SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"CÁC DÃY SỐ MÔN TOÁN LỚP 11"
ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần
quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , Học sinh thường phải đối mặt với nhiều dạng
1
toán khó liên quan đến vấn đề này và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức số
hạng tổng quát của dãy số. Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công
thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết
Để đáp ứng được một phần đề tài “ Xác định công thức tổng quát của dãy số “ và
kết hợp với sự tiếp cận “ Lý thuyết phương trình sai phân “ qua một số chuyên đề mà
bản thân tác giả đã được học
Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phương pháp cơ bản xác định công thức
tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số lớp bài toán . Đây cũng là đề tài và bài
giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh , đặc biệt là học sinh khá giỏi và lớp chọn, là tài liệu
học sinh và đồng nghiệm tham khảo
Trong đề tài này tác giả đã sử dung một số kết quả có tính hệ thống của ‘ Lý thuyết
phương trình sai phân “ . Tuy nhiên những vấn đề áp dụng kiến thức toán học hiện đại
chỉ dừng lại ở một số trường hợp đặc biệt và giới hạn trong trường số thực .
Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát của một số dãy
số , từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể . Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm
cho mình phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số. Đặc biệt các thầy cô có
thể tự kiểm tra kết quả và xây dựng cho mình một lớp các bài toán về dãy số được trình
bày trong đề tài
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY
SỐ VÀ XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
A. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT
Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng
2
u1 , a.un1 b.un f n , n �N *
trong đó a,b, là các hằng số ,a # 0 và f n là biểu thức của n cho trước
Dạng 1
Tìm un thoả mãn điều kiện
u1 , a. un1 b .un 0
(1.1)
*
trong đó a, b, cho trước n �N
Phương pháp giải
n
Giải phương trình đặc trưng a. b 0 để tìm Khi đó un q (q là hằng số ) ,
trong đó q được xác định khi biết u1
Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu tiên bằng 1 và
công bội bằng 2
Bài giải Ta có
un 1 2 un , u1 1
(1.2)
n
Phương trình đặc trưng có nghiệm 2 Vậy un c.2 . Từ u1 1 suy ra c
un 2n 1
Dạng 2
Tìm un thoả mãn điều kiện
u1 , aun 1 bun f n , n �N *
(2 .1)
trong đó f n là đa thức theo n
3
1
Do đó
2
Phương pháp giải
0
*
Giải phương trình đặc trưng a. b 0 ta tìm được Ta có un un un Trong đó
un0 là nghiệm của phương trình thuần nhất (1.1) và un* là nghiệm riêng tuỳ ý của phương
0
n
trình không thuần nhất (2.1) Vậy un q. q là hằng số sẽ được xác định sau
*
Ta xác định un như sau :
*
1) Nếu #1 thì un là đa thức cùng bậc với f n
*
2) Nếu 1 thì un n.g n với g n là đa thức cùng bậc với f n
*
*
Thay un vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của un
Bài toán 2: Tìm un thoả mãn điều kiện
u1 2; un 1 un 2n, n �N *
Bài giải
(2.2)
0
*
Phương trình đặc trưng 1 0 có nghiệm 1 Ta có un un un trong đó
un0 c.1n c, un* n an b Thay un* và phương trình (2.2) ta được
a n 1 b �
n 1 �
�
� n an b 2n
(2.3)
thay n=1và n=2 vào (2.3) ta được hệ phương trình sau
3a b 2 �a 1
�
��
�
5a b 4 �
b 1
�
Do đó un n n 1
0
*
Ta có un un un c n n 1 Vì u1 2 nên 2 c 1 1 1 � c 2
2
Vậy un 2 n n 1 , hay un n n 2
4
Dạng 3
Tìm un thoả mãn điều kiện
u1 , a.un 1 bun v.n , n �N *
(3.1)
trong đó f n là đa thức theo n
Phương pháp giải
0
*
Giải phương trình đặc trưng a. b 0 ta tìm được Ta có un un un Trong đó
un0 c. n , c là hằng số chưa được xác định , un* được xác định như sau :
1) Nếu #
2) Nếu
*
n
thì un A.
*
n
thì un A.n.
