Tài liệu Giới hạn dãy truiy hồi

Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN DÃY TRUY HỒI Huỳnh Chí Hào Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp A. Một số kiến thức có liên quan. Định nghĩa 1 Dãy số  un  được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có un  un 1 Dãy số  un  được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có un  un 1 Định nghĩa 2 Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un  M , n   * Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un  m, n   * Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn nếu tồn tại một số M và một số m sao cho m  un  M , n   * Định lý 1: (Tiêu chuẩn Weierstrass) 1) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ. 2) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ. 3) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. Định lý 2: (Nguyên lý kẹp) n0  , n  , n  n0  un  vn  wn   lim vn  a Cho ba dãy số  un  ,  vn  ,  wn  sao cho:  n  lim un  lim wn  a  n n   Định lý 3: Nếu lim un  a thì lim un  a n  n  Định lý 4: Nếu q  1 thì lim q n  0 n  Định lý 5: Cho dãy  un  xác định bởi công thức truy hồi un 1  f (un ) , trong đó f ( x) là hàm số liên tục. Khi đó, nếu  un   a thì a là nghiệm của phương trình f ( x)  x . Định lý 6: Cho dãy số  un  với u1  a là một số thực cho trước và un 1  f (un ) . Khi đó 1) Nếu f ( x) là hàm số đồng biến và x1  x2 thì  un  là dãy số tăng. 2) Nếu f ( x) là hàm số đồng biến và x1  x2 thì  un  là dãy số giảm. Định lý 7: Cho dãy số  un  với u1  a là một số thực cho trước và un 1  f (un ) . Khi đó 1 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 1) Nếu f ( x) là hàm số nghịch biến và x1  x2 thì  u2 n  là dãy số tăng và  u2 n 1  là dãy số giảm. 2) Nếu f ( x) là hàm số nghịch biến và x1  x2 thì  u2 n  là dãy số giảm và  u2 n 1  là dãy số giảm. Định lý 8: (LAGRANGE) Nếu f ( x) là hàm số liên tục trên đoạn  a; b  , có đạo hàm trong khoảng  a; b  thì tồn tại c   a; b  sao cho f (b)  f (a ) hay f (b)  f (a )  f '(c)(b  a) ba Hệ quả: Giả sử hàm số f ( x) có đạo hàm trên miền xác định D, thỏa mãn điều kiện f '( x)  c  1 với c f '(c)   là hằng số và phương trình f ( x)  x có nghiệm duy nhất  thuộc D, khi đó dãy số  un  ( n  1, 2,... ) xác định bởi x0  D và un 1  f (un ) có giới hạn là  khi n dần tới vô tận. 2 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp B. Các bài toán. Bài toán 1 (Giáo trình giải tích 1 của Jean-Maria Monier) u1  1  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un 1 (1) un  u 2  1 , n  2 n 1  Chứng minh rằng dãy số  un  có giới hạn hữu hạn khi n   . Lời giải  Đây là dãy truy hồi dạng un  f (un 1 )  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  0 , n  1 , vậy  un  bị chặn dưới.  Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được n   , un 1  un  un u3  un   1 n  0 , vậy  un  giảm. 2 un  1 un  1  Do  un  giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  0  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: a   Vậy dãy số  un  n  a a0 a 1 có giới hạn hữu hạn khi n   và lim un  0  2 n  Bài toán 2 (Giáo trình giải tích 1 của Jean-Maria Monier) u1  1  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  1 2011  un  2  un 1  u  , n  2 n 1    Chứng minh rằng dãy số  un  có giới hạn hữu hạn khi n   . (1) Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  0 , n  1  1 2011  1 2011 Mặt khác ta lại có: un   un 1   2011 , vậy  un  bị chặn dưới.   .2 un 1. 2 un 1  2 un 1 Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được 2 2011  un 1 2011  n   , un 1  un   un   un   0 , vậy  un  giảm.  2 2un un  giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  2011  Do  un   1 2011  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: a   a    a  2011 2 a  n  3 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số  THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Vậy dãy số  un  có giới hạn hữu hạn khi n   và lim un  2011  n  Bài toán 3 (Bài tập giải tích W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK) 3  u1  2 Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  u  3u  2, n  2 n 1  n (1) Chứng minh rằng dãy số  un  có giới hạn hữu hạn khi n   . Lời giải   3  un  2 , n  1 2 Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được Bằng phép quy nạp ta chứng minh được rằng: n   , un 1  un  3un  2  un  0 , vậy  un  tăng.    3 a2 2 Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: a  3a  2  a  2 Vậy dãy số  un  có giới hạn hữu hạn khi n   và lim un  2  Do  un  tăng và bị chặn nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì n  n  Bài toán 4 (Bài tập giải tích W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK) u1  0  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un  6  un 1 , n  2  (1) Chứng minh rằng dãy số  un  có giới hạn hữu hạn khi n   . Lời giải   Bằng phép quy nạp ta chứng minh được rằng: 0  un  3 , n  1 Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được 2 2 2 n   , un 1  un  un  un  6  0 (do 0  un  3 )  un 1  un  0 , vậy  un  tăng.  Do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì 0  a  3   Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: a  6  a  a  3 Vậy dãy số  un  có giới hạn hữu hạn khi n   và lim un  3  n  n  4 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Bài toán 5 (Bài tập giải tích W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK) u1  1  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  2  2un 1  1 un  u  3 , n  2 n 1  Chứng minh rằng dãy số  un  có giới hạn hữu hạn khi n   . (1) Lời giải   Bằng phép quy nạp ta chứng minh được rằng: 0  un  2 , n  1 Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được n   , un 1  un    un  1 un  2   0 vậy  un  tăng. un  3 (do 0  un  2 )  un 1  un  0 ,  Do  un  tăng và bị trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì 0  a  2  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: a   Vậy dãy số  un  n  2  2a  1 a2 a3 có giới hạn hữu hạn khi n   và lim un  2  n  Bài toán 6 (Bài tập giải tích W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK) 0  u n  1  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  1 (1) un 1  un 1   4 , n  1  Chứng minh rằng dãy số  un  có giới hạn hữu hạn khi n   . Lời giải   Từ cách cho dãy số ta suy ra: 0  un  1 , n  1 Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được un  1  un 1  1  un 1  un  0 , vậy  un  giảm. 2 2 giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì 0  a  1 n   ,  un 1  un 1    Do  un   Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: a 1  a    Vậy dãy số  un  n  1 1 2   2a  1  0  a  4 2 1 có giới hạn hữu hạn khi n   và lim un   n  2 5 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Bài toán 7 (Bài tập giải tích W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK) u1  1   Cho dãy số thực  un  xác định bởi: u2  2  un 1  un  un 1 , n  2  Chứng minh rằng dãy số  un  có giới hạn hữu hạn khi n   . (1) Lời giải   Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  0 , n  1 Xét tính đơn điệu của  un  : Ta chứng minh un  un 1 , n  1, 2,... (2) bằng phương pháp quy nạp + Với n  1 thì (2) đúng + Giả sử (2) đúng khi n  k . Ta chứng minh (2) cũng đúng khi n  k  1 .Tức là chứng minh: uk 1  uk  2 Thật vậy: Theo công thức truy hồi xác định dãy thì uk 1  uk  uk 1  uk 1  uk  uk  2  + Vậy (2) cũng đúng với n  k  1 . Theo nguyên lý quy nạp thì (2) đúng với mọi n  1, 2,... Như thế  un  tăng.  2 Mặt khác khi n  3 , ta có: un  un 1  un 1  2 un  un  4un  un  4  Do  un  tăng và bị trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì 0  a  4   Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: a  2 a  a  4 Vậy dãy số  un  có giới hạn hữu hạn khi n   và lim un  4  n  n  Bài toán tương tự u1  9   Cho dãy số thực  un  xác định bởi: u2  6  un 1  un  un 1 , n  2  Chứng minh rằng dãy số  un  có giới hạn hữu hạn khi n   . (1) Hướng dẫn Chứng minh dãy trên giảm và bị chặn dưới bởi 4. Kết quả lim un  4 . n  Bài toán 8 (Các bài toán về dãy số - Phan Huy Khải) u1  1  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  1 (1) un  3  u , n  2 n 1  Chứng minh rằng dãy số  un  có giới hạn hữu hạn khi n   . Lời giải 6 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số   THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 3  5 với mọi n  1, 2,... (Bạn đọc tự kiểm tra) 2 Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được Bằng quy nạp chứng minh được un  n   , un 1  un   vậy  un  giảm. u 2  3un  1 1  un   n  0  un 1  un  0 , 3  un 3  un  Do  un  giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a    Vậy dãy số  un  3 5 2 Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: a   n  3  5 1  a 2  3a  1  0  a  3 a 2 3  5 có giới hạn hữu hạn khi n   và lim un   n  2 Bài toán 9 (HSG Đồng Tháp năm 2009) Cho dãy số (un) xác định bởi 1  u1  2   u  3 u 2  1 u 3 n  1  n 1 2 n 2 n  Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn của dãy số. Lời giải 3 2 1 3 x  x với x   0;1 , ta có 2 2 3 2 f '(x)  3x  x  0 x   0;1 2  f(x) tăng trên  0;1 và 0  f(x)  1 x   0;1  Xét hàm số f ( x)   Chứng minh: u n   0;1 , n  1 . 1   0;1 . 2 Giả sử u k   0;1 , k  1 thì Thật vậy: u1  3 1   u k 1  u2  u3 k k  2 2  0  u k 1  1  u k 1   0;1 0  u k  1  Vậy u n   0;1 , n  1 . Do f tăng nên f  u n   f  u n 1  cùng dấu với un  un 1  Suy ra: un 1  un cùng dấu với un  un 1 . Lập luận tiếp tục ta đi đến un 1  un cùng dấu với u2  u1 5 1 3 Vì u2  u1      0  u n 1  u n  0  u n 1  u n n  1 16 2 16 Suy ra  u n  là dãy giảm 7 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 1  1 nên suy ra được un   0;  2  2  Lại do u1   Do  un  giảm và bị chặn nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì 0  a   Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  1 2 a  0 3 2 1 3 a  a  a  a  1 2 2  a  2 1 nên a  0 . Vậy dãy số  un  có giới hạn hữu hạn khi n   và lim un  0  n  2 Bài toán 10 (Giải tích những bài tập nâng cao – Tô Văn Ban)  Do 0  a  Cho dãy số (un) xác định bởi u1  2   un 1  2  un , n  1  Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn của dãy số. Lời giải  Bằng quy nạp chứng minh được 0  un  2 với mọi n  1, 2,... (Bạn đọc tự kiểm tra)  Xét hàm số f ( x)  2  x với x   0;2  , ta có   1 f '(x)   0 x   0;2   f(x) tăng trên  0;2     4 x 2 x  Vì u2  2  4 2  2  u1 , suy ra  u n  là dãy tăng  Do  un  tăng và bị chặn nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì 0  a  2  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  a  2 a (2) Chứng minh phương trình (2) có nghiệm duy nhất a   0; 2 (Bạn đọc tự chứng minh)  Vậy dãy số  un  có giới hạn hữu hạn khi n    Bài toán 11 (Giải tích những bài tập nâng cao – Tô Văn Ban) u1  2  Cho dãy số (un) xác định bởi  un un 1  2 2 , n  1  Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn của dãy số. Lời giải  Bằng quy nạp chứng minh được 1  un  2 với mọi n  1, 2,... (Bạn đọc tự kiểm tra) 8 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp x 2  Xét hàm số f ( x)  2 với x  1;2  , ta có   x 1 f '(x)  .2 2 .ln 2  0 x  1;2   f(x) tăng trên 1;2      2  Vì u2  2 2  2  u1 , suy ra  u n  là dãy tăng 2  Do  un  tăng và bị chặn nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì 1  a  2  Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  a 2  Vậy dãy số  un  2 aa2 có giới hạn hữu hạn khi n   và lim un  2  n  Bài toán 12 (Các bài toán về dãy số - Phan Huy Khải) 1  u1  3  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  u  1 u 2  1, n  1  n 1 2 n  Hãy tìm lim un . (1) n   Lời giải Ta thấy với mọi n  2 thì 1  un  0 . Giả sử rằng  un  có giới hạn là a thì 1  a  0 và a là nghiệm của phương trình  1 2 x  1  x  x 2  2 x  2  0  x  1  3 . Do 1  a  0 nên chọn a  1  3 2 Xét hiệu sau đây:  u2  1 un 1  1  3   n  1  1  3  un  1  3 un  1  3 2  2  1 un  3  1 un  1  3  2              3 3 un  1  3  ...     