Tài liệu Chuyên đề khảo sát hàm số tài liệu lý thuyết và bài tập ôn thi năm 2015

Mô tả:

cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. Liên hệ bộ môn: [email protected] 1 Cung cấp bởicbook.vn Thư viện tài liệu trực tuyến cbook.vn Tµi liÖu lý thuyÕt + bµi tËp c¬ b¶n Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên) CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. Liên hệ bộ môn: [email protected] 2 Cung cấp bởicbook.vn MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ..................................................................................................................................... 4 KIẾN THỨC CƠ BẢN, LÝ THUYẾT CHUNG .............................................................................. 5 VẤN ĐỀ 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ........................... 5 VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC ....................... 9 VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ...................... 14 Dạng 1: Phương pháp giải bài toán: ......................................................................................... 14 Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f(x) trên tập số D. ................................................................ 14 Dạng 2: Phương pháp đổi biến số để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) (x thuộc tập xác định của hàm số hoặc thuộc một tập số cho trước) .................................................................... 14 Dạng 3: Tìm GTLN, NN của biểu thức M đối xứng với 2 biến x, y biết giả thiết cho x, y thỏa mãn một đẳng thức nào đó cũng đối xứng với x và y. ................................................................. 17 Dạng 4: Tìm GTLN, NN của biểu thức M có 2 tính chất sau: .................................................... 19 Dạng 5: Trường hợp biểu thức ban đầu không có dấu hiệu đổi biến, khi đó quy về việc tìm GTNN, GTLN bằng cách đổi biến số đối với một biểu thức trung gian. .................................... 20 VẤN ĐỀ 4: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ......................................................................................... 22 Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ..................................................................................... 22 Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ............................................................. 24 VẤN ĐỀ 5: SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ................................................ 31 DẠNG 1: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ ............................... 31 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ........................................................................................................... 31 B. MỘT SỐ VÍ DỤ ......................................................................................................................... 31 DẠNG 2: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ .............................................. 33 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. ........................................................................................................ 33 B. MỘT SỐ VÍ DỤ. ....................................................................................................................... 35 DẠNG 3: ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ĐỂ XÉT PHƯƠNG TRÌNH ......... 38 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. ........................................................................................................ 38 B. MỘT SỐ VÍ DỤ. ....................................................................................................................... 38 VẤN ĐỀ 6: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC............................................................................. 44 Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm .................................................... 44 A. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................................................... 44 B. Các ví dụ .................................................................................................................................... 45 Dạng 2: Điều kiện tồn tại tiếp tuyến............................................................................................ 46 A. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................................................... 46 B. Các ví dụ .................................................................................................................................... 46 Dạng 3: Hệ số góc của tiếp tuyến................................................................................................ 49 A. Giới thiệu ................................................................................................................................... 49 y f x f x x  ' 0  0   Ta biết rằng là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ . Trong bài học này, chúng ta quan tâm nhiều hơn đến hệ số góc của tiếp tuyến. ............................ 49 B. Các ví dụ .................................................................................................................................... 49 Dạng 4: Một số tính chất hình học của tiếp tuyến....................................................................... 51 A. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................................................... 51 B. Một số ví dụ ............................................................................................................................... 51 Dạng 5: Điều kiện tiếp xúc.......................................................................................................... 55 A. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................................................... 55 B. Một số ví dụ ............................................................................................................................... 55 VẤN ĐỀ 7: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG ............................... 58 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. Liên hệ bộ môn: [email protected] 3 Cung cấp bởicbook.vn VẤN ĐỀ 8: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH................................................................. 62 DẠNG ĐỐI VỚI HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ....................................................................... 62 VẤN ĐỀ 9: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG ................................................................................. 84 DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG....................................... 84 DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐỒ THỊ (C) CÓ TÂM ĐỐI XỨNG ................................................ 85 C x y0 0; ) m ) DẠNG 3: Tìm tham số m để ( : y=f(x;m) nhận điểm I( là tâm đối xứng . ................ 87 DẠNG 4: TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ ............................................. 88 DẠNG 5: LẬP PHƯƠNG TRÌNH MỘT ĐƯỜNG CONG ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG QUA MỘT ĐIỂM- HOẶC QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG ........................................... 94 VẤN ĐỀ 11: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ................................................... 100 y f x y f x       Dạng 1: Từ đồ thị (C) của hàm số , suy ra cách vẽ đồ thị (G) của ...... 100 y f x y f x       Dạng 2: . Từ đồ thị (C) của hàm số , suy ra cách vẽ đồ thị (H) của .... 101 y f x y f x       Dạng 3. Từ đồ thị (C) của hàm số , suy ra cách vẽ đồ thị (K) của ...... 102   Dạng 4. Từ đồ thị (C) của hàm số   u x y v x    , suy ra cách vẽ đồ thị (L) của   u x y v x  ........ 102   Dạng 5. Từ đồ thị (C) của hàm số   u x y v x    , suy ra cách vẽ đồ thị (M) của   u x y v x  . ...... 103   Dạng 6. Từ đồ thị (C) của hàm số   u x y v x    , suy ra cách vẽ đồ thị (N) của   u x y v x  ........ 104   Dạng 7. Từ đồ thị (C) của hàm số   u x y v x    , suy ra cách vẽ đồ thị (Q) của   u x y v x  . ...... 106   Dạng 8. Từ đồ thị (C) của hàm số   u x y v x    , suy ra cách vẽ đồ thị (R) của   u x y v x  ...... 107 VẤN ĐỀ 12: DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH (ÁP DỤNG TRONG THI TỐT NGHIỆP)............ 119 B. 200 BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ CÓ ĐÁP ÁN ................................................................. 120 KẾT LUẬN ...................................................................................................................................... 230 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. Liên hệ bộ môn: [email protected] 4 Cung cấp bởicbook.vn LỜI NÓI ĐẦU Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần khảo sát hàm số và các bài toán liên quan” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông. Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học tương đương. Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn. Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh. Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng. Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với bộ tài liệu này. Các tác giả cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. Liên hệ bộ môn: [email protected] 5 Cung cấp bởicbook.vn KIẾN THỨC CƠ BẢN, LÝ THUYẾT CHUNG VẤN ĐỀ 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm. x0  (a; b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm nếu tồn tại giới hạn (Hữu hạn): 0 ( ) ( 0 ) lim 0 x x f x f x x x   thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0. Ký hiệu: 0 ( ) ( 0 ) ' lim 0 x x f x f x y x x    2. Các quy tắc tính đạo hàm. 2.1. Đạo hàm của các hàm số thường gặp : (u = u(x))  ( C )/ = 0 ( C là hằng số )  ( x )/ = 1  2  (xn)/ = nxn - 1 với (n ; n N)  / 2 1 1 x x         x  0 với   / 1  2 x x  với (x > 0)  (un)/ = nun – 1u/  / / 2 1 u u u          với u 0   / /  u 2 u u  = 2 x 1 với (x > 0) 2.2. Các qui tắc tính đạo hàm : u v u v  / / /  uv u v v u v ku. à ku / /  / / /    2 , '. '. v u v v u uv      2.3. Đạo hàm của hàm số hợp (g(x) = f[u(x)] g x f u u x/ / /       .  3. Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số y  f(x) * Định lý: Cho hàm số : có đạo hàm trên K LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC CÂU HỎI PHỤ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. Liên hệ bộ môn: [email protected] 6 Cung cấp bởicbook.vn x f f ' (  x ( ) x  K ) 0 a) Nếu với mọi thì hàm số đồng biến trên K. x f f '(  ( x) x  K ) 0 b) Nếu với mọi thì hàm số nghịch biến trên K. f f ' ' ( ( x x ) ) (Chú ý: dương trên khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó; âm trên khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.) * Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số: - Tìm tập xác định. x y 1 ; '  x2 ;......; f' (x x ) n - Tính đạo hàm tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. x1 ; x2 ;......; xn - Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên. - Áp dụng định lý đưa ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 4. Phương pháp tìm cực trị của hàm số. K y  (  x0  f h; x ( 0 x  h ) ) * Định lý. Giả sử hàm số : liên tục trên khoảng và có K h \  x0 0  đạo hàm trên K hoặc , với . ( ( f f x x ' ' 0 0 ( ( ;  x x x ) 0 ) h;    x h 0 0 0 ) ) a) Nếu trên khoảng và trên khoảng thì f x (x 0 ) là một điểm cực đại của hàm số . ( f f x ' ' 0 ( (  x x ) ) h;   x0 0 0 ) b) Nếu trên khoảng và trên khoảng (x f x 0 ; ( x0 x 0  ) h) thì là một điểm cực tiểu của hàm số . K  x (x0  h 0 ; x0  h) (Chú ý: Nếu gọi là một lân cận của điểm thì ta phát biểu định lý trên bằng lời như sau: f x x '( 0 0 x) a. Nếu đổi dấu từ dương sang âm trên lân cận của điểm thì là một f(x) điểm cực đại của hàm số . f x x '( 0 0 x) b. Nếu đổi dấu từ âm sang dương trên lân cận của điểm thì là một f(x) điểm cực tiểu của hàm số .) * Bảng biến thiên minh họa định lý a) x x0-h x0 x0+h f’(x) + - f(x) fCĐ b) x x0-h x0 x0+h f’(x) - + f(x) fCT * Phương pháp tìm cực đai, cực tiểu của hàm số - Tìm tập xác định. cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. Liên hệ bộ môn: [email protected] 7 Cung cấp bởicbook.vn x y 1 ; '  x2 ;......; f' (x x ) n - Tính đạo hàm tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. x1 ; x2 ;......; xn - Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên. - Áp dụng định lý đưa ra các điểm cực đại, cục tiểu của hàm số. 5. Phương pháp tìm đường tiệm cận. 5.1 Đường tiệm cận ngang. Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (a;),(; b), (;) ( là khoảng dạng: ) y  y0 Đường thẳng: được gọi là đường tiệm cận ngang của hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f(x) y0 x   ; lim f(x) y0 x   5.2 Đường tiệm cận đứng. Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (a;),(; b), (;) ( là khoảng dạng: ) x  x0 Đường thẳng: được gọi là đường tiệm cận đứng của hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:     lim ( ) 0 f x x x   ;   lim ( ) 0 f x x x     lim ( ) 0 f x x x   ;   lim ( ) 0 f x x x ; 6. Dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai.  6.1 Dấu của nhị thức bậc nhất: f(x) = ax + b (a 0)  - Tìm nghiệm của phương trình ax + b = 0 ba x   - Bảng xét dấu: f(x)  ax2  bx  c (a  0 6.2 D ) ấu của tam thức bậc hai: ax2  bx  c  0 (*) - Giải phương trình: (  0) + Nếu phương trình (*) vô nghiệm thì f(x) luôn cùng dấu a (  0) + Nếu phương trình (*) có nghiệm kép a b x x 1  2   2 thì f(x) luôn cùng ) 0 dấu a và 2 (  a b f . x   ba    f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. Liên hệ bộ môn: [email protected] 8 Cung cấp bởicbook.vn (  0) + Nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt giả sử hai nghiệm đó là x 1 1  ; x x 2 2 và thì ta có bảng xét dấu:   x  x x  2 1 f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a 7. Sơ đồ khảo sát hàm số. * Tìm tập xác định của hàm số. * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: x y 1 ; '  x2 ;......; f' (x x ) n +) Tính đạo hàm tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng y'  f' (x) 0 hoặc không xác định. Xét dấu đạo hàm +) Từ bảng xét dấu suy ra chiều biến thiên của hàm số y' - Tìm cực trị ( dựa vào bảng dấu của ) - Tính giới hạn ( Tính các giới hạn tại vô cực và tại các điểm không xác định của hàm số; tìm đường tiệm cận nếu có) - Lập bảng biến thiên của hàm số. * Đồ thị: - Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố đã xác định vẽ đồ thị hàm số - Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung - Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành - Tính thêm một số điểm đặc biệt - Chú ý đến tính chẵn, lẻ, tính đối xứng của đồ thị. Tính tuần hoàn của h