*
*
Thay un vào phương trình (3.1) đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của un . Biết
u1 , từ hệ thức un un0 un* , tính được c
Bài toán 3: Tìm un thoả mãn điều kiện
u1 1; un 1 3.un 2 n , n �N *
(3.2)
0
*
Bài giải Phương trình đặc trưng 3 0 có nghiệm 3 Ta có un un un trong đó
un0 c.3n , un* a.2n
*
n
Thay un a.2 vào phương trình (3.2) , ta thu được
a.2n1 3a.2n 2n � 2a 3a 1 � a 1
n
n
n
n
Suy ra un 2 Do đó un c.3 2n vì u1 1 nên c=1 Vậy un 3 2
Dạng 4
5
Tìm un thoả mãn điều kiện
u1 , a.un 1 bun f1n f 2 n , n �N *
(4.1)
n
Trong đó f1n là đa thức theo n và f 2 n v.
Phương pháp giải
0
*
*
0
Ta có un un u1n u2 n Trong đó un là nghiệm tổng quát của phương trình thuần
nhất
aun1 bun 0 ,
un* là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất
*
a.un1 b.u n f1n , u2n
là nghiệm riêng bất kỳ của phương trình không thuần nhất
a.un1 b.un f 2 n
Bài toán 4: Tìm un thoả mãn điều kiện
u1 1; un 1 2un n 2 3.2 n , n �N *
(4.2)
0
*
*
Bài giải Phương trình đặc trưng 2 0 có nghiệm 2 Ta có un un u1n u2 n trong
0
n
*
2
*
n
đó un c.2 , un a.n b.n c , u2 n An.2
*
2
Thay un vào phương trình un1 2.un n , ta được
a n 1 b n 1 c 2an 2 2bn 2c n 2
2
Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình
2a c 1
a 1
�
�
�
�
a bc 4
��
b 2
�
�
2a 2b c 9 �
c 3
�
�
*
2
*
n
Vậy u1n n 2n 3 thay u2n vào phương trình un1 2.un 3.2 Ta được
A n 1 2 n1 2 An.2n 3.2n � 2 A n 1 2 An 3 � A
6
3
2
Vậy
3
u2*n n.2n 3n.2n 1
2
n
2
n 1
Do đó un c.2 n 2n 3 3n.2 . Ta có u1 1
nên 1 2c 2 3 � c 0 Vậy
un 3n.2n 1 n 2 2n 3
B. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI
Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng
u1 , u2 , a.un1 bun c.un1 f n , n �N *
trong đó a,b,c, , là các hằng số , a # 0 và f n là biểu thức của n cho trước
(NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai luôn có hai
nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số thực ,
tức là chỉ xét nghiệm thực )
Dạng 1
Tìm un thoả mãn điều kiện
u1 , u2 , aun1 bun c.un1 0, n �N *
(5.1)
Phương pháp giải
2
Giải phương trình đặc trưng a. b. c 0 tìm Khi đó
n
n
1) Nếu 1 , 2 là hai nghiệm thực khác nhau thì un A.1 B.2 , trong đó A và B được
xác định khi biết u1 , u2
n
2) Nếu 1 , 2 là hai nghiệm kép 1 2 thì un A Bn . , trong đó A và B được
xác định khi biết u1 , u2
7
Bài toán 5: Tìm un thoả mãn điều kiện sau
u0 1, u1 16, un 2 8.un1 16.un
(5.1)
Bài giải Phương trình đặc trưng 2 8 16 0 có nghiệm kép 4
Ta có
un A B.n .4n
(5.2)
Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu được hệ phương trình
u0 1 A
�
�A 1
�
��
�
u1 1 B .4 16 �B 3
�
n
Vậy un 1 3n .4
Dạng 2
Tìm un thoả mãn điều kiện
u1 , u2 , a.un 1 b.un c.un1 f n , n �2, (6.1)
trong đó a # 0, f n là đa thức theo n cho trước
Phương pháp giải
2
0
*
Giải phương trình đặc trưng a. b. c 0 để tìm . Khi đó ta có un un un ,
0
*
trong đó un là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất a.un1 b.un c.un 1 0 và un
là một nghiệm tuỳ ý của phương trình
a.un1 b.un c.un 1 f n
0
*
Theo dạng 1 ta tìm được un , trong đó hệ số A, B chưa được xác định , un được xác định
như sau :
8
*
1) Nếu #1 thì un là đa thức cùng bậc với f n
*
2) Nếu 1 là nghiệm đơn thì un n.g n , g n là đa thức cùng bậc với f n
*
2
3) Nếu 1 là nghiệm kép thì un n. g n , g n là đa thức cùng bậc với f n ,
*
*
Thay un vào phương trình , đồng nhất các hệ số, tính được các hệ số của un . Biết u1 , u2
0
*
từ hệ thức un un un tính được A, B
Bài toán 6: Tìm un thoả mãn điều kiện
u1 1; u2 0, un 1 2un un1 n 1, n �2
(6.2)
0
*
Bài giải Phương trình đặc trưng 2 2 1 0 có nghiệm kép 1 Ta có un un un
0
n
*
2
trong đó un A B.n .1 A Bn, un n a.n b
*
Thay un vào phương trình (6,2) , ta được
n 1
2
2
a n 1 b �
a n 1 b �
�
�
� 2n a.n b n 1 �
�
� n 1
2
Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình
� 1
a
�
4 2a b 2 a b 2
�
�
� 6
��
�
1
9
3
a
b
8
2
a
b
a
b
3
�
�
b
� 2
Vậy
�n 1 �
un* n 2 � �
�6 2 �
Do đó
�n 1 �
un un0 un* A Bn n 2 � �
�6 2 �
9
Mặt khác
1 1
�
A
B
1
�A 4
�
6 2
�
�
� � 11
�
1
1
�
�
B
�A 2 B 4 � � 0 �
3
�
�
�3 2 �
Vậy
un 4
11
�n 1 �
n n2 � �
3
�6 2 �
Dạng 3
Tìm un thoả mãn điều kiện
u1 , u2 , aun1 bun c.un1 d . n , n �2
(7.1)
Phương pháp giải
2
0
*
Giải phương trình đặc trưng a. b. c 0 để tìm Khi đó ta có un un un ,
0
*
trong đó un được xác định như dạng 1 và hệ số A và B chưa được xác định, un được xác
định như sau
*
n
1) Nếu # thì un k .
*
n
2) Nếu là nghiệm đơn thì un k .n
*
2
n
3) Nếu là nghiệm kép thì un k .n.
*
Thay un vào phương trình , dùng phương pháp đồng nhất thức các hệ số sẽ tính được hệ
0
*
số k . Biết u1 , u2 từ hệ thức un un un tính được A,B
Bài toán 7: Tìm un thoả mãn điều kiện
10
u1 0; u2 0, un 1 2u n un1 3.2 n , n �2
0
*
Bài giải Phương trình đặc trưng 2 2 1 0 có nghiệm kép 1 Ta có un un u1n
0
n
*
n
trong đó un A B.n .1 A Bn, un k .2
*
Thay un vào phương trình , ta được
k .2n1 2k .2 n k.2 n1 3.2 n � k 6
*
n
n 1
0
*
n 1
Vậy un 6.2 3.2 . Do đó un un un A bn 3.2 .
(1) Thay u1 1, u2 0 vào
phương trình ta thu được
1 A B 12
�
�A 2
��
�
0 A 2 B 24 �B 13
�
Vậy
un 2 13n 3.2n 1
Dạng 4
Tìm un thoả mãn điều kiện
u1 , u2 , aun1 bun c.un 1 f n g n , n �2 (8.1)
n
trong đó a # 0 , f n là đa thức theo n và g n v.
