Tài liệu Bai giang mon giai tich 1 cua tac gia nguyen xuan thao

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS. TS. Nguy n Xuân Th o [email protected] GI I TÍCH I BÀI 1 (§1 − §5) • T ng quan • Phương pháp h c §1. Các t p h p s • », », », » tv n I. Sơ lư c v các y u t logic 1. i u ki n c n và •P⇒Q •P⇔Q 2. M nh tương ương P ⇔ Q 3. Ch ng minh logic a) Phương pháp b c c u: (P ⇒ Q, Q ⇒ R) ⇒ (P ⇒ R) nh: (P ⇒ Q) ⇒ ( Q ⇒ P ) b) Phương pháp ph c) Phương pháp ch ra ph n ví d 4. Phương pháp quy n p. C n ch ng minh m nh Gi s có +) T(1) úng +) T(k) úng ⇒ T(k + 1) úng, k ∈ » . Khi ó T(n) úng ∀ n ∈ » . 2  n ( n + 1)  Ví d . 1 + 2 + ... + n =   , ∀ n ∈ ».  2  3 3 3 II. Các t p h p s 1. S c n thi t m r ng t p h p s » ⊂ » ⊂ » ⊂ » . 2. H tiên c a t p h p s th c a) » (+, .): ∀a, b, c ∈ » có a + b ∈ » , a.b ∈ » giao hoán, k t h p b) ∀ a, b ∈ » ⇒ ∃! x ∈ » : a + x = b. c) ∀ a, b ∈ » , a ≠ 0 ⇒ ∃! x ∈ » : a.x = b. d) ∀ a, b ∈ » ⇒ a ≤ b ho c b ≤ a quan h th t có tính ch t ph n i x ng, b c c u. 1 T(n) úng ∀ n ∈ » TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS. TS. Nguy n Xuân Th o e) Tiên supremum [email protected] • ∅ ≠ A ⊂ » , A b ch n trên u có supremum ∈ » • ∅ ≠ A ⊂ » , A b ch n dư i u có infimum ∈ » Chú ý T trên nh n ư c các tính ch t ã bi t ph thông, ch ng h n • T/c Archimede: ∀ a, b ∈ » , a > 0 ⇒ ∃ n ∈ » : na > b. • » trù m t trong » : ∀ a, b ∈ » , a < b ⇒ ∃ r ∈ » : a < r < b. § 2. TR TUY T • tv n 1. a, nh nghĩa. a =   −a, I VÀ CÁC TÍNH CH T a≥0 a<0 2. Tính ch t a) |x| < a, a > 0 ⇔ −a < x < a. b) |x| > b, b > 0 ⇔ x > b ho c x < −b. c) |a + b| ≤ |a| + |b| d) |ab| = |a||b| e) a a = ,b≠0 b b § 3 HÀM S • tv n 1. nh nghĩa. X ⊂ » , tương ng f: X → » là hàm s n u tho mãn: +) ∀x ∈ X ⇒ f(x) ∈ » +) x1 = x2 ⇒ f(x1) = f(x2) Khi ó X là t p xác nh, còn {f(x), x ∈ X} là t p giá tr . Ví d 1. M t tên l a phóng th ng lên t m t t v i v n t c ban u là 128ft/s. Tên l a này chuy n ng lên ho c xu ng theo ư ng th ng. B ng th c nghi m, cao c a tên l a ư c cho 2 b i công th c f(t) = 128t − 16t Ví d 2. x → x 2 + y 2 = 1 Ví d 3. Tìm t p xác nh y = x cos π x Ví d 4. Tìm t p giá tr y = sin x + cos x 2 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS. TS. Nguy n Xuân Th o  1 Ví d 5. Tìm f(x) bi t f   = x + 1 + x 2 , x > 0. x 2. M t s khái ni m a) [email protected] th c a hàm y = f(x) là {(x, f(x)), x ∈ TX } b) y = f(x) ch n ⇔ ∀ x ∈ MX có f(x) = f(−x) Ví d . y = 3 (1 − x ) + 3 (1 + x ) c) y = f(x) l ⇔ ∀ x ∈ MX có f(x) = −f(−x) Ví d . y = ax − a−x, a > 0. d) Hàm y = f(x) tu n hoàn ⇔ ∃ T ≠ 0: f(x + T) = f(x), ∀ x ∈ TX . S T > 0 bé nh t f(x + T) = f(x), ∀ x ư c g i là chu kì. Ví d . y = tan x ) Hàm h p: y = f(x), x = ϕ(t), có hàm h p y = f οϕ ≡ f(ϕ(t)) X, TGT: Y có hàm ngư c x = ϕ(y) e) Hàm ngư c: y = f(x), TX ⇔ +) (f οϕ)(y) = y, ∀ y ∈ Y +) (ϕ ο f)(x) = x, ∀ x ∈ X Ví d . y = 1 − x 2 v i −1 ≤ x ≤ 0, có x = − 1 − y 2 , y ∈ [0 ; 1] § 4. HÀM S SƠ C P 1. nh nghĩa. Các hàm s sơ c p cơ b n là xα, ax, logax, sinx, cosx, tanx, cotx, và các hàm lư ng giác ngư c. 2. Các hàm s sơ c p cơ b n a) y = xα, TX : ph thu c α, th ∋ (1 ; 1), ∀ α. b) y = ax, 0 < a ≠ 1, TX : » , TGT: y > 0, ng bi n khi a > 1, ngh ch bi n khi a < 1 ax + y =ax ay , ax − y = ax / a y c) y = logax, 0 < a ≠ 1, TX : x > 0, TGT: » , ng bi n khi a > 1, ngh ch bi n khi a < 1 x logaxy = loga|x| + loga|y|, loga = loga|x| − loga|y|, logaxα = α loga|x|; y y = logax có hàm ngư c là x = ay. d) Các hàm lư ng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx. e) Các hàm lư ng giác ngư c  π π +) y = arcsinx: [−1 ; 1] →  − ;  là hàm ngư c c a hàm y = sin x  2 2 +) y = arccosx: [−1 ; 1] → [0 ; π] là hàm ngư c c a hàm y = cosx 3 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS. TS. Nguy n Xuân Th o [email protected]  π π +) y = arctanx: (−∞ ; ∞) →  − ;  là hàm ngư c c a hàm y = tan x  2 2 +) y = arccotx : (−∞ ; ∞) → (0 ; π) là hàm ngư c c a hàm y = cotx 3. Hàm s sơ c p nh nghĩa. T o nên t các hàm s sơ c p cơ b n b i s h u h n các phép t ng, hi u, tích, thương, phép l y hàm h p và các h ng s Ví d 1. y = 3 x+sinx Ví d 2. y = |x| x Ví d 3. y = ∫ 0 sin t dt . t § 5. DÃY S • tv n 1. nh nghĩa. x1, x2, ..., xn, ..., xi ∈ » . 2. Gi i h n. a) nh nghĩa lim xn = a, a ∈ » ⇔ ∀ ε ≥ 0, bé tuỳ ý, ∃ N(ε): ∀ n > N(ε) thì có |xn − a| < ε. n →∞ nh nghĩa. Khi lim xn = ∞ ⇔ ∀ M > 0, l n tuỳ ý, ∃ N: ∀ n > N có |xn| > M, ta nói dãy s phân kì n →∞ b) Tính ch t 1°) lim xn = a , a > p (a < p) ⇒ ∃N: ∀n > N có xn > p (xn < p) n →∞ 2°) lim xn = a , xn ≤ p (xn ≥ p) ⇒ a ≤ p (a ≥ p) n →∞ 3°) lim xn = a , lim xn = b ⇒ a = b. n →∞ n →∞ 4°) lim xn = a ⇒ ∃M > 0: |xn| ≤ M, ∀n. n →∞ c) Phép toán Có lim xn = a , lim y n = b , khi ó ta có n →∞ n →∞ xn a = , b ≠ 0, yn ≠ 0, ∀ n. n →∞ y n b lim ( xn ± y n ) = a ± b ; lim ( xn y n ) = ab ; lim n →∞ n →∞ d) Các tiêu chu n t n t i gi i h n 1°) Tiêu chu n ơn i u b ch n. ∀ dãy ơn i u tăng (gi m) b ch n trên (dư i) ⇒ có gi i h n. 4 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS. TS. Nguy n Xuân Th o [email protected] 2°) Tiêu chu n k p. Có xn ≤ yn ≤ zn, lim xn = a = lim zn ⇒ lim y n = a . n →∞ n →∞ n →∞ 3°) Tiêu chu n Cauchy. ∃ lim xn = a ⇔ ∀ ε > 0, ∃N(ε): ∀m, n > N có |xm − xn| < ε. n →∞ Ví d 1. Cho dãy xn: x1 = 2, xn +1 = 2 + xn . Ch ng minh r ng {xn} h i t và tìm gi i h n. Ví d 2. Cho dãy xn: x1 > 0, xn +1 = 1 1   xn + x  . Ch ng minh r ng {xn} h i t và tìm 2 n gi i h n. HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 5 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS. TS. Nguy n Xuân Th o ([email protected]) GI I TÍCH I BÀI 2. (§6, §7, §8) §6. Gi i h n hàm s tv n • a) lim 2 x = ? x →1 b) lim x →0 1 =? x c) lim x →∞ 1 =? x I. nh nghĩa − N1. x0 ∈ X ⊂ » là i m t c a X ⇔ ∃ x ∈ Uε(x0)\ {x0}, ∀ ε > 0. − N2. f(x) xác nh trên X, x0 là i m t c a X. Ta b o lim f ( x ) = a ⇔ ∀ (xn) ⊂ X, xn ≠ x0, xn → x0 ⇒ f(xn) → a. x → x0 − N3. f(x) xác nh trên X, x0 là i m t c a X. Ta b o lim f ( x ) = a ⇔ ∀ ε > 0 bé tuỳ ý, ∃ δ(ε) > 0: 0 < |x − x0| < δ(ε) ⇒ |f(x) − a| < ε. x → x0 Chú ý. N2 ∼ N3. Ví d 1. lim ( 3 x + 2 ) Ví d 2. lim cos x →2 x →0 1 x II. Tính ch t và phép toán 1) Tính ch t lim f ( x ) = b ⇒ a = b a) lim f ( x ) = a, x → x0 x → x0 b) lim f ( x ) = a ⇔ lim ( f ( x ) − a ) = 0 x → x0 x → x0 c) f(x) = c ⇒ lim f ( x ) = c x → x0 d) f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), ∀x ∈ Uε 0 ( x0 ) ; lim f ( x ) = a = lim g ( x ) ⇒ lim h ( x ) = a x → x0 x → x0 e) lim f ( x ) = a ⇒ |f(x)| ≤ c, ∀x ∈ Uε 0 ( x0 ) \ { x0 } x → x0 f) lim f ( x ) = a , a > p ⇒ f(x) > p, ∀x ∈ Uε 0 ( x0 ) \ { x0 } x → x0 2. Phép toán a) lim f ( x ) = a, lim g ( x ) = b ⇒ lim ( f ( x ) ± g ( x ) ) = a ± b x → x0 x → x0 x → x0 6 x → x0 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS. TS. Nguy n Xuân Th o ([email protected]) f (x) a = , (b ≠ 0) x → x0 g ( x ) b b) lim f ( x ) = a, lim g ( x ) = b ⇒ lim ( f ( x ) .g ( x ) ) = a.b và lim x → x0 x → x0 x → x0 3. Kh d ng vô nh a) Các d ng vô nh b) Kh nh. S d ng các phép bi n d ng vô 0 ∞ ; ; 0.∞ ; ∞ − ∞ ; 1∞ ; 00 ; ∞0 0 ∞ i i s và các gi i h n c bi t x sin x 1  lim = 1 ; lim  1 +  = e x →0 x x →∞  x Ví d 1. lim x →0 πx Ví d 2. lim ( 2 − x ) tan x →2 4 x +4 −2 x  x + 2 Ví d 3. lim   x →1 x − 1  2 x +1 cot 2 x Ví d 4. lim ( cos x ) x →0 (e − 1 2) III. Gi i h n hàm h p, m t phía, vô c c 1. Gi i h n hàm h p. lim u ( x ) = u0 , lim f ( u ) = a ⇒ lim f ( u ( x ) ) = a x → x0 u →u0 x → x0 2. Gi i h n m t phía. nh nghĩa 4. lim f ( x ) = a ⇔ ∀ ε > 0 bé tuỳ ý, ∃ δ(ε) > 0: 0 < x − x0 < δ(ε) ⇒ |f(x) − a| < ε. + x → x0 nh nghĩa 5. lim f ( x ) = b ⇔ ∀ ε > 0 bé tuỳ ý, ∃ δ(ε) > 0: 0 < x0 − x < δ(ε) ⇒ |f(x) − b| < ε. − x → x0 M i liên h gi a gi i h n m t phía và gi i h n lim f ( x ) = a ⇔ lim f ( x ) = a = lim f ( x ) + x → x0 x → x0 3. Gi i h n nh nghĩa 6. − x → x0 vô c c và gi i h n vô c c lim f ( x ) = a ⇔ ∀ (xn) → ∞ có lim f ( xn ) = a x →∞ n →∞ nh nghĩa 7. lim f ( x ) = a ⇔ ∀ ε > 0 bé tuỳ ý, ∃ N(ε) > 0: |x| > N(ε) ⇒ |f(x) − a| < ε. x →∞ Chú ý. N6 ∼ N7. Ví d 1. lim x →+∞ x2 + 4 + x 5 4 x + x + 2x Ví d 2. lim x →+∞ 7 ( x +1− x ) Ví d 3. lim x →1 1 x 1− x TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS. TS. Nguy n Xuân Th o ([email protected]) ( Ví d 4. lim sin x − sin 1 + x 2 ) x →+∞ (0) Ví d 5. lim ( cos x − 1 − cos x + 1) (0) x →+∞ nh nghĩa 8. lim f ( x ) = ∞ ⇔ ∀ (xn) → ∞ có lim f ( xn ) = ∞ x →∞ n →∞ nh nghĩa 9 lim f ( x ) = ∞ ⇔ ∀ N > 0 l n tuỳ ý, ∃ δ(N) > 0: |x − x0| < δ(N) ⇒ |f(x)| > N. x → x0 §7. Vô cùng bé, vô cùng l n • tv n I. Vô cùng bé I. nh nghĩa. α(x) là VCB, x → x0 ⇔ lim α ( x ) = 0 . x → x0 2. Tính ch t. a) α(x) là VCB, x → x0, c = const ⇒ cα(x) là VCB khi x → x0. n b) αi(x), i = 1, n là VCB khi x → x0 ⇒ ∑αi ( x ) là VCB khi x → x 0 i =1 c) α(x) là VCB khi x → x0, f(x) b ch n trong Uε 0 (x0) ⇒ α(x)f(x) là VCB, x → x0 3. Liên h gi a VCB và gi i h n nh lí. lim f ( x ) = L ⇔ f(x) − L là VCB khi x → x0 (hay f(x) = L + α(x), α(x) là VCB) x → x0 4. So sánh VCB. Gi s α(x), β(x) là các VCB khi x → x0. α (x) =1 x → x0 β ( x ) nh nghĩa. α(x) ∼ β(x) ⇔ lim α (x) = a ∈ » \{0} x → x0 β ( x ) nh nghĩa. α(x) là VCB cùng c p v i VCB β(x) khi x → x0 ⇔ lim α (x) =0 x → x0 β ( x ) nh nghĩa. α(x) là VCB c p cao hơn VCB β(x) khi x → x0 ⇔ lim Ví d 1. a) sinx ∼ x, ex − 1 ∼ x, ln(1 + x) ∼ x, (1 + x)α − 1 ∼ αx khi x → 0 1 ( x ) = ex , β ( x ) = e − ( 1 + x ) x . b) Cho α 2 Ch ng minh r ng α ( x ) ∼ β ( x ) khi x → 0. 8 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS. TS. Nguy n Xuân Th o ([email protected]) 1 c) Cho α ( x ) = e − ( 1 + 2 x ) 2 x , β ( x ) = ex . Ch ng minh r ng α ( x ) ∼ β ( x ) khi x → 0. 5. ng d ng tìm gi i h n α (x) α (x) = lim x → x0 β ( x ) x → x0 β ( x ) a) α(x) ∼ α ( x ) , β(x) ∼ β ( x ) , x → x0 ⇒ lim Ví d 2. lim ( e x − 1) tan x 3 1 + 3x 4 1 + 4x − 1 Ví d 3. lim x →0 1− x − 1 sin2 x x →0 (− 4) b) β(x) là VCB c p cao hơn α(x) khi x → x0 ⇒ α(x) + β(x) ∼ α(x) Ví d 4. lim x − sin x x3 x →0 c) α(x), β(x) là các VCB khi x → x0; m α (x) = ∑ αk ( x ) , α (x) là VCB có c 1 p th p nh t; k =1 n β (x) = ∑ βk ( x ) , β (x) là VCB có c 1 p th p nh t k =1 α (x) α (x) = lim 1 x → x0 β ( x ) x → x0 β1 ( x ) ⇒ lim Ví d 5. lim x →0 x + sin3 x + tan4 x 4x + x 4 + 5x8 II. Vô cùng l n 1. nh nghĩa. f(x) xác nh Uε 0 (x0) (có th tr x0), f(x) là VCL khi x → x0 ⇔ lim f ( x ) = ∞ x → x0 Chú ý. Hàm là VCL ⇒ không b ch n ⇐ Ví d 6. f(x) = x sinx là không b ch n nhưng không ph i là VCL. 2. Liên h gi a VCB và VCL a) f(x) là VCB, x → x0 và f(x) ≠ 0 ⇒ b) f(x) là VCL, x → x0 ⇒ 1 là VCL khi x → x0. f (x) 1 là VCB khi x → x0. f (x) 9 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS. TS. Nguy n Xuân Th o ([email protected]) 3. So sánh các VCL. Gi s A(x), B(x) là các VCL khi x → x0, A(x) =∞ x → x0 B ( x ) a) A(x) là VCL c p cao hơn VCL B(x), x → x0 ⇔ lim b) A(x), B(x) là các VCL cùng c p, x → x0 ⇔ lim x → x0 A(x) =a ≠0 B (x) c) A(x), B(x) là các VCL tương ương, x → x0 ⇔ lim x → x0 4. A(x) = 1. B (x) ng d ng tìm gi i h n a) Cho các VCL tương A(x) A(x) lim = lim x → x0 B ( x ) x → x0 B ( x ) ương A(x) ∼ A ( x ) , B(x) ∼ B ( x ) , x → x0 ⇒ b) Cho A(x), B(x) là các VCL khi x → x0; m A(x) = ∑ Ak ( x ) , A (x) là VCL có c 1 p cao nh t; k =1 n B (x) = ∑ Bk ( x ) , B (x) là VCL có c 1 p cao nh t k =1 ⇒ lim x → x0 A (x) A(x) = lim 1 B ( x ) x → x0 B1 ( x ) 9x 4 + x3 + x + 2 Ví d 7. lim x →∞ 4 2 2009 x + 3 x + x + 1 = 9 2009 Ví d 8. Tính gi i h n cot( x 2 −1) a) lim (2 − x ) x →1 c) lim (1 − 4 x )ln(1 + 2 x ) x →0 x 2 + 2x 3 (e − 1 2) cot(1− x 2 ) b) lim (2 + x ) x →−1 (− 2 ln 4 ) d) lim x →0 § 8. HÀM S • (1 − 9 x )ln(1 + 3 x ) 3x2 − 4x3 1 (e2 ) (− 2 ln 3 ) LIÊN T C tv n I. Hàm liên t c 1. nh nghĩa. f(x) liên t c t i x0 ⇔ +) f(x) xác nh trên Uε 0 (x0) +) lim f ( x ) = f ( x0 ) (⇔ lim ∆f ( x ) = 0 ) x → x0 10 ∆x → 0 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS. TS. Nguy n Xuân Th o ([email protected]) f(x) liên t c trái t i x0 ⇔ +) f(x) xác nh trên Uε 0 (x0) ∩ {x < x0} +) lim f ( x ) = f ( x0 ) − x → x0 Tương t ta có N liên t c ph i. nh nghĩa. f(x) liên t c trên (a ; b) ⇔ f(x) liên t c t i ∀ x ∈ (a ; b) f(x) liên t c trên [a ; b] ⇔ f(x) liên t c trong (a ; b), liên t c trái t i b và liên t c ph i t i a. Ví d 1. Tìm a Ví d 2. 1   x sin , hàm s sau liên t c t i x = 0: f ( x ) =  x a,  a) Tìm a liên t c t i x = 1. b) Tìm a 1  sin  x − 1,  y = 1  2 x −1 + 1 a,  a) Tìm a liên t c t i x = 0. x =0 x ≠1 x =1 ( ∃ a) 1  sin   1x + 1 , y =  2 x +1 + 1 a,  liên t c t i x = −1. Ví d 3. x ≠0 x ≠ −1 x = −1 ( ∃ a) a sin ( arccot x ) , x ≤ 0  y = 2 cosln x − cosln ( x + x ) , x > 0  (a = 0). b) Tìm a a cos ( arctan x ) , x ≤ 0  y = 2 sinln ( x + x ) − sinln x, x > 0  liên t c t i x = 0. (a = 0). 2. Tính liên t c c a các hàm sơ c p. M i hàm s sơ c p liên t c trên các kho ng mà hàm s ó xác nh. 3. Phép toán. Cho f(x), g(x) liên t c t i x0 ⇒ f(x) ± g(x) liên t c t i x0, f(x)g(x) liên t c f (x) t i x0 và liên t c t i x0 n u g(x0) ≠ 0 g (x) 4. Ý nghĩa. f(x) liên t c trên [a ; b] ⇒ th là ư ng li n nét. 11 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS. TS. Nguy n Xuân Th o ([email protected]) 5. Tính ch t nh lí 1. (Weierstrass 1) f(x) liên t c trên [a ; b] ⇒ f(x) b ch n trên [a ; b] nh lí 2. (Weierstrass 2) f(x) liên t c trên [a ; b] ⇒ f(x) trên [a ; b] t giá tr l n nh t và bé nh t nh lí 3. f(x) liên t c trên [a ; b], M = max f , N = min f , µ ∈ [m ; M] ⇒ ∃ c ∈ [a ; b]: [a ; b ] [a ; b ] f(c) = µ. H qu . f(x) liên t c trên [a ; b], f(a)f(b) < 0 ⇒ ∃ c ∈ (a ; b): f(c) = 0. 6. i m gián o n nh nghĩa. f(x) xác f(x) xác nh Uε 0 (x0), gián o n t i x0 ⇔ f(x) không liên t c t i x0. nh Uε 0 (x0)\{x0} thì ta b o f(x) gián o n t i x0 nh nghĩa. i m gián o n x0 c a hàm f(x) là i m gián o n lo i 1 ⇔ ∃ lim f ( x ) , ∃ lim f ( x ) . − x → x0 + x → x0 Các i m gián o n còn l i ư c g i là i m gián o n lo i 2. sin x Ví d 4. f ( x ) = x Ví d 5. f ( x ) = 1 ex Ví d 6. Phân lo i i m gián o n c a hàm s 1 a) f ( x ) = 1− x −1 2 x 1 b) f ( x ) = 1− x +1 3 x II. Hàm s liên t c (x = 1, lo i 2; x = 0, lo i 1) (x = −1, lo i 2; x = 0, lo i 1) u nh nghĩa. f(x) liên t c u trên X ⇔ ∀ ε > 0 bé tuỳ ý. ∃ δ(ε) > 0, ∀ x1, x2 ∈ X, |x1 − x2| < δ(ε) ⇒ |f(x1) − f(x2)| < ε. Ví d 7. y = x + 2. nh lí (Cantor). f(x) liên t c trong [a ; b] ⇒ f(x) liên t c u trong [a ; b] HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 12 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS. TS. Nguy n Xuân Th o [email protected] GI I TÍCH I BÀI 3. §9. • tv n I. nh nghĩa. f(x) xác O HÀM VÀ VI PHÂN nh trong Uε 0 ( x0 ) , f'(x0) = a f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = a∈» ∆x → 0 ∆x ⇔ lim Ví d 1. y = 2010, tính y' Ví d 2. y = x3, tính y’ Ví d 3. y = ax, 0 < a ≠ 1, tính y' Ví d 4. y = |x|, xét y'(0) Ví d 5. Tìm k hàm s f ′ ( x ) liên t c t i x = 0 1 k (  arcsin x ) cos , a) f ( x ) =  x  0,  1 k (  arctan x ) sin , b) f ( x ) =  x  0,  x ≠0 (k > 2) x =0 x ≠0 (k > 2) x =0 a) Ý nghĩa hình h c f'(x0) là h s góc c a ti p tuy n v i s y = f(x) t i x = x0. th hàm b) Ý nghĩa cơ h c. Xét ch t i m M chuy n ng th ng, không u v i quãng ư ng là S(t) tính t i m O nào ó. Khi ó v n t c t c th i t i t0 là f (t ) − f (t0 ) v (t0 ) = lim t → t0 t − t0 Ví d 6. M t ngư i i xe máy v i v n t c 30km/h trong n a u tiên c a o n ư ng và 20km/h trong n a th hai. H i v n t c trung bình là bao nhiêu? (24km/h) Ví d 7. M t tên l a b n th ng lên t m t t v i v n t c ban u v0 m/s và cao trong t giây là S = tv0 − 16t2 a) Tìm v n t c th i i m t b) M t bao lâu tên l a t t i cao t i a? c) Tính v n t c tên l a khi ch m t d) V n t c ban u là bao nhiêu tên l a ch m t sau khi b n 15 giây. c) Ý nghĩa th c t . dy là su t bi n dx i c a y theo x. 13 t TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS. TS. Nguy n Xuân Th o [email protected] 2 Ví d 8. Cho hình tròn bán kính r, ta có S = πr , ta có S' = 2πr. Như v y su t bi n i di n tích c a m t hình tròn theo bán kính chính b ng chu vi c a nó. Ví d 9. M t cái thang dài 13ft ng d a vào b c tư ng thì chân thang b trư t ra xa b c tư ng v i t c không i 6ft/s. u trên c a chi c thang chuy n ng xu ng dư i nhanh như th nào khi chân thang cách tư ng 5ft? Ví d 10. Ngư i ta hút d u ra kh i thùng làm s ch nó. Bi t sau khi hút t phút lư ng d u còn l i trong thùng là V = 40(50 − t)2 lít. a) Tìm lư ng d u hút trung bình trong 20 phút b) Tìm t c u tiên. 40.50 − 40.302 ( v tb = = 3200 (l/p)) 20 d u ư c hút ra kh i thùng t i th i i m t = 20 phút. ′ ( v ( 20 ) = (40.502 − v )t =10 = 2400 l/p) Ví d 11. M t cái thùng hình nón v i nh phía dư i có chi u cao 12 ft và ư ng kính áy là 12ft ư c bơm y nư c v i t c không i là 4ft3/phút. Hãy tính t c bi n i chi u cao c t nư c khi 1 a) nư c sâu 2ft ( y′ ( 2) = ) π 1 ) 16π b) nư c sâu 8ft. ( y′ ( 8 ) = 2. o hàm m t phía, m i liên h v i liên t c, o hàm c a hàm ngư c. a) o hàm m t phía. nh nghĩa. f ′ ( x0 + 0 ) = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ; f ′ ( x0 − 0 ) = ∆x →+0 ∆x lim f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ∆x →−0 ∆x lim Nh n xét. ∃ f'(x0) ⇔ f'(x0 + 0) = f'(x0 − 0) Ví d 1. y = b) Liên h 1 − x , xét y'(1 −0) o hàm và liên t c. ∃ f'(x0) ⇒ f(x) liên t c t i x0. Ngư c l i không úng, ví d y = c) 3 x liên t c t i x0 = 0 nhưng ∃ f'(0). o hàm c a hàm s ngư c +) Hàm s x = ϕ(y) có hàm ngư c y = f(x) +) y = f(x) liên t c t i x0 = ϕ(y0) +) ϕ'(y0) ≠ 0 Khi ó ta có f ′ ( x0 ) = 1 . ϕ ′ ( y0 ) Ví d 2. y = arccot x, tính y'. Ví d 3. y = arcsin x, tính y'. 14 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS. TS. Nguy n Xuân Th o [email protected] 3. Phép toán và công th c. a) Phép toán. Các hàm f, g kh vi t i x0 ⇒ • (f ± g)'(x0) = f'(x0) ± g'(x0) • (f.g)'(x0) = f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0) f • g f ′ ( x0 ) g ( x0 ) − g ′ ( x 0 ) f ( x0 ) ′ , g(x0) ≠ 0.  ( x0 ) = g 2 ( x0 )  b) o hàm các hàm sơ c p cơ b n. Ta d n ra công th c c a m t vài hàm • c' = 0 • (xα)' = αxα − 1 • (ax)’ = ax lna • ( loga x )′ = c) 1 cos2 x • ( tan x )′ = • ( arccos x )′ = − 1 x ln a • ( arccot x )′ = − 1 1 − x2 1 1 + x2 o hàm c a hàm h p. ∃ y'u(u0), ∃ u'x(x0) ⇒ y = y(u(x)) có o hàm t i x0 và có y'x(x0) = y'u(u0).u'x(x0). Ví d 1. y = (x − 1)(x − 2) ... (x − 2009), tính y'(1). (2008!) x ≤ −2  2 + x,  Ví d 2. y =  ( 2 + x ) ( x − 3 ) , −2 < x ≤ 3 , tính y'.  x − 3, x >3  x < −2 1,  ( =  2 x − 1, − 2 < x < 3 ) 1, x >3  Ví d 3. y = xx, tính y'. Ví d 4. Ch ng minh r ng: - o hàm c a hàm ch n là hàm l - o hàm c a hàm l là hàm ch n - o hàm c a hàm tu n hoàn là hàm tu n hoàn có cùng chu kì x Ví d 5. y = x x , tính y’. Ví d 6. Ch ng minh r ng a) 3 arctan x + arctan( x + 2) < 4 arctan( x + 1), ∀x > 0 b) 2 arccot x + arccot( x + 2) > 3 arccot( x + 1), Ví d 7. ∀x > 0 a) CMR arctanx4 − arctany4 ≤ ln x2 , ∀ x, y: x ≥ y > 0. y2 b) CMR arccotx4 − arccoty4 ≥ ln y2 , ∀ x, y: x ≥ y > 0. x2 15 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS. TS. Nguy n Xuân Th o [email protected] 4. Vi phân a) nh nghĩa. f(x) xác nh trong Uε 0 ( x0 ) , n u có ∆f = A∆x + α(∆x), ó A ch ph thu c vào x0 ch không ph thu c vào ∆x, α(∆x) là VCB c p cao hơn so v i ∆x thì ta nói f(x) kh vi t i x0 và có df = A∆x. Ví d 1. y = 2x + 3, tính dy. b) Ý nghĩa hình h c. N u A ≠ 0 thì ∆f ∼ df. Nh n xét A∆x là tuy n tính c) i v i ∆x nên nó ơn gi n hơn ∆f nhi u. ng d ng tính g n úng. f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + df. Ví d 2. Tính g n úng 4, 01 . Ví d 3. M t m nh kim lo i hình vuông, m i c nh 20cm, khi nung nóng m i c nh dãn ra 0,1cm. Tính g n úng ph n di n tích m nh kim lo i dãn ra. d) Liên h gi a o hàm và kh vi f'(x0) = A ⇔ df(x0) = A∆x. Ví d 4. d ( 6 x + 3x 4 + 1) ( x2 ) d Ví d 5. d  ex    d ( x3 )  x  e) Tính b t bi n c a vi phân c p 1 y = f(x) kh vi, x = ϕ(t) kh vi ⇒ dy = f'(x)dx. 5. o hàm và vi phân c p cao a) o hàm c p cao. nh nghĩa. f(n)(x) = (f(n − 1)(x))' π  • y = sinx, y ( n ) = sin  x + n   2 Ví d 1. • y = x(α), y(n) = ? Quy t c. ∃ f(n)(x), g(n)(x) thì có 1°) (f(x) ± g(x))(n) = f(n)(x) ± g(n)(x) (n) 2°) ( f ( x ) .g ( x ) ) n = ∑ Cnk f ( k ) ( x ) g ( n − k ) ( x ) k =0 Ví d 2. y = x lnx, tính y(5) Ví d 3. y = sinax cosbx, tính y(20) 1 Ví d 5. y = 2 , tính y(n) x −1 Ví d 4. y = x2 cosx, tính y(30) Ví d 6. Tính y(n), n ∈ » 1 − 2x n a) y = ( ( −2 ) e −2 x ( n + 1 − 2 x ) ) e2 x ( n − 2 ) ! 3n −1 ( 3x − n ) ) b) y = x ln(1 − 3 x ) ( n (1 − 3 x ) HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 16 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS. TS. Nguy n Xuân Th o [email protected] GI I TÍCH I BÀI 4. (§9, §10) §9 O HÀM VÀ VI PHÂN (Ti p theo) 5. o hàm và vi phân c p cao. a) o hàm c p cao. nh nghĩa. f(n)(x) = (f(n − 1)(x))' Ví d 1. π  = sin  x + n   2 α (n) b) y = x , α ∈ » , tính y a) y = sinx, y (n) c) y = loga|x|, tính y(n) Quy t c. ∃ f(n)(x), g(n)(x) 1°) (αf(x))(n) = αf(n)(x) 2°) (f(x) ± g(x))(n) = f(n)(x) ± g(n)(x) (n) 3°) ( f ( x ) .g ( x ) ) n = ∑ Cnk f ( k ) ( x ) g (n −k ) ( x ) k =0 Ví d 2. y = x lnx, tính y(5) Ví d 3. y = sinax cosbx, tính y(20) Ví d 4. y = x2 cosx, tính y(30) 1 Ví d 5. y = 2 , tính y(n) x −1 1 − 2x Ví d 6. a) y = , tính y(n) x e ((−2)ne−2x(n + 1 − 2x)) b) y = x ln(1 − 3 x ) , tính y(n) ( ( n − 2)! 3n −1 ( ( 1 − 3 x )n 3x − n ) )  x = 3t + 2t 3  c) y = f ( x ),  , tính f ′ ( x ) , f ′′ ( x ) 2  y = tet   x = t + et  d) y = f ( x ),  , tính f ′ ( x ) , f ′′ ( x ) 2t  y = 2t − e  2 + et et (f ′ = , f ′′ = ) 3 9 ( 1 + 2t 2 ) e) f(x) = x2 sin(1 − x). Tính f(50)(1) (−100) f) f(x) = (1 − x2) cos x. Tính f(51)(0) (102) b) Vi phân c p cao nh nghĩa. dnf = d(dn − 1f) khi x là bi n s c l p ta có dnf = f(n)(x)dxn. 17 2 ( f ′ = 2(1 − et ) , f ′′ = 2 −2et ) 1 + et TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS. TS. Nguy n Xuân Th o 3 x [email protected] 10 Ví d 7. y = x e , tính d y Vi phân c p cao không có tính b t bi n Ví d 8. y = x3, x = t2, có d2y ≠ y(2)dx2 a) y = (x + 1)2 ln(2x + 3), tính d11y(−1), 2 ( 8 ! C11210 dx11) b) y = (1 − x 2 ) ln(2 x − 1) , tính d10y(1). Ví d 9. 2 ( −7 ! C10 .29 dx10 ) a) f ( x ) = e x sin x , tính d22f(0) (−211dx22) b) f ( x ) = e x cos x , tính d20f(0) Ví d 10. (−210dx20) x c) CMR: V i m i s t nhiên l n, phương trình x = ∫ ( arctan t ) n dt 0 có không quá 2 nghi m th c phân bi t x d) CMR: V i m i s t nhiên l n, phương trình x = ∫ ( arccot t ) n dt 0 có không quá 2 nghi m th c phân bi t. § 10. CÁC • tv n 1. Các NG D NG . nh lí v hàm kh vi nh lí Fermat. f(x) xác f'(c) = 0. Ví d 1. NH LÍ V HÀM KH VI VÀ nh trên (a ; b), f(x) t c c tr t i c ∈ (a ; b), ∃ f'(c) thì a) y = x2, x ∈ (−1 ; 2) b) y = |x|, x ∈ (−1 ; 1). nh lí Rolle. f(x) liên t c trên [a ; b], kh vi trên (a ; b), f(a) = f(b) ⇒ ∃ c ∈ (a ; b) sao cho f'(c) = 0 Ví d 2. f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3), x ∈ [−3 ; −1] Ví d 3. f ( x ) = 2 − 5 x 4 , x ∈ [−1 ; 1]  3  Ví d 4. f(x) = x2 + 2x, x ∈  − ; 1  2  Ví d 5. f(x) kh vi [0 ; 1], f'(0).f'(1) < 0. CMR ∃ c ∈ (0 ; 1): f'(c) = 0. Ví d 6. a) Cho a = b + c. CMR phương trình 4ax3 + 3bx2 + c = 0 có nghi m thu c kho ng (−1 ; 0). b) Cho a + b + c = 0. CMR phương trình ax3 + 2bx + 2c = 0 có nghi m thu c kho ng (0 ; 2). nh lí Lagrange. f(x) liên t c trên [a ; b], kh vi trên (a ; b) ⇒ ∃ c ∈ (a ; b): f (b) − f (a) = f ′ (c ) b−a 18 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS. TS. Nguy n Xuân Th o [email protected] Ví d 7. f(x) = x(x + 1), x ∈ [0 ; 2] Ví d 8. f(x) = |x|(x − 1), x ∈ [−1 ; 2] Ví d 9. CMR: |arctana − arctanb| ≤ |a − b| Ví d 10. a) Ch ng minh r ng các VCB α(x) ∼ β(x), x → +∞, α(x) = arctan2(x + 1) − arctan2x, β(x) = arccot ( 1 − x 2 ) . 1 + x2 b) Ch ng minh r ng các VCB α(x) ∼ β(x), x → +∞, α(x) = arccot2(1 − x) − arccot2(2 − x), β(x) = n c) Ch ng minh r ng 1 ∑n +k 4 arccot ( 1 − x 2 ) . 1 + x2 < ln 2 k =1 n d) Ch ng minh r ng 1 ∑ 2n − k > ln 2 k =1 e) Tìm a α ( x ) = tan 1 1 1 − tan là VCB cùng b c v i 4 3 + xa 1 + xa x α ( x ) = tan 1 1 1 là VCB cùng b c v i − tan 2 + xa 5 + xa x6 khi x → +∞. f) Tìm a khi x → +∞. nh lí Cauchy. f(x), g(x) liên t c trên [a ; b], kh vi trên (a ; b) ⇒ ∃ c ∈ (a ; b): (f(b) − f(a))g'(c) = (g(b) − g(a))f'(c). Ngoài ra, n u g'(x) ≠ 0, ∀ x ∈ (a ; b) thì có f (b) − f (a) f ′ (c ) = . g ( b ) − g ( a ) g′ ( c ) Ví d 11. f(x) = x2, g(x) = x3, x ∈ [1 ; 2] Ví d 12. f(x) = |x|(x + 1), g(x) = x, x ∈ [−2 ; 1] Ví d 13. a) CMR ∀ x > 0 có 3arctanx + arctan(x + 2) < 4arctan(x + 1). b) CMR ∀ x > 0 có 2arccotx + arccot(x + 2) > 3arccot(x + 1). HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 19 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí PGS. TS. Nguy n Xuân Th o ([email protected]) GI I TÍCH I BÀI 5 §10. CÁC NH LÍ V HÀM KH VI VÀ NG D NG (TI P THEO) tv n 1° “C u tr c th gi i hoàn h o nh t, ư c sáng t o b i ngư i thông minh nh t. Không có gì x y ra trên th gi i mà không có s tham gia c a lí thuy t c c i, c c ti u” – Euler 2° Tia sáng qua gương: Heron, c c ti u ư ng i, th k 1 trư c công nguyên sin α 3° Tia sáng qua nư c, Fermat 1657, = const , c c ti u th i gian cos β 2. Công th c khai tri n Taylor, Maclaurin nh lí. f(x) có f(k)(x) (k = 1, 2, ..., n) liên t c t i x0 và có f(n + 1)(x) trong Uε 0 ( x0 ) n ⇒ c f (x) = f ( k ) ( x0 ) f ( n +1) ( c ) k ( x − x0 ) + ( x − x0 )n +1 ( n + 1) ! k! k =0 ∑ gi a x0 và x0 + θ(x − x0), 0 ≤ θ ≤ 1. Khi x0 = 0 ta có công th c Maclaurin. Ví d 1. Vi t công th c Taylor f(x) = x4 t i x0 = 1. Ví d 2. Vi t công th c Maclaurin f(x) = xex n x2. Công th c Maclaurin c a m t s hàm x2 xn ec • ex = 1 + x + + + + x n +1, c gi a 0 và x; ( n + 1) ! 2! n! π  sin  c + ( 2n + 2 )  3 5 2n +1 x x x n  2  x 2n + 2 , • sin x = x − + − + ( −1) + ( 2n + 1) ! ( 2n + 2 ) ! 3! 5! c gi a 0 và x; π  cos  c + ( 2n + 1)  2 4 2n x x n x  2  x 2n +1 ; • cos x = 1 − + − + ( −1) + ( 2n ) ! ( 2n + 1) ! 2! 4! c gi a 0 và x; α ( α − 1) 2 α ( α − 1) ( α − 2) 3 α ( α − 1) ( α − n + 1) n α • ( 1+ x) = 1+ αx + x + x + + x + Rn ( x) , 2! 3! n! α ( α − 1) ( α − 2 ) ( α − n ) ( α − n −1 n + 1 ó Rn(x) = 1+ c) x , c gi a 0 và x; ( n + 1) ! x2 x3 x4 x n +1 n −1 x n n • ln ( 1 + x ) = x − + − + + ( −1) + ( −1) , 2 3 4 n ( n + 1) ( 1 + c )n +1 c gi a 0 và x. Ví d 3. Tính g n úng sin40° v i sai s δ < 0,0001. 20