Tài liệu 18_bai toan tim diem_bg

Khóa LUY N THI 2018 (ProS) – Th y Đ NG VI T HÙNG www.facebook.com/Lyhung95 Tài li u bài gi ng (Combo S.A.T) BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GI NG và L I GI I CHI TI T CÁC BÀI T P ch có t i website MOON.VN Group th o lu n bài t p : www.facebook.com/groups/Thayhungdz Kiến thức cơ bản: 1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = ( x B − x A )2 + ( yB − y A )2 2) Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 : d ( M , d ) = Đặc biệt: ax 0 + by0 + c a2 + b2 +) Nếu ∆: x = a thì d ( M , ∆) = x0 − a +) Nếu ∆: y = b thì d ( M , ∆) = y0 − b +) Tổng các khoảng cách từ M đến các trục toạ độ là: x0 + y0 . 2 1 1 AB. AC.sin A = AB2 . AC 2 − ( AB. AC ) 2 2  x + x = 2 xI 4) Các điểm A, B đối xứng nhau qua điểm I ⇔ IA + IB = 0 ⇔  A B  y A + yB = 2 yI 3) Diện tích tam giác ABC: S =  5) Các điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ ⇔  AB ⊥ ∆ (I là trung điểm AB). I ∈ ∆ Đặc biệt: x = x A +) A, B đối xứng nhau qua trục Ox ⇔  B  yB = − y A x = x A +) A, B đối xứng nhau qua trục Ox ⇔  B  yB = − y A 6) Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ với đường cong (C) bằng khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm M ∈ ∆ và một điểm N ∈ (C). 7) Điểm M ( x; y) được gọi là có toạ độ nguyên nếu x, y đều là số nguyên. x +1 ( C ) . Tìm toạ độ điểm M thuộc ( C ) biết. x−2 a) Tích khoảng cách từ điểm M đến trục Ox và đến đường tiệm cận ngang bằng 6. b) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng 3 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. Lời giải:  a +1  Gọi M  a;  ( a ≠ 2 ) . TCĐ : x = 2 và TCN: y = 1  a−2 a +1 3 a +1 a) Ta có: d ( M ; Ox ) = −1 = = d2 = d1 ; d ( M ; TCN : y = 1) = a−2 a−2 a−2 Câu 1: Cho hàm số y =  a +1 =2  a = 1 ⇒ M (1; −2 ) 2   2a 2 − 9 a + 7 = 0 ( a − 2) 3 ( a + 1)   Theo bài ra ta có: d1d 2 = =6⇔ ⇔ 2 ⇔ 7 7  2  a +1 a = ⇒ M  ;3  ( a − 2)  2a − 7 a + 9 = 0 = −2   2 2 2    ( a − 2)  7  Vậy M (1; −2 ) hoặc M  ;3  là các điểm cần tìm. 2  Tham gia Combo S.A.T môn Toán t i MOON.VN: T tin hư ng ñ n kì thi THPT Qu c gia 2018 ! Khóa LUY N THI 2018 (ProS) – Th y Đ NG VI T HÙNG b) Ta có: d ( M ; TCN ) = www.facebook.com/Lyhung95 3 , d ( M ; TCD ) = a − 2 . a−2 Theo bài ra ta có: a − 2 = 3.  a = 5 ⇒ M ( 5; 2 ) 3 2 ⇔ ( a − 2) = 9 ⇔  a−2  a = −1 ⇒ M ( −1; 0 )  Vậy M ( 5; 2 ) hoặc M ( −1; 0 ) là các điểm cần tim. Câu 2: Cho hàm số y = x3 − 3 ( m + 1) x 2 + mx + m + 1 ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại A là giao điểm của (C) với trục tung biết rằng điểm A cùng với 2 điểm B ( 2; −3) và C ( 4;1) tạo thành tam giác ABC cân tại B. Lời giải: Do A = ( C ) ∩ Oy nên điểm A ( 0; m + 1) . Do ABC là tam giác cân tại B