiên kết quả thu được rất khả quan, các em đã biết cách phân tích
các đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử khá thuần thục. Không những thế, các em
còn biết vận dụng để thực hiện cho các bài toán như biến đổi đồng nhất, giải phương
trình bậc bốn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất…, tôi kiểm tra với nội dung đề bài như
sau:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) (x2 +x)2 + 9x2 + 9x + 14
2) x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1
3) (x + 2)(x + 3)(x – 7)(x - 8) -144
Kết quả
14
Số học sinh
tham gia
kiểm tra
Điểm dưới 5
Điểm từ 5 đến
dưới 6,5
Điểm từ 6,5 đến
dưới 8
Điểm từ 8 trở
lên
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11
0
0
3
20
6
60
2
20
3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận
Sau một thời gian tìm tòi, nghiên cứu tài liệu, kết hợp với những kinh nghiệm
trong quá trình giảng dạy và được sự giúp đỡ của các đồng nghiệp, tôi đã hoàn thành
đề tài “Phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử thông qua đặt ẩn phụ trong
chương trình Toán 8”. Những vấn đề trình bày trong đề tài này là sự chọn lọc qua một
số tài liệu và những kinh nghiệm rút ra trong quá trình bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.
Các bài tập mang tính điển hình để làm mẫu trong khối lượng rất lớn những bài tập
mà tôi đã sưu tầm được, nhưng chắc chắn chúng không được hoàn hảo bởi quyết
định này hoàn toàn dựa trên nhận định chủ quan của bản thân tôi, chưa phải là hệ
thống bài tập vận dụng đầy đủ. Tài liệu này với mong muốn giúp các em nắm
được phương pháp phân tích đa thức bậc bốn một ẩn, từ đó lấy làm cơ sở cho việc
giải quyết các bài tập dạng khác.
Khi đề tài được áp tại ngôi trường nơi tôi đang công tác cho các em có học lực
từ trung bình khá trở lên. Qua nhiều lần kiểm tra đánh giá, tôi nhận thấy, cơ bản đã
nắm bắt được các phương pháp phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử, đó là
nền tảng, là vấn đề có tính then chốt để giải quyết bài tập. Kết quả thu được là rất tích
cực, số học sinh biết phân tích đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử tăng lên, ngoài
ra các em còn biết phân tích nhanh vì đã nắm được phương pháp, không còn phải lần
mò tách ghép tìm nhân tử chung như trước kia, hiệu quả đã tăng lên rõ rệt; đồng thời
các em đã biết giải các bài tập dạng khác trong đó có sử dụng tới việc phải phân tích
đa thức bậc bốn một ẩn thành nhân tử. Đây là một tín hiệu tích cực để đề tài tiếp tục
được nghiên cứu, hoàn thiện và nhân rộng áp dụng.
3.2. Kiến nghị
Mặc dù đã nỗ lực trong quá trình nghiên cứu, song năng lực bản thân còn hạn
chế nên không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến
của các đồng nghiệp để tôi có thể hoàn thiện đề tài này tốt hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
Thọ Xuân, ngày 15 tháng 3 năm 2019
15
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Đỗ Viết Quế
Lê Văn Thắng
MỤC LỤC
1. Mở đầu…………………………………………………………………...……
1.1. Lý do chọn đề tài…………………………………………………………….
1.2. Mục đích nghiên cứu………………………………………………………...
1
1
1
16
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….................
1.4. Phương pháp nghiên cứu……………………………………………………
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm…………………………………………….
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm…………………………………..
2.1. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm………………
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện……………………………………………..
2.3.1. Giải pháp…………………………………………………………………..
2.3.2. Tổ chức thực hiện…………………………………………………………
a. Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx2 + c……………………………………………
b. Đa thức dạng P(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d.............
c. Đa thức dạng P(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d.............
d. Đa thức dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) + ex2 ..................
e. Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + kbx + a với k = 1 hoặc k = -1...............
f. Đa thức dạng P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + kbx + k2.a với k 1 ..........................
g. Đa thức dạng P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với
e
d2
b2
……………………....
h. Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + (x + b)4 + c……………………………….......
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm………………………………………..
3. Kết luận và kiến nghị………………………………………………………….
2
2
3
3
3
4
4
4
4
5
6
7
8
9
10
11
14
15
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Toán 8 tập 1 (Nhà xuất bản giáo dục)
2. TuyÓn chän theo chuyªn ®Ò To¸n häc vµ Tuæi trÎ (Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc 2006)
3. Bồi dưỡng năng lực tự học Toán 8 (Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP Hồ Chí
Minh)
4. Nguồn internet
17
18
- Xem thêm -