Tài liệu Skkn tỉ số thể tích trong hình học không gian

Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian I. PHẦN MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán là môn học được nhiều học sinh yêu thích và say mê, nhưng nói đến phân môn hình học không gian thì lại mang nhiều khó khăn và trở ngại cho không ít học sinh, đặc biệt là hình học không gian tổng hợp. Đây cũng là phần thường xuyên xuất hiện trong các đề thi Đại học – Cao đẳng những năm gần đây, vì kiến thức phần này yêu cầu học sinh phải tư duy cao, có khả năng phân tích tổng hợp và tưởng tượng mà chủ điểm quan trọng của hình học không gian tổng hợp đó là tính thể tích khối đa diện. Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn, trở ngại đó cùng với quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi có chút kinh nghiệm giảng dạy các bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể tích mong được chia sẻ cùng các thầy cô đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán . Năm học 2014-2015 đã đến , với mong muốn có thể cung cấp cho các em học sinh thêm một phương pháp để tính thể tích của các khối đa diện, tôi nghiên cứu và viết đề tài: “Tỉ số thể tích trong hình học không gian ”. 2. MỤC TIÊU ,NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI Cung cấp cho học sinh một số phương pháp ứng dụng của tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao khả năng phân tích tổng hợp, tư duy cao… 3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI - Khách thể nghiên cứu: học sinh 2 lớp 12A1 và 12A2 trường THPT Quang Trung. - Đối tượng nghiên cứu: Thể tích khối đa diện - Phạm vi nghiên cứu: các bài toán tính thể tích khối đa diện có ứng dụng của tỉ số thể tích 4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu sử dụng ứng dụng của tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện có nâng cao chất lượng học sinh 5. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Tóm tắt một số nội dung quan trọng liên quan đến dạng toán tính thể tích khối đa diện. - Nghiên cứu ứng dụng của tỉ số thể tích - Hướng dẫn học sinh tính thể tích khối đa diện bằng ứng dụng tỉ số thể tích 6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 1 Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian - Phân tích, tổng hợp,quan sát.. - Tổ chức thực nghiệm sư phạm: dạy học phần tính thể tích khối đa diện có ứng dụng tỉ số thể tích. 7. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Đề xuất cách tính thể tích khối đa diện bằng cách ứng dụng tỉ số của thể tích trong dạy học môn hình học 12 THPT 8. CẤU TRÚC VÀ NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI Gồm phần mở đầu, nội dung, kết luận, tài liệu tham khảo. Nội dung có 3 chương: - Chương I: Cơ sở lý thuyết - Chương II: Các dạng toán - Chương III: Thực nghiệm sư phạm II.PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: Cơ sở lý thuyết Để tính thể tích của một khối đa diện bất kì, chúng ta chia khối đa diện đó thành các khối đa diện đơn giản đã biết công thức tính ( Khối lăng trụ V  B.h , 1 3 Khối chóp V  B.h , Khối hộp chữ nhật V  abc , …) rồi cộng các kết quả lại. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, việc tính thể tích của các khối lăng trụ và khối chóp theo công thức trên lại gặp khó khăn do không xác định được đường cao hay diện tích đáy, nhưng có thể chuyển việc tính thể tích các khối này về việc tính thể tích của các khối đã biết thông qua tỉ số thể tích của hai khối. Sau đây ta sẽ xét một số bài toán cơ bản và ví dụ minh hoạ Bài toán1: (Bài4 sgk HH12CB trang25) Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’,B’,C’ khác S. CMR: Giải: VS.A ' B ' C ' SA '.SB'.SC '  (1) VS.ABC SA.SB.SC GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 2 Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian Gọi H,H’ lần lượt là hình chiếu của A,A’ lên (SBC) A A' B B' H S H' C' C Ta có: AH // A’H’  3 điểm S,H,H’ thẳng hàng. Xét  SAH có: SA ' A ' H '  (*) SA AH Do đó: 1 A 'H '.SSB ' C ' VS.A ' B ' C ' 3 A 'H ' SB' SC ' Sin(B'SC ')   . . . (**) 1 VS.ABC AH SB SC Sin  BSC  AH.SSBC 3 Từ (*) và (**)  đpcm Trong (1) ,đặc biệt hóa cho B’ trùng B và C’ trùng C ta có: VS.A ' B ' C ' SA '  (1') VS.ABC SA Ta lại có: VSABC  VS.A ' BC  VA '.ABC (1’)  VS.ABC  SA ' .VS.ABC  VA '.ABC SA GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 3 Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian  VA ‘.ABC SA ‘ A ‘ A  1  VS . ABC SA SA V A‘ A Vậy: A ‘.ABC  VS . ABC SA (2) Tổng quát hoá công thức (2) ta có bài toán sau đây: Bài toán 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A1A2…An ( n  3) , trên đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ không trùng với A1. Khi đó ta có VA '1 .A1A2 ...A n VS.A1A2 ....A n  A '1 A1 (2 ') SA1 Chứng minh (2’) bằng phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp S.A1A2…An thành các khối chóp tam giác rồi áp dụng công thức (2) CHƯƠNG II: Các dạng toán Dựa vào hai bài toán cơ bản ở trên, ta sẽ xét một số bài toán tính tỉ số thể tích của các khối đa diện và một số ứng dụng của nó DẠNG1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN Ví dụ1: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung điểm của CD và I là giao điểm của AC và BM. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ICM và S.ABCD S Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác BCD, do đó 1 1 1 1 1 1 VISCM  VB.SCM  . .VD.SBC  . . VS . ABCD 3 3 2 3 2 2 V 1 Vậy ISCM  VS . ABCD 12 Ví dụ2: B Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm của SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp được chia bởi mp(AB’D’) Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD và I là giao điểm của SO và B’D’. Khi đó AI cắt SC tại C’ Ta có B GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung A D O M I C S C' B' I A D' O' O C Trang 4 D Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian VS. AB ' C ' SB ' SC ' 1 SC ' VS. AC ' D ' SC ' SD ' 1 SC '  .   .  VS . ABC SB SC 2 SC VS . ACD SC SD 2 SC 1 SC ' 1 SC ' VS . AB ' C '  VS . AC ' D '  . (VS . ABC  VS . ACD )  . .VS . ABCD Suy ra 2 SC 2 SC Kẻ OO’//AC’ ( O '  SC ) . Do tính chất các đương thẳng song song cách đều nên ta có SC’ = C’O’ = O’C 1 1 2 3 Do đó VS . A ' B ' C ' D '  . .VS . ABCD Hay VS. A' B ' C ' D ' 1  VS . ABCD 6 * Bài tập tham khảo: Bài1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có trực tâm H và cạnh bằng a. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA và M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp H.MNP và S.ABC. Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP ĐS: VH.MNP 1  VS . ABC 32 Bài2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (  ) qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Tính SM để mặt phẳng (  ) SC chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. ĐS: SM 3 1  SC 2 DẠNG2: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH Ví dụ1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD  ABC  900 , AB  BC  a, AD  2a, SA  ( ABCD) và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a Giải: S Áp dụng công thức (1) ta có VS. BCM SM 1   VS .BCA SA 2 M VS.CMN SM SN 1  .  VS .CAD SA SD 4 2a a Suy ra B GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung N 2a A C Trang 5 D Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian 1 1 VS .BCNM  VS .BCM  VS .CNM  VS .BCA  VS .CAD 2 4 3 3 a 2a a3     2.3 4.3 3 Ghi chú: 1 3 1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực tiếp theo công thức V  B.h gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối S.BCNM về tính VSBCA và VSCAD dễ dàng hơn rất nhiều 2/ Khi dạy học có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN Ví dụ2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a. Giải: S Ta có VCMNP CN CP 1  .  VCMBD CB CD 4 (a) M VCMBD VM . BCD MB 1    (b) SB 2 VCSBD VS .BCD Lấy (a) x (b) vế theo vế ta được VCMNP 1 1   VCMNP  .VS .BCD VS .BCD 8 8 A H N D C P Gọi H là trung điểm của AD ta có SH  AD mà (SAD)  ( ABCD) nên SH  ( ABCD) . 1 3 B 1 a 3 1 2 a3 3 . a  3 2 2 12 Do đó VS .BCD  .SH .S BCD  . Vậy: VCMNP  a3 3 (đvtt) 96 Ví dụ3: Cho khối chóp D.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, DA = 2a và SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng DB và DC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a Giải: V DM DN . Ta có DAMN  VDABC DB DC AM và AN lần lượt là các đường cao trong các tam GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung D N 2a M A a C a a B Trang 6 Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian giác vuông DAB và DAC bằng nhau nên ta có DM DA2 4a 2 DM  4   2 4  2 MB AB a DB 5 DN 4 Tương tự  DC 5 4 4 16 9 Do đó VD.AMN = . .VD.ABC = .VD.ABC. Suy ra VA.BCMN = .VD.ABC 5 5 25 25 1 a 2 3 a3 3 3a 3 3 Mà VD.ABC = .2a.  . Vậy VA.BCMN = (đvtt) 3 4 6 50 Ghi chú: Ta có hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC sau đây b'  A b2 ( Chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng) B c b c' b' C H Ví dụ4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a 2 SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a. Giải: S Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC, do đó AI 2 AI 1    AO 3 AC 3 V AI AM 1 1 1 nên AIMN  .  .  VACDN AC AD 3 2 6 V NC 1 Mặt khác ACDN   SC 2 VACDS V 1 Từ (1) và (2) suy ra AIMN  VACDS 12 1 3 1 3 Mà VSACD  .SA.S ACD  a. VAIMN  a Ma A (1) 2 I a D O (2) C B S a 2a a 3 2  . Vậy 2 6 M a3 2 1 .VSACD  (đvtt) 12 72 Ví dụ5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung B A H C D Trang 7 Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian thuộc đoạn thẳng AC sao cho AH = AC . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. 4 Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. Giải: Từ giả thiết ta tính được AH  a 2 a 14 3a 2 , SH  , CH  , SC  a 2  SC  AC . 4 4 4 Do đó tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm của SA. Ta có VS.MBC SM 1 1    VS .MBC  VS . ABC VS . ABC SA 2 2 1 1 a 2 a 14 a 3 14 VS . ABC  .SH .SABC  . .  (đvtt) 3 6 2 4 48 * Bài tập tham khảo: Bài1: Cho khối tứ diện ABCD có ABC  BAD  900 , CAD  1200 , AB  a, AC  2a, AD  3a . Tính thể tích tứ diện ABCD. ĐS: VABCD a3 2  2 Bài2: Cho khối chóp S.ABCD dấy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mp(AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a 16a 3 45 ĐS: VS . A ' B ' C ' D '  Bài3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng. Gọi M, P lần lượt là trung điểm của SA và SC, mp(DMP) cắt SB tại N. Tính theo a thể tích khối chóp S.DMNP ĐS: VS .DMNP  a3 2 36 Bài4: (ĐH khối B – 2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. ĐS: VABC . A' B 'C '  3a 3 3 7a và R  8 12 DẠNG3: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG CÁCH Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng khó khăn nhất là xác định chân đường cao. Khó khăn này có thể được khắc phục nếu ta tính khoảng cách GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 8 Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian thông qua thể tích của khối đa diện, mà khoảng cách đó chính là độ dài đường cao của khối đa diện. Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD). Giải: D Ta có AB2 + AC2 = BC2  AB  AC 1 6 Do đó VABCD  AB.Ac.AD  8cm2 I 4 Mặt khác CD = 4 2 , BD = BC = 5 Nên BCD cân tại B, gọi I là trung điểm của CD 1 2 2 5  (2 2 ) 2  2 34  SBCD  DC.BI  2 2 3V 3.8 6 34  Vậy d ( A, (BCD))  ABCD  SBCD 17 2 34 5 4 A C 5 3 B Ví dụ2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang, ABC  BAD  900 , AD = 2a, BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. CMR tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD) S Giải: Ta có VS. HCD SH  VS .BCD SB H SAB vuông tại A và AH là đường cao nên SH SA2 2a 2 SH  2 2a A Ta có   2 2  a 2 HB AB a SB 3 2 2 1 a2 a3 2 Vậy VS.HCD = VS.BCD = . a 2. = 3 3 3 2 9 B C 1 Mà VS .HCD  d (H , (SCD)).S SCD . 3 SCD vuông tại C ( do AC2 + CD2 = AD2), 1 1 3a 3 2 a 2  do đó S SCD  CD.SC  .a 2.2a  a 2 . Vậy d (H , (SCD))  2 2 2 9a 2 3 Ví dụ3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C Giải: GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 9 D Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian Gọi E là trung điểm của BB’,ta có EM//CB’ Suy ra B’C //(AME) nên d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME)) Ta có VC . AEM MC 1   VC . AEB CB 2 1 1 1 a 2 a 2  a3 2  VC . AEM  VEACB  . . .  2 2 3 2 2 24 3V Ta có d (C, ( AME))  C . AEM SAEM Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AE, ta có BH  AE Hơn nữa BM  ( ABE )  BM  AE , nên ta được AE  HM A' C' B' a 2 E H A a 6 Mà AE = , ABE vuông tại B nên 2 1 1 1 3 a 3    2  BH  2 2 2 BH AB EB a 3 a a M C B a 2 a 2 a 21   4 3 6 2 1 1 a 6 a 21  a 14 Do đó S AEM  AE.HM  . .  2 2 2 6 8 3 3a 2 a 7 Vậy: d (C, ( AME))   7 a 2 14 24. 8 BHM vuông tại B nên MH  Ghi chú: Có thể áp dụng công thức Hê – rông để tính SAEM Ví dụ4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC  a 3 và hình chiếu vuông góc B' C' của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính khoảng cách Từ A đến mp(BCC’B’) Giải: A' 2a Theo giả thiết ta có A’H  (ABC). Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến nên AH =  1 BC = a. A ' AH vuông tại H nên ta có 2 A ' H  A ' A  AH  a 3 1 a.a 3 a 3 Do đó V A '. ABC  a 3  . 3 2 2 2 2 GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung B a C H K a 3 A Trang 10 Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian Mặt khác VA '.ABC VABC . A ' B ' C '  1 3 2 3 2 3 Suy ra VA '.BCC ' B '  VABC . A ' B ' C '  .3. a3  a3 2 3VA '.BCC ' B ' S BCC ' B ' Vì AB  A ' H  A ' B '  A ' H  A ' B ' H vuông tại A’ Ta có d ( A ', (BCC ' B '))  a 2  3a 2  2a  BB ' .  BB ' H cân tại B’. Gọi K là trung điểm  a 14 của BH, ta có B ' K  BH . Do đó B ' K  BB '2  BK 2  2 a 14 Suy ra S BCC ' B '  B 'C '.BK  2a.  a 2 14 2 3 3 14a 3a Vậy d ( A ', (BCC ' B '))  2  14 a 14 Suy ra B’H = * Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC) ĐS: d ( A, (IBC ))  2a 5 5 Bài2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, điểm M thuộc AD sao cho AM = 3MD. Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C) ĐS: d ( A, ( AB 'C ))  a 2 Bài3: Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC), ABC  900 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) nếu AD = a, AB = BC = b ĐS: d ( A, (BCD))  ab a 2  b2 Bài4: Cho tứ diện đều ABCD, biết AB = a, M là 1 điểm ở miền trong của tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện ĐS: h1  h2  h3  h4  3VABCD 2 a SACB 3 GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 11 Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian Bài5: Cho tứ diện ABCD và điểm M ở miền trong của tứ diện. Gọi r1, r2, r3, r4 lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) của tứ diện. Gọi h1, h2, h3, h4 lần lượt là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C, D đến các mặt đối diện của tứ diện. CMR: r1 r2 r3 r4    1 h1 h2 h3 h4 DẠNG4: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC Việc tính diện tích đa giác phẳng được quy về việc tính diện tích tam giác theo 1 2 công thức S  ah , trong đó h – chiều cao và a là độ dài cạnh đáy. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, đặc biệt là việc tính diện tích của các đa giác phẳng trong không gian, tính trực tiếp theo công thức gặp nhiều khó khăn. Khi đó có thể tính diện tính đa giác thông qua thể tích của các khối đa diện. Sau đây là một số ví dụ minh hoạ Ví dụ1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính diện tích tam giác AMN theo a, biết rằng ( AMN )  (SBC ) S Giải: Gọi K là trung điểm của BC và I là trung VS. AMN SM SN 1  .  (1) SB SC 4 VS . ABC Từ ( AMN )  (SBC ) và AI  MN (do AMN cân tại A ) nên AI  (SBC )  AI  SI Mặt khác, MN  SI do đó SI  ( AMN ) SI .SAMN 1 1 SO .S (O Từ (1)    S AMN  SO.S ABC 4 4 SI ABC N điểm của MN. Ta có I C M A K O B là trọng tâm của tam giác ABC) Ta có ASK cân tại A (vì AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến) nên  a 3 a 15 AK = AS =  SO  SA2  OA2  2 6 1 a 15 a 2 3 a 2 10 1 a 2 Và SI = SK  Vậy S AMN  . .  (đvdt) 4 6a 2 4 16 2 4 4 GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 12 Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian * Bài tập tham khảo: Bài1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Biết ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = b, AA’ = c (c2  a 2  b 2 ). Một mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với CA’cắt lăng trụ theo một thiết diện. a) Xác định thiết diện đó b) Tính diện tích thiết diện xác định ở câu a) ĐS: Thiết diện AMN có diện tích S AMN ab a 2  b 2  c 2  2c Bài2: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB = x, AC = y, AD = z, các góc BAC  CAD  DAB  900 . Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD) a) Chứng minh rằng: 1 1 1 1  2 2 2 2 AH x y z b) Tính diện tích tam giác BCD ĐS: S BCD  1 2 2 x y  y 2 z 2  z 2 x2 2 GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 13 Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian CHƯƠNG III. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 1. Mục đích thực nghiệm - Đánh giá tính khả thi của đề tài - Sau khi tiến hành thực nghiệm sư phạm so sánh kết quả của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng để đánh giá giả thuyết khoa học của đề tài 2. Nhiệm vụ của thực nghiệm - Chọn lớp đối chứng và lớp thực nghiệm - Tổ chức triển khai nội dung - Xử lý, phân tích kết quả từ đó rút ra kết luận 3. Đối tượng thực nghiệm Tiến hành dạy phần nội dung đã trình bày trên đối tượng là học sinh 2 lớp 12A1 và 12A2 trường THPT Quang Trung, tỉnh Đăk Lăk. Hai lớp được lựa chọn tham gia thực nghiệm có nhiều điểm tương đồng nhau về ý thức, thành tích học tập, tỉ lệ giới tính, dân tộc… 4. Phương pháp thực nghiệm - Tiến hành dạy thực nghiệm thời gian thực hành thực nghiệm vẫn tuân theo kế hoạch dạy học của nhà trường và thời khóa biểu để đảm bảo tính khách quan (bao gồm chính khóa và phụ đạo). - Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra số 1 - Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra số 2 - Dùng phép kiểm chứng T-test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình của 2 nhóm trước và sau khi tác động: 5. Kết quả thực nghiệm Chọn lớp 12A1 làm lớp thực nghiệm, 12A2 làm lớp đối chứng. Lấy kết quả bài kiểm tra chung của hai lớp làm bài kiểm tra trước tác động. Giáo viên sử dụng kết quả của bài kiểm tra này kết hợp nghiên cứu sử dụng phương pháp kiểm chứng T- test độc lập ở bài kiểm tra trước tác động ( p= ?> 0,05). Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của cả hai nhóm và còn suy ra độ chênh lệch điểm trung bình của hai nhóm thực nghiệm và đối chứng trước tác động là không có ý nghĩa. Từ đó, có thể kết luận kết quả học tập của hai lớp trước tác động là tương đương nhau. Sau đó giáo viên lấy kết quả bài kiểm tra chung tiếp theo làm bài kiểm tra sau tác động. GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 14 Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian Bảng: Giới tính và thành phần dân tộc và học sinh 2 lớp 12A1 và 12A2 của trường THPT Quang Trung Số học sinh các nhóm Dân tộc Lớp T. Số Nam Nữ Kinh Ê ĐÊ Khác 40 19 21 39 0 1 39 19 20 38 0 1 Thực nghiệm (12A1) Đối chứng (12A2) - Ý thức học tập của học sinh : Đa số các em ở lớp 12 đều ngoan, tích cực tham gia các họat động học tập. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều học sinh còn trầm, chưa hòa đồng với các họat động chung. - Các em đều là những học sinh cuối cấp bậc trung học phổ thông nên xét trình độ là tương đương. - Kiểm tra trước và sau tác động đối với các nhóm tương đương. Bảng 1: Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương TBC Đối chứng 12A1 Thực nghiệm 12A2 4,40 4,48 P 0,4098 p = 0,4098 > 0,05 từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của 2 nhóm thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương. GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 15 Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian Bảng 2: Bảng thiết kế nghiên cứu: Kiểm tra Nhóm Tác động Kiểm tra trước tác động sau tác động Có ứng dụng tỉ số thể tích để Lớp 12A1 03 (TN) tính thể tích khối đa diện trong 04 dạy học Không ứng dụng tỉ số thể tích để Lớp 12A2 01 (ĐC) tính thể tích khối đa diện trong 02 dạy học Sử dụng phép kiểm chứng T-test độc lập. Bảng 3: Tổng hợp kết quả chấm bài. Nhóm thực nghiệm (12A1) Nhóm đối chứng Điểm trung bình 5.13 6.98 5.16 5.73 Độ lệch chuẩn 1.34 1.27 1.04 0.96 (12A2) Giá trị P 0.8640 0.0001 SDM 1.047012 0.91 GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 16 Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian Biểu đồ so sánh kết quả trung bình giữa hai lớp trước và sau tác động. Từ kết quả nghiên cứu ta thấy hai nhóm đối tượng nghiên cứu (cột 1 và 3) trước tác động là hoàn toàn tương đương. Sau khi có sự tác động dạy phần tính thể tích khối đa diện có ứng dụng tỉ số thể tích cho kết quả hoàn toàn khả quan (cột 2 và cột 4). Bằng phép kiểm chứng T- test để kiểm chứng chênh lệch điểm trung bình cho kết quả p = 0,0001 <0,05 cho thấy độ chênh lệch điểm trung bình giữa hai nhóm là có ý nghĩa. Điều này minh chứng là điểm trung bình lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng không phải do ngẫu nhiên mà là do kết quả của sự tác động. Chênh lệch giá trị TB chuẩn (SMD): SMD = 0,91 nên mức độ ảnh hưởng của tác động khi sử dụng đề tài trong dạy học làm tăng kết quả học tập môn Toán cho học sinh lớp 12A1 trường THPT quang trung. Bảng 4. Tổng hợp phần trăm kết quả theo thang bậc: Kém, yếu, trung bình, khá, giỏi kết quả của lớp thực nghiệm 12A1 Lớp 12A1 Trước TĐ Thang điểm Kém Yếu T. bình Khá Giỏi Tổng cộng 0 12 18 7 3 40 0% 30.00% 45.00% 17.50% 7.50% 100% GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 17 Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian Sau TĐ 0 0% 4 10.00% 12 18 6 40 30.00% 40.00% 20.00% 100% Biểu đồ so sánh kết quả xếp loại trước và sau tác động lớp Thực nghiệm 12A1 6. Bàn luận - Kết quả cho thấy, điểm trung bình của nhóm thực nghiệm cao hơn nhóm đối chứng, chênh lệch điểm số là 6.98-5.73 = 1.25. - Độ chênh lệch điểm trung bình tính được SMD = 0.91 chứng tỏ mức độ ảnh hưởng của tác động là lớn. - Mức độ ảnh hưởng của tác động là lớn, p = 0,0001 < 0,05 chứng tỏ điểm trung bình của lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng không phải ngẫu nhiên mà do tác động mà có. - Tác động đã có ý nghĩa lớn đối với tất cả các đối tượng học sinh: yếu, trung bình, khá. Số học sinh yếu giảm nhiều, số học sinh khá tăng đáng kể. GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 18 Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Trong giảng dạy nói chung, việc phân dạng và phân loại bài tập là vô cùng cần thiết, xác định kiến thức trọng tâm, lựa chọn bài tập phong phú, phù hợp với các đối tượng học sinh là những yếu tố cơ bản đảm bảo thành công hơn nữa. Việc sử dụng tỉ số thể tích để giải các bài toán hình học không gian, đặc biệt là các bài toán tính thể tích khối đa diện, tính khoảng cách hay tính diện tích đa giác tỏ ra có nhiều ưu điểm, giúp cho lời giải ngắn gọn và không cần sử dụng nhiều kiến thức của hình học không gian lớp 11. Tôi rất mong được hội đồng chuyên môn góp ý, bổ sung để đề tài này hoàn thiện hơn, và có thể triển khai áp dụng rộng rãi để giảng dạy cho học sinh khối lớp 12, ôn thi THPT Quốc Gia trong Nhà trường. Hy vọng rằng, với đề tài này, có thể giúp cho các em học sinh có thêm một phương pháp nữa để giải các bài toán hình học không gian trong kì thi THPT Quốc Gia đạt được kết quả cao. Trong quá trình biên soạn đề tài, tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Krông Păk , ngày 25/2/2015 Người viết Trần Anh Tuấn GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 19 Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. 2. 3. 4. 5. 6. Hình học 12, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008 Hình học 12 nâng cao, Bài tập hình học 12 nâng cao – nhà XBGD năm 2008. Hình giải tích trong không gian-Võ Giang Giai- NXB GD Các dạng Toán LT ĐH của Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ năm 2011; 2012. Các Website về toán học hiện có… MỤC LỤC I.MỞ ĐẦU 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI GIẢ THUYẾT KHOA HỌC NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI CẤU TRÚC VÀ NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI 1 2 2 II.NỘI DUNG 2 CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2 CHƯƠNG II: CÁC DẠNG TOÁN 4 CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 14 III.KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 MỤC LỤC 20 Duyệt của Hội đồng chuyên môn cấp trên: …………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung Trang 20