Tài liệu Tích phân suy rộng phần 1 [compatibility mode]

TÍCH PHÂN SUY RỘNG Tích phân suy rộng loại 1 (cận vô hạn) Cho f(x) khả tích trên [a, b],  b  a  a f ( x )dx  lim b a f ( x )dx b  gọi là tích phân suy rộng loại 1 của f trên [a, +) Nếu giới hạn tồn tại hữu hạn ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói tích phân phân kỳ. Giới hạn trên còn được gọi là giá trị của tpsr. Nhận dạng tpsr loại 1 Nếu f(x) liên tục trên [a, +) hoặc chỉ có hữu hạn các điểm gián đoạn loại 1 trên [a, +) thì  a VD: f ( x )dx là tích phân suy rộng loại 1  sin x 0  0 x dx x dx sin x  dx 2 x  x 1  x 1 dx 2 x  2x  3 2 0 là tpsr loại 1 không là tpsr loại 1 ĐỊNH NGHĨA b b  f ( x )dx  alim a f ( x )dx   a   f ( x )dx   f ( x )dx  a f ( x )dx Lưu ý: tích phân vế trái hội tụ khi và chỉ khi các tp vế phải hội tụ. (chỉ cần 1 tp vế phải phân kỳ là tp vế trái phân kỳ, không cần biết tp còn lại) Ví dụ Khảo sát sự hội tụ và tính giá trị nếu tính phân hội tụ  I  0 dx 2 1 x b dx b  (b)    arctan x 0  arctan b 2 1 x 0  dx    0 1 x2 2 b  I  0 b cos xdx  (b)   cos xdx  sin b 0 Không có gh khi b →+  Phân kỳ I  ln x e x  (b)   b ln x e b x   ln b 1 tdt  Phân kỳ 1 2  ln b  1  2 Tính chất của tích phân suy rộng 1. f khả tích trên [a, b],  b  a. Khi đó   > a  a f ( x )dx và   f ( x )dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất) Tính chất của tích phân suy rộng 2. f khả tích trên [a, b],  b  a. Khi đó   ≠ 0  a f ( x )dx và  a  f ( x )dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất) Tính chất của tích phân suy rộng 3. f, g khả tích trên [a, b],  b  a. *  a f ( x )dx và   a *  a  a  f  g  dx  a  f  g  dx hội tụ hội tụ f ( x )dx hội tụ và  g ( x )dx  a g ( x )dx phân kỳ phân kỳ Công thức Newton-Leibnitz f khả tích trên [a, b],  b  a, F là nguyên hàm của f trên [a, +), khi đó  a f ( x )dx   F (x) a  F ( )  F (a) trong đó F (  )  lim F ( x ) x  Lưu ý: các phương pháp tính tích phân xác định vẫn sử dụng được cho tp suy rộng. Ví dụ  1   1 x x 1  dx     2  dx 2 1 x x  x 1 x ( x  x  1)      1 1   1 2x  1  1   2 1 x 2 x2  x 1 2  1 3   x     2 4     ln x  1 ln x 2  x  1  1 2 arctan2 ( x  1/ 2)   2 2 3 3 1      ln x  1 ln x 2  x  1  1 2 arctan 2 ( x  1/ 2)   2 2 3 3 1       x 1 ( x  1 / 2)   ln  arctan 2  2 3 3 1  x  x 1 1  ln 1  1 arctan 3   0  .arctan()    3 3 3    1   ln 3 6 3 2 Ví dụ I  3 dx x 1 x 2  2  3  1 1 dt tan t 1  tan 2 t cos 2 t  2 dt  sin t 3   2 1  tan t  ln      ln 2 3  3 Ví dụ  0 x x.e dx   x   xe 0    xe  x   x e dx 0  e  x   0 1 TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Cho f(x) không âm và khả tích trên [a, b],  b  a. Khi đó b  (b)   f ( x )dx là hàm tăng theo biến b. a  (b) hội tụ khi và chỉ khi (b) bị chận trên. TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b],  b  a Nếu  a  a f ( x )  kg ( x ), x    a g ( x )dx hội tụ thì  a f ( x )dx phân kỳ thì f ( x )dx hội tụ  a g ( x )dx phân kỳ TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b],  b  a Đặt f (x) k  lim x  g ( x )   Cùng hội tụ • 0 k   f ( x )dx , g ( x )dx hoặc phân kỳ a a  •k=0 •k=  a  a  g ( x )dx hội tụ    a f ( x )dx hội tụ  g ( x )dx phân kỳ   f (x)dx phân kỳ a Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 1 f(x)  kg(x)  f(b)  kg(b)  a g ( x )dx hội tụ  g (b) bị chận trên  f (b) bị chận trên   a f ( x )dx hội tụ Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 1 f(x)  kg(x)  f(b)  kg(b)  a f ( x )dx phân kỳ  f (b) không bị chận trên  g (b )   a không bị chận trên g ( x )dx phân kỳ Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 2. f (x) lim  K  0,  x  g ( x ) f (x) K   K  , x   g (x) 2 K 3K  g (x)  f (x)  g ( x ), x   2 2  Kết luận như tiêu chuẩn so sánh 1