Kinh NghiÖm
Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc
phÇn I : ®Æt vÊn ®Ò
K
hi gi¶i hoµn thµnh mét bµi to¸n nãi chung vµ mét bµi
to¸n h×nh nãi riªng. C¸c em häc sinh thêng tháa m·n
nh÷ng g× ®· lµm ®îc. RÊt Ýt em cßn tr¨n trë suy nghÜ tiÕp nh :
a, Cßn cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch nµo n÷a kh«ng ? Cßn cã thÓ tr×nh bÇy
ng¾n gän h¬n n÷a kh«ng ?
b, Còng gi¶ thiÕt Êy th× cßn kÕt luËn ( Chøng minh) ®îc nh÷ng g×
n÷a.
c, Vµ cuèi cïng nÕu thay ®æi mét hay vµi ®iÒu kiÖn cña gi¶ thiÕt. Th×
kÕt luËn míi thu ®îc cã g× ®Æc biÖt .
Râ rµng nÕu tù gi¸c lµm ®îc nh÷ng c«ng viÖc Êy sau khi gi¶i mét
bµi to¸n h×nh th× v« cïng cã ý nghÜa. Nã t¹o ra cho c¸c em mét thãi quen
tèt sau khi gi¶i quyÕt xong mét c«ng viÖc nh»m ®¸nh gi¸ nhËn xÐt ®óng
møc, nh÷ng g× ®· lµm, nh÷ng g× cha lµm ®îc. §Ó tõ ®ã rót ra bµi häc bæ
Ých cho chÝnh m×nh. ThiÕt nghÜ ®ã còng lµ mét c¸ch häc, c¸ch hiÓu bµi
thªm s©u s¾c h¬n, c¸ch häc cã tÝnh chñ ®éng vµ s¸ng t¹o h¬n. Tuy nhiªn
trong thùc tÕ ®a sè häc sinh cha cã thãi quen lµm nh vËy, mµ nÕu cã còng
chØ lµ h×nh thøc mµ th«i. Do vËy lµ ngêi gi¸o viªn d¹y to¸n cÇn ph¶i híng
dÉn cho häc sinh thêng xuyªn thùc hiÖn c«ng viÖc nµy, ®Æc biÖt lµ c¸c em
cã n¨ng lùc vÒ bé m«n. Tõ suy nghÜ Êy t«i ®· tr¨n trë vµ m¹nh d¹n ®a ra
mét híng: ‘Ph¸t triÓn bµi to¸n h×nh”. Nh»m gióp c¸c em t¹o ra mét thãi
quen tèt sau khi gi¶i mét bµi to¸n , ®ång thêi gióp c¸c em yªu thÝch bé
m«n to¸n cã thªm ®iÒu kiÖn ®Ó ph¸t triÓn thªm vÒ n¨ng lùc t duy ... Cïng
®ång nghiÖp tham kh¶o trong c¸ch tù "ThiÕt kÕ" ra nh÷ng bµi tËp míi tõ
nh÷ng bµi tËp ®· biÕt.
1
Kinh NghiÖm
Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc
phÇn II : néi dung
I/ C¬ së lý luËn
Chóng ta ®· biÕt: Trong ch¬ng tr×nh to¸n 7 bé m«n h×nh häc, c¸c em
®· ®îc lµm quen víi mét ®Þnh lý vÒ tÝnh chÊt ba ®êng trung tuyÕn trong
tam gi¸c.
§Þnh lý: Trong mét tam gi¸c ba ®êng trung tuyÕn cïng ®i qua mét
®iÓm, kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm Êy ®Õn mçi ®Ønh cã ®é dµi b»ng 2/3 ®é dµi
trung tuyÕn kÎ tõ ®Ønh ®ã .
VÒ phÇn chøng minh ®Þnh lÝ SGK - HH7 ®· chøng minh cô thÓ. Tuy
nhiªn t«i còng m¹nh d¹n ®a ra mét c¸ch chøng minh kh¸c, trªn c¬ së ®ã ta
cßn suy xÐt tiÕp bµi to¸n:
Chøng minh:
A
C1
B
G
B1
A1.
C
Gi¶ sö ta gäi AA1 , BB1, CC1 . Lµ c¸c trung tuyÕn cña tam gi¸c
ABC. ( A1, B1, C1 lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BC, CA, AB ). Ta ph¶i chøng
minh AA1 , BB1, CC1 cung ®i qua mét ®iÓm. ThËt vËy : Gäi AA1 c¾t BB1 t¹i
G. (Ta kÝ hiÖu S lµ diÖn tÝch SABC : ®äc lµ diÖn tÝch cña tam gi¸c ABC ).
Ta lu«n cã: SABC 1= SACA1 ( Hai tam gi¸c cã chung ®êng cao h¹ tõ A
vµ ®¸y BA1 = CA1 nªn diÖn tÝch cña chóng b»ng nhau).
Tõ chøng minh nµy ta cã kÕt luËn: “Trong mét tam gi¸c ®êng trung
tuyÕn chia tam gi¸c ®ã thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau vµ b»ng 1
2
diÖn tÝch tam gi¸c Êy”(*)
Tõ kÕt luËn (*) ta suy ra:
SAC A1= SBC B1 (= 1 SABC )
2
2
Kinh NghiÖm
Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc
Nhng: S ACA1= SGAB1 + S GA1C B1
S BC B1= SGBA1 + S G A1C B1
VËy :
S GAB1 = SGBA1 ( 1 )
L¹i ¸p dông kÕt luËn (*) th× : SGAB1 = SGC B1 ( =
SGBA1 = SGC A1 ( =
1
S GAC )
2
1
S GBC )
2
(2)
Tõ (1), (2) Suy ra :
S GAB1 = S GC B1 =S GC A1
ThÕ th× : S GAC = 2 . SACA1
3
Nhng l¹i cã GAC, ACA1 cã chung ®é dµi ®êng cao h¹ tõ C,
gäi lµ h ch¼ng h¹n. VËy ta cã :
1
2
GA . h =
1
2
AA1 .h Suy ra:
T¬ng tù chøng minh trªnta còng
AG
2
(3)
AA1
3
BG
2
cã :
BB1
3
B©y giê ta gi¶ sö AA1 c¾t CC1 t¹i G' .
Chøng minh t¬ng nh vËy tù ta còng cã :
AG '
2
AA1
3
(4)
Tõ (3) vµ (4) . Suy ra AG' = AG v× ABC x¸c ®Þnh nªn G' trïng víi G.
Chøng tá r»ng : Ba ®êng trung tuyÕn cña mét tam gi¸c cïng ®i qua
mét ®iÓm, kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm ®ã ®Õn mçi ®Ønh b»ng 2 ®é dµi trung
3
tuyÕn kÎ tõ ®Ønh ®ã. ( Giao ®iÓm ®ã gäi lµ träng t©m cña tam gi¸c)
( Chó ý: C¸ch gi¶i trªn hoµn toµn phï hîp víi häc sinh líp 7. Bëi ë
bËc tiÓu häc c¸c em ®· häc c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch cña mét sè h×nh trong
®ã cã Tam gi¸c). NÕu ta dõng l¹i ë ®©y th× ch¼ng nãi lµm g×. §iÒu ®ã còng
cã thÓ ®îc bëi bµi tËp ®· gi¶i quyÕt xong. Tuy nhiªn ®· tr×nh bµy ë trªn,
viÖc híng dÉn cho häc sinh cÇn ph¶i cã mét thêi gian phï hîp ®ñ ®Ó nh×n
nhËn, ®¸nh gi¸ nh÷ng c¸i ®· lµm ®îc, cha lµm ®îc, ë c¸c gãc ®é kh¸c
ch¼ng h¹n:
Bµi to¸n cßn cã thÓ gi¶i quyÕt theo híng nµo hay h¬n kh«ng ? Bµi
to¸n nµy nÕu gi÷ nguyªn gi¶ thiÕt Êy th× cßn kÕt luËn thªm ®îc g× n÷a?
Bµi to¸n nµy nÕu ®Æc biÖt hãa gi¶ thiÕt (vµ ngîc l¹i tæng qu¸t hãa
gi¶ thiÕt) mét sè ®iÒu kiÖn ( nÕu ®îc) th× thu ®îc nh÷ng kÕt luËn míi
nµo? ...
3
Kinh NghiÖm
Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc
Riªng hai vÊn ®Ò trªn t«i chØ nªu ra cã tÝnh chÊt lµm vÝ dô dµnh cho
b¹n ®äc. Cßn néi dung chñ yÕu cña Kinh nghiÖm nµy t«i suy nghÜ vµ ®a ra
mét híng “ Ph¸t triÓn “. §ã lµ néi dung híng thø ba
II. Néi dung biÖn ph¸p
Quay l¹i bµi to¸n ta ®· chøng minh ®îc: Trong Tam gi¸c ABC c¸c
trung tuyÕn AA1,,BB1 , CC1 cïng ®i qua mét ®iÓm G vµ:
Nh vËy th×:
GA
GB
GC
2
AA1 BB1 CC1 3
GA
GB
GC
2
AA1 BB1 CC1 3
GA1 GB1 GC1 1 1 1
1
AA1 BB1 CC1 3 3 3
Do ®ã:
(5)
Ph¸t triÓn I:
Tõ bµi to¸n suy xÐt thªm ta thÊy: Tuy Tam gi¸c ABC lµ bÊt kú nhng
AA1,,BB1 , CC1 Lµ ba trung tuyÕn cña Tam gi¸c - Lµ ba ®êng ®Æc biÖt, nªn
G cã tÝnh chÊt ®Æc biÖt nh vËy nghÜa lµ do ®ã mµ ta cã ®¼ng thøc ( 5). B©y
giê chuyÓn sù ®Æc biÖt hãa thµnh kh¸i qu¸t r»ng: Gi¶ sö c¸c ®êng AA1,,BB1
, CC1 lµ bÊt kú cña Tam gi¸c ABC vµ cïng ®i qua mét ®iÓm K bÊt kú n»m
trong trong ABC. §¼ng thøc (5) cã g× thay ®æi theo . ThËt vËy: Cho K lµ
mét ®iÓm bÊt kú cña ABC ( K n»m trong ABC). Gäi AK, BK, CK lÇn
lît c¾t BC, CA, AB ë A1,,B1 , C1.
A
B1
C1
B
H
H1
C
A1
Ta gäi S lµ diÖn tÝch ABC, S1 lµ diÖn tÝch Tam gi¸c KBC ,S2 lµ dt
KCA ,S3 lµ dt KAB vµ ha ,hb ,hc lµ ®é dµi ®êng cao cña ABC øng
víi c¹nh :BC, CA , AB gäi h1, h2, h3 lÇnlît lµ ®é dµi ®êng cao cña KBC,
KCA , KAB h¹ tõ K ta cã:
S=
1
2
BC.ha =
1
2
CA. hb =
1
2
AB.hc (6)
4
Kinh NghiÖm
S1 =
Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc
1
2
BC.h1 , S2 = 1 CA.h2 , S3=
Tõ (6) vµ (7) ta cã
2
S1 h1
S
ha
1
AB.h3 (7) .
2
S
h
S 2 h2
; 3 3.
S
hb
S
hc
;
TiÕp tôc kÎ AH
vu«ng gãc víi BC t¹i H , KH1 vu«ng gãc víi BC t¹i H1 . Suy ra trong
AHA1 cã AH // KH1 ( cïng v«ng vãi gãc BC).
KH 1 KA1
AH
AA1
KA1
h
1
AA1 ha
VËy ta cã :
Do ®ã:
hay
( Do ta gäi ha lµ ®é dµi ®êng cao cña ABC øng víi c¹nh BC h1lµ
®é dµi ®êng cao cña KBC h¹ tõ K ). Do ®ã
KB1 S 2
BB1
S
T¬ng tù ta còng cã:
Tõ ®ã suy ra:
,
KA1 S1
AA1
S
.
KC1 S 3
CC1
S
KA1 KB1 KC1 S1 S 2 S 3 S1 S 2 S 3
AA1 BB1 CC1 S
S
S
S
.
Nhng S1 +S2 + S3 = SKBC + SKcA +SKAB = SABC = S.
VËy
S1 + S2 + S3
S
=
=1
S
S
Chøng tá r»ng :
KA1 KB1 KC1 S
1
AA1 BB1 CC1 S
So s¸nh (5) vµ (5.1) ta thÊy r»ng chØ cÇn ®iÒu kiÖn ba ®êng th¼ng bÊt
kú ®i qua ba ®Ønh cña tam gi¸c vµ ®ång qui t¹i mét ®iÓm (*) th× ®¼ng thøc
( 5) vÉn ®óng. Nhng râ rµng gi¶i ®îc bµi to¸n nµy møc ®é ®ßi hái sù hiÓu
biÕt cña häc sinh ph¶i cao h¬n nhiÒu tõ ®ã ta cã bµi to¸n míi:
Bµi to¸n I :
Cho K lµ mét ®iÓm bÊt kú trong ABC gäi AK, BK, CK lÇn lît c¾t
BC, CA, AB t¹i A1, B1, C1 .Chøng minh r»ng:
KA1 KB1 KC1 S
1
AA1 BB1 CC1 S
TiÕp tôc kh«ng dõng l¹i ë ®©y, ta l¹i suy xÐt thªm bµi to¸n t¬ng tù
nh trªn tõ bµi to¸n ban ®Çu ta ®· më réng thªm bµi to¸n ®ã lµ bµi to¸n 1.
B©y giê còng tõ kÕt qu¶ cña bµi to¸n ban ®Çu ta cã:
AA1
GA1
=
BB1
GB1
=
CC1
GC1
=3
5
Kinh NghiÖm
Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc
ThÕ th× ta cã mét híng ph¸t triÓn kh¸c.
Ph¸t triÓn II :
Tõ nhËn xÐt trªn ta suy ra.
AA1 BB1 CC1 3 3 3
9
GA1 GB1 GC1 1 1 1
(8).
Së dÜ cã ®¼ng thøc (8) lµ do G lµ mét ®iÓm ®Æc - träng t©m cña Tam
gi¸c. VËy vÊn ®Ò ®Æt ra r»ng nÕu thay sù ®Æc biÖt cña vÞ trÝ ®iÓm G thµnh
khai qu¸t thµnh ®iÓm K bÊt kú trong Tam gi¸c. Th× ®¼ng thøc (8) cã cßn
®óng kh«ng, hay ta sÏ thu ®îc ®iÒu g× míi (*). ChØ xÐt ®iÓm ®ång quy ë
trong Tam gi¸c ... ThËt vËy : ta còng gäi K lµ mét ®iÓm bÊt kú trong
ABC gäi AK, BK, CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB t¹i A1, B1, C1.Theo ph¸t
triÓn I ta cã:
KA1 S1
AA1
S
KB1 S 2
BB1
S
,
AA1 BB1 CC1 S
S
S
KA1 KB1 KC1 S1 S 2 S 3
KC1 S 3
CC1
S
,
.VËy suy ra:
.
§Ó cho bµi to¸n khã thªm mét chót , ta sÏ t¹o tiÕp ra c¸c nót kiÕn
thøc ch¼ng h¹n: Do: S = S1 + S2 + S3 ( Trong ph¸t triÓn 1 ) Nªn :
S
S S3
S
S S1 S 2 S 3
1 2
=1+ 2 3
S1
S1
S1
S1 S 1
S
S
S
S
S
S
1 1 3 ,
1 1 2 .
S2
S2 S2
S3
S3 S3
Do ®ã:
S
+
S1
S
S2
+
S
= 3+
S3
S2
S1
+
S1
S2
+
, t¬ng tù :
S3
S1
S1
+
S3
+
S2
S3
S3
+
S2
Nhng ta chó ý r»ng do K n»m trong ABC nªn diÖn tÝch c¸c
KBC, KCA, KAB ®Òu lµ c¸c sè d¬ng. MÆt kh¸c trong ®¹i sè ta lu«n
cã:
(a-b)2 0 a, b
a2 + b2 2ab a, b
a
b
b a 2 a, b > 0 (*)
dÊu " = " x¶y ra khi a= b. ¸p dông (*) vµo trªn ta cã:
3+
S1 S 2
S 2 S1
+
S2 S3
S3 S 2
+
S 3 S1
S1 S 3
3+2+2+2 =9
DÔ thÊy dÊu “=” xÈy ra khi S1 = S2 = S3 ®iÒu nµy cã ®îc khi K trïng G
Do ®ã:
AA1 BB1 CC1
KA1 KB1 KC1
9 (8.1) So s¸nh (8) vµ (8.1) Ta thÊy (8)
chØ lµ mét trêng hîp ®Æc biÖt cña (8.1). Tõ ®ã ta cã bµi to¸n míi.
Bµi to¸n II :
Chøng minh r»ng:
6
Kinh NghiÖm
Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc
NÕu K lµ mét ®iÓm bÊt kú trong ABC vµ AK, BK,CK lÇn lît c¾t
BC, CA, AB t¹i A1 ,B1, C1 th× lu«n cã:
AA1 BB1 CC1
KA1 KB1 KC1
9.
Suy xÐt tiÕp tôc bµi to¸n ban ®Çu do cã :
GA
GB
GC
=2 .
AA1
BB1 CC1 3
GA
GB
GC
Suy ra:
GA1 GB1 GC1
GA
GB
GC
VËy :
+
+
GA1 GB1
GC1
=2 .
= 2 + 2+ 2 = 6 (9)
Ph¸t triÓn III :
Tõ ®¼ng thøc (9) vÊn ®Ò ®Æt ra lµ nÕu kh«ng h¹n chÕ G mµ thay G
( Träng t©m) bëi mét ®iÓm K bÊt kú trong Tam gi¸c, kÕt qu¶ thu ®îc cã g×
®Æc biÖt so víi (9). ThËt vËy trong ph¸t triÓn II ta cã:
B1
B
9
Lîi dông bÊt ®¼ng
thøc nµy ta suy xÐt
tiÕp. DÔ thÊy muèn cã
KA th× ta lÊy hiÖu AA1
vµ KA1. Tõ ®ã ta bít
mçi vÕ cña bÊt ®¼ng
thøc trªn ®i 3 ®¬n vÞ ta
®îc:
A
C1
AA1 BB1 CC1
KA1 KB1 KC1
C
A1
AA1
BB
CC1
- 1+ 1 - 1+
- 1 9 -3
KA1
KB1
KC1
AA1 KA1 BB1 KB1 CC1 KC1
+ KB
+ KC
KA1
1
1
KA
KB
KC
1
1
1
6.
KA + KB + KC 6 (9.1)
So s¸nh (9) vµ (9.1) ta thÊy râ rµng (9) chØ lµ trêng hîp ®Æc biÖt
cña (9.1) mµ th«. Nh thÕ ta cã bµi to¸n tæng qu¸t h¬n bµi to¸n míi:
Bµi to¸n III :
Cho K lµ mét ®iÓm bÊt kú trong ABC, gäi AK, BK,CK lÇn lît c¾t
KA
KB
KC
BC, CA, AB t¹i A1 ,B1, C1 .Chøng minh r»ng :
+
+
6.
KA1
KB1
KC1
Cø tiÕp tôc suy xÐt tiÕp bµi to¸n vµ ph¸t triÓn tiÕp.
Ph¸t triÓn IV :
Trong ba× to¸n ban ®Çu ta cã :
GA
AA1
=
GB
BB1
=
GC
CC1
=2.
3
7
Kinh NghiÖm
Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc
ThÕ th× : GA1 = GB1 = GC1 = 1 .
Suy ra
2
GA
GB
GC
GA1 GB1 GC1 1 1
+
+
= +
2 2
GA
GB
GC
+ 1 = 3 . (10)
2
2
Cã ®îc ®¼ng thøc (10) lµ do G lµ träng t©m cña ABC . B©y giê
nÕu ta thay G bëi mét ®iÓm K bÊt kú trong ABC th× tæng KA1 + KB1 +
KA
KC1
KC
KB
Cã g× ®Æc biÖt so víi (10)
Ta suy xÐt tiÕp nh sau: v×
KA1
AA1
= S1 (Trong ph¸t triÓn 1)
S
KA1
S
KA1
S1
Suy ra:
= 1
=
AA1 KA1 S S1
AA1
S S1
Nhng S - S1 = S1 + S2 + S3 - S1 = S2 + S3
S1
VËy KA1 =
S2 S3
KA
S
S
T¬ng tù: KB1 = 2 , KC1 = 3
S1 S 2
KB S 3 S1
KC
S
S1
S
Do ®ã: KA1 + KB1 + KC1 =
+ 2 + 3
S 2 S 3 S 3 S1 S 1 S 2
KA
KB
KC
Ta tiÕp tôc ph¸t triÓn tiÕp bµi to¸n ®Ó bµi to¸n khã thªm, khi gi¶i
quyÕt ®ßi hái ngêi lµm to¸n ph¶i hiÓu biÕt kiÕn thøc réng h¬n. Ch¼ng h¹n
nh ta ®· chøng minh ®îc:
a b
2 víi mäi a,b > 0 d©ó (=) khi a = b
b
a
ThÕ th× : b c
c a
2 víi mäi a,b,c > 0
c b
a c
Nªn: b c a c a b 6 víi mäi a,b,c > 0
a
b
c
bc
a c
a b
a 1 b 1 c 1 6 3
a b c a b c a b c
a b c 9 .
1 1 1
(a+b+c) a b c 9 (**) víi mäi a,b,c > 0
2
,
dÊu (=) sÈy ra khi a
= b = c.
S
S1
S
S1
S
+ 2 + 3 =
+1+ 2
S 2 S 3 S 3 S1 S 1 S 2
S2 S3
S 3 S1
S S S
S S S
S S S
= 1 2 3+ 1 2 3+ 1 2 3 -3
S1 S 3
S 3 S1
S1 S 2
L¹i cã:
1
1
1
S 1 S 2 S 2 S 3 S 3 S1
= (S 1 +S 2 +S 3 )
+1+
S3
S1 S 2
+1-3
3
1
1
1
-3
S 1 S 2 S 2 S 3 S 3 S1
= 1 S1 S 2 S 2 S 3 S 3 S 1
2
Nhng do S1, S2 , S3 lµ c¸c sè d¬ng nªn theo (**) ta l¹i cã:
8
Kinh NghiÖm
Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc
1
1
1
S 1 S 2 S 2 S 3 S 3 S1
S1 S 2 S 2 S 3 S 3 S1
VËy :
1
1
1
S 1 S 2 S 2 S 3 S 3 S1
1
S1 S 2 S 2 S 3 S 3 S 1
2
9
3
1
2
.9 – 3
Hay:
S1
S2 S3
+
Nªn:
KA1
KA
S2
S 3 S1
+
S3
1
S1 S 2
2
+ KB1 + KC1
KB
3
2
KC
3
2
.9 - 3 =
(10.1).
Tõ (10) vµ (10.1) ta thÊy r»ng (10) chØ lµ mét trêng hîp ®Æc biÖt
cña (10.1) mµ th«i .§iÒu ®ã chÝnh lµ do G chØ lµ mét trêng hîp ®Æc biÖt
cña K. Tõ ®ã ta cã bµi to¸n míi:
Bµi to¸n IV
Chøng minh r»ng: NÕu K lµ mét ®iÓm bÊt kú trong ABC vµ AK, BK,CK
lÇn lît c¾t BC, CA, AB t¹i A1 ,B1, C1 th×:
KA1
KA
+ KB1 + KC1
KB
KC
3
2
.
Ph¸t triÓn V : Trong bµi to¸n ban ®Çu ta cã :
GA
AA1
AA1
GA
=
GB
BB1
=
GC
CC1
= 2 .Suy ra: AA1 = BB1 = CC1 = 3 . Do ®ã :
+ BB1 + CC1 =
GB
GC
3
3 3
+
2 2
GA
GB
GC
2
+ 3 = 9 (11).
2
2
Còng lý luËn nh trªn thay ®iÓm G ( §Æc biÖt ) bëi ®iÓm K (BÊt kú)
trong ABC th× kÕt qu¶ thu ®îc cã g× ®Æc biÖt h¬n (11) kh«ng ?
ThËt vËy: Trong ABC gäi K lµ ®iÓm bÊt kú, AK, BK, CK lÇn lît
c¾t BC, CA, AB t¹i A1,B1,C1 . Ta kÎ KD vu«ng gãc víi AH t¹i D, kÎ AH
vu«ng gãc víi BC t¹i H, kÎ KH1 vu«ng gãc víi BC t¹i H1.
Ta cã: AHA1 ~ ADK(g.g)
Do ®ã suy ra:
A
C1
AA1
KA
=
AH
AD
=
ha
ha - h1
B1
9
Kinh NghiÖm
Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc
C
A1
B
VËy:
AA1
KA
=
1
* ha * BC
S
2
=
=
S S1
1
1
* ha * BC * h1 * BC
2
2
AA1
ha
ha - h1
Nhng S - S1 = S1 + S2 + S3 - S1 = S2 + S3 Nªn
S
S S1
VËy : AA1 =
=
KA
BB1
CC
S
S
, 1
KB S 3 S1
KC S1 S 2
AA1
KA
AA1
KA
=
S
S2 S3
S 2 + S3
.Do ®ã :
S
S
S
S 1 S 2 S 2 S 3 S 3 S1
+
KC
+ CC1
KC
=
.T¬ng tù ta còng cã:
+ BB1 + CC1 =
KB
BB1
KB
KA
S
V× S = S1 + S2 + S3 Nªn:
1
1
1
. S1 S 2 S 3
S 1 S 2 S 2 S 3 S 3 S1
=
1
1
1
S 1 S 2 S 2 S 3 S 3 S1
1
S1 S 2 S 2 S 3 S 3 S1
2
( Theo ph¸t triÓn 4 )
9
2
VËy AA1 BB1 CC1 1 * 9 = 9 (11.1)
KA
KB
KC
2
2
So s¸nh (11) vµ (11.1) ta thÊy râ rµng (11.1) bao hµm c¶ (11). Hay
nãi c¸ch kh¸c bµi to¸n ban ®Çu chØ lµ mét trêng hîp cña bµi to¸n míi nµy
mµ th«i. Ta cã bµi to¸n míi:
Bµi to¸n V . Cho K lµ mét ®iÓm bÊt k× trong ABC, gäi AK,
BK,CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB t¹i A1 ,B1, C1 .Chøng minh r»ng:
AA1 BB1 CC1 9
KA KB KC 2
Cø tiÕp tôc nh vËy ta ph¸t triÓn bµi to¸n tõ nh÷ng dÊu hiÖu cña bµi
to¸n ban ®Çu
V× r»ng:
GA
GB
GC
2
GA1 GB1 GC1
ta l¹i suy xÐt tiÕp.
Ph¸t triÓn VI: Tõ kÕt qu¶ trªn ta suy ra r»ng:
GA GB GC
*
*
2 * 2 * 2 8
GA1 GB1 GC1
(12)
B©y giê nÕu thay träng t©m G bëi mét ®iÓm K bÊt kú trong Tam gi¸c
ABC. Th× kÕt qu¶ míi thu ®îc so víi ( 12 ) cã g× ®Æc biÖt (?). Tõ suy nghÜ
®ã ta l¹i biÕn ®æi tiÕp tôc.
Do:
KA1
S1
KA S 2 S 3
,
KB1
KB
=
S2
S3 +S1
, ,,
KC1
KC
=
S3
S1+ S2
( theo ph¸t triÓn 4)
10
Kinh NghiÖm
Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc
VËy:
KA KB
KC
*
*
KA1 KB1 KC1
=
S 2 S 3 S1 S 3 S 1 S 2
*
*
S1
S2
S3
Nhng v×: a2+b2 2 ab a,b
Suy ra : x + y 2 x.y x,y 0 (**)
¸p dông : (**) ta cã
S1+S2 2 S1 S 2
S1+S3 2 S1 S 3
S2+S3 2 S 2 S 3
Nªn: ( S1+S2 ) . (S2+S3) . (S1+S3) 8 . (S1.S2.S3)2
V× S1, S2 , S3 lµ c¸c sè d¬ng nªn
( S1+S2 ) . (S2+S3) .(S1+S3) 8 S1. S2 . S3
KA KB
KC
*
*
KA1 KB1 KC1
VËy
Hay:
8 S1. S2 . S3
S1. S2 . S3
KA KB
KC
*
*
KA1 KB1 KC1
=8
8 (12.1)
§èi chiÕu so s¸nh (12) vµ ( 12.1) ta thÊy (12) chØ lµ mét trêng hîp
®Æc biÖt cña (12.1) mµ th«i. NghÜa bµi to¸n ban ®Çu lµ mét trêng hîp cña
bµi to¸n míi nµy. Ta cã bµi to¸n míi :
Bµi to¸n VI :
Chøng minh r»ng: NÕu K lµ mét ®iÓm bÊt k× trong ABC, gäi AK,
BK,CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB t¹i A1 ,B1, C1 th×:
KA KB
KC
*
*
8
KA1 KB1 KC1
.
Kh«ng dõng l¹i ë ®©y ta l¹i tiÕp tôc suy xÐt. Tõ ph¸t triÓn 1 ta ®·
chøng minh ®îc:
KA1 S1
AA1
S
Suy ra :
AA1
KA1
T¬ng tù ta cã:
VËy th×
AA1
KA1
.
S
S3
=
=
S
S1
BB1
KB1
BB1
KB1
.
=
.
S
S2
,
CC1
KC1
CC1
KC1
=
S
S1
=
.
S
S3
S
S2
.
.
S
S3
.
§Ó t¹o thªm møc khã cña bµi to¸n ta ph¸t triÓn tiÕp vÊn ®Ò nµy:
Ph¸t triÓn VII:
V× ta cã: S = S1 + S2+S3
Nªn:
S
S1
.
S
S2
.
S 1 S 2 S 3 S 1 S 2 S 3 S1 S 2 S 3
*
*
S1
S2
S3
= 1
S 2 S 3 S 1 S 3 S 1 S 2
1 1 .
S1 S1 S 2 S 2 S 3 S 3
11
Kinh NghiÖm
Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc
Nhng ta lu«n cã:
a2+b2 2ab ( a,b)
b2+c2 2bc ( b,c)
c2+a2 2ca ( c,a)
Suy ra: a2+b2+c2 ab+bc+ca( a,b,c) (***)
dÊu (=) x¶y ra khi a=b=c.
Do S1 , S2 , S3 d¬ng. Nªn ta h¹n chÕ ®iÒu kiÖn cho a,b,c d¬ng th×
(***) vÉn ®óng
Tõ (***) suy ra:
a2+b2+c2-ab - bc - ca 0 a,b,c
(a+b+c)( a2+b2+c2-ab - bc - ca) 0 ( a,b,c > 0)
(a+b+c)( a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca- 3ab -3bc - 3ca) 0
(a+b+c) a b c 2 3c(a b) 3ab 0
(a+b+c)3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c) 0
(a+b+c)3-3(a+b).c.(a+b+c)-3ab(a+b)- 3abc 0
a b c 3 -3 (a+b).c. a b c - 3ab(a+b) -3abc 0
(a+b)3+c3 - 3ab(a+b) - 3abc 0
(a+b)3-3ab(a+b) + c3 -3abc 0
a3+b3+c3-3abc 0. VËy: a3+b3+c3 3abc( a,b,c > 0)(**) ¸p dông
(**) ta cã:
1+
S 2 S3
S1 S 1
= ( 3 1) 3 ( 3
S2
VËy: 1+
S3
T¬ng tù: 1+
1+
+
S
S
S2 3
S
) (3 3 ) 3 3 3 1.3 2 .3 3
S1
S1
S1 S1
S3
S1
3
3
=3 3
S2 S3
S1
2
.
S2 S3
S1
2
S1 S 2
S1 S 2
3 3
2
S3 S3
S3
S1 S 3
S1 S 3
3 3
2
S2 S2
S2
Tõ ®ã ta suy ra r»ng:
12
Kinh NghiÖm
Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc
S 2 S 3 S 1 S 3 S 1 S 2
S S SS SS
1 1 1 3.3.3 3 2 3 1 3 12 2 =27
( S1 S 2 S 3 )
S 1 S 1 S 2 S 2 S 3 S 3
§Õn ®©y, nhê c¸c phÐp biÕn ®æi ta ®· lµm cho mÊt hÕt c¸c dÊu hiÖu
vÒ diÖn tÝch mµ chØ cßn ®¹i lîng sè, nghÜa lµ:
AA1
KA1
.
BB1
KB1
.
CC1
27
KC1
§iÒu nµy nÕu ta ®Æc biÖt hãa ®iÓm K trïng víi träng t©m G cña Tam
gi¸c ABC th× dÔ thÊy dÊu b»ng xÈy ra nghÜa lµ.
AA1
.
BB1
.
CC1
=3.3.3 = 27
GA1
GB1
GC1
Râ rµng bµi to¸n ban ®Çu chØ lµ trêng hîp ®Æc biÖt cña bµi to¸n nµy.
Ta cã bµi to¸n míi .
Bµi to¸n VII :
Cho K lµ mét ®iÓm bÊt k× n»m trong ABC, gäi AK, BK,CK lÇn lît c¾t BC, CA, AB ë A1 ,B1, C1 .Chøng minh r»ng:
AA1
KA1
.
BB1
KB1
.
CC1
27.
KC1
PhÇn III: KÕt luËn
Cø tiÕp tôc nh vËy nÕu sau mçi mét bµi to¸n chóng ta híng dÉn cho
häc sinh dµnh mét kho¶ng thêi gian nhÊt ®Þnh ®Ó suy xÐt bµi to¸n theo mét
trong ba híng, mµ t«i ®· ®a ra. ThiÕt nghÜ ®ã còng lµ mét ph¬ng ph¸p häc
to¸n vµ lµm to¸n rÊt bæ Ých vµ lý thó lµm ®îc ®iÒu ®ã víi häc sinh sÏ t¹o ra
sù hiÓu bµi s©u h¬n cã nhiÒu ph¬ng ph¸p gi¶i h¬n vµ ®¬ng nhiªn sÏ t×m ®îc ph¬ng ph¸p hay nhÊt. Víi ngêi d¹y ngoµi viÖc t×m ra nhiÒu lêi gi¶i cña
bµi to¸n cßn t¹o ra c¸ch thiÕt kÕ mét lo¹t c¸c bµi to¸n cã cïng d¹ng víi
bµi to¸n ban ®Çu.
Trong qu¸ tr×nh båi dìng häc sinh giái khèi 8 - 9 t«i ®· ®a ra ®Ó
thùc nghiÖm. Ban ®Çu c¸c em cßn bì ngì, sau ®ã tá ra thÝch thó, say mª.
§Æc biÖt lµ hai híng ®Çu c¸c em tá ra hiÓu vµ say mª t×m nhiÒu ph¬ng
ph¸p gi¶i tõ ®ã chän ®îc ph¬ng ph¸p hay. Cßn ph¬ng ph¸p nµy mét sè ®·
biÕt tù thiÕt kÕ ra bµi to¸n míi. T«i nghÜ ®ã còng chØ lµ thµnh c«ng bíc ®Çu
vµ hÕt søc nhá bÐ.
Do ®Æc ®iÓm cña néi dung kiÕn thøc. Kinh nghiÖm nµy t«i chØ ®a ra
®Ó ¸p dông cho c¸c em khèi líp 8 - 9 nªn mét sè kiÕn thøc vÒ bÊt ®¼ng
thøc chØ phï hîp víi c¸c em ®· häc qua líp 8 vµ ®ang häc líp 9.
13
Kinh NghiÖm
Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc
Bµi to¸n ban ®Çu b»ng sù suy xÐt nh vËy ta cã thÓ khai th¸c ®îc
nhiÒu ®iÒu bæ Ých. Sau ®©y xin giíi thiÖu hai bÊt ®¼ng thøc còng ®îc ph¸t
triÓn tõ bµi to¸n ®ã. §Ò nghÞ c¸c b¹n cïng tham gia.
1/ AA1 * BB1 * CC1 27
KA
KB
KC
8
KA KB KC
2
2/
KA1 KB1 KC1
Trªn ®©y chØ lµ kinh nghiÖm cña c¸ nh©n nªn kh«ng thÓ tr¸nh khái
nh÷ng h¹n chÕ .T«i rÊt mong ®îc sù ®¸nh gi¸ gãp ý cña c¸c b¹n ®ång
nghiÖp vµ Héi ®ång khoa häc c¸c cÊp ®Ó kinh nghiÖm ngµy cµng ®îc hoµn
thiÖn h¬n.
Tµi liÖu tham kh¶o
1/ BÊt ®¼ng thøc:
NguyÔn Vò Thanh
2/ C¸c chuyªn ®Ò m«n to¸n:
Tr¬ng C«ng Thµnh
NguyÔn H÷u Th¶o
14
Kinh NghiÖm
Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc
Môc lôc
PhÇn1: §Æt vÊn ®Ò
1
PhÇn2: Néi dung
2
I. C¬ së lý luËn
2
II Néi dung biÖn ph¸p
4
PhÇn 3: KÕt luËn
15
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
15
Kinh NghiÖm
Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
..........................................................................................................................
.............
16
Kinh NghiÖm
Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc
17
- Xem thêm -