Phương pháp giải
0
*
*
0
Ta có un un u1n u2 n trong đó un là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
aun1 bun c.un 1 0 , u1n* là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất
*
aun1 bun c.un 1 f n u2n
là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất
a un 1 bun c.un 1 g n
11
Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 )
Tìm un thoả mãn điều kiện
u1 0; u2 0, un 1 2un 3un 1 n 2n , n �2 (8.2)
Bài giải Phương trình đặc trưng 2 2 3 0 có nghiệm 1 1, 2 3 Ta có
un un0 u1*n u2*n
trong đó
un0 A 1 B.3n , u1*n a bn, u2*n k .2n
n
*
Thay u1n vào phương trình un1 2un 3un 1 n , ta được
a n 1 b 2 an b 3 �
a n 1 b �
�
� n � 4a 1 n 4 a b 0
Vậy
ab
1
4
Do đó
un*
1
n 1
4
n
*
Thay u2n vào phương trình un1 2un 3un 1 2 , ta được
k .2n1 2.k .2n 3.k .2 n 1 2 n � k
2
3
Do đó
2
1
u2*n .2n .2n1
3
3
12
Vậy
un un0 u1*n u2*n A 1 B.3n
n
1
1
n 1 .2n1 (8.3)
4
3
Ta thay u1 1, u2 0 vào (8.3) ta được hệ phương trình
1 4
61
�
�
A
3
B
1
A
�
�
�
�
2 3
48
�
�
�
�A 9 B 3 8 0
�B 25
�
� 48
4 3
Vậy
un
61
25
1
1
n
. 1 .3n . n 1 .2 n1
48
48
4
3
C. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP BA
Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba là phương trình sai phân dạng
u1 , u2 , u3 , a.un 2 bun1 c.un d .un 1 f n , n �2 (a.1)
trong đó a,b,c, d, , , là các hằng số , a # 0 và f n là biểu thức của n cho trước
(NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba luôn có ba
nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số thực ,
tức là chỉ xét nghiệm thực )
Phương pháp giải
0
*
Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng un un un ,
0
*
trong đó un là nghiệm tổng quát ủa phương trình tuyến tính thuần nhất, un là một nghiệm
riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất
Xét phương trình đặc trưng
13
a 3 b 2 c d 0
(a.2)
1) Xác định công thức nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba
thuần nhất
a) Nếu (a.2) có ba nghiệm thực 1 , 2 , 3 phân biết thì
un0 a1 .1n a2 .2n a3 .3n
b) Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 2 và một nghiệm đơn (1 2 # 3 ) thì
un0 (a1 a2 n)1n a3 .3n
c) Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 3 (1 2 3 ) thì
un0 (a1 a2 n a3 n 2 )1n
*
2) Xác định nghiệm riêng un của phương trình (a.1)
Xét f n là đa thức của n ta có
*
a) Nếu #1 thì un là đa thức cùng bậc với f n
*
b) Nếu 1 (nghiệm đơn ) thì un n.g n g n là đa thức cùng bậc với f n
*
2
c) Nếu 1 (bội 2 ) thì un n .g n g n là đa thức cùng bậc với f n
*
3
d) Nếu 1 (bội 3) thì un n .g n g n là đa thức cùng bậc với f n
n
Xét f n v. ta có
*
n
a) Nếu # thì un k .n.
*
n
b) Nếu (nghiệm đơn ) thì un k .
*
s
n
c) Nếu (nghiệm bội s ) thì un k .n .
14
Bài toán 9: Tìm dãy số an biết rằng
u1 0, u2 1, u3 3, un 7un1 11.un2 5.un3 , n �4 (9.1)
Bài giải
Xét phương trình đặc trưng
3 7 2 11 5 0
có 3 nghiệm thực
1 2 1, 3 5
n
Vậy an c1 c2 n c3 5
Cho n=1, n=2, n=3 và giải hệ phương trình tạo thành, ta được
c1
1
3
1
, c2 , c3
16
4
16
Vậy an
1 3
1
n 1 .5n1
16 4
16
D. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài toán 10: Cho dãy số an được xác định theo công thức sau
