Tài liệu Tích phân suy rộng (phan 2) [compatibility mode]

TÍCH PHÂN SUY RỘNG (phần 2) TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2 Điểm kỳ dị: Cho f(x) xác định trên [a, b] \ {x0}. Nếu lim f ( x )    x  x0 ta nói x0 là điểm kỳ dị của f trên [a, b] Tích phân suy rộng loại 2 là b a f ( x )dx với f có ít nhất 1 điểm kỳ dị trên [a, b] Định nghĩa. Cho f(x) khả tích trên [a, b – ], với mọi >0 đủ nhỏ, kỳ dị tại b b b  a f ( x )dx  lim a 0 b Nếu f kỳ dị tại a f ( x )dx b a f ( x )dx  lim a  f ( x )dx 0 Nếu giới hạn hữu hạn: Ngược lại: phân kỳ. b a f ( x )dx hội tụ Nếu f kỳ dị tại a và b b c b a f ( x )dx  a f ( x )dx  c f ( x )dx Nếu f kỳ dị tại x0  (a, b) b x0 a f ( x )dx  a b f ( x )dx   f ( x )dx x0 (vế trái hội tụ  các tp vế phải đều hội tụ) Công thức Newton-Leibnitz Cho f(x) khả tích trên [a, b – ], với mọi  > 0 đủ nhỏ, kỳ dị tại b, F(x) là nguyên hàm của f(x). b a f ( x )dx  F (b)  F (a) Với F (b)  lim F ( x ) x b  Lưu ý: các pp đổi biến số và tp từng phần vẫn dùng như tp xác định. Ví dụ dx 1 0 1 x 1 ln x 0 x 1 dx 2  1 arcsin x 0 kỳ dị tại x = 0   ln x.d  ln x  0   2 2 1 ln x    2 0 Vậy tp trên phân kỳ. Ví dụ 1 ln x 0 x f kỳ dị tại x = 0 dx 1 0 0 x 12  2 x .ln x   1  0  4 x  4 0 x dx Ví dụ 1/ 4 dx I  1/ 2 x 2 x  1 f kỳ dị tại x = 1/2. 2 t  2 x  1  2tdt  2dx I 0  1/ 0 1/ 2 dt tdt  2 2 2 0 t 1 t 1 t 2 1/ 2 1 t 1 1     dt  ln t  1  t 1 t 1 0 1/ 2 2  2 1   ln    2 1 TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b - ], >0, kỳ dị tại b Nếu b f ( x )  kg ( x ), x , a  x  b a g ( x )dx b a hội tụ thì b a f ( x )dx f ( x )dx phân kỳ thì b hội tụ a g ( x )dx phân kỳ TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho f(x), g(x) như tiêu chuẩn so sánh 1 Đặt f (x) k  lim x b  g ( x ) b (giới hạn tại điểm kỳ dị) b • 0 k   a f ( x )dx , a g ( x )dx b b •k=0 •k= a g ( x )dx b a hội tụ  Cùng hội tụ hoặc phân kỳ a f ( x )dx b hội tụ g ( x )dx phân kỳ   f (x)dx phân kỳ a Tích phân cơ bản I   b a b dx dx , J   a ( x  a ) (b  x ) Hội tụ khi và chỉ khi  < 1 kỳ dị tại b kỳ dị tại a  ln   ln(b  a) b  dx   ( )    1  1  1  a  (b  x )   1   1   1  (b  a )    Sự hội tụ tuyệt đối (hàm có dấu tùy ý) b Cho f(x) khả tích trên [a, b - ],   0, nếu hội tụ thì b a f hội tụ. Khi đó ta nói a f b a f hội tụ tuyệt đối. • Sự hội tụ tuyệt đối là sự hội tụ của tích phân |f| • Hội tụ tuyệt đối  hội tụ Ví dụ x Khảo sát sự hội tụ: I   dx 0 sin x 1 f kỳ dị tại x = 0 x 0  f (X)  sin x x 1  x x 1 Chọn g ( x )  ( x  0)1/ 2 1  1/2 ( x  0) 1 Chọn g ( x )  ( x  0)1/ 2 f (x) x x x  0  1 g ( x ) sin x  I cùng bản chất với nên hội tụ. 1 1 dx g ( x )dx  0 0 ( x  0)1/2   Ví dụ Khảo sát sự hội tụ: I  /2 0 dx sin x cos x f(x) ≥0, kỳ dị tại /2 và 0, tách I thành 2 tp I  /3 0  /2 dx dx  sin x cos x  /3 sin x cos x I1 I2 Xét I1: f kỳ dị tại x = 0 1 f (x)  sin x cos x 1  , khi x  0 x 1 Chọn g ( x )  x f (x) x x 0   1 g (x) sin x cos x  I1 cùng bản chất với  3 g ( x )dx 0  nên hội tụ. Xét I2: f kỳ dị tại x = /2 1 1 f (x)   ,   x  sin x cos x sin x sin   2   1  khi x   2 x 2 Chọn g (x)  1  x 2 Chọn g ( x )  1 1   x    2    x x f (x) 2 2  1 g (x) sin x cos x  I2 cùng bản chất với  2 g ( x )dx nên pkỳ  /3  I1 hội tụ, I2 phân kỳ  I hội tụ Ví dụ I Khảo sát sự hội tụ:  dx 0 x Tổng quát I không phải là tích phân suy rộng loại 1. I 1 dx 0 x   dx 1 x  I1 hội tụ   1 I2 hội tụ   1  I1  I2  I phân kỳ với mọi  Ví dụ Khảo sát sự hội tụ I   x 3/ 2  1 ex 1 0 x dx f kỳ dị tại x = 0, tách I thành 2 tích phân: I  1 0   x 3/ 2  1 x e 1 x dx  I1 (do x = 0 quyết định)   1   x 3/ 2  1 x e 1 x dx I2 (do x = + quyết định)