Tài liệu Đạo hàm riêng

Giải tích hàm nhiều biến Bài 2: Đạo hàm riêng, vi phân và ứng dụng (tt) Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.4 – Đạo hàm theo hướng 0.5 – Công thức Taylor, Maclaurint 0.6 – Cực trị của hàm nhiều biến IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- có đạo hàm riêng đến cấp n + 1 trong một lân cận của IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Véctơ đơn vị cùng phương u f = f(x,y) oy u  (u1, u2 )    M 0 ( x0 , y0 ) M ( x, y ) u l0    l1 , l2  u l0   cos  ,cos     ,  là góc tạo bởi u và chiều dương trục 0x và 0y tương ứng. ox  x  x0  t cos  Phương trình tham số của tia M 0 M :   y  y0  t cos  t0 Đạo hàm của hàm f theo hướng véctơ u tại điểm M 0 là giới hạn (nếu có) fu' ( M 0 )  f ( M 0 )  lim M M 0 u f (M )  f (M 0 ) MM 0 IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M 0 M  ( x  x0 )  ( y  y0 )  t 2 fu' ( M 0 ) fu' ( M 0 ) 2 f ( x, y )  f ( x0 , y0 )  lim t t 0 f ( x0  t cos  , y0  t cos  )  f ( x0 , y0 )  lim t t 0 Đây chính là đạo hàm của hàm f theo biến t fu' ( M 0 ) fu' ( x0 , y0 )   ' ' ' ' ' '  f  x  f  y  f ( x , y )  cos   f  ft x t y t x 0 0 y ( x0 , y0 )  cos  '  f x' ( x0 , y0 ), f y' ( x0 , y0 ) ,  cos  ,cos    gradf ( x0 , y0 )  f x' ( x0 , y0 ), f y' ( x0 , y0 )  fu' ( M 0 )  gradf ( x0 , y0 ), l0    véctơ gradient của f tại M0 Tích vô hướng của véctơ gradient tại M0 với véctơ đơn vị. IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm của f=f(x,y,z) tại M0 theo hướng u fu' ( M 0 )  f x' ( M 0 )  cos   f y' ( M 0 )  cos   f z' ( M 0 )  cos   fu' ( M 0 )  gradf ( x0 , y0 , z0 ), l0  Trong đó: véctơ đơn vị cùng phương với u là: l0   cos , cos , cos   ,  ,  là các góc tạo bởi u và chiều dương trục 0x, 0y và 0z tương ứng.  Véctơ Gradient của f(x,y,z) tại M0 là: gradf ( M 0 )  f x' ( M 0 ), f y' ( M 0 ), f z' ( M 0 )  IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Tìm đạo hàm của f ( x, y )  xy 2  3x 4 y 5 tại điểm M0(1,1) theo hướng của véctơ u  (1, 2) Giải. 1 2 Véctơ đơn vị cùng phương với u là: l0   ,     cos , cos  5  5 f x'  y 2  12 x3 y 5 f y'  2 xy  15 x y fu' (1,1) 4 4   f x' (1,1)  11  f y' (1,1)  13 f x' (1,1)  cos  f y' (1,1)  cos 11 26   3 5 5 5 IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Tìm đạo hàm của f ( x, y )  x3  3xy  4 y 2 tại điểm M0(1,2) theo hướng của véctơ tạo với chiều dương trục 0x một góc 300. Giải. Véctơ đơn vị là: l0   cos , cos    6 2   ,    6       3 1   l0   cos ,cos    ,  6 3   2 2  3  3x  3 y  f x' (1, 2)  3 f y'  3x  8 y  f y' (1, 2)  13 f x' 2 fl (1, 2)  ' 0 f x' (1, 2)  cos  f y' (1, 2)  cos 3 3 13   2 2 IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. 1 3 y Tìm đạo hàm của f ( x, y )  arctg tại điểm M 0   ,  x 2 2  theo hướng pháp véctơ của đường tròn x2 + y2 = 2x tại M0.   F ( x, y )  x 2  y 2  2 x  0  n  Fx' , Fy'   2 x  2, 2 y   (1, 3) Giải. Véctơ đơn vị là: l0  f x' y  2 x  y2 f y' x  2 x  y2 fl ( M 0 )  ' 0 f x' ( M 0 )  cos  1 3   ,   2 2  3   2 1 '  f y (M 0 )  2 f x' ( M 0 )  f y' ( M 0 )  cos 3  2 IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Tìm đạo hàm của f ( x, y, z )  x3  2 xy 2  3 yz 2 tại điểm M0(3,3,1) theo hướng của véctơ l=(2,1,2). 2 1 2 Giải. Véctơ đơn vị là: l0   , ,   (cos  ,cos  ,cos  ) 3 3 3 f x'  3x 2  2 y 2  f x' (3,3,1)  45 f y'  4 xy  3z 2  f y' (3,3,1)  39 f z'  6 yz  f z' (3,3,1)  18 fl' ( M 0 )  f x' ( M 0 )  cos  f y' ( M 0 )  cos  f z' ( M 0 )  cos  55 IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Tìm đạo hàm của f ( x, y, z )  x 2  3 yz  4 tại điểm M0(1,2,-1) theo hướng của véctơ tạo với các trục tọa độ những góc nhọn bằng nhau. Giải. Véctơ đơn vị là: l0  (cos  ,cos  ,cos  ) 1 cos   cos   cos   1  3cos   1  cos   3 ' '  f f x  2x x (1, 2, 1)  2 2 f y' f z' 2 2  3z  f y' (1, 2, 1)  3  3 y  f z' (1, 2, 1)  6 fl ( M 0 )  ' 2 f x' ( M 0 )  cos  f y' ( M 0 )  cos  f z' ( M 0 )  cos 3  3 IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chú ý. Cho hàm f=f(x,y,z). Đạo hàm của f tại M0 theo hướng của véctơ (1,0,0) là: fi' ( M 0 )  f x' ( M 0 )  cos   f y' ( M 0 )  cos   f z' ( M 0 )  cos   f x' ( M 0 ) Vậy đạo hàm theo hướng véctơ (1,0,0) tại M0 là đạo hàm riêng theo x tại đó, nếu đạo hàm riêng theo x tồn tại. Nếu đạo hàm riêng theo x không tồn tại, thì đạo hàm theo hướng vẫn có thể có. (vì theo định nghĩa, đạo hàm theo hướng là giới hạn một phía) IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Tìm đạo hàm của f ( x, y, z ) | x | 2 yz tại điểm M0(0,1, 1) theo hướng của véctơ (1,0,0). Giải. Véctơ đơn vị là: l0  1,0,0  Không tồn tại đạo hàm riêng theo x tại M0. Tìm đạo hàm của f theo hướng của véctơ (1,0,0) bằng định nghĩa f ( x0  t cos  , y0  t cos  , z0  t cos  )  f ( x0 , y0 , z0 ) fi (0,1,1)  lim t t 0 ' f (t ,1,1)  f (0,1,1) | t | 2  2 |t | t fi (0,1,1)  lim  lim  lim  lim  1 t t t 0 t 0 t 0 t t 0 t ' Lý do: trong định nghĩa đạo hàm theo hướng, M dần đến bên phải của M0. IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Theo công thức tính đạo hàm đạo hàm theo hướng:  fu' ( M 0 )  gradf ( M 0 ), l0   gradf ( M 0 )  l0  cos   gradf ( M 0 )  l0  gradf ( M 0 ) Đạo hàm của f tại M0 đạt giá trị lớn nhất theo hướng của véctơ gradf ( M 0 ) Giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng bằng: gradf ( x0 , y0 ) Đạo hàm của f tại M0 đạt giá trị nhỏ nhất theo hướng ngược với gradf ( M 0 ) Giá trị nhỏ nhất của đạo hàm theo hướng bằng:  gradf ( x0 , y0 ) IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Cho hàm f ( x, y, z )  xyz  2 xy 2  yz 3 và một điểm M 0  1,1, 2  1) Tìm hướng mà đạo hàm của f theo hướng đó tại M0 đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất này. 2) Tìm hướng mà đạo hàm của f theo hướng đó tại M0 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất này. Giải. 1) Hướng cần tìm là hướng của véctơ gradf (M0)  gradf ( M 0 )  f x' ( M 0 ), f y' ( M 0 ), f z' ( M 0 )  ' f Giá trị lớn nhất bằng độ lớn véctơ gradf (M0): gradf ( M 0 ) | gradf ( M 0 ) | 2) Hướng cần tìm là ngược hướng của véctơ gradf (M0) IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Cho hàm f ( x, y )  ln( xyz ) và một điểm M 0  1, 2, 3 1) Tìm giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng của f tại M0. 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của đạo hàm theo hướng của f tại M0. Giải. 1) Đạo hàm theo hướng của hàm f tại M0 là một hàm phụ thuộc vào hướng của véctơ l =(l1, l2,l3). Giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng bằng độ lớn véctơ gradf (M0) Giá trị lớn nhất đạt được khi lấy đạo hàm theo hướng của véctơ gradf (M0) IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Cho hàm f ( x, y )  x 2  sin( xy ) và một điểm M 0  1,0  Tìm hướng mà đạo hàm của f theo hướng đó tại M0 có giá trị bằng 1 2 2 Giả sử hướng cần tìm là hướng của véctơ đơn vị: l0  (a, b), a  b  1 fl0' ( M 0 )  f x' ( M 0 )  a  f y' ( M 0 )  b f x'  2 x  y cos( xy )  f x' ( M 0 )  2 f y'  x cos( xy )  f y' ( M 0 )  1 fl0' ( M 0 )  2a  b  1 a  0  a  4 / 5 ;   b  1 b  3/ 5 Vậy có hai hướng: l0  (0,1) hoặc l0  (4 / 5, 3/ 5) IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Cho hàm f ( x, y )  x 2  y 2  2 x  4 y. Tìm tất cả các điểm mà tốc độ thay đổi nhanh nhất của hàm f tại những điểm đó là theo hướng của véctơ i  j . Giả sử điểm cần tìm là M(a,b) Tốc độ thay đổi nhanh nhất của f tại M là theo hướng của véctơ gradf(M) gradf ( M )  f x' (a, b), f y' (a, b)  (2a  2, 2b  4)   Theo đề: gradf(M) cùng hướng với véctơ i + j = (1,0) + (0,1) = (1,1) a  1 t / 2 a 1 s  , s0 (2a  2, 2b  4)  t (1,1), t  0   b  2  t / 2 b  2  s Tập hợp các điểm là nửa đường thẳng. IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Nhiệt độ T tại một điểm (x,y,z) được cho bởi công thức T ( x, y, z )  200  e  x 2 3 y 2 9 z 2 T tính bằng 0C; x, y, z tính bằng mét. 1) Tìm tốc độ thay đổi của nhiệt độ tại điểm P(2,-1,2) theo hướng đến điểm (3,-3,3). 2) Tìm hướng mà nhiệt độ thay đổi nhanh nhất tại điểm P(2,-1,2). 3) Tìm giá trị lớn nhất của tốc độ thay đổi tại điểm P(2,-1,2). IV. Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- gradf ( x0 , y0 , z0 ) Mặt phẳng tiếp diện Mặt cong S có ptrình: F(x,y,z) = 0 P là một điểm thuộc S Phương trình mặt phẳng tiếp diện tại P với S: Fx' ( P)( x  x0 )  Fy' ( P)( y  y0 )  Fz' ( P)( z  z0 )  0 Pháp véctơ của mặt phẳng tiếp diện chính là vectơ gradf ( x0 , y0 , z0 )