nên ta có: AB = BC  m = 0 ⇒ A ( 0;1) 2 2 hay AB 2 = BC 2 ⇔ 4 + ( m + 4 ) = 20 ⇔ ( m + 4 ) = 16 ⇔   m = −8 ⇒ A ( 0; −7 )  +) Với m = 0; A ( 0;1) hàm số có dạng: y = x3 − 3x 2 + 1 ( C ) ⇒ y ' = 3x 2 − 6 x . Do đó phương trình tiếp tuyến tại A là: y = 1 . +) Với m = −8; A ( 0; −7 ) hàm số có dạng: y = x3 + 21x 2 − 8 x − 7 ( C ) ⇒ y ' = 3x 2 + 21x − 8 Do đó phương trình tiếp tuyến tại A là: y = −8 ( x − 0 ) − 7 hay y = −8 x − 7 . Câu 3: Cho hàm số y = x3 − 3x 2 − 4 x + 3 ( C ) . a) Tìm 2 điểm A và B đối xứng nhau qua gốc toạ độ O. b) Tìm toạ độ 2 điểm A và B đối xứng nhau qua trục Oy. Lời giải: a) Gọi A ( a; b ) và B ( − a; −b ) là 2 điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ O ( 0; 0 ) . b = a 3 − 3a 2 − 4a + 3  Vì A,B đều thuộc đồ thị ( C ) nên ta có:  3 2  −b = ( − a ) − 3 ( − a ) − 4 ( − a ) + 3  b = a 3 − 3a 2 − 4a + 3 b = a 3 − 3a 2 − 4a + 3  a = 1; b = −3   ⇔ ⇔ ⇔ 3 2 2 −b = − a − 3a + 4a + 3 0 = −6a + 6  a = −1; b = 3   Vậy 2 điểm A,B cần tìm là: A (1; −3) : B ( −1;3) hoặc ngược lại. b) Gọi A ( a; b ) và B ( − a; b ) là 2 điểm đối xứng nhau qua trục Oy. b = a 3 − 3a 2 − 4a + 3  Vì A,B đều thuộc đồ thị ( C ) nên ta có:  3 2 b = ( − a ) − 3 ( − a ) − 4 ( − a ) + 3   a = b = 0 ⇒ A ≡ B ( loai ) b = a 3 − 3a 2 − 4a + 3 b = a 3 − 3a 2 − 4a + 3    ⇔ ⇔ ⇔  a = 2; b = −9 3 2 3 b = − a − 3a + 4a + 3 0 = 2a − 8a    a = −2; b = −9  Vậy 2 điểm A, B cần tìm là: A ( 2; −9 ) : B ( −2; −9 ) hoặc ngược lại. x +1 , có đồ thị ( C ) . Tìm điểm M ∈ ( C ) sao cho: x −3 a) M cách đều hai đường tiệm cận. b) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp 4 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. Đ/s: a) M ( 5;3) ; M (1; −1) ; b) M ( 7; 2 ) ; M ( −1;0 ) . Câu 4: Cho hàm số y = Lời giải: Tham gia Combo S.A.T môn Toán t i MOON.VN: T tin hư ng ñ n kì thi THPT Qu c gia 2018 ! Khóa LUY N THI 2018 (ProS) – Th y Đ NG VI T HÙNG www.facebook.com/Lyhung95  a +1  Gọi M  a;  ( a ≠ 3) . TCĐ : x = 3 và TCN: y = 1  a −3 a) Ta có: d ( M ; TCD : x = 3) = a − 3 = d1 ; d ( M ; TCN : y = 1) = Theo bài ra ta có: d1 = d 2 ⇒ a − 3 = a +1 4 −1 = = d2 a−3 a−3  a = 5 ⇒ M ( 5;3) a − 3 = 2 4 ⇒ ⇒ a −3  a − 3 = −2  a = 1 ⇒ M (1; −1)  Vậy M ( 5;3) hoặc M (1; −1) là các điểm cần tìm. b) Theo bài ra ta có: d1 = 4d 2 ⇒ a − 3 = 4.  a = 7 ⇒ M ( 7; 2 ) 4 2 ⇔ ( a − 3) = 16 ⇔  a −3  a = −1 ⇒ M ( −1;0 )  Vậy M ( 7; 2 ) hoặc M ( −1; 0 ) là các điểm cần tim. 2x − 6 , có đồ thị ( C ) . Tìm điểm M ∈ ( C ) sao cho: x+5 a) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ nhất. b) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bằng 17 . Đ/s: a) M ( −1; −2 ) ; M ( −9;6 ) ; b) M ( −4; −14 ) ; M (11;1) . Câu 5: Cho hàm số y = Lời giải:  2a − 6  Gọi M  a;  ( a ≠ −5 ) . TCĐ : x = −5 và TCN: y = 2  a+5  a) Ta có: d ( M ; TCD : x = −5 ) = a + 5 = d1 ; d ( M ; TCN : y = 2 ) = Ta có: d1 + d 2 = a + 5 + 2a − 6 16 −2 = = d2 a+5 a+5 16 16 ≥ 2 a+5. =8 a+5 a+5 Dấu bằng xảy ra khi a + 5 =  a = −1 ⇒ M ( −1; −2 ) a + 5 = 4 16 ⇒ ⇒ a+5  a + 5 = −4  a = −9 ⇒ M ( −9; −6 )  Vậy M ( −1; −2 ) ; M ( −9; −6 ) là các điểm thỏa mãn tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ nhất. b) Theo bài ra ta có:  a = −4 ⇒ M ( −4; −14 ) a + 5 = 1 16 2 d1 + d 2 = 17 ⇒ a + 5 + = 17 ⇒ ( a + 5 ) − 17 ( a + 5 ) + 16 = 0 ⇒  ⇒ a+5  a + 5 = 16  a = 11 ⇒ M (11;1)  Vậy M ( −4; −14 ) hoặc M (11;1) là các điểm cần tim. Câu 6: Cho hàm số y = x −1 , có đồ thị ( C ) . Cho điểm M (1; 0 ) ∈ ( C ) . Tìm điểm N thuộc nhánh còn lại x+2 của đồ thị sao cho: a) Tổng khoảng cách từ N hai đường tiệm cận gấp 4 lần độ dài OM . b) Hình giới hạn bởi đường thẳng MN và hai đường tiệm cận là tam giác vuông cân. Đ/s: a) M ( −1; −2 ) ; b) M ( −3; 4 ) . Lời giải:  a −1  Gọi N  a;  ( a ≠ −2 ) . TCĐ : x = −2 và TCN: y = 1  a+2 a) Ta có: d ( N ; TCD : x = −2 ) = a + 2 = d1 ; d ( N ; TCN : y = 1) = a −1 3 −1 = = d2 a+2 a+2 Tham gia Combo S.A.T môn Toán t i MOON.VN: T tin hư ng ñ n kì thi THPT Qu c gia 2018 ! Khóa LUY N THI 2018 (ProS) – Th y Đ NG VI T HÙNG Theo bài ra ta có: d1 + d 2 = 4OM ⇒ a + 2 + www.facebook.com/Lyhung95  a + 2 = 1  a = −1 ⇒ N ( −1; −2 ) 3 2 = 4 ⇒ ( a + 2) − 4 ( a + 2) + 3 = 0 ⇒  ⇒ a+2  a + 2 = 3  a = 1 ⇒ N (1;0 )  Vậy N ( −1; −2 ) là điểm cần tìm. b) Giả sử d1 ∩ d 2 = P ( −2;1) Vì N thuộc nhánh còn lại của đồ thị nên suy ra tam giác MNP vuông cân tại P 3   Ta có PM = ( 3; −1) ; PN =  a + 2;  a+2  3  3 ( a + 2 ) − ( a + 2 ) = 0  PM ⊥ PN   ⇒ ⇒ 9  PM = PN  32 + 12 = ( a + 2 )2 +  2  ( a + 2)   ( a + 2 )2 − 1 =0  2 ( a + 2 )2 = 1  ( a + 2) a + 2 = 1  ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ a = −3 ⇒ N ( −3; 4 ) 2 2 4 2     ( a + 2 ) + 9 − 10 ( a + 2 )  ( a + 2 ) − 1 ( a + 2 ) − 9  = 0  a + 2 = −1 =0  2  ( a + 2)  Vậy N ( −3; 4 ) là điểm cần tim. Câu 7: Cho hàm số y = − x 3 + 3 x + 2 (C). Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(–1; 3). Lời giải: Gọi A ( x0 ; y0 ) , B là điểm đối xứng với A qua điểm M(−1;3) ⇒ B ( −2 − x0 ;6 − y0 )  y = − x 3 + 3x + 2  0 0 A, B ∈ (C ) ⇔  0 6 − y0 = −(−2 − x 0 )3 + 3(−2 − x0 ) + 2   3 3 2 ⇔ 6 = − x 0 + 3 x0 + 2 − ( −2 − x0 ) + 3 ( −2 − x0 ) + 2 ⇔ 6 x 0 + 12 x0 + 6 = 0 ⇔ x0 = −1 ⇒ y0 = 0 Vậy 2 điểm cần tìm là: (−1; 0) và (−1;6) Câu 8: Cho hàm số y = 3x − 4 (C). x −2 Tìm các điểm thuộc (C) cách đều 2 tiệm cận. Lời giải: Gọi M ( x; y) ∈ (C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3. 