2   2     n  3 u2  1  3    2      n  3  3 lim  Như thế ta có: 0  un 1  1  3     0 nên  mà n   2  2            lim un 1  1  3  0  lim un 1  1  3 n    n 1 n    0  lim u n  n  lim un 1  1  3 n  Vậy dãy số  un  có giới hạn hữu hạn khi n   và lim un  1  3  n  9  n Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Bài toán 13 (Các bài toán về dãy số - Phan Huy Khải) 3  u1  2  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  2 u  1  u  u , n  1 n  n 1 2  Hãy tìm lim un . (1) n  Lời giải   Bằng quy nạp chứng minh được 1  un  2 với mọi n  1, 2,... (Bạn đọc tự kiểm tra) Giả sử rằng  un  có giới hạn là a thì 1  a  2 và a là nghiệm của phương trình 1 x   x2  x  x 2  2  x   2 . Do 1  a  2 nên chọn a  2 2 Xét hiệu sau đây:   2 un 1 un 1  2  1  un   2  un  2 u n  2  2 2 2 1 un  2 u n  2  2 2 1 = u n  2 un  2  2 2      2 2  un  2  ...    2   2     2 Như thế ta có: 0  un 1  2    2      n 1 n 1  2 u1  2    2      2 3     2  mà nlim    2  2     n 1 n 1 3    2   0 nên 2  lim un 1  2  0  lim un 1  2  0  lim un  lim un 1  2 n   n  n  n  Vậy dãy số  un  có giới hạn hữu hạn khi n   và lim un  2  n  Bài toán 14 (Các bài toán về dãy số - Phan Huy Khải) u1  2011  un Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  u  3 , n  1 2  n 1 un  1  Hãy tìm lim un . (1) n  Lời giải  Bằng quy nạp chứng minh được un  3 với mọi n  1, 2,... (Bạn đọc tự kiểm tra)  Giả sử rằng  un  có giới hạn là a thì a  3 và a là nghiệm của phương trình 10 3    2 2  Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số a 3 a a2 1 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp   a 3  2     2 a2  2  a 2  3a  2 a 2  3a  3  0 a 1  a 2  3a  1 3  15  a 2  a 2  3a  3   Xét hàm số f ( x)  3  f '( x)   Ta có:  x x2  1 1 x 2  trên  1 3  3;  , thì un 1  f (un ) và f (a)  a  f '( x)  1 2 2 , x   3;  Xét hiệu sau đây và kết hợp với định lý Lagrange ta suy ra: un 1  a  f (un )  f (a)  f '(cn )  un  a  = f '(cn ) un  a  (cn   un ; a   cn   a; un ) n  1  < un  a <...<   u1  a 2 2 2 2 1 n  n   n  1   1  Như thế ta có: 0  un 1  a   u1  a  u1  a mà nlim   2 2  2 2   lim un 1  a  0  lim  un 1  a   0  lim un  lim un 1  a n  n   0 nên n  Vậy dãy số  un  có giới hạn hữu hạn khi n   và lim un  n  3  15  2 Bài toán 15 (OLP TOÁN SINH VIÊN) u1  2011  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  1 2 un 1  2 ln 1  un  2012, n  1  Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn hữu hạn.   (1) Lời giải 1 ln 1  x 2  2012 với x   , f ( x) là hàm số liên tục trên  và ta có 2 x x 1 f '( x)   f '( x)   , x   2 2 1 x 1 x 2 có giới hạn là a thì và a là nghiệm của phương trình  Xét hàm số f ( x)   Giả sử rằng  un    1 ln(1  x 2 )  2012 (2) 2 Ta chứng minh (2) có nghiệm duy nhất. Thậy vậy 1 1 x  ln(1  x 2 )  2012  g ( x)  x  2012  ln(1  x 2 )  0 (3) 2 2 2 x  x 1  0, x   Ta có: g ( x) là hàm số liên tục và g '( x)  x2  1 Suy ra: g ( x) đồng biến trên  . x  11 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp 1 Mặt khác: g (0).g (2012)  2012. ln 1  20112  0 2 Suy ra: phương trình (3) có nghiệm duy nhất. Gọi nghiệm đó là a Theo định lý Lagrange, tồn tại c   sao cho    un 1  a  f (un )  f (a)  f '(c) un  a  n 1  n 1 u1  a n 1 1 1 Như thế ta có: 0  un 1  a    u1  a mà lim   u1  a  0 nên n  2   2 lim un 1  a  0  lim  un 1  a   0  lim un  lim un 1  a n   1 1 un  a  ...    2 2 n  n  Vậy dãy số  un  có giới hạn hữu hạn khi n    n  TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải. Các bài toán về dãy số. NXBGD 2007. [2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh. Giới hạn dãy số & hàm số. NXBGD 2002. [3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến. Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT. NXBGD 2009. [4] Phạm Văn Nhâm. Một số lớp bài toán về dãy số . Luận văn thạc sĩ khoa học 2011. [5] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XV – 2009. [6] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XVI – 2010. [7] Tô Văn Ban. Giải tích những bài tập nâng cao. NXBGD 2005 [8] W.J.KACZKOR – M.T.NOWAW. Đoàn Chi (Biên dịch) – GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến (hiệu đính). Bài tập giải tích I – Số thực – Dãy số và chuổi số. NXBĐHSP2003. [9] Jean - Maria Monier . Giáo trình giải tích 1. NXBGD 1999. 12