Tài liệu Cực trị hàm số

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Khái niệm cực trị hàm số : Giả sử hàm số f xác ñịnh trên tập hợp D D ⊂ ℝ và x 0 ∈ D ( ) ( ) a ) x 0 ñược gọi là một ñiểm cực ñại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a;b chứa ñiểm x 0 sao cho (a;b ) ⊂ D và f (x ) < f (x ) với mọi x ∈ (a;b ) \ {x } . Khi ñó f (x ) ñược gọi là giá trị cực ñại của 0 0 0 hàm số f . ( ) b ) x 0 ñược gọi là một ñiểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a;b chứa ñiểm x 0 sao cho (a;b ) ⊂ D và f (x ) > f (x ) với mọi x ∈ (a;b ) \ {x } . Khi ñó f (x ) ñược gọi là giá trị cực tiểu của 0 0 0 hàm số f . Giá trị cực ñại và giá trị cực tiểu ñược gọi chung là cực trị Nếu x 0 là một ñiểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f ñạt cực trị tại ñiểm x 0 . ( Như vậy : ñiểm cực trị phải là một ñiểm trong của tập hợp D D ⊂ ℝ ) 2. ðiều kiện cần ñể hàm số ñạt cực trị: ðịnh lý 1: Giả sử hàm số f ñạt cực trị tại ñiểm x 0 . Khi ñó , nếu f có ñạo hàm tại ñiểm x 0 thì f ' x 0 = 0 ( ) Chú ý : • ðạo hàm f ' có thể bằng 0 tại ñiểm x 0 nhưng hàm số f không ñạt cực trị tại ñiểm x 0 . • Hàm số có thể ñạt cực trị tại một ñiểm mà tại ñó hàm số không có ñạo hàm . • Hàm số chỉ có thể ñạt cực trị tại một ñiểm mà tại ñó ñạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại ñó hàm số không có ñạo hàm . 3. ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñạt cực trị: ðịnh lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng a;b chứa ñiểm x 0 và có ñạo hàm trên các khoảng ( ) (a; x ) và (x ;b ) . Khi ñó :  f ' ( x ) < 0, x ∈ (a; x ) a ) Nếu  thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm x  f ' ( x ) > 0, x ∈ ( x ;b ) 0 0 0 0 0 0 ( ) . Nói một cách khác , nếu f ' x ñổi 0 dấu từ âm sang dương khi x qua ñiểm x 0 thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm x 0 . x ( ) f (x ) f' x x0 a b − + () () f a f b ( ) f x0 ( ) ( ) ( ( ) )  f ' x > 0, x ∈ a; x 0 0 b ) Nếu  thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm x 0 . Nói một cách khác , nếu f ' x ñổi f ' x 0, x x ; b < ∈ 0 0  dấu từ dương sang âm khi x qua ñiểm x 0 thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm x 0 . ( ) -41- Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 x a x0 b ( ) f (x ) + f' x http://www.maths.vn − ( ) f x0 () () f a f b ( ) ( ) ðịnh lý 3: Giả sử hàm số f có ñạo hàm cấp một trên khoảng a;b chứa ñiểm x 0 , f ' x 0 = 0 và f có ñạo hàm cấp hai khác 0 tại ñiểm x 0 . ( ) Nếu f '' ( x ) > 0 thì hàm số f a ) Nếu f '' x 0 < 0 thì hàm số f ñạt cực ñại tại ñiểm x 0 . b) 0 ñạt cực tiểu tại ñiểm x 0 . 4. Quy tắc tìm cực trị: Quy tắc 1: Áp dụng ñịnh lý 2 ( ) • Tìm f ' x ( ) Xét dấu của f ' ( x ) . Nếu f ' ( x ) ñổi dấu khi x qua ñiểm x • Tìm các ñiểm x i i = 1, 2, 3... tại ñó ñạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có ñạo hàm. • 0 thì hàm số có cực trị tại ñiểm x 0 . Quy tắc 2: Áp dụng ñịnh lý 3 • Tìm f ' x ( ) ( ) ( ) Với mỗi x tính f '' ( x ) . Nếu f '' ( x ) < 0 thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm x . Nếu f '' ( x ) > 0 thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm x . • Tìm các nghiệm x i i = 1, 2, 3... của phương trình f ' x = 0 . • − − i i i i i i Ví dụ 1 : Tìm cực trị của các hàm số : 1 5 a ) f x = x 3 − x 2 − 3x + 3 3 b) f x = x x + 2 ( ) ( ) ( ( ) x (x − 3 ) f (x ) = x c) f x = ) d) Giải : 1 3 5 x − x 2 − 3x + 3 3 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . ( ) a) f x = ( ) Ta có f ' x = x 2 − 2x − 3 Cách 1. Bảng biến thiên x −∞ −1 f' x + 0 − ( ) 3 0 10 3 ( ) f x −∞ ( ) f ' x = 0 ⇔ x = −1, x = 3 +∞ + +∞ − 22 3 -42- Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 10 22 Vậy hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm x = −1, f −1 = , hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 3, f 3 = − 3 3 Cách 2 : f '' x = 2x − 2 ( ) () ( ) ( ) ( ) Vì f '' −1 = −4 < 0 nên hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm x = −1, f −1 = () () Vì f '' 3 = 4 > 0 hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 3, f 3 = − ( ) 10 . 3 22 . 3 x x + 2 khi x ≥ 0 b) f x = x x + 2 =  −x x + 2 khi x < 0 Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . 2x + 2 > 0 khi x > 0 Ta có f ' x =  f ' x = 0 ⇔ x = −1 −2x − 2 khi x < 0 Hàm số liên tục tại x = 0 , không có ñạo hàm tại x = 0 . Bảng biến thiên x −∞ −1 0 +∞ f' x + 0 − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f (x ) +∞ 1 −∞ 0 Vậy hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm x = −1, f −1 = 1 , hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 0, f 0 = 0 ( ) ( ) ( c) f x = x x −3 () ) ( )  x x − 3 khi x ≥ 0  Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . f x =  .  −x x − 3 khi x < 0 3 x − 1  khi x > 0  2 x Ta có f ' x =  f' x =0⇔x =1  3 − x + −x > 0 khi x < 0  2 −x  ( ) ( ( ) f (x ) ) ) ( ) x f' x ( ( ) −∞ 0 + − 1 0 + +∞ 0 −∞ +∞ −2 () () Hàm số ñạt ñiểm cực ñại tại ñiểm x = 0, f 0 = 0 , hàm số ñạt ñiểm cực tiểu tại ñiểm x = 1, f 1 = −2 ( ) d) f x = x -43- Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 x khi x ≥ 0 Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . f x =  . −x khi x < 0 1 khi x > 0 Ta có f ' x =  −1 khi x < 0 Bảng biến thiên x −∞ 0 +∞ f' x − + http://www.maths.vn ( ) ( ) ( ) f (x ) +∞ +∞ 0 Hàm số ñạt ñiểm cực ñại tại ñiểm x = 0, f 0 = 0 () Ví dụ 2 : Tìm cực trị của các hàm số sau : ( ) f ( x ) = 3 − 2 cos x − cos 2x ( ) f ( x ) = x − sin 2x + 2 a) f x = x 4 − x 2 c) f x = 2 sin 2x − 3 b) d) Giải : ( ) a) f x = x 4 − x 2 Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn  −2;2  4 − 2x 2 Ta có a ) f ' x = , x ∈ −2;2 4 − x2 ( ) ( ) ( ) f ' x = 0 ⇔ x = − 2, x = 2 ( ) f ' x ñổi dấu từ âm sang dương khi x qua ñiểm − 2 thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm x = − 2, ( ) f − 2 = −2 ( ) f ' x ñổi dấu từ dương sang âm khi x qua ñiểm f 2 thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm x = 2, ( 2) = 2 Hoặc dùng bảng biến thiên hàm số ñể kết luận: x ( ) f (x ) −2 − 2 − f' x 0 + 0 2 0 2 − 2 −2 0 ( ) b ) f x = 3 − 2 cos x − cos 2x Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . -44- Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 ( ) ( Ta có f ' x = 2 sin x + 2 s in2x = 2 sin x 1 + 2 cos x http://www.maths.vn ) sin x = 0 x = k π  f' x =0⇔ ,k ∈ ℤ . ⇔  cos x = − 1 = cos 2π x = ± 2π + k 2π   2 3 3 ( ) ( ) f '' x = 2 cos x + 4 cos 2x  2π   2π  2π 1 2π + k 2π  = 4 f ''  ± + k 2π  = 6 cos = −3 < 0 . Hàm số ñạt cực ñại tại x = ± + k 2π , f  ± 3 3 2  3   3  ( ) c) f ( x ) = 2 sin 2x − 3 ( ) ( f '' k π = 2 cos k π + 4 > 0, ∀k ∈ ℤ . Hàm số ñạt cực tiểu tại x = k π , f k π = 2 1 − cos k π ) Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . ( ) Ta có f ' x = 4 cos 2x ( ) f ' x = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = , π 4 +k π 2 ,k ∈ ℤ π π  −8 khi k = 2n π f ''  + k  = −8 sin  + k π  =  khi k = 2n + 1 2 4 2  8 π  π Vậy hàm số ñạt cực ñại tại các ñiểm x = + nπ ; f  + nπ  = −1 và ñạt cực ñại tại 4 4  π π π π x = + 2n + 1 ; f  + 2n + 1  = −5 4 2 4 2 ( ) f '' x = −8 sin 2x ( , ) ( ) ( ) d ) f x = x − sin 2x + 2 Tương tự trên hàm số ñạt cực ñại tại các ñiểm x = − π 6 + k π , k ∈ ℤ và ñạt cực tiểu tại các ñiểm π + kπ , k ∈ ℤ . 6 Ví dụ 3 : x = ( ) 1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , hàm số y = f x , m = có cực ñại và cực tiểu . ( ) ( ( ) x 3 − m m + 1 x + m3 + 1 x −m luôn ) 2 . Với giá trị nào của m ,hàm số y = f x , m = m + 2 x 3 + 3x 2 + mx + m có cực ñại , cực tiểu . mx 2 + x + m không có cực ñại , cực tiểu . x +m 4 . Xác ñịnh các giá trị của tham số k ñể ñồ thị của hàm số y = f x , k = kx 4 + k − 1 x 2 + 1 − 2k chỉ ( ) 3 . Với giá trị nào của m ,hàm số y = f x , m = ( ) ( ) có một ñiểm cực trị. ( ) 5 . Xác ñịnh m ñể ñồ thị của hàm số y = f x , m = y = ñại. Giải : -45- 1 4 3 x − mx 2 + có cực tiểu mà không có cực 2 2 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 { } g (x ) − 2mx + m − 1 = (x − m ) (x − m ) http://www.maths.vn Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ m . x2 Ta có y ' = 2 2 2 ( ) , x ≠ m , g x = x 2 − 2mx + m 2 − 1 ( ( ) ) ( ) Dấu của g x cũng là dấu của y ' và ∆ 'g = m 2 − m 2 − 1 = 1 > 0 , ∀m . Do ñó ∀m thì g x = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt x 1 = m − 1, x 2 = m + 1 thuộc tập xác ñịnh . x f' x ( ) f (x ) −∞ + m −1 0 − m − +∞ m +1 0 + +∞ +∞ −∞ −∞ y ' ñổi dấu từ dương sang âm khi x qua ñiểm x 1 = m − 1 thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm x 1 = m − 1 y ' ñổi dấu từ âm sang dương khi x qua ñiểm x 2 = m + 1 thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm x 2 = m + 1 2 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . ( ) Ta có y ' = 3 m + 2 x 2 + 6x + m Hàm số có cực ñại và cực tiểu khi phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt hay m + 2 ≠ 0 m ≠ −2 m ≠ −2 ⇔ ⇔ ⇔  2 −3 < m < 1 ∆ ' = 9 − 3m m + 2 > 0 3 −m − 2m + 3 > 0 Vậy giá trị m cần tìm là −3 < m < 1, m ≠ −2 . ( ( ) ) { } 3 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ −m và có ñạo hàm y ' = mx 2 + 2m 2x (x + m ) 2 Hàm số không có cực ñại , cực tiểu khi y ' = 0 không ñổi dấu qua nghiệm , khi ñó phương trình ( ) ( ) g x = mx 2 + 2m 2x = 0, x ≠ −m vô nghiệm hoặc có nghiệm kép • Xét m = 0 ⇒ y ' = 0, ∀x ≠ −m ⇒ m = 0 thoả . • Xét m ≠ 0 . Khi ñó ∆ ' = m 4 Vì ∆ ' = m 4 > 0, ∀m ≠ 0 ⇒ g x = 0 có hai nghiệm phân biệt nên không có giá trị tham số m ñể ( ) ( ) ( ) g x = mx 2 + 2m 2x = 0, x ≠ −m vô nghiệm hoặc có nghiệm kép Vậy m = 0 thoả mãn yêu cầu bài toán . 4 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có y ' = 4kx 3 − 2 k − 1 x ( ) x = 0 y' = 0 ⇔  2 2kx + k − 1 = 0 (*) -46- Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Hàm số chỉ có một cực trị khi phương trình y ' = 0 có một nghiệm duy nhất và y ' ñổi dấu khi x ñi qua nghiệm ñó .Khi ñó phương trình 2kx 2 + k − 1 = 0 (*) vô nghiệm hay có nghiệm kép x = 0 k = 0 k = 0 k ≤ 0  ⇔ k ≠ 0 ⇔ ⇔ k < 0∨k ≥1 k ≥1   ∆ ' = −2k k − 1 ≤ 0      Vậy k ≤ 0 ∨ k ≥ 1 là giá trị cần tìm . 5 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . x = 0 Ta có y ' = 2x 3 − 2mx y' = 0 ⇔  2 x = m * Hàm số có cực tiểu mà không có cực ñại khi phương trình y ' = 0 có một nghiệm duy nhất và y ' ñổi ( ) () dấu khi x ñi qua nghiệm ñó Khi ñó phương trình x 2 = m (*) vô nghiệm hay có nghiệm kép x = 0 ⇔m≤0 Vậy m ≤ 0 là giá trị cần tìm. Ví dụ 4 : x 2 + mx + 1 ñạt cực ñại tại x = 2. x +m 2. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số y = f x = x 3 + m + 3 x 2 + 1 − m ñạt cực ñại tại ( ) ( ) 1. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số y = f x = ( ) x = −1. 3. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số y = f x = x 3 − 6x 2 + 3 m + 2 x − m − 6 ñạt cực ñại và ( ) ( ) cực tiểu ñồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu. ( ) 4. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số y = f x = (P ) : y = x 2 x 2 + mx + 2 có ñiểm cực tiểu nằm trên Parabol x −1 +x −4 Giải : { } ( ) 1. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ −m và có ñạo hàm f ' x = x 2 + 2mx + m 2 − 1 (x + m ) m = −3 Nếu hàm số ñạt cực ñại tại x = 2 thì f ' 2 = 0 ⇔ m 2 + 4m + 3 = 0 ⇔  m = −1 x = 2 x 2 − 6x + 8 , ≠ 3 ' = 0 ⇔ x f x m = −3 , ta có f ' x =  2 x =4 x −3  () ( ) Bảng biến thiên : x −∞ 2 f' x + 0 ( ) f (x ) 1 ( ( ) ) 3 − − 4 0 +∞ + +∞ +∞ -47- 2 , x ≠ −m Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 −∞ −∞ 5 http://www.maths.vn Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số ñạt cực ñại tại x = 2 , do ñó m = −3 thoả mãn . Tương tự với m = −1 Cách 2 : x 2 + 2mx + m 2 − 1 , x ≠ −m Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ −m và có ñạo hàm f ' x = 2 x +m { } y '' = 2 ( x +m ) 3 ( ) ( ) , x ≠ −m Hàm số ñạt cực ñại tại x = 2 khi  1 =0 1 − m 2 + 4m + 3 = 0 2 y ' 2 = 0 m = −1 ∨ m = −3 2+m   ⇔ ⇔ m ≠ −2 ⇔ ⇔ m = −3  2 2 m < − '' 2 0 y <  m < −2   <0   2+m 3  Vậy m = −3 là giá trị cần tìm. () () ( ) ( ) 2. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ . ( ) ( ) ( Ta có f ' x = 3x + 2 m + 3 x = x 3x + 2m + 6 2 −∞ x ( ) f (x ) − + f' x 2m + 6 3 0 − + 0 Hàm số ñạt cực ñại tại x = −1 ⇔ − ( ( ) +∞ 0 3. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ . ) x = 0 ⇒f' x =0⇔ x = − 2m + 6  3 2m + 6 3 = −1 ⇔ m = − . 3 2 ) Ta có : y ' = 3x 2 − 12x + 3 m + 2 . ( ) Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = 36 − 9 m + 2 > 0 ⇔ 2−m > 0 ⇔ m < 2 1 1 y = x − 2 . 3x 2 − 12x + 3 m + 2  + 2 m − 2 x + m − 2 = x − 2 .y '+ 2 m − 2 x + m − 2   3 3 Gọi A x1; y1 , B x 2 ; y2 là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì x 1, x 2 là nghiệm của phương trình ( ( ( ) ) ) ( ( ) ( ) ) ( ) g x = 3x 2 − 12x + 3 m + 2 = 0 . Trong ñó : -48- ( ) ( ) Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  1 y1 = x 1 − 2 .y ' x 1 + 2 m − 2 x 1 + m − 2 ⇒ y1 = 2 m − 2 x 1 + m − 2 3  y ' x 1 = 0   1 y2 = x 1 − 2 .y ' x 2 + 2 m − 2 x 2 + m − 2 ⇒ y2 = 2 m − 2 x 2 + m − 2 3  y ' x 2 = 0  Theo ñịnh lý Vi-ét , ta có : x 1 + x 2 = 4, x 1x 2 = m + 2 Theo bài toán : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y1.y2 > 0 ⇔ 2 m − 2 x 1 + m − 2  2 m − 2 x 2 + m − 2  > 0 ⇔ m − 2    ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) (2x 2 1 http://www.maths.vn )( ) + 1 2x 2 + 1 > 0 ) ( ⇔ m − 2  4x 1x 2 + 2 x 1 + x 2 + 1 > 0 ⇔ m − 2  4x 1x 2 + 2 x 1 + x 2 + 1 > 0 ⇔ m − 2     ) ( 4m + 17 ) > 0 2  17 m > − ⇔ 4 m ≠ 2  17 < m < 2 là giá trị cần tìm . 4 4. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ 1 So với ñiều kiện bài toán , vậy − {} Ta có y ' = x 2 − 2x − m − 2 ( x −1 ) 2 ( ) ,x ≠ 1 g x = x 2 − 2x − m − 2 ( ) Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi phương trình g x = 0, x ≠ 1 có hai nghiệm phân biệt khác 1 ( ) ∆ ' = 1 − −m − 2 > 0 m + 3 > 0 ⇔ ⇔ m > −3  m ≠ −3 g 1 = −m − 3 ≠ 0   m+3 =m +2−2 m +3 x 1 = 1 − m + 3 ⇒ y1 = 1 − m + 3 + m + 1 + 3 − + m Khi ñó y ' = 0 ⇔  m+3  =m +2+2 m +3 x 2 = 1 + m + 3 ⇒ y2 = 1 + m + 3 + m + 1 + m+3  Bảng biến thiên : x −∞ x1 1 x2 +∞ () ( ) f (x ) + f' x 0 − − +∞ y1 −∞ + 0 −∞ +∞ y2 ) ( Dựa vào bàng biến thiên suy ra A 1 + m + 3; m + 2 + 2 m + 3 là ñiểm cực tiểu của hàm số . ( ) ( A∈ P ⇔ m +2 +2 m + 3 = 1+ m + 3 ) 2 +1+ m +3 −4 ⇔ m +3 =1 -49- Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 ( ( ) A∈ P ⇔ m +2 +2 m + 3 = 1+ m + 3 ) 2 http://www.maths.vn + 1 + m + 3 − 4 ⇔ m + 3 = 1 ⇔ m = −2 So với ñiều kiện bài toán ,vậy m = −2 là giá trị cần tìm. Ví dụ 5 : ( ) 1. Tìm các hệ số a, b, c, d sao cho hàm số f x = ax 3 + bx 2 + cx + d ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 0, () () 2. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số f ( x ) = x x = −2 và ñồ thị của hàm số ñi qua ñiểm A (1; 0 ) . f 0 = 0 và ñạt cực ñại tại ñiểm x = 1, f 1 = 1 ( ) 3. Tìm các hệ số a, b sao cho hàm số f x = 3 + ax 2 + bx + c ñạt cực trị bằng 0 tại ñiểm ax 2 + bx + ab ñạt cực trị tại ñiểm x = 0 và x = 4 . ax + b Giải : ( ) x = 0, f ( 0 ) = 0 và ñạt cực ñại tại ñiểm x = 1, f (1) = 1 1. Tìm các hệ số a, b, c, d sao cho hàm số f x = ax 3 + bx 2 + cx + d ñạt cực tiểu tại ñiểm Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có f ' x = 3ax 2 + 2bx + c , f '' x = 6ax + 2b ( ) ( ) () () () ()  f ' 0 = 0 c = 0 c = 0 Hàm số f x ñạt cực tiểu tại x = 0 khi và chỉ khi  1 ⇔ ⇔ 2 b 0 b 0 > > f '' 0 0 >     f ' 1 = 0 3a + 2b + c = 0 Hàm số f x ñạt cực ñại tại x = 1 khi và chỉ khi  ⇔ 2 6 a 2 b 0 + < f '' 1 0 <   ( ) ( ) () () Từ (1) , ( 2 ) , ( 3 ) suy ra a = −2, b = 3, c = 0, d = 0 Ta kiểm tra lại f ( x ) = −2x + 3x Ta có f ' ( x ) = −6x + 6x , f '' ( x ) = −12x + 6 f '' ( 0 ) = 6 > 0 . Hàm số ñạt cực tiểu tại x = 0 f '' (1) = −6 < 0 . Hàm số ñạt cực ñại tại x = 1 () () () f 0 = 0 ⇒ d = 0 , f 1 = 1 ⇒ a + b + c + d = 1 hay a + b + c = 1 do d = 0 3 3 2 2 Vậy : a = −2, b = 3, c = 0, d = 0 ( ) 2. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số f x = x 3 + ax 2 + bx + c ñạt cực trị bằng 0 tại ñiểm x = −2 ( ) và ñồ thị của hàm số ñi qua ñiểm A 1; 0 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có f ' x = 3x 2 + 2ax + b ( ) -50- Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn  f ' −2 = 0 4a − b = 12 ⇔ Hàm số ñạt cực trị bằng 0 tại ñiểm x = −2 khi và chỉ khi  1 4 a 2 b c 8 − + = f 2 0 − =    ( ) ( ) ( ) () () () ðồ thị của hàm số ñi qua ñiểm A 1; 0 khi và chỉ khi f 1 = 0 ⇔ a + b + c + 1 = 0 2 ()( ) Từ 1 , 2 suy ra a = 3, b = 0, c = −4 . 3. Hàm số ñã cho xác ñịnh khi ax + b ≠ 0 và có ñạo hàm y ' = a 2x 2 + 2abx + b 2 − a 2b (ax + b ) 2 • ðiều kiện cần : Hàm số ñạt cực trị tại ñiểm x = 0 và x = 4 khi và chỉ khi b 2 − a 2b = 0 b 2 − a 2b b = a 2 > 0 = 0   2 y ' 0 = 0 a = −2 ≠ 0 b  2  b  8 2 0 ⇔ 16a 2 + 8ab + b 2 − a 2b ⇔ 2 ⇔ + = ⇔ a a    2 2 b=4 =0 y ' 4 = 0  16a + 8ab + b − a b = 0 4a + a 2 ≠ 0  2   4a + b ≠ 0 4a + b   () () ( ( ) • ðiều kiện ñủ : a = −2 x 2 − 4x ⇒ y' =  2 b = 4 −x + 2 ( ) x = 0 y' = 0 ⇔  x = 4 ) Bảng biến thiên −∞ x f' x ( ) f (x ) + 0 0 2 − − 4 0 +∞ + +∞ Cð −∞ −∞ +∞ CT Từ bảng biến thiên :hàm số ñạt cực trị tại ñiểm x = 0 và x = 4 . Vậy a = −2, b = 4 là giá trị cần tìm. Ví dụ 6: ( ) 1. Cho hàm số y = f x = x 3 − 3x 2 + 2 (C ) . Hãy xác ñịnh tất cả các giá trị của a ñể ñiểm cực ñại ( ) và ñiểm cực tiểu của ñồ thị C ở về hai phía khác nhau của ñường tròn (phía trong và phía ngoài): (C ) : x a 2 + y 2 − 2ax − 4ay + 5a 2 − 1 = 0 ( ) 2. Cho hàm số y = f x = ( x ∈ 0;2m ) x 2 + m 2x + 2m 2 − 5m + 3 . Tìm m > 0 ñể hàm số ñạt cực tiểu tại x 3. y = f (x ) = x 3 − 3x 2 + m 2x + m. có cực ñại , cực tiểu và hai ñiểm ñó ñối xứng nhau qua -51- Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 1 5 ñường thẳng y = x − 2 2 x 2 − m + 1 x − m 2 + 4m − 2 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m thì hàm số y = f (x ) . có cực x −1 trị ñồng thời tích các giá trị cực ñại và cực tiểu ñạt giá trị nhỏ nhất. x 2 + m + 2 x + 3m + 2 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m thì hàm số y = f (x ) = có giá trị x +1 1 2 2 + yCT > . cực trị , ñồng thời y CÑ 2 Giải : x = 0 ⇒ y = 2 1. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ và có ñạo hàm y ' = 3x 2 − 6x y' = 0 ⇔  x = 2 ⇒ y = −2 ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ðồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị A 0;2 , B 2; −2 . Hai ñiểm A 0;2 , B 2; −2 ở về hai phía của hai ( ) ñường tròn C a khi ( )( ) 3 ⇔ PA/(C ) .PB /(C ) < 0 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 5a 2 + 4a + 7 < 0 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔ < a < 1 a a 5 ( ) ( ) ( Cách 2 : C a : x 2 + y 2 − 2ax − 4ay + 5a 2 − 1 = 0 ⇔ C a : x − a ) + (y − 2a ) 2 2 =1 (C ) có tâm I (a;2a ) và bán kính R = 1 a Ta có : IB = 2 (a − 2 ) + (2a + 2 ) 2 2  2 36 6 = 5a + 4a + 8 = 5  a +  + ≥ > 1 = R ⇒ ñiểm B 5 5 5  2 ( ) nằm ngoài C a , do ñó ñiểm A nằm trong ñường tròn (C ) ⇔ IA < 1 ⇔ a ( a 2 + 2 − 2a ) 2 < 1 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔ {} 3 0 1 m > 0 m > 0  m < 1  3 m > 3 1.g 2m > 0 2m 2 + 5m − 3 > 0  2      2  m < −3  1  m > 2   () ( ) -52- Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 1 3 Vậy giá trị m cần tìm là < m < 1 ∨ m > . 2 2 3. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ và có ñạo hàm y ' = 3x 2 − 6x + m 2 . http://www.maths.vn Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 m2 . 3 là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số và I là trung ñiểm của ñoạn AB . ⇔ ∆ ' = 9 − 3m 2 > 0 ⇔ − 3 < m < 3 .Vi-ét, ta có x 1 + x 2 = 2 ( ) ( Gọi A x1; y1 , B x 2 ; y2 ) ðường thẳng AB có hệ số góc 3 3 2 2 2 y 2 − y1 x 2 − x 1 − 3 x 2 − x 1 + m x 2 − x 1 kAB = = = x1 + x 2 x 2 − x1 x 2 − x1 ( ) ( ) ( ) 2 x 1.x 2 = , ( ) − x 1x 2 − 3 x 1 + x 2 + m 2 m2 2m 2 − 6 − 6 + m2 = 3 3 1 5 1 ðường thẳng y = x − ∆ có hệ số góc k = 2 2 2 kAB = 4 − ( ) AB ⊥ ∆ Hai ñiểm A x1; y1 , B x 2 ; y2 ñối xứng nhau qua ñường thẳng ∆ khi và chỉ khi  I ∈ ∆ 1  2m 2 − 6  • AB ⊥ ∆ ⇔ kAB .k = −1 ⇔ .   = −1 ⇔ m = 0 2  3  x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ A 0; 0 1 y' = 0 ⇔  1 • m = 0 ⇒ y ' = 3x 2 − 6x ⇒ I 1; −2 x y = 2 ⇒ = −4 ⇒ B 2; −4  2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) Dễ thấy I 1; −2 ∈ ∆ Vậy m = 0 thoả mãn yêu cầu bài toán . 4. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ 1 . {} g (x ) x − 2x + m − 3m + 3 g ( x ) = x − 2x + m − 3m + 3 = ,x ≠ 1 Ta có y ' = ( x − 1) ( x − 1) Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi phương trình g ( x ) = 0, x ≠ 1 có hai nghiệm phân biệt x , x 2 2 2 2 2 2 1 2 khác 1 . 