Tài liệu Slide bai giang mon dai so tuyen tinh cua tac gia dang van cuong

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ( DÀNH CHO KHỐI KỸ THUẬT - CNTT) Giảng viên: THS. ĐẶNG VĂN CƯỜNG 1 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương 0 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương 0 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 Nhóm, Vành và Trường. 2 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương 0 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 Nhóm, Vành và Trường. Các khái niệm nhóm, vành và trường được giới thiệu trong phần này chỉ dừng ở mức đủ dùng cho các diễn đạt trong phần sau của giáo trình. Giả sử G là một tập hợp. Mỗi ánh xạ o:G×G→G được gọi là một phép toán hai ngôi (hay một luật hợp thành) trên G. Ảnh của cặp phần tử (x, y) ∈ G × G bởi ánh xạ o được ký hiệu là xoy, và được gọi là tích hay hợp thành của x và y. 2 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương 0 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 Nhóm, Vành và Trường. Các khái niệm nhóm, vành và trường được giới thiệu trong phần này chỉ dừng ở mức đủ dùng cho các diễn đạt trong phần sau của giáo trình. Giả sử G là một tập hợp. Mỗi ánh xạ o:G×G→G được gọi là một phép toán hai ngôi (hay một luật hợp thành) trên G. Ảnh của cặp phần tử (x, y) ∈ G × G bởi ánh xạ o được ký hiệu là xoy, và được gọi là tích hay hợp thành của x và y. 2 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Definition 1.1. Một nhóm là một tập hợp khác rỗng G được trang bị một phép toán hai ngôi o thoả mãn 3 điều kiện sau: (G1 ) Phép toán có tính kết hợp (xoy)oz = xo(yoz), ∀x, y, z ∈ G. (G2 ) Có một phần tử e ∈ G, được gọi là phần tử trung lập, với tính chất xoe = eox = x, ∀x ∈ G. (G3 ) Với mọi x ∈ G, tồn tại phần tử x ∈ G, được gọi là nghịch đảo của x, sao cho xox = x ox = e. 3 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Definition 1.1. Một nhóm là một tập hợp khác rỗng G được trang bị một phép toán hai ngôi o thoả mãn 3 điều kiện sau: (G1 ) Phép toán có tính kết hợp (xoy)oz = xo(yoz), ∀x, y, z ∈ G. (G2 ) Có một phần tử e ∈ G, được gọi là phần tử trung lập, với tính chất xoe = eox = x, ∀x ∈ G. (G3 ) Với mọi x ∈ G, tồn tại phần tử x ∈ G, được gọi là nghịch đảo của x, sao cho xox = x ox = e. Nhận xét: Phần tử trung lập là duy nhất. Thật vậy, nếu e và e đều là các 3 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân phần tử trung lập của nhóm G thì e = eoe = e . Với mọi x ∈ G, phần tử x ở mục (G3 ) là duy nhất. Thật vậy, nếu x1 và x2 là các phần tử nghịch đảo của x thì x1 = x1 oe = x1 o(xox2 ) = (x1 ox)ox2 = eox2 = x2 . Trong nhóm có luật giản ước, tức là xoy = xoz ⇒ y = z, xoz = yoz ⇒ x = y. 4 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân phần tử trung lập của nhóm G thì e = eoe = e . Với mọi x ∈ G, phần tử x ở mục (G3 ) là duy nhất. Thật vậy, nếu x1 và x2 là các phần tử nghịch đảo của x thì x1 = x1 oe = x1 o(xox2 ) = (x1 ox)ox2 = eox2 = x2 . Trong nhóm có luật giản ước, tức là xoy = xoz ⇒ y = z, xoz = yoz ⇒ x = y. Thật vậy, để có luật giản ước, chỉ cần nhân hai vế của đẳng thức xoy = xoz với nghịch đảo x của x từ bên trái và nhân hai vế của đẳng thức xoz = yoz với nghịch đảo z của z từ bên phải. 4 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Nếu phép toán o có tính giao hoán, tức là xoy = yox, ∀x, y ∈ G, thì G được gọi là nhóm giao hoán (nhóm abel). Theo thói quen, luật hợp thành o trong một nhóm abel thường được ký hiệu theo lối cộng “ + ”. Hợp thành của cặp phần tử (x, y) được ký hiệu theo lối cộng x + y và được gọi là tổng của x và y. Phần tử trung lập được gọi là phần tử không, ký hiệu là 0. nghịch đảo của x được gọi là phần tử đối của x, ký hiệu là (−x). Trường hợp tổng quát, phép toán o trong nhóm thường được ký hiệu theo lối nhân “.”, Hợp thành của cặp phần tử (x, y) được ký hiệu là x.y hay đơn giản là xy, và gọi là tích của x và y. Phần tử trung lập của nhóm thường được gọi là phần tử đơn vị. Phần tử nghịch đảo của x được ký hiệu là x−1 . 