IÓ11 cố một số khỏU£' ỉ’mi và sô 1Ù1V (lưõr £>ọi là
xác SUIÌI cua biên cô.
Ta qui ước ký hiệu \;ic suất của biên co A lò P(A). Xát: su.Vt PíA) của
một biên cỏ A phỉii xây (lựng sao cho thoíi màn các dòi hói hợp Iv .sau:
- Xíic: suất cua hiên rô chác chíìii u
]: P iU í^ l (VI VÓ1 biên cô
c h á r ch;'m th ì 100% xây ra).
- X;H• suất rũa
cỏ khòng ih ê r õ V I>áng 0: P (V )-0 (VI VOI biến
cõ không 1hế có thì 100% không xay ni ).
- X:u* s u ấ t r u n h i ỏ n cố n g ả u n h i ê n A bị k ẹ p giừíì sô ọ V;’ì sò* 1:
0) Được một rô sò clìiVm r l i ẵ n ?
Ciidi: (rí)! A la luôn cô (hĩọr mạt sau châm. R là l)iỏn có dirợc mạt
co sỏ rlìấm í lìÀn. () dây sò I\(‘1 cục dồng khổ nâng 11 - 6 . sỏ kóì cục
ih iw in loi i hn A M in t h iộ iì m v- ỉ .
m. =
ki*i «'lie* th u ậ n lợi r i l o \\ x u ñ i h iệ n
Ị )o 1.1«» ! a r õ :
p< A )
(;
- \ ’/ du 2 (ỉioo liai con xnc \:'ìr hoan loàn clòi xùny.
11:ỉ V lin h \ac
s 11ất ( I ế cI 1rộ«• I ì ;ì I m ậ t s â u <■h : ỉ m .
Giai Ky liiộu a. ỉ' lã sỏ chùm t iv n mặt con x u r x;i<- thử Ììlìãt và
thủ' h:»i ( ỉ < ;ì < 0 ;1 !'• ('» ). Nhu' vậy. k('*l quà í‘ó duọf sô chíiììi l qui iríc* kồ i
lun
sô
lìộỊ)
(lọ i
V. l à
bièn
cỏ
n h n n sỏ kòt cục i !<>nI»
kh;ỉ n á n s b illig sò bộ h in sò Oỉ.bi. lữc Ii=r»• (>-30. s ỏ kõi cue th u :in U}\
cho c xuíVt h iộ n ửng VÒI trường hụp ;i=l>-(ì. tức m, = l. Do lio 1;) co;
Pí e )
:u;
c) Ha tì che
Đ ịn h nghùi xác siiñl
!lv *o
lỊU íin
(hom
cô
điên hạ l ì chè là c h i
ã Ị.)
đụng cho r a r kè! cục dỏnu khò llallí» và CMC .sỏ m. n ironi» Cunç í hue i I )
phai được xác ( l ị n h cụ th ó vã hữu hạn. Trong nhiêu (rương hộị) <‘ÌU'
đicu kiện nò y rat khỏ ihực h lộn hoặc không thè ih ự f hiện đưỢí* Vỉ :
Sỏ phep ỉ liu ru A
X
Tỏng só ] )ìì é Ị > I lui dược thựr hiện
n
t)
Vi dụ: T i‘oü£ Ỉưỉ>0 iróíỊ«) sinh îtüiii> ìh.m.u 5 n.iiìì 1997 ờlia Nội co
vãIV5 Ị4á 1. N hir vựv 1,'in su;Yi x\i:i! hiện con gai ỏ d:iy la:
“>2”) Ira i
ỉ -
I •
___
- 0 . I V.)