a1 0; a2 1, an 1 2an an 1 1, n �2 (10.1)
Chứng minh số A 4.an .an 2 1 là số chính phương
Bài giải Ta có
an1 2an an 1 1
(10.2)
Trong (9.2) ta thay n bởi n-1, ta được
an 2an 1 an 2 1
(10.3)
15
Trừ các vế của (10.1) cho (10.2) ta thu được
an1 3an 3an1 an 2 0
(10.4)
Phương trình đặc trưng của (10.4) là
3 3 2 3 1 0
có nghiệm 1 là nghiệm bội bậc ba
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (10.4) là
an (c1 c2 n c3 n 2 )1n
Cho n=0, n=1, n=2 ta được
0 c1
�
c 0
�
�
�1
1 c2 c2 c3
��
�
1
c2 c3
�
�
3 c1 2c2 4c3
�
2
�
Ta thu được an
n n 1
và từ đó ta có
2
A 4an .an 2 1 n 2 3n 1
2
Điều này chứng tỏ A là một số chính phương
Bài toán 11: Cho dãy số xn được xác định theo công thức sau
x1 7; x2 50, xn 1 4 xn 5 xn 1 1975 n �2
Chứng minh rằng x1996 M1997
Bài giải Xét dãy số yn với y1 7, y2 50 và
yn 1 4 yn 5 yn1 22 n �2
(11.2)
16
(11.1)
Dễ thấy yn �xn mod1997 . Do đó chỉ cần chứng minh
y1996 �0 mod 1997
Đặt zn 4 yn 11 suy ra z1 39, z2 211 . Nhận xét rằng
zn 1 4 yn 1 11 16 yn 20 yn 1 99 4 zn 20 yn1 55
Ta lại có
zn 1 4 yn 1 11 suy ra 20 yn1 5 zn 1 55
(11.4)
Thế (11.4) vào (11.3) ta được
zn 1 4 zn 5 zn1
Suy ra
zn 1 4 z n 5 zn 1 0
(11.5)
Phương trình đặc trưng của (11.5) là
2 4 5 0 có nghiệm 1 1, 2 5
Nghiệm tổng quát của (11.1) là
zn 1 5n
n
Ta có
� 8
�
�z1 5 39
� 3
��
�
�z2 25 211 � 25
� 3
Do đó ta nhận được
17
(11.3)
8
25
n
zn . 1 .5n
3
3
(11.6)
Từ (11.6) ta suy ra
z1996
8 25.51996
3
Ta cần chứng minh
z1996 �11 mod1997
Do
51996 1 M1997
�
�1996
5 1 M3
�
1996
Nên 5 1M3.1997 . Từ đó , ta có 51996 3n.1997 1 , và khi đó
8 25 3n.1997 1
z1996
25.n.1997 11
3
3
Vậy z1996 �11 mod 1997
E. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Xác định công thức của dãy số xn thoả mãn các điều kiện sau
1) x1 11, xn1 10.xn 1 9n , n �N
2) x0 2, x1 8, xn2 8.xn1 9 xn
2
3) x0 1, x1 3, 2. xn 2 5 xn1 2 xn n 2n 3
2
4) x0 0, x1 1, xn 1 4 xn 4 xn 1 n 6n 5
18
5) x1 1, x2 2, xn 2 5 xn 1 6 xn 4
Bài 2: Cho dãy số an thoả mãn điều kiện
an an 1 2.an 2
�
�
a1 a2 1
�
nγ N
n
3
Chứng minh rằng an là một số lẻ
Bài 3: Cho dãy số bn xác định bởi
bn 2.bn1 bn 2
�
�
b1 1, b2 2
�
nγ N
n
3
n
�5 �
Chứng minh rằng bn �� �, n �N
�2 �
Bài 4:
Cho dãy số un thoả mãn điều kiện
un 2 2.un1 un 2
�
nγ N
�
u0 1, u1 0
�
n
2
Chứng minh rằng un là một số chính phương
Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 – 4 Toán 11 Lần thứ VIII – 2002
NXB giáo dục )
Cho dãy số un thoả mãn như sau
un �Z , �N
�
�
u0 1, u1 9
�
�
un 10.un 1 un 2 n γ N , n 2
�
19
Chứng minh : k γ N , k 1
2
2
1) uk uk 1 10uk .uk 1 8
2
2) 5.uk uk 1 M4 va 3.uk 1M2
( Mkí hiệu chia hết )
Bài 6:
Cho dãy số un thoả mãn điều kiện
un 2 2un 1 2un un 1 , n �N *
Chứng minh rằng tồn tại các hằng số nguyên M sao cho các số M 4.an1an đều là số
chính phương
Bài 7: ( Báo Toán Học và Tuổi Trẻ số 356)
Cho dãy số ui ( i=1,2,3,4…)được xác định bởi
a1 1, a2 1, an an 1 2an 2 , n 3,4,...
Tính giá trị của biểu thức
2
2
A 2.a2006
a2006 .a2007 a2007
Bài 8:
Cho dãy số nguyên dương un thoả mãn điều kiện
u0 20, u1 100, un 2 4.un 1 5.un 20, n �N *
Tìm số nguyên dương h bé nhất có tính chất
an h an M1998 , n �N
20
- Xem thêm -