Tài liệu Bai giang mon giai tich 1 cua tac gia nguyen huu hiep

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại học Quốc gia TP.HCM Trường Đại học Bách Khoa Bộ môn Toán Ứng dụng . Bài Giảng Giải Tích 1 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp E-mail: [email protected] Ngày 8 tháng 9 năm 2014 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Mục tiêu môn học • Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân. • Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính toán, biết vận dụng giải các bài toán cụ thể. • Biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa học kỹ thuật. Tài liệu tham khảo 1) Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân,. . . Phép tính vi phân hàm một biến. NXBGD, 2005 2) Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao cấp 1. 3) Đỗ Công Khanh. Giải tích một biến. NXB Đại học quốc gia TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí MỤC 1 2 3 Giới hạn và liên tục 1.1 Giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . 1.1.1 Bài tập . . . . . . . . . . . . 1.2 Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Hàm lũy thừa y = xα . . . . 1.2.2 Hàm lượng giác . . . . . . . 1.2.3 Hàm mũ - Hàm logarit . . . 1.2.4 Hàm y = ln x . . . . . . . . 1.2.5 Hàm Hyperbolic . . . . . . 1.2.6 Các hàm lượng giác ngược 1.2.7 Hàm Hợp . . . . . . . . . . 1.2.8 Hàm ngược . . . . . . . . . 1.2.9 Hàm tham số hóa . . . . . . 1.3 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . 1.3.2 Các giới hạn cơ bản . . . . . 1.3.3 Vô cùng bé . . . . . . . . . . 1.3.4 Vô cùng lớn . . . . . . . . . 1.4 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 10 11 11 12 14 15 16 16 17 18 18 19 19 21 22 26 29 . . . . . . . . . . . . . . 33 33 33 36 37 38 41 41 45 52 52 54 57 58 61 Tích phân 3.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đạo hàm và vi phân 2.1 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . 2.1.2 Đạo hàm hàm ngược và hàm tham số hóa 2.1.3 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Công thức H’Lopital . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Công thức taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Khảo sát và vẽ đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Chiều biến thiên và cực trị . . . . . . . . . 2.6.3 Lồi, lõm và điểm uốn . . . . . . . . . . . . 2.6.4 Khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . 2.6.5 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí MỤC LỤC 3.2 3.3 4 MỤC LỤC 3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Phương pháp tính tích phân bất định 3.1.3 Nguyên hàm hàm hữu tỷ . . . . . . . 3.1.4 Nguyên hàm hàm lượng giác . . . . . 3.1.5 Nguyên hàm hàm vô tỷ . . . . . . . . Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . Ứng dụng hình học của tích phân . . . . . . . 3.3.1 Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . 3.3.2 Độ dài đường cong . . . . . . . . . . . 3.3.3 Thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . 3.3.4 Diện tích mặt tròn xoay . . . . . . . . Phương trình vi phân 4.1 Phương trình vi phân cấp 1 . . . . . . . 4.1.1 Phương trình vi phân tách biến . 4.1.2 Phương trình vi phân đẳng cấp . 4.1.3 Phương trình vi phân toàn phần 4.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính 4.1.5 Phương trình vi phân Bernulli . 4.1.6 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . 4.2 Phương trình vi phân cấp 2 . . . . . . . 4.2.1 PTVP cấp 2 thuần nhất . . . . . . 4.2.2 PTVP cấp 2 - dạng 1 . . . . . . . 4.2.3 PTVP cấp 2 - Dạng 2 . . . . . . . 4.2.4 PTVP cấp 2 - dạng 3 . . . . . . . 4.3 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . 4.3.1 Ánh xạ đạo hàm . . . . . . . . . 4.3.2 Hệ phương trình vi phân . . . . 4.4 Bài tập ôn tập cuối kỳ . . . . . . . . . . . 4.5 Đề thi cuối kỳ . . . . . . . . . . . . . . . Đại học Bách khoa TPHCM Trang 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 66 68 70 73 75 78 78 79 80 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 83 83 85 86 88 90 91 95 95 95 97 97 98 98 98 101 102 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí CHƯƠNG 1. GIỚI 1.1 HẠN VÀ LIÊN TỤC Giới hạn dãy số Định nghĩa 1.1 (Sup-Inf của tập hợp) Cho tập A ⊂ R. • Cận trên nhỏ nhất của tập A gọi là Supremum, ký hiệu sup(A). • Cận dưới lớn nhất của A gọi là infimum, ký hiệu inf(A). Ví dụ 1.1 a) A = [0, 1) thì sup(A) = 1 và inf(A) = 0. Chú ý tập max(A) = 0 nhưng min(A) không tồn tại. Khái niệm sup và inf là mở rộng của max và min. 1 b) A = { |n ∈ N } thì sup(A) = 1 và inf(A) = 0. n c) A = (−∞, 3) thì sup(A) = 3 nhưng không có inf Định nghĩa 1.2 (Dãy số) Một dãy số là một ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập số thực R. u : N −→ R n → u(n) := un . Ký hiệu 1 dãy số (un )+∞ hay đơn giản (un ). un gọi là số hạng thứ n của dãy. n=1 √ Ví dụ 1.2 a) Cho dãy số dạng liệt kê (un ) = {1; −2; 1; 4; 0; −5, 8; −3; 3, − 1 , ...}. 3 Số hạng thứ 5 là u5 = 0. b) Cho dãy số dạng số hạng tổng quát (un ) : un = Số hạng thứ 7 là u7 = (−1)7 + 7 3 = . 2+1 7 25 (−1)n + n . n2 + 1 u1 = 1 un+1 = 2un + 3, n ≥ 1. Ta có u2 = 2u1 + 3 = 5, u3 = 2u2 + 3 = 13, ... c) Cho dãy số dạng truy hồi (un ) : Định nghĩa 1.3 (Dãy số đơn điệu) . Dãy số (xn ) gọi là tăng nếu xn ≤ xn+1 , ∀n ∈ N Dãy số (xn ) gọi là giảm nếu xn ≥ xn+1 , ∀n ∈ N Bỏ dấu "=" trong đẳng thức, ta có dãy số tăng ngặt (giảm ngặt). Dãy số tăng hoặc giảm gọi chung là đơn điệu. Ví dụ 1.3 Xét tính đơn điệu của dãy số (xn ) : xn = Ta có n+1 . n+2 (n + 1) + 1 n + 1 (n + 2)2 − (n + 1)(n + 3) 1 xn+1 − xn = − = = > 0, ∀n. (n + 1) + 2 n + 2 (n + 3)(n + 2) (n + 3)(n + 2) =⇒ xn+1 > xn suy ra (xn ) là dãy tăng. 5 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Cách khác x+1 1 Xét f (x) = , x ≥ 1 =⇒ f (x) = > 0. x+2 (x + 2)2 Vậy f (x) đồng biến nên (un ) là dãy tăng. Định nghĩa 1.4 (Dãy số bị chặn) . Dãy (xn ) gọi là bị chặn trên nếu ∃M : xn ≤ M, ∀n. Dãy (xn ) gọi là bị chặn dưới nếu ∃m : xn ≥ m, ∀n. Dãy (xn ) bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Dãy (xn ) bị chặn khi và chỉ khi (|xn |) bị chặn trên. Ví dụ 1.4 Xét tính bị chặn của dãy số (xn ) : xn = Ta có 0 < n . n+1 n < 1, ∀n ∈ N . Suy ra (xn ) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới do đó bị chặn. n+1 Định nghĩa 1.5 (Dãy con) . Cho dãy (xn ). Dãy con của (xn ) là một dãy (xnk )k mà các phần tử của nó được lấy tùy ý từ (xn ) theo thứ tự tăng dần của chỉ số. Ví dụ 1.5 n 3 2 5 3 = −1, 1, , , , , . . . . −2 7 7 23 17 3 5 3 Dãy vn = −1, , , , . . . là một dãy con của xn . 7 23 17 2n 2 3 Dãy x2n = = 1, , . . . là dãy con các chỉ số chẵn của xn . 2−2 (2n) 7 17 2n + 1 3 5 Dãy x2n+1 = = −1, , , . . . là dãy con các chỉ số lẻ của xn . 2−2 (2n + 1) 7 23 Cho dãy (xn ) : xn = n2 n→+∞ Định nghĩa 1.6 (Giới hạn dãy số) Ký hiệu lim un = a hay un − − → a được định nghĩa −− n→+∞ ∀ε > 0, ∃n0 : n ≥ n0 =⇒ |un − a| < ε Ta nói dãy (un ) hội tụ về a. Nếu (un ) không hội tụ thì ta nói (un ) phần kỳ. n→+∞ Định nghĩa 1.7 ( dãy số dần ra vô cùng) Ký hiệu lim un = +∞ hay un − − → +∞ được −− n→+∞ định nghĩa ∀A > 0, ∃n0 : n ≥ n0 =⇒ un > A. Ta nói dãy (un ) hội tụ về a. Nếu (un ) không hội tụ thì ta nói (un ) phần kỳ. Tượng tự cho giới hạn dần ra −∞. Tính chất Cho xn −→ a, yn −→ b; a, b ∈ R ta có i) ii) lim (xn ± yn ) = a ± b. iii) lim (xn .yn ) = ab. iv) n→+∞ n→+∞ Đại học Bách khoa TPHCM lim n→+∞ xn a = , b = 0. yn b lim |xn | = |a|. n→+∞ Trang 6 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ Định lý 1. Giới hạn dãy nếu tồn tại là duy nhất. 2. Dãy hội tụ thì bị chặn. 3. Cho xn ≤ yn ≤ zn , ∀n ≥ n0 . xn −→ a zn −→ a =⇒ yn −→ a. 4. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. 5. xn → a ⇐⇒ x2n → a x2n+1 → a. Số e. Người ta chứng minh được dãy số xn = 1+ 1 n n là dãy tăng và bị chặn trên do đó hội tụ. Ký hiệu lim n→∞ n 1 1+ n =e Số e là số vô tỷ có giá trị gần đúng là e = 2.718281828... Các giới hạn cơ bản 1 i) lim α = 0, α > 0. n→∞ n 1 ii) lim α = 0, α > 0. n→∞ ln n iv) lim n→∞ v) lim n→∞ √ n nα = 1, ∀α. 1+ a n n = ea , ∀a. iii) lim q n = 0, |q| < 0. n→∞ Các dạng vô định 0 ∞ , , 0.∞, ∞ − ∞, 1∞ , +∞0 , 00 + 0 ∞ Khi tính giới hạn dạng vô định, ta dùng công thức hoặc biến đổi đại số để khử dạng vô định. Nếu giới hạn không phải dạng vô định, ta tính bình thường. Đại học Bách khoa TPHCM Trang 7 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Quy tắc 1 1 = ∞, = 0. 0 ∞ lnα n nβ (β > 0) an (a > 1) n! nn Dấu chỉ mang tính hình thức theo nghĩa: hàm nhỏ chia hàm lớn dần về 0 và hàm lớn chia hàm nhỏ dần về vô cùng. Ví dụ 1.6 ln5 n a) lim √ = 0. n→∞ n 3n = 0. n→∞ n! b) lim 2n = +∞. n→∞ n100 c) lim log5 n 2 d) lim = 0. n→∞ 3n Ví dụ 1.7 Tính các giới hạn sau 2n3 − 3n a) I = lim . n→∞ 4n + 3n2 ∞ Dạng . Đại lượng n3 lớn nhất nên chia cả tử và mẫu cho n3 . ∞ 3 2− 2 n = +∞ (vì tử dần về 2, mẫu dần về 0). I = lim 3 n→∞ 4 + 2 n n 2n3 − 4n+1 b) I = lim n . n→∞ 3 − 22n−1 + 5n7 ∞ Dạng . Đại lượng 4n = 22n lớn nhất nên chia cả tử và mẫu cho 4n . ∞ n3 2 n −4 0−4 4 I = lim = 8. 7 = 1 n→∞ 3 1 n n− 0− +0 ( ) +5 n 2 4 2 4 √ c) I = lim n2 + 4n − n + 1. n→∞ Dạng ∞ − ∞. Nhân lượng liên hợp. √ √ ( n2 + 4n − n)( n2 + 4n + n) n2 +4n− n2 ∞ √ I = lim + 1 lim √ + 1. Dạng . n→∞ n→∞ ∞ n2 + 4n + n n2 + 4n + n Chia cả tử và mẫu cho n. 4 4 I = lim +1= √ + 1 = 3. n→∞ 4 1+0+1 1+ n +1 √ n √ 4 1 1 1 n4 (3 − 4 ) = lim n n (3 − 4 ) n = 1.30 = 1. n→∞ n→∞ n→∞ n n √ Tương tự, ta có thể chứng minh n Pm → 1 với mọi đa thức Pm . d) I = lim e) I = lim n→∞ n 3n4 − 4n3 = lim n 2n+1 − 4n 2 = lim n→∞ 3 3n + 5n3 20 = 1. Đại học Bách khoa TPHCM n 4n 2− n 2 = 2 . Vì lim n→∞ 5n3 3 1+ n 3 Trang 8 n  1 4n 4n n 2− n 2− n 2 = lim  2  =   n→∞ 5n3 5n3 1+ n 1+ n 3 3 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ 2 ln2 (2n) (ln 2 + ln n)2 ln 2 f) I = lim = lim = lim + 1 = (0 + 1)2 = 1. 2 n→∞ ln2 n n→∞ n→∞ ln n ln n √ n sin n! g) I = lim . n→∞ n+1 √ √ n n sin n! Ta có 0 ≤ ≤ . n+1 √ n+1 √ √ n n sin n! n sin n! Vì lim 0 = lim = 0 nên lim = 0 =⇒ lim = 0. n→+∞ n→∞ n + 1 n→∞ n→∞ n+1 n+1 h) I = lim n−1 n+1 i) I = lim n+1 n2 + 2 n2 + 5 n→∞ n→∞ = lim n→∞ 1+ = lim n→∞ = e−2 = 1 . e2 2 3n2 +1 = lim n→∞ −3 +5 n+1 −2 1+ n+1 (n2 +5) −3 1+ 2 n +5 (n2 +5) 3n +1 2 n +5 3n2 +1 n2 +5 3 = (e−3 ) = e−9 = n2 1 . e9 n3 +1 2n + 3 n+2 j) I = lim . n→∞ 3n + 2 2n + 3 2 n3 + 1 Vì lim = , lim = +∞ nên I = 0. n→∞ 3n + 2 3 n→∞ n + 2 Chú ý bài này không phải dạng vô định. Có dạng (2/3)+∞ = 0. √ 2 n 2n + 3n n2 +2 k) I = lim . n→∞ 4n2 − 2n √ 2n2 + 3n 1 n Vì lim = , lim 2 = 0 nên I = (1/4)0 = 1. n→∞ 4n2 − 2n n→∞ n + 2 4 Chú ý bài này cũng không phải dạng vô định. n 2n3 + 3n n2 +2 l) I = lim . n→∞ 4n2 − 2n Bài này dạng vô định +∞0 . Ta làm như sau: 2 √ n 1 . n n 2n3 + 3n n2 +2 2n3 + 3n n n2 +2 2n3 + 3n = = √ n 4n2 − 2n 4n2 − 2n 4n2 − 2n n2 n2 +2 n→∞ − − (1/1)1 = 1. −→ Ví dụ 1.8 Tính các giới hạn sau a) I = lim (−1)n . Đặt xn = (−1)n n→∞ Ta có x2n = (−1)2n = 1 −→ 1, x2n+1 = (−1)2n+1 = −1 −→ −1. Vậy không tồn tại giới hạn. b) I = lim n→∞ 1−n 1+n n x2n = (−1)2n 1 + . Đặt xn = −2 1 + 2n Đại học Bách khoa TPHCM 1−n 1+n n = (−1)n 2n −→ 1.e−2 = n−1 1+n n = (−1)n 1 + −2 1+n n . 1 . e2 Trang 9 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC −2 x2n = (−1) 1+ 2 + 2n Vậy không tồn tại giới hạn. 2n+1 2n+1 −→ −1.e−2 = − √ x1 = 2 √ xn+1 = 2 + xn , n ≥ 1. c) lim xn , với xn = n→∞ 1 . e2 Viết cách khác: xn = 2+ 2+ √ 2 + . . . (n dấu căn). Dùng quy nạp chứng minh được dãy xn tăng và bị chặn trên bởi 2 do đó hội tụ. Giả sử xn → a. Từ giả thiết ta có √ √ lim xn+1 = lim 2 + xn ⇐⇒ a = 2 + a ⇐⇒ a = 2. n→∞ n→∞ Vậy lim xn = 2. n→∞ 1 + 1.2 1 1− + 2 d) lim xn , với xn = n→∞ Ta có xn = 1.1.1 1 1 + ··· + . 2.3 n(n + 1) 1 1 1 1 − + − + ··· + 2 3 3 4 1 1 − n n+1 =1− 1 −→ 1. n+1 Bài tập Tính giới hạn 1. lim 4n − 5−n 3n − 22n − 5n6 n2 + 1 2n − 3 n + 1 6. lim( ) 2n + 5 2. lim ln(3n2 − 2n) n9 + 3n2 7. lim 1+n 1 + n 2 − n2 4. lim( ) n+2 5. lim n + (−1)n n sin n! √ 8. lim (1 + n) n − 2 log 2 10n 3. lim log 2 n n n n2 + 4 n n + 5n 9. lim n 5n + 1 n10 + 2n 1 2n + 1 n − 2 10. lim( 2 ) n −1 1+n n − 2 2 − √n 11. lim( ) n+2 12. lim( 13. lim 2n − 1 n ) 5n + 2 n2 + 2n arctan n! 3n3 + arcsin n 14. lim( n − 1 1−n ) n2 + 1 1 15. lim √ n n! n 16. lim √ n n! Tìm lim un biết: √ √ 1 1 1 19. u1 = 3, un+1 = 3 + un 17. un = + + ··· + 1.3 3.5 (2n − 1).(2n + 1) 18. un = (1 + 1 21. un = √ n (−1)n n ) n 20. un = sin n 1 1 1 √ √ +√ √ ··· + √ √ 2n − 1 + 2n + 1 1+ 3 3+ 5 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 10 ĐS: 1 2 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 22. un = 23. u1 = 24. u1 = 1.2. HÀM SỐ 1 1 1 + + ··· + 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n + 2) √ 13, un+1 = √ 3 5, un+1 = √ 12 + un , n ≥ 1 26. u1 = 1, un+1 1 =1+ , un 1 4 ĐS:4 √ ĐS: 5. √ 3 5un , n ≥ 1 1 4 25. u1 = , un+1 = un − u2 n 2 3 ĐS: 1 ĐS: . 3 √ 1+ 5 ĐS: . 2 1.2 Hàm số 1.2.1 Hàm lũy thừa y = xα y y = x2 n = 2 : y = x2 * T XD : D = R. * T GT : T = [0, ∞). * Hàm số tăng trên khoảng (0, ∞) trên khoảng (−∞, 0). và giảm 0 x * Hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua Oy. y 1 n = −1 : y = x y= * T XD : D = R \ {0}. 1 x * T GT : T = (−∞, 0) ∪ (0, ∞). * Hàm số giảm trên khoảng (−∞, 0) và (0, +∞) 0 x * Hàm lẻ, đồ thị đối xứng qua O(0, 0). Đại học Bách khoa TPHCM Trang 11 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí 1.2. HÀM SỐ n = −1 : y = √ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC y x y= √ x * T XD : D = [0, ∞). * T GT : T = [0, ∞). 0 * Hàm số tăng trên khoảng (−∞, 0) và (0, +∞) x * Không có tính chẵn lẻ. 1.2.2 √ y=− x Hàm lượng giác Hàm số y = sin x Công thức * T XD : D = R. i) sin2 x + cos2 x = 1 * Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π : sin(x) = ii) sin 2x = sin x cos x sin(x + 2π) iii) sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x * T GT : T = [−1, 1]. 1 − cos 2x π π iv) sin2 x = * Hàm số tăng trên khoảng (− , ). 2 2 2 v) sin π = 0; sin(kπ) = 0, k ∈ Z. 2 * Hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua O(0, 0). y 2 y = sin x 1 −6.28 −4.71 −3.14 −1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 x −1 −2 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 12 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.2. HÀM SỐ Hàm số y = cos x Công thức * T XD : D = R. i) cos 2x = cos2 x − sin2 x * Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π : cos(x) = ii) cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 1 − sin2 x cos(x + 2π) 1 + cos 2x iii) cos2 x = * T GT : T = [−1, 1]. 2 iv) cos 0 = 1; cos π = −1, cos(± π ) = 0. 2 * Hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua Oy. y 2 y = cos x 1 −6.28 −4.71 −3.14 −1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 −1 −2 Hàm số y = tan x Công thức * T XD : D = R \ { π + kπ, k ∈ Z}. 2 * Hàm số tuần hoàn với chu kỳ π : tan(x) = tan(x + π) * T GT : T = R. π π * Hàm số tăng trên khoảng (− , ). 