I { H)u
/>) /)///// nghĩa
Tiìn su.li XUHÎ hiiMỉ hiên rò ,\ {ron y 11 Ị)h('Ị) thư luôn 1nôn í.liio dộng
XU11LỊ (.jUMiil) một sỏ k h ỏ n g 1'lô’i P(A), và k h i n l i e n tỏi vô h ạ n í hì t ổ n
su.n xuñt hiện biên có A càng .u;in đen sò không đói P(A) đó. K hi đó sỏ
l ’( \) cliíợ<* uọi là xác s\ J:ú CU;| lìiõn cô A thro quan (liêm thống' ke. Nói
c .v h khái*, la có :
\ \ A ) = lim í' - lim x
n >■/
11 ><■lì
(3)
T ử d ịn lì nghĩa xác siiàí ihi»o quan (liỏm thòng ki* nôi trên. cũng dễ
dỉiiìg suy rn CÍÌC lính ch;íi chuns fu a f'V\):
- Đỏi voi hiên Cỏ ehÁc chắn 1' thì In 11 suất xuấi hiộn biến r o V:
I
u
-
r
*
h
^ I . | ) ; m ( l è n Xiầr S11.H
f)ỏi
VOI
bien
rô
I >( l ,• ) - l i m I
..
!..
khôn^ thô ró V 1hi 1fin sii.it xuất hiện 1ÙC11 cỏ V:
<1 . Ị );m đèn \;ì(* sim! r< V )
lim r
■'
0.
-
r=x
n
\)iì\ Vói !>irn rô ns»;ìii n h iê n A 1ỉ 1 r l;m A.
tvoi
0
m a y sần. n g h i ô n CIÍU cỏMti h iệ u c ủ a t h u ố c m e n , I r o n t ; n h â n c h u n i ì hục*,
xã hội hục.. . .
1.2.3. D ịn h n g h ía xác* s u â t th e o q u a n (liê m h ĩn h hoe
Đ ịn h nghìn xác surît lh ('0 (ịiin n d iế m th ô n g kó khác phục (luộc
hạn chê rủn «lịnh nghiĩi xnc smií ihi*u <ịu;in <1lõm ró (lion về I-Ioi hi)i các
kêt rụ c (‘ủn phép tliứ Ị)híii ilổng kh;i n niìỊi xtuVt hiện. f)ố kh.ic phục
hạn chò iiõi t;i £ và (i in 11 >.;> híiv khỏi
khòng y in II m A kích thuor (híọc hiên ]à (lọ i 1:11 . í-liẹn tích hỉiy í ho tích.
b) ( tic VI (in
- Vi d u /: D â m một m ủ i k i m một ị' i\rh n g ñ u n h i ê n và o h ì n h v u ô n g
<•;In ]I a. Iro n g có h ìn h iro n nội I lỏp ban kính \\ỉ'l. U ày lìm xác SUỈÌ1 m ùi
k im ròi V-IO lì 1 1 1 lì 1ròn.
G i ò i : ( lọ i A là biên cô m ù i k im ròi vào h ìn h trò n . K h i dó xác suất
hièn <•<"> I1ÌIII kim rói vào hm li Iron ilih.ir I.inh ihoo eỏng ihi.ìv H ) vò
a~
tl .
I \ A ) •-=
(liên tích h ìn h irò n
V
d iện tích h ìn h vuỏ n g
=
ị
a
-
z
I
- Vi (lu 2\ llỉũ ngưòi A Vil B hẹn gập nh:m lại một (lịa diôm xac
d in h tr o n o VOI1 ỊỊ lu' 0 giò ilèn 1 ,ụiõ. Xgưũi diMì Irước chờ ngirơi kia quá
2<* p h iii th i si* ỈM) di. Mày lín h xác simt họ gập cliíọv nh;m, ỉ)iêí rang
mồi iìị^uui ro 1hí* (lên chõ họn V;1 U một thòi íliém ỉ »ãt ky Irons* khoáng
thòi gian trôn.
Giòi: ( ìọi X \iì lúc* nglíril /\ ílòn ( lu m hẹn, V \i\ luc nnưói I» (). 0 < V • GO . T iip hợp nàv có thỏ 1)1011 (liền hĩnh
học hôi h ĩn h v u ô n ụ O I K M ( l ii n h 2).
Hình 2
Các kết cục t huận lợi cho hai người gặp nhau là cặp sổ (x,y) sao cho:
|x - yị < 20
Trên h ìn h võ tập hợp các cặp sô này ứng với miền con của hình
vuông gồm giữa các dường thẳng y=x+20 và y=x-20 (phần gạch gạch
trong hình 2). Cìọi c là biến cô hai người gặp được nhau. K h i dó P(C)
tín h theo công t hức (4) bàng:
P ( Q - d iệ n tíc h O Q 1Q 2K Q 3Q ,iO
diện tích (OIKMO)
6 0 2 - 40" _ 5
602 ~ 9
1.3. MỐI QUAN HỆ VÀ CÁC PHÉP TÍNH GIỮA CÁC BIẾN c ố
T rong thực tô ta thường gặp các loại biến cố phức tạp do vậy việc
tín h trực tiếp xác suất của chúng đôi k h i gặp khỏ khăn. Lúc đó, nguòi
ta có thế tín h gián tiếp xác suất của chúng thông qua các môi quan hệ
giữa các biến cố và các phép tín h giữa chúng.
1
M ỏ i q u í u i hộ líiĩía CÌU' bicMì cô
a) l ì ưọi b i ỏ n < ỏ A kẽo il n u ) b iô n cô li. n e u A x u . l i h i ộ n t h i lìlì.Vi
ih iĩM B cun Li x u ã l h i ( ‘ n. Tí* k y h i n i A •
IV
Xén 1.HỎU rõ A Iscij ihíM» hiõn rò B v; 1 nmiột’ lại 1)1011 cò u rù n g keo
ih e u biẽ i. r o A t in I : I l ũ A v;i I» In hai 1)1011 <‘6 tu õ iụ : ilu o n i!. l a k y h iệ u
A--B.
b ) B iê n cỏ A va I»lẽn cỏ B (ỉưnc gọi In x u n ỵ k h a r n ê u c h ú n g k h ỏ n ỵ
. b ií‘M CV m i tluóc
viên
phỉìn mau liỉ ỉ)iỏn cò to ll54rua lìm l>iỏncỏ:
hiên co rút (luộc vi»-ii
ph.ìỉì
dó \'i\ l>ión ró rul dược viôn
phAn \;m h .
b ) Tĩeh cua h a i lnén có A va l> là một lỉiỏ n cỏ XMV ra k h i Vil c h i k h i
Oc» ha i bien n i'A va B cùng
V i du
(\> haï x;i
tliu .
xày r ;i. Ta kv hiệu (A B ).
mỗi người 1.KU1 ! p h á t và bản VÀO r ù n g một
b ia . Khi (l>> bien cỏ bin bị ban trún g dung hai Ian In bi&n co lích rúa
hai biến (õằ
. iỉiòn rõ nmioi ihư nhíìt bán trú n g ỉ)ia va biên cố ngũòi thu
hai bắn tru n g bia.
1.4.
XÁC SUAT CỦA TỎNG HAI BỈẺN c ố XUNG KHAC
T iì
Ihiẽt
X I I MỈ Í k h â c
lập fö n «
i h ư r c h o
Illen x a r s u a i
phe]) linh
suât
Clin c a r b i e n c ñ t h a n h
t)inh lý: Nô 11 A, l> In lia I l)icn CO XII
Clin
toiiK h a ï b i e n
en
p h àn .
k li;ir I hi U\ rũ:
m + R )= m > + iv m
Til chu'ns* m inh (lịnh ly cho trương hộp CMC l)irn CỎ mà xar su;Vt
(ùa chúng ihoii 111 A11 đ ịn h nghĩa cô diên, (iiíi sứ sô kòl cục dong k hà
1ì : 11i i4 r u n
plìóp
I
luï la
I I.
Irons »lo
co
m, k('*i
rục
thích hộp (thuận lọi)
ello A vil I1Ì_, k
ximi»' khắc HÕM số két cục thích hộp (Ihuận lội) chu
se lã (m. + m.,). Do f!ỏ tn cỏ
XI U'
suíVt tín ỉ ỉ lh<*o (lịnh im hi;i rỏ dien:
lì
ỉỉự ,Ịỉi --1 - P { /\)
ilú*
<111
d ụ n g «lịnh ly vo
\;if
sun! cun lo n g hai biên
<■«> S U 1 1 Ö
k h á c cho A và A :
P íA + A ) - P (A ) + P (A )
(8)
P ( A ♦ A ) - l >( U ) = 1
í 9)
mậi khác. 1:1 l ạ i co:
v ậ y , I ừ (, . . .. A„ là các biên
c o ’ % i m < j k h í H : ( ừ n g d ô i m ộ t , t h i t n có:
P(A,+ A 2+ . . .+ AẼị)= P(Aj)+P( A,)+ . . . +P( A„)
V i ỉ ụ Î: Trong một hộp phiín có 5 viên Ị) ha lì xanh, 4 viên phấn đỏ
và 11 vén phấn trắng. Rút hú họa một viên phàn. I l â y tín h xác suất:
a) \úị ra được vie il phân màu.
b ) i ú \ n\ dược v iê n plìĩVn tra n g .
(.7/7/: a) T ín h xác suất rú t ra dược viên phàn màu. Gọi A là biến cô
r ú t ru aíỢc viên phấn đỏ, B là biến cô rú t ra được viên phàn xanh. Rõ
rà n g ciến cố x u n g khắc và đ ịn h nghĩa xác s u ấ t theo quan điểm
cỏ cỉiíẩn ta có:
F(C) = P (A + B) = P(A) + P(B) = J - + A
20
b)
20
= JL
20
''in h xác su ấ t rút. ra dược viên phấn trắng: Nếu c là biến cô r ú t
ra dvưu viên phấn màu, thi biến cỏ r ú t ra (lược viên phấn trắng rõ
r à n g làbiêì i cô* đôi l ặ p c ủ a b iế n cố r ú t r a dược vi ên p h ấ n m à u và SC là
c . /Vp lụ n g hộ quả vê tính xác siuYt của biến cỏ dối lập, ta có:
P(C) = 1 -P (C ) = 1
9
20
11
—
20
V / dụ 2: Một. dợt xô sô phát hành N vé. tro n g đó có M vé có
thưỏing M ột người mua r vé (với giá th iế t r< N -M ). T ín h xác suất đổ
ngitờii cỏ cỏ ít nhất một vé trú n g thưởng.
G i ã i : (ĩọ i A là
<‘ô ir o n s Y VC Cd it nhất m ột vé t r u n g ihưon.Li.
Thê thì hiên ro <ỈÕI
l.ip A lã l>iõn í'ỏ r;i r VI' ilỏu ìru ộ t.
Tníỏc lien In
lin h P( A ). Vi so kcl ell r thu;;m lụi rh o A Xn:r1 liK/n là sỏ (ỏ hộp ( ’ x y .
rciiì sò ki ỉ t
cục ilontỉ
u h : In ñ n g
lã s ô t ô h ọ p ( ' ^ , n e
11
ỉn ró:
P(Ã> = % ụ
.
C'~
T ừ do s u y rn:
I ’( A )
1
P t.\)
I
( ' M
1.5. XÁC SUẤT CÓ ĐIỂU KIỆN - ĐỊNH LÝ NHÀN XÁC SUẦT
1.5.1. X á c su â t có đ iể u k i ệ n - B iê n cỏ p h ụ t h u ộ c và l)i«*n cò
d ộ c lậ p
a) Hai toán dan den khai ttietìi
Trong một hộp phíin có 5 viên phàn xanh và 1 VUM1 phán do. Láy
ra một vión phấn (không hoàn lại), rồi Im liVy m một viôn phiVn mì;),
Ciọi A
l à b i e n c ò (Jó VIÔI1 p h í ì i i i h ú
nliíVl r o
m.-iu i l õ v ã
B
hỉ
b i e n c ô <|<*
vit'lì phíVn thứ híii có mím xanh. Tìm xric su;Vl (tó VH‘11 ih ử h;u có mím
Xíinh?
Giai: Co hill khíi năng xây ỈM. Kho núng ilu i nil,-ít lã vicn pliân
đau lấy ra là dó» lức bien cô A dã xây ra. Khi dó xác suất dé viên Iluĩ
hai rỏ mau xanh P(B) =
*>
t
.
.
.
. Kha nàhỊi ihứ h;ii I il viôn phàn uàu liiy vu
In xnnh. lut* bien cố A ilii không xây r;i. K hi n h . i n \ H : x ñ r >uã1 l 'i M > õ 1 i v n !;i xcu' s 11:11
<•11 <Ị 11*11 k K/I » Vít l i í i i l i i r n •') />///// NÌỊỈÌKI I
X:H* .-.U:iì 'Uá»
|\< u >
I'll \ \ VÓI Lt I ; I l l ì u * ’ l u r n «•!> A <1.1 \ ; » v v u » k y h i f ‘ u 1.1
) I.« ! \ s ô ụ i ĩ i í i N,n
^ \ ỉ : I ! «•u ; I n « ' h h : n h l t M I <*o \ . I» v o i \ : i r M 1;U < U ; l
liic ll l ó ;\ Til Hì!
ỈNA.ỈVi
l\iH )
<
10 )
P
vi] I lin tm (ụ t :» (’ũnu
ỉ*. A I*.)
h
Ị NK >
c ị t ) i n i i HÌ Ị Ỉ Ỉ I U 2
11,-11 lìion có A, I» í*ọi l;i 1'hti t huộ<* nêu sụ \;ìv r;i hay khônm Xí'iy Viì
cun
m oi
In n iị*
h : u Ỉ>K'I1
<•«> í i n l ì
hueñis;
(lẽn
X.IC
S U ỈÌI
n in
ỉ*ịỏ h
có
k I;I .
lla lli.I I.-í :
I \ | U)
/
P .«I3)
iy A )
* iy A )
/
m ti
M li»
lìn:)r:
*
p<;\>
í/; />//;// nghía J
11:11 In rii f‘0 A. lỉ Ị»Ụ1 1.1 dột' lập vói nhau neu sự Xiiy ra hay khom;
X.IV *¿I l’il.» !ìiột Monu h.n hiòn «•<) khoiìịĩ ỉtnh h iió iiii đòn xa* .siiàl run
l)irn rõ kin. n.uhi.ỉ l;V
P N(IỈ)
I\u;it
một Ìrong hai biên cỏ ñy VỎ1 xác suàt cun liiỏn cò còn 1.11 \u
ih io t
b i e n cò k i a d ã x a y r n , n g h iM là:
P(A.B)
P (A )I\(H )
p (B)Pfic.A>
b illig tí c h các x.e s iiã l cùii
r l u m Sĩ, n g l ì l í i l à :
IN A .R ) --- Pt A >.IN Mi
CỎHỊ’
lỉV )
( h ứ c ( 1 7) s u y rn l u ( l ị n h n g h í ĩ ì • > v ế h ; n l>H*nr õ (|| • l ậ p ( C U I in
tlìữ r (1 I). ( 1r>)> và clịnh ly n h â n xác sun! I ụ-ônii ihức í !<>))
1lilac
( ] 7) c ũ n g dược m ơ r ộ n g t i l i n g đ ă n c h o sô b i ê n cò dộc hiỊ» lớn lò n 2.
c) \ I ( hi /
M ột ní*fin hộp (lựiìt: '1 lin h k iộ n báu án
d ẫ n loại II. M ột k ỹ sư vó ( u v r n - ( Ỉ ! ( ‘ii lu I; 1 1 » m ay rú t hũ h« I một lin h
k iệ n (k h ô n g hoãn lạ i) và Síiu dó ru t liỏ p một lin h kx/n th í h a i. l ỉ ã v
tín h xác stuYl (.le ch ice lin h kiện th ủ nhai \ỉ\ Io:u I Vil rh i(
lin h kiộn
( hữ li a i là lo:ii 2.
( H à i : ( «ỌI A l à b i ê n <-ò c l m V l i n h k i ộ n 1 h l í n h a t
ih u ộ r lo i
I V .1 I» in
biên rò i-ln tV Imh kiỏu t ỉ )LI hai 1huộr loại II. Ta cân lililí I N / H):
(lị Vi (ỉu 2
. ỊÔ1
ilu c i
ĩiì
III < h r n
»111
1>Ụ Ị t h . m . t'h ii I)IỎ1 kho.-iiụ.', ihni uiíin T I)Ụ ph;m
1. :ỉ, •» k h ô n ì* 1>Ị h o iiỉí lió r IUÕ1 1 £Ĩ íỉn g in O.M: 0,S; (1.7. T m l i \ : \ r su ;ii co Ít
n lv it Tìì Õ1 tro n g 11:» 1>Ộ Ị>h;u) klìDip.i I'M hoiJi* h o r tn.»m: v ó iỉii I lì< >1 Ị.;i;m
I n
lì
í b
i ê n
C O
ỉ
1 ).
( ỉ i à i : ( l o i A. K c H ín iìíỉ U 1 H> là bi (Ml 1 * 6 1>Ộ p h ạ n I. I I , I I I khôn«- l)i
h o \ii h ue
Iro im
1ỈÌU I
U I.U Ì T
i:i;i
ih ic i
\ \ . \ ) - : 1MB) - o.s . I M ' ) - 0.7
V à
kh ỉ
(lo
XIÌC
suãt
!u n n< ỉ
L Ì I Ì Ị Ĩ t h o i gÌMH
T â:
P tA .IỈ
C ) - I ‘(A>. Pd V». P(<') - 0. 1.0.2.o.a - 0.000
Biỏn cô co li nlìâỉ mộl bộ Ịih.-m khùng bị hong hóc In biõn rỏ dôi
lạ >ciiíi biên cỏ cá lm bộ p h ậ n bị hôn« hoc. do do Uì có:
í M I)
1
P(A . I> .
- 1 - 0.00(5 = 0.ỈKM
1.6. XAC SUÁT CUA TÒNG HAI BIẾN c õ KHÒNG XUNG KHAC
1.(>.1. I ) ị nil lý
Xác su;it củỉi lon tị' lun biên rô không xun.u khìxr Uìxnụ, tõng rác Xiic
s i.it của c h u n g t i ll d i xác s iiã ỉ Iic iì cu;i c h ú n g , ng h ía líi:
P íA + lt)= ll(A )+ l>( » ) - í l(A.Bì
Í1H)
C h ư n ụ m itỉ lr T ư k h íii m r m
vr
m o i ip K in
hộ Ịíiũ :i
I»ic*n <■<> V.I
Ịih rp li li l í Ị£ÌĨÍM eñe I>i(*n cô. Ì 1ÒU A. I?> l;i hai l)i(‘n ro khnn.i* xuiií»' k lifir,
I 11J I ;ì rũ 1h r vit*t •
A+H=A. B + \ -It+A.B
M ill k h ;u \ r ; ir 1'K‘IÌ co 1. \
< 191
R >. < A . 1»!. (A 15) NUI1 .1 » Is lì :*ic Ví il n h : 1 1 1 ,
m>n I ;1 <•«»:
h.\+B)=P+ l'K‘H <•(> «A.
khãc* vơi í I
I
;
i
i»
» M i n u k 1ì ; I< VÕI
h i t ' l l r ò (II.
A
) Mint;
I . Il c ỏ:
P i A ï - h A . B H-IYA.R)
(21)
nm =h
Ci2)
A H) ^ 1 A I »>
ỉ);ịì (21 ). (1¿2) v;iu (20), 111 CÕ:
h A H V i - h A ) - h .V B » + Pi Hỉ
INA. I!) 4- |> (A .» )= h A) +■ INK) - I V V I Ỉ I
D o c h m h lã rùng \ hue ( 1S) can r illin g minh.
l.f>.2. V i d ụ
lia i \'i) I hù, mol n.míõi l»í»n mội p lin t Vilo III.I. Xnc sill'll tru n ỵ (lu ll
CU.'I n g i f o i I h ử n h à l
l;i 0 . 7 ; <•ũ : I n g i m i i h u h i l l 1,1 O.S. T í n h X i t r s u . l l d ó
CO I t n h i . l l I Ì Ì Ộ I I >11; 11 I r ũ t ì Ị i Ỉ 11; I .
G7Õ/: (!ọi A la biỏn CO xn Ihu th ú nhỉíỉ ban I ru ng ln:i; K là biíMi cu
Xii 1lu i I lu í hai brin irím<Ị l)i;i T;ï can 11 1 ÌÌ P(.\-H>). Th(*o cl ion k iệ n <»i;i
l»;u lo a n . 1;« có PíA) 0.7, I*cM> o .s vil haï l>K*n <*ô A , R I:» lia i ỉ»i(*n CO
k h ô n g x u n g khííc, I.lụr ií.ỉỊ) Ví)! n h íiu S u y vu:
hA-HV) -- h . \ ) + r d t )
P'A.Ui
hA.IV) = INAUMV)
->
P(A-t-B) = P(A } + P( B) - P (A ).P (B ) = 0,7+0 X - 0.7.0,
- Xem thêm -