Tài liệu Chuyên đề 7+8 hình khong gian

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU CHUYÊN ĐỀ 7 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Quan hệ song song và vuông góc trong không gian: Cho đường thẳng a song song mp(P) Mọi mặt phẳng qua a và cắt mp(P) theo giao tuyến d thì d song song a. (P) a / /( P)  d / /a  a  ( Q )  ( P )  d  a d (Q) Hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng song song với đường thẳng a. Nếu mp(P) và mp(Q) cắt nhau theo giao tuyến d thì d song song a. (P) a (Q) ( P ) / / a   d / /a (Q) / / a ( P)  (Q)  d  d Cho hai đương thẳng song song a và b. Mọi mặt phẳng qua a và mặt phẳng qua b nếu hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d thì d song song a và b. b a (Q) d a / / b a  (P)   d / / a / /b  b  (Q)  (Q)  ( P)  d (P) THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 168 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU Đường thẳng d vuông góc vơi mp(P) thì d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp(P). Nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vuông góc mp(P). d (P) a a  ( P)   d  ( P) b  ( P)  d  a, d  b  b Định lí ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a và mp(P), a’ là hình chiếu vuông góc của a lên mp(P). Một đường thẳng d bất kì thuộc mp(P) nếu d vuông góc a’ thì d vuông góc a và ngược lại. a (P) d d  a'  d  a a' Hai mặt phẳng gọi là vuông góc nhau khi và chỉ khi tồn tại một đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia. (Q) a (P) d THẦY TÀI : 0977.413.341 a  (Q) ( P)  (Q)   a  ( P) a  (Q)  ad a  ( P) (Q)  ( P)  d  Trang 169 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU Góc giữa hai đường thẳng là góc nhỏ hơn 90o d '/ / d  (d , a)  (d ', a)  O  d '  a  O  d ) a O d' Góc giữa đương thẳng và mặt phẳng là góc a o nhỏ hơn 90 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng. (P) ) a'  a , ( P )    a, a '  o Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhỏ hơn 90 Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm. (Q) a  ( P), (Q)    a, b  (P) ) b Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q) a (R) (Q) b ( R)  (Q)  a ( R) :   a / /b ( R )  ( P )  b  ( P) / /(Q)  ( R)  (Q)  ( R )  ( P )  ( R)  (Q)   P) / /(Q)  ( R )  ( P )  (P) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là: d  A, a   AH THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 170 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU A a H Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: A d  A, (P)   AH H (P) Khoảng cách giữa đường thẳng song song với mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng A a d  a, ( P)   d  A, ( P)   AH H (P) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia d  (Q), ( P)   d  A, ( P)   AH A (Q) H (P) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: TH1: Nếu a, d vuông góc - Xác định mp(P) chứa a và vuông góc d - Tìm giao điểm của d và mp(P), hạ AH THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 171 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM vuông góc a. d - Khi đó AH là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và d, còn gọi là đoạn vuông chung của a và d. A a TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU H (P) TH2: Nếu a, d không vuông góc Cách 1: - Xác định mp(P) chứa a và song song d - Tìm hình chiếu d’ của d lên mp(P), d’ cắt a tại A H - Từ A hạ AH vuông góc d khi đó AH chính là đoạn vuông chung của a và d d Cách 2: - Xác định được hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc nhau chứa a và d d' A a (P) - Giao tuyến b của 2 mp(P) và mp(Q) cắt a tại A, hạ AH vuông góc d - Khi đó AH là đoạn vuông chung (Q) H d b A (P) a Thể tích THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 172 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU Thể tích hình chóp có đáy là đa giác lồi bất kì: S 1 Vchop  .h.S 3 Với: - h là khoảng cách từ đỉnh hình chóp đến mặt phẳng đáy h - S là diện tích đa giác đáy O Thể tích lăng trụ, hình hộp: V  h.S Với: - H là khoảng cách giữa hai đáy h - S là diện tích đáy Đặc biệt : - Lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương thì h chính là độ dài cạnh bên - Đối vơi hình lập phương cạnh a thì V  a3 h THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 173 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU Phương pháp tỉ số thể tích Cho hình chóp S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lấy các điểm A’, B’, C’ khi đó: S VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '  . . VS . ABC SA SB SC C' A' B' A C B Gọi S là diện tích của đa giác H và S’ là diện tích hình chiếu H’ của H trên mặt phẳng (P) thì: S S '  S.cos  Trong đó  là góc giữa mặt phẳng chứa H là mặt phẳng (P) S' (P) Các tính chất và định lý về hình học phẳng thƣờng đƣợc sử dụng: Tam giác: Tính chất trọng tâm: Nếu G là trọng tâm tam giác thì G chia các trung tuyến theo tỉ lệ 1:2 2 1 AG  2GM , AG  AM , GM  AM 3 3 2 1 BG  2GN , BG  AN , GN  AN 3 3 2 1 CG  2GP, CG  AP, GP  AP 3 3 A N P G B M C Tính chất đƣờng trung bình: Định lí: M là trung điểm cạnh AB, N là trung điểm cạnh AC thì MN song song và bằng một nữa cạnh BC 1 MN / / BC , MN  BC 2 THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 174 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU Định lí: M là trung điểm AB, N trên cạnh AC nếu MN song song AB thì N là trung điểm cạnh AC A N M B C Tam giác đều cạnh a - O là tâm của tam giác ABC : là trọng tâm, A trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp - Chiều cao của tam giác đều: h  a a 3 2 O a2 3 - Diện tích : S  4 C B Tam giác vuông - Định lý Pytago: a2  b2  c2 - Diện tích: S  h.a  b.c A - Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm BC. c - Định lý về cạnh và đường cao trong tam giác vuông: AB 2  BH .BC , AC 2  CH .BC 1 1 1 AH 2  BH .CH ,   AH 2 AB 2 AC 2 - Góc lượng giác: AC , cos B  BC AC tan B  , cot B  AB sin B  THẦY TÀI : 0977.413.341 b h ) B H a O C AB BC AB AC Trang 175 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU Tam giác cân: AB  AC , B  C - Đường trung tuyến từ đỉnh cân đồng thời là đường cao và là đường phân giác. A - Tâm đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp nằm trên AM. G ) ( B C M Tứ giác: Hình thang: - a / /b - Diện tích S  a a ab .h 2 Hình thang cân: - Có hai cạnh bên bằng nhau h h b b a - Có hai cặp góc tương ứng bằng nhau h - Có hai đường chéo bằng nhau b Hình thang vuông: - Cạnh bên vuông góc hai đáy Hình bình hành - Có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau - Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường b h O a - Diện tích S  h.a Hình thoi - Có các cạnh bằng nhau - Có 2 đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường h c O d - Diện tích S  h.a  c.d THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 176 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU Hình vuông cạnh a - Diện tích S  a 2 - Hai đường chéo vuông góc, bằng nhau a O - O là tâm hình vuông Hình chữ nhật - Diện tích S  ab b - Hai đường chéo bằng nhau - O là tâm hình chữ nhật a O Định lý Talet - Trong tam giác:  AM AN MN  AB  AC  BC  AM AN MN / / BC     MB NC   MB  NC  AB AC - Trong mặt phẳng: A d B C a  AB A ' B '  AC  A ' C '  AB A ' B ' a / /b / / c     BC B ' C '   BC  B ' C '  AC A ' C ' - Trong không gian: N M A A' b B B' c C C' Tương tự như trong mặt phẳng. Cho 2 đường thẳng bất kì các mặt phẳng song song chắn hai đường thẳng theo các đoạn thẳng tỉ lệ. Các bài toán về thể tích và góc: THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 177 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy Phƣơng pháp chung: - Xác định hình chiếu H của S lên mặt phẳng đáy S - Khi đó góc giữa cạnh bên bất kì là góc giữa cạnh đó và hình chiếu của nó Ví dụ: SB với mặt phẳng đáy chính là góc SBH ( A B H C D Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy Phƣơng pháp chung : - Xác định hình chiếu H của S lên mặt phẳng đáy S - Xác định giao tuyến của mặt bên và mặt phẳng đáy - Kẻ SM vuông góc giao tuyến suy ra HM cũng vuông góc giao tuyến A B - Khi đó góc giữa mặt bên và mặt đáy H chính là góc SMH ( M C D - Nếu SA vuông góc đáy thì A là hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy - Nếu hình chóp đều hoặc có cách cặp cạnh bên bằng nhau thì tâm O của đáy chính là hình chiếu của S - Sử dụng góc lượng giác trong tam giác vuông để tính đường cao. Các bài toán về thể tích: Dạng toán cơ bản để lấy 0,5 điểm trong đề thi THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 178 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU Các em cần xác định đƣợc góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy : Bƣớc 1 : Xác định hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng đáy Bƣớc 2 : Góc giữa cạnh bên và đáy : ta nối hình chiếu và giao điểm cạnh bên và đáy Góc giữa mặt bên và đáy : từ hình chiếu hạ vuông góc với giao tuyến của mặt bên và mặt phẳng đáy. Sử dụng các công thức về cạnh và góc để tính độ dài cạnh và diện tích. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SA vuông góc đáy các cạnh AB=a, BC=2a. Tính thể tích khối chóp trong các trường hợp sau : a) SB tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60o b) Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45o Giải : a) Ta có : SA vuông góc đáy nên A là hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy S Nên góc giữa SB và mp(ABC) là góc giữa SB và o AB :  SBA  60 A C ( B Ta có : SA  AB.tan SBA  a.tan 60o  a 3 Và AC 2  BC 2  AB 2  3a 2  AC  a 3 Diện tích tam giác ABC : 1 1 a2 3 S ABC  AB. AC  a.a 3  2 2 2 Vậy thể tích khối chóp S.ABC: 1 1 a 2 3 a3 VS . ABC  .SA.S ABC  .a 3.  (dvtt) 3 3 2 2 b) Hạ AH vuông góc BC ta suy ra SH vuông góc BC ( Định lý 3 đường vuông góc) S A C ( H Khi đó góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) là góc giữa o hai đường thẳng SH và AH:  SHA  45 Áp dụng định lý về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC : AB. AC a.a 3 a 3 AH .BC  AB. AC  AH    BC 2a 2 a 3 o Suy ra SA  AH .tan 45  2 Vậy thể tích khối chóp S.ABC: B THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 179 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU 1 1 a 3 a 2 3 a3 VS . ABC  .SA.S ABC  . .  (dvtt) 3 3 2 2 4 Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có O là giao điểm AC và BD, SO=2a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD trong các trường hợp sau: a) Các cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 45o b) Các mặt bên tạo với mặt đáy một góc 45o Giải: a) Ta có S.ABCD là hình chóp đều nên: S ) A ( SA=SB=SC=SD suy ra SO vuông góc đáy Suy ra O là hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy Các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc 45o Ta có: SAO  SBO  SCO  SDO  45o Suy ra: AO  SO.tan 45o  2a  AC  2 AO  4a B Do ABCD là hình vuông: AB    S ABCD  AB 2  2 2a O ( ) C D 1 16a3  .SO.S ABCD  (dvtt) 3 3  S ABCD  AB2  16a 2 ) Vậy thể tích VS . ABCD O D  8a 2 Suy ra SM vuông góc AD (Đ.lý 3 đường v.góc) Suy ra góc giữa mặt bên (SAD) và mặt đáy là góc o giữa SM và MO  SMO  45 Suy ra : MO  SO.tan 45o  2a  AB  2MO  4a B M 2 b) Từ O kẻ OM vuông góc AD suy ra M là trung điểm AD. S A Vậy thể tích VS . ABCD  AC 4a   2 2a 2 2 1 32a3  .SO.S ABCD  (dvtt) 3 3 C Ví dụ 3: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60o . Tính theo a thể tích lăng trụ. Giải: THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 180 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM B' A' C' A B ( M TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU Ta có ABC.A’B’C’ là lăng trụ đều nên AA’ vuông góc mặt phẳng (ABC) suy ra A là hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) Từ A hạ AM vuông góc BC suy ra M là trung điểm BC ( Do ABC là tam giác đều) Suy ra góc giữa mp(A’BC) và mp(ABC) là góc giữa A’M và AM  AMA '  60o a2 3 a 3 Ta có AM  và S ABC  4 2 a 3 3a o . 3 Suy ra AA '  AM .tan 60  2 2 Vậy thể tích lăng trụ: VABC . A ' B 'C '  AA '.S ABC C 3a a 2 3 3 3a3  .  2 4 8 Ví dụ 4 : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, ABC  30o và AB=2a. Hình chiếu của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) là điểm H trung điểm của cạnh AB. Biết A’B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60o . Tính theo a thể tích lăng trụ. Giải : B' Ta có H là hình chiếu của A’ lên mặt phẳng A' (ABC) nên suy ra A’H vuông góc mp(ABC) Suy ra góc giữa A’C và mp(ABC) là góc giữa A’C và HC  A ' CH  60o Tam giác ABC vuông tại C nên ta có : 1 AC  AB.sin 30o  2a.  a C' 2 A H B BC  AB.cos 30o  2a. 3 a 3 2 AB a 2 o Suy ra : A ' H  HC.tan 60  a 3 1 1 a2 3 Và S ABC  . AC.BC  .a.a 3  2 2 2 Vậy thể tích lăng trụ : a 2 3 3a3 VABC . A ' B 'C '  A ' H .S ABC  a 3  (dvtt) 2 2 HC  ( C Bài tập : THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 181 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có AB=BC=a, SA vuông góc đáy. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau: a. SB bằng 2a b. SC tạo với đáy một góc 45o c. Mp(SBC) tạo với đáy một góc 45o 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có AB=AC=a, SA vuông góc đáy. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau: a. SB tạo với đáy một góc 45o , khi đó SBC là tam giác gì ? b. Mp(SBC) tạo với đáy một góc 60o 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc đáy. Tính thể tích hình chóp trong các thường hợp sau: a. SB tạo với đáy một góc 60o b. Mp(SBC) tạo với đáy một góc 60o 4. Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài các cạnh đáy bằng a. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau: a. Cạnh bên có độ dài bằng a 3 b. Các cạnh bên tạo với đáy một góc 60o c. Các mặt bên tạo với mặt đáy một góc 60o 5. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh 2a, đỉnh S cách đều 3 điểm A, B, C. Gọi O là tâm của tam giác ABC, chứng minh rằng SO vuông góc đáy. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau: a. SA tạo với đáy một góc 30o b. Mp(SAB) tạo với đáy một góc 60o 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  a, ABC  60o , SA vuông góc đáy. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau: a. SB tạo với đáy một góc 60o b. Mp(SBC) tạo với đáy một góc 60o 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  a, BAC  60o , hình chiếu của đỉnh S trên mp(ABC) là trung điểm của AC. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau: a. Cạnh SA có độ dài bằng 2a THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 182 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU b. Cạnh SB tạo với đáy một góc 60o c. Mp(SAB) tạo với đáy một góc 60o d. Mp(SBC) tạo với đáy một góc 45o 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại đỉnh A, SA=SB=SC. Có AB  a,AC  2a , tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau : a. Tam giác SAB là tam giác đều b. Cạnh SA tạo với đáy một góc 60o c. Mp(SBC) tạo với đáy một góc 30o 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mp(SAB) vuông góc đáy và SAB là tam giác cân tại S. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau : a. SC tạo với đáy một góc 60o b. Mp(SAC) tạo với đáy một góc 45o 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, M là trung điểm BC. Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy là trung điểm AM, mp(SBC) tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích hình chóp. 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A AB=AC=a, tam giác SBC đều và tạo vơi mặt phẳng đáy một góc 60o . Tính thể tích hình chóp. 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm H nằm trên AB sao cho AH  2BH và SH vuông góc đáy. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau : a. Tam giác SAC cân tại C b. SAC tạo với đáy một góc 60o 13. Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o , SBC là tam giác vuông cân tại S và SB=SC=a. Tính thể tích hình chóp. 14. Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc  , SAB là tam giác đều cạnh a và ABC là tam giác cân tại C. Tính thể tích hình chóp theo a và  . 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau: a. SC tạo với đáy một góc 60o b. Mp(SBC) tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o c. Mp(SCD) tạo với đáy một góc 60o THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 183 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU 16. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có cạnh AB  a, AC  a 3 . SA vuông góc đáy tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau: a. SC tạo với đáy một góc 30o b. Mp(SCD) tạo với đáy một góc 45o 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, đỉnh S cách đều các đỉnh A, B, C, D. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau: a. Mặt bên tạo với đáy một góc 45o b. Góc giữa mp(SAB) và mp(SCD) là 30o 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC  120o có SA=SC, SB=SD. Mp(SAB) tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích hình chóp. 19. Cho hình chóp S.ACBD có đáy là hình chữ nhật AB=2AC=2a, SA=SB=SC=SD. Mp(SAB) vuông góc mp(SAC). Tính thể tích hình chóp. 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi có BAC  30o , SAB là tam giác đều cạnh a. Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau : a. SD tạo với đáy một góc 60o b. Mp(SAD) tạo với đáy một góc 60o 21. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC  30o cạnh bên AA’=a. Mp(ABC’) tạo với đáy một góc 60o . Tính diện tích toàn phần và thể tích lăng trụ. 22. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân tại A, AA’=AB=AC=a. Mp(A’BC) tạo với đáy một góc 60o . Tính thể tích lăng trụ. 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính thể tích : a. Hình chóp A’.ABCD b. Khối đa diện A’B’C’.ABCD 24. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, A’ cách đều 3 đỉnh tam giác ABC. Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp : a. Cạnh bên tạo với đáy một góc 60o b. Mp(ABB’A’) tạo với đáy một góc 60o 25. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=2BC. Hình chiếu của A’ lên mp(ABC) là trung điểm cạnh AC và AA’=2a. Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau : THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 184 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU a. Mp(A’BC) tạo với đáy một góc 45o b. Mp(ABB’A’) tạo với đáy một góc 45o 26. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, các cạnh bên hợp với đáy một góc 60o . Hình chiếu của đỉnh A’ lên mp(ABCD) nằm trên cạnh AC, AA’=2a. Tính thể tích hình hộp trong các trường hợp sau : a. Cạnh AC=2a và mp(ABB’A’) tạo với đáy một góc 60o b. Cạnh AC=a và AB=2AC 27. Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, mp(A’BC) tạo với mp(ABC) một góc 60o . Tính thể tích hình chóp A’.B’C’CB. 28. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, A’A=A’B  a, A’D  a 2 , mp(A’BD) vuông góc đáy. Tính thể tích hình hộp. Ứng dụng thể tích vào tìm khoảng cách: Ta chỉ quan tâm đến khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. 3Vchop 1 V  . d , S  d  chop day Dùng công thứ:c  dinh ,day  3  dinh ,day  Sday Trong bài toán ta đã tính đƣợc thể tích khối chóp nên để tính khoảng cách từ điểm đên mặt phẳng ta chỉ cần tính đƣợc diện tích của mặt phẳng đáy tƣơng ứng. Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc đáy và SA=a. Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45o . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). Giải: Ta có SA vuông góc đáy nên A là hình chiếu của S S lên mặt phẳng (ABC) Kẻ AM vuông góc BC suy ra M là trung điểm BC Và góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) là góc giữa SM và AM  SMA  45o SA a Suy ra AM  tan 45o Tam giác ABC vuông cân tại A nên : BC 2a A BC  2 AM  2a  AB   a 2 B 2 2 ( 1 S  AM .BC  a 2 Suy ra ABC M 2 1 1 2 a3 Vậy thể tích: VS . ABC  .SA.S ABC  a.a  (dvtt) C 3 3 3 Khoảng cách: Ta có: THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 185 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU 3V 1 VS . ABC  .d A, SBC  .SSBC  d A, SBC   S . ABC 3 S SBC 1 1 2 Mà: SSBC  .SM .BC  .a 2.2a  a 2 2 2 Do: SM 2  SA2  AM 2  2a 2  SM  a 2 Vậy khoảng cách từ A đến mp(SBC) a3 3. 3V a 2 d A, SBC   S . ABC  2 3  S SBC 2 a 2 Bài tập: Bài toán liên quan khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: 1. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA=SB=SC=a. Tính thể tích hình chóp và khoảng cách từ S đến mp(ABC) 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD  3a hình chiếu vuông 2 góc của S lên mp(ABCD) là trung điểm cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm A đến mp(SBD). 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC  30o , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). 4. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh AB, góc giữa A’C và mặt đáy bằng 60o . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mp(ACC’A’). 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). 6. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , AD  a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 60o . Tính thể tích khối lăng trụ đã chó và khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a. 7. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên AA’  a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C. 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, BAD  120o , M là trung điểm cạnh BC và SMA  45o . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC). THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 186 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU 9. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AD vuông cân, A’C  a . Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a. 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a ; mặt phẳng (SBC) vuông góc mặt phẳng (ABC). Biết SB  2a 3 và SBC  30o . Tính thể tích khối chớp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. 11. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện I.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC). 12. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AC=a, ACB  60o . Đường thẳng B’C tạo với mặt phẳng (ACC’A’) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ theo a và khoảng cách giữa điểm C’ và mặt phẳng (AB’C). Các bài toán liên quan đến tỉ số thể tích : 13. Cho tình chóp S.ABC có AB, AC, SA đôi một vuông góc. M, N lần lượt là trung điểm SB và SC. Tính: a. Thể tích hình chóp S.AMN biết AB=AC=SA=a b. Mp(AMN) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. 14. Cho hình chóp S.ABC có điểm M là trung điểm SA. Mặt phẳng qua M và song song mp(ABC) cắt SB tại N, SC tại P. Tính: a. Tỉ số thể tích giữa S.MNP và S.ABC b. Tỉ số thể tích giữa S.MNP và S.AMN 15. Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SC tại C’, cắt SB tại B’ chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa 2 phần đó. 16. Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (P) qua SG và song song với AB chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. 17. Cho tứ diện đều ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD, M là điểm trên cạnh SA sao cho SN=3NA. Mp(NGB) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích của hai phần đó. 18. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, có SA=SB=SC và đôi một vuông góc. a. Mặt phẳng qua trung điểm M của BC và vuông góc AC chia hình chóp thành hai phần. Tính thể tích hai phần đó. THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 187