Tài liệu Slide bai giang mon giai tich 1 cua tac gia le xuan dai

Mục Lục 01 Gioi Han Lien Tuc Cua Ham Mot Bien 02 Gioi Han Cua Day So 03 Dao Ham Vi Phan Ham Mot Bien 04 Phuong Trinh Vi Phan Cap 1 05 Phuong Trinh Vi Phan Cap 2 06 He Phuong Trinh Vi Phan 07 Tich Phan Xac Dinh 08 Tich Phan Bat Dinh 09 Tich Phan Suy Rong 10 Ung Dung Cua Tich Phan GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: [email protected] TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP. HCM — 2013. 1 / 53 Giới hạn của hàm số Bài toán thực tế Lý thuyết tương đối của Albert Einstein Nếu L0 là khoảng cách từ người đứng yên đến vật đang đứng yên, L là khoảng cách từ người đứng yên đến vật đang chuyển động với vận tốc v (m/s) thì ta có công thức L = L0. v2 1 − 2, c ở đây c là vận tốc ánh sáng. Câu hỏi: Nếu vật chuyển động với vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng thì khoảng cách L sẽ như thế nào? TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP. HCM — 2013. 2 / 53 Giới hạn của hàm số TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Bài toán thực tế GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP. HCM — 2013. 3 / 53 Giới hạn của hàm số Bài toán thực tế Theo yêu cầu bài toán chúng ta cần tìm lim L0. v →c v2 1 − 2 = L0. c c2 1− 2 =0 c Kết luận: Nếu vật chuyển động với vận tốc càng gần với vận tốc ánh sáng, thì khoảng cách giữa người đứng yên và vật chuyển động càng gần về 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP. HCM — 2013. 4 / 53 Giới hạn của hàm số Định nghĩa điểm giới hạn Định nghĩa điểm giới hạn Cho X ⊂ R là 1 tập hợp số nào đó, còn a ∈ R là 1 số cố định nào đó. Định nghĩa Nếu số a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X ⊂ R, thì tồn tại dãy số (xn ) ⊂ X \ a hội tụ về điểm a này xn → a. Định nghĩa Tập hợp (a − ε, a + ε), với ε > 0 là số tùy ý, được gọi là lân cận của a. Kí hiệu O(a, ε). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP. HCM — 2013. 5 / 53 Giới hạn của hàm số Định nghĩa giới hạn của hàm số Cho hàm số f (x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X này. Định nghĩa Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x → a, nếu như với mọi dãy ∀(xn ) ⊂ X \ a hội tụ về a : xn → a, dãy giá trị của hàm số tương ứng hội tụ về A : f (xn ) → A. Ví dụ Giới hạn của hàm số f (x) = x + 1, khi x → 0 là 1 vì với ∀xn → 0 thì f (xn ) = xn + 1 → 1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP. HCM — 2013. 6 / 53 Giới hạn của hàm số Định nghĩa giới hạn của hàm số Ví dụ ln n n→∞ n ln n 1/n lim = lim = 0(theo L’ Hopital) ⇒ SAI n→∞ n n→∞ 1 vì KHÔNG TỒN TẠI (ln n) , (n) , n ∈ N. Cách giải đúng. ln x 1/x lim = lim = 0(theo L’ Hopital). Do đó x→∞ x x→∞ 1 theo định nghĩa giới hạn của hàm số với ln n xn = n → ∞, ta có f (xn ) = → 0. Vậy I = 0. n Tìm giới hạn I = lim TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP. HCM — 2013. 7 / 53 Giới hạn của hàm số Định nghĩa giới hạn của hàm số Chú ý. Nếu tồn tại 2 dãy (xn ), (yn ) cùng hội tụ về a nhưng f (xn ), f (yn ) tiến tới 2 giới hạn khác nhau thì KHÔNG TỒN TẠI giới hạn lim f (x). x→a Ví dụ Tìm I = lim sin x→0 1 x 1 1 Xét 2 dãy xn = 2πn+ π → 0 và yn = nπ → 0. Ta có 2 lim f (xn ) = lim sin(2πn + π ) = lim sin( π ) = 1 2 2 n→∞ n→∞ n→∞ và lim f (yn ) = lim sin(πn) = 0. Vậy I . n→∞ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) n→∞ GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP. HCM — 2013. 8 / 53 Giới hạn của hàm số Giới hạn của hàm số từ một phía Xa+ = {x ∈ X \ x > a}, Xa− = {x ∈ X \ x < a}. Cho hàm số f (x) xác định trên tập hợp X ⊂ R còn a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp Xa+(Xa−). Định nghĩa Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x → a từ bên phải (từ bên trái) nếu như lim f (x) = A ( lim f (x) = A) − x→a,x∈Xa + x→a,x∈Xa Chúng được kí hiệu là lim f (x), f (a + 0) và x→a+0 lim f (x), f (a − 0) x→a−0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP. HCM — 2013. 9 / 53 Giới hạn của hàm số Giới hạn của hàm số từ một phía Ví dụ   1, f (x) = signx = 0,  −1, x >0 x =0 x <0 Dễ dàng thấy rằng f (0 + 0) = lim f (x) = 1 x→0+0 còn f (0 − 0) = lim f (x) = −1. x→0−0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP. HCM — 2013. 10 / 53 Giới hạn của hàm số Giới hạn của hàm số từ một phía Cho a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp Xa+ = {x ∈ X \ x > a} và tập hợp Xa− = {x ∈ X \ x < a}. Khi đó a cũng là điểm giới hạn của tập hợp X . Khi đó ta có định lý sau: Định lý Đẳng thức lim f (x) = A tương đương với 2 đẳng x→a thức sau   lim f (x) = A x→a+0  lim f (x) = A x→a−0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP. HCM — 2013. 11 / 53 Giới hạn của hàm số Tính chất của giới hạn của hàm số Tính chất của giới hạn của hàm số Định lý Nếu hàm số f (x) và g (x) với cùng 1 tập xác định X ⊂ R có giới hạn hữu hạn khi x → a : lim f (x) = A và lim g (x) = B thì ta có đẳng thức x→a x→a lim [f (x) ± g (x)] = A ± B x→a lim [f (x).g (x)] = A.B x→a f (x) A = x→a g (x) B Nếu có thêm điều kiện B = 0 thì lim TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP. HCM — 2013. 12 / 53 Giới hạn của hàm số Tính chất của giới hạn của hàm số Phân loại giới hạn của hàm số Các dạng không phải vô định a ∞ a = ∞(a = 0); = 0; = ∞; 0 ∞∞ a a.∞ = ∞(a = 0); q = 0(|q| < 1). 7 dạng vô định trong giới hạn hàm số ∞ 0 , , ∞ − ∞ , 0.∞ ,1∞ , ∞0 , 00 ∞ 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP. HCM — 2013. 13 / 53 Giới hạn của hàm số Tính chất của giới hạn của hàm số Tính chất của giới hạn của hàm số 1o Nếu hàm số f (x) khi x → a có giới hạn hữu hạn lim f (x) = A thì giới hạn đó là duy nhất. x→a o 2 Nếu g (x) f (x) h(x) với mọi ∀x ∈ O(a, ε) lim g (x) = A = lim h(x). (A - hữu hạn) 1 2 x→a x→a thì lim f (x) = A. x→a TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP. HCM — 2013. 14 / 53 Giới hạn của hàm số Tính chất của giới hạn của hàm số Ví dụ Tính giới hạn I = lim x 2. sin x→0 1 x 1 1 I = lim x 2. lim sin SAI vì lim sin KHÔNG tồn x→0 x→0 x→0 x x tại. Cách giải đúng: −x 2 x 2 sin 1 x x2 và lim (−x 2) = lim x 2 = 0. Vậy I = 0. x→0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x→0 GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP. HCM — 2013. 15 / 53 Giới hạn của hàm số Giới hạn của hàm hợp Định lý Cho lim f (x) = b, lim g (y ) = c và tồn tại số x→a y →b δ0 > 0 sao cho với mọi ∀x ∈ X \ a thỏa mãn bất đẳng thức |x − a| < δ0 luôn có f (x) = b thì giới hạn của hàm hợp là lim g (f (x)) = c. x→a Ví dụ lim sin(x 2 + 2x + 3) = sin 3 vì x→0 lim x 2 + 2x + 3 = 3 và lim sin y = sin 3 x→0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) y →3 GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP. HCM — 2013. 16 / 53 Giới hạn vô cùng bé của hàm số Giới hạn vô cùng bé của hàm số f (x) 0 = x→a g (x) 0 Tìm giới hạn I = lim TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP. HCM — 2013. 17 / 53 Giới hạn vô cùng bé của hàm số Định nghĩa Cho hàm số α = α(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và số a là điểm giới hạn của tập hợp X . Định nghĩa Hàm số α = α(x) được gọi là hàm vô cùng bé (VCB) khi x → a, nếu như giới hạn của nó bằng 0 lim α(x) = 0. x→a TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP. HCM — 2013. 18 / 53 Giới hạn vô cùng bé của hàm số Tính chất của hàm vô cùng bé Cho hàm số α = α(x) và β = β(x) xác định trên cùng 1 tập hợp X ⊂ R và số a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X . α = α(x) − VCB khi x → a 1o β = β(x) − VCB khi x → a ⇒ α ± β = α(x) ± β(x) − VCB khi x → a α = α(x) −hàm bị chặn ∀x ∈ O(a, ε) 2o ⇒ β = β(x) −VCB khi x → a α.β = α(x).β(x) = α(x).β(x) − VCB khi x → a TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP. HCM — 2013. 19 / 53