2 2 i) tan x = sin x cos x ii) tan(π − x) = tan(−x) = − tan x iii) tan(π + x) = tan(x) iv) tan 0 = 0, tan( π ) không xác định. 2 * Hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua O(0, 0). Đại học Bách khoa TPHCM Trang 13 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp x TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí 1.2. HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC y y = tan x x −4.71 1.2.3 −3.14 −1.57 0 1.57 3.14 4.71 Hàm mũ - Hàm logarit Công thức Hàm số y = ax , (a > 1) i) ax .ay = ax+y * T XD : D = R. ii) (ax )y = axy * T GT : T = (0, ∞). iii) ax .bx = (ab)x * Hàm số tăng trên (−∞, ∞) iv) a−x = 1 ax y y = ax (a > 1) (0; 1) 0 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 14 x ThS.Nguyễn Hữu Hiệp TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.2. HÀM SỐ Công thức Hàm số y = ax , (0 < a < 1) * T XD : D = R. i) ax = ax−y ay * T GT : T = (0, ∞). ii) ax a = bx b * Hàm số giảm trên (−∞, ∞) x iii) ax.y = (ax )y . y y = ax (0 < a < 1) (0; 1) 0 1.2.4 x Hàm y = ln x y = ln x ⇐⇒ x = ey 0 0, x ≤ 0. Câu 2) Tìm hàm ngược của hàm số y = f (x) biết a) f (x) = ln(x3 + 1), x > −1. b) f (x + 1) = e2x + 1. c) f (ex + 1) = 3 ln(x2 + 1). 1.3 Giới hạn hàm số 1.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.10 (Giới hạn hàm số) cho hàm số y = f (x) xác định trên D. Đại học Bách khoa TPHCM Trang 19 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí 1.3. GIỚI HẠN HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC i) lim = a ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ D : 0 < |x − x0 | < δ −→ |f (x) − a| < ε) x→x0 ii) lim f (x) = a ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃N, ∀x ∈ D : x > N −→ |f (x) − a| < ε) x→+∞ iii) Tương tự cho giới hạn bằng vô cực. Định lý lim = a ⇐⇒ ∀(xn ) ⊂ D&xn = x0 : xn → x0 =⇒ f (xn ) → a. x→x0 Định lý tương đương với định nghĩa giới hạn hàm số theo giới hạn dãy số. Do đó, những tính chất giới hạn hàm số tương tự như giới hạn dãy số. Ví dụ 1.12 Chứng minh giới hạn lim sin x không tồn tại. x→+∞ Bài làm Xét dãy (xn ) : xn = nπ −→ +∞ và lim sin xn = lim sin nπ = 0. n→+∞ n→+∞ π π Xét dãy (yn ) : yn = 2nπ + −→ +∞ và lim sin yn = lim sin 2nπ + = 1. n→+∞ n→+∞ 2 2 Vì tồn tại 2 dãy làm giới hạn dần về 2 giá trị khác nhau do đó không tồn tại lim sin x. x→+∞ Định nghĩa 1.11 (Giới hạn một bên) Giới hạn trái lim = a ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ D : 0 < x0 − x < δ −→ |f (x) − a| < ε) x→x− 0 Giới hạn trái lim = a ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ D : 0 < x − x0 < δ −→ |f (x) − a| < ε) x→x+ 0 Giới hạn trái: x < x0 và giới hạn phải:x > x0 Định lý lim f (x) = a ⇐⇒ x→x0   lim f (x) = a  − x→x0  lim f (x) = a.  + x→x0 |x| . x→0 x Ví dụ 1.13 Tính giới hạn lim Bài làm: biểu thức chứa trị tuyệt đối nên không tính trực tiếp được giới hạn. |x| x<0 −x |x| x>0 x lim ===== lim = −1. lim ===== lim = −1. − x − x + x + x x→0 x→0 x→0 x→0 |x| Vậy không tồn tại giới hạn lim . x→0 x Đại học Bách khoa TPHCM Trang 20 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp