Tài liệu Da_toan_d

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 (2,0 điểm) Đáp án Điểm a. (1,0 điểm) Khi m = 1 ta có y = 2 x3 − 3x 2 + 1. • Tập xác định: D = . 0,25 • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ' = 6 x 2 − 6 x; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1. Các khoảng đồng biến: (−∞; 0) và (1; + ∞); khoảng nghịch biến: (0; 1). - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = 0; đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 1. 0,25 - Giới hạn: lim y = − ∞; lim y = + ∞. x→−∞ x→+∞ - Bảng biến thiên: x −∞ y' 0 + 0 − 0 + +∞ 1 y 0,25 0 −∞ • Đồ thị: +∞ 1 y 1 0,25 O 1 x b. (1,0 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với đường thẳng y = − x + 1 là 2 x3 − 3mx 2 + (m −1) x +1 = − x +1 ⎡x = 0 ⇔⎢ 2 ⎣ 2 x − 3mx + m = 0 (*). Yêu cầu của bài toán ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⎧9m 2 − 8m > 0 ⇔⎨ ⎩m ≠ 0 8 ⇔ m < 0 hoặc m > . 9 Trang 1/4 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 2 (1,0 điểm) Đáp án Điểm Phương trình đã cho tương đương với 2cos 2 x sin x + cos 2 x = 0 0,25 ⇔ cos 2 x(2sin x + 1) = 0. 0,25 π π + k (k ∈ ). 4 2 ⎡ x = − π + k 2π ⎢ 6 • 2sin x + 1 = 0 ⇔ ⎢ (k ∈ ). ⎢ x = 7π + k 2π ⎢ ⎣ 6 • cos 2 x = 0 ⇔ x = Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 3 (1,0 điểm) 0,25 0,25 π π π 7π + k 2π (k ∈ ). + k , x = − + k 2π, x = 4 2 6 6 Điều kiện: 0 < x < 1. Phương trình đã cho tương đương với x2 ⇔ ⇔ (1 − x ) x 1− x 2 = x2 1− x = x−2 x +2 x x +2⇔⎛ + 1⎞⎛ − 2⎞ = 0 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 1− x ⎠⎝ 1− x ⎠ 1− x x − 2 = 0 (do x 1− x >0 ) Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = 4 − 2 3. 1 1 1 • ∫ 1 ∫ 0,25 1 ∫x 0 ∫ dx = x = 1. 0 • 0,25 1 2x 2x Ta có I = ⎛1 + 2 ⎞ dx = dx + 2 dx. ⎜ ⎟ ⎝ x +1 ⎠ x +1 0 0 0 ∫ 0,25 0,25 ⇔ x = 4 − 2 3. 4 (1,0 điểm) 0,25 0,25 0 1 2x dx = ln( x 2 +1) 0 = ln 2. 2 +1 0,25 Do đó I = 1 + ln 2. 0,25 5 (1,0 điểm) BAD = 120o ⇒ ABC = 60o ⇒ ΔABC đều a 3 a2 3 ⇒ AM = ⇒ S ABCD = . 2 2 S ΔSAM vuông tại A có SMA = 45o ⇒ ΔSAM a 3 . vuông cân tại A ⇒ SA = AM = 2 H A D 0,25 0,25 1 a3 Do đó VS . ABCD = SA.S ABCD = . 3 4 Do AD||BC nên d ( D,( SBC )) = d ( A,( SBC )). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM. B M C Ta có AM ⊥ BC và SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A,( SBC )) = AH . AM 2 a 6 = , 2 4 a 6 . suy ra d ( D,( SBC )) = 4 0,25 Ta có AH = Trang 2/4 0,25 Câu 6 (1,0 điểm) Đáp án Điểm 2 Do x > 0, y > 0, xy ≤ y −1 nên 0 < x y −1 1 1 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 ≤ = − 2 = −⎜ − ⎟ ≤ . y y2 y y 4 ⎝ y 2⎠ 4 0,25 1 x t +1 t −2 Đặt t = , suy ra 0 < t ≤ . Khi đó P = − . 4 y t 2 − t + 3 6(t +1) Xét f (t ) = t +1 t2 −t +3 − 1 t −2 7 − 3t 1 − . , với 0 < t ≤ . Ta có f '(t ) = 2 4 6(t + 1) 2 (t 2 − t + 3)3 2(t +1) 1 Với 0 < t ≤ ta có t 2 − t + 3 = t (t −1) + 3 < 3; 7 − 3t > 6 và t + 1 > 1. 4 7 − 3t 7 − 3t 1 1 1 1 1 Do đó và − − > 0. > > > − . Suy ra f '(t ) > 2 2 3 2 2(t + 1) 3 2 6 3 3 2 (t − t + 3) 5 7 ⎛1⎞ + . Do đó P = f (t ) ≤ f ⎜ ⎟ = ⎝ 4 ⎠ 3 30 Khi x = 0,25 1 5 7 5 7 + . Vậy giá trị lớn nhất của P là + . và y = 2, ta có P = 2 3 30 3 30 7.a (1,0 điểm) 7 1 IM = ⎛ − ; ⎞ . Ta có M ∈ AB và AB ⊥ IM nên đường ⎟ ⎜ ⎝ 2 2⎠ thẳng AB có phương trình 7 x − y + 33 = 0. B 0,25 0,25 0,25 A∈ AB ⇒ A(a;7 a + 33). Do M là trung điểm của AB nên B ( − a − 9; −7 a − 30). Ta có HA ⊥ HB ⇒ HA. HB = 0 M I A H ⇒ a 2 + 9a + 20 = 0 ⇒ a = −4 hoặc a = −5. C • Với a = −4 ⇒ A(−4;5), B ( −5; −2). Ta có BH ⊥ AC nên đường thẳng AC có phương trình x + 2 y − 6 = 0. Do đó C (6 − 2c; c). Từ IC = IA suy ra (7 − 2c)2 + (c −1) 2 = 25. Do đó c = 1 hoặc c = 5. Do C khác A, suy ra C (4;1). • Với a = −5 ⇒ A(−5; −2), B(−4;5). Ta có BH ⊥ AC nên đường thẳng AC có phương trình 2 x − y + 8 = 0. Do đó C (t ;2t + 8). Từ IC = IA suy ra (t +1)2 + (2t + 7) 2 = 25. Do đó t = −1 hoặc t = −5. Do C khác A, suy ra C (−1;6). 8.a (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (P). Suy ra H (−1 + t ; −1+ t ; −2 + t ). 0,25 5 2 2 1 H ∈( P) ⇔ (−1+ t ) + (−1+ t ) + (−2 + t ) −1 = 0 ⇔ t = . Do đó H ⎛ ; ; − ⎞ . ⎜ ⎟ ⎝ 3 3 3⎠ 3 0,25 Gọi (Q) là mặt phẳng cần viết phương trình. Ta có AB = (1;2;3) và vectơ pháp tuyến của (P) là n = (1;1;1). Do đó (Q) có vectơ pháp tuyến là n ' = (−1;2; −1). 0,25 Phương trình của mặt phẳng (Q) là: x − 2 y + z +1 = 0. 9.a (1,0 điểm) 0,25 Điều kiện của bài toán tương đương với (3 + i ) z = −1+ 3i 0,25 ⇔ z = i. 0,25 Suy ra w = −1 + 3i. 0,25 Do đó môđun của w là 10. 0,25 Trang 3/4 Câu Đáp án Ta có tâm của (C) là I (1;1). Đường thẳng IM vuông góc với Δ nên có phương trình x = 1. Do đó M (1; a ). 7.b (1,0 điểm) M Do M ∈ (C ) nên (a −1)2 = 4. Suy ra a = −1 hoặc a = 3. Mà M ∉Δ nên ta được M (1; −1). N ∈Δ ⇒ N (b;3). Trung điểm của MN thuộc (C) I P Điểm 0,25 0,25 2 N b +1 ⎞ 2 ⇒⎛ −1⎟ + (1 −1) = 4 ⇒ b = 5 hoặc b = −3. ⎜ ⎝ 2 ⎠ Do đó N (5;3) hoặc N (−3;3). P ∈Δ ⇒ P(c;3). - Khi N (5;3), từ MP ⊥ IN suy ra c = −1. Do đó P (−1;3). 0,25 0,25 - Khi N (−3;3), từ MP ⊥ IN suy ra c = 3. Do đó P(3;3). 8.b (1,0 điểm) d ( A,( P )) = |(−1) − 2.3 − 2(−2) + 5| 0,25 12 + (−2) 2 + (−2) 2 2 = . 3 Vectơ pháp tuyến của (P) là n = (1; −2; −2). Phương trình mặt phẳng cần tìm là x − 2 y − 2 z + 3 = 0. 9.b (1,0 điểm) Ta có f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn [0; 2] ; f '( x) = 0,25 0,25 0,25 2 2x + 4x − 6 . ( x +1) 2 Với x∈[0; 2] ta có f '( x) = 0 ⇔ x = 1. 0,25 0,25 5 Ta có f (0) = 3; f (1) = 1; f (2) = . 3 Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [0; 2] là 1; giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn [0; 2] là 3. ------------- Hết ------------- Trang 4/4 0,25 0,25