BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG
GIÁO TRÌNH
TOÁN TÀI CHÍNH
PGS.TS. TRẦN THỊ THÙY LINH
THS. TRẦN VĂN QUYỀN
THS. NGUYỄN CAO QUANG NHẬT
Tháng 04/2014
LỜI NÓI ĐẦU
Toán Tài chính là một môn học giữ vị trí và vai trò quan trọng trong chương
trình đào tạo của Khoa Tài chính – Kế toán, trường Đại học Lạc Hồng; giáo trình Toán
Tài chính của ban biên soạn sẽ giúp cho sinh viên có thể tiếp cận được những kiến
thức nền tảng trong lĩnh vực Tài chính – Ngân hàng.
Nhằm đáp ứng nhu cầu giảng dạy và nghiên cứu của giảng viên, sinh viên trường
Đại học Lạc Hồng về các kiến thức nền tảng trong lĩnh vực Tài chính – Ngân hàng,
chúng tôi đã tiến hành biên soạn giáo trình này. Với nội dung phong phú, phản ánh
một cách có hệ thống cách tính toán các nghiệp vụ từ đơn giản đến phức tạp, giáo trình
sẽ giúp người học trang bị kiến thức nền tảng, vận dụng những điều đã học vào quá
trình thực hành.
Đây là một tài liệu cần thiết cho các bạn sinh viên chuyên ngành Tài chính –
Ngân hàng nói riêng và các bạn sinh viên khối ngành Kinh tế khác nói chung quan tâm
đến Toán Tài chính.
Ban biên soạn đã có nhiều cố gắng trong quá trình biên soạn theo tinh thần cô
đọng, dễ hiểu và cập nhật kiến thức; tuy nhiên, khó tránh khỏi những sai sót, vì vậy
mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của các bạn sinh viên để kịp thời bổ sung
chỉnh lý cho các lần tái bản tới.
Thư từ góp ý xin gửi về địa chỉ: Văn phòng Khoa Tài chính – Kế toán (Phòng
B201, B202 – Khu nhà B – Cơ sở 1), trường Đại học Lạc Hồng; điện thoại:
0613.953.441
Chúng tôi trân trọng cảm ơn và xin tiếp nhận ý kiến đóng góp quý báu của các
bạn sinh viên.
BAN BIÊN SOẠN GIÁO TRÌNH
MỤC LỤC
Lời nói đầu
Chương 1: Lãi Đơn ..................................................................................................... 1
1.1 Lợi tức và lãi suất ................................................................................................. 1
1.1.1 Lợi tức .......................................................................................................... 1
1.1.2 Lãi suất ......................................................................................................... 1
1.2 Khái niệm và công thức tính lãi đơn .................................................................... 2
1.2.1 Khái niệm ....................................................................................................... 2
1.2.2 Công thức tính lãi đơn .................................................................................... 2
1.3 Lãi suất ngang giá và lãi suất trung bình trong lãi đơn ........................................ 2
1.3.1 Lãi suất ngang giá .......................................................................................... 2
1.3.2 Lãi suất trung bình trong lãi đơn ................................................................... 3
1.4 Lãi suất thực trong lãi đơn .................................................................................. 3
1.4.1 Lãi suất thực trong điều kiện không có lạm phát ........................................... 3
1.4.2 Lãi suất thực trong điều kiện lạm phát .......................................................... 5
1.5 Một số bài tập ứng dụng lãi đơn ......................................................................... 5
Bài tập luyện tập ......................................................................................................... 7
Tài liệu tham khảo của chương .................................................................................. 9
Chương 2: Lãi Kép ................................................................................................... 10
2.1 Lý luận về lãi kép .............................................................................................. 10
2.1.1 Khái niệm lãi kép ....................................................................................... 10
2.1.2 Công thức cơ bản ....................................................................................... 11
2.1.3 Tương quan giữa tỷ suất lợi tức (r), số kỳ hạn (n) với PV0, FVn, n ........... 12
2.1.3.1 Xác định tỷ suất lợi tức (r) khi biết PV0, FVn, n .................................. 12
2.1.3.2 Xác định số kỳ hạn (n) khi biết PV0, FVn, r ...................................... 12
2.2 Lãi suất tỷ lệ, lãi suất tương đương, lãi suất bình quân, lãi suất hiệu lực trong lãi
kép ........................................................................................................................... 12
2.2.1 Lãi suất tỷ lệ ............................................................................................... 12
2.2.2 Lãi suất tương đương trong lãi kép ............................................................. 13
2.2.3 Lãi suất bình quân trong lãi kép .................................................................. 14
2.2.4 Lãi suất hiệu lực trong lãi kép ..................................................................... 15
2.3 Lãi suất thực trong lãi kép .................................................................................. 16
2.3.1 Lãi suất thực trong điều kiện không xét lạm phát ....................................... 16
2.3.2 Lãi suất thực trong điều kiện có xét lạm phát ............................................. 17
2.4 So sánh giữa lãi đơn và lãi kép .......................................................................... 17
Bài tập luyện tập ....................................................................................................... 18
Tài liệu tham khảo của chương ................................................................................ 18
Chương 3: Chuỗi tiền tệ ........................................................................................... 19
3.1 Tổng quát về chuỗi tiền tệ ................................................................................. 19
3.1.1 Khái niệm chuỗi tiền tệ ............................................................................... 19
3.1.2 Phân loại chuỗi tiền tệ ................................................................................. 19
3.2 Giá trị tương lai của tiền tệ ................................................................................. 19
3.2.1 Giá trị tương lai của một lượng tiền tệ ........................................................ 19
3.2.1.1 Khái niệm ............................................................................................. 19
3.2.1.2 Công thức tính ..................................................................................... 20
3.2.2 Giá trị tương lai của một chuổi tiền tệ không đều phát sinh cuối kỳ .......... 21
3.2.3 Giá trị tương lai của một chuỗi tiền tệ không đều phát sinh đầu kỳ ........... 22
3.2.4 Giá trị tương lai của một chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ ..................... 24
3.2.5 Giá trị tương lai của một chuỗi tiền tệ đều phát sinh đầu kỳ ...................... 26
3.3 Giá tri hiện tại của tiền tệ .................................................................................... 28