3x − 4 x x x = 1 −2 ⇔ x −2 = ⇔ = ±( x − 2) ⇔  x −2 x −2 x −2 x = 4 Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M1( 1; 1) và M2(4; 6) Ta có: x − 2 = y − 3 ⇔ x − 2 = Câu 9: Cho hàm số y = 2x + 1 x +1 (C). Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất. Lời giải: 2x + 1 1 Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C), ( x0 ≠ −1 ) thì y0 = 0 = 2− x0 + 1 x0 + 1 Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì: MA = x0 + 1 , MB = y0 − 2 = 1 x0 + 1 Tham gia Combo S.A.T môn Toán t i MOON.VN: T tin hư ng ñ n kì thi THPT Qu c gia 2018 ! Khóa LUY N THI 2018 (ProS) – Th y Đ NG VI T HÙNG www.facebook.com/Lyhung95 Áp dụng BĐT Cô-si ta có: MA + MB ≥ 2 MA.MB = 2 x0 + 1 . 1 =2 x0 + 1 x = 0 1 ⇔ 0 . x0 + 1  x0 = −2 Vậy ta có hai điểm cần tìm là (0; 1) và (–2; 3). ⇒ MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi x0 + 1 = Câu 10: Cho hàm số ( C ) : y = x−2 . x +1 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho a) khoảng cách từ M đến Oy bằng ba lần khoảng cách từ M đến Ox. b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. Lời giải: Gọi M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y =  x −2 x−2  M  xo ; o →  x +1 xo + 1   a) Khoảng cách từ M đến các trục tọa độ lần lần lượt là d1 = xo ; d 2 = yo .  3xo − 6 2  x + 1 = xo  xo − 2 xo + 6 = 0 ⇒ vno xo − 2  o Theo bài ta có d1 = 3d 2 ⇔ xo = 3 yo ⇔ xo = 3 ⇔ ⇔ 2  3xo − 6 xo + 1 →  xo + 4 xo − 6 = 0  xo = −2 ± 10  = − xo   xo + 1 Vậy có hai điểm M với hoành độ là xo = −2 ± 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán. b) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −1 và tiệm cận ngang là y = 1. Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = xo + 1 . Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d 2 = yo − 1 = Theo bài ta có d1 = 2d 2 ⇔ xo + 1 = xo − 2 3 −1 = xo + 1 xo + 1 6 ⇔ xo + 1 = ± 6  xo = −1 ± 6 → xo + 1 Vậy có hai điểm M với hoành độ là xo = −1 ± 6 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 11: Cho hàm số ( C ) : y = 2x + 1 . x −3 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến điểm I ngắn nhất, với I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Lời giải: Gọi M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y =  2x + 1 7 7  =2+  M  xo ;2 + →  x−3 x−3 xo − 3   Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 3 và tiệm cận ngang là y = 2 nên giao điểm của hai tiệm cận là I(3 ; 2). ( xo − 3) Ta có MI = ( xM − xI ) + ( yM − yI ) = 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có ( xo − 3) + 2 Vậy MI min = 14 ⇔ ( xo + 3) = 2 49 ( xo + 3) 2 + ( yo − 2 ) 49 ( xo − 3) 2 2 2 ≥2  7  = ( xo − 3) +   =  xo − 3  2 ( xo − 3)2 . 49 ( xo − 3)2 ( xo − 3)2 + 49 ( xo − 3)2 = 14  MI ≥ 14 → ⇔ ( xo + 3) = 7 ⇔ xo + 3 = ± 7  xo = −3 ± 7 → 2 2 Vậy có hai điểm M với hoành độ là xo = −3 ± 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 12: Tìm M thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 3 sao cho x +1 Tham gia Combo S.A.T môn Toán t i MOON.VN: T tin hư ng ñ n kì thi THPT Qu c gia 2018 ! Khóa LUY N THI 2018 (ProS) – Th y Đ NG VI T HÙNG www.facebook.com/Lyhung95 a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy. c) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất. Lời giải:  Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị ⇒ M  x0 ;  2 x0 + 3  . x0 + 1  Đồ thị có tiệm cận đứng là x + 1 = 0 và tiệm cận ngang là y − 2 = 0 Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = |x0 + 1| Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là d2 = |y0 – 2|  y0 = x0 + 3  y0 = − x0 + 1 Theo bài ta có d1 = 2d 2 ⇔ x0 + 1 = y0 − 2 ⇔  Với y0 = x0 + 3 ⇔  x0 = 0 ⇒ y0 = 3 2 x0 + 3 2 = x0 + 3 ⇔ x0 + 2 x0 = 0 ⇔  x0 + 1  x0 = −2 ⇒ y0 = 1 Với y0 = − x0 + 1 ⇔ 2 x0 + 3 2 = − x0 + 1 ⇔ x0 + 2 x0 + 2 = 0, phương trình vô nghiệm. x0 + 1 Vậy trên đồ thị có hai điểm M thỏa mãn đề bài là M(0; 3) và M(–2; 1). b) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = |x0 + 1| Khoảng cách từ M đến trục Oy là d2 = |x0| 1 8   x0 = 2 ⇒ y0 = 3 Theo bài ta có d1 = 3d 2 ⇔ x0 + 1 = 3 x0 ⇔   x = − 1 ⇒ y = 10 0  0 4 3  1 8  1 10  Vậy trên đồ thị có hai điểm M thỏa mãn là M  ;  , M  − ;  .  2 3  4 3 2x + 3 2x + 2 + 1 1 c) Ta có y = = =2+ x +1 x +1 x +1  1  Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị ⇒ M  x0 ;2 + . x0 + 1   Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là h1 = |x0 + 1| Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là h2 = y0 − 2 = 1 x0 + 1 Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là d = h1 + h2 = x0 + 1 + 1 BDT Co-si 1 ≥ 2 x0 + 1 . =2⇒d ≥2 x0 + 1 x0 + 1 7  1 2  x0 + 1 = 1 ⇒ x0 = 0 ⇒ y0 = 3 Dấu bằng đạt được khi x0 + 1 = ⇔ ( x0 + 1) = 1 ⇔  x0 + 1  x0 + 1 = −1 ⇒ x0 = −2 ⇒ y0 = 1  7 Vậy trên đồ thị có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu là M  0;  , M ( −2;1) .    Câu 13: Cho hàm số y = 3 x , ( C ) . Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho x+2 a) M có tọa độ là số nguyên. b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. Lời giải: a) Ta có y = x x+2−2 2 = =1− x+2 x+2 x+2  x + 2 = ±1  x + 2 = ±2 Gọi M(x; y) thuộc đồ thị, để M có tọa độ là số nguyên thì 2⋮( x + 2 ) ⇔  x + 2 = 1 ⇔ x = −1 ⇒ y = −1 ⇒ M ( −1; −1) Tham gia Combo S.A.T môn Toán t i MOON.VN: T tin hư ng ñ n kì thi THPT Qu c gia 2018 ! Khóa LUY N THI 2018 (ProS) – Th y Đ NG VI T HÙNG www.facebook.com/Lyhung95 x + 2 = −1 ⇔ x = −3 ⇒ y = 3 ⇒ M ( −3;3) x + 2 = 2 ⇔ x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ M ( 0;0 ) x + 2 = −2 ⇔ x = −4 ⇒ y = 2 ⇒ M ( −4;2 ) Vậy trên đồ thị hàm số có 4 điểm M có tọa độ là những số nguyên.   