2 ∆ ' > 0 −m + 3m − 2 > 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔1 0 2m + 1 > 0 −1 ⇔  ⇔ ⇔m >− g −1 ≠ 0 2  −2m − 1 ≠ 0  ( ) ( ) ( nghiệm của phương trình g ( x ) = 0, x ≠ −1 ) Gọi A x 1; y1 = 2x 1 + m + 2 , B x 2 ; y2 = 2x 2 + m + 2 là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì x 1, x 2 là Theo ñịnh lý Vi- ét x 1 + x 2 = −2, x 1 .x 2 = −2m Theo bài toán : ( ) + (2x + m + 2 ) = 4 (x + x ) + 4 (m + 2 )(x + x ) + 2 (m + 2 )  + 4 m + 2 x + x + 2 m + 2 = 4 4 + 4m − 8 m + 2 + 2 m + 2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )  2 2 y CÑ + yCT = y12 + y22 = 2x 1 + m + 2 y12 + y22 = 4  x 1 + x 2  ( ) 2 − 2x 1x 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 y12 + y22 = 2m 2 + 16m + 8 1 2  1   1 1  1  Do ñó hàm số f m ñồng biến trên khoảng m ∈  − ; +∞  và f m > f  −  = , m ∈  − ; +∞   2   2 2  2   1  1 2 2 + yCT > , m ∈  − ; +∞  Vậy y CÑ 2  2  Ví dụ 7: 1 1 1. Với giá trị nào của m thì ñồ thị của hàm số y = mx 3 − m − 1 x 2 + 3 m − 2 x + có cực ñại , 3 3 cực tiểu ñồng thời hoành ñộ cực ñại cực tiểu x 1, x 2 thỏa x 1 + 2x 2 = 1 ( ) Xét f m = 2m 2 + 16m + 8, m > − 1 2 ( ) f ' m = 4m + 16 > 0, ∀m > − ( ) ( ) ( 2. Với giá trị nào của m thì ñồ thị của hàm số y = ( ) ( ) ) mx 2 + m 2 + 1 x + 4m 3 + m tương ứng có một x +m ñiểm cực trị thuộc góc phần tư thứ II và một ñiểm cực trị thuộc góc phần tư thứ IV của mặt ( ) ( ) phẳng tọa ñộ . Giải : 1. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ . -54- 2 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 ( ) ( Ta có y ' = mx − 2 m − 1 x + 3 m − 2 2 http://www.maths.vn ) Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi y ' ñổi dấu hai lần qua nghiệm x , tức là phương trình ( ) ( ) mx 2 − 2 m − 1 x + 3 m − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0  ⇔ ⇔ 2 − 6 2  2 2+ 6 0 ∆ ' = m − 1 − 3m m − 2 > 0  2  2 Theo ñịnh lý Vi – ét và yêu cầu bài toán, ta có:   x = 3m − 4 2 1 + = x x gt  1 2  1 m   2 2 m −1  2−m  2 m = x x x m m m + = ⇔ = ⇔ − + = ≠ ⇔ 3 8 4 0 0 3  1  2 2  m m   m = 2  3 m −2   3m − 4   2 − m  3 m − 2  = x 1.x 2 =  m m   m   m  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( So với ñiều kiện bài toán , vậy m = 2 ∨ m = 2 là giá trị cần tìm . 3 { } 2. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ −m Ta có : y ' = mx 2 + 2m 2x − 3m 3 ( ) 4m 3 và y = mx + 1 + m≠0 x +m ( ) ) , x ≠ −m (x + m ) Gọi A ( x ; y ) , B ( x ; y ) là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì x , x ( x < x ) là nghiệm của phương trình g ( x ) = mx + 2m x − 3m = 0, x ≠ −m ðồ thị của hàm số có một ñiểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( II ) và một ñiểm cực trị thuộc góc phần tư thứ ( IV ) của mặt phẳng tọa ñộ khi • x < 0 < x (1 ) A thuoäc goùc phaàn tö thöù (II)  ⇔ ⇔ • y < 0 < y (2) B thuoäc goùc phaàn tö thöù (IV) • Heäsoá goùc cuûa tieäm caän xieân nhoû hôn 0 3  ()  (1) ⇔ m.g ( 0 ) < 0 ⇔ −3m < 0 ⇔ m ≠ 0 (a ) (2 ) ⇔ ðồ thị của hàm số không cắt trục Ox ⇔ mx + (m + 1) x + 4m + m = 0 (x ≠ −m ) vô 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 3 1 2 2 1 4 2 2 3 nghiệm  1 m ≠ 0 m < − m ≠ 0  ≠ m 0    5 ⇔ ⇔ ⇔ 2 1⇔ 2 4 2 2 3 1 m m − − + < 15 2 1 0   ∆ = m + 1 − 4m 4m + m < 0 m >  5 m > 5  ( ) ( ) ( 3 ) ⇔ m < 0 (c ) -55- (b ) Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 1 Từ a b c suy ra m < − là giá trị cần tìm. 5 Ví dụ 8: http://www.maths.vn ()()() ( ) ( ) ( ( ) ) Cho hàm số f x = x 3 + m − 1 x 2 − m + 2 x − 1 , có ñồ thị là C m , m là tham số. 1. Chứng minh rằng hàm số luôn có một cực ñại , một cực tiểu . ( ) 2. Khi m = 1 , ñồ thị hàm số là C () a ). Viết phương trình ñường thẳng d vuông góc với ñường thẳng y = ( ) ( ) x và tiếp xúc với ñồ thị C . 3 b ). Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị của C . Giải : Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ . 1. Ta có f ' x = 3x 2 + 2 m − 1 x − m + 2 . ( ) ( ) ( ) ( ) Vì ∆ ' = m 2 + m + 7 > 0, ∀m ∈ ℝ nên phương trình f ' x = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt . Do ñó ñồ thị của hàm số luôn có một cực ñại , một cực tiểu với mọi giá trị của tham số m . 2. m = 1 ⇒ C : f x = x 3 − 3x − 1 a ). ( ) ( ) Gọi M ( x ; y ) là toạ ñộ tiếp ñiểm của ñường thẳng (d ) và ñồ thị (C ) 0 0 () ⇒ y 0 = x 03 − 3x 0 − 1, y 0 ' = 3x 02 − 3 . ðường thẳng d vuông góc với ñường thẳng y = 1 y 0 '   = −1 ⇔ 3x 02 − 3 = −3 ⇔ x 02 = 0 ⇔ x 0 = 0, y 0 = −1 3 () ( ) ( x khi 3 ) Vậy ñường thẳng d : y = −3x − 1 và tiếp xúc với ñồ thị C tại ñiểm 0; −1 . ( ) ( ) ( ) b ). ðồ thị C có ñiểm cực ñại là A −1;1 , ñiểm cực tiểu là B 1; −3 . Do ñó ñường thẳng qua AB là : y = −2x − 1 . Ví dụ 9: ( ) ( ( ) ) 1. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số f x = x 3 − 2m + 1 x 2 + m 2 − 3m + 2 x + 4 có hai ñiểm cực ñại và cực tiểu nằm về hai phía trục tung . x 2 − m + 1 x + 3m + 2 2. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số f x = có hai ñiểm cực ñại và x −1 cực tiểu cùng dấu . 3. Cho hàm số y = f x = −x 3 + 3 m + 1 x 2 − 3m 2 + 7m − 1 x + m 2 − 1 .ðịnh m ñể hàm số ñạt ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) cực tiểu tại một ñiểm có hoành ñộ nhỏ hơn 1. x 2 + 2mx + 2 có ñiểm cực ñại, ñiểm cực tiểu và x +1 khoảng cách từ hai ñiểm ñó ñến ñường thẳng ∆ : x + y + 2 = 0 bằng nhau. Giải : ( ) 4. Tìm giá trị của m ñể ñồ thị hàm số f x = ( ) ( ) 1. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ và có ñạo hàm f ' x = 3x 2 − 2 2m + 1 x + m 2 − 3m + 2 -56- Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Hàm số có hai ñiểm cực ñại và cực tiểu nằm về hai phía trục tung khi và chỉ khi phương trình f ' x = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 thoả mãn x 1 < 0 < x 2 ⇔ 3.f ' 0 < 0 ( ) () ⇔ m 2 − 3m + 2 < 0 ⇔ 1 < m < 2 Vậy giá trị cần tìm là 1 < m < 2 . {} ( ) 2. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ 1 và có ñạo hàm f ' x = x 2 − 2x − 2m − 1 ( x −1 ) 2 ,x ≠ 1 ( ) Hàm số có cực ñại và cực tiểu khi f ' x = 0 có hai nghiệm phân biệt x ≠ 1 hay phương trình ( ) g x = x 2 − 2x − 2m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x ≠ 1 , khi ñó ∆ ' > 0 2m + 2 > 0 ⇔ ⇔ m > −1  −2m − 2 ≠ 0 g 1 ≠ 0  () ( ) ( Gọi A x 1 ; y1 , B x 2 ; y2 ) (1 ) ( ) là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì x 1, x 2 là nghiệm của g x = 0  2m + 2 = 1 − m − 2 2m + 2 x 1 = 1 − 2m + 2 ⇒ y1 = 1 − 2m + 2 − m + 2 2 − + m  Khi ñó: y ' = 0 ⇔ 2m + 2  = 1 − m + 2 2m + 2 x 2 = 1 + 2m + 2 ⇒ y2 = 1 + 2m + 2 − m + 2m + 2  Hai giá trị cực trị cùng dấu khi )( ( ) ( y1.y2 > 0 ⇔ 1 − m − 2 2m + 2 1 − m + 2 2m + 2 > 0 ⇔ 1 − m ⇔ m 2 − 10m − 7 > 0 ⇔ m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2 ) 2 ( ) − 4 2m + 2 > 0 (2 ) () () Từ 1 và 2 suy ra −1 < m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2 {} ( ) Cách khác : Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ 1 và có ñạo hàm f ' x = x 2 − 2x − 2m − 1 ( x − 1) 2 ,x ≠ 1 ( ) Hàm số có cực ñại và cực tiểu khi f ' x = 0 có hai nghiệm phân biệt x ≠ 1 hay phương trình ∆ ' > 0 2m + 2 > 0 g x = x 2 − 2x − 2m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔  ⇔ ⇔ m > −1 −2m − 2 ≠ 0 g 1 ≠0   Hai giá trị cực trị cùng dấu khi ñồ thị của hàm số y = 0 cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt x ≠ 1 hay ( ) () ( ) phương trình x 2 − m + 1 x + 3m + 2 = 0 (x ≠ 1) có hai nghiệm phân biệt x ≠ 1 . Tức là  m < 5 − 4 2 2 ∆ = m + 1 2 − 4 3m + 2 > 0   10 7 0 − − > m m    ⇔ ⇔ ⇔  m > 5 + 4 2 2m + 2 ≠ 0 1 − m + 1 + 3m + 2 ≠ 0    m ≠ −1 ( ( ) ) ( ) So với ñiều kiện , giá trị −1 < m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2 là giá trị cần tìm . -57- Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 ( ) ( http://www.maths.vn ( ) ) 3. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ và có ñạo hàm f ' x = −3x + 6 m + 1 x − 3m 2 + 7m − 1 .Hàm số 2 ( ) ( ( ) ) ñạt cực tiểu tại một ñiểm có hoành ñộ nhỏ hơn 1 ⇔ f ' x = −3x 2 + 6 m + 1 x − 3m 2 + 7m − 1 = 0 có hai nghiệm x 1, x 2 thoả mãn ñiều kiện : () ()  1 ⇔ −3.f ' 1 < 0 3 3m 2 + m − 4 < 0     9 m + 1 2 − 3 3m 2 + 7m − 1 > 0  x < 1 < x ∆ ' > 0 1  1 2  ⇔ ⇔     3 3m 2 + m − 4 ≥ 0 1 2 < ≤ x x 2 3. ' 1 0 ⇔ − ≥ f  1  2   S   m + 1 < 1  1 <   2   4  4 −  ⇔  ⇔  ⇔ 3 ⇔m <1 4  4  3m 2 + m − 4 ≥ 0  ≤ − ∨ ≥ m m 1  m≤−   3 3    m < 0 < m 0     x 2 + 2x + 2m − 2 4. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ −1 và có ñạo hàm f ' x = , x ≠ −1 2 x +1 () () () ( ( ) ( () ) ( { } ) ) ( ) ( ) ( ) Hàm số có cực ñại , cực tiểu khi f ' x ñổi dấu hai lần qua nghiệm x hay phương trình ( ) g x = x 2 + 2x + 2m − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác −1 ∆ ' > 0 3 3 − 2m > 0 ⇔ ⇔ ⇔m< g −1 ≠ 0 2 2m − 3 ≠ 0  ( ) A (x ; y ) ( ) nghiệm của phương trình g ( x ) = 0, x ≠ 1 . Theo ñịnh lý Vi ét x Gọi 1 1 = 2x 1 + 2m , B x 2 ; y2 = 2x 2 + 2m là các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số thì x 1, x 2 là 1 + x 2 = −2, x 1 .x 2 = −2m Theo yêu cầu bài toán ( ) ( ) d A, ∆ = d B, ∆ ⇔ ( ⇔ 3x 1 + 2m + 2 ( ) ( x 1 + y1 + 2 x 2 + y2 + 2 = 2 ) = ( 3x 2 2 + 2m + 2 ) 2 ) 2 ⇔ 3x 1 + 2m + 2 = 3x 2 + 2m + 2 ( ⇔ 3x 1 + 2m + 2 ( ) ) − ( 3x 2 ⇔ x 1 − x 2 3 x 1 + x 2 + 4m + 4  = 0 ⇔ 3 x 1 + x 2 + 4m + 4 = 0   So với ñiều kiện, vậy m = + 2m + 2 2 (x 1 ) ) 2 =0 ( ) ≠ x 2 ⇔ 3 −2 + 4m + 4 = 0 ⇔ m = 1 là giá trị cần tìm . 2 Ví dụ 10: 1. Chứng tỏ rằng chỉ có một ñiểm A duy nhất trên mặt phẳng toạ ñộ sao cho nó là ñiểm cực ñại của x2 − m m + 1 x + m3 + 1 ñồ thị f x = ứng với một giá trị thích hợp của m và cũng là ñiểm cực x −m tiểu của ñồ thị ứng với một giá trị thích hợp khác. Tìm toạ ñộ của A . ( ) ( ) -58- 1 2 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 4 2 4 2. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số y = x − 2mx + 2m + m có cực ñại , cực tiểu ñồng thời các ñiểm cực trị lập thành tam giác ñều. Giải : { } Hàm số ñã cho xác ñịnh trên D = ℝ \ m . ( ) Ta có f ' x = x 2 − 2mx + m 2 − 1 (x − m ) 2 ,x ≠ m ( ) g x = x 2 − 2mx + m 2 − 1 ∆g = 1 > 0, ∀m ( ( ( ) ( ) x = m − 1 ⇒ f x = −m 2 + m − 2 ⇒ M m − 1; −m 2 + m − 2 1 Do ñó f ' x = 0 ⇔  1 x 2 = m + 1 ⇒ f x 2 = −m 2 + m + 2 ⇒ N m + 1; −m 2 + m + 2  ( ) ( ) ) ) ðặt A x 0 ; y 0 .Giả sử ứng với giá trị m = m1 thì A là ñiểm cực ñại và ứng với giá trị m = m2 thì A là ñiểm cực tiểu của ñồ thị hàm số x = m1 − 1 x 0 = m2 + 1 Ta có:  0 ;  2 2 y 0 = −m1 + m1 − 2 y 0 = −m2 + m2 + 2 m − 1 = m2 + 1 m1 − m2 = 2 ⇔ Theo bài toán , ta có :  1 2  2 −m1 + m1 − 2 = −m2 + m2 + 2  m1 − m2 m1 + m2 − 1 = −4   1 1 m1 − m2 = 2 m1 = x 0 = − 2 ⇒ 2 ⇒ A− 1;− 7  ⇔ ⇔    2 4 m1 + m2 = −1 m = − 3 y = − 7  2  0 2 4  1 7 Vậy A  − ; −  là ñiểm duy nhất cần tìm thoả yêu cầu bài toán .  2 4 2. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ x = 0 Ta có y ' = 4x 3 − 4mx = 4x x 2 − m y' = 0 ⇔  2 x = m * ðồ thị hàm số có cực ñại , cực tiểu khi y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt và y ' ñổi dấu khi x qua các ( ( ) )( ) () () nghiệm ñó , khi ñó phương trình * có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m > 0 Khi ñó : ( ) x = 0 ⇒ y = m 4 + 2m ⇒ A 0; m 4 + 2m y' = 0 ⇔  x = ± m ⇒ y = m 4 − m 2 + 2m ⇒ B − m ; m 4 − m 2 + 2m ,C  Hàm số có 3 cực trị A, B,C lập thành tam giác ñều ( ) ( m ; m 4 − m 2 + 2m AB = AC ⇔ ⇔ AB 2 = BC 2 ⇔ m + m 4 = 4m ⇔ m m 3 − 3 = 0 ⇔ m = 3 3 m > 0 AB = BC ( ) Vậy m = 3 3 là giá trị cần tìm . Ví dụ 11: 1. Xác ñịnh tham số a ñể hàm số sau có cực ñại: y = −2x + 2 + a x 2 − 4x + 5 Giải : -59- ( ) ) Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79 a x −2 1. Hàm số cho xác ñịnh trên ℝ và có ñạo hàm y ' = −2 + x 2 − 4x + 5 ( ( ) http://www.maths.vn a y '' = (x ) 2 − 4x + 5  a x −2  x 2 − 4x + 5 0 a 0 y ' x = 0  =2  0  2 = 0 ⇔  x − 4x + 5 ⇔ Hàm số ñạt cực ñại tại x = x 0 ⇔  2 x0 − 2 0 0 y '' x 0 < 0  a < 0 a < 0  ( ) ( ) () Với a < 0 thì 1 ⇒ x 0 < 2 . x 02 − 4x 0 + 5 ( ) Xét hàm số : f x 0 = ( ) lim f x 0 = lim x →−∞ ( ) x0 − 2 , x0 < 2 = −1 , −2 ( Bảng biến thiên : x −∞ f' x ( ) f (x ) x 02 − 4x 0 + 5 x →−∞ Ta có f ' x 0 = x0 − 2 x0 − 2 ) 2 x 02 − 4x 0 + 5 ( ) lim− f x 0 = lim− x →2 ( x 02 − 4x 0 + 5 x →2 < 0, ∀x 0 ∈ −∞;2 x0 − 2 = −∞ ) 2 − −1 −∞ a Phương trình 1 có nghiệm x 0 < 2 ⇔ < −1 ⇔ a < −2 2 () BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1. Tìm cực trị của các hàm số sau : 1 a ) f x = x 3 + 2x 2 + 3x − 1 3 1 3 b) f x = x − x 2 + 2x − 10 3 1 c) f x = x + x 1 1 d) f x = x 5 − x 3 + 2 5 3 x 2 − 3x + 3 e) f x = x −1 ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ) f x = 8 − x2 x g) f x = 2 x +1 x3 h) f x = x +1 i) f x = 5 − x 2 ( ) ( ) j ) f (x ) = x + 1 k ) f (x ) = x 3 2. Tìm cực trị của các hàm số sau : -60- x2 − 1 3 − x 2 − 3x + 4 3 ) 3 (1)