3.3.1 Giá trị hiện tại của một lượng tiền tệ .......................................................... 28
3.3.2 Giá trị hiện tại của một chuỗi tiền tệ không đều phát sinh cuối kỳ............. 28
3.3.3 Giá trị hiện tại của một chuỗi tiền tệ không đều phát sinh đầu kỳ .............. 30
3.3.4 Giá trị hiện tại của một chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ........................ 31
3.3.5 Giá trị hiện tại của một chuỗi tiền tệ đều phát sinh đầu kỳ ......................... 33
3.3.6 Giá trị hiện tại của một chuỗi tiền tệ đều vĩnh viễn phát sinh cuối kỳ........ 33
3.4 Chuỗi tiền tệ biến đổi có quy luật đặc biệt .......................................................... 34
3.4.1 Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ biến đổi theo cấp số cộng .......................... 34
3.4.1.1 Giá trị tương lai của một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ biến đổi theo cấp
số cộng ...................................................................................................................... 34
3.4.1.2 Giá trị hiện tại của một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ biến đổi theo cấp
số cộng ...................................................................................................................... 35
3.4.2 Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ biến đổi theo cấp số nhân .......................... 35
3.4.2.1 Giá trị tương lai của một chuổi tiền tệ phát sinh cuối kỳ biến đổi theo cấp
số nhân ..................................................................................................................... 35
3.4.2.2 Giá trị hiện tại của một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ biến đổi theo cấp
số nhân ...................................................................................................................... 36
Bài tập luyện tập ....................................................................................................... 37
Tài liệu tham khảo của chương ................................................................................ 37
Chương 4: Chiết khấu thương phiếu ........................................................................ 38
4.1 Tổng quan ........................................................................................................... 38
4.1.1 Thương phiếu ........................................................................................... 38
4.1.2 Chiết khấu thương phiếu ......................................................................... 38
4.1.2.1 Khái niệm ....................................................................................... 38
4.1.2.2 Ý nghĩa .......................................................................................... 38
4.1.2.3 Điều kiện chiết khấu của một thương phiếu .................................. 39
4.1.3 Một số thuật ngữ liên quan ...................................................................... 39
4.2 Chiết khấu thương phiếu theo lãi đơn ................................................................ 41
4.2.1 Chiết khấu thương mại và chiết khấu hợp lý .............................................. 42
4.2.1.1 Chiết khấu thương mại...................................................................... 42
4.2.1.2 Chiết khấu hợp lý ............................................................................. 43
4.2.2 Lãi suất chiết khấu hiệu dụng ..................................................................... 44
4.2.3 Lãi suất chiết khấu thương phiếu thực tế ................................................... 45
4.2.3.1 Tổng chi phí chiết khấu ................................................................... 46
4.2.3.2 Lãi suất chi phí chiết khấu ............................................................... 47
4.2.3.3 Lãi suất chiết khấu thực tế ............................................................... 47
4.2.3.4 Sự tương đương của các thương phiếu (theo phương thức chiết khấu
thương mại) .............................................................................................................. 49
4.3 Chiết khấu thương phiếu theo lãi kép ............................................................... 53
4.3.1. Hiện giá của thương phiếu theo lại kép ................................................. 53
4.3.2. Tiền lãi chiết khấu của thương phiếu theo lại kép ................................. 53
Bài tập luyện tập ....................................................................................................... 54
Tài liệu tham khảo của chương ................................................................................ 57
Chương 5: Vay vốn .................................................................................................. 58
5.1 Tổng quát về vay vốn ......................................................................................... 58
5.2 Các phương thức hoàn trả ................................................................................... 58
5.2.1 Trả vốn vay và lãi vay một lần khi đáo hạn ............................................. 58
5.2.2 Trả lãi vay định kỳ (tính trên vốn gốc), trả vốn gốc khi đáo hạn............. 58
5.2.3 Vốn gốc chia đều trả định kỳ, lãi tính trên số dư còn lại ........................ 60
5.2.4 Trả nợ dần theo kỳ bằng kỳ khoản cố định .............................................. 61
Bài tập luyện tập ....................................................................................................... 62
Tài liệu tham khảo của chương ................................................................................ 63
Chương 6: Tài khoản vãng lai .................................................................................. 64
6.1 Tổng quan về tài khoản vãng lai......................................................................... 64
6.1.1 Khái niệm .................................................................................................... 64
6.1.2 Các nghiệp vụ của tài khoản vãng lai ......................................................... 64
6.1.3 Số dư của tài khoản vãng lai ....................................................................... 64
6.1.4 Lợi tức của tài khoản vãng lai ..................................................................... 64
6.2 Tài khoản vãng lai có lãi suất qua lại và bất biến............................................... 65
6.2.1 Trình bày tài khoản vãng lai theo phương pháp trực tiếp ........................... 65
6.2.2 Trình bày tài khoản vãng lai theo phương pháp gián tiếp........................... 67
6.2.3 Trình bày tài khoản vãng lai theo phương pháp Hambourg ....................... 69
6.2.3.1 Trình bày theo thứ tự thời gian của nghiệp vụ phát sinh ..................... 69
6.2.3.2 Trình bày theo thứ tự thời gian của ngày giá trị .................................. 70
6.3. Tài khoản vãng lai có lãi suất không qua lại và biến đổi ................................. 70
Bài tập luyện tập ....................................................................................................... 72
Tài liệu tham khảo của chương ................................................................................ 75
Chương 7: Trái phiếu................................................................................................ 76
7.1 Tổng quan về trái phiếu ...................................................................................... 76
7.1.1 Khái niệm .................................................................................................... 76
7.1.2 Các yếu tố cơ bản của trái phiếu ................................................................. 77
7.2 Các phương thức hoàn trả trái phiếu .................................................................. 78
7.2.1 Trái phiếu thanh toán một lần khi đáo hạn (Trái phiếu chiết khấu hay trái
phiếu zero-coupon) ................................................................................................... 78
7.2.2 Trái phiếu trả lãi định kỳ, nợ gốc trả khi đáo hạn (Trái phiếu coupon) ...... 80
7.2.3 Trái phiếu thanh toán dần định kỳ .............................................................. 83
7.3.Trái phiếu được thanh toán bằng các kỳ khoản cố định ..................................... 84
7.3.1 Định luật trả nợ dần và các hệ quả .............................................................. 84
7.3.2 Bảng hoàn trả trái phiếu .............................................................................. 85
7.4. Thanh toán trái phiếu theo giá mua lại cao hơn mệnh giá................................. 86
7.4.1 Kỳ khoản thanh toán được chia thành 3 yếu tố: Phần trả lãi (I j) phần trả vốn
gốc Mj theo mệnh giá FV và phần trả khuyến khích mj ........................................... 86
7.4.2 Kỳ khoản thanh toán aj bao gồm lãi Ij và vốn hoàn trả Mj tính theo giá mua lại
R................................................................................................................................ 87
Bài tập luyện tập ....................................................................................................... 87
Tài liệu tham khảo của chương ................................................................................ 89
Chương 8: Cổ phiếu và đầu tư dài hạn ..................................................................... 90
8.1 Cổ phiếu và định giá cổ phiếu ........................................................................... 90
8.1.1 Khái niệm cổ phiếu ..................................................................................... 90
8.1.2 Đặc điểm của cổ phiếu ................................................................................ 90
8.1.3 Các loại cổ phiếu ......................................................................................... 91
8.1.4 Các loại giá cổ phiếu ................................................................................... 92
8.1.5 Cổ tức .......................................................................................................... 93
8.1.6 Định giá cổ phiếu ........................................................................................ 94
8.1.6.1 Định giá cổ phiếu ưu đãi ...................................................................... 94
8.1.6.2 Định giá cổ phiếu thường .................................................................... 94
8.2. Đầu tư dài hạn.................................................................................................... 96
8.2.1 Khái niệm về đầu tư .................................................................................... 96
8.2.2 Phân loại đầu tư ........................................................................................... 98
8.2.3 Nguồn vốn đầu tư ........................................................................................ 99
8.2.4 Dự án đầu tư ................................................................................................ 99
8.2.5 Các phương pháp lựa chọn dự án đầu tư .................................................. 100
8.2.5.1 Tiêu chuẩn hiện giá thuần .................................................................. 100
8.2.5.2 Tiêu chuẩn tỷ suất thu nhập nội bộ .................................................... 101
8.5.2.3 Tiêu chuẩn chỉ số sinh lời .................................................................. 102
8.5.2.4 Tiêu chuẩn thời gian thu hồi vốn không có chiết khấu...................... 102
8.5.2.5 Tiêu chuẩn thời gian thu hồi vốn có chiết khấu ................................. 104
Bài tập luyện tập ..................................................................................................... 104
Tài liệu tham khảo của chương .............................................................................. 106
Tài liệu tham khảo .................................................................................................. 107
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT
Ký hiệu viết tắt
Tiếng Anh
Tiếng Việt
CF
Cash flow
Chuỗi tiền tệ
CFt
Is the cash flow in period t
Chuỗi tiền tệ tại thời điểm t
DIV
Dividend per share of stock (DPS)
Cổ tức mỗi cổ phần
DCF
Discounted cash flow
Chiết khấu chuỗi tiền tệ
DPP
Discounted payback period
EBIT
Earnings before interest and taxes
Lợi nhuận trước thuế và lãi vay
EPS
Earnings per share
Cổ tức mỗi cổ phần
Fixed operating costs
Chi phí hoạt động cố định
Future value for year n
Giá trị tương lai tại năm n
F
FVn
Thời gian thu hồi vốn có chiết
khấu
g
Growth rate in earings, dividends, Tốc độ tăng trưởng của thu
and stock prices
nhập và cổ tức
i
Interest rate, also referred to as r
Lãi suất, còn có thể ký hiệu là r
I
Interest payment
Chi phí lãi vay
Internal rate of return
Tỷ suất thu nhập nội bộ
Life of a project or investment
Số năm của vòng đời dự án
hoặc đầu tư
Net present value
Giá trị hiện tại thuần
P
Price of a share of stock
Giá của cổ phần
PI
Profitability Index
Chỉ số sinh lời của dự án
PP
Payback period
PV
Present value
Giá trị hiện tại
re
Cost of new common stock
Chi phí sử dụng vốn cổ phần
thường mới
t
Time period
Thời gian, kỳ hạn t
T
Marginal income tax rate
Thuế thu nhập doanh nghiệp
v
Variable cost per unit
Biến phí đơn vị
Total variable costs
Tổng chi phí biến đổi
IRR
n
NPV
VC
Thời gian thu hồi vốn không có
chiết khấu
CHƯƠNG 1: LÃI ĐƠN
Trong chương này chúng tôi cung cấp cho quý độc giả những nội dung cơ bản của
lãi đơn bao gồm: lợi tức và lãi suất, khái niệm và công thức tính lãi đơn, lãi suất ngang
giá và lãi suất trung bình trong lãi đơn, lãi suất thực trong lãi đơn và các bài tập ứng
dụng.
1.1 Lợi tức và lãi suất
Trong quan hệ tín dụng số tiền mà người đi vay phải trả cho người cho vay một
khoản tiền để có được quyền sử dụng vốn trong một khoảng thời gian nhất định từ đó
xuất hiện khái niệm lợi tức.
1.1.1 Lợi tức
Lợi tức là một khái niệm được xem xét dưới hai góc độ khác nhau: góc độ của
người cho vay và của người đi vay. Ở góc độ người cho vay hay nhà đầu tư vốn, lợi
tức là số tiền tăng thêm trên số vốn đầu tư ban đầu trong một khoảng thời gian nhất
định. Khi nhà đầu tư đem đầu tư một khoản vốn, họ sẽ thu được một giá trị trong
tương lai lớn hơn giá trị đã bỏ ra ban đầu và khoản chênh lệch này được gọi là lợi tức.
Ở góc độ người đi vay hay người sử dụng vốn, lợi tức là số tiền mà người đi
vay phải trả cho người cho vay (là người chủ sở hữu vốn) để được sử dụng vốn trong
một thời gian nhất định. Trong thời gian cho vay, người cho vay có thể gặp phải những
rủi ro như: người vay không trả lãi hoặc không hoàn trả vốn vay. Những rủi ro này sẽ
ảnh hưởng đến mức lợi tức mà người cho vay dự kiến trong tương lai. Khoản tiền đi
vay (hay bỏ ra để cho vay) ban đầu gọi là vốn gốc. Số tiền nhận được từ khoản vốn
gốc sau một khoản thời gian nhất định gọi là giá trị tích luỹ.
Ví dụ. Ông A gửi tiền tiết kiệm với số tiền 100.000.000 đồng vào ngân hàng thương
mại X, sau 12 tháng ngân hàng X trả tiền lãi cho Ông A số tiền như sau:
Người vay
: Ngân hàng Thương mại X - Người cho vay
: Ông A
Số vốn vay
:100.000.000 đồng
- Lợi tức
: 10.000.000 đồng
Thời hạn vay
: 12 tháng
Khoản lợi tức ông A nhận được là 10.000.000 đồng.
1.1.2 Lãi suất
Lãi suất (hay còn gọi là tỷ suất lợi tức) là tỷ lệ phần trăm (%) giữa tiền lãi
trên số vốn vay mà người đi vay phải trả cho người cho vay trong một khoảng thời
gian nhất định.
1
1.2 Khái niệm và công thức tính lãi đơn
1.2.1 Khái niệm
Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số vốn vay ban đầu trong suốt kỳ hạn vay.
Nói cách khác tiền lãi của kỳ hạn trước không được nhập vào vốn vay để tính lãi cho
kỳ hạn kế tiếp.
1.2.2 Công thức tính lãi đơn
Nếu gọi: PV0 là vốn gốc ban đầu, n là số kỳ hạn, r là lãi suất
FVn là tổng giá trị cuối tính đến thời điểm n
Tiền lãi của mỗi kỳ : 𝐼 = 𝑃𝑉0. 𝑟
Tiền lãi n kỳ: 𝐼𝑛 = 𝑃𝑉0. 𝑟. 𝑛
Nếu vốn gốc và lợi tức được thanh toán một lần khi đáo hạn tại thời điểm n thì
công thức tính tổng giá trị cuối cùng thu được là: FVn PV0 (1 r.n)
Ví dụ: Ông A gửi tiết kiệm với số tiền 100.000.000 đồng vào ngân hàng thương mại
X, thời hạn 2 năm với lãi suất 7%/năm theo phương thức lãi đơn.
Tiền lãi năm thứ 1: I1 = 100.000.000 đồng * 7% = 7.000.000 đồng.
Tiền lãi năm thứ 2: I2 = 100.000.000 đồng * 7% = 7.000.000 đồng.
Tổng số tiền lãi của cả hai năm: In = 100.000.000 * 7% * 2 = 14.000.000 đồng.
Tổng giá trị thu được sau 2 năm (cả gốc và lãi). FVn = 100.000.00(1+2*7%) =
114.000.000 đồng.
Ông A nhận được 14.000.000 đồng tiền lãi (mỗi năm 7.000.000 đồng) và sau 2 năm
Ông A nhận lại 100.0 00.000 đồng vốn gốc. Tổng số tiền cuối cùng Ông A nhận
được là 114.000.000 đồng.
1.3 Lãi suất ngang giá, lãi suất trung bình trong lãi đơn
1.3.1 Lãi suất ngang giá (lãi suất tương đương)
a. Khái niệm
Hai mức lãi suất r và rk được gọi là tương đương khi kỳ ghép lãi khác nhau nhưng
cùng số vốn gốc, cùng thời gian vay thì số tiền lãi bằng nhau.
b.Công thức tính
Gọi: r là lãi suất năm
m là số kỳ hạn trong năm
rk là lãi suất ngang giá thì
Lãi suất ngang giá sẽ được xác định như sau: rk
r
m
Ví dụ Ngân hàng thương mại X cho Công ty M vay 100.000.000 đồng trong thời
gian 18 tháng với lãi đơn 13,2%/năm. Lãi suất tháng tương đương với lãi suất năm
được xác định như sau:
2
Hướng dẫn
rk
13, 2%
1,1%
12
Tổng số tiền lãi của các kỳ tính theo lãi suất tháng là: I n = 100.000.000 x 18 x 1,1% =
19.800.000 đồng.
Tổng số tiền lãi theo lãi suất năm: In = 100.000.000 x 13,2% x 1,5 = 19.800.000 đồng
Tổng giá trị cả gốc và lãi nhận được khi đáo hạn được xác định như sau:
FVn = 100.000.000 (1+ 1,5 x 13,2%) = 119.800.000 đồng.
Hoặc đưa về lãi suất tháng:
FVn = 100.000.000 (1+18*1,1%) = 119.800.000 đồng.
1.3.2 Lãi suất trung bình trong lãi đơn
Trong quá trình vay và cho vay, đôi lúc có sự thay đổi nhiều mức lãi suất
khác nhau theo thời gian khác nhau. Do đó, cần phải tính lãi suất trung bình nhằm xác
định tiền lãi và tổng giá trị đạt được vào cuối thời gian vay một cách thuận tiện.
Công thức tính lãi suất trung bình như sau: r
nk rk
n
k
Ví dụ Một doanh nghiệp vay 100.000.000 đồng theo phương thức lãi đơn với các mức
lãi suất thay đổi như sau:
8%/ năm trong 6 tháng đầu tiên
9%/ năm trong 3 tháng tiếp theo
12%/ năm trong 4 tháng cuối cùng
Hãy xác định:
a. Hãy xác định lãi suất trung bình năm,
b. Tính tổng số tiền doanh nghiệp phải trả khi đến hạn theo lãi suất trung bình.
Hướng dẫn
a. Lãi suất trung bình: r
(8% x6) (9% x3) (12% x 4)
9, 46% /năm
63 4
b. Áp dụng công thức tính lãi đơn ta có:
Lãi suất tháng : rk
9, 46%
0, 7883% / tháng
12
FVn= 100.000.000 (1+0,7883% x 13)= 110.248.333 đồng.
Hoặc: FVn 100.000.000(1
9, 46%
x13) 110.248.333 đồng.
12
1.4 Lãi suất thực trong lãi đơn
1.4.1 Lãi suất thực trong điều kiện không có lạm phát
Khi đi vay một khoản vốn, ngoài khoản tiền lãi phải thanh toán, người đi vay
thường phải trả thêm chi phí giao dịch, lệ phí. Lúc này lãi suất thực tế mà người đi vay
3
gánh chịu cao hơn lãi suất theo hợp đồng. Vậy chúng ta có thể khái niệm lãi suất thực
là tỷ suất chi phí thực tế mà người đi vay phải trả để sử dụng vốn vay trong thời gian
nhất định.
a. Nếu tiền lãi và chi phí giao dịch thanh toán cuối kỳ:
Công thức tính lãi suất thực: rt
I f
PV0
Trong đó: rt là lãi suất thực
f là chi phí giao dịch đi vay
I là tiền lãi
PV0 là vốn vay thực tế sử dụng
b. Nếu tiền lãi và chi phí giao dịch thanh toán ngay từ đầu:
Trong trường hợp này vốn vay thực tế mà người vay nhận được sau khi đã trừ đi tiền
lãi và chi phí giao dịch, công thức tính lãi suất thức được trình bày như sau :
rt
I f
PV0 ( I f )
Ví dụ Doanh nghiệp N vay của ngân hàng thương mại Y, số vốn 200 triệu đồng, lãi
đơn 9,6%/năm. Ngoài ra, còn có phí hồ sơ: 200.000 đồng và các khoản chi phí khác:
0,2% vốn gốc.
a. Nếu tiền lãi và chi phí giao dịch trả cuối kỳ, thời gian vay 12 tháng. Hãy tính lãi
suất thực.
b. Nếu tiền lãi và chi phí giao dịch trả cuối kỳ, thời gian vay 4 tháng. Hãy tính lãi
suất thực.
c. Nếu trong hợp đồng, doanh nghiệp N phải trả lãi và chi phí giao dịch trước khi
nhận vốn, thời gian vay 12 tháng thì lãi suất thực là bao nhiêu ?
d. Nếu trong hợp đồng, doanh nghiệp N phải trả lãi và chi phí giao dịch trước khi
nhận vốn, thời gian vay 4 tháng thì lãi suất thực là bao nhiêu ?
Hướng dẫn
a. Vay trả lãi và chi phí giao dịch cuối kỳ, kỳ hạn 12 tháng:
Lãi vay: In = 200.000.000 đồng * 9,6% x 1 = 19.200.000 đồng
Phí hồ sơ: = 200.000 đồng
Phí khác: 200.000.000 đồng * 0,2% = 400.000 đồng
Chi phí giao dịch: f = 600.000 đồng.
rt
I f
PV0
=>
rt
19.200.000 600.000
9,9% /năm
200.000.000
b. Vay trả lãi và chi phí giao dịch cuối kỳ, kỳ hạn 4 tháng:
Lãi vay: 200.000.000 x
9, 6%
x 4 6.400.000 đồng
12
4
Phí hồ sơ: 200.000 đồng
Phí khác: 200.000.000 đồng * 0,2% = 400.000 đồng
rt
6.400.000 600.000
3,5%trên 4 tháng = 10,5% một năm
200.000.000
c. Vay thời hạn 12 tháng, lãi và chi phí giao dịch trả ngay từ đầu:
Lãi vay: 200.000.000 đồng * 9,6% = 19.200.000 đồng
Phí hồ sơ: 200.000 đồng
Phí khác: 200.000.000 đồng * 0,2% = 400.000 đồng
Tổng chi phí: = 19.800.000 đồng
Vốn thực sự sử dụng: 200.000.000 đồng - 19.800.000 đồng = 180.200.000
đồng
rt =
19.800.000
= 0,1099 = 10,99%
(200.000.000-19.800.000)
d. Vay thời hạn 4 tháng, lãi và chi phí giao dịch trả ngay từ đầu:
Lãi vay: 200.000.000 đồng * 4/12*9,6% = 6.400.000 đồng
Phí hồ sơ: 200.000 đồng
Phí khác: 200.000.000 đồng * 0,2% = 400.000 đồng
I + f = 7.000.000 đồng
Vốn thực sự nhận được:
PV0 – (I+f) = 200.000.000 đồng – 7.000.000 đồng = 193.000.000 đồng.
rt =
7.000.000
= 3,6269% tính trên 4 tháng = 10,881% /năm.
193.000.000
1.4.2 Lãi suất thực trong điều kiện lạm phát
Áp dụng để xác định tỷ suất lợi tức thực tế của người cho vay khi có sự mất giá của
đồng tiền.
Lãi suất thực = Lãi suất danh nghĩa – tỷ lệ lạm phát.
Trong đó: Lãi suất danh nghĩa là mức lãi suất theo hợp đồng vay vốn.
Ví dụ Ông A gửi tiết kiệm vào ngân hàng 100.000.000 đồng, thời hạn 1 năm, lãi suất
7%/năm, tỷ lệ lạm phát 6%/năm. Hãy xác định lãi suất thực theo lãi đơn trong trường
hợp này.
Lãi suất thực = 7% - 6% = 1%.
1.5 Các bài tập ứng dụng lãi đơn
Bài tập ứng dụng
Bài 1 Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng 250.000.000 đồng trong thời gian từ 1/5
đến 15/9. lãi suất 10% một năm, tính khoản tiền lãi mà người đó thu được theo phương
thức lãi đơn.
Hướng dẫn
5
PV0 = 250.000.000 đồng, r = 10%/ năm, n= 137 ngày
Khoản lãi mà người đó thu được: I
137
x 250.000.000 x10% 9.514.000 đồng.
360
Bài 2 Tính I và FVn biết (PV0, r, n )
Một công ty vay ngắn hạn ngân hàng số tiền 200.000.000 đồng với lãi suất 1 năm là
10%, thời hạn 100 ngày. Khi đáo hạn công ty phải trả cho ngân hàng là bao nhiêu? (cả
gốc và lãi) Biết rằng ngân hàng tính lãi theo phương thức lãi đơn.
Hướng dẫn
Ta có: PV0 = 200.000.000 đồng; r = 10% ; n = 100 ngày
Áp dụng công thức:
I = PV0 . r . n = 200.000.000đ x 10% x 100/360 = 5.480.000 đồng.
FVn = PV0 + I = 200.000.000 đ + 5.480.000 đ = 205.480.000 đồng
Vậy số tiền mà công ty phải trả cho ngân hàng là 205.480.000 đồng.
Bài 3 Tính PV0 biết ( FVn, r, n )
Công ty A bán cho công ty B một lượng hàng hóa trị giá 500.000 USD và cho bên B
trả chậm thời hạn trả là 60 ngày kể từ ngày nhận hàng.
Nếu trả nợ sớm trước thời hạn thì được hưởng lãi suất chiết khấu thanh toán 6%/ năm.
Sau 15 ngày kể từ ngày nhận hàng, công ty B quyết định trả sớm cho công ty A khoản
nợ trên để hưởng chiết khấu thanh toán. Hỏi số tiền công ty B trả cho công ty A sau
khi đã chiết khấu là bao nhiêu?
Hướng dẫn
Ta có: FVn = 500.000USD, r = 6% / năm, n = 45 ngày
P =?
FVn = 500
Tổng
chậm là: FVn =45PV0+ I = 500.000 USD
0 giá trị lô hàng
60 ngày
15 trả
ngày
Từ công thức: FVn PV0 (1
FVn
r
500.000$
n) PV0
496.328,53 USD
r
6%
m
(1 n) (1
x 45)
m
360
Vậy số tiền mà công ty B phải trả là 496.328,53 USD.
Bài 4 Tính r biết (PV0, FVn, n )
Giả sử bà Bảy cho bà Năm vay nóng 400.000 đồng, thời hạn vay là 15 ngày. Hết hạn
bà Năm trả cho bà Bảy là 450.000 đồng. Hỏi bà Năm vay của bà Bảy với lãi suất là
bao nhiêu phần trăm một năm? Giả sử tiền lãi được tính theo phương thức lãi đơn
nhưng một năm là 365 ngày.
Hướng dẫn
Ta có: n = 15, PV0 = 400.000 đồng , FVn = 450.000 đồng
Từ công thức: FVn = PV0 + I
6
=> I = FVn – PV0 = 450.000 – 400.000 = 50.000 đồng
Lãi suất 15 ngày =
Lãi suất năm =
50.000
12,5%
400.000
50.000 x365
304%
400.000 x15
Vậy lãi suất mà bà Năm vay là 304%
Bài 5 Tính n (biết PV0, r, FVn )
Ngày 5/10, Công ty Tín Nghĩa vay Ngân hàng Công Thương số tiền là 300.000.000
đồng. Lãi suất là 12%/năm. Đến ngày đáo hạn, công ty Tín Nghĩa phải trả cả vốn lẫn
lãi là 305.000.000 đồng. Hãy xác định ngày đáo hạn?
Nếu đến ngày đáo hạn Công ty Tín Nghĩa không đủ khả năng trả nợ, nên xin ngân
hàng gia hạn thêm 10 ngày nữa. Ngân hàng đồng ý với công ty. Hãy xác định số lãi mà
công ty phải trả thêm cho ngân hàng?
Hướng dẫn
Ta có: FVn = 305.000.000 đồng, PV0 = 300.000.000 đồng, r = 12% /năm
Áp dụng công thức:
I PV0 .r.
n
305.000.000 300.000.000 5.000.000 đồng
360
300 x12% x
n
360 x5
5 n
50, 7 ngày 60 ngày
360
300 x12%
Vậy ngày đáo hạn là: ngày 5/10 + 60 ngày = ngày 25/11
Nếu gia hạn thêm 10 ngày nữa, số tiền lãi phải thanh toán thêm là:
I FVn .r.
n
10
305.000.000 x12% x
1.002.739 đồng
360
360
Vậy tiền lãi công ty phải trả cho ngân hàng là 1.003.000 đồng.
Chú ý:
1/ Lãi suất r thường là lãi suất năm mà hoạt động tài chính ngắn hạn dưới 1 năm cho
nên công thức căn bản lợi tức đơn trên (0 < n 1).
2/ Khi thời hạn của hoạt động tài chính tính bằng ngày thì rất nhiều ngân hàng thực
hiện một quy định là 1 năm là 360 ngày.
3/ Lãi suất r = 10%, có 3 cách viết, r = 0,1 ; r= 1/100.
4/ Ở hai vế của công thức có 4 đại lượng: I, PV0, r, n nếu biết 3 thì tính được đại lượng
còn lại.
Bài tập luyện tập
Bài 6 Bà Q cho Bà N vay 250.000.000 đồng, lãi suất 10%/năm theo phương thức lãi
đơn, thời gian cho vay từ ngày 1/5 đến ngày 15/09. Hãy tính khoản tiền lãi mà Bà N
phải thanh toán cho Bà Q.
7
Bài 7 Ngày 20/04 một người gửi vào ngân hàng 550.000.000 đồng đến ngày 31/08 thì
thu được một khoản tiền lãi 14.630.000 đồng. Hãy xác định lãi suất theo phương thức
lãi đơn.
Bài 8 Ngày 01/06. Công ty Q&N vay của ngân hàng 400.000.000 đồng với lãi suất
10% năm theo phương thức lãi đơn. Khi đáo hạn , Công ty Q&N phải thanh toán cả
vốn gốc và lãi là 408.000.000 đồng. Hãy xác định ngày đáo hạn.
Bài 9 Công ty Q&N vay ngân hàng một số tiền từ ngày 20/04 đến ngày 15/07 với lãi
suất 9% năm theo phương thức lãi đơn. Khi đáo hạn, Công ty Q&N thanh toán cả vốn
gốc và lãi là 265.590.000 đồng. Hãy tính số vốn gốc mà Công ty đã vay.
Bài 10 Một công ty vay ngân hàng 450.000.000 đồng, lãi suất 9,36% theo phương
thức lãi đơn, thời hạn vay từ ngày 01/08 đến ngày 12/10. Tính lợi tức mà công ty phải
trả cho Ngân hàng.
Bài 11 Ông Q vay ngân hàng số tiền 300.000.000 đồng. Ngân hàng áp dụng phương
thức tính lãi đơn với mức lãi suất thay đổi như sau:
- Từ ngày 01/02 đến ngày 06/04: Lãi suất 10% năm
- Từ ngày 07/04 đến ngày 20/06: Lãi suất 11% năm
- Từ ngày 21/06 đến ngày 28/07: Lãi suất 10,5% năm
- Từ ngày 29/07 đến ngày 15/09: Lãi suất 9% năm
1) Hãy xác định lãi suất trung bình.
2) Tính tổng số tiền vốn gốc và lãi phải thanh toán khi đáo hạn theo lãi suất trung bình.
Bài 12 Năm 2011 Công ty A vay ngắn hạn Ngân hàng Z với tình hình như sau:
- Ngày 01/04 vay 250.000.000 đồng đến ngày 20/06 thanh toán cả gốc và lãi,
- Ngày 05/05 vay 300.000.000 đồng đến ngày 08/07 thanh toán cả gốc và lãi,
- Ngày 07/06 vay 450.000.000 đồng đến ngày 11/08 thanh toán cả gốc và lãi,
- Ngày 09/07 vay 500.000.000 đồng đến ngày 19/09 thanh toán cả gốc và lãi,
Biết rằng lãi suất 0,8% tháng, ngân hàng tính lãi theo phương thức lãi đơn. Hãy xác
định tổng lợi tức mà ngân hàng thu được trong năm 2011 từ Công ty A.
Bài 13 Trong năm 2011 Công ty N vay ngân hàng với các khoản nay như sau:
Ngân hàng
Vốn vay (đồng)
Lãi suất
Thời hạn
Ngân hàng A
100.000.000
0,84% /tháng
138 ngày
Ngân hàng B
150.000.000
9,72% /năm
68 ngày
Ngân hàng C
180.000.000
0,9% /tháng
75 ngày
Biết rằng các ngân hàng tính lãi theo phương thức lãi đơn, hãy xác định tổng chi phí
lãi vay của công ty N trong năm.
Bài 14 Một người vay ngân hàng 240.000.000 đồng, thời hạn 5 tháng với lãi suất
10%/năm theo phương thức lãi đơn, lệ phí giao dịch 1 triệu đồng bên đi vay phải trả.
8
Phía ngân hàng yêu cầu tiền lãi phải thanh toán ngay khi nhận tiền vay. Hãy xác định
lãi suất thực mà người đó phải trả.
Bài 15 Một người vay ngân hàng 120 triệu đồng, thời hạn 8 tháng, lãi suất 8,4%/ năm
theo phương thức lãi đơn. Chi phí giao dịch 5% vốn gốc. Hãy xác định lãi suất thực
trong 2 trường hợp sau:
1) Lợi tức và chi phí giao dịch trả khi đáo hạn
2) Lợi tức và chi phí giao dịch trả ngay khi nhận vốn vay.
3) Chi phí giao dịch trả khi nhận vốn, lợi tức trả khi đáo hạn.
Bài 16 Một người vay ngân hàng 80 triệu đồng từ ngày 15/04 đến ngày 16/08 với lãi
suất 0,8% tháng theo phương thức lãi đơn. Nếu lợi tức tra ngay khi nhận vốn vay, hãy
tính lãi suất thực mà người đó phải gánh chịu.
Bài 17 Một người vay ngân hàng với lãi suất 10% năm theo phương thức lãi đơn từ
ngày 15/05 đến ngày 26/07. Hiệu số giữa lãi thương mại và lãi thông thường là
100.000 đồng. Hãy tính số vốn vay.
Tài liệu tham khảo:
[1] Nguyễn Ngọc Định, Toán Tài Chính, NXB Thống kê, 2004.
[2] Trần Ngọc Thơ, Tài chính doanh nghiệp hiện đại, NXB Thống kê, 2007.
[3] Nguyễn Thanh Tuyền, Thị trường chứng khoán, NXB Thống kê, 2004.
9
CHƯƠNG 2: LÃI KÉP
Mục đích – yêu cầu
Mục tiêu nghiên chính ở chương này sinh viên cần nắm được những kiến thức sau:
- Khái niệm lãi kép và công thức tính lãi kép.
- Lãi suất tỷ lệ, lãi suất tương đương và lãi suất bình quân trong lãi kép.
- Lãi suất thực trong lãi kép.
- Sự khác biệt giữa lãi đơn và lãi kép
- Ứng dụng phương pháp lãi kép trong bài toán tài chính.
Trọng tâm nội dung chương 2:
Chương này nhóm tác giả chủ yếu trình bày lý luận cơ bản về lãi kép và công
thức tính lãi kép, lãi suất tương đương có hiệu lực, ứng dụng của lãi kép trong
các bài toán tài chính như ước lượng thu nhập của các khoản đầu tư: tiền gửi
tiết kiệm, đầu tư chứng khoán, đầu tư vào các dự án trung- dài hạn.
2.1 Lý luận về lãi kép
2.1.1 Khái niệm lãi kép
Lãi kép là tiền lãi được tính trên số vốn gốc ban đầu và tiền lãi tích lũy của các
kỳ trước trong suốt thời kỳ đầu tư. Lãi kép còn được gọi là lãi nhập vốn hoặc lãi góp
vốn.
Lãi kép là tiền lãi có thể tính trên vốn tiền gửi tiết kiệm hay vốn vay.
Đặc điểm của lãi kép là không chỉ vốn gốc sinh ra lãi mà thu nhập lãi của các
kỳ trước trong suốt thời kỳ đầu tư cũng sinh ra lãi. Do đó, thu nhập các khoản đầu tư
được ước tính theo phương pháp lãi kép sẽ cao hơn so với lãi đơn.
Lãi kép thường áp dụng trong các nghiệp vụ tài chính trung-dài hạn, như: tiền
gửi tiết kiệm, vốn vay ngân hàng, đầu tư chứng khoán, đầu tư vào các dự án trung- dài
hạn
Ví dụ: Ông X có một khoản thu nhập khi về hưu là 200 triệu đồng. Dự kiến
Ông X sẽ gửi tiết kiệm vào ngân hàng thương mại cổ phần Vietcombank, thời hạn 2
năm với lãi kép 10% năm. Hãy xác định tổng số tiền thu được khi đáo hạn.
Hướng dẫn
Số tiền lãi Ông X sẽ nhận mỗi năm từ ngân hàng thương mại cổ phần Vietcombank là:
Đầu năm thứ nhất: Ông X nhận được tiền lãi: 200 triệu đồng * 10% = 20 triệu đồng
Cuối năm thứ nhất: Ông X có lãi nhập vốn: 200 triệu đồng + 20 triệu đồng =220 triệu
đồng.
Đầu năm thứ 2: Ông X nhận được tiền lãi: 220 triệu đồng * 10% = 22 triệu đồng
10
Như vậy, sau 2 năm Ông X nhận được 42 triệu đồng tiền lãi và 200 triệu
đồng vốn gốc. Tổng số tiền cuối cùng Ông X nhận được là 242 triệu đồng.
2.1.2 Công thức cơ bản
Trong khái niệm lãi kép, các khoản lợi tức phát sinh của các kỳ trước được tính
gộp vào vốn ban đầu để tính lãi cho kỳ tiếp theo trong suốt thời gian đầu tư.
Giả sử vốn gốc ban đầu là PV0 đầu tư trong thời hạn n kỳ với lãi suất kỳ r
Tính toán lãi kép và vốn gốc (thu nhập) cho mỗi kỳ đầu tư như sau:
- Cuối kỳ thứ nhất, thu nhập là sau 1 kỳ ta có: FV1 = PV0 + PV0r = PV0(1+r)
-Do vốn và lãi đều được đều được gộp vào kỳ thứ hai, nên đến cuối kỳ thứ hai
tổng thu nhập sẽ là
FV2 = PV1 + PV1r = PV1(1+r) = PV0 (1+r)(1+r)= PV0 (1+r)2
- Một cách tổng quát: trong vòng n kỳ, tổng thu nhập đạt được sau n kỳ đầu tư
sẽ là: FVn = PV0(1+r)
n
Ví dụ : Một khoản vốn gốc là 5.000.000 đồng, được đầu tư trong 3 năm với lãi
suất kép là 8%./năm. Giá trị tích luỹ của khoản vốn này vào cuối năm thứ 3 là bao
nhiêu?
Hướng dẫn
FV3= PV0 (1+r) = 5.000.000 (1+8%)3 = 6.298.560 đồng.
Vậy: Giá trị tích luỹ của khoản vốn này vào cuối năm thứ 3 là 6.298.560 đồng.
3
Công thức tính lãi kép In:
Lãi kép là phần thu nhập tích lũy từ FV và PV, nên để xác định riêng lãi kép sau n kỳ
đầu tư cần xét theo công thức như sau:
In= FVn - PV0
n
= PV0(1+r) - PV0
Vậy:
In = PV0 [(1+r)n – 1]
Ví dụ: Ông X gửi gửi tiền tiết kiệm với số tiền 200 triệu đồng vào ngân hàng
thương mại cổ phần Vietcombank, lãi và vốn gốc nhận một lần khi đáo hạn. Thời hạn
gửi tiền là 2 năm với lãi kép 10% năm. Yêu cầu:
a. Hãy xác định số tiền lãi thu được khi đáo hạn
b. Tính lãi và vốn gốc thu được khi đáo hạn.
Hướng dẫn
a. Tổng số tiền lãi thu được của Ông X khi đáo hạn là:
In = 200 x [(1+10%)2 – 1] = 42 triệu đồng
b. Lãi và vốn gốc thu được của Ông X khi đáo hạn là:
FV = 200 x (1+10%)2 = 242 triệu đồng.
n
11
2.1.3 Tương quan giữa tỷ suất lợi tức (r), số kỳ hạn (n) với PV0, FVn, n
2.1.3.1 Xác định tỷ suất lợi tức (r) khi biết PV0, FVn, n
r
n
FVn
-1
PV0
Ví dụ: Ông X đầu tư một khoản tiền 100 triệu đồng với lãi suất 10%/năm. Sau 5
năm thu được cả vốn lẫn lời là 160 triệu đồng (tính theo lãi kép). Hỏi lãi suất đầu tư (tỷ
lệ sinh lời của đầu tư) là bao nhiêu?
Hướng dẫn
Ta có:
r
n
FVn
-1
PV0
r = (160/100)1/2-1= 9,86%/năm.
Vậy: lãi suất đầu tư (tỷ lệ sinh lời của đầu tư) là 9,86%/năm.
2.1.3.2 Xác định số kỳ hạn (n) khi biết PV0, FVn, r
Kỳ hạn n của khoản đầu tư là PV0, thu nhập tương lai FVn, lãi suất r sẽ xác định theo
công thức như sau:
FVn
FVn
PV0
PV0 log10 (1 r )
l o g10
n log (1 r )
Ví dụ: Ông X muốn có được một khoản tiền 400 triệu đồng trong tương lai
bằng cách gửi tiết kiệm vào ngân hàng 250 triệu đồng, ngân hàng tính lãi theo phương
thức lãi kép với lãi suất 9%/năm , kỳ ghép lãi một năm một lần. Hỏi bao nhiêu năm thì
Ông X nhận được số tiền như kỳ vọng cuối kỳ đầu tư?
Hướng dẫn
Ta có:
FVn = 400 triệu đồng , PV0= 250 triệu đồng, r= 9%
n= 5,453= 5 năm 5 tháng 13 ngày
Vậy: sau 5 năm 5 tháng 13 ngày thì Ông X nhận được số tiền như kỳ vọng cuối
kỳ đầu tư.
2.2 Lãi suất tỷ lệ, lãi suất tương đương, lãi suất bình quân, lãi suất hiệu lực,
lãi suất thực trong lãi kép
2.2.1 Lãi suất tỷ lệ (i)
Hai lãi suất được gọi là tỷ lệ nhau khi tỷ lệ của chúng bằng với tỷ lệ của hai thời
gian tương ứng.
12
- Xem thêm -