a   b) Giả sử M  a;  ∈ ( C ) là điểm cần tìm. a+2 Đồ thị có tiệm cận đứng x + 2 = 0 và tiệm cận ngang y – 1 = 0. Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = a + 2 , khoảng cách đến tiệm cận ngang là d2 = a 2 −1 = a+2 a+2 Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là d = d1 + d 2 = a + 2 + Vậy d min = 2 2 ⇔ a + 2 = 2 ⇔ a + 2 = ± 2 ⇔ a = −2 ± 2 a+2  Từ đó ta được hai điểm M thỏa mãn là M1  −2 + 2;   Câu 14: Cho hàm số y = 2 2 ≥2 a+2. =2 2 a+2 a+2  −2 + 2  2+ 2   , M 2  −2 − 2; .    2  2   2x + 1 , ( C ) . Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho x−3 a) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bằng 8. Lời giải: Ta có y = 2 x + 1 2( x − 3) + 7 7 7   = =2+ . Giả sử M  a; 2 +  ∈ ( C ) là điểm cần tìm. x−3 x−3 x−3 a −3  Đồ thị có tiệm cận đứng x − 3 = 0 và tiệm cận ngang y – 2 = 0. Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = a − 3 , khoảng cách đến tiệm cận ngang là d 2 = a) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là d = d1 + d 2 = a − 3 + Vậy d min = 2 7 ⇔ a − 3 = 7 7 = a−3 a−3 7 7 ≥ 2 a −3. =2 7 a −3 a −3 7 ⇔ a −3= ± 7 ⇔ a = 3± 7 a −3 Từ đó ta được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. a = 4 a = 2  a − 3 =1 7 2 b) Theo bài ta có d = d1 + d 2 = a − 3 + = 8 ⇔ ( a − 3) − 8 a − 3 + 7 = 0 ⇔  ⇔  a = 10 a−3 a −3 =7    a = −4 Tương ứng trên đồ thị có 4 điểm M thỏa mãn là M1 ( 4;9 ) , M 2 ( 2; −5 ) , M 3 (10;3) , M 4 ( −4;1) . Câu 15: Cho hàm số y = 2x + m , ( C ) . Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. x −1 Tìm m để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất bằng 10. Lời giải:  2a + m  Giả sử M  a;  ∈ ( C ) là điểm cần tìm. a −1   Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x – 1 = 0 và tiệm cận ngang là y – 2 = 0. Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = a − 1 và khoảng cách đến tiệm cận ngang là d2 = 2a + m m+2 −2 = a −1 a −1 Tham gia Combo S.A.T môn Toán t i MOON.VN: T tin hư ng ñ n kì thi THPT Qu c gia 2018 ! Khóa LUY N THI 2018 (ProS) – Th y Đ NG VI T HÙNG Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là d = d1 + d 2 = a − 1 + www.facebook.com/Lyhung95 m+2 m+2 ≥ 2 a −1 . =2 m+2 a −1 a −1  m = 23 ⇒ d min = 2 m + 2 = 10 ⇔ m + 2 = 25 ⇔   m = −27 Với m = 23 ta có điều kiện cho dmin: a − 1 =  a = 6 ⇒ M ( 6;7 ) 25 ⇔ a −1 = 5 ⇔  a −1  a = −4 ⇒ M ( −4; −3)  Với m = −27 ta có điều kiện cho dmin: a − 1 =  a = 6 ⇒ M ( 6; −3) 25 ⇔ a −1 = 5 ⇔  a −1  a = −4 ⇒ M ( −4;7 )  Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn và tương ứng có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn Tham gia Combo S.A.T môn Toán t i MOON.VN: T tin hư ng ñ n kì thi THPT Qu c gia 2018 !