5 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Example 1.1. a) Các tập hợp số Z, Q, R lập thành nhóm abel đối với phép cộng. b) Các tập Z∗ = Z\{0}, Q∗ = Q\{0}, R∗ = R\{0} làm thành một nhóm abel đối với phép nhân. 6 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Example 1.1. a) Các tập hợp số Z, Q, R lập thành nhóm abel đối với phép cộng. b) Các tập Z∗ = Z\{0}, Q∗ = Q\{0}, R∗ = R\{0} làm thành một nhóm abel đối với phép nhân. Definition 1.2. Giả sử G và G là các nhóm (với phép toán viết theo lối nhân). Một ánh xạ ϕ : G → G được gọi là một đồng cấu nhóm nếu ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ G. 6 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Example 1.1. a) Các tập hợp số Z, Q, R lập thành nhóm abel đối với phép cộng. b) Các tập Z∗ = Z\{0}, Q∗ = Q\{0}, R∗ = R\{0} làm thành một nhóm abel đối với phép nhân. Definition 1.2. Giả sử G và G là các nhóm (với phép toán viết theo lối nhân). Một ánh xạ ϕ : G → G được gọi là một đồng cấu nhóm nếu ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ G. Nhận xét: Đồng cấu nhóm ϕ biến đơn vị e của G thành đơn vị e của G : ϕ(e) = e . Nó cũng biến phần tử nghịch đảo của x thành phần tử nghịch đảo của ϕ(x): ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 . 6 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Definition 1.3. Ta có các khái niệm sau: a) Một đồng cấu nhóm đồng thời là một đơn ánh được gọi là một đơn cấu nhóm. b) Một đồng cấu nhóm đồng thời là một toàn ánh được gọi là một toàn cấu. c) Một đồng cấu nhóm đồng thời là một song ánh được gọi là một đẳng cấu nhóm. Nếu có một đẳng cấu nhóm giữa G và G thì ta nói G đẳng cấu với G và viết G ∼ G . = 7 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Bây giờ ta chuyển sang khảo sát các vành và trường. 7 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Bây giờ ta chuyển sang khảo sát các vành và trường. Definition 1.4. Một vành là một tập hợp R = ∅ được trang bị hai phép toán hai ngôi, gồm phép cộng + : R → R, (x, y) → x + y, và phép nhân . : R × R → R, (x, y) → xy, thoả mãn ba điều kiện sau: (R1 ) R là một nhóm abel đối với phép cộng. (R2 ) Phép nhân có tính kết hợp: (xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ R. 7 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân (R3 ) Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng: (x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy, ∀x, y, z ∈ R. Vành R được gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó có tính giao hoán: xy = yx, ∀x, y ∈ R. Vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, tức là có phần tử 1 ∈ R sao cho 1x = x1 = x, ∀x ∈ R. 8 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân (R3 ) Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng: (x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy, ∀x, y, z ∈ R. Vành R được gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó có tính giao hoán: xy = yx, ∀x, y ∈ R. Vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, tức là có phần tử 1 ∈ R sao cho 1x = x1 = x, ∀x ∈ R. Example 1.3. Các tập hợp số Z, Q là các vành giao hoán và có đơn vị đối với các phép toán cộng và nhân thông thường. Tập hợp số tự nhiên N không là một vành và không là một nhóm đối với phép cộng. 8 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân (R3 ) Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng: (x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy, ∀x, y, z ∈ R. Vành R được gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó có tính giao hoán: xy = yx, ∀x, y ∈ R. Vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, tức là có phần tử 1 ∈ R sao cho 1x = x1 = x, ∀x ∈ R. Example 1.3. Các tập hợp số Z, Q là các vành giao hoán và có đơn vị đối với các phép toán cộng và nhân thông thường. Tập hợp số tự nhiên N không là một vành và không là một nhóm đối với phép cộng. 8 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Definition 1.5. Giả sử R và R là các vành. Một ánh xạ ϕ : R → R được gọi là một đồng cấu vành nếu ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ∀x, y ∈ R, ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ R. Các khái niệm đơn cấu vành, toàn cấu vành, đẳng cấu vành được định nghĩa tương tự đối với trường hợp